函数的周期性练习题兼答案(供参考)
函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)
1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（ ）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（ ） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11． 故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数， 则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（ ）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+， 所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（ ）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（ ）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。
周期性通关50题含答案
1 h 14h 周期性通关 50 题（含答案）1.设ƒx 是—œ, + œ上的奇函数，ƒx + h =—ƒx ，当0 ≤ x ≤ 1 时，ƒx = x．（1）求ƒ π 的值；（2）当—4 ≤ x ≤ 4 时，求ƒ x 的图象与x 轴所围成图形的面积；（3）写出在—œ, + œ 内函数ƒ x 的单调区间．2.设函数ƒx 在定义域R 上总有ƒx =—ƒx + h ，且当— 1 t x ≤ 1 时，ƒx = x h + h ．（1）当 3 t x ≤ 5 时，求函数ƒ x 的解析式；（2）判断函数ƒ x 在3,5 上的单调性，并予以证明．3.设函数ƒx 是奇函数且周期为3，ƒ— 1 =— 1，求ƒh008 ．4.已知ƒx 是奇函数，又是周期为6 的周期函数，且ƒ— 1 = 1，求ƒ— 5 的值．5.设ƒx 是R 上的奇函数，且ƒx + 3 =—ƒx ，求ƒ1tt8 的值．6.设ƒx 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x = 1 对称，对任意的x1，x h C 0, 1都有ƒ x1 + x h = ƒ x1 ·ƒ x h，且ƒ 1 = t h 0．（1）求ƒ及ƒ．（2）证明ƒ x 是周期函数．h11 h 7. 已知函数 ƒ x 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数有 ƒ x + 1 = ƒ 1 — x 成立.（1）证明：ƒ x 是周期为 4 的周期函数；（2）若 ƒ x = x 0 t x ≤ 1 ，求 x C — 5, — 4 时，函数 ƒ x 的解析式.8. 已知函数 ƒ x 是定义在 R 上的偶函数，并且满足 ƒ x + h = ƒ x — h ，当 h ≤ x ≤ 3 时，ƒ x = x ，求 ƒ．9. 已知 ƒ x 是定义在 R 上的偶函数，且满足 ƒ x + h = ƒ x — h ，又 ƒ' 1 = 5，试求 ƒ' 15 的值．10. 函数 ƒ x 在 R 上有意义，且满足：（1） ƒ x 是偶函数；（2） ƒ 0 = ttt ；（3） g x = ƒ x — 1 是奇函数，求 ƒ h008 ．11. 已知函数 ƒ x 的定义域为 — œ, + œ ，且对于任意一个 x 的值，都有 ƒ x = ƒ x — 1 + ƒ x + 1 ．求证：ƒ x 一定是周期函数．12. 函数 ƒ x = A — A sin hmx + h A h 0,m h 0,0 t t π , 且 y = ƒ x 的最大值为 h ．其图象相 h h邻两对称轴间的距离为 h ，并过点 1,h ．（1） 求 ．（2）计算 ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ h01h ．13.设函数ƒx 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有ƒ + x =—ƒ x 成立．（1）证明y = ƒ x 是周期函数，并指出其周期；（2）若ƒ 1 = h，求ƒ h + ƒ 3 的值；（3）若g x = x h + tx + 3，且y = ƒ g x 是偶函数，求实数t 的值．14.判断下列命题的真假．①空间中两条不平行的直线一定相交；②垂直于同一个平面的两个平面互相垂直；③每一个周期函数都有最小正周期；④两个无理数的乘积一定是无理数；⑤若 A ¢B，则 A fi B G B；⑥若m h 1，则方程x h — hx + m = 0 无实数根；⑦已知t、b、c C R，若t G c 或 b G d，则t + b G c + d；⑧已知t、b、c C R，若t + b G c + d，则t G c 或 b G d．15.已知函数ƒx = lg x + 1 ．