最优化课程设计--黄金分割法及其算法实现(3
最优化方法(黄金分割与进退法)实验报告
一维搜索方法的MATLAB 实现姓名： 班级：信息与计算科学学号： 实验时间: 2014/6/21一、实验目的：通过上机利用Matlab 数学软件进行一维搜索，并学会对具体问题进行分析。
并且熟悉Matlab 软件的实用方法，并且做到学习与使用并存，增加学习的实际动手性，不再让学习局限于书本和纸上，而是利用计算机学习来增加我们的学习兴趣。
二、实验背景： 黄金分割法它是一种基于区间收缩的极小点搜索算法，当用进退法确定搜索区间后，我们只知道极小点包含于搜索区间内，但是具体哪个点，无法得知。
1、算法原理黄金分割法的思想很直接，既然极小点包含于搜索区间内，那么可以不断的缩小搜索区间，就可以使搜索区间的端点逼近到极小点。
2、算法步骤用黄金分割法求无约束问题min (),f x x R ∈的基本步骤如下：（1）选定初始区间11[,]a b 及精度0ε>，计算试探点：11110.382*()a b a λ=+-11110.618*()a b a μ=+-。
（2）若k k b a ε-<，则停止计算。
否则当()()k k f f λμ>时转步骤（3）。
当()()k k f f λμ≤转步骤（4）。
（3）11111110.382*()k k k k k kk k k k a b b a b a λλμμ+++++++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=+-⎩转步骤（5）（4）转步骤（5）（5）令1k k =+，转步骤（2）。
算法的MATLAB 实现function xmin=golden(f,a,b,e)k=0;x1=a+0.382*(b-a);x2=a+0.618*(b-a);while b-a>ef1=subs(f,x1);f2=subs(f,x2);if f1>f2a=x1;x1=x2;f1=f2;x2=a+0.618*(b-a);elseb=x2;x2=x1;f2=f1;x1=a+0.382*(b-a);endk=k+1;endxmin=(a+b)/2;fmin=subs(f,xmin)fprintf('k=\n');disp(k);3、实验结果(总结/方案)黄金分割法求解极值实例。
优化设计-黄金分割法+插值法
抛物线插值法
1.8.4.2 抛物线插值法迭代步骤
• 下面具体介绍缩短区间,构成新三点的方法． 由式（4.10）得到的点 t ,在区间[t1 , t 2 ] 内既可能在 点t 0的左侧(即t t 0 ),又可能在t 0 的右侧(即 t t 0 ). • 分别对应这两种情形比较 (t )和 (t 0 ) 的大小，又 有 ( t ) (t0 ), ( t ) (t0 ), ( t ) (t0 ) 等三种情形，故共 有如下六种情况（如图所示）：
t1 t t 2
min (t )
抛物线插值法
通过目标函数曲线上的三个点 (t1 , (t1 )), (t 0 , (t 0 )), (t 2 , (t 2 ))
作它的二次拟合曲线（如图所示） P(t ) a0 a1t a2 t 2 ．
图4.14
抛物线插值法
由于上述三个点既是目标函数曲线 (t )上的点，又是 二次拟合曲线 P(t ) 上的点，故有方程组
将方程组（4.5）中的 a 0消去，得
2 2 a ( t t ) a ( t t 1 1 0 2 1 0 ) (t1 ) (t0 )， 2 2 a ( t t ) a ( t t 2 0 2 ) (t0 ) (t2 )． 1 0 2
抛物线插值法
将式（4.7）与式（4.8）代入式（4.9）得
2 2 2 2 t2 t12 ) (t0 ) (t12 t0 ) (t1 ) (t2 ) (t2 ) a1 1 (t0 ． t 2a2 2 (t0 t2 ) (t1 ) (t2 t1 ) (t0 ) (t1 t0 ) (t2 )
即要求
黄金分割法机械优化设计
黄金分割法机械优化设计机械优化设计黄金分割法班级：学硕一班学号：_姓名：______黄金分割法黄金分割法也成为0.618法，是一种应用广泛的一维搜索方法。
该方法对函数张)无特殊要求，函数甚至可以是不连续的。
黄金分割法是利用序列消去原理，通过不断缩小单峰区间长度，使搜索区间不断缩小，从而不断逼近目标函数极小点的一种优化方法o在搜索区间［a,b］内必须按下述规则对称地取勺和冬两点，使％= —“)，a2=a + A(b-a)f这两点把区间分为三段，计算插入点的函数值，如图1-1所示。
根据单峰函数的性质，通过比较函数值大小，删去其中一段，使搜索区间缩小。
在新的区间继续上面的过程，使搜索区间不断缩小，当搜索区间无限缩小时，便可得到函数在极小点附近的近似解。
在第一次缩小区间后，新区间只需要再插入一点即可形成区间新三段。
按比例&缩小，新区间三段与原区间三段具有相同的比例分布，每次缩小所得新区间长度与原区间长度之比成为区间收缩率-设初始区间长度为L,为了保证区间收缩率不变，第一次收缩后的长度为弘，第二次收缩后的长度为厶（1 _兄）, 而第二次的收缩率应该相等。
AL/L = （1 一A）/AL ->22 =（1-2）解次方程并舍去负根，就可得到2 = 75-1/2 = 0.618 o所以，⑷和色两点的取法为:a} = b-0.618（Z?-a）9 a2 = “+ 0.618（〃一a） o所以，对于黄金分割法，适用于设计变量少的优化问题中的一维搜索。
二、黄金分割法的搜索过程1）给出初始搜索区间及收敛精度，将別a〕=b-0・618(b-a), = f(a) y a = 6/+ 0.618(Z?-«), f = /(cr)；并计0.6182 ）按坐标点计算公式计算a〕=b-0・618(b-a), = f(a) y a = 6/+ 0.618(Z?-«), f = /(cr)；并计算其对应的函数值。
优化设计黄金分割法实验报告
机械优化设计黄金分割法实验报告1、黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于［a,b］区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。
因此，这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间［a,b］内适当插入两点al,a2,并计算其函数值。
al,a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
2黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
rl=a+O382(Js-a)r2=a+0,618(b-a)如图fi(r2)>f(rl)所以新区间为［迈以为新区间，继续求新的试点黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间［a,b］内搜索极小点**的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数⑹，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间［7］。
具体步骤是：在区间［a,b］内取点：al,a2把［a,b］分为三段。
如果f(a1)>f(a2),令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果f(a1)<f(a2),令b=a2,a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果|(b-a)/b|和|(y1-y2)/y2|都大于收敛精度e重新开始。
