2013年武汉理工大学数学建模训练题目

第1题：箱子的摆放策略

某省内知名企业生产的产品用形状为长方体的箱子包装，使用叉车将这些箱子从生产车间运输至仓库。这些箱子叠放在叉车的正方形底板上，如下图所示，叉车置放箱子的底板是一个边长为1.1米的正方形。箱子的规格是统一的（所有箱子的长方形底面的尺寸相同）。通常在一次运输中，箱子像下图中这样横着放，或者竖着放。下图所示的便是一种可行的摆放方法，但不一定是最优的。现在这家企业需要你们帮助建立一个通用的优化模型，使得给定长方形箱子的长和宽之后，利用这个模型就能算出该如何摆放箱子（不需考虑箱子的高度，即只考虑摆放一层箱子），才能使得一次摆放的箱子数量最多。

问题1 如果不允许箱子超出叉车底板（如上图所示情形），也不允许箱子相互重叠，建立一个优化模型，考虑如何摆放这些箱子，才能使摆放的箱子数量最多?

利用你们构建的模型，分别计算出对于下表中型号1、型号2和型号3的箱子，最多可以摆放多少个？该如何摆放？如果你们能画出摆放示意图，那么将有助于这家企业更快地理解你们的方法。

问题2 假设箱子的密度都是均匀的，允许箱子在正方形底板的上方，左边，右边部分超出底板（下方紧靠叉车壁，不能超出），但不至于掉落出叉车底板。对于这种情况，重新建立优化模型,并针对上表中三种型号的箱子, 分别计算最多可以摆放多少个箱子？该如何摆放?画出摆放示意图。

问题3在不允许箱子相互重叠的条件下，你们是否还能另外设计出一种摆放方案？并将你们设计的方案与上图中的摆放方案的优劣性进行比较。

第2题：高校教师课堂教学的评价问题

目前多数高校都建立了学生对教师的评价系统。系统中，全体学生对自己的所有任课教师打分，综合评价该教师的教学情况。教师的评价分值一定程度上能够反映该教师的教学情况，但也存在其分值在全校中的排序和实际教学能力地位不相符的情形。

问题1：附录1为我校学生对教师课堂教学评价的调查问卷，试从各项评价指标中，找出其中相关度较高的部分，将其整合为一个指标；对调查问卷中你认为不合理的部分，说出你的理由，并给出相应的处理方法。附录2为评价结果的计算公式，请对其合理情况进行评价。如果其中有不合理的部分，请加以修正，并说明理由。

问题2：教师之间除了自身的教学能力存在差异外，还有一些客观因素会使得教师的分值存在差异，比如同一名教师讲授两门不同的课程，由于课程讲授的难易程度不同，该教师所得的两个评价分值可能会有较大的差异，而这种差异很大程度上源于课程的原因，但是评价分值没有客观的反映这种差异。请尽可能多的找出造成这种差异的因素，说明缘由，并利用附录3中的部分数据检验你的猜想。

问题3：上述差异会造成教师评价分值客观上存在不同，但为了在同一种标准下衡量教师的教学能力，需要消除此差异，同时保证分值能客观反应该教师的教学水平，建立数学模型解决此问题。

问题4：完整的给出一份课堂教学评价方案，包括修正后的调查问卷和详细的计算公式。

问题5：所提出的评价方案是否还有缺陷，如果有，则指出这些不足，并提出修改意见。

第3题：大型超市“购物篮”分析

作为超市的经理，经常关心的问题是顾客的购物习惯。他们想知道：“什么商品组或集合顾客多半会在一次购物时同时购买？”。现在假设你们是某超市的市场分析员，已经掌握了该超市近一个星期的所有顾客购买物品的清单和相应商品的价格，需要你们给超市经理一个合理的“购物篮”分析报告，并提供一个促销计划的初步方案。

问题1 附件1中的表格数据显示了该超市在一个星期内的4717个顾客对999种商品的购买记录，表格中每一行代表一个顾客的购买记录，数字代表了其购买商品的超市内部编号。试建立一种数学模型，该模型能定量表达超市中多种商品间的关联关系的密切程度。

问题2 根据你们在问题1中建立的模型，寻找一种快速有效的方法能从附件1中的购买记录中分析出哪些商品是最频繁被同时购买的。超市经理希望得到尽可能多的商品被频繁同时购买的信息，所以你们找到的最频繁被同时购买的商品数量越多越好。

例如：如果商品1、商品2、商品3 在4717个购物记录中同时出现了200次，则可以认为这三个商品同时频繁出现了200次，商品数量是3。

问题3 附件2给出了这999中商品的对应的利润，试根据你们在问题1、问题2中建立的模型，给出一种初步的促销方案，使超市的效益进一步增大。

第4题：禽流感病毒传播问题

2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能．现在假设有一种未知的病毒潜伏期为

1a --2a 天，患病者的治愈时间为3a 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触，例如握手、拥抱传播，患者每天接触的人数为r ，因接触被感染的概率为λ (λ为感染率) ．为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人．潜伏期内的患者被隔离的强度为p （为潜伏期内患者被隔离的百分数）．

在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型．

利用你所建立的模型对如下数据进行模拟：1231,10,30,10,40%,50%a a a r p λ======, 初始发病人数900，疑似患者2100，患者2天后入院，疑似患者2天后被隔离．由上面的数据请给出患者人数随时间变化的曲线，并分析所给结果的合理性．

隔离强度改为30%和60%，患者人数将有何变化．

请据此模型，给出控制H7N9传播的建议．

第5题：物资的配送

某物流中心拥有一支货运车队，每台货运车辆的载重量（吨）相同、平均速度（千米/小时）相同，该物流中心用这样的车为若干个客户配送物资，物流中心与客户以及客户与客户之间的公路里程（千米）为已知。每天，各客户所需物资的重量（吨）均已知，并且每个客户所需物资的重量都小于一台货运车辆的载重量，所有送货车辆都从物流中心出发，最后回到物流中心。物流中心每天的配送方案应当包括：当天出动多少台车？行驶路径如何？由此形成的当天总运行里程是多少？一个合格的配送方案要求送货车辆必须在一定的时间范围内到达客户处，早到达将产生等待损失，迟到达将予以一定的惩罚；而一个好的配送方案还应该给出使配送费用最小或总运行里程最短的车辆调度方案。

该物流中心希望你们：

1. 建立送货车辆每天总运行里程最短的一般数学模型，并给出求解方法。

2. 具体求解以下算例，并给出你们实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算机源程序。

〔算例〕载重量为 Q =8 吨、平均速度为 v =50千米/小时 的送货车辆从物流中心（i =0）出发，为编号是 i =1，2，…，8 的8个客户配送物资。某日，第i 个客户所需

物资的重量为i q 吨（i q Q <），在第i 个客户处卸货时间为i s 小时，第i 个客户要求送货车

辆到达的时间范围 [],i i a b 由表1给出。物流中心与各客户以及各客户间的公路里程（单位：千米）由表2给出。问当日如何安排送货车辆（包括出动车辆的台数以及每一台车辆的具体行驶路径）才能使总运行里程最短。