普朗克公式的推导
普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式
普朗克公式推导维恩公式和瑞利金斯公式
普朗克公式是描述黑体辐射能谱的一个基本公式，它可以推导出维恩公式和瑞利金斯公式。
普朗克公式为：
$$B_\lambda(\lambda,
T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/\lambda
k_BT}-1}$$
其中，$B_\lambda(\lambda, T)$表示单位面积、单位波长的辐射能量密度，$\lambda$为波长，$T$为温度。
$h$为普朗克常数，
$c$为光速，$k_B$为玻尔兹曼常数。
当求导$B_\lambda(\lambda, T)$关于$\lambda$，并令导数为零时，可以得到$\lambda_{\rm{max}}T= 2.898\times 10^{-3}\
\rm{m\cdot K}$，即维恩位移定律，它告诉我们，对于不同温度的黑体，辐射能量密度的峰值波长$\lambda_{\rm{max}}$和温度成反比。
当波长$\lambda$趋近于零时，可以将普朗克公式化简为瑞利金斯公式：
$$B_\lambda(\lambda,
T)\rightarrow\frac{2hc^2}{\lambda^4}$$
这表明在紫外光区，辐射能量密度与波长的四次方成反比。
这就是瑞利金斯定律。
普朗克黑体辐射公式推导(精.选)
普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。
普朗克公式的推导
普朗克公式的推导Derivation of Planck’s law首先，考虑一个边长为L的正方体盒子，里面充满了电磁辐射，能够发出形成受盒子大小限制的驻波。
我们假设这些波不发生干涉，所以可以被划分为在三个笛卡尔坐标系方向上。
波长如下：是非零自然数，i代表笛卡尔坐标系的三个维度）根据量子力学，一个给定态的能量可以用如下表示：h代表普朗克常量，N代表这种这种态的个数，或是光子数，或是给定能量数。
重要的是，不像电子，无限数量的一种态或是光子，其给定的能量是存在的。
其符合玻色爱因斯坦统计。
其次考虑光子气的统计力学：为了推导光子气的能量密度，我们首先需要知道在给定温度下，一种光子气的能量状态可能和哪些物理量有关。
我们求助于统计力学，其揭示的公式如下：这里代表的是热力学能量的倒数，即, Z（）是一个因子，被称为分割函数。
其公式如下：=其中=，即单个光子的能量根据统计力学，一种给定态的平均能量（其和平均光子数有关）可表示为=光子气的能量密度：现在，我们有了给定态的平均能量的表达式，我们可以积分所有态的表达式，来寻找光子气的总能量，其可表示为：=是指状态密度的函数，它给出了在单位能量间隔中，允许存在的态的个数。
可表示为所以单位体积的能量为：被积函数是光谱能量密度，该式还可以用波长和频率表达=黑体辐出度：现在假设，黑体的一侧被挖了一个小孔，所有从这个小孔辐射出的辐射波都以光速前进。
而且这些辐射出的波以2的半球立体弧度均匀分配，并且有一半能量是朝外发射的所以光谱辐出度可以被定义为单位波长的单位立体角的单位区域的辐射出的能量。
普朗克定律推导
普朗克定律推导普朗克定律是物理学中重要的一条定律，描述了辐射能量与频率之间的关系。
下面我们将对普朗克定律进行推导，从而进一步理解该定律的原理和应用。
1.黑体辐射和能量量子化假设普朗克定律最初是由德国物理学家马克斯·普朗克在1900年提出的。
他研究黑体辐射时发现，按照经典电磁理论，预测的黑体辐射能谱与实验结果发现的不一致。
为了解决这一矛盾，普朗克提出了能量量子化假设。
他认为辐射能量是以离散的形式存在的，而不是连续的。
根据这一假设，能量以量子的形式，即能量子，进行传递和吸收。
2.能量量子和频率的关系根据普朗克的能量量子化假设，辐射能量E和频率ν之间存在简单的线性关系。
将这种关系表示为：E=ℎ⋅ν其中，E表示能量，ν表示频率，h是普朗克常数，其值约为6.63 × 10^-34 J·s。
这个表达式告诉我们，能量的大小与频率成正比，也就是说，频率越高，能量就越大。