因为［a,b］为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区［a,b］逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。
最优化课程设计--黄金分割法及其算法实现（3
最优化课程设计--黄⾦分割法及其算法实现（3机械优化设计报告姓名：刘洋学号：S12080203054院系：机械⼯程学院专业：机械设计及理论2012年 12⽉ 4⽇摘要最优化理论和⽅法⽇益受到重视，已经渗透到⽣产、管理、商业、军事、决策等各个领域，⽽最优化模型与⽅法⼴泛应⽤于⼯业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、同学、政府机关等各个部门及各个领域。
伴随着计算机技术的⾼速发展，最优化理论与⽅法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。
其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应⽤最⼴的软件之⼀。
有了MATLAB 这个强⼤的计算平台，既可以利⽤MATLAB优化⼯具箱（OptimizationToolbox）中的函数，⼜可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
关键词：优化、黄⾦分割法、最速下降法、MATLAB、算法AbstractOptimization theory and methods and more attention, have penetrated into the production, management, business, military, decision-making and other fields, and optimization models and methods widely used in industry, agriculture, transportation, commerce, defense, construction, students, government various departments and agencies and other fields. With the rapid development of computer technology,optimization theory and methods for the rapid progress of the optimization problem to solve practical software is also developing rapidly. Which, MATLAB software has become the most optimization software is one of the most widely used. With this powerful computing platform MATLAB, either using MATLAB optimization toolbox (OptimizationToolbox) in the function, but also can achieve the appropriate algorithm to optimize into the calculation.Key words: Optimization、Golden section method、steepest descent method、MATLAB、algorithm⽬录摘要 (2)第⼀章绪论 (5)第⼆章黄⾦分割法的基本思想与原理 (6)2.1 黄⾦分割法的基本思路 (6)2.2 算法流程图 (7)2.3 ⽤matlab编写源程序 (7)2.4 黄⾦分割法应⽤举例 (8)第三章最速下降法的基本思想与原理 (9)3.1 最速下降法的基本思路 (9)3.2 算法流程图 (11)3.3 ⽤matlab编写源程序 (11)3.4 最速下降法应⽤举例 (13)第四章惩罚函数法的基本思想与原理 (13)4.1 惩罚函数法的基本思路 (13)4.2 算法流程图 (14)4.3 ⽤matlab编写源程序 (14)4.4 最速下降法应⽤举例 (16)第五章总结 (17)参考⽂献 (18)第1章绪论在⼈类活动中，要办好⼀件事（指规划、设计等），都期望得到最满意、最好的结果或效果。
求函数最大值黄金分割法matlab程序
黄金分割法是一种用于求解函数最大值的数值优化算法。
它利用黄金比例的特性，在搜索过程中逐步减小搜索范围，找到函数的最大值。
本文将介绍黄金分割法的原理和实现方法，并给出利用Matlab编写的程序示例。
一、黄金分割法的原理黄金分割法基于黄金比例的性质，即将一段线段分割成两部分，使整段线段与较短部分的比值等于较短部分与较长部分的比值。
利用这一特性，在搜索过程中逐步减小搜索范围，最终找到函数的最大值。
二、黄金分割法的实现1. 确定初始搜索范围：根据实际问题确定函数的定义域，确定搜索范围[a, b]。
2. 计算黄金分割点：根据搜索范围[a, b]计算黄金分割点x1和x2，使得搜索范围按照黄金比例减小。
3. 计算函数值：计算函数在x1和x2处的取值f(x1)和f(x2)。
4. 更新搜索范围：比较f(x1)和f(x2)的大小，确定新的搜索范围[a, b]。
5. 重复步骤2-4，直到满足收敛条件或达到迭代次数上限。
三、Matlab程序示例以下是利用Matlab编写的黄金分割法程序示例：```matlabfunction [x_opt, f_opt] = golden_section_method(f, a, b, tol, max_iter)phi = (1 + sqrt(5)) / 2; 黄金比例x1 = b - (b - a) / phi;x2 = a + (b - a) / phi;f1 = feval(f, x1);f2 = feval(f, x2);iter = 0;while (b - a) > tol iter < max_iterif f1 < f2a = x1;x1 = x2;f1 = f2;x2 = a + (b - a) / phi;f2 = feval(f, x2);elseb = x2;x2 = x1;f2 = f1;x1 = b - (b - a) / phi;f1 = feval(f, x1);enditer = iter + 1;endx_opt = (a + b) / 2;f_opt = feval(f, x_opt);end```四、结语黄金分割法是一种简单而有效的数值优化算法，可以用于求解函数的最大值。
机械优化设计-黄金分割法
总结：
• 一维搜索第一步:找初始单谷区间； 1.进退法
第二步:使区间缩小。 2.黄金分割法
二、一维搜索方法分类
根据插入点位置的确定方法，可以把一维搜索法 分成两大类： ⑴试探法：即按照某种规律来确定区间内插入点 的位置，如黄金分割法，斐波那契法等。
斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21 、34、55、89、144...... ⑵插值法（函数逼近法）：通过构造插值函数来 逼近原函数，用插值函数的极小点作为区间的插 入点，如二次插值法，三次插值法等。
y1=subs(f,a1); y2=subs(f,a2); if y1>y2 a=a1; a1=a2; y1=y2; a2=a+0.618*(b-a); disp(['判定： f1>=f2']); else b=a2; a2=a1; y2=y1; a1=a+0.382*(b-a); disp(['判定： f1<f2']); end
