2.3.1平面向量基本定理(教、学案)
新人教A版必修4高中数学2.3.1 平面向量基本定理学案
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4【学习目标】1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题；(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法；(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3情感.态度与价值观（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【重点难点】重点：平面向量基本定理的应用难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λa？ （1）模：|λa|=|λ||a|；（2）方向：λ>0时λa 与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=03. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二【新课导入】情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2：由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【定理解读】1 、1e 、2e 必须是平面向量的基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1，λ2是被a，1e ，2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时 ； λ2=0时 ；λ1=0、λ2=0时 。
平面向量基本定理教案
2.2.1平面向量基本定理教学目的：1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示． 教学重点：平面向量基本定理．教学难点：理解平面向量基本定理．教学过程：一、设置情境，引入新课：上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．二、新课：1．回顾：(1) 实数与向量的积： 实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作λa r ，它的长度和方向规定如下： (1) |λa r | = |λ||a r |． (2) λ > 0时，λa r 的方向与a r 的方向相同；当λ < 0时，λa r 的方向与a r 的方向相反；特别地，当λ = 0或a r =0r 时，λa r =0r ．(2) 共线向量的一个充要条件： 定理：向量b r 与非零向量a r 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b r = λa r ． 例1 已知向量1e u r 、2e u r ，求作向量- 2.51e u r + 32e u r ．推广：已知1e u r 、2e u r 是同一平面内的两个不共线的向量，则对于给定的两个实数λ1、λ2，都可以在这个平面内作出唯一的一个向量a r 满足 1212.a e e λλ=+2．平面向量基本定理： 如果1e u r 、2e u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a r ，有且只有一对实数λ1、λ2，使 a r = λ11e u r + λ22e u r ． 例2 ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB uu u r =a r ，AD uuu r =b r ，用a r 、b r 表示MA uuu r 、MB uuu r 、MC uuu r 和MD uuu r ？ 解：（略 ）例3 如图，ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，且AE uu u r =m u r ，AF uu u r =n r ，求AB uu u r ，AD uuu r ．解：（略）例4 如图，OA uu r 、OB uu u r 不共线，AP uu u r = t AB uu u r (t ∈ R)，用OA uu r 、OB uu u r 表示OP uu u r ．解： （略）三、小结： 1．当平面内取定一组基底1e u r 、2e u r 后，任一向量a r 都被1e u r 、2e u r 唯一确定，其含义是存在唯一数对(λ1，λ2)，使a r = λ11e u r + λ22e u r ． 2．三点A 、B 、C 共线⇔AB uu u r = k AC uuu r ⇔PB uu r = λ1PA uu r + λ2PC uu u r (其中λ1，λ2 ∈ R 且λ1 + λ2 = 1)．四、课后作业： 1．命题p ：向量b r 与a r 共线；命题q ：有且只有一个实数λ，使b r = λa r ；则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件2．如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN = 2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 的值．。
平面向量基本定理教学设计
《平面向量基本定理》教学设计一、教学内容分析本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。
学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
本节内容是第一课时。
二、教学方法与学情本节课为新授课。
根据班级的实际情况，学生思维较活跃，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。
教学方法是综合法，教学手段采用学案式（结合使用多媒体）。
三、三维目标1、知识与技能（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量。
（2）培养学生作图、判断、求解的基本能力。
2、过程与方法（1）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；（2）通过本节学习，让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法。
3、情感态度与价值观通过对平面向量基本定理的运用，培养学生乐于动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想，增强向量的应用意识。
四、教学重点、难点1.重点：对平面向量基本定理的探究；2.难点：对平面向量基本定理的理解及其应用。
五、教学过程1.知识回顾（1）向量的加法运算法则：（2）向量共线定理：问题情境: 【中国航天，国人的骄傲】在物理中，速度是一个向量，速度的合成就是向量的加法运算.速度也可以分解，任何一个大小不为零的速度，都可以分解成两个不同方向的分速度之和.将这种速度的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.2.数形结合、探究规律给定平面内两个不共线的向量1e,2e，可表示该平面内任意向量a 吗？(师生共同讨论,分析任意向量a的各种情况)3.揭示内涵、理解定理平面向量基本定理：如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ11e+λ22e.我们把不共线向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(分析定理中的关键字词)4.例题练习、变式演练例1 已知向量1e ,2e ,求作向量2135.2e e +-变式思考：你还有其他作法吗？ (利用三角形法则也可以)例 2 设1e ,2e 是两个不共线向量，21e e a -=，2132e e b +=，212e e c += ，请根据平面向量基本定理，以a ，b 为基底表示c .(示范操作,共同完成) 变式练习： 设1e ,2e 是两个不共线向量，，， ，请根据平面向量基本定理，(1) 以，为基底表示 （2）以，为基底表示(学生独立完成) 例3 如图，已知梯形ABCD ，AB //CD ，且AB = 2DC ,M ,N 分别是DC ,AB 的中点.在图中选择一组基底，将向量 用这组基底表示出来。
平面向量基本定理(教案)
平面向量基本定理(教案)教案章节一：向量的概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量可以用坐标形式表示，例如在二维空间中，向量可以表示为(a, b)。
1.2 向量的加法向量的加法是指在同一平面内，将两个向量首尾相接，形成的第三个向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
教案章节二：平面向量的基本定理2.1 定理的定义平面向量的基本定理是指在平面内，任何两个不共线的向量可以作为平面的基底。
基底是线性无关的向量组，可以通过线性组合表示平面内的任意向量。
2.2 基底的性质基底是线性无关的，即不存在非零的线性组合使得向量组的和为零。
基底可以任意选择，但选择不同的基底会导致向量的坐标不同。
教案章节三：向量的线性组合3.1 线性组合的定义向量的线性组合是指将向量与实数相乘后相加的结果。
例如，a u + b v 表示将向量u 乘以实数a，向量v 乘以实数b，将两个结果相加。
3.2 线性组合的性质线性组合满足分配律，即(a u + b v) + c w = a (u + c w) + b v。
线性组合的系数可以是任意实数，包括正数、负数和零。
教案章节四：向量的坐标表示4.1 坐标系的建立坐标系是由两个或多个轴组成的，用于表示向量的位置和方向。
在二维空间中，通常使用x 轴和y 轴作为坐标轴。
4.2 向量的坐标表示向量可以用坐标形式表示，即(x, y)，其中x 表示向量在x 轴上的投影，y 表示向量在y 轴上的投影。
向量的长度可以用勾股定理计算，即|u| = √(x^2 + y^2)。
教案章节五：向量的线性相关性5.1 线性相关的定义向量组线性相关是指存在一组不全为零的实数，使得向量组的和为零。
例如，向量组(u, v, w) 线性相关，当存在不全为零的实数a, b, c，使得a u +b v +c w = 0。
5.2 线性相关性的性质如果向量组线性相关，其中任意一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。
(完整版)2017优质课《2.3.1平面向量基本定理》教案
《2.3.1平面向量基本定理》教案参赛号：70一、教材分析本节课是在学习了共线向量定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。
所以，本节在本章中起到承上启下的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。
平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标知识与技能: 了解平面向量基本定理及其意义，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。