（1）若0 t ƒ 1 —hx —ƒ x t 1，求x 的取值范围；（2 ）若g x 是偶函数，且g x + h = g x ，当0 ≤ x ≤ 1 时，g x = ƒx ，求函数y =g x x C 的反函数．16.已知函数ƒx = tsin πx + α + bcos πx + þ ，其中t ，b ，α，þ 都是非零实数，又知ƒ h011 =— 1，求ƒ h01h 的值．17.已知ƒx =—h sin hx + π+ h，求：h 4（1）ƒ x 的最小正周期及对称轴方程；（2）ƒ x 的单调递增区间；（3）若方程ƒ x — m + 1 = 0 在x C 0,上有解，求实数m 的取值范围．h18.已知函数ƒx 的定义域为R，且满足ƒx + h =—ƒx ．（1）求证：ƒ x 是周期函数；（2）若ƒ x 为奇函数，且当0 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x = 1 x，求使ƒ x =—1在0,h014 上的所有xh h的个数．19.设ƒx 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x，恒有ƒx + h =—ƒx ．当x C 0,h 时，ƒ x = hx — x h．（1）求证：函数ƒ x 恒有ƒ x + 4 = ƒ x 成立；（2）当x C h,4 时，求ƒ x 的解析式；（3）计算ƒ 0 + ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ h015 ．20.已知函数y = ƒx 是定义域为R 的奇函数，且对任意的x C R，都有ƒx + 4 = ƒx 成立，当x C 0,h 时，ƒ x =— x h + 1．（1）当x C h,6 时，求函数ƒ x 的解析式；（2）求不等式ƒ x h— 1 在区间h,6 上的解集．3h 21. 设 ƒ x 是定义在 R 上以 h 为最小正周期的周期函数．当 — 1 ≤ x t 1 时，y = ƒ x 的表达式是幂函数，且经过点 1, 1 ．求函数在 h 㠠 — 1,h 㠠 + 1 㠠 C Z 上的表达式． h 822. 函数 ƒ x 在 R 上有定义，且满足① ƒ x 是偶函数；② ƒ 0 = h005 ；③ g x = ƒ x — 1 是奇函数；求 ƒ h005 的值．23. 已知函数 ƒ x 对实数 x C R 满足 ƒ x + ƒ — x = 0，ƒ x — 1 = ƒ x + 1 ，若当 x C 0,1 时，ƒ x = t x + b t h 0,t G 1 ，ƒ = 1 — h ．（1）求 — 1,1 时，ƒ x 的解析式；（2）求方程 ƒ x — log 4x = 0 的实数解的个数．24. 已知函数 ƒ x 是定义域为 R 的奇函数，且它的图象关于直线 x = 1 对称．（1）求 ƒ 0 的值；（2）证明：函数 ƒ x 是周期函数；（3）若 ƒ x = x 0 t x ≤ 1 ，求当 x C R 时，函数 ƒ x 的解析式，并画出满足条件的函数ƒ x 至少一个周期的图象．25. 已知函数 ƒ x 是 — œ, + œ 上的奇函数，且 ƒ x 的图象关于 x = 1 对称，当 x Cƒ x = h x — 1，（1）求证：ƒ x 是周期函数；（2）当 ƒ x 的解析式；（3）计算 ƒ 0 + ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ h013 的值．26. 已知 t 为非零常数，当 x C R 时，有 ƒ x + t =并证明你的结论．ƒ x G 0 ，试判断 ƒ x 是否为周期函数，27. 已知 ƒ x 是定义在 R 上的函数，且 ƒ = 时，ƒ x = x h — hx + 1 ，若 h 函数 y = ƒ x — t 在区间 3,4 上有 10 个零点（ 互不相同） ， 则实数 t 的取值范围是 ．28. ƒ x 是定义在 R 上的函数，对任意的 x C R ，都有 ƒ x + 3 ≤ ƒ x + 3 和 ƒ x + h ≤ ƒ x + h ，设 g x = ƒ x — x ．（1）求证：g x 是周期函数；（2）如果 ƒ tt8 = 100h ，求 ƒ h000 的值．29. 已知 ƒ x 为定义在区间 — œ, + œ 上以 h 为周期的函数，对 㠠 C Z ，用 I 㠠 表示区间 h 㠠 —1,h 㠠，已知 x C I 0 时，ƒ x = x h ．（1）求 ƒ x 在 I 㠠 上的解析式；（2）对自然数 㠠，求集合 M 㠠 = t 使方程 ƒ x = tx 在 I 㠠 上有两个不相等的实根 ．x30. 已知 ƒ x 是定义在 R 上的函数，且对任意 x C R ，ƒ x + t = 1 + ：ƒ x h为周期函数．31. 确定下列函数的最小正周期：（1）y = sin h x ； 3（2）y = tan 3π + （3）y = sinhx + coshx ；（4）y = tanx + 1 ．tanx32. 定义在 R 上的奇函数 ƒ x 满足 ƒ x = ƒ x — 4 ， 当 x C — 1,0 时， ƒ x = h x + 1 ， 求 5ƒ log h h0 的值．33. 已知 ƒ x 是以 π 为周期的偶函数，且 时，ƒ x = 1 — sinx ，求当 x C ƒ x 的解析式．