b=input('输入初始单谷区间右端点='); e=input('搜索精度（数值越小所求极小值精度越高） e='); k=0; format long; a1=a+0.382*(b-a); a2=a+0.618*(b-a); fprintf('第0次缩短区间\n'); fprintf('a1='); disp(a1); fprintf('a2='); disp(a2); while b-a>e
k=k+1; disp(['第',num2str(k),'次缩短区间']); fprintf('a1='); disp(a1); fprintf('a2='); disp(a2); end format long; xmin=(a+b)/2; fmin=subs(f,xmin); fprintf('迭代次数k='); disp(k); disp('极小值为'); disp('fmin ='); disp(fmin); fprintf('极小点为'); t=a:e/100:b; T=subs(f,t); plot(t,T);
优化设计理论-黄金分割法
xx = 43.8197 43.8197 43.8197 44.7214 44.7214 44.7214 44.9342 44.9342 44.9342 44.9845 44.9845 44.9845 44.9963 44.9963 44.9963 min_x = min =
50.0000 47.6393 46.1803 46.1803 45.6231 45.2786 45.2786 45.1471 45.0658 45.0658 45.0347 45.0155 45.0155 45.0082 45.0037 45.0059 -0.5000
-0.491 -0.492 -0.493 -0.494 -0.495 -0.496 -0.497 -0.498 -0.499 -0.5 40
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Hale Waihona Puke 42434445
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The second method ：Golden Section Search：
clc,clear all ;format compact f=inline('-sin(x/360*2*pi).*cos(x/360*2*pi)','x') xx=[]; r=(sqrt(5)-1)/2; b=50;a=40; h = b-a; n=10; %构造一个空矩阵，方便输出 %r 为黄金分割点值 %n=10,10 次迭代 %区间宽度 第二次取：n=15
优化设计理论黄金分割法黄金分割率理论黄金分割理论黄金分割教案设计黄金分割黄金分割比例黄金分割点黄金分割线黄金分割比最优化理论与算法
机自 1101 班-20110401109-代洪庆 方法一：直接求解目标函数的最小值； 精度： =
黄金分割法,进退法,原理及流程图
1黄金分割法的优化问题（1）黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于[a，b]区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。
因此，这种方法的适应面非常广。
黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间[a，b]内适当插入两点a1，a2，并计算其函数值。
a1，a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。
（2）黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点α*的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数[6]，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间[7]。
具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。
如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)；如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始。
因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。
最优化方法中关于黄金分割的课题设计
1、阐述黄金分割的基本思路及原理基本思路：黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单股函数求极小值问题,对函数除要求”单峰”外不做其他要求,甚至可以不连续.因此,这种方法的适应面非常广,黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法,即在搜索区间[a,b 内适当插入两点a1,a2,并计算其函数值。
a1,a2将区间分成三段，应用函数的单峰性质，通过函数值大小的比较，删除其中一段，是搜索区间得以缩小。
然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小值的数值近似解。
基本原理：在单谷区间],[b a 内适当插入两点21,t t ，由此把区间],[b a 分为三段，然后再通过比较这两点函数值的大小，就可以确定是删去最左端还是最右端，或者同时删去左右两端保留中间段.如此继续下去可将单谷区间无缩小. 基本原理：所谓黄金分割就是将一线段分为两段时，要求整段长L 与较长段x 的比值正好等于较长段x 与较短段x L -的比值（如图所示），即xL xx L -= 于是有022=-+L Lx x ，解出其正根L L x 618.0215≈-=. 由此可见长段的长度应为全长的618.0倍，而短段的长度应为全长的382.0倍.因为古代的人们认为按618.0的比率来分割线段时最协调，胜似黄金，故称之为黄金分割. 2、黄金分割的算法步骤.（1）给定初始区间],[11b a ，精度要求0>ε。
令)(382.01111a b a -+=λ，)(618.01111a b a -+=μ，并计算)(1λf 与)(1μf 。
令1:=k 。
（2）若ε<-k k a b ，停止，且2kk a b x +=。
否则，当)()(k k f f μλ>时，转3；当)()(k k f f μλ≤时，转4。
（3）令k k k k k k b b a μλλ===+++111,,，)(618.01111++++-+=k k k k a b a μ，计算)(1+k f μ，令1:+=k k ，转2。
最优化课程设计--黄金分割法及其算法实现
最优化方法课程设计题目：黄金分割法及其算法实现院（系）：数学与计算科学专业：信息与计算科学课题类型：验证性设计性工综合性软件开发2011年12月25日摘要最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、同学、政府机关等各个部门及各个领域。
伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。
其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。
有了MATLAB 这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱（OptimizationToolbox）中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