3.普朗克辐射定律基于能量量子化假设和热平衡原理，普朗克进一步推导出了描述黑体辐射能谱的数学公式，即普朗克辐射定律。
该定律表明，黑体辐射的能量密度与频率之间的关系。
普朗克辐射定律的数学表达式为：Bν(T)=2ℎν3c2⋅1eℎν/(kT)−1其中，Bν(T)表示频率为ν时的黑体辐射能量密度，T表示温度，c表示光速，k表示玻尔兹曼常数。
这个公式告诉我们，黑体辐射的能量密度与温度和频率有关。
随着温度的升高，能量密度增加，频率越高的辐射能量密度越大。
4.普朗克定律的应用普朗克定律在物理学和工程学的多个领域都得到了广泛应用。
4.1 量子力学在量子力学中，普朗克定律为量子化的能量提供了理论基础，并启发了波粒二象性的理解。
它为我们理解物质和能量之间的关系提供了一个重要的框架。
4.2 光子学普朗克定律的能量量子化假设为光子学的发展奠定了基础。
光子是能量量子的传播单位，普朗克定律描述了光子能量与频率之间的关系。
光子学的应用包括激光技术、光通信和光学传感器等。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量。
它是由德国物理学家Max Planck在1900年提出的，他认为，物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。
普朗克黑体辐射公式的表达式为：
E=σT^4
其中，E表示物体发射的辐射量，σ表示普朗克常数，T表示物体的温度。
普朗克黑体辐射公式的推导过程如下：
首先，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度有关，并且可以用一个公式来表示。
其次，Max Planck假设物体发射的辐射量与温度的四次方成正比，即E=kT^4，其中k为
一个常数。
最后，Max Planck根据实验结果，求出了k的值，即普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑
体辐射公式：E=σT^4。
普朗克黑体辐射公式是物理学中一个重要的公式，它描述了物体在温度T时发射的辐射量，是Max Planck在1900年提出的，它的推导过程是Max Planck假设物体发射的辐射量与
温度的四次方成正比，根据实验结果，求出了普朗克常数σ，最终得到了普朗克黑体辐射
公式：E=σT^4。
它为物理学的发展做出了重要贡献，并且在现代物理学中仍然具有重要
的意义。
普朗克公式的推导
结果：公式中包含了能量与频 率、波长的关系，与实验结果
相符
影响：为后续研究黑体辐射 奠定了基础
普朗克提出能量量 子化假设
能量子具有离散性，不能连 续变化
普朗克提出能量量子化假设
能量子的能量与频率成正比
能量子的存在解释了黑体辐 射实验的现象
时间：1900年 人物：普朗克 背景：为了解释黑体辐射实验结果 假设内容：能量是由离散的能量子组成，而不是连续变化的
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量子力学：普朗克公式是量子力学的基础，为研究微观粒子提供了重要 的理论支持。
黑体辐射：普朗克公式用于描述黑体辐射的能量分布，是理解热辐射和 能量传输的重要工具。
光电效应：普朗克公式解释了光电效应中光子能量与光电子动能之间的 关系，为光电器件的设计和应用提供了理论依据。
普朗克公式的推导汇报人：来自X目录普朗克公式的背景
普朗克提出能量量 子化假设
普朗克公式的推导 过程
普朗克公式的意义 与影响
普朗克公式的应用
普朗克公式的背景
背景：19世纪 末，物理学家 发现经典物理 学无法解释黑 体辐射的实验
结果
推导过程：普 朗克提出能量 量子化假设， 解决了黑体辐
射问题
意义：普朗克 公式成为量子 力学的基石之 一，对物理学 的发展产生了
普朗克公式的推导过程是量子力学发展的重要里程碑，为后续的量子理论奠定了基础
普朗克假设：能量只能以离散的形式发射或吸收，且其值为E=nhf，其中n为正整数。
推导过程：根据量子化条件和经典力学中的能量连续性，普朗克通过数学推导得到能量子公 式E=nhf，其中h为普朗克常数。
