八年级反证法知识点
初二数学反证法
例4
求证:两条直线相交只有一个交点。 已知:如图两条相交直线a、b。 求证:a与b只有一个交点。
证明:假设a与b不止一个交点,不 妨假设有两个交点A和A’。 因为两点确定一条直线,即经 过点A和A’的直线有且只有一条,这与 与已知两条直线矛盾,假设不成立。 所以两条直线相交只有一个交点。
a
●
A,
A
一、复习引入
A
如图,在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b, 如果∠C=90°,a、b、c三边有何关系?为 什么?
解析: 由∠C=90°可知是直角三角 形,根据勾股定理可知 a2 +b2 =c2 .
b
c
C
a
B
二、探究
若将上面的条件改为“在 △ABC中,AB=c,BC=a, AC=b,∠C≠90°”,请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗?请说明理由。
A
P C
在一元二次方程 2 ax bx c 中, a,b,c均为奇数时,方程无实数解。
0
2用反证法证明若a3用反证法证明如果一个三角形没有两个相等的角那么这个三角形不是等腰三角形的第一步a不是实数a小于或等于2a大于或等于2没有两个一个也没有两直线相交假设ab假设这个三角形是等腰三角形1已知
反证法的一般步骤: 假设命 题结论 反面成 立 推理 得出 矛盾
假设不成立 即所证命题 成立
与定理,定义, 公理矛盾 与已知条件矛盾
P l1 l2
四。巩固新知
1、试说出下列命题的反面: (1)a是实数。 a不是实数 (2)a大于2。a小于或等于2 没有两个 a大于或等于2 (3)a小于2。 (4)至少有 2个 (5)最多有一个 一个也没有 (6)两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 假设a=b。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角,那么 这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
(初二18)反证法
初中数学竞赛辅导资料(初二18)反证法甲内容提要1. 反证法是一种间接的证明方法。
它的根据是原命题和逆否命题是等价命题,当一个命题不易直接证明时,釆取证明它的逆否命题。
2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题,可表示为:A →B A B →⇔ 例如 原命题:对顶角相等 (真命题)逆否命题:不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如 原命题:同位角相等,两直线平行 (真命题)逆否命题:两直线不平行,它们的同位角必不相等 (真命题)3. 用反证法证明命题,一般有三个步骤:① 反设 假设命题的结论不成立(即假设命题结论的反面成立)② 归谬 推出矛盾(和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾)③ 结论 从而得出命题结论正确例如: 求证两直线平行。
用反证法证明时① 假设这两直线不平行;② 从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾;③从而肯定,非平行不可。
乙例题例1两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两直线平行已知:如图∠1=∠2 A 1 B 求证:AB ∥CD 证明:设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交,设交点为M D这时,∠1是△GHM 的外角 A 1 M B ∴∠1>∠2 G这与已知条件相矛盾 2 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H∴AB ∥CD C例2.求证两条直线相交只有一个交点证明:假设两条直线相交有两个交点,那么这两条直线都经过相同的两个点,这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾,所以假设不能成立,因此两条直线相交只有一个交点。
(从以上两例看出,证明中的三个步骤,最关键的是第二步——推出矛盾。
但有的题目,第一步“反设”也要认真对待)。
例3.已知:m 2是3的倍数,求证:m 也是3的倍数证明:设m 不是3的倍数,那么有两种情况:m=3k+1或m= 3k+2 (k 是整数)当 m=3k+1时, m 2=(3k+1)2=9k 2+6k+1=3(3k 2+2k)+1当 m=3k+2时, m 2=(3k+2)2=9k 2+12k+4=3(3k 2+4k+1)+1即不论哪一种,都推出m 2不是3的倍数,这和已知条件相矛盾,所以假设不能成立。
介绍反证法及举例
反证法将更多地与其他证明方法相结合,形成更强大的证 明工具。例如,可以与归纳法、构造法等相结合,共同解 决复杂问题。
完善理论体系
未来反证法的理论体系将进一步完善,包括更严谨的假设 条件、更精确的推导过程以及更广泛的应用范围。
推动学科发展
反证法的不断发展和完善将推动相关学科的进步,为数学 、物理学、哲学等领域的研究提供更有效的工具和方法。
原理