教学重点：平面向量基本定理的探究；教学难点：如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.三、教学过程1、情景创设七个音符谱出千支乐曲，26个字母写就百态文章！ 在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？问题1 给定一个非零向量a ，允许做线性运算，你能写出多少个向量？a a λ问题2 给定两个非零向量12 ,e e ，允许做线性运算，写出尽量多的向量？ 1、12 //e e 通过线性运算会得到11221122 +e e e e λλλλ的形式，本质上它们表示的都是1e 的数乘。
2、12 e e ，不共线 通过线性运算会得到1122+e e λλ，它表示的是什么向量？ 1e 2e不妨我们作出几个向量12+e e ，122+e e ， 12-e e ， 12-2e e 来看看。
只要给定1λ和2λ的值，我们就可以作出向量1122+e e λλ，本质上是1e 的数乘和2e 的数乘的合成。
随着1λ和2λ取值的变化，可以合成平面内无数多个向量。
问题3 那么我们能否这样认为：平面上的任何一个向量都可以由1e 和2e 来合成呢？我们在平面上任取一个向量a ，看看它能否由1e 和2e 来合成，也就是能否找到这样的1e 和2e ，使1122+a e e λλ=？这个问题可简述为：平面上有两个不共线的向量1e 和2e ，平面上的任意一个向量能否用这两个向量来表示？思考探究： 根据探寻的目标1122+a e e λλ=，结合上面向量合成的做法，显然a 就应该是合成后的平行四边形的对角线，而平行四边形两边应该是1e 和2e 所在的直线，因此，只要作出这个平行四边形，问题就迎刃而解了。
2.3.1 平面向量基本定理学案【人教版】高中数学必修
§2.3.1 平面向量基本定理一．教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；二、讲解新课：1．创设情景，揭示课题.(1)给定平面内任意两个向量e 1,e 2.请同学作出向量3e 1+2e 2,e 1-2e 2. 引导学生分析向量e 1,e 2的可能位置关系,区分共线和不共线两种情况, 小结1。
:给定平面内任意两个向量e 1,e 2及实数λ1，λ2，则一定可以作出向量λ1e 1+λ2e 2。
(2)思考: 给定平面内任意两个向量e 1,e 2.平面内任意一个向量a ，是否可以将a 表示成λ1e 1+λ2e 2的形式?，既是否找到实数λ1，λ2，使a=λ1e 1+λ2e 2.2.教师引导学生交流讨论探究平面向量基本定理平面内任意两个向量e 1,e 2, a 是平面内任一向量,作图研究a 与e 1,e 2.之间的关系.(1) e 1,e 2.共线时.结论1 ：不一定存在实数λ1，λ2，使a=λ1e 1+λ2e 2.(2) e 1,e 2.不共线时.如图,已知平面内任意两个向量e 1,e 2,a 是平面内任一向量,引导学生作图, 用e 1,e 2,表示a,小结2：任意向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1,e 2,表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.即a=λ1e 1+λ2e 2.操作验证:当e 1,e 2, a 确定后,这样的实数λ1,λ2是唯一确定的.3.平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，使a =λ11e +λ22e .探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量4.向量的夹角和垂直 两个非零向量a,b,作→→=a OA ,→→=b OB ,则)0(,πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a,b 的夹角.当向量a,b 的夹角是 90时,称向量a,b 垂直,记作a ⊥b.当夹角为0°时，同向共线;当夹角为180°时，反向共线。
数学苏教版必修4学案：第2章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理
向量的坐标表示2．3.1平面向量基本定理[对应学生用书P42]预习课本P74～76，思考并完成下列问题1．平面向量基本定理的内容是什么？2．平面向量基本定理与向量共线定理，在内容和表述形式上有什么区别和联系？3．如何定义平面向量的基底？[新知初探]1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2．基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是惟一的；③基底不惟一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．3．正交分解一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．[小试身手]1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝________. ★答案★：12(e 1＋e 2)2．已知ABCDEF 是正六边形，且AB ＝a ，AE ＝b ，则BC ＝________. 解析：AD ＝AE ＋ED ＝AE ＋AB ＝b ＋a ， 又AD ＝2BC ，∴BC ＝12(a ＋b )．★答案★：12(a ＋b )3．若e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是________． ①e 1－e 2，e 2－e 1；②2e 1＋e 2，e 1＋2e 2；③2e 2－3e 1,6e 1－4e 2；④e 1＋e 2，e 1－e 2. ★答案★：②④4．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量a ＝2e 1－e 2与向量b ＝e 1＋λe 2(λ∈R)共线，则λ＝________.★答案★：－12对基底概念的理解[典例] 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则λ1μ2＝λ2μ1； ④若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0.[解析] 由平面向量基本定理可知，①③④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.[★答案★] ②基底具备两个主要特征： (1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不惟一的．e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．①e 1＋e 2，e 1－e 2；②3e 1－2e 2,4e 2－6e 1；③e 1＋2e 2，e 2＋2e 1；④e 2，e 1＋e 2；⑤2e 1－15e 2，e 1－110e 2.解析：由题意，知e 1，e 2不共线，易知②中，4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，即3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，∴②不能作基底．⑤中，2e 1－15e 2＝2⎝⎛⎭⎫e 1－110e 2， ∴2e 1－15e 2与e 1－110e 2共线不能作基底．★答案★：②⑤向量的分解[典例] 如图，已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，设AB ＝l 1，AD ＝l 2，OA ＝l 3，OB ＝l 4.(1)试以l 1，l 2为基底表示AC ，BD ，DC ，BC ； (2)试以l 1，l 3为基底表示BC ，DA ； (3)试以l 3，l 4为基底表示AB ，BC .[解] (1)AC ＝l 1＋l 2，BD ＝l 2－l 1，DC ＝l 1，BC ＝l 2. (2)BC ＝AC －AB ＝－2OA －AB ＝－l 1－2l 3，DA ＝CB ＝－BC ＝l 1＋2l 3.(3)AB ＝l 4－l 3，BC ＝OC －OB ＝－OA －OB ＝－l 3－l 4.向量分解的方法(1)将两个不共线的向量作为基底，运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的惟一性求解． 如图，在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG ＝13DC ，试以a ，b 为基底表示向量AF 与EG .解：AF ＝AB ＋BF ＝AB ＋12BC＝AB ＋12AD ＝a ＋12b .EG ＝EA ＋AD ＋DG ＝－12AB ＋AD ＋13DC＝－12a ＋b ＋13a ＝－16a ＋b .平面向量基本定理的应用[若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.[解析] [法一 基向量法] 由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2AC ＝0， 得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ＋12 AB ＝0， 得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ＝0. 又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.[法二 待定系数法]连接MN 并延长交AB 的延长线于点T ，由已知易得AB ＝45AT ，所以，45AT ＝AB ＝λAM ＋μAN ，即AT ＝54λAM ＋54μAN ，因为T ，M ，N 三点共线． 所以54λ＋54μ＝1.所以λ＋μ＝45.[★答案★] 45当直接利用基底表示向量比较困难时，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．已知向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，且a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1－2e 2，c ＝2e 1＋3e 2，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，试求λ，μ的值．解：将a ＝e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2代入c ＝λa ＋μb 得 c ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(3e 1－2e 2)＝(λ＋3μ)e 1＋(λ－2μ)e 2.因为c ＝2e 1＋3e 2，且向量e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的惟一性可得方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ＋3μ＝2，λ－2μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝135，μ＝－15.层级一 学业水平达标1．设e 1，e 2是平面的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由方程组：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b ，所以e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b . ★答案★：23 －132．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .解析：寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD 中，AD 与AB 不共线，CA 与DC 不共线；而DA ∥BC ，OD ∥OB ，故①③可作为基底．