34. 已知函数 ƒ x 是定义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线 x = 1 对称．（1）求证：ƒ x 是周期为 4 的周期函数；（2）若 ƒ x = 0 t x ≤ 1 ，求 x C 5, — ƒ x 的解析式．8 t 37. 135.36. 已知函数 ƒ x 的定义域为 R ，且满足 ƒ x + h =— ƒ x ．（1）求证：ƒ x 是周期函数；（2）若 ƒ x 为奇函数，且当 0 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x = 1 x ，求在 0,h014 上使 ƒ x =— 1 的所有 x h h的个数．已知 n 为正整数，规定 ƒ x = ƒ x ，ƒ x = ƒ ƒ x ， 且 ƒ x = h 1 — x , 0 ≤ x ≤ 1, x — 1, 1 t x ≤ ht （1）解不等式 ƒ x ≤ x ；（2）设集合 A = 0,1,h ，对任意 x C A ，证明：ƒ3 x = x ；（3）试求 ƒh01h．38. 已知 ƒ 㠠 = sin 㠠π，㠠 C Z ． 4 （1）求证：ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ 8 = ƒ t + ƒ 10 + … + ƒ 16 ；（2）求 ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ h014 的值．39. 已知函数 y = ƒ x 是定义在 R 上且周期为 4 的奇函数，当 — h t x ≤— 1 时，ƒ x = hcos π x + h1，求当 h ≤ x ≤ 3 时，函数 ƒ x 的解析式．5h 3x 40. 已知函数 ƒ x 定义在自然数集上，且对任意 x C N × 都有 ƒ x = ƒ x — 1 + ƒ x + 1 ，其中ƒ 1 = h008．问 ƒ x 是不是周期函数?若是周期函数，求出它的一个周期，并求 ƒ h008 ．41. 已知二次函数 ƒ x 满足 ƒ — 1 = 0，且 4x ≤ ƒ x ≤ h x h + 1 对于任意 x C R 恒成立．（1）求 ƒ 1 的值及 ƒ x 的表达式；（2）设 g x = x h —1定义域为 D ，现给出一个数学运算程序：x ƒ x ‹ x h = g x 1 ‹ x 3 = g x h ‹…x n = g x n —1 ，按照这个运算规则，若给出 x 1 = 7，请你写出满足上述条件的集合 D = x 1,x h ,x 3,…,x n 的所有元素．42. 已知定义在实数集 R 上的奇函数 ƒ x 有最小正周期 h ，且当 x C 0,1 时，ƒ x = hx． 4 +1 （1）求函数 ƒ x 在 — 1,1 上的解析式；（2）判断 ƒ x 在 0,1 上的单调性；（3）当 h 取何值时，关于 x 的方程 ƒ x = h 在 x C — 1,1 上有实数解?43. 已知函数 ƒ x = x — x h , x C 0,1— 5 ƒ x — 1 , x C 1,3 ．5 （1）求 ƒ 及 h,3 时函数 ƒ x 的解析式；（2）若 ƒ x ≤ 㠠 对任意 x C 0,3 恒成立，求实数 㠠 的最小值． x 1344. 已知函数 ƒ x = lg x + 1 ．（1）若 0 t ƒ 1 — hx — ƒ x t 1，求 x 的取值范围；（ 2 ） 若 g x 是以 h 为周期的偶函数， 且当 0 ≤ x ≤ 1 时， 有 g x = ƒ x ， 求函数 y =g x x C 的反函数．45. 已知二次函数 ƒ x 满足 ƒ — 1 = 0，且 4x ≤ ƒ x ≤ h x h + 1 对于任意 x C R 恒成立．（1）求 ƒ 1 的值及 ƒ x 的表达式；（2）设 g x = x h —1D ，现给出一个数学运算程序：x ‹ x h = g x 1 ‹ x 3 = g x h ‹…… ‹ x n = g x n —1 ，按照这个运算规则，若给出 x 1 = 7，请你写出满足上述条件的集合 D = x 1,x h ,x 3,……,x n 的所有元素．46. 设函数 ƒ x 在 R 上满足 ƒ h — x = ƒ h + x ， 7 — x = ƒ 7 + x ，且在闭区间ƒ 1 = ƒ 3 = 0．（1）试判断函数 y = ƒ x 的奇偶性．（2）试求方程 ƒ x = 0 在闭区间 —47. 已知函数 ƒ x 对任意实数 x 均有 ƒ x = 㠠ƒ x + h ，其中 㠠 为常数.（1）若 㠠 =— 1，函数 ƒ x 是否具有周期性?若是，求出其周期；（2）在（1）的条件下，又知 ƒ x 为定义在 R 上的奇函数，且当 0 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x = 1 x ，则 h方程 ƒ x =— 1 在区间0,h016 ?（写出结论，不需过程） h（3）若 㠠 为负常数，且当 0 ≤ x ≤ h 时，ƒ x = x x — h ，求 ƒ x 在 ƒx 的最小值与最大值． 148. 