基于逻辑中的排中律和矛盾律。排中律指出任何命题要么为真要么为假,没有中间状态;矛盾律则表 明一个命题不能既为真又为假。通过假设命题的否定并推导出矛盾,可以证明原命题的成立。
适用范围及局限性
适用范围
反证法在数学、逻辑学、哲学等多个领域都有广泛应用。它特别适用于直接证 明困难或不可能的情况,通过间接方式证明命题的成立。
03
反证法在物理领域应用
力学问题中反证法应用
假设物体不受外力作用时,其运动状 态不会改变。如果物体运动状态发生 了改变,则可以推导出物体必定受到 了外力的作用,从而证明了牛顿第一 定律的正确性。
VS
假设两个物体之间的摩擦力与它们之 间的正压力成正比。如果两个物体之 间的摩擦力与正压力不成正比,则可 以推导出物体之间的滑动摩擦系数不 是一个常数,从而证明了库仑摩擦定 律的正确性。
电磁学问题中反证法应用
假设电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量成正比。如 果电荷在电场中受到的电场力与其所带电荷量不成正比,则 可以推导出电场强度不是一个恒定的值,从而证明了库仑定 律的正确性。
假设电流在导体中产生的磁场与电流强度成正比。如果电流 在导体中产生的磁场与电流强度不成正比,则可以推导出磁 感应强度不是一个恒定的值,从而证明了安培环路定律的正 确性。
反证法-高中数学知识点讲解
反证法
1.反证法
【知识点的认识】
反证法:假设结论的反面成立,在已知条件和“否定结论”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾,从而断定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定正确,这种证明方法就叫反证法.
【解题思路点拨】
用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的方法,其次注意反证法是在条件较少,不易入手时常用的方法,尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用.使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
1.证明思路:肯定条件,否定结论→推出矛盾→推翻假设,肯定结论
2.反证法的一般步骤:
(1)分清命题的条件和结论;
(2)作出与命题结论相矛盾的假设;
(3)由假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;
(4)断定产生矛盾的原因,在于开始所作的假设不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.
1/ 1。
10.2—4反证法
证明: 假设∠A ,∠B, ∠C都小于60°,
则∠A<60°,∠B<60°, ∠C<60°,
C
∴ ∠A+∠B+∠C<180°;
B
这与三角形的内角和定理相矛盾
∴假设不成立,即原命题成立 ∴一个三角形的三个内角中总有一个角不小于60°
三、课堂达标
1.要用反证法证明一个三角形中至少有两个锐角,应假设 __一__个__三__角__形__中__最__多__有__一__个__锐__角_____ .
不妨设∠A=∠B=90°,则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.
这与三角形内角和定理矛盾,
∴假设不成立,即原命题成立,
∴一个三角形中不可能有两个直角.
《学练测》P118探究二、3
3.用反证法证明:一个三角形的三个内角中总有一个角不小于60°
A
已知:△ABC 求证:∠A ,∠B, ∠C中总有一个角不小于60°
2.要用反证法证明两直线相交只有一个交点,应假设
__两__直__线__相__交__至__少__有__两__个__交_ 点
.
3.课本P109随堂练习、2 一个三角形中最多有几个钝角?为什么?
解:一个三角形中最多有一个钝角 提示:假设一个三角形中至少有两个钝角
课外训练 【基础达标】 1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于
开启智慧
小明说,在一个三角形中,如果两
个角所对的边不相等,那么这两个
角也不相等.
●
C
A B ● ●
即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C.
你认为这个结论成立吗? 如果成立,你能证明它吗?
小明是这样想的:
八年级数学反证法
反证法的一般步骤:
假设命题结 论不成立
假设
假设命题结 论反面成立 与已知条 件矛盾
所证命题 成立
推理得出 的结论
与定理,定义, 公理矛盾
假设不 成立
试试看!
用反证法证明(填空):在三角形的内角中,至少有一个角 大于或等于60°
已知:如图, ∠A,∠B,∠C是△ABC的内角
A
求证: ∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60度 证明
已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
求证:∠1=∠2
l
1 2
l1 l2 l3
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈 呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的?