在最优化计算中一维最优化方法是优化设计中最简单、最基本的方法。
一维搜索，又称为线性搜索，一维问题是多维问题的基础，在数值方法迭代计算过程中，都要进行一维搜索，也可以把多维问题化为一些一维问题来处理。
一维问题的算法好坏，直接影响到最优化问题的求解速度。
而黄金分割法是一维搜索方法中重要的方法之一，它适用于任何单峰函数求最小值的问题，甚至于对函数可以不要求连续，是一种基于区间收缩的极小点搜索算法。
关键词：最优化、黄金分割法、MATLAB、算法、一维搜索AbstractOptimization theory and methods and more attention,have penetrated into the production,management,business,military,decision-making and other fields,andoptimization models and methods widely used in industry,agriculture,transportation, commerce,defense,construction,students,government various departments and agencies and other fields.With the rapid development of computer technology, optimization theory and methods for the rapid progress of the optimization problem to solve practical software is also developing rapidly.Which,MATLAB software has become the most optimization software is one of the most widely used.With this powerful computing platform MATLAB,either using MATLAB optimization toolbox (OptimizationToolbox)in the function,but also can achieve the appropriate algorithm to optimize into the calculation.In the calculation of one-dimensional optimization optimization method is to optimize the design of the simplest,most basic method.One-dimensional search,also known as linear search,one-dimensional problem is multi-dimensional problem based on iterative methods in numerical calculation,should be one-dimensional search,can also multi-dimensional problem into a number of one-dimensional problem to deal with.One-dimensional algorithms are directly affected by the speed of solving optimization problems.The golden section method is a one-dimensional search method is one important method,which applies to any single peak function for the minimum of the problem,even on the function does not require a continuous, interval-based contraction is a very small point search algorithm.Key words:Optimization、Golden section method、MATLAB、Algorithm、One-dimensional search目录摘要 (2)第一章引言 (5)第二章最优化方法原理 (6)2.1无约束问题的最优性条件 (6)第三章黄金分割法的基本思想与原理 (7)3.1黄金分割法基本思路： (7)3.2黄金分割法的基本原理与步骤 (7)3.30.618法算法 (8)3.4算法流程图 (8)3.5用matlab编写源程序 (9)第四章黄金分割法应用举例 (10)4.1例1 (10)4.2例2 (11)第五章总结 (12)5.1概括总结 (12)5.2具体分工 (12)5.3个人感言 (12)参考文献 (15)第一章引言数学科学不仅是自然科学的基础，也是一切重要技术发展的基础。
最优化方法三分法+黄金分割法+牛顿法
最优化⽅法三分法+黄⾦分割法+⽜顿法最优化_三等分法+黄⾦分割法+⽜顿法⼀、实验⽬的1. 掌握⼀维优化⽅法的集中算法；2. 编写三分法算法3. 编写黄⾦分割法算法4. 编写⽜顿法算法⼆、系统设计三分法1.编程思路：三分法⽤于求解单峰函数的最值。
对于单峰函数，在区间内⽤两个mid将区间分成三份，这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。
在区间[a,b]内部取n=2个内等分点，区间被分为n+1=3等分，区间长度缩短率=1 3 .各分点的坐标为x k=a+b−an+1⋅k (k=1,2) ，然后计算出x1,x2,⋯;y1,y2,⋯;找出y min=min{y k,k=1,2} ，新区间(a,b)⇐(x m−1,x m+1) .coding中，建⽴left,mid1,mid2,right四个变量⽤于计算，⽤新的结果赋值给旧区间即可。
2.算法描述function [left]=gridpoint(left,right,f)epsilon=1e-5; %给定误差范围while((left+epsilon)<right) %检查left,right区间精度margin=(right-left)/3; %将区间三等分,每⼩段长度=marginm1=left+margin; %left-m1-m2-right，三等分需要两个点m2=m1+margin; %m2=left+margin+marginif(f(m1)<=f(m2))right=m2; %离极值点越近，函数值越⼩(也有可能越⼤，视函数⽽定)。
else %当f(m1)>f(m2),m2离极值点更近。
缩⼩区间范围，逼近极值点left=m1; %所以令left=m1.endend %这是matlab的.m⽂件，不⽤写return.黄⾦分割法1.编程思路三分法进化版，区间长度缩短率≈0.618.在区间[a,b]上取两个内试探点，p i,q i要求满⾜下⾯两个条件：1.[a i,q i]与[p i,b i]的长度相同，即b i−p i=q i−a i;2.区间长度的缩短率相同，即b i+1−a i+1=t(b i−a i)]2.算法描述⾃⼰编写的：function [s,func_s,E]=my_golds(func,left,right,delta)tic%输⼊: func:⽬标函数，left,right:初始区间两个端点% delta：⾃变量的容许误差%输出: s,func_s:近似极⼩点和函数极⼩值% E=[ds,dfunc] ds,dfunc分别为s和dfunc的误差限%0.618法的改进形式：每次缩⼩区间时，同时⽐较两内点和两端点处的函数值。