已知函数 ƒ x 是定义在 R 上且 T = 5 的周期函数，当 x C 0,1 时，ƒ x = 3x4—3n n C N× ，当x C 1,4 时，ƒ x = logtx + b，又函数 y = ƒ x 在 — 1,1 上是奇函数且在区间 0,1 上单调递增． （1）求函数 y = ƒ x 在 1,4 上的解析式； （2）求函数 y = ƒ x 在 R 上的解析式．49. 已知 ƒ x = xh + tx + 1 — t x ≤ 0 ．ƒ x+hxt0（1）若 t =— 8，当 — 6 ≤ x ≤ 5 时，求 |ƒ x | 的最大值；（ 2 ） 对于任意的实数 t — h ≤ t ≤ 4 ， 都有一个最大的正数 M t ， 使得当 x C 0,h 时，|ƒ x | ≤ 3 恒成立，求 M t 的最大值及相应的 t．50. 如果函数 y =ƒ x 的定义域为 R，对于定义域内的任意 x，存在实数 t 使得 ƒ x +t = ƒ — x成立，则称此函数具有" P t 性质"．（1）判断函数 y = sinx 是否具有" P t 性质"，若具有" P t 性质"，求出所有 t 的值；若不具有" P t 性质"，请说明理由；（2）设函数 y = g x 具有" P ± 1 性质"，且当 — 1 ≤ x ≤ 1 时，g x = x ．若 y = g x 与hhy = mx 交点个数为 h013 个，求 m 的值．答案第一部分 1. （1） 由 ƒ x + h =— ƒ x ， 得 ƒ x + 4 = ƒ x + h + h =— ƒ x + h = ƒ x ， 所 以 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数， 所 以 ƒ π=ƒ π—4， 又由已知可知 ƒ π — 4 =— ƒ 4 — π =— 4 — π = π — 4， 所以 ƒ π = π — 4．（2） 由 ƒ x 是奇函数与 ƒ x + h =— ƒ x ， 得 ƒ x — 1 + h =— ƒ x — 1 = ƒ — x — 1 ， 即 ƒ 1+x=ƒ 1—x ， 故函数 y = ƒ x 的图象关于直线 x = 1 对称． 又当 0 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x = x，且 ƒ x x C R 的图象关于原点对称，则当 — 4 ≤ x ≤ 4 时，ƒ x 的图象 与 x 轴围成的图形如图所示，设其面积为 S，则 S = 4S O OAB = 4 × 1 × h × 1 = 4．h（3） 函数 ƒ x 的单调递增区间为 4㠠 — 1,4㠠 + 1 㠠 C Z ，单调递减区间为 4㠠 + 1,4㠠 + 3 㠠 C Z ．2. （1） 因为 ƒ x =— ƒ x + h ，所以 ƒ x + 4 =— ƒ x + h ，故有 ƒ x = ƒ x + 4 ． 又 因为 — 1 t x ≤ 1 时， ƒ x = xh + h ，结合当 3 t x ≤ 5 时， — 1 t x — 4 ≤ 1 ， 所以 ƒ x—4=x—4h+h．因此当 3 t x ≤ 5 时， ƒ x = x — 4 h + h ． （2） 因为函数 ƒ x = x — 4 h + h 的对称轴是 x = 4 ，所以函数 ƒ x = x — 4 h + h 在 3,4 上单调递减，在 4,5 上单调递增． 证明如下：任取 x1,xh C 3,4 ，且 x1 t xh ，有ƒ x1 — ƒ xh= x1 — 4 h +h — xh — 4 h + h = x1 — xh x1 + xh — 8 ,因为 3 t x1 t xh ≤ 4 ，所以 x1 — xh t 0 ， x1 + xh — 8 t0 ． 因 此 ƒ x1 — ƒ xh h 0 ， 即 ƒ x1 h ƒ xh．故函数 y = ƒ x 在 3,4 上单调递减．同理可证函数在 4,5 上单调递增．3. 由 ƒ x 是奇函数，所以 ƒ 1 =— ƒ — 1 = 1．又因为 ƒ x 周期为 3，所以 ƒ h008 = ƒ 1 = 1．4. ƒ x 是奇函数，所以 ƒ 1 =— ƒ — 1 =— 1，又 ƒ x 是周期为 6 的周期函数，所以 ƒ — 5 = ƒ 1 =— 1．5. 因为 ƒ x + 3 =— ƒ x , 所以ƒ x+6=ƒ x+3+3 =— ƒ x + 3 =ƒ x ,故 6 是函数 ƒ x 的一个周期．又 ƒ x 是奇函数，且在 x = 0 处有定义，所以 ƒ 0 = 0 从而 ƒ 1tt8 = ƒ 6 × 333 = ƒ 0 = 0．6. （1）由题意可知，ƒ x = ƒx hh，所以 ƒ 1 = ƒ1 hh，ƒ1 h=ƒ1 4h．因为 ƒ1= t，所以 ƒ1 h1= th，ƒ1 41= t4．（2） 因为 ƒ x 是偶函数，所以 ƒ — x = ƒ x ．又由 y = ƒ x 的图象关于直线 x = 1 对称，所以 ƒ x = ƒ h — x ．所以 ƒ h + x = ƒ — x = ƒ x ，所以 ƒ x 是 R 上的周期函数，且 h 是它的一个周期．7. （1） 由 ƒ x + 1 = ƒ 1 — x 可得 ƒ — x = ƒ x + h又函数 ƒ x 是定义在 R 上的奇函数，有 ƒ — x =— ƒ x ，故 ƒ x + h =— ƒ x .