(完整版)高中数学竞赛讲义(五)──数列
高中数学讲义 第五章 数列 (超级详细)
(3)由函数 f (x) x2 8x 5 的单调性: (, 4) 是减区间, (4, ) 是增区间,
所以当 n 4 时, an 最小,即 a4 最小。
点评:该题考察数列通项的定义,会判断数列项的归属,要注重函数与数列之间的联系,用函数的观点解 决数列的问题有时非常方便。
①
2[(b1 b2 ... bn bn1) (n 1)] (n 1)bn1.
②;
②-①,得 2(bn1 1) (n 1)bn1 nbn , 即 (n 1)bn1 nbn 2 0, ③
∴ nbn2 (n 1)bn1 2 0. ④
③-④,得 nbn2 2nbn1 nbn 0, 即
数列的比较简单的数列进行化归与转化. 4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题,应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等. 5.增强用数学的意识,会针对有关应用问题,建立数学模型,并求出其解.
第 1 课 数列的概念
【考点导读】 1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解 数列是一种特殊的函数; 2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;
∴ a1 an 60
(2)答案:2
因为前三项和为 12,∴a1+a2+a3=12,∴a2= S3 =4 3
又 a1·a2·a3=48, ∵a2=4,∴a1·a3=12,a1+a3=8, 把 a1,a3 作为方程的两根且 a1<a3, ∴x2-8x+12=0,x1=6,x2=2,∴a1=2,a3=6,∴选 B. 点评:本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换:对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2.代数周期函数,带绝对值的函数。
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。
递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*3. 初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。
4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。
组合计数,组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。
2019-2020年高中数学竞赛标准教材讲义数列教案
一、基础知识定义1数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,….数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n}的一般形式通常记作a i, a2, a3,…,a n或a i, a2, a3,…,a n….其中a i叫做数列的首项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项.定理1 若S表示{a n}的前n项和,贝U S i=a i,当n>1时,a n=S-S n-i.定义2等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+i-a n=d (常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差.若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d,则a=b-d, c=b+d.定理2等差数列的性质:1 )通项公式a n=a i+(n-1)d ;2)前n项和公式:S= ——= na t n(n_。
d ;3) a n-an=(n-m)d,其中n, m 为正整数;4)若n+m=p+q,2 2则a n+a m=a p+a q;5)对任意正整数p, q,恒有a p- a q=( p- q)( a2- a i) ;6)若A, B至少有一个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3等比数列,若对任意的正整数n,都有,则{a n}称为等比数列,q叫做公比.定理3等比数列的性质:1) a n=a i q n-i; 2)前n项和S n,当q i时,S n=;当q=1时,S n=na i;3) 如果a, b, c成等比数列,即b2=ac( b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则ana n=apa q. 定义4极限,给定数列{a n}和实数A若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n€ N,都有| a n- A|< ,则称A 为n f+8时数列{a n}的极限,记作定义5无穷递缩等比数列,若等比数列{a n}的公比q满足| q|<1 ,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)定理3第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1) p(n。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题摘要:一、高中数学竞赛数列专题简介1.高中数学竞赛背景2.数列专题在竞赛中的重要性3.数列专题的主要内容二、等差数列与等比数列1.等差数列的概念与性质2.等差数列的通项公式与求和公式3.等比数列的概念与性质4.等比数列的通项公式与求和公式三、常见的数列类型1.质数数列2.斐波那契数列3.几何数列4.调和数列四、数列的性质与应用1.数列的递推关系2.数列的极限与无穷数列3.数列在实际问题中的应用五、高中数学竞赛数列专题的备考策略1.掌握基础知识2.熟练运用公式与性质3.分析与解决问题的方法与技巧4.模拟试题与真题训练正文:高中数学竞赛数列专题涵盖了丰富的知识点,旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