意义：常数h的引入，使得能量不再是连续变化的，而是量子化的，从而奠定了量子力学的 基础。
黑体辐射的普朗克公式推导
黑体辐射的普朗克公式推导普朗克公式描述了黑体辐射的能量分布。
为了推导普朗克公式，我们可以按照以下步骤进行。
首先，我们考虑一个处于热平衡状态的黑体辐射腔室。
由于电磁波是由光子组成的，我们可以将其视为一种粒子，具有能量E和频率ν的量子。
根据量子理论，光子的能量与其频率之间存在关系：E = hν，其中h是普朗克常数。
接下来，我们考虑在辐射腔室中的光子数目与能量之间的关系。
根据统计物理学中的玻尔兹曼分布定律，光子数目n与能量E之间满足以下关系：n(E) = (1 / (exp(E / (kT)) - 1)在这里，k是玻尔兹曼常数，T是绝对温度。
该公式描述了光子在不同能量级上的分布情况。
为了得到黑体辐射的能量分布，我们需要计算每个能量级上光子的平均能量。
因此，我们可以使用平均能量公式：<E> = Σ(n * E) / Σn其中，Σ表示对所有能量级求和。
我们将这个表达式应用到光子数目公式中，得到：<E> = Σ((E / (exp(E / (kT)) - 1)) / Σ(1 / (exp(E / (kT)) - 1))接下来，我们将求和转化为积分，以便对能量连续变化的情况进行处理。
通过引入积分变量x = E / (kT)，我们可以将上述表达式重写为：<E> = ∫((x^3 / (exp(x) - 1)) / ∫(x^2 / (exp(x) - 1))这就是普朗克公式的推导过程。
最后，我们可以根据上述公式计算不同温度下黑体辐射的能量分布。
需要注意的是，上述推导过程涉及了一些复杂的数学运算和近似方法，包括积分转换、级数展开等。
因此，要完整地推导出普朗克公式需要更详细的数学推导。
黑体辐射普朗克公式推导
黑体普朗克公式推导1． 空腔内的光波模式数在一个由边界限制的空间V 内，只能存在一系列独立的具有特定波矢k 的平面单色驻波。
这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以k 为标志。
设空腔为立方体，如下图x图1 立方体空腔沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∆=∆=∆222λλλq z n y m x (1)式中m 、n 、q 为正整数。
将xx k λπ2=代入(1)式中，有xm k x ∆=π则在x 方向上，相邻两个光波矢量的间隔为： xx m x m k x ∆=∆--∆=∆πππ)1( 同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆∆=∆∆=∆z k y k x k zy x πππ (2)因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 Vzy x k k k z y x 33ππ=∆∆∆=∆∆∆ (3)xk y图2 波矢空间在波矢空间中，处于k 和k d 之间的波矢k 对应的点都在以原点为圆心、k 为半径、k d 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为()k k k k k d 4d 3434233πππ=-- (4) 式中k =k 、k d d =k 。
根据(1)式的驻波条件，k 的三个分量只能取正值，因此k d 和k d 之间的、可以存在于V 中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以2d 8d 422kk k k V k ππ== (5) 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为V kk V V M k 223d /2ππ== (6) 式中乘以2是因为每个光波矢量k 都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。
由于λπ2=k ，λλπd 2d 2=k ，上式可以用波长形式表示，即在体积为V 的空腔内，波长λλd +间隔的光波模式数为：λλπd 84VM = (7)2． 黑体辐射公式黑体辐射是黑体温度T 和辐射场波长λ的函数。