从而 ƒ x + 4 =— ƒ x + h = ƒ x ，所以 ƒ x 是周期为 4 的周期函数.（2） 由函数 ƒ x 是定义在 R 上的奇函数，有 ƒ 0 = 0 .x C — 1,0 时 ，— x C 0,1 ，ƒ x =— ƒ — x =— — x，故 x C — 1,0 时 ，ƒ x =— — x .x C — 5, — 4 时 ，x + 4 C — 1,0 .ƒ x = ƒ x + 4 =— — x — 4 ，从而，x C — 5, — 4 时，函数 ƒ x 的解析式为 ƒ x =— — x — 4 .8. 由 ƒ x + h = ƒ x — h ，可知函数是以 4 为周期的周期函数，且函数 ƒ x 为偶函数，所以 ƒh11 h= ƒ 105t5 = ƒ 4 × h7 — ht5 = ƒ — ht5 = ƒ ht5 ．又当 h ≤ x ≤ 3 时，ƒ x = x，所以 ƒ ht5 = ht5，即 ƒ h11 = ht5th9. 因为 ƒ x + h = ƒ x — h 对任意 x C R 都成立，所以 ƒ x = ƒ x + h — h = ƒ x + h + h = ƒ x + 4 对任意 x C R 都成立． 所以 ƒ x 是周期为 4 的周期函数．对 ƒ x = ƒ x + 4 两边求导得 ƒ' x = ƒ x + 4 ' = ƒ' x + 4 · x + 4 ' = ƒ' x + 4 ． 即ƒ' x 也是周期为 4 的周期函数，所以 ƒ' 15 = ƒ' 16 — 1 = ƒ' — 1 ．又因为 ƒ x 是定义在 R 上的偶函数，所以 ƒ — x = ƒx ． 两边求导得 ƒ — x ' = ƒ' — x ·— x ' =— ƒ' — x = ƒ'x．即 ƒ' — x =— ƒ' x ，所以 ƒ' x 是奇函数，所以 ƒ' 15 = ƒ' — 1 =— ƒ' 1 =— 5．10. 因为 g x = ƒ x — 1 是奇函数，所以 g x =— g — x ，所以 ƒ — x — 1 =— ƒ x — 1 ……Ⓢ又因为 ƒ x 是偶函数，所以 ƒ — x — 1 = ƒ x + 1 ，所以 ƒ x + 1 =— ƒ x — 1 ，可得函数 ƒ x 的周期为 4 ，所 以 ƒ h008 = ƒ 4 × 50h = ƒ 0 = ttt ．11. 因为 ƒ x = ƒ x — 1 + ƒ x + 1 ……Ⓢ．用 x + 1 替换①式中 x，得到 ƒ x + 1 = ƒ x + ƒ x + h……Ⓢ．用 x + h 替换①式中 x，得到 ƒ x + h = ƒ x + 1 + ƒ x + 3 ……Ⓧ把②③联立，得ƒ x+1 =ƒ x +ƒ x+h ƒ x+h =ƒ x+1 +ƒ x+3所以 ƒ x =— ƒ x + 3 ，即 ƒ x + 3 =— ƒ x ．所 以 ƒ x + 6 = ƒ x + 3 + 3 =— ƒ x + 3 =— — ƒ x = ƒ x ，所以 ƒ x 是周期函数．12. （1） 因为 y = A — A sin hmx + h 的最大值为 h，A h 0，hh所以 A + A = h，即 A = h．hh又因为其图象相邻两对称轴间的距离为 h，m h 0，所以 1 T = h，即 T = 4 = hπ，hhm所以 m = π．4所 以 ƒ x = h — h sin π x + h = 1 — sin π x + h ．hhhh因为 y = ƒ x 过点 1,h ，所 以 sin π + h =— 1，所以π+hh=h㠠π—π,㠠CZ．hh所以 = 㠠π —— π ,㠠 C Z．h又因为 0 t t π，所 以 = π．h（2） 由（1）知 ƒ x = 1 — sin π x + π = 1 + sin π x，hh所 以 ƒ 1+ƒ h+ƒ 3+ƒ 4=h+1+0+1=4又因为 y = ƒ x 的周期为 4，h01h = 4 × 503，所 以 ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ h01h = 4 × 503 = h01h．13. （1） 由 ƒ 3 + x =— ƒ 3 — x ， 且 ƒ — x =— ƒ x ，hh知 ƒ 3 + x = ƒ 3 + 3 + x =— ƒ 3 — 3 + x =— ƒ — x = ƒ x ，hhhh所以 y = ƒ x 是周期函数，且 T = 3 是其一个周期．（2） 因为 ƒ x 为定义在 R 上的奇函数，所以 ƒ 0 = 0，且 ƒ — 1 =— ƒ 1 =— h，又 T = 3 是 y = ƒ x 的一个周期，所 以 ƒ h + ƒ 3 = ƒ — 1 + ƒ 0 =— h + 0 =— h．（3） 因为 y = ƒ x ·g x 是偶函数，且 ƒ — x = — ƒ x = ƒ x ，所以 ƒ x 为偶函数．故 g x = xh + tx + 3 为偶函数，即 g — x = g x 恒成立，于是 — x h + t — x + 3 = xh + tx + 3 恒成立． 于是 htx = 0 恒成立，所以 t = 0．14. ① 假命题，还可能是异面直线； ②假命题，这两个平面可以平行也可以相交，不一定垂直；③假命题，常数函数是周期函数，但没有最小正周期；④假命题，反例： h — 1 · h + 1 = h — 1 = 1．