为了更好地应对数列专题的挑战,我们需要对这一专题有全面的了解,包括基本概念、公式、性质以及实际应用等方面。
首先,高中数学竞赛的背景为选拔优秀的学生参加各类数学竞赛,如全国青少年数学竞赛、国际奥林匹克数学竞赛等。
在这些竞赛中,数列专题具有很高的出现频率和重要性,因此,对这一专题的掌握程度对竞赛成绩有着直接影响。
数列专题的主要内容包括等差数列与等比数列、常见的数列类型、数列的性质与应用等方面。
等差数列与等比数列是数列的基本类型,它们在数学竞赛中占据重要地位。
等差数列具有以下性质:任意两项之差相等;等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,求和公式为Sn=n/2(2a1+(n-1)d)。
等比数列具有以下性质:任意两项之比相等;等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1),求和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
在高中数学竞赛中,还常遇到一些常见的数列类型,如质数数列、斐波那契数列、几何数列和调和数列等。
这些数列具有独特的性质和规律,需要我们熟练掌握其定义、公式和性质。
数列的性质与应用方面,我们需要了解数列的递推关系、极限与无穷数列,以及数列在实际问题中的应用。
递推关系是指数列的通项公式可以通过已知的前几项求得。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题(实用版)目录1.高中数学竞赛数列专题的重要性2.数列的基本概念和分类3.数列的性质和特点4.数列的解题方法与技巧5.典型例题解析6.参加高中数学竞赛的建议正文【高中数学竞赛数列专题的重要性】高中数学竞赛数列专题作为数学竞赛中的一个重要组成部分,对于提高学生的数学素养、培养学生的逻辑思维能力和解题技巧具有重要意义。
数列是数学中一个基本的研究对象,它与函数、极限、微积分等领域有着密切的联系,因此,掌握数列相关的知识对于高中生来说是十分必要的。
【数列的基本概念和分类】数列是一组按照一定顺序排列的数,其中每一个数称为这个数列的项。
数列可以按照项之间的关系分类,如等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列中任意两项的差都相等的数列;等比数列是指数列中任意两项的比都相等的数列;斐波那契数列则是指数列的前两项为 1,从第三项开始,每一项都等于前两项的和。
【数列的性质和特点】数列具有许多重要的性质和特点,如公比、公差、首项、末项等。
这些性质和特点对于数列的求和、求通项、证明数学结论等方面有着重要的应用。
在解决数列问题时,我们需要灵活运用数列的性质和特点,以便快速准确地解决问题。
【数列的解题方法与技巧】解决数列问题有许多方法与技巧,如列举法、通项公式法、错位相减法、等比数列求和公式等。
在实际解题过程中,我们需要根据题目的特点选择合适的方法与技巧,以便迅速找到解题思路。
同时,我们还需要积累大量的解题经验,以便在遇到类似问题时迅速找到突破口。
【典型例题解析】例题:已知等差数列的前三项分别为 1, 3, 5,求该数列的第 10 项。
解:根据等差数列的性质,可知该数列的公差为 3-1=2。
利用等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,其中 an 表示第 n 项,a1 表示首项,d 表示公差,n 表示项数。
将已知条件代入公式,得到 a10=1+(10-1)×2=19。
因此,该数列的第 10 项为 19。
高中数学《数列》讲义
高中数学《数列》讲义(1) 数列的定义与递推公式1:已知前四项,写出数列的通项公式如: (1)7,14,21,28……….(2)...............327,1658341,,,,(3) (514)4113825,,,,(4)1617-815,413-211,,.2. 已知数列 {}n a 中, ()-1111,21n n n a a a n a -==≥+ (提示: 两边同时取倒数)(1)写出数列{}n a 的前5项;(2)猜想数列 {}n a 的通项公式,并验证所猜想的通项公式满足所给的递推公式 3. 已知数列{}()212,1,111≥+==--n a a a a a n n n n ,那么=n a 1( )(A )12-=n a n (B )121-=n a n C )2+1n a n = (D )12+1n a n = (2)等差数列:1) 定义:d a a n n =-+1, 2) 通项公式:()d n a a n 11-+= 3) 前几项和公式 ()()21211dn n na na a s n n -+=+= 4) 等差数列的性质:1. 序号性质:若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+ 特别地,若 m+n=2p 则p n m a a a 2=+2. 等差中项性质:若a, B, c 成等差数列,则a+c=2B3. 连续 m 项和也成等差数列如连续3项和: 36396129 , , , s s s s s s s ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 123456789, , ,.......a a a a a a a a a ++++++也成等差数列。