★答案★：①③3．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝________.解析：设AD 与BE 交点为F ，则FD ＝13a ，BF ＝23b .所以BD ＝BF ＋FD ＝23b ＋13a ，所以BC ＝2BD ＝23a ＋43b .★答案★：23a ＋43b4．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AM ＝4MC ，P 为AD 的中点，则MP ＝______. 解析：如图，MP ＝AP －AM ＝12AD －45AC ＝12AD －45(AB ＋BC )＝12b －45(a ＋b )＝－45a －310b . ★答案★：－45a －310b5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ＝23OA ＋13OB ，则|AC ||AB |＝________. 解析：因为OC ＝23OA ＋13OB ，所以OC －OA ＝－13OA ＋13OB ＝13(OB －OA )，所以AC ＝13AB ，所以|AC ||AB |＝13.★答案★：136．如图，在△ABC 中，AN ＝13NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋211AC ，则实数m 的值为________．解析：因为AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋k BN ＝AB ＋k (AN －AB )＝AB ＋k ⎝⎛⎭⎫14 AC －AB ＝(1－k )AB ＋k 4AC ，且AP ＝m AB ＋211AC ，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.★答案★：3117．下面三种说法中，正确的是________．①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量．解析：同一平面内两个不共线的向量都可以作为基底． ★答案★：②③8．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s ＝________.解析：如图，因为CD ＝AD －AC ，DB ＝AB －AD .所以CD ＝AB －DB －AC ＝AB －12CD －AC .所以32CD ＝AB －AC ，所以CD ＝23AB －23AC .又CD ＝r AB ＋s AC ，所以r ＝23，s ＝－23，所以r ＋s ＝0.★答案★：09.已知▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AB ＝a ，AD ＝b ，以a ，b 为基底表示MA ，MB ，MC 和MD .解：AC ＝AB ＋AD ＝a ＋b ，DB ＝AB －AD ＝a －b ，MA ＝－12AC ＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB ＝12DB ＝12(a －b )＝12a －12b . MC ＝12AC ＝12a ＋12b ，MD ＝－12DB ＝－12a ＋12b .10．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.所以λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2)＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以c ＝2a ＋b .(3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2)＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.层级二 应试能力达标1．设e 1与e 2是两个不共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝－2e 1＋5e 2，若实数λ，μ满足λa ＋μb ＝5e 1－e 2，则λ，μ的值分别为_________________．解析：由题设λa ＋μb ＝(3λe 1＋4λe 2)＋(－2μe 1＋5μe 2)＝(3λ－2μ)e 1＋(4λ＋5μ)e 2.又λa ＋μb＝5e 1－e 2.由平面向量基本定理，知⎩⎪⎨⎪⎧3λ－2μ＝5，4λ＋5μ＝－1.解之，得λ＝1，μ＝－1.★答案★：1，－12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：∵AD ＝2DB ，∴CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23AB ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB .又∵CD ＝13CA ＋λCB ，∴λ＝23.★答案★：233．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. ★答案★：34．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是________．解析：由PA ＝λAB ，得OA －OP ＝λ(OB －OA )， 即OP ＝(1＋λ)OA －λOB .又2OP ＝x OA ＋y OB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. ★答案★：x ＋y －2＝05.如图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．解析：以a ，c 为基底时，将BD 平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．★答案★：a ＋b 2a ＋c6.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝2 3.若OC ＝λOA ＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．解析：以OC 为对角线，OA ，OB 方向为边作平行四边形ODCE ，由已知∠COD ＝30°，∠COE ＝∠OCD ＝90°.在Rt △OCD 中，因为|OC |＝23，所以|OD |＝|OC |cos 30°＝4，在Rt △OCE 中，|OE |＝|OC |·tan 30°＝2，所以OD ＝4OA ，OE ＝2OB ，又OC ＝OD ＋OE＝4OA ＋2OB ，故λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.★答案★：67. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP ∶PM ＝4∶1.证明：设AB ＝b ，AC ＝c ， 则AM ＝12b ＋12c ，AN ＝23AC ，BN ＝BA ＋AN ＝23c －b .因为AP ∥AM ，BP ∥BN ，所以存在λ，μ∈R ，使得AP ＝λAM ，BP ＝μBN ， 又因为AP ＋PB ＝AB ，所以λAM －μBN ＝AB ， 所以由λ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c －μ⎝⎛⎭⎫23c －b ＝b 得⎝⎛⎭⎫12λ＋μb ＋⎝⎛⎭⎫12λ－23μc ＝b . 又因为b 与c 不共线．所以⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.故AP ＝45AM ，即AP ∶PM ＝4∶1.8．在△OAB 中，OC ＝14OA ，OD ＝12OB ，AD 与BC 交于点M ，设OA ＝a ，OB ＝b ，以a ，b 为基底表示OM .解：设OM ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， 则AM ＝OM －OA ＝(m －1)a ＋nb ，AD ＝OD －OA ＝12b －a .因为A ，M ，D 三点共线，所以m －1－1＝n12，即m ＋2n ＝1. 又CM ＝OM －OC ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋nb ，CB ＝OB －OC ＝－14a ＋b ，因为C ，M ，B 三点共线，所以m －14－14＝n 1， 即4m ＋n ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧ m ＝17，n ＝37，所以OM ＝17a ＋37b .。
平面向量基本定理学案
2.3.1平面向量基本定理２.３.２平面向量的正交分解及坐标表示学习目的：1.了解平面向量基本定理，了解基底的含义.2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.3.理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量．重点:平面向量基本定理难点:两向量夹角的定义及定理的运用自学设计:一. 两向量的夹角与垂直1.夹角:已知两个 a 和b ,作OA =a ,OB =b ,则 =θ,叫做向量a 与b 的夹角.记作,a b (1)范围:向量a 与b 的夹角的范围是 .(2)当00θ=时a 与b .(3)当0180θ=时a 与b .2.垂直:如果向量a 与b 的夹角是 ,则称a 与b 垂直,记作 .在等边ABC ∆中, ,AB BC = .二. 平面向量基本定理1.定理:如果1e ,2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数1,2λλ，使a = (称为平面向量的线性表示) .2.基底: 的向量1e ,2e 叫做表示这一平面内 向量的一组基底.由定义,平面向量的基底唯一吗?３．把一个向量分解成两个 的向量,叫做把向量正交分解.4.平面向量的坐标:在平面直角坐标系中,分别取与x 轴y 轴方向相同的两个 i ,j 作为基底,对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y,使得a = ,则把有序数对 叫做向量a 的坐标.课堂达标:(A 组)1.关于基底的说法正确的序号是(1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底.(2)基底中的向量可以是零向量.(3)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.O θA B ba2.若i =(1,0), j =(0,1),且a =2i +j ,则a 的坐标为( )A.(2,0)B.(2,1)C.(1,0)D.(0,1)3.如图所示,D 是BC 边的中点,试用基底,AB AC AD 表示课堂达标:(Ｂ组)已知四边形OADB 是以向量OA =a ,OB =b 为邻边的平行四边形,C 为对角线的交点.又11,33BM BC CN CD == ,试用a ,b 表示,.OM ON。
2.3.1 平面向量基本定理(A3)
小结 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标 向量． 这有时要利用平面几何知识． 要注意将平面几何知识中的性质、 结论与向量知识有机结合， 具体问题具体分析解决． 训练 1 如图所示，在□ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中点，已知 AM ＝c， AN ＝d，试 通过观察，可得： 用 c，d 表示 AB ， AD .