⑤ 假命题，反例：A = 1,h ，B = 1 ，满足 A ¢B，且 A fi B = B； ⑥真命题，m h 1 时，6 = — h h — 4m t 0，则方程 xh — hx + m = 0 无实数根；⑦假命题，如 t = 1，b = 3，c = d = h 即为反例；⑧真命题，“已知 t、b、c C R，若 t + b G c + d，则 t G c 或 b G d ”的逆否命题为：若 t = c 且 b =d，则 t + b = c + d，为真命题，故原命题也为真命题．15. （1）由xh— +1hx h h 0,0,得—1txt1．由 0 t lg h — hx — lg x + 1 = lg h—hx t 1 得 1 t h—hx t 10．x+1x+1因为 x + 1 h 0，所以 x + 1 t h — hx t 10x + 10，— h t x t 1．33由— 1 t x t 1,— h t x t1 , 得33—h t3x t 1．3（2） 当 x C 1,h 时，h — x C 0,1 ，因此 y = g x = g x — h = g h — x = ƒ h — x = lg 3 — x ， 由单调性可得 y C 0,lgh ．因为 x = 3 — 10y，所以所求反函数是 y = 3 — 10x，x C 0,lgh ．16. 因为ƒ h011 = tsin h011π + α + bcos h011π + þ= tsin π + α + bcos π + þ =— tsinα — bcosþ =— 1, 所以 tsinα + bcosþ = 1．所 以 ƒ h01h = tsin h01hπ + α + bcos h01hπ + þ = tsinα + bcosþ = 1．17. （1） T = hπ = hπ = π，|w| h令 hx + π = π + 㠠π 㠠 C Z ，解得 x = π + 㠠 C Z ， 㠠π4h8h所以函数 ƒ x 对称轴方程为 x = π + 㠠π 㠠 C Z ．8h（2） 因为 ƒ x =— h sin hx + π + h，h4所以函数 ƒ x 的单调增区间为函数 y = sin hx + π 的单调减区间，4令 π + h㠠π ≤ hx + π ≤ 3π + h㠠π 㠠 C Z ，h4h所以 π + 㠠π ≤ x ≤ 5π + 㠠π 㠠 C Z ，88所以函数 ƒ x 的单调增区间为 π + 㠠π, 5π + 㠠π 㠠 C Z ．88（3） 方程 ƒ x — m + 1 = 0 在 x C 0, π 上有解，等价于两个函数 y = ƒ x 与 y = m — 1 的图象h有交点．因为 x C 0, πh所以 hx + π C π , 5π ，4 44所以 — h ≤ sin hx + π ≤ 1，h4即得 h — h ≤ ƒ x ≤ 5，hh所以 h — h ≤ m — 1 ≤ 5hh所以 m 的取值范围为 3 — h , 7 ．hh18. （1） 因为 ƒ x + h =— ƒ x ，所以 ƒ x + 4 =— ƒ x + h =— — ƒ x=ƒ x，所以 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数．（2） 当 0 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x = 1 x，h设 — 1 ≤ x ≤ 0，则 0 ≤— x ≤ 1，所以 ƒ — x = 1 — x =— 1 x．hh因为 ƒ x 是奇函数，所以 ƒ — x =— ƒ x ，所以 — ƒ x =— 1 x，即 ƒ x = 1 x．hh故 ƒ x=1x—1≤x≤1．h又设 1 t x t 3，则 — 1 t x — h t 1，所以 ƒ x — h = 1 x — h ．h又因为 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数所以 ƒ x — h = ƒ x + h =— ƒ x ，所以 — ƒ x = 1 x — h ，h所以 ƒ x =— 1 x — h 1 t x t 3 ．h1 x, — 1 ≤ x ≤ 1, 所以 ƒ x = h— 1 x — h ,1 t x t 3th由 ƒ x =— 1，解得 x =— 1．h因为 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数，所以 ƒ x =— 1 的所有 x = 4n — 1 n C Z ．h令 0 ≤ 4n — 1 ≤ h014，则 1 ≤ n ≤ h015．44又因为 n C Z，所以 1 ≤ n ≤ 503 n C Z ，所以在 0,h014 上共有 503 个 x 使 ƒ x =— 1．h19. （1） 因为 ƒ x + h =— ƒ x ，所 以 ƒ x + 4 =— ƒ x + h = ƒx ． 所以 ƒ x 恒有 ƒ x + 4 = ƒ x 成立．（2） 当 x C — h,0 时，— x C 0,h ，由已知得 ƒ — x = h — x — — x h =— hx — xh． 