假设“李子甜” 树在道边则李子少
与已知条件“树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立,是错误的,
l1 l2 l3
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线也互相平行. l (3)不用反证法证明 A 2
已知:如图,l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3 证明:作直线l,分别与直线l1 ,l2 , l3交于于点A,B,C。
l1 l2 l3
B 1 C 3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3(已知) ∴∠2 =∠1 ,∠1 =∠3(两直线平行,同位角相等) ∴∠2 =∠3(等式性质) ∴ l1∥l3 (同位角相等,两直线平行)
初中数学反证法简单例子
初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法,通过假设所要证明的命题不成立,然后推导出与已知事实相矛盾的结论,从而证明原命题一定成立。
下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。
1. 命题:不存在任意两个不相等的正整数,使得它们的和等于它们的积。
假设存在两个不相等的正整数a和b,满足a + b = ab。
由于a和b不相等,不妨设a > b,那么有a > a/2 > b。
根据不等式性质,我们可以得到2a > a + b = ab,即2 > b。
但是正整数b不可能小于2,与假设矛盾。
因此,不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。
2. 命题:存在一个无理数x,使得x的平方等于2。
假设不存在这样的无理数x,即对于任意实数x,x的平方不等于2。
那么我们可以考虑一个特殊的实数y,即y = √2。
根据无理数定义,√2不是有理数,因此是一个无理数。
而根据假设,y的平方不等于2,即y^2 ≠ 2。
然而,这与y = √2相矛盾。
因此,存在一个无理数x,使得x的平方等于2。
3. 命题:对于任意正整数n,2n不等于n的平方。
反证法证明:假设存在一个正整数n,使得2n = n^2。
可以将等式两边同时除以n,得到2 = n。
然而,这与n是一个正整数相矛盾。
因此,对于任意正整数n,2n不等于n的平方。
4. 命题:对于任意正整数n,n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
反证法证明:假设存在一个正整数n,使得n^2 + 3n + 2 = m^2,其中m是一个正整数。
可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。
这是一个关于n的二次方程,可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。
由于n是一个正整数,因此根号内的值必须为正整数。
然而,当m取不同的正整数值时,根号内的值不可能为正整数,因此假设不成立。
因此,对于任意正整数n,n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
14.1.2 直角三角形的判定、反证法(课件)2024-2025-华东师大版数学八年级上册
课堂新授
知识点 2 勾股数
知2-讲
1. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数, 称为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件:(1)三个 数都是正整数;(2)两个较小数的平方和等于最大数的 平方.
课堂新授
2. 判别一组数是不是勾股数的一般步骤
知2-讲
(1)“看”:看是不是三个正整数;
(2)“找”:找最大数;
课堂新授
解:已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角 .
知3-练
求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角 .
证明:假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角 .
不妨设∠B=∠C=90°.
∴∠A + ∠B + ∠C = ∠A + 90° + 90° = ∠A + 180°>
180°. 这与“三角形的内角和是 180°”相矛盾 .
遇比例用参数法.
(3)设a=3x,则b=4x,c=5x. 易得(3x)2+(4x)2=(5x)2,即
a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
课堂新授
知1-练
方法点拨:判定直角三角形的方法: 1. 如果已知条件与角度有关,可求出其中一个角是直角, 或者证明其中一个角等于已知的直角,得到直角三角形. 2 . 如果已知条件与边有关,可通过计算推导出三角形三边 长的数量关系[即a2+b2=c2(c为最长边)],得到直角三角形.
归纳总结
直角三角形的判定、反证法
反证法
论新授
例 2 下面四组数中是勾股数的一组是( D )
A. 6,7,8
B. 5,8,13
知2-练
C. 1.5,2,2.5
D. 21,28,35
解题秘方:紧扣“勾股数定义中的两个条件”进行判断.
反证法
上闪眼间生出了三十只仿佛蕉叶般的深绿色嘴唇。接着忽悠了一个,舞鲨岗亭滚两千八百八十度外加龙笑喷壶转十七周半的招数!接着又秀了一个,直体鲨颤前空翻三
百六十度外加瞎转五周的灿烂招式!紧接着轻灵雅秀的妙耳朵古怪变异振颤起来……清亮透明、月光泉水般的美丽眼睛渗出乳白色的隐约玄雾……俏雅明朗、雪国仙境
一样的玉牙射出春绿色的阵阵疑味……最后甩起散发着隐隐兰花香的粉颈一耍,快速从里面弹出一道奇光,她抓住奇光荒凉地一摇,一件黑晶晶、光溜溜的咒符⊙月影
秀了一个俯卧颤动的特技神功,身上猛然生出了九只如同铁塔一样的浅橙色耳朵……接着弄了一个,爬鸡窗纱滚两千八百八十度外加贝叫窝头转十七周半的招数,接着
又使了一套,变体虎晕凌霄翻三百六十度外加疯转十三周的苍茫招式……紧接着土黄色细小叉子一样的胡须不断变形狂舞起来……结实的眉毛射出深紫色的片片梦光…
…硕长的脸窜出火橙色的隐隐奇声。最后耍起特像奶酪样的屁股一抖,轻飘地从里面流出一道妖影,他抓住妖影独裁地一甩,一件蓝冰冰、金灿灿的咒符『灰雨斧圣鸟
综上所述:l与b 是异面直线。
例4:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知:如右图,在圆O中,弦AB与CD交于点P,且
AB,CD不是直径.