例3
b 为基底表示 OM .
(
)
2． 设 e1、e2 是不共线的两个向量， 给出下列四组向量： ①e1 与 e1＋e2； ②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1 －2e2 与 4e2－2e1；④e1＋e2 与 e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 ________．(写出所有满足条件的序号) 小结 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用； (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握． 训练 3 如图所示，已知△AOB 中，点 C 是以 A 为中心的点 B 的对称点， OD ＝2 DB ，DC 和 OA 交于点 E，设 OA ＝a， OB ＝b. (1)用 a 和 b 表示向量 OC 、 DC ；(2)若 OE ＝λ OA ，求实数 λ 的值． 3．如图，已知 AB ＝a， AC ＝b， BD ＝3 DC ，用 a，b 表示 AD ，则 AD ＝________.
例2
如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝2CD，M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若 AB ＝a，
AD ＝b，试用 a、b 表示 DC 、 BC 、 MN .
(2)证明定理中 λ1，λ2 的唯一性． 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和 e1、e2 共面的任一向量，且存在实数 λ1、 λ2 使 a＝λ1e1＋λ2e2，证明 λ1，λ2 是唯一确定的．(提示：利用反证法)
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来．3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．状元随笔 平面向量基本定理的理解(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角，∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (2)若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量．( )(3) 若a e 1＋b e 2＝c e 1＋d e 2(a ，b ，c ，d ∈R )，则a ＝c ，b ＝d .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④ D．③④解析：①AD →与AB →不共线；②DA →＝－BC →，则DA →与BC →共线；③CA →与DC →不共线；④OD →＝－OB →，则OD →与OB →共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．答案：B3．在△ABC 中，向量AB →，BC →的夹角是指( )A ．∠CAB B ．∠ABC C ．∠BCAD ．以上都不是解析：由两向量夹角的定义知，AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角，故选D. 答案：D4．如图所示，向量OA →可用向量e 1，e 2表示为________．解析：由图可知，OA →＝4e 1＋3e 2. 答案：OA →＝4e 1＋3e 2类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1，e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e 1与e 1＋e 2； ②e 1－2e 2与e 2－2e 1； ③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．【解析】 ①设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1不共线，即e 1与e 1＋e 2能作为一组基底． ②设e 1－2e 2＝λ(e 2－2e 1)，则(1＋2λ)e 1－(2＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2λ＝0，2＋λ＝0，无解，∴e 1－2e 2与e 2－2e 1不共线，即e 1－2e 2与e 2－2e 1能作为一组基底． ③∵e 1－2e 2＝－12(4e 2－2e 1)，∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，即e 1－2e 2与4e 2－2e 1不能作为一组基底．④设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则(1－λ)e 1＋(1＋λ)e 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，无解，∴e 1＋e 2与e 1－e 2不共线，即e 1＋e 2与e 1－e 2能作为一组基底．【答案】 ③由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可．方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量，若x 1a ＋y 1b ＝x 2a ＋y 2b ，则{ x 1＝x 2，y 1＝y 2.提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．跟踪训练1 下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量．其中正确的说法是( )A.①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③解析：平面内向量的基底是不唯一的，在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底；零向量可看成与任何向量平行，故零向量不可以作为基底中的向量，故B 项正确．答案：B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，一定要注意“不共线”这一条件，在做题时容易忽略此条件而导致错误，同时还要注意零向量不能作基底．类型二 用基底表示平面向量例2 如图所示，在▱ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，DC 边上的中点，DE 与BF 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.【解析】 DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋12BC →＝－AD →＋AB →＋12AD →＝a －12b .BF →＝BA →＋AD →＋DF →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝b －12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论，把其他相关的向量用这一组基底表示出来．方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．跟踪训练2 (1)本例条件不变，试用基底a ，b 表示AG →；(2)若本例中的基向量“AB →，AD →”换为“CE →，CF →”即若CE →＝a ，CF →＝b ，试用a ，b 表示向量DE →，BF →.解析：(1)由平面几何知识知BG ＝23BF ，故AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BF →＝a ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝a ＋23b－13a ＝23a ＋23b . (2)DE →＝DC →＋CE →＝2FC →＋CE →＝－2CF →＋CE →＝－2b ＋a . BF →＝BC →＋CF →＝2EC →＋CF →＝－2CE →＋CF →＝－2a ＋b .用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则． 类型三 向量的夹角例3 已知|a |＝|b |，且a 与b 的夹角为120°，求a ＋b 与a 的夹角及a －b 与a 的夹角．【解析】 如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝120°，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b .因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形． 所以OC →与OA →的夹角∠AOC ＝60°，BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC ＝30°.所以a ＋b 与a 的夹角为60°，a －b 与a 的夹角为30°.作图，由图中找到a →－b →与a →的夹角，利用三角形、四边形的知识求角． 方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角． (2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．跟踪训练3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，求a ＋b 与a 的夹角，a －b 与a 的夹角．解析：如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°，以OA ，OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BC →＝OA →＝a . 因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形． 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC . 即a －b 与a 的夹角为60°. 因为|a |＝|b |，所以▱OACB 为菱形．所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°. 即a ＋b 与a 的夹角为30°.作出向量a →，b →，a →＋b →，a →－b →，利用平面几何知识求解． 2.3.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 解析：∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )．∴a ＋b 与c 共线． 答案：B2．当向量a 与b 共线时，则这两个向量的夹角θ为( ) A ．0° B．90°C ．180°D ．0°或180°解析：当向量a 与b 共线，即两向量同向时夹角θ＝0°，反向时夹角θ＝180°. 答案：D3．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基底表示AC →，则AC →＝( ) A.12(a －b ) B ．2b －a C.12(b －a ) D ．2b ＋a解析：如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从而AD →＝12(AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB →＝2b －a .答案：B4．在正方形ABCD 中，AC →与CD →的夹角等于( ) A ．45° B．90° C ．120° D．135° 解析：如图所示，将AC →平移到CE →，则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角，夹角为135°. 答案：D5．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( )55C.85D.45解析：∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →， ∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45.