黄金分割法及程序设计求解
黄金分割法及程序求解第5题：对函数f(x)=（x^2-1）^2+(x-1)^2+3,当给定搜索区-10≤x≤10使用黄金分割法求极小点α*。
解：显然，此时的a=-10,b=10。
首先插入两个点a1和a2,由黄金分割点法得：a1=b-γ(b-a)=10-0.618×(10-(-10))=-2.36a2=a+γ(b-a)=-10+0.618×20=2.36再计算相应插图点的函数值，得y1=f(a1)=35.171y2=f(a2)=25.731因为y1>y2，所以，消去区间〔-10，-2.36〕,则新的搜索区间〔a，b〕为〔-2.36，10〕。
第一次迭代：此时插入点a1=b-γ(b-a)=10-0.618×[10-(-2.36)]=2.362a2=a+γ(b-a)=-2.36+0.618×[10-(-2.36)]=5.279相应插入点的函数值为：y1=25.823y2=743.191由于y2>y1，同理，得新的搜索区间为〔-2.36，5.279〕.如此继续迭代下去，列出前六次迭代的结果：y2迭代序号a a1a2b y1比较0-10-2.36 2.361035.171＞25.7311-2.36 2.362 5.2791025.832＜743.1912-2.360.558 2.361 5.279 3.669＜25.7773-2.36-0.5570.558 2.361 5.900＞ 3.6694-0.5570.558 1.246 2.361 3.669＞ 3.36650.558 1.247 1.443 2.361 3.369＜ 4.36860.5580.896 1.105 1.443假定，经过前六次迭代后已满足收敛精度要求，则得α*=(a+b)/2=（0.558+1.443）/2=1.0005相应的函数极值:f（α*）=3.000001运用MATLB程序求解:建立m文件：function[x,minf]=minHJ(f,a,b,k) format long;if nargin==3eps=0.000001;enda1=b-0.618*(b-a);a2=a+0.618*(b-a);k=1;tol=b-a;while tol>eps&&k<100000fa1=subs(f,findsym(f),a1);fa2=subs(f,findsym(f),a2);if fa1>fa2a=a1;a1=a2;a2=a+0.618*(b-a);else b=a2;a2=a1;a1=b-0.618*(b-a);endk=k+1;tol=abs(b-a);endif k==100000disp('找不到最小值');x=NaN;minf=NaN;return;endkx=(a+b)/2minf=subs(f,findsym(f),x)format short函数文件：syms x;f=(x^2-1)^2+(x-1)^2+3;[x,minf]=minHJ(f,-10,10);运行结果:k=36k=36x=1.000004289112507 minf=3.000000000091983。
优化设计黄金分割发以及迭代法
机械优化设计课程论文院系机械工程系专业机械设计班级一班姓名学号一、优化题目应用所学计算机语言编写一维搜索的优化计算程序，完成计算结果和输出。
二、建立优化数学模型1、目标函数方程式：y=pow(x,4)-1*pow(x,3)-3*pow(x,2)-16*x+102、变量：x3、初始值：初始值x1=5 初始步长tt=0.01三、所选用的优化方法1、采用外推法确定搜索区间2、采用黄金分割法求函数最优3、计算框图：(1)、外推法程序框图(2)、黄金分割法程序框图四、计算输出内容：五、优化的源程序文件：#include<math.h>#include<stdio.h>#define e 0.0001#define tt 0.01float f (double x){float y=pow(x,4)-1*pow(x,3)-3*pow(x,2)-16*x+10;return(y);}void finding(float*p1,float*p2){float x1=10,x2,x3,t,f1,f2,f3,h=tt;int n=0;x2=x1+h;f1=f(x1);f2=f(x2);if(f2>f1){h=-h;x3=x1;f3=f1;x1=x2;f1=f2;}x3=x2+h;f3=f(x3);n=n+1;printf("n=%d,c1=%6.4lf,x2=%6.4lf,x3=%6.4lf,f1=%6.4lf,f2=^6.4lf,f3=%6.4lf\n",n, x1,x2,x3,f1,f2,f3);while(f3<f2){h=2*h;x1=x2;f1=f2;x2=x3;f2=f3;x3=x2+h;f3=f(x3);n=n+1;printf("n=%d,x1=%6.4lf,x2=%6.4lf,x3=%6.4lf,f1=%6.4lf,f2=6.4%lf,f3=%6.4lf\n",n ,x1,x2,x3,f1,f2,f3);}if(h<0){t=x1;x1=x3;x3=t;}*p1=x1;*p2=x3;}main(){float a,b,x1,x2,f1,f2,xmin,ymin,c;int n=0;finding(&a,&b) ;printf("the are is %6.4lf to %6.4lf\n",a,b);x1=b-0.618*(b-a);x2=a+0.618*(b-a);f1=f(x1);f2=f(x2);do{if(f1>f2){a=x1;x1=x2;f1=f2;x2=a+0.618*(b-a);f2=f(x2);}else{b=x2;x2=x1;f2=f1;x1=b-0.618*(b-a);f1=f(x1);}n=n+1;printf("n=%d,a=%6.4lf,b=%6.4lf,x1=%6.4lf,x2=%6.4lf,f1=%6.4lf,f2=%6.4lf\n",n,a ,b,x1,x2,f1,f2);c=fabs(b-a);}while(c>e);xmin=(x1+x2)/2;ymin=f(xmin);printf("The min is %6.4lf and the result is %6.4lf",xmin,ymin);}六、结果分析：通过利用外推法和黄金分割法求解函数的最优解的一维优化问题。
最优化方法
经过有限次迭代后(在 matlab 可见全部迭代结果)满足要求的结果为： f ������ ∗ = −1.00000047499302 。 采用解析法可求得其精确解为： ������ ∗ = −1， f ������ ∗ = −1，可见通过有限次迭代后可求得精度相当高的数值解，而且收 敛速度也很快。 因此在实际计算中，最常用的一维搜索试探方法就是黄金 分割法。
������1 ← ������ − ������ ������ − ������ ������1 ← ������ ������1
Y
������ − ������ ������2 − 1 < ������和 < ������ ? ������ ������2
N
������∗ ←
1 ������ + ������ 2
对函数f ������ = ������ 2 + 2������,在给定的搜索区间−3 ≤ x ≤ 5上，试用黄金分 割法求极小值点������ ∗ 。如图 2。
四、 算法描述：