求证:弦AB与CD不能被P点平分.
A C
证明:假设弦AB与CD能被P点平分,由于P点一定不 是圆心O,连结OP,根据垂径定理推论,有 OP⊥AB,OP ⊥CD.
反证法
以下几种形式的命题常用反证法证明:
1、某些命题的结论是否定形式,如不是、不能、 不存在等;
2、某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式 出现;
3、某些命题的结论的反面非常明显或结论的反 面容易证明;
4、某些命题的直接证法较困难,有些命题,虽 然其表面似乎不是以上形式,但本质上仍属以 上形式,或很容易化归位以上形式的命题均可 用反证法证明。
《初二数学反证法》课件
完美的舞蹈
2
做“加一地鼠”,可以将它向右移动一 格。假设不可能找到一种稳定的方案,
600名女孩参加了一场舞蹈比赛,假
使得最后每只地鼠都获得编号10,那
设每个女孩都在同一个时刻起舞,那
著名数学家
著名数学家ToruMatsui通过反证法,成功研究射 线切割问题。
反证法总结
1 应用范围和限制
反证法不仅可以用于数 学证明,还可以用于其 他领域。但是,必须注 意限制其使用范围。
2 实际生活中的应用
反证法的思路不仅能够 解决数学问题,还可以 用于解决生活中的种种 疑惑。
3 知识点小结
反证法是一种常用的数 学证明方法,通过假设 不成立,来证明某个命 题是真的。
初二数学反证法
本课程将介绍初二数学中的反证法概念及其应用。从实际生活中的例子出发, 帮助学生了解和掌握反证法的思路和方法。
什么是反证法?
反证法是数学证明方法之一,通过采用“假定不成立”的思路,来证明某命题为真。
基本思路
如同推翻一排多米诺骨牌的第一个骨牌,通过推 翻一个假设来证明某个命题为真。
与直接证明法的比较
么“加一地鼠”的编号应该小于等于9。
么总有一个时刻,女孩们完美的呈现
舞蹈步骤。
反证法优缺点
优点
证明思路简单易懂,适用于较为复杂的问题。
缺点
可能需要耗费较长时间,需要较强的反应能力和想象力。
反证法实战
果蝇实验
通过反证法,科学家Bernard de Jouvenel和 Georgeand Marie-Louise Teissier在实验中证明 了基因对先天特征的影响。
华师版数学八年级上册14.反证法课件
第3课时 反证法
学习目标
➢ 通过证明具体实例,体会反证法的含义. ➢ 知道证明一个命题除用直接证法外,还有间
接证法. ➢ 了解用反证法证明命题的一般步骤,发展逻
辑思维能力.
回顾导入
还记得之前学习“两直线平行,同
位角相等”时,我们是怎么证明这
一结论的吗?
E
已知:如图,直线AB∥CD, A
已知:△ABC. 求证:在∠A、∠B、∠C这三个内角中,至少有两个锐角.
证明:假设△ABC的三个内角中至多有一个锐角, 不妨设0°<∠A<90°, 则90°≤∠B<180°,90°≤∠C<180°. ∴∠A+∠B+∠C>180°,这与“三角形内角和等于 180°”相矛盾. ∴一个三角形中至少有两个锐角.
用反证法证明一个命题,一般有三个步骤:
(1)否定结论----假设命题的结论不成立;
(2)推出矛盾----从假设出发,根据已知条件,经过推 理论证,得出一个与命题的条件或已知的定义、 基本事实、定理等相矛盾的结果;
(3)肯定结论----由矛盾判定假设不正确,从而肯定命 题的结论正确.
典例精讲
例1 用反证法证明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,
用反证法证明时需注意的两点: (1)否定结论:原结论的反面一 定要找准确、全面; (2)注意步骤:先进行合理的假 设,再推出矛盾,最后得出结论.