∴3r ＋s ＝125－45＝85.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为________．解析：因为a ，b 是一组基底，所以a 与b 不共线， 因为(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.答案：37．已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，若OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OC →，则OC →＝________.解析：AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，∵2AC →＋CB →＝0，∴2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0，∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b .答案：2a －b8．在正方形ABCD 中，E 是DC 边上的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________.解析：BE →＝BC →＋CE →＝AD →－12AB →＝b －12a .2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB→＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →、NP →、PM →表示出来．解析：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．[能力提升](20分钟，40分)11．设非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°解析：设向量a ，b 的夹角为θ，作BC →＝a ，CA →＝b ，则c ＝a ＋b ＝BA →(图略)，a ，b 的夹角为180°－∠C .∵|a |＝|b |＝|c |，∴∠C ＝60°，∴θ＝120°.答案：B 12.如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于H ，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23. 答案：2313．如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，试以a ，b 为基底表示OM →.解析：根据平面向量基本定理可设OM →＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则AM →＝OM →－OA →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝OD →－OA →＝12b －a ＝－a ＋12b ， ∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →＝λAD →(λ为实数)，∴AM →＝－λa ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝－λ，n ＝12λ，消去λ得m ＋2n ＝1.而CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b ， ∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →＝μCB →(μ为实数)，∴CM →＝－μ4a ＋μb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －14＝－14μ，n ＝μ，消去μ得4m ＋n ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2n ＝1，4m ＋n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . 14．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求：(1)AD →与BD →夹角的大小；(2)DC →与BD →夹角的大小．解析：(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，所以AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形．因为tan A ＝BC AB ＝13＝33， 所以A ＝30°.又因为D 为AC 的中点，所以∠ABD ＝∠A ＝30°，AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →＝DC →，所以DC →与BD →的夹角也为120°.。
平面向量基本定理学案
平面向量基本定理预习学案一、学习目标1、 了解平面向量基本定理及其意义，会利用向量基本定理解决简单问题。
2、 通过平面向量基本定理的得出过程，体会由特殊到一般的思维方法。
二、学习重点、难点重点：平面向量基本定理的应用 难点：对平面向量基本定理的理解 三、问题探究1、 当基底确定后，平面内任一向量的表示是唯一的，为什么？2、 同一非零向量在不同基底下的分解式相同吗？四、知识梳理1、 平面向量基本定理：2、 我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为2211e a e a +叫做3、 已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，则对于直线l 上任一点P ，存在实数t ，使关于基底的分解式为=OP ，这个等式叫做直线的向量参数方程式。
课堂效果自测有向量的基底的是（）所在平面上表示其他所行四边形向量组中可作为这个平两对角线的交点，下列是平行四边形设点ABCD O .1①AB AD 与 ②BC DA 与 ③DC CA 与 ④OB OD 与 A.①② B.①③ C.①④ D.③④2.如图，D,E,F 是三角形ABC 的边BC,CA,AB 的中点，且b CA a BC 2,2==，在给出的下列四个等式中，正确的是（ ）①b a AD 2+=②b a BE +=2 ③a b BF += ④CA BC AB CF BE AD ++=++A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②③④3.在平行四边形ABCD 中，NC AN b AD a AB 3,,===，点M 为BC 中点，则MN ={}NPMP MN b a b AC a AB AB AP CA CN BC BM AB CA BC ABC P V M ,,,,41,41,41,,,,.4基底下的分解式：，试写出下列向量在此，选择基底，如果上的点，且三边分别是三角形如图，已知=====A BCDE F AP NCMB平面向量基本定理讲授学案一、知识回顾：1.向量的平行四边形法则2.平行向量基本定理 二、知识讲解引例：如教材中图2-34,设1e ,2e 是两个不平行的向量,用向量1e ,2e 表示图中向量？平面向量基本定理如果1e ,2e 是一平面内的两个 的向量,那么该平面内的 向量a ,存在 的一对实数21,a a 使a = .把不共线向量1e ,2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 . 反思小结三、例题分析例1?M MD MC MB MA b a b AD a AB ABCD 、、、表示、，用 ，且，的两条对角线相交于点如图所示，平行四边形== C.,,,,,AD AB d c d AN c AM BC DC N M ABCD 表示，试用已知的中点分别是中，拓展：在平行四边形==MC NBA D小结：例2四、课堂小结五、课后作业1. 课后练习A 1、22. 预习向量的正交分解与向量的直角坐标运算{}.)1(:,.上一定在并且，满足上式的点的分解式为，使关于基底，存在实数上任一点求证：对直线外一点是上任意两点，点是直线，已知：l P OB t OA t OP OB OA t P l l O l B A +-= ABOP1.1.0.1.(),),,(,,=+=-=+-=++=n m D n m C n m B n m A n m c b a c b a b n a m c 需满足的条件是，有公共的起点设终点在一条直线上要使的拓展：已知。
平面向量基本定理(教案)
《2.3.1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。
2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。
因此本节知识在本章中起承上启下的作用。
3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。
它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。
【目标分析】知识与技能1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合；2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。
过程与方法1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念；2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定理所蕴含的转化思想。
情感态度价值观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程；2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。
【学情分析】有利因素1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备；2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这为我们学习向量分解提供了认知准备。
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理教案 必修4
2．3.1 平面向量基本定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量．(2)能用平面向量的基本定理解决一些简单的几何问题．2．过程与方法由概念的形成过程和在解题中的作用，进一步体验数形结合思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过学习平面向量基本定理和向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识、事物之间的相互联系和相互转化．(2)通过例题及练习，体会向量语言及运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用．●重点难点重点：平面向量基本定理及其意义．难点：平面向量基本定理的应用.(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量基本定理教学教学时，建议教师从学生熟知的力学知识出发，结合教材实例中有关力及速度的合成与分解，先让学生从感性上认识向量可分解性，在此基础上结合向量的平行四边形法则由学生自主总结出平面向量基本定理的内容，教师就定理的有关注意事项做适当补充，不必要求学生会证明该定理．2．关于应用平面向量基本定理的教学教学时，建议教师结合实例，让学生明确平面向量基本定理在解决实际问题中的作用．通过实例进一步理解平面向量基本定理的实质，为下一节坐标系的建立奠定基础．●教学流程创设问题情境，引入平面向量基本定理，并引导学生初步理解定理及其作用.⇒引导学生结合向量共线等知识，理解基底概念及向量的正交分解的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生进一步正确理解平面向量基本定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用基底表示向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平面向量基本定理求参数的值及证明三点共线等问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解平面向量基本定理及其意义．