八年级反证法知识点

八年级反证法知识点

反证法是一种论证方法，在数学、逻辑学、哲学以及其他领域

中都得到广泛应用。其基本思想是通过否定一个命题的逆否命题

来证明原命题的正确性。在八年级数学中，学生要学习如何应用

反证法解决一些问题。本文将介绍八年级反证法知识点，帮助学

生更好地掌握这一方法。

初步了解反证法

反证法的思路是假设所要证明的命题P不成立，然后推出一个

矛盾的结论，进而证明命题P成立。或者说，反证法是采用反面

求证的方法，即证明“不是P”来间接证明“是P”。例如，在证明

“若a是偶数，则a²也是偶数”的时候，可以采用反证法：假设a是偶数但a²不是偶数，则a²为奇数。但是，偶数的平方一定是偶数，与假设矛盾，因此可证明原命题成立。

如何运用反证法？

反证法需要具备以下几个步骤：

1. 先假设所要证明的命题P不成立，并推出一些合法的结论。

2. 分析这些结论是否有矛盾之处。

3. 如果这些结论存在矛盾，则说明所假设命题不成立，原命题P成立。

4. 如果这些结论不存在矛盾，则说明所假设的命题成立，而原命题P不成立。

举个例子，如果要用反证法证明“n²为偶数，则n也是偶数”，那么可以首先假设n是奇数。因为奇数的平方还是奇数，所以n²也是奇数，而偶数的定义是2的倍数，不可能是奇数，因此推出结论矛盾，得证原命题成立。

需要注意的是，在运用反证法的时候，如果所得出的结论不够严密或存在漏洞，那么不能得出最终结论。为了提高证明的严密性，可以结合其他证明方法进行运用。

例题

1. 证明：不存在无理数x和y，使得x² - 2y² = 3。

解答：假设存在无理数x和y，满足x² - 2y² = 3。考虑对这个方程两侧同时取立方根，得：

x³ - 6xy² - 3y³ = 0。

注意到x和y都是无理数，而立方根是唯一的，因此x³也是无理数。同理，3y³也是无理数。但是，6xy²是有理数。因此，方程左边为无理数，而右边为有理数，与假设矛盾，原命题成立。

2. 已知a,b,c是正整数，满足a² + b² = c²和a + b = c + 1，证明a,b,c中至少有一个是偶数。

解答：假设a,b,c中都不是偶数，即为奇数。根据奇数的性质，可以将他们表示为2m+1, 2n+1, 2p+1的形式，其中m,n,p都是自然数。那么，根据已知条件，有：

(2m+1)² + (2n+1)² = (2p+1)²。

化简得到：

m² + n² = 2p² + 2p - m - n。

这时，左边是偶数，而右边是奇数，显然矛盾。因此，假设不

成立，得证原命题成立。

总结

反证法是一种常用的证明方法，其基本思想是通过否定命题的

逆否命题来证明其正确性。在应用反证法时，需要假设命题不成立，推出一个矛盾结论，从而证明原命题成立。然而，需要注意

的是，反证法需要结合其他证明方法使用，以提高证明的严谨性。