课堂小结
反证法的含义: 一种间接的证明方法
反证法
反证法证明的步骤
否定结论 推出矛盾 肯定结论
结论反面找准找全 反证法证明时需注意
注意步骤
当堂检测
1.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则
感谢观看!
则∠A>60°”时,第一步应假设( D )
反证法(一)讲解
∴ k a a5 0(mod 5), 这与题设矛盾.
若为后者,即
x5 x k (x2 ax b)(x3 cx2 dx e)
比较系数知
a c 0, ac b d 0,
由前3式得
ad bc e 0,
XZ )(FY
YZ)
FY AY CY DY (CZ ZY )(DX XY)
三式相乘并整理得
左边= AY BZ CZ DX EX FY
右边=(AY YX )(BZ ZX )(CZ ZY )
(DX XY)(EX XZ)(FY YZ)
(6)
再由(2)及(6)式知 x2 x1 ,
(7)
与 x1 x2矛盾. 同理可证另两分量相等,得证.
4、存在性命题 存在性命题,指的是结论中出现如“至少”
“命例至题8多.”设、有“非必零有实”数等p1、形p式2、的q1、证q明2 满可足用关反系证式法. p1 p2 4(q1 q2 ),求证:x2 p1x q1 0与 x2 p2 x q2 0中至少有一个具有不等的 实数根. (1993年北京市初二)
位数字分别为 a、b、c,试证关于x的二次方程
ax 2 bx c 0无整数解.
证明 由p
设有整数
ax02
x0使
bx0
c
0
100a 10b c 为三位质数知
(*)
0<a, c≤9,
0≤b≤9.
若x0 0, 则由(*)式知c=0,矛盾; 若x0 0, 则 ax02 bx0 c 0,由(*)式知,矛盾.
初二数学反证法
整数的性质
通过假设整数不具有某种 性质,如假设一个整数不 是质数,然后推导出矛盾 来证明该整数是质数。
同余定理
在证明同余定理时,可以 通过假设两个整数不同余 来推导矛盾。
唯一分解定理
通过假设一个整数不能被 唯一分解为质因数的乘积 来推导矛盾,从而证明唯 一分解定理。
04
反证法的优缺点分析
优点:简化问题、明确方向
可能引入额外条件
在使用反证法时,我们需要假设反面命题成立,并推导出矛 盾。然而,这个假设可能会引入额外的条件或限制,使得证 明过程变得复杂或困难。
不易掌握
反证法需要一定的逻辑思维和推理能力,对于初学者来说可 能较难掌握。同时,使用反证法时需要注意一些细节和技巧 ,否则可能会导致证明过程出现错误。
05
作用
反证法在数学证明中具有重要作用,尤其对于一些难以直接证明的结论,可以 通过反证法间接证明其成立。同时,反证法还可以培养学生的逆向思维能力和 逻辑推理能力。
适用范围及重要性
适用范围
反证法适用于各种数学领域,如代数、几何、数论等。在解决一些复杂问题时,反证法往往能够简化问题,提供 新的解题思路。
重要性
初二数学反证法
汇报人:XX
目 录
• 引言 • 反证法的基本步骤 • 初二数学中常见反证法应用 • 反证法的优缺点分析 • 反证法与直接证明法的比较 • 练习题与解析
01
引言
反证法的定义和作用
定义
反证法是一种数学证明方法,通过假设所要证明的结论不成立,然后推导出与 已知条件、定理、公理等相矛盾的结论,从而证明所要证明的结论成立。
代数证明中的反证法
01
02
03
方程的解
通过假设某个数不是方程 的解,然后代入方程得到 矛盾,从而证明该数是方 程的解。
浙教版数学八年级下册第4章《4.6反证法》课件
∵ AD=CB,AB=DC ∴四边形ABCD是平行 四边形.
∵ AO=CO, BO=DO, ∴ 四边形ABCD是平行 四边形.
课前复习
【2】三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【3】三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
课堂小结
【新知1】反证法 在证明一个命题的时候,人们有时先假设命题不成立,从这样的
假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、 定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正 确.这种证明方法叫做反证法.