(难点)2.了解基底的含义．3.会用任意一组基底表示指定的向量．4.能应用平面向量基本定理解决一些实际问题．(重点)平面向量基本定理【问题导思】已知▱ABCD 的对角线交点为O ，AB →＝a ，AD →＝b ，如何用a ，b 表示AO →？ 【提示】 AO →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(a ＋b)＝12a ＋12b.(1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.平面向量的正交分解【问题导思】一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G ，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？ 【提示】 能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a ＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a 的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a 的正交分解.平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；(2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe1＋λe2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量． 【思路探究】 运用基底概念与平面向量基本定理进行判断． 【自主解答】 (1)正确．若λ≠0，则e1＝－μλe2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.(2)不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一确定． (3)正确．平面α内的任一向量a 可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．(4)不正确．结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λ和μ确定后，其和向量λe1＋μe2才惟一确定．1．对于平面内任何向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解为两个不共线的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面内不共线的向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等均不能构成基底．下列两个命题(1)若a e1＋b e2＝c e1＋d e2(a ，b ，c ，d ∈R)，则a ＝c ，b ＝d. (2)若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．其中正确的是________．【解析】 (1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立． (2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.因为1－λ与1＋λ不同时为0，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线矛盾．所以e1＋e2与e1－e2不共线，因而它们可以作为一组基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来． 【答案】 (2)用基底表示向量图2－3－1如图2－3－1所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.【思路探究】 OM →＝OB →＋BM →，ON →＝OC →＋CN →，MN →＝ON →－OM →，再将各量转化为OA →，OB →. 【自主解答】 BA →＝OA →－OB →＝a －b. ∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b.又OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b. 1．若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算，找到所求向量与基底的关系．2．若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后用上述方法求解． 图2－3－2(2013·南通高一检测)如图2－3－2，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示DC →，BC →，MN →.【解】 如图所示，连结CN ，则四边形ANCD 是平行四边形，即DC →＝AN →＝12AB →＝12a ，BC →＝NC →－NB →＝AD →－12AB →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝－AD →－12CD →＝－AD →－12(－12AB →)＝14a －b.平面向量基本定理的应用图2－3－3如图2－3－3，已知在△OAB 中，延长BA 到C ，使AB ＝AC ，D 是将OB →分成2∶1的一个分点(靠近B 点)，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b ， (1)用a ，b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【思路探究】 (1)由题意可知A 是BC 的中点，利用平行四边形法则求OC →，利用三角形法则求DC →；(2)利用C ，D ，E 三点共线，结合共线向量定理求解． 【自主解答】 (1)∵A 为BC 中点， ∴OA →＝12(OB →＋OC →)，OC →＝2a －b ；DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b.(2)设OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λOA →－OC →＝λa－2a ＋b ＝(λ－2)a ＋b. ∵CE →与CD →共线，∴存在实数m ，使得CE →＝mCD →，即(λ－2)a ＋b ＝m(－2a ＋53b)，即(λ＋2m －2)a ＋(1－53m)b＝0.∵a ，b 不共线且为非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2m －2＝0，1－53m ＝0，解得λ＝45.1．此类问题要结合图形条件与所求证问题，寻求解题思路．本题充分利用三点共线，即共线向量定理，共面向量定理，建立方程组求解，同时要恰当选择基底简化运算．2．应用平面向量基本定理来证明平面几何问题的一般方法是：先选取一组基底，再根据几何图形的特征应用向量的有关知识解题． 图2－3－4如图2－3－4，已知▱ABCD 中M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD.求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】 ∵M 为AB 的中点，N 在BD 上，3BN ＝BD ， ∴MB →＝12AB →，BN →＝13BD →，∴MN →＝MB →＋BN →＝12AB →＋13BD →＝12AB →＋13(AD →－AB →)＝16AB →＋13AD →，又MC →＝MB →＋BC →＝12AB →＋AD →＝3(16AB →＋13AD →)＝3MN →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点， ∴M ，N ，C 三点共线.用待定系数法确定向量的表示 图2－3－5(14分)如图2－3－5，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN 的值． 【思路点拨】 可先从已知图形中选出两个简单向量作为一组基底建立起数学模型，由图形特征可知选择BM →与CN →作为基向量较好． 【规范解答】 设BM →＝e1，CN →＝e2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e2－e1，BN →＝BC →＋CN →＝2e1＋e2. 4分 ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP →＝λAM →＝－λe1－3λe2， BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2. 故BA →＝BP →＋PA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2. 8分 而BA →＝BC →＋CA →＝2e1＋3e2， 由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，BP →＝35BN →.即AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2. 14分基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的重要方法，关键在于选取的基底是否合适，要注意与已知条件的联系．可用方程思想，利用待定系数法确定向量． 1．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理中，实数λ1、λ2的惟一性是相对于基底e1，e2而言的，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟一的．2．对基底的理解 (1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不惟一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． (2)关于基底的一个结论设e1，e2是平面内的一组基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0. (3)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．1．下列关于基底的说法正确的是________．(填序号) ①平面内不共线的任意两个向量都可以作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是惟一确定的． 【解析】 作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不能是零向量，②不正确，①③正确．【答案】 ①③2．已知向量e1，e2不共线，实数x ，y 满足(3x －4y)e1＋(2x －3y)e2＝6e1＋3e2，则x －y 的值为________．【解析】 ∵(3x －4y)e1＋(2x －3y)e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3.∴x －y ＝6－3＝3.【答案】 3 图2－3－63．在如图2－3－6所示的平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】 MN →＝MC →＋CN →＝12AD →－14AC →＝12b －14(a ＋b)＝－14a ＋14b.【答案】 －14a ＋14b4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，求λ的值．【解】 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点， 若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.一、填空题1．若O 是▱ABCD 的两对角线的交点，下列向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________． ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.【解析】 只要是平面上不共线的两个向量都可作为基底，AD →与AB →是有公共点的不共线向量，CA →与DC →也是有公共点的不共线向量．【答案】 ①③ 2．