5) 等差数列的判定: 1.定义判定,如:21111=-+n n a a ,则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以_______首项,_______公差的等差数列。
2.根据等差中项3.若通项公式为q pn a n += 格式,如 23-=n a n ,则 {}n a 为等差数列4.若Bn An S n +=2,则 {}n a 为等差数列。
高中数学竞赛培训讲义
2011高中数学竞赛培训教材编者:全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种根本数学语言、一种根本数学工具。
它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数学的根底。
对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程而不断深化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数量关系。
如用集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件,描述排列组合,用集合的性质进展组合计数等。
一、学习集合要抓住元素这个关键例1.设A={X∣X=a2+b2,a、b∈Z},X1,X2∈A,求证:X1X2∈A。
分析:A中的元素是自然数,即由两个整数a、b的平和构成的自然数,亦即从0、1、4、9、16、25……,n2,……中任取两个(一样或不一样)数加起来得到的一个和数,此题要证明的是:两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平和的形式,即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2,M,N∈Z证明:设X1=a2+b2,X2=c2+d2,a、b、c、d∈Z.那么X1X2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2 又a、b、c、d∈Z,故ac+bd、bc-ad∈Z,从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证:S=T。
2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证:〔1〕一切奇数属于M;〔2〕4k-2(k∈Z)不属于M;〔3〕M中任意两个数的积仍属于M。
3.函数f〔x〕=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)假设A={-1,3}时,求集合B.二、集合中待定元素确实定例2.集合M ={X ,XY ,lg(xy)},S ={0,∣X ∣,Y},且M =S ,那么(X +1/Y)+(X2+1/Y2)+……+(X2002+1/Y2002)的值等于( ).分析:解题的关键在于求出X 和Y 的值,而X 和Y 分别是集合M 与S 中的元素。
高中数学竞赛数列专题
高中数学竞赛数列专题数列是高中数学竞赛中常见的重要题型,掌握数列的性质及解题方法对于参加数学竞赛至关重要。
本文将围绕高中数学竞赛数列专题展开讨论,包括数列的定义与性质、常见数列的特征、递推公式的应用、数列的求和与极限等方面的内容。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一系列数,常用字母表示,如$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$。
数列的第一项记作$a_1$,第二项记作$a_2$,第$n$项记作$a_n$。
数列中的数字称为项,项之间的关系由递推关系式表示。
数列的性质包括有界性、单调性以及极限。
有界性是指数列的所有项都满足某个范围,可以是有上界、下界或者同时有上下界。
单调性是指数列的项按照一定的规律递增或递减。
而极限是指数列的项随着$n$的增大逐渐趋于某一个值。
二、常见数列的特征常见数列包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列是指数列的相邻项之间的差值相等,记作$a_n=a_1+(n-1)d$。
其中,$a_n$表示第$n$项,$a_1$表示第一项,$d$表示公差。
等差数列的性质包括:通项公式、前$n$项和公式、末项公式等。
等比数列是指数列的相邻项之间的比值相等,记作$a_n=a_1 \cdotq^{(n-1)}$。
其中,$a_n$表示第$n$项,$a_1$表示第一项,$q$表示公比。
等比数列的性质包括:通项公式、前$n$项和公式、末项公式以及无穷项和公式等。
斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列,记作$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
其中,$a_n$表示第$n$项,$a_{n-1}$表示前一项,$a_{n-2}$表示前两项。
斐波那契数列的性质包括:递推关系式、通项公式、性质应用等。
三、递推公式的应用递推公式是描述数列中项之间的关系的方程式。
通过解递推公式,可以确定数列中任意一项的值。
在数学竞赛中,递推公式的应用非常重要。
解递推公式可以使用递推法、代入法和特殊求和法等不同的方法。
高二数学:数列(讲义)
高二数学:数列(讲义)
数列是数学中极为重要的一个概念,它通常用来描述一组事物的性质,是数学上组织一系列数的有效方式。
它可以概括出许多数学性质,例如等差数列的等差性质。
数学中使用数列的许多应用,几乎无处不能被见,科学计算和大数据分析更是大量使用数列来完成商业活动中的任务。
通常情况下,数列可分为两类:等差数列和等比数列。
等差数列,又称等差级数,即每两项之差(公差)相等。
它大多数情况下是由某个初始数(首项)和某个常量公差组成的,每一个数的值都是比前面数要大的。
通常我们只需记录着数列的首项和公差就可以完成所有等差数列的计算。
等差数列的构成要素有三个:首项、公差、项数,因此,它又可分为等差等比数列。