黄金分割法的搜索过程是： 1） 2） 给出初始搜索区间[a,b]及收敛精度ε，将μ赋以 0.618。 按坐标点计算公式������1 = b − μ ������ − ������ , ������2 = ������ − μ ������ − ������ , 计算������1 和 ������2 ，并计算其对应的函数值f(������1 ), f ������2 。 3） 跟区间消去法原理缩短搜索区间。 为了能用原来的坐标点计算公式， 需要进行区间名称的代换， 并在保留区间中计算一个新的试验点及 其函数值。 4） 检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近， 如果条件不满 足则返回到步骤 2。 5） 如果条件满足， 则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似 解。
一维搜索的最优方法(黄金分割法)
05 黄金分割法的应用举例
在函数优化中的应用
一元函数优化
黄金分割法可用于一元函数的极值求解，通过不断缩小搜索区间来逼近最优解。
多元函数优化的辅助手段
在多元函数优化中，黄金分割法可作为辅助手段，用于一维搜索或线搜索过程。
在工程问题中的应用
结构设计优化
在结构设计中，黄金分割法可用于寻 找最优的结构参数，如梁、柱的截面 尺寸等，以实现结构性能和经济性的 平衡。
二分法每次迭代将搜索区间减半，而黄金分割法每次迭代将搜索区间缩小为原来的约 0.618倍。在收敛速度上，二分法通常比黄金分割法更快。但二分法要求函数在搜索区间 内连续且单调，而黄金分割法则没有这样的限制。
与牛顿法相比
牛顿法是一种基于导数信息的搜索方法，具有较快的收敛速度。但在一维搜索问题中，当 导数信息不可用或难以获取时，黄金分割法则更为适用。此外，牛顿法对初始点的选择较 为敏感，而黄金分割法则相对稳健。
解决一维搜索问题的方法有多种，其中黄金分割法是一种较为常用且有效的方法。
黄金分割法简介
黄金分割法是一种通过不断缩小搜索 区间来逼近函数极小值点的方法。
黄金分割法具有简单、快速、稳定等 优点，适用于单峰函数的一维搜索问 题。
它在每次迭代中，通过比较区间两个 端点处的函数值，来确定下一步的搜 索区间。
黄金分割点
在一条线段上，按照黄金分割比 例将线段分割成两部分，分割点
即为黄金分割点。
函数图像
对于一元函数，可以将其图像视 为一条曲线。黄金分割法通过不 断在曲线上选取试探点来逼近最
优解。
搜索区间缩小
每次迭代后，根据试探点的函数 值比较结果，将搜索区间缩小，
使得下一步的搜索更加精确。
黄金分割法的算法步骤
黄金分割法程序
黄金分割法黄金分割法是通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数的极小点，这种方法的基本原理是：在搜索区间[a,b]内按如下规则对称地取两点a1和a2a1=a+0.382(b-a); a2=a+0.618(b-a);黄金分割法的搜索过程是：1）给出初始搜索区间[a,b] 及收敛精度e ，将赋以0.618 2）计算a1 和a2，并计算起对应的函数值f(a1),f(a2); ，3）根据期间消去法原理缩短搜索区间，为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名城的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。
4）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够近，如果条件不满足则返回到步骤2。
5）如果条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。
黄金分割法的流程图及程序清单需要说明的是搜索区间[a,b]不需要给定，只需输入搜索精度e；程序由四个子程序构成；（1）：输入输出子程序io（）；（2）：float fc (float x)求输入函数在某一点的值；（3）void findqujian(float a[3],float f[3])确定搜索区间；（4）：float xunyou(float *value)寻找最小值黄金分割法程序运行截图#include "iostream.h"#include "math.h"#include "stdio.h"#include "conio.h"#define steplength 0.01#define n 5float e;float a,b,c,d,g; float q[5];void io(){cout<<"假设多项式的最高次幂为4"<<endl<<endl;cout<<"设多项式的一般形式为f=a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e"<<endl<<endl;cout<<"请输入要求解的目标多项式的系数"<<endl<<endl;printf("a=");scanf("%f",&a);q[4]=a;printf("b=");scanf("%f",&b);q[3]=b;printf("c=");scanf("%f",&c);q[2]=c;printf("d=");scanf("%f",&d);q[1]=d;printf("g=");scanf("%f",&g);q[0]=g;cout<<endl;cout<<"请输入搜索精度e"<<endl<<endl;scanf("%f",&e);cout<<endl;}float fc(float x){int i;float u=q[n-1];for(i=n-2;i>=0;i--)u=u*x+q[i];return u;}void findqujian(float a[3],float f[3]) {float t=float(steplength), a1,f1,ia; a[0]=0;f[0]=fc(a[0]);for(int i=0;;i++){a[1]=a[0]+t;f[1]=fc(a[1]);if(f[1]<f[0]) break;if(fabs(f[1]-f[0])>=e){t=-t;a[0]=a[1];f[0]=f[1];}else{ if(ia==1)return;t=t/2;ia=1;}}for(i=0;;i++){a[2]=a[1]+t;f[2]=fc(a[2]);if(f[2]>f[1]) break;t=2*t;a[0]=a[1]; f[0]=f[1];a[1]=a[2]; f[1]=f[2];}if(a[0]>a[2]){a1=a[0];f1=f[0];a[0]=a[2];f[0]=f[2];a[2]=a1; f[2]=f1;}return;}float xunyou(float *value){float a1[3],f1[3],a[4],f[4];float aa;findqujian(a1,f1);a[0]=a1[0];f[0]=f1[0];a[3]=a1[2];f[3]=f1[2];a[1]=a[0]+float(0.382)*(a[3]-a[0]);a[2]=a[0]+float(0.618)*(a[3]-a[0]); f[1]=fc(a[1]);f[2]=fc(a[2]);for(int i=0;;i++){if(f[1]>=f[2]){a[0]=a[1];f[0]=f[1];a[1]=a[2];f[1]=f[2];a[2]=a[0]+float(0.618)*(a[3]-a[0]);f[2]=fc(a[2]);}else{a[3]=a[2];f[3]=f[2];a[2]=a[1];f[2]=f[1];a[1]=a[0]+float(0.382)*(a[3]-a[0]);f[1]=fc(a[1]);}if(fabs(a[3]-a[0])<e){aa=(a[1]+a[2])/2; *value=fc(aa);break;}}return(aa);}void main(){float