已知e1，e2是平面所有向量的一组基底，那么下列一组向量不能作为基底的是________． ①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－e2. 【解析】 因为4e1－2e1＝－2(e1－2e2)， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线． 【答案】 ③ 图2－3－73．如图2－3－7，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，M 是DC 的中点，以a ，b 为基底表示向量AM →＝________.【解析】 AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a.【答案】 b ＋12a4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则nm ＝________.【解析】 由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2， ∴nm ＝2. 【答案】 25．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →(m≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP →用OA →，OB →表示为________．【解析】 由AP →＝mPB →得OP →－OA →＝m(OB →－OP →)， ∴OP →＋mOP →＝OA →＋mOB →，∴OP →＝OA →＋mOB →1＋m .【答案】 OP →＝OA →＋mOB→1＋m6．如图2－3－8，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，若CE →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s ＝________. 图2－3－8【解析】 由E 是AD 的中点，则CE →＝12(CA →＋CD →)＝－12AC →＋14CB →＝－12AC →＋14(AB →－AC →)＝14AB →－34AC →，则r ＋s ＝－12.【答案】 －127．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且BD →＝DC →，AE →＝2EC →，AF →＝2FB →，则2AD →＋3BF →＋3CE →＝________.【解析】 由BD →＝DC →，易知AD →＝12(AB →＋AC →)，所以2AD →＝AB →＋AC →，再由AE →＝2EC →，AF →＝2FB →，可知3BF →＝BA →，3CE →＝CA →，所以2AD →＋3BF →＋3CE →＝0. 【答案】 08．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【解析】 设BC →＝b ，BA →＝a ，则AF →＝12b －a ，AE →＝b －12a ，AC →＝b －a ，代入AC →＝λAE →＋μAF →，得b －a ＝(λ＋μ2)b －(λ2＋μ)a，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ2＋μ，1＝λ＋μ2，解得λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.【答案】 43二、解答题9．(2013·保定高一检测)设e1，e2为两个不共线的向量，a ＝－e1＋3e2，b ＝4e1＋2e2，c ＝－3e1＋12e2，试用b ，c 为基底表示向量a. 【解】 设a ＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R 则， －e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－118，λ2＝727，∴a ＝－118b ＋727c.10．平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，N 为BC 的中点，设AB →＝b ，AD →＝d ，AM →＝m ，AN →＝n.(1)以b ，d 为基底，表示MN →； (2)以m ，n 为基底，表示AB →. 【解】 如图所示．(1)MN →＝AN →－AM →＝(AB →＋BN →)－(AD →＋DM →)＝(b ＋12d)－(d ＋12b)＝12b －12d.(2)m ＝AD →＋DM →＝d ＋12AB →，①n ＝AB →＋BN →＝AB →＋12d ，所以2n ＝2AB →＋d ，② 由①②消去d ，得AB →＝43n －23m.图2－3－911．如图2－3－9所示，在△ABC 中，点M 是边BC 的中点，点N 在边AC 上，AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求证：AP →＝4PM →.【证明】 记BM →＝e1，CN →＝e2，所以AC →＝－3e2，CM →＝－e1，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e2－e1，BN →＝BC →＋CN →＝2e1＋e2.因为A ，P ，M 共线，且B ，P ，N 共线，所以存在实数λ，μ，使AP →＝λAM →＝－3λe2－λe1，BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2， 所以BA →＝BP →＋PA →＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又BA →＝BC →＋CA →＝2e1＋3e2，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以AP →＝45AM →，所以AP ∶PM ＝4∶1，即AP →＝4PM →.(教师用书独具)用向量法证明三角形的三条中线交于同一点．【思路探究】 令△ABC 的中线AD 与中线BE 交于点G1，中线AD 与CF 交于点G2，利用向量说明G1与G2重合，证得三条中线交于一点．【自主解答】 如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线．令AC →＝a ，BC →＝b ，则AB →＝CB →－CA →＝AC →－BC →＝a －b ，AD →＝AC →＋CD →＝a －12b ，BE →＝BC →＋CE →＝－12a＋b.令AD 与BE 交于点G1，并假设AG1→＝λAD →，BG1→＝μBE →，则有AG1→＝λa－λ2b ，BG1→＝－μ2a ＋μb.∴AG1→＝AB →＋BG1→＝(1－μ2)a ＋(μ－1)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1.由此可得λ＝μ＝23，∴AG1→＝23AD →.再令AD 与CF 相交于G2，同样的方法可得AG2→＝23AD.∴G1与G2重合，即AD ，BE ，CF 相交于同一点． ∴三角形三条中线交于一点．向量方法证明三线共点的思路为：设三条直线l1，l2，l3中l1与l2的交点为G1，l2与l3的交点为G2，在图形中选择两个简单的不共线的向量作为基底，证明共起点的向量表示惟一，如证AG1→＝AG2→，则得G1，G2重合．在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点.AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b.求证：B ，E ，F 三点共线．【证明】 因为D 是BC 的中点，所以有AD →＝12(a ＋b)．又因为AE →＝23AD →＝13(a ＋b)，AF →＝12AC →＝12b ， 所以BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b)－a ＝13(b －2a)， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a)． 所以BE →＝23BF →. 又BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。
平面向量基本定理学案
必修4 2．3．1 平面向量基本定理【学习目标】1.能举例说明平面向量基本定理，能理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；２.能够在具体问题中适当地选取基底，使其它向量都能够用该基底来表达；３.通过实际作图体会平面向量基底的不唯一性，体会数学中辩证唯物主义思想，初步 掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；【学习重点】平面向量基本定理．【难点提示】平面向量基本定理的理解与灵活运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材9394P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白或横线处，同时思考下列问题： 1.向量的数乘的定义及其规定 、 、 、 ；2.向量数乘的运算律 、 、 ；3.平行向量与共线向量的区别与联系 ；4.向量共线定理 ；5.如图已知两个不共线的单位向量a 、b ，请作出向量 2a 、3b 、23a b +、2a b -，感悟向量a 、b 、23a b +、2a b -有怎样的关系？它们在同一平面吗？6.在初中，“角”的概念是 ，aｂ 图2.3.1-1两条直线间有角相关的概念吗？那么，我们现在研究的向量中任意两个向量之间有角度的问题吗？以上5、6提出的问题就是本节课我们要探究的问题！二、学习探究 1.平面向量基本定理●思考阅读 请同学们对“学习准备”中的问题5进行发挥发散思维，大胆探究： 若向量C 是向量a 、b 所在平面中的任意一个向量，则向量C 能表示为C a b λμ=+，其中λμ、是待定的实数？若能，请作图与解释！继续探究：若将“学习准备”中的单位向量等换成向量 21,e e 和a ，其中21,e e 是同一平面内的两个任意不共线向量， a 是同一平面的任意向量（如图2.3.1-2），那么我们可否用 21,e e 这两个向量将a 表示出来？即：12(,)a e e R λμλη=+∈若能，请作图验证、或用相关知识阐述你判定的正确性！若不能，也请说明理由．请同学们深入思考或展开讨论上面提出的问题，或阅读教材P93-94页再归纳结论. 归纳概括 平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个____________向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，___________一对实数λ1，λ2使_______ _____．我们把不共线向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组_________.快乐体验 1.给出下面三种说法，其中正确的说法是（ ）（1）一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（2）一个平面内有无数多对不共线非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；（3）零向量是不可作为基底的向量.A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）2.已知21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是（ ） A.1e 和1e +2e ； B.1e -22e 和2e -21e ；C.1e -22e 和42e -21e ；D.1e +2e 和1e -2e .同学们通过探究与体验后，对向量共线条件有哪些感悟，能对此进行挖掘拓展吗？ 挖掘拓展 （1）你能用几种语言来描述平面向量基本定理？为什么叫“基本定理”？（2）“基本定理”的本质是什么？生活中有现实意义吗？（3）该定理中有没有“关键词”？有没有容易混淆与出错的地方？（链接1）（4）你怎样理解“基底”这个概念、及概念中的“所有向量”？ （5）一平面内平面向量的基底是否只有一对？平面向量基底21,e e是任意不共线的两个 向量？还是只能是预先指定的不变的两个不共线向量？基底21,e e 向量除有不共线的要求，还与它们的位置有无关系呢？（6）若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2 是否相同？ （7）若a =0，则21,λλ分别等于多少时，可使22110e e λλ+=？