普朗克黑体辐射公式的详细推导
普朗克黑体辐射公式的详细推导辐射是物体由于内部热运动而产生的电磁波。
普朗克假设黑体辐射是由许多振动的谐振子（即电磁振子）组成的，每个谐振子只能具有离散能量值。
普朗克假设这些能量是量子化的，即能量E只能取整数倍的基本能量hν，其中ν为辐射频率。
设一个振子的能量为E，频率为ν，则E=hν。
普朗克认为振子的能量只能取整数倍的基本能量hν，因此振子的能量只能是离散的。
假设在单位时间内，频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为n(E,ν)。
则单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数为：n(E,ν)dEdν为了求解n(E,ν)，我们需要引入玻尔兹曼分布和玻尔兹曼常数k。
在热平衡状态下，系统中具有能量E的状况数（即相同的谐振子数）为：W(E)=n(E,ν)*e^(-E/kT)其中，T为系统的温度，n(E,ν)为单位体积内频率在ν到ν+dν范围内，能量在E到E+dE范围内的谐振子数。
根据统计物理学的理论，系统的熵S与状况数W的关系为：dS = k * ln W(E)将W(E)代入上式并对E求微分，我们可以得到：dS = k * [ d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) ]根据熵的最大化原理，熵是关于能量的单调递增函数，即dS>=0，即有：d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν) >= 0 （式1）我们将式1两边对E积分，可得：∫(d(n(E,ν)) - (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν) （式2）其中，积分区间为0到E。
对式2进行变换，得到：n(E,ν) - (∫0到E (E/kT) * dn(E,ν)) = ∫0到E dn(E,ν)整理后，我们可以得到：n(E,ν)=[∫0到E(1/e^(E/kT))]*n(E,ν)令x=E/(kT)，则式子变为：n(E,ν)=[∫0到x(1/e^x)]*n(E,ν)通过计算可知，上式的积分结果为：∫0到x(1/e^x)=1-(1+x)e^(-x)将该结果代入n(E,ν)的表达式中，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+x)e^(-x))*n(E,ν)（式3）进一步简化，我们可以得到：n(E,ν)=(1-(1+E/(kT))e^(-E/(kT)))*n(E,ν)（式4）根据统计物理学的经验公式，单位体积频率为ν到ν+dν范围内，能量为E到E+dE范围内的谐振子数n(E,ν)与能量E的关系为：n(E,ν)=C*E^3*1/(e^(E/(kT))-1)（式5）其中，C为常数。
普朗克公式的推导
普朗克公式的推导
普朗克在解释能量热辐射时提出能量量子化的假设：辐射源是一系列带电的谐振子，它能够同周围的电磁场交换能量，振子能量不连续，是一个量子能量hv ε=的整数倍。
根据经典理论，振子能量为n ε的几率n kT
e ε-∝p ，
设n kT
p ae ε-=，则谐振子平均能量为
n kT
p n a n e
εεεε-=∑∙=∑，且1p ∑=，
故n n kT
kT n kT
a n e
ne
p
e
εεεεεε-
--
∑∑=
∑∑=，
利用级数展开式11n x x =∑-和0ny
ny n d ne e dy ∞
∞--==-∑∑n=0
， 可得1
kT e ε
ε
ε=
-；
空腔单位体积内频率在dv
νν +的振子数目为
2
38v dv c
π（Rayleigh-Jeans 公式中证明的），又有hv ε=，可得：
()3
3811
h kT
hv dv dv c
e
νπρν=∙
-
这就是普朗克黑体辐射公式。
参考资料：