许多数学性质可以作为数列的研究内容,如求和、等比数列的累加积、关于每一项的表达式以及关于每一项之和的表达式等。
数列在多方面涉及到数学研究,也提供了许多应用,例如计算机编程中使用数列来实现,统计学中使用数列推断,物理学中描述物质运动规律也可使用数列,数学中常涉及到数列的比较、计算等。
几乎在所有数学应用中,都可以看到数列的存在。
《高中数学竞赛》数列讲课稿
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竞赛辅导
数列 ( 等差数列与等比数列 )
数列是高中数学中的一个重要课题,也是数学竞赛中经常出现的
问题。数列最基本的是等差数列与等比数列。
所谓数列,就是按一定次序排列的一列数。如果数列 {a n} 的第 n 项 an 与项数 (下标 )n 之间的函数关系可以用一个公式 an=f(n) 来表示,这 个公式就叫做这个数列的通项公式。
解 : 3a 8 5a13
3( a1 7d) 5(a1 12d )故
an a1 ( n 1) d a1 2a1 ( n 1) a1 (40 2n)
39
39
令 an 0,则 : n 20,当 n 20时 an 0
所以 :S19=S20 最大,选 (C)
注:也可用二次函数求最值
例 6.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 的和为 972,则这样的数列共有 ( )
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常 用字母 d 表示。 等差数列 {an} 的通项公式为: an a1 (n 1)d (1)
前 n 项和公式为: Sn
n(a1 an )
n(n 1)d
na1
( 2)
2
2
从(1)式可以看出, an 是 n 的一次数函 ( d 0 )或常数函数 ( d 0 ), ( n,an )排在一条直线上,由 (2)式知, Sn 是 n 的二次函数 ( d 0 )或一次函 数 ( d 0, a1 0 ),且常数项为 0。在等差数列 { an } 中,等差中项: an 1 a n a n 2 且任意两项 a m , an 的关系为: a n am (n m)d
高中数学竞赛5数列部分
全国高中数学联赛试题分类汇编5.数列部分2019B 8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数,首项12019a =,且对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得12n m a a a a +++=.这样的数列{}n a 的个数为 .2019B 二、(本题满分40分)求满足以下条件的所有正整数n :(1) n 至少有 4 个正约数; (2) 若12k d d d <<<是n 的所有正约数,则21321,,,k k d d d d d d ----构成等比数列。
2018A 8、设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =,5822a a a =+,且{}i i i a a a ++∈+2,11,9,,2,1 =i ,则这样的数列的个数为2018A 一、(本题满分40分)设n 是正整数,n a a a ,,,21 ,n b b b ,,,21 ,B A ,均为正实数,满足:i i b a ≤,A a i ≤,n i ,,2,1 =,且ABa a ab b b n n ≤ 2121。
证明:11)1()1)(1()1()1)(1(2121++≤++++++A B a a a b b b n n 。
2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中,直线l 通过原点,)1,3(=n 是l 的一个法向量.已知数列满足:对任意正整数,点),(1n n a a +均在l 上.若62=a ,则54321a a a a a 的值为2017A 8、设两个严格递增的正整数数列{}n a ,{}n b 满足,对任意正整数,有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+ ,则11b a +的所有可能值为2017B1、在等比数列{}n a 中,22=a ,333=a ,则2017720111a a a a ++为2018A 10、(本题满分20分)已知实数列 321,,a a a 满足:对任意正整数n ,有1)2(=-n n n a S a ,其中n S 表示数列的前n 项和。
2021年最新高中数学竞赛教材讲义第五章数列教师版
x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的
定理 1 设 f ( x) ax b( a 0,1) ,且 x0 为 f (x) 的不动点, { an } 满足递推关系 an f ( an 1) ,
n 2,3, ,证明 { an x0} 是公比为 a 的等比数列。 例 1 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn n 5a n 85 , n N *
an 与前 n 项和 Sn 是确定次数的多项式 (关于 n 的 ),先设出多项
(3) 裂项相消法:其出发点是 an 能写成 an=f(n+1)-f(n) (4) 化归法:把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题,达到简化的目的
例 1.数列 { an} 的二阶差数列的各项均为 16,且 a63=a89=10,求 a51
例 2.一个三阶等差数列 { an} 的前 4 项依次为 30,72,140,240,求其通项公式
解:由性质 (2), an 是 n 的三次多项式,可设
A B C D 30
A1
8 A 4 B 2C D 72
B7
解得
27 A 9 B 3 C D 140
C 14