2.向量的夹角 在“学习准备”的6问中提到“角”、以及两直线的角的相关问题.从前图2.3.1-2面的学习中我们不难想到，在向量中，任意两个向量除了共线与不共线的问题、模的大小问题，向量还有一个重要元素就是“方向”，既然有方向，两者之间就有角度的问题，特别是不共线向量的位置关系更需要角度来刻画.请同学们在同一平面中任作一些向量进行观察，并思考看如何定义向量之间的夹角呢？范围确定在什么范围最恰当？请同学们深入思考或展开讨论这里提出的问题，或阅读教材P94页再归纳结论. 归纳概括 已知两个 向量a 和b ，如图2.3.1-3，作OA a =，OB b =，则(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做向量a 和b 的夹角.挖掘拓展 1.概念中，为什么要指明是两个“非零向量”？ 2.为什么要将两个向量的夹角限制为0180θ≤≤？ 3.三个重要的特殊位置，即：两个非零向量a 和b 同向、反向、垂直时的夹角分别为 、 、 .（链接2）三、典例赏析 例1. 如图2.3.1-4，已知向量21,e e ，求作向量-2．51e +32e ．（本例是教材P94页例1，请同学们先独立完成后在看教材的解答.解:解后反思 该题的题型怎样？你的作法与教材一致吗？还有其它作法吗？ 变式练习例 2. 如图2.3.1-5三角形ABC 中，若D ，E ，F 依次是则以1,CB e =2CA e =为基底时，用21,e e 表示 解：解后反思 该题题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键点、难点在哪里？有易错点吗？变式练习 如图2.3.1-6，已知OA 和OB 是不共线向量，()R t AB t AP ∈=，试用OA 和OB 表示OP .解:四、学习反思 1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：平面向量基本定理是什么？能够成为平面内一组基底的两向量有怎样的要求？向量夹角的概念是怎样的？都理解与掌握了吗？ 图1e 图2.3.1-42.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价 1.已知向量212e e a -= ，212e e b +=，其中21,e e 不共线，则b a +与2126e e c -= 的关系 （ ）A ．不共线B ．共线C ．相等D ．无法确定2.已知向量21,e e 不共线，实数x 、y 满足(3x-4y) 1e +(2x-3y) 2e =2136e e +，则x-y 的值等于( )A ．3B ．-3C ．0D ．23.若21,e e是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）A .122e e -和122e e + ；B .1e 与23e ；C .1223e e +和1246e e -- ；D .12e e +与1e . ４.已知b a ,不共线，且b a c 21λλ+= (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= ． ５.已知λ1＞0，λ2＞0，21,e e 是一组基底，且2211e e a λλ+=，则a 与1e _____，a 与2e _________(填共线或不共线)． 6.若21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是 （ ）A .若实数21,λλ使02211 =+e e λλ，则021==λλB .空间任意向量都可以表示为2211e e a λλ+=，其中21,λλ∈RC .2211e e λλ+21,λλ∈R 不一定表示平面内一个向量D .对于这一平面内的任一向量a ，使2211e e a λλ+=的实数对21,λλ有无数对 7.设21,e e 是平面 的一组基底，如果 121232,4,AB e e BC e e CD =-=+=1289e e -，求证：A 、B 、D 三点共线证明：8.如图2.3.1-7，M 是ABC ∆内一点，且满足条件 230AM BM CM ++=,延长CM 交AB 与N ，令CM a =， 使用a 表示CN . 解:【学习链接】链接1.该定理中有几处关键词，如：“不共线向量”、“任意向量”、“有且只有”、“所有向量”等，同时这些也是易错点、易混点；链接2.学习向量夹角有何作用以及如何判定两个非零向量垂直？等，在后面的学习中会回答这些问题！图2.3.1-7 NBC A M。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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导学案2：2.3.1 平面向量基本定理
必修四第二章平面向量2．3.1平面向量基本定理使用说明：“自主学习”15分钟，发现问题，小组讨论，展示个人成果，教师对重点概念点评．“合作探究”10分钟，小组讨论，互督互评，展示个人成果，教师对重点讲评．“巩固练习”5分钟，组长负责，组内点评．“个人总结”5分钟，根据组内讨论情况，指出对规律，方法理解不到位的问题．“能力展示”5分钟，教师作出总结性点评．通过本节学习应达到如下目标：1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣．学习重点：平面向量基本定理学习难点：平面向量基本定理学习过程平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一；(5)一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解。
当e 1、e 2互相垂直时，就称为向量的正交分解二.合作探讨如何理解平面向量基本定理巩固练习1.已知矢量12122,2a e e b e e =-=+,其中1e 、2e 不共线,则a b +与1262c e e =-的关系是( )A.不共线B.共线C.相等D.无法确定2.已知向量1e 、2e 不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )1e +(2x -3y )2e =61e +32e ,则x -y 的值等于( ) A.3 B.-3 C. 0 D.23.若a 、b 不共线,且0a b λμ+=(λ,μ∈R ),则λ= ,μ=4.已知a、b 不共线,且c =λ1a +λ2b (λ1,λ2∈R ),若c 与b 共线,则λ1= 个人收获与问题知识：方法：我的问题：参考答案：1. B2. A3. 0 , 04. 0。
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修4(2021年整理)
（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2．3。
1 平面向量基本定理预习课本P93～94,思考并完成以下问题（1）平面向量基本定理的内容是什么？（2)如何定义平面向量基底?(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？错误!1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[12向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向［点睛］当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时,夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°。
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2. 3.1 平面向量基本定理
教学目标：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量 解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 教学过程： 一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a
方向相反；λ=0时λa
=
2．运算定律
结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa
+λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ
2使
a
=λ11e +λ22e .
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被
a
，1e ，2e 唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .
例2 如图
ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a
，
=b ，用a ，b
表示，，和
例3已知
ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O
是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.
（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且
(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.
例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.
四、课堂练习：见教材 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、教学反思
2.3.1平面向量的基本定理
课前预习学案
一、预习目标:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫. 二、预习内容 （一）复习回顾
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |= ；（2）λ>0时λa 与a 方向 ；λ<0时λa 与a
方向 ；λ=0时λa
=
2．运算定律
结合律：λ(μa )= ；分配律：(λ+μ)a = ， λ(a +b
)= .
3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，
使 .
(二)阅读教材,提出疑惑:
如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?
课内探究学案
一、学习目标 1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 学习重难点：
1. 教学重点：平面向量基本定理
2. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用 二、学习过程 （一）定理探究：
平面向量基本定理：
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ; (2) 基底不惟一，关键是 ；
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量 （二）例题讲解
例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .
例2、如图
ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b
表示MA ，
，MC 和
例3已知
ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：
OA +OB +OC +OD =4OE
例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用，表示.
（2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.
例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.
（三）反思总结
课后练习与提高
1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R)
2.已知向量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3
B.-3
C.0
D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).。