《量子力学导读》 浙江大学出版社 《热力学与统计物理》 科学出版社。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式的推导所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。
黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。
辐射热平衡状态:处于某一温度T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。
实验发现：热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度T 有关而与黑体的形状和材料无关。
实验得到： 1.Wien 公式从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式：Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。
2. Rayleigh-Jeans 公式Rayleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且∞→=⎰∞v v d E E ，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是4T E σ=，该式叫做Stefan-Bolzmann 公式，σ叫做Stefan-Bolzmann 常数。
3. Planck 黑体辐射定律1900年１２月１４日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。
作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1）原子的性能和谐振子一样，以给定的频率v 振荡； （2）黑体只能以E=hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量。
得到：νννπνρνd kT h C h d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1)/exp(1833该式称为Planck 辐射定律 h 为普朗克常数，h=s j .10626.634-⨯4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为).(),(wt r K i k k e C t r -=αβψ，为常系数振方向，表示两个互相垂直的偏ααk C 2,1=每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在()νννd +,内的自由度数为()ννd g ，则（0，v ）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为()()ννννd g G ⎰=0。
普朗克黑体辐射公式推导
普朗克黑体辐射公式推导步骤1：假设黑体内的辐射能量由一系列处于不同能级上的振子所组成。
考虑到振子的能量是量子化的，那么每个振子只能具有离散的能量，即E = nhv，其中E为能量，n为量子数，v为辐射频率，h为普朗克常数。
步骤2：设想黑体内的振子可以具有不同的能量量子数n，表示各个振子能量的分布情况。
我们假设振子的能量量子数n符合玻尔兹曼分布，即n能级的占有数为exp(-E_n / kT)，其中E_n为n能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为黑体的温度。
步骤3：进一步假设振子的能量量子数n的平均值为，每个振子的能量为E = nhv，则黑体的总能量可以表示为U = ∑(nE) = ∑(nhvexp(-E_n / kT))。
在这里，∑代表对所有能级进行求和。
步骤4：将能量量子数n的平均值表示为，并代入总能量公式。
整理得:U = ∑((nvexp(-E_n / kT))hv步骤5：通过积分，将对所有可能的能级n进行求和替换为对能量E的积分。
利用代换关系dn = dE / hv，将求和替换为积分。
同样，将E_n也替换为E。