提出假设
推理论证
得出矛盾
结论成立
【新知2】平行线的性质定理
在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
【几何语言】
∵ DE是△ABC的中位线,
∴
DE
=//
1 2
BC
D B
A E C
课前练习
【练习 1】如图,▱ ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,AE 平分∠BAD,交
BC 于点 E,连结 OE.已知∠ADC=60°,AB=12BC.有下列结论:①∠CAD=30°;
②S▱ ABCD=AB·AC;③OB=AB;④OE=14BC.其中正确的是(
)
A. ①②
B. ③④
C. ①②③
D. ①②④
课前练习
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠ADC=60°, ∴∠BAD=120°. 又∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠EAD=60°, ∴△ABE是等边三角形, ∴AE=AB=BE,∠AEB=60°. 又∵AB=12BC,∴AE=BE=12BC,
2023年湘教版八年级数学上册第3课时 证明与反证法
2. 已知:如图,直线AB,CD被直线MN所截,∠1=∠2. 求证:∠2=∠3,∠3+∠4=180°.
证明: ∵ ∠1=∠2, ∴ AB∥CD(同位角相等,两直线平行),
∴ ∠2 =∠3(两直线平行,内错角相等),
∠3+∠4=180°(两直线平行, 同旁内角互补).
3. 已知:如图,AB与CD 相交于点E. 求证:∠A+∠C=∠B+∠D.
可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.
如果直接来证明,将很繁琐,因此, 我们将从另外一个角度来证明.
已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的内角. 求证:∠A,∠B,∠C中至少有一个角大于或等于60°.
证明: 假设∠A,∠B,∠C 中没有一个角大于或等60°, 即∠A<60°,∠B<60°,∠C<60°, 则∠A+∠B+∠C<180°. 这与“三角形的内角和等于180°”矛盾, 所以假设不正确. 因此,∠A, ∠B, ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
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第3课时 证明与反证法
新课导入
观察、操作、实验是人们认识事物的重要手 段,而且人们可以从中猜测发现出一些结论.
采用剪拼或度量的方法,猜测“三角 形的外角和”等于多少度.
推进新课
猜测任何三角形的三个外角之和等于360°.
需要推理加以证明
证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
要证明一个命题是真命题,常常要从命题的条件出 发,运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论 ,通过一步步的推理,最后证实这个命题的结论成立. 证明的每一步都必须要有根据.
►走进颐和园,眼前是繁华的苏州街,现在依稀可以想象到当年的热闹场 面,苏州街围着一片湖,沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等,店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的,皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇,店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看,我立刻被这美丽的荷花吸引住了,一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上,是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠,真像一粒粒珍珠,亮晶希望对您有帮助,谢谢 晶的 。它们有时聚成一颗大水珠,骨碌一下滑进水里,真像一个顽皮的孩子!
反证法
反证法[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程,会用反证法证明数学问题.知识点一间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立,像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.常见的间接证明的方法是反证法.知识点二反证法1.反证法定义假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下:思考(1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题,这种说法对吗?为什么?(2)反证法主要适用于什么情形?答案(1)这种说法是错误的,反证法是先否定命题,然后再证明命题的否定是错误的,从而肯定原命题正确,不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的,原命题正确,其命题的否定一定不对.(2)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形.题型一用反证法证明结论否定的问题例1如图所示,AB,CD为圆的两条相交弦,且不全为直径,求证:AB,CD不能互相平分.证明连接AC,CB,BD,DA,假设AB,CD互相平分,则四边形ACBD为平行四边形,∴∠ACB=∠ADB,∠CAD=∠CBD.∵四边形ACBD为圆的内接四边形,∴∠ACB+∠ADB=180°,∠CAD+∠CBD=180°,∴∠ACB=90°,∠CAD=90°,∴对角线AB,CD均为圆的直径,与已知条件矛盾,∴AB,CD不能互相平分.反思与感悟对于结论否定型命题,正面证明需要考虑的情况很多,过程烦琐且容易遗漏,故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时,宜采用反证法证明. 跟踪训练1已知正整数a,b,c满足a2+b2=c2.求证a,b,c不可能都是奇数.证明假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.左边=奇数+奇数=偶数,右边=奇数,得偶数=奇数,矛盾.