xx,value;io();xx=xunyou(&value);printf("f(x)=%2.1f*x^4+%2.1f*x^3+%2.1f*x^2+%2.1f*x+%2.1f",a,b,c,d,g);cout<<"取得最小值的坐标为"<<endl<<endl;printf("\nzuobiao*=%f\n\n",xx);cout<<"函数的最小值是"<<endl;printf("\nminmum*=%f\n",value);getch();}坐标轮换发#include <stdio.h>#include <math.h>#define EP 0.001main(){float M1,M2,min,H,x1,x2;int n=0;x1=100;x2=25;do{n=n+1;M1=x1;x1=2+x2; /* 直接用数学方法求，最小值：X=-B/2/A；Y=X1*X1-2*(2+X2)*X1+2*X2*X2; */M2=x2;x2=x1/2; /* 直接用数学方法求，最小值：X=-B/2/A；Y=2(X2*X2-X2*X1)-X1*X1-4*X1; */H=x2+x1-M1-M2;printf("\n X1 is %f,X2 is %f, H is %f.",x1,x2,H);}while(fabs(H)>EP);min=pow(x1,2)+2*pow(x2,2)-4*x1-2*x1*x2;printf("\n The Min is %f.",min);printf("\n The X1 is %f,The X2 is %f.",x1,x2);printf("\n The Number is %d.",n);}。
黄金分割法 优秀教学设计
黄金分割法——0.618法【教学目标】1．知识与技能：黄金分割法——0.618法是非常著名的优选法，在生产实践中有广泛应用，通过学习这一内容，不仅可以使学生学会一种用数学知识解决实际问题的方法（数学建模），了解黄金分割常数，而且还可以使学生感受数学在解决实际问题中的作用。
2．情感、态度与价值： 通过本课学习，增加学生的数学文化内涵，让学生感受到数学的美。
【教学重难点】理解与应用【教学过程】一、问题导入炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求。
假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g 到2000g 之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为原始的因素范围次试验后的存优范围n n =δ用0.618法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的0.618．因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ一般地，给定精度δ，为了达到这个精度，所要做的试验次数n 满足,1618.01<≤-δn 即.0lg 618.0lg )1(<≤-δn 所以.1618.0lg lg +≥δn黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的0.618处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定。
二、典例解析例1．若试验的因素范围是[]10,100，用黄金分割法来确定试验点，则第一个试验点是（ ）.A 0.618 .B 6.18 .C 61.8 .D 65.6例2．配制某种注射用药剂，每瓶需要加入葡萄糖的量在10mL 到110mL 之间，用黄金分割法寻找最佳加入量时，若第1试点是差点，第2试点是好点，则第三次试验时葡萄糖的加入量是（ ）.A 35mL .B 40.9mL .C 33．6mL .D 86．4mL例3．用0.618法确定试点，则经过5次试验后，存优范围缩小为原来的（ ）.A 0.618 .B 40.618 .C 50.618 .D 60.618三、课堂检测1． 用0.618法选取试点，试验区间为[]2,4，若第一个试点1x 处的结果比2x 处好，且12x x >，则第三个试点应选取在 。
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机械优化设计报告姓名：刘洋学号：S12080203054院系：机械工程学院专业：机械设计及理论2012年 12月 4日摘要最优化理论和方法日益受到重视，已经渗透到生产、管理、商业、军事、决策等各个领域，而最优化模型与方法广泛应用于工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、同学、政府机关等各个部门及各个领域。
伴随着计算机技术的高速发展，最优化理论与方法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。
其中，MATLAB软件已经成为最优化领域应用最广的软件之一。
有了MATLAB 这个强大的计算平台，既可以利用MATLAB优化工具箱（OptimizationToolbox）中的函数，又可以通过算法变成实现相应的最优化计算。
关键词：优化、黄金分割法、最速下降法、MATLAB、算法AbstractOptimization theory and methods and more attention, have penetrated into the production, management, business, military, decision-making and other fields, and optimization models and methods widely used in industry, agriculture, transportation, commerce, defense, construction, students, government various departments and agencies and other fields. With the rapid development of computer technology,optimization theory and methods for the rapid progress of the optimization problem to solve practical software is also developing rapidly. Which, MATLAB software has become the most optimization software is one of the most widely used. With this powerful computing platform MATLAB, either using MATLAB optimization toolbox (OptimizationToolbox) in the function, but also can achieve the appropriate algorithm to optimize into the calculation.Key words: Optimization、Golden section method、steepest descent method、MATLAB、algorithm目录摘要 (2)第一章绪论 (5)第二章黄金分割法的基本思想与原理 (6)2.1 黄金分割法的基本思路 (6)2.2 算法流程图 (7)2.3 用matlab编写源程序 (7)2.4 黄金分割法应用举例 (8)第三章最速下降法的基本思想与原理 (9)3.1 最速下降法的基本思路 (9)3.2 算法流程图 (11)3.3 用matlab编写源程序 (11)3.4 最速下降法应用举例 (13)第四章惩罚函数法的基本思想与原理 (13)4.1 惩罚函数法的基本思路 (13)4.2 算法流程图 (14)4.3 用matlab编写源程序 (14)4.4 最速下降法应用举例 (16)第五章总结 (17)参考文献 (18)第1章绪论在人类活动中，要办好一件事（指规划、设计等），都期望得到最满意、最好的结果或效果。