U = ∫(Eexp(-E / kT)) / (hv) * dE步骤6：对积分进行推导求解，得到：U = (kT)^4 / (h^3c^2) * ∫(E^3 / (exp(E / kT) - 1)) * dE这就是普朗克黑体辐射公式的具体形式，其中c为光速。
该公式描述了黑体辐射频谱与温度之间的依赖关系，表征了能量密度与频率的分布规律。
简单总结一下，普朗克黑体辐射公式的推导基于能量量子化和能级分布的假设。
通过对振子能量的分布以及总能量的计算，得到了描述黑体辐射的具体公式。
这个公式的重要性在于引入了能量的量子化概念，为后来量子力学的发展奠定了基础。
插值法推导普朗克公式
插值法推导普朗克公式1. 相图与绝热不变量的几何意义承接上文，我们已经讲过了绝热不变原理的导出过程，虽然之前我一直都在用的形式在计算，但是，实际在某些领域我们应用绝热不变原理的时候，还是以用的比较多，原因当然是“我们大家都爱相空间”啦！用广义动量p和广义坐标q来表示的话，我们就能更明显的看出绝热不变量的几何意义。
譬如这道题我们画出它的相图如下我们可以看出，环路积分就是相图的面积（相体积）而我们的绝热不变原理说的也就是说，浸渐过程中，相空间中的相体积守恒，这个长方形随着时间的演变可以变成这样：或者这样但是无论你怎么变，这玩意的体积永远不变。
这就是绝热不变原理的几何意义。
如果你知道刘维尔定理的话，那么就好解释多了，这其实就是单粒子情况下的刘维尔定理——相空间任意区域在运动过程中体积不变。
对于单粒子当然也是成立的。
我们知道，对于一般的保守系统，能量守恒，相图是稳定的，不变的。
用最简单的一维谐振子模型来说明，它的相图是随时间不变的，如下：如果是一般的耗散过程的话，相图的面积会变小，而且形状也会改变。
但是，我们的绝热不变过程恰好是处于两者之间的一种情况——形状随时间改变，但是面积却不改变。
之所以绝热不变过程会有这么好的性质，本质原因就在于它的“缓变”。
对于非保守系统来说，一般会有“相流”的产生，使得相体积减小。
但是对于绝热不变过程来说，由于相流大小与参数λ的变化率成正比，而所以相流大小也趋于零，这就造成了绝热不变过程“变中有不变，不变中有变”的奇特现象。
从以上分析，我们也能发现为什么绝热（adiabatic）不变过程，被称作“绝热”不变过程。
它“绝”的不是“热（能量）”——它的能量确实是随时改变的，并不是保守系。
它“绝”的是“相（体积）”。
热学里的绝热过程指的是体系能量守恒，与外界没有热量传递（能流）。
而在绝热不变过程中，我们的体系相体积守恒，与外界没有相体积交换（相流）。
这么类比一下，我们就能理解当时埃伦菲斯特给他的得意之作起这个名字的原因了。
二维空间 平衡辐射的普朗克公式
二维空间平衡辐射的普朗克公式普朗克公式是物理学中的重要公式之一，它描述了二维空间中的平衡辐射。
平衡辐射是指一个物体既吸收辐射，又发射辐射，且吸收和发射之间达到了平衡状态。
普朗克公式的推导基于黑体辐射的研究。
黑体是一种能够吸收并完全发射所有入射辐射的理想物体。
实际上，没有物体完全符合黑体的特性，但黑体的研究可以为我们提供有关辐射的重要信息。
普朗克公式的表达式为：B(λ, T) = (2hc²/λ⁵) / (exp(hc/λkT) - 1)其中，B(λ, T)代表单位面积单位波长的辐射能量，λ为波长，T为绝对温度，h为普朗克常数，c为光速，k为玻尔兹曼常数。
从公式中可以看出，辐射能量与波长的关系是一个反比关系，即波长越短，辐射能量越大。
这符合我们在日常生活中的观察，例如太阳辐射的能量主要集中在可见光波段，而紫外线和红外线的能量较低。
另外，从公式中还可以看出，辐射能量与温度的关系是一个指数函数。
随着温度的升高，辐射能量呈指数增长。
这也符合热辐射的特性，即温度越高，物体的辐射能力越强。
普朗克公式的应用非常广泛。
它不仅可以用于黑体辐射的研究，还可以用于描述其他类型的辐射，如电磁辐射和热辐射。
在实际应用中，普朗克公式可以用于计算物体的辐射功率和能量分布。
通过测量物体的辐射能量，我们可以了解物体的热特性，如温度和能量分布。
此外，普朗克公式还为研究热辐射的能量转换提供了基础。
热辐射的能量转换是指辐射能量的吸收和发射过程。
根据普朗克公式，我们可以计算辐射能量的吸收率和发射率，进而研究物体的热平衡状态。