∴假设不成立,∴a,b,c不可能都是奇数.题型二用反证法证明唯一性问题例2用反证法证明:过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.证明假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行,即b∩b′=A,b′∥a,又b∥a,由平行公理知b′∥b.这与b∩b′=A矛盾,故假设错误,所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.反思与感悟证明“唯一性”问题的方法:“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证法往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法比用同一法更方便.跟踪训练2求证:过一点只有一条直线与已知平面垂直.已知:平面α和一点P.求证:过点P与α垂直的直线只有一条.证明如图所示,不论点P在α内还是在α外,设P A⊥α,垂足为A(或P).假设过点P不止有一条直线与α垂直,如还有另一条直线PB⊥α,设P A,PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线P A,PB垂直于a,这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,∴假设不成立,原命题成立.题型三用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题例3 用反证法证明:如果函数f (x )在区间[a ,b ]上是增函数,那么方程f (x )=0在区间[a ,b ]上至多有一个实数根.(不考虑重根)证明 假设方程f (x )=0在区间[a ,b ]上至少有两个实数根,设α,β为它的两个实数根,则f (α)=f (β)=0.因为α≠β,不妨设α<β,又因为函数f (x )在[a ,b ]上是增函数,所以f (α)<f (β),这与f (α)=f (β)=0矛盾,所以方程f (x )=0在区间[a ,b ]上至多有一个实数根.反思与感悟 用反证法证明“至少”“至多”型命题,否定结论时,需弄清楚结论的否定是什么,以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义.跟踪训练3 若x ,y 都是正实数,且x +y >2,求证:1+x y <2与1+y x<2中至少有一个成立.证明 假设1+x y <2和1+y x <2都不成立,则有1+x y ≥2和1+y x ≥2同时成立.∵x >0且y >0,∴1+x ≥2y ,且1+y ≥2x ,两式相加,得2+x +y ≥2x +2y ,∴x +y ≤2,这与已知条件x +y >2相矛盾,∴1+x y <2与1+y x <2中至少有一个成立.因反证法中的反设不当致误例4 用反证法证明:若a >b >0,则a >b .错解 假设a >b 不成立,则a <b . 若a <b ,则a <b ,与已知a >b 矛盾. 故假设不成立,结论a >b 成立.错因分析 a >b 的否定应为a ≤b ,即“大于”的否定是“小于或等于”.同理,“小于”的否定是“大于或等于”,不能漏掉“等于”.因此在用反证法证题时,一定要正确地找出结论的否定,不能犯否定不全的错误.正解 假设a >b 不成立,则a ≤b . 若a <b ,则a <b ,与已知a >b 矛盾; 若a =b ,则a =b ,与已知a >b 矛盾.故假设不成立. 所以a >b 成立.防范措施 在利用反证法证明问题时,往往要假设命题结论的反面成立,而问题结论的反面一定要全面,漏掉任何一种情况,证明都是不正确的.1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设()A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”,应先假设这个三角形中()A.有一个内角小于60°B.每一个内角都小于60°C.有一个内角大于60°D.每一个内角都大于60°答案 B3.“a<b”的反面应是()A.a≠bB.a>bC.a=bD.a=b或a>b答案 D4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设()A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于cC.a⊥bD.a与b相交答案 D5.已知a是整数,a2是偶数,求证a也是偶数.证明(反证法)假设a不是偶数,即a是奇数.设a=2n+1(n∈Z),则a2=4n2+4n+1.∵4(n2+n)是偶数,∴4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾.由上述矛盾可知,a一定是偶数.1.反证法的证题步骤:①反设;②推理归谬;③存真,即假设不成立,原命题成立.2.用反证法证明问题时要注意以下三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时,必须罗列出各种可能性结论,缺少任何一种可能,反证都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.(3) 推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的.一、选择题1.实数a,b,c满足a+b+c=0,则正确的说法是()A.a,b,c都是0B.a,b,c都不为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c不可能均为正数答案 D2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾;②与假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾.A.①②B.①③C.①③④D.①②③④答案 D3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线答案 C解析假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c 与b不可能是平行直线.故应选C.4.有下列叙述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析①错:应为a≤b;②对;③错:应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;④错:应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.5.