为了实现这种期望，必须有好的预测和决策方法。
方法对头，事半功倍，反之则事倍功半。
优化方法就是各类决策方法中普遍采用的一种方法。
历史上最早记载下来的最优化问题可追溯到古希腊的欧几里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周长相同的一切矩形中，以正方形的面积为最大。
十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准则，对最优化的研究提供了某些理论基础。
然而，在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢，主要考虑了有约束条件的最优化问题，发展了一套变分方法。
六十年代以来，最优化技术进入了蓬勃发展的时期，主要是近代科学技术和生产的迅速发展，提出了许多用经典最优化技术无法解决的最优化问题。
为了取得重大的解决与军事效果，又必将解决这些问题，这种客观需要极大地推动了最优化的研究与应用。
另一方面，近代科学，特别是数学、力学、技术和计算机科学的发展，以及专业理论、数学规划和计算机的不断发展，为最优化技术提供了有效手段。
现在，最优化技术这门较新的科学分支目前已深入到各个生产与科学领域，例如：化学工程、机械工程、建筑工程、运输工程、生产控制、经济规划和经济管理等，并取得了重大的经济效益与社会效益。
机械优化设计是最优化技术在机械设计领域的移植和应用,其基本思想是根据机械设计的理论,方法和标准规范等建立一反映工程设计问题和符合数学规划要求的数学模型,然后采用数学规划方法和计算机计算技术自动找出设计问题的最优方案，求解优化问题可以采用解析法，也可以采用数值法。
由于数值法可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题，因此它是实际问题中常用的解法，很受重视。
第2章黄金分割法的基本思想与原理2.1 黄金分割法的基本原理与步骤一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的极小值点。
一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法（0.618法）。
该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。
黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间[a,b]内搜索极小点xmin的一种方法。
它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。
其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。
具体步骤是：在区间[a,b]内取点：a1 ，a2 把[a,b]分为三段。
①如果f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+0.618*(b-a)；②如果f(a1)<f(a2) ，令b=a2，a2=a1,a1=b-0.618*(b-a)；如果｜(b-a)/b｜和｜(y1-y2)/y2｜都大于收敛精度ε重新开始循环。
因为[a,b]为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区[a,b]逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。
插入点原理图如下：2.2 算法流程图2.3 用matlab编写源程序编写程序，并且输出每次的搜索区间。
则源程序如下：golden程序function [x,fval]=golden1(f,a,b,eps)k=0;a1=a+0.382*(b-a);%插入点的值a2=a+0.618*(b-a);y1=f(a1);y2=f(a2);while abs(b-a)>=eps%循环条件,eps为收敛精度if y1>=y2%比较插入点的函数值的大小a=a1;%缩短搜索区间a1=a2;y1=y2;a2=a+0.618*(b-a);y2=f(a2);elseb=a2;a2=a1;y2=y1;a1=b-0.618*(b-a);y1=f(a1);endk=k+1;end %停止迭代x=(a+b)/2;%取最后两点的平均值作为极小点的数值近似解fval=f(x);fprintf('k=\n');%显示迭代次数disp(k);end2.4 黄金分割法应用举例例1根据0.618算法编写程序，求函数36102+-=t t f(t)在区间[]10,0上的极大值。
解：程序为：>> z=@(t) t^2-10*t+36;[x,fval]=golden(z,0,10,10^-6)运行结果：k=34t =5.0000fval =11.0000说明最小值点为5*=t ，最小值为11)(*=t f ，迭代次数为34第3章 最速下降法的基本思想与原理3.1 最速下降法基本思路最速下降法的搜索法向是目标函数的负梯度方向，最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到到达目标函数的最低点。
已知目标函数在()k X 点的梯度为：()()()()()()()()12...T k k k k n f X f X f X f X x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∇=∂∂∂⎢⎥⎣⎦当求目标函数的最小点时，由于函数沿负梯度方向下降最快，故在()k X点的探索方向应取该点的负梯度方向，即()()()()()k k k f X S f X ∇=-∇ 显然，()k S 为单位向量。
这样第1k +次迭代计算所得的新点为 ()()()()(1)()()()()()k k k k k k k k f X X X S X f X αα+∇=+=-∇负梯度仅给出了最优化方向，而没有给出步长的大小，所以可能有各种各样的最速下降的过程，它们依赖于()()()k k f X α∇的大小。
步长()k α有两种取法：一种方法是任意给定一个初始步长，使满足条件：()()()()()()k k k k f X S f X α+<另外一种方法是沿负梯度方向做一维探索，以求解一维最优化问题的最优步长α，即对目标函数极小，以得到最优步长：()()()()()0min ()()k k k k k f X S f X S ααα>+=+ 以此最优步长作为由()k X 点出发沿该点的负梯度方向探索的步长()k α。
这种方法的迭代计算的收敛性，可用以下三式中的任一式或二式作为准则来进行判断：()()()()()1()(1)2()()(1)3k k k k k k f X f X f X f X X X εεε--⎧∇≤⎪⎪-⎪≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩用最速下降法求无约束多维极值问题min (),n f x x R ∈的算法步骤如下：（1） 取初始点(0)x ，精度0ε>，令0k =（2） 计算搜索方向()()()k k v f x =-∇，其中()()k f x ∇表示函数()f x 在点()k x 处的梯度；（3） 若()k v ε≤，则停止计算；否则，从()k x 出发，沿()k v 进行一维搜索，即求k λ，使得()()()()0()min ()k k k k k f x v f x v λλλ≥+=+。