总之，普朗克公式是研究二维空间中平衡辐射的重要工具。
它描述了辐射能量与波长和温度的关系，为我们理解辐射现象提供了基础。
通过应用普朗克公式，我们可以计算辐射能量、了解物体的热特性，以及研究热辐射的能量转换过程。
这对于物理学、天文学、材料科学等领域的研究具有重要意义。
普朗克辐射公式的几种理论推导Ⅱ
Bm n
和
n Bm
都是常数 1 这两种过程称为 “激发辐射作用下的状态变化 1”
现在我们要推算那个有效能量密度 ρ, 它必须使辐射同分子之间的能量交换按照统 计律 ( 3) , ( 4) 和 ( 5) 那样来进行 , 而又不破坏等式 ( 1) 的分子状态分布 1 为此 , 必要和充分 的条件是 :在每一个单位时间内 , ( 4) 类基元过程的平均发生次数应当等于 ( 3) 和 ( 5) 两类 的次数之和 1 根据 ( 1) , ( 3) , ( 4) , ( 5) , 这个条件给出了对应于组合指数 ( m , n ) 的基元过 程的等式 : -ε / kT m -ε / kT n n ( Bm ρ+ A m ) ( 6) P ne B nρ = Pm e 式中 Pn 和 Pm 是状态 Z n 和 Z m 的统计权重 1 此外 , 如果我们充许能量密度 ρ必须随
Z m , 在这个过程中分子吸收能量 ε n - ε m , 根据几率定律 ,
d W = Bm dt nρ
- ε n 被释放出来 , 根据几率定律 ,
n ρ d W = Bm dt
( 4)
在辐射作用下 , 分子从状态 Z m 跃迁到 Z n 同样也是可能的 , 在这过程中 , 辐射能量ε m
( 5)
du ∫
0
W
= 3 nk T
( 4)
通过动力学理论可得空腔内壁单位面积上光原子每秒钟碰撞数为 1/ 6 nc , 每个光原 子的动量为 w / c1 于是单位面积上的压力 , 即压强为
2 ( 1 / 6 ) nc ( w / c) = ( 1/ 3 ) n w = nk T
( 5) ( 6)
根据热力学公式 , 可得 d S = ( 1/ T ) ( d u + p d V ) — 3 —
普朗克从其公式中推导出的
普朗克从其公式中推导出的
波普朗克（Planck）定律是物理学的基本原理之一，它最初由德国物理学家Max Planck提出，并推导出一个物理定律，即物体在受到热力的作用时，会以一种称为频谱的分布方式散发红外辐射，并可由以下著名公式来描述：
E=hv，其中h是普朗克常数（约6.626×10^-27 erg-s），而v则为受热物体散发出红外辐射的频率。
普朗克定律是物理学中宸曦诺拉怡重要的物理定律，它有可能改变我们关于物理世界的理解。
该定律最早是由Max Planck提出，由热力作用而散发出红外辐射的物体会以一种频谱的分布方式发射出来，并可由普朗克定律的此一公式来反映，即E=hv。
波普朗克定律的提出，实质上已经改变了许多科学研究的方向，在热力学、光学和原子物理的研究方面都发挥了重要的作用，从而奠定先进的物理学和化学的发展基础。
该定律还被应用到其他学科领域中，如传输站通信、信道发射和红外成像技术等，为传信技术的发展提供了强有力的理论基础。
普朗克定律是一个实用型定理，学习这一物理定律十分有必要，学生们应该熟悉普朗克定律的内容，以及利用以上公式描述物体受热后散发的红外辐射的分布规律等。
这样可以更加深入地理解普朗克定律所体现出来的宽广的物理规律，加深对物理学理论的了解。
普朗克长度的推导过程
普朗克长度的推导过程1. 引子嘿，大家好！今天我们聊聊一个有点儿神秘、却又超级酷的概念——普朗克长度。
听上去像是科幻电影里的东西，但其实它跟物理学的基础知识紧密相连。
普朗克长度是什么呢？简单说，就是一个非常非常小的长度单位，甚至小到我们无法想象的地步。
要知道，普朗克长度大约是 (1.6 times 10^{35) 米，这简直比原子还要小一百倍，真是个“微不足道”的存在，哈哈。
不过，它却在物理学中占有一席之地，今天就带大家来看看这个小家伙是怎么“出生”的！2. 普朗克长度的概念2.1 什么是普朗克长度？普朗克长度，可以说是宇宙的“最小尺度”，我们用它来衡量那些在量子层面上发生的事情。