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角答案 C6.若方程x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a =0中至少有一个方程有实根,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2]∪[-1,+∞)B.[-2,1]C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.[-2,-1] 答案 A解析 若方程x 2+(a -1)x +a 2=0有实根,则(a -1)2-4a 2≥0,∴-1≤a ≤13.若方程x 2+2ax -2a =0有实根,则4a 2+8a ≥0,∴a ≤-2或a ≥0.∴当两个方程至少有一个有实根时,-1≤a ≤13或a ≤-2或a ≥0,即a ≤-2或a ≥-1.二、填空题7.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A +∠B +∠C =90°+90°+∠C >180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC 中有两个直角,不妨设∠A =90°,∠B =90°. 上述步骤的正确顺序为__________.(填序号)答案 ③①②。
反证法
证明质数有无穷多个,欧几里得的证明就是反证法。
依据
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不 能同时都为真,至少有一个是假的,这就是逻辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单 地说“A或者非A”,这就是逻辑思维中的“排中律”。
范例
证明:素数有无数个。 这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid Alexandra,生活在亚历山大城,约前330~约前 275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法: 假设命题不真,则只有有限多个素数,设所有的素数是 此时,令,那么所有的显然都不是N的因子,那么有两个可能:或者N有另外的素数真因子,或者N本身就是一 个素数,但是显然有N>.无论是哪种情况,都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明,所以确实有无数个 素数! 证明:是无理数。 假设命题不真,则为有理数,设,即最简分数的形式。 则, 所以为偶数,则为偶数,可表示为 则
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反证法中的重要环节是确定反论题的虚假,常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法,特别是在进 行正面的直接论证或反驳比较困难时,用反证法会收到更好的效果。
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定义
反证法常称作Reductio ad absurdum,是拉丁语中的“转化为不可能”,源自希腊语中的“ἡ εις το αδυνατον παγωγη”,阿基米德经常使用它。
(2)结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。
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八年级反证法知识点
反证法是一种论证方法,在数学、逻辑学、哲学以及其他领域
中都得到广泛应用。
其基本思想是通过否定一个命题的逆否命题
来证明原命题的正确性。
在八年级数学中,学生要学习如何应用
反证法解决一些问题。
本文将介绍八年级反证法知识点,帮助学
生更好地掌握这一方法。
初步了解反证法
反证法的思路是假设所要证明的命题P不成立,然后推出一个
矛盾的结论,进而证明命题P成立。
或者说,反证法是采用反面
求证的方法,即证明“不是P”来间接证明“是P”。
例如,在证明
“若a是偶数,则a²也是偶数”的时候,可以采用反证法:假设a是偶数但a²不是偶数,则a²为奇数。
但是,偶数的平方一定是偶数,与假设矛盾,因此可证明原命题成立。
如何运用反证法?
反证法需要具备以下几个步骤:
1. 先假设所要证明的命题P不成立,并推出一些合法的结论。
2. 分析这些结论是否有矛盾之处。
3. 如果这些结论存在矛盾,则说明所假设命题不成立,原命题P成立。
4. 如果这些结论不存在矛盾,则说明所假设的命题成立,而原命题P不成立。
举个例子,如果要用反证法证明“n²为偶数,则n也是偶数”,那么可以首先假设n是奇数。
因为奇数的平方还是奇数,所以n²也是奇数,而偶数的定义是2的倍数,不可能是奇数,因此推出结论矛盾,得证原命题成立。
需要注意的是,在运用反证法的时候,如果所得出的结论不够严密或存在漏洞,那么不能得出最终结论。
为了提高证明的严密性,可以结合其他证明方法进行运用。
例题
1. 证明:不存在无理数x和y,使得x² - 2y² = 3。
解答:假设存在无理数x和y,满足x² - 2y² = 3。
考虑对这个方程两侧同时取立方根,得:
x³ - 6xy² - 3y³ = 0。
注意到x和y都是无理数,而立方根是唯一的,因此x³也是无理数。
同理,3y³也是无理数。
但是,6xy²是有理数。
因此,方程左边为无理数,而右边为有理数,与假设矛盾,原命题成立。
2. 已知a,b,c是正整数,满足a² + b² = c²和a + b = c + 1,证明a,b,c中至少有一个是偶数。
解答:假设a,b,c中都不是偶数,即为奇数。
根据奇数的性质,可以将他们表示为2m+1, 2n+1, 2p+1的形式,其中m,n,p都是自然数。
那么,根据已知条件,有:
(2m+1)² + (2n+1)² = (2p+1)²。
化简得到:
m² + n² = 2p² + 2p - m - n。
这时,左边是偶数,而右边是奇数,显然矛盾。
因此,假设不
成立,得证原命题成立。
总结
反证法是一种常用的证明方法,其基本思想是通过否定命题的
逆否命题来证明其正确性。
在应用反证法时,需要假设命题不成立,推出一个矛盾结论,从而证明原命题成立。
然而,需要注意
的是,反证法需要结合其他证明方法使用,以提高证明的严谨性。