又ƒ x 是奇函数，所以 ƒ — x =— ƒ x =— hx — xh，所 以 ƒ x = xh + hx．又 当 x C h,4 时 ，x — 4 C — h,0 ，所 以 ƒ x—4=x—4h+hx—4 ． 又 ƒ x 满足 ƒ x + 4 = ƒ x ．所 以 ƒ x = ƒ x — 4 = x — 4 h + h x — 4 = xh — 6x + 8． 所以 x C h,4 时，ƒ x = xh — 6x + 8．（3） ƒ 0 = 0，ƒ h = 0，ƒ 1 = 1，ƒ 3 =—1． 又 ƒ x 满足 ƒ x + 4 = ƒ x ．所 以 ƒ 0 + ƒ 1 + ƒ h + ƒ 3 = ƒ 4 + ƒ 5 + ƒ 6 + ƒ 7 = … = ƒ h01h + ƒ h013 + ƒ h014 +ƒ h015 = 0．所 以 ƒ 0 + ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ h015 = ƒ 0 + ƒ 1 + ƒ h + ƒ 3 = 0 + 1 + 0 + — 1 = 0．20. （1） 因为 ƒ x = ƒ x + 4 ，所以 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数． 又 ƒ x 为定义在 R 上的奇函数，所以 ƒ 0 = ƒ 4 = 0．由 x C 0,h 时，ƒ x =— xh + 1，得 x C — h,0 时，ƒ x = xh —1． 当 x C h,4 时 ，x — 4 C — h,0 ， 则 ƒ x — 4 = x — 4 h — 1 = ƒx ． 当 x C 4,6 时 ，x — 4 C 0,h ， 则 ƒ x — 4 =— x — 4 h + 1 = ƒ x ．故当 x C h,6 时，函数 ƒ x 的解析式为 ƒ x =x — 4 h — 1, x C h,4 ,0,x = 4,— x — 4 h + 1, x C 4,6 t（2） 当 x C h,6 时，由 ƒ x h— 1，h t x t 4,4 t x t 6,得 x — 4 h — 1 h— 1, 或 — x — 4 h + 1 h— 1, 或 x = 4．解得 h t x t 4 + h．所以不等式 ƒ x h— 1 在 h,6 上的解集为 h,4 + h ．21. 设在 — 1,1 上，ƒ x = xn，由点 1 , 1在函数图象上，求得 n = 3．h8令 x C h㠠 — 1,h㠠 + 1 ，则 x — h㠠 C — 1,1 ，所以 ƒ x — h㠠 = x — h㠠 3．又 ƒ x 周期为 h，所以 ƒ x = ƒ x — h㠠 = x — h㠠 3．即 ƒ x = x — h㠠 3 㠠 C Z ．22.g — x = ƒ — x — 1 =— g x =— ƒ x — 1 ,ƒ — x — 1 =— ƒ x — 1 , 令y = x + 1,则即有ƒ — y =— ƒ y — h tƒ x + ƒ x — h = 0,ƒ x =— ƒ x — h = ƒ x — 4 , 故 ƒ x 的周期是 4 ，所以ƒ h005 = ƒ 1 t 又ƒ 1 + ƒ 1 — h = 0,ƒ x 是偶函数,所以综上，ƒ 1 = ƒ — 1 = 0tƒ h005 = 0t23. （1） 因为 ƒ x + ƒ — x = 0，所以 ƒ 0 = 0，即 b =— 1，又因为 ƒx—1=ƒ x+1，ƒ3 h= 1 — h，所以 ƒ3 h=ƒ —1h=— ƒ1 h= 1 — t = 1 — h，所以 t = h，所以当 x C 0,1 时，ƒ x = hx — 1，所以当 x C — 1,0 时，— x C 0,1 ，所以 ƒ — x = h—x — 1，所以 ƒ x =— ƒ — x = 1 — h—x．因为 ƒ x + ƒ — x = 0，ƒ x — 1 = ƒ x + 1 ，所以 ƒ 1 = ƒ — 1 = 0，1 — h—x, x C — 1,0所以 ƒ x = 0,x =— 1 或 1．hx — 1, x C 0,1（2） 因为 ƒ x + ƒ — x = 0，ƒ x — 1 = ƒ x + 1 ，所 以 ƒ x+h=ƒ x，所以 ƒ x 是奇函数，且以 h 为周期．方程 ƒ x — log4x = 0 的实数解的个数也就是函数 y = ƒ x 和 y = log4x 的交点的个数． 在同一直角坐标系中作出这两个函数的图象，由图象得交点个数为 h，所以方程的实数解的个数为 h．24. （1） ƒ x 为 R 上的奇函数， 对任意 x C R，都有 ƒ x =— ƒ x ， 令x = 0， 则 ƒ — 0 =— ƒ 0 ， ƒ 0 = 0．（2） ƒ x 为 R 上的奇函数， 对任意 x C R，都有 ƒ — x =— ƒ x ， ƒ x 的图象关于直线x = 1 对称，对任意 x C R 都有 ƒ 1 + x = ƒ 1 — x ， 用 1 + x 代 x 得，ƒ h + x = ƒ 1 — 1 + x = ƒ — x =—ƒ x，ƒ h + h + x =— ƒ x + h =— — ƒ x = ƒx ． 