想象一下，你在一个很小很小的地方，所有的物理法则都变得奇怪无比，嘿，这里就是普朗克长度的世界。
它是由德国物理学家马克斯·普朗克提出的，普朗克是个不简单的人，他在量子理论上可是个开创者。
普朗克长度就像是物理学的微型罗盘，帮助我们在这个微观世界中找到方向。
2.2 普朗克长度的重要性很多人会问，这个长度有什么用呢？其实，普朗克长度不仅仅是个数学符号，它的存在让我们更好地理解空间、时间和引力的本质。
比方说，爱因斯坦的相对论告诉我们，时间和空间是可以弯曲的，而普朗克长度恰恰是这个理论的一个基石。
如果没有普朗克长度，很多复杂的物理现象就像是无头苍蝇，转来转去却没有方向。
3. 推导普朗克长度3.1 公式的组合那么，普朗克长度是怎么推导出来的呢？其实，这个过程就像是拼图，得把几个重要的物理常数组合在一起。
首先，我们得用到光速 (c)、普朗克常数 (h) 以及引力常数(G)。
你瞧，这三样东西就像是宇宙的三位“大咖”，没有它们，你就不可能构建出普朗克长度这个概念。
3.1.1 光速光速是个神奇的数字，约等于 (3 times 10^8) 米每秒。
它不仅是光传播的速度，更是宇宙中信息传递的速度上限。
无论你多想飞，也不能超过它，这就像在生活中，我们总有一些界限，不能随便跨越。
普朗克长度推导
普朗克长度推导普朗克长度是物理学中一个重要的概念，它是由德国物理学家马克斯·普朗克在1900年提出的。
普朗克长度是量子力学的基本单位之一，它描述了量子领域的尺度。
普朗克长度的定义是通过普朗克常数来确定的。
普朗克常数是一个基本物理常数，通常用符号h表示，它的数值约为 6.62607015 × 10^-34 J·s。
普朗克长度的数值等于普朗克常数除以2π再开方。
普朗克长度的计算公式如下：l_p = √(h / (2πc))其中，l_p表示普朗克长度，h表示普朗克常数，c表示光速。
普朗克长度的数值约为 1.616255 × 10^-35 米。
这个数值非常小，相当于10的负35次方米。
普朗克长度是宇宙中最小的尺度，它远小于原子核的尺度，甚至远小于电子的尺度。
普朗克长度的重要性在于它标志着量子领域的起点。
在普朗克长度以下的尺度，传统的经典物理学无法描述物体的行为。
只有运用量子力学的理论和方法，才能够解释和预测微观世界的现象。
普朗克长度的概念对于理解黑洞、宇宙起源和宇宙奇点等问题也具有重要意义。
在黑洞中，物质被压缩到极端的程度，尺度可能小到接近或小于普朗克长度。
这时，量子效应将变得非常显著，传统的物理学理论将无法适用。
宇宙的起源也涉及到普朗克长度。
据宇宙大爆炸理论，宇宙的起点是一个极小且极高密度的奇点。
在这个奇点中，物质和能量的密度可能非常接近或超过普朗克密度，也就是普朗克长度所对应的密度。
这时，量子效应将起到决定性作用，而传统的物理学理论将失效。
普朗克长度的研究对于推动物理学的发展和深化我们对宇宙的认识具有重要意义。
通过研究普朗克长度，科学家们可以更好地理解量子领域的规律和行为，探索宇宙的起源、演化和结构。
普朗克长度是物理学中一个重要的概念，它描述了量子领域的尺度。
通过普朗克长度，我们可以更好地理解量子力学和宇宙的奥秘。
普朗克长度的研究对于推动物理学的发展和深化我们对宇宙的认识具有重要意义。
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1 / 11 / 11 / 1 普朗克公式的推导
普朗克在解释热辐射时提出了一个能量量子化的假设辐射中心是带电的谐振子，它能够同周围的电磁场交换能量 hv ε=谐振子的能量是不连续的，是一个量子能量的整数倍 /n kt n e εε-∞根据经典理论，能量为的几率p
()/////0/2
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设则谐振子平均能量为
而且故=利用级数展开公式和可得空腔内单位体积内频率在v v+的振动数目为所以能量密度为v 将()33/811
n kt hv hv dv dv c e εεπρ-==•-代入可得
v 这就是普朗克黑体辐射公式
参考资料：
《量子力学导读》 浙江大学出版社 《热力学与统计物理》 科学出版社。