64 A 16 B 4 C D 240
D8
(3) 如果数列 {an} 是 p 阶等差数列,则其前 n 项和 Sn 是关于 n 的 p+1 次多项式
5.高阶等差数列中最重要也最常见的问题是求通项和前
n 项和,更深层次的问题是差分方程的求解,解决问题的基
本方法有:
(1)逐差法:其出发点是
n1
an=a1+ (ak 1 ak )
k1
(2) 待定系数法:在已知阶数的等差数列中,其通项 式的系数,再代入已知条件解方程组即得
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高中数学竞赛讲义(五)──数列一、基础知识定义1 数列,按顺序给出的一列数,例如1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数列两种,数列{a n}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…,a n或a1, a2, a3,…,a n…。
其中a1叫做数列的首项,a n是关于n的具体表达式,称为数列的通项。
定理1 若S n表示{a n}的前n项和,则S1=a1, 当n>1时,a n=S n-S n-1.定义2 等差数列,如果对任意的正整数n,都有a n+1-a n=d(常数),则{a n}称为等差数列,d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列,即2b=a+c,则称b为a和c的等差中项,若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质:1)通项公式a n=a1+(n-1)d;2)前n项和公式:S n=;3)a n-a m=(n-m)d,其中n, m为正整数;4)若n+m=p+q,则a n+a m=a p+a q;5)对任意正整数p, q,恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1);6)若A,B至少有一个不为零,则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等比数列,若对任意的正整数n,都有,则{a n}称为等比数列,q叫做公比。
定理3 等比数列的性质:1)a n=a1q n-1;2)前n项和S n,当q1时,S n=;当q=1时,S n=na1;3)如果a, b, c成等比数列,即b2=ac(b0),则b叫做a, c的等比中项;4)若m+n=p+q,则a m a n=a p a q。
定义4 极限,给定数列{a n}和实数A,若对任意的>0,存在M,对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<,则称A为n→+∞时数列{a n}的极限,记作定义5 无穷递缩等比数列,若等比数列{a n}的公比q满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前n项和S n的极限(即其所有项的和)为(由极限的定义可得)。
定理3 第一数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法:给定命题p(n),若:(1)p(n0)成立;(2)当p(n)对一切n ≤k的自然数n都成立时(k≥n0)可推出p(k+1)成立,则由(1),(2)可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n=ax n-1+bx n-2,设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若αβ,则x n=c1a n-1+c2βn-1,其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定;(2)若α=β,则x n=(c1n+c2) αn-1,其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。
二、方法与例题1.不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普遍方式。
通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明);1)0,3,8,15,24,35, (2)1,5,19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。
【解】1)a n=n2-1;2)a n=3n-2n;3)a n=n2-2n.例2 已知数列{a n}满足a1=,a1+a2+…+a n=n2a n, n≥1,求通项a n.【解】因为a1=,又a1+a2=22·a2,所以a2=,a3=,猜想(n≥1).证明;1)当n=1时,a1=,猜想正确。
2)假设当n≤k时猜想成立。
当n=k+1时,由归纳假设及题设,a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] a k+1,,所以=k(k+2)a k+1,即=k(k+2)a k+1,所以=k(k+2)a k+1,所以a k+1=由数学归纳法可得猜想成立,所以例3 设0<a<1,数列{a n}满足a n=1+a, a n-1=a+,求证:对任意n∈N+,有a n>1.【证明】证明更强的结论:1<a n≤1+a.1)当n=1时,1<a1=1+a,①式成立;2)假设n=k时,①式成立,即1<a n≤1+a,则当n=k+1时,有由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。
2.迭代法。
数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立,因此可将其中的n换成n+1或n-1等,这种办法通常称迭代或递推。
例4 数列{a n}满足a n+pa n-1+qa n-2=0, n≥3,q0,求证:存在常数c,使得·a n+【证明】·a n+1+(pa n+1+a n+2)+=a n+2·(-qa n)+=+a n(pq n+1+qa n)]=q().若=0,则对任意n, +=0,取c=0即可.若0,则{+}是首项为,公式为q的等比数列。
所以+=·q n.取·即可.综上,结论成立。
例5 已知a1=0, a n+1=5a n+,求证:a n都是整数,n∈N+.【证明】因为a1=0, a2=1,所以由题设知当n≥1时a n+1>a n.又由a n+1=5a n+移项、平方得①当n≥2时,把①式中的n换成n-1得,即②因为a n-1<a n+1,所以①式和②式说明a n-1, a n+1是方程x2-10a n x+-1=0的两个不等根。
由韦达定理得a n+1+ a n-1=10a n(n≥2).再由a1=0, a2=1及③式可知,当n∈N+时,a n都是整数。
3.数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6 已知a n=(n=1, 2, …),求S99=a1+a2+…+a99.【解】因为a n+a100-n=+=,所以S99=例7 求和:+…+【解】一般地,,所以S n=例8 已知数列{a n}满足a1=a2=1,a n+2=a n+1+a n, S n为数列的前n项和,求证:S n<2。
【证明】由递推公式可知,数列{a n}前几项为1,1,2,3,5,8,13。
因为,①所以。
②由①-②得,所以。
又因为S n-2<S n且>0,所以S n, 所以,所以S n<2,得证。
4.特征方程法。
例9 已知数列{a n}满足a1=3, a2=6, a n+2=4n+1-4a n,求a n.【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.故设a n=(α+βn)·2n-1,其中,所以α=3,β=0,所以a n=3·2n-1.例10 已知数列{a n}满足a1=3, a2=6, a n+2=2a n+1+3a n,求通项a n.【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,所以a n=α·3n+β·(-1)n,其中,解得α=,β,所以·3]。
5.构造等差或等比数列。
例11 正数列a0,a1,…,a n,…满足=2a n-1(n≥2)且a0=a1=1,求通项。
【解】由得=1,即令b n=+1,则{b n}是首项为+1=2,公比为2的等比数列,所以b n=+1=2n,所以=(2n-1)2,所以a n= 0注:C1·C2·…·C n.例12 已知数列{x n}满足x1=2, x n+1=,n∈N+, 求通项。
【解】考虑函数f(x)=的不动点,由=x得x=因为x1=2, x n+1=,可知{x n}的每项均为正数。
又+2≥,所以x n+1≥(n≥1)。
又X n+1-==, ①X n+1+==, ②由①÷②得。
③又>0,由③可知对任意n∈N+,>0且,所以是首项为,公比为2的等比数列。
所以·,所以,解得·。
注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。
三、基础训练题1.数列{x n}满足x1=2, x n+1=S n+(n+1),其中S n为{x n}前n项和,当n≥2时,x n=_________.2. 数列{x n}满足x1=,x n+1=,则{x n}的通项x n=_________.3. 数列{x n}满足x1=1,x n=+2n-1(n≥2),则{x n}的通项x n=_________.4. 等差数列{a n}满足3a8=5a13,且a1>0, S n为前n项之和,则当S n最大时,n=_________.5. 等比数列{a n}前n项之和记为S n,若S10=10,S30=70,则S40=_________.6. 数列{x n}满足x n+1=x n-x n-1(n≥2),x1=a, x2=b, S n=x1+x2+…+ x n,则S100=_________.7. 数列{a n}中,S n=a1+a2+…+a n=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8. 若,并且x1+x2+…+ x n=8,则x1=_________.9. 等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,若,则=_________.10. 若n!=n(n-1)…2·1, 则=_________.11.若{a n}是无穷等比数列,a n为正整数,且满足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36,求的通项。
12.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,数列{}是公比为q的等比数列,且b1=1, b2=5, b3=17, 求:(1)q的值;(2)数列{b n}的前n项和S n。
四、高考水平训练题1.已知函数f(x)=,若数列{a n}满足a1=,a n+1=f(a n)(n∈N+),则a2006=_____________.2.已知数列{a n}满足a1=1, a n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)a n-1(n≥2),则{a n}的通项a n=.3. 若a n=n2+, 且{a n}是递增数列,则实数的取值范围是__________.4. 设正项等比数列{a n}的首项a1=, 前n项和为S n, 且210S30-(210+1)S20+S10=0,则a n=_____________.5. 已知,则a的取值范围是______________.6.数列{a n}满足a n+1=3a n+n(n∈N+) ,存在_________个a1值,使{a n}成等差数列;存在________个a1值,使{a n}成等比数列。