即 ƒ 4 + x = ƒ x ． ƒ x 是周期函数，4 是其周期． （3） 当 x C — 1,3 时 ，ƒ x = x — 1 ≤ x ≤ 1 ， —x+h1t xt 3当 4㠠 — 1 ≤ x ≤ 4㠠 + 1 时，ƒ x = x — 4㠠，㠠 C Z；当 4㠠 + 1 t x t 4㠠 + 3 时，ƒ x =— x + h — 4㠠，㠠 C Z．ƒx=x— 4㠠, 4㠠 — 1 ≤ x ≤ 4㠠 + — x + h — 4㠠, 4㠠 + 1 t x1 t4㠠 +㠠 C Z 图象如下：325. （1） 因为函数 ƒ x 为奇函数，则 ƒ — x =— ƒ x ， 因为函数 ƒ x 的图象关于 x = 1 对称，则 ƒ h + x = ƒ — x =— ƒ x ， 所 以 ƒ 4 + x = ƒ h + x + h =— ƒ h + x = ƒ x ， 所以 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数．（2） 当 x C 1,h 时 ，h — x C 0,1 ， 又 ƒ x 的图象关于 x = 1 对称， 则 ƒ x = ƒ h — x = hh—x — 1，x C 1,h ．（3） 因 为 ƒ 0 = 0，ƒ 1 = 1，ƒ h = 0， ƒ 3 = ƒ — 1 =— ƒ 1 =— 1， 又 ƒ x 是以 4 为周期的周期函 数． 所以 ƒ 0 + ƒ 1 + ƒ h + … + ƒh013= ƒ h01h + ƒ h013 = ƒ 0 + ƒ 1 = 1． 26. ƒ x 是周期函数，4t 为它的一个周 期． 证明如下：ƒx+ht=1+ƒ x+t 1—ƒ x+t= 1+11—+ƒƒx x1—11—+ƒƒx x=— 1 ，ƒx故 ƒ x + 4t =— 1 = ƒ x ．ƒ x+ht27. 0, 1h28. （1）可得gx=ƒ x—xg x + h = ƒ x + h — x — h, gx+3=ƒ x+3—x—3 再以 ƒ x + 3 ≤ ƒ x + 3 和 ƒ x + h ≤ ƒ x + h 代换，可得由①②可得g x + h ≤ ƒ x + h — x — h = ƒ x — x = g x ……Ⓢ g x + 3 ≤ ƒ x + 3 — x — 3 = ƒ x — x = g x ……Ⓢ于是g x+6 ≤g x+4 ≤gx+h ≤g x, gx+6≤gx+3≤g xg x+6 =gx 即 g x 是周期函数（6 是它的一个周期）．（2） g h000 = g 6 × 167 + tt8 = g tt8 ，即 ƒ h000 — h000 = ƒ tt8 — tt8， 所以 ƒ h000 = ƒ tt8 + 100h = 100h + 100h = h004．29. （1） 由题意 ƒ x 是定义在 R 上的以 h 为周期的函数， 由于对一切 x C R，都有ƒ x=ƒ x± h㠠㠠CZt 当 h㠠 — 1 t x ≤ h㠠 + 1 时，有— 1 t x — h㠠 ≤ 1, 所以ƒ x = ƒ x — h㠠 = x — h㠠 h,x C I㠠t（2） 当 x C N 且 x C I㠠 时， 由（1）的结论可得： x — h㠠 h = tx， 化简有xh — 4㠠 + t x + 4㠠h = 0, 解方程，可得1 x1 = h 4㠠 + t — t t + 8㠠 ,1 xh = h 4㠠 + t + t t + 8㠠 , 所以方程在区间 I㠠 上恰有两个不相等实根当且仅当：解得集合 M㠠 为t t + 8 㠠 h 0,h㠠 — 1 t 1 h㠠 + 1 ≤ h1h4㠠 + t — t t + 8㠠 4㠠 + t + t t + 8㠠, ,1 M㠠 = t 0 t t ≤ h㠠 + 1 t30. 因 为 ƒ x + ht = ƒ x + t + t = 1 + ƒ x + t — ƒ x + t h， 而h1hƒ x+t h=+ hƒ x—ƒ x h1 =4+ƒ x — ƒ x h + ƒ x — ƒ x ht所以ƒ x+t — ƒ x+t h1 =+hƒ x—ƒ xh1 — 4+ƒ x—ƒ x1 =4—ƒ x+ ƒxh=ƒx1h —h th+ƒ x — ƒ x h因此易知11h 11ƒ x + ht = h + ƒ x — h = h + ƒ x — h = ƒ x t即 ƒ x 为周期函数，且 ht 是它的一个周期．31. （1）T=hπ —h= 3π3（2） T = π3（3） y = sinhx + coshx =hsin hx + π ，所以 T = hπ = π．4h（4） y = tanx + 1 = sinx + cosx = 1 = h ，周期 T = hπ = π．tanx cosx sinx sinxcosx sinhxh32. ƒ loghh0 = ƒ loghh0 — 4==ƒ—lohglohg5h544 +=— ƒ — logh 1 =— 4 + 15 =— ƒ4=— 1tlogh4555533. x C 5π ,3π 时 ，3π — x C 0, π ，hh因为 x C 0, π 时 ，ƒ x = 1 — sinx，h所以 ƒ 3π — x = 1 — sin 3π — x = 1 —sinx． 又因为 ƒ x 是以 π 为周期的偶函数，所 以 ƒ 3π — x = ƒ — x = ƒ x ， 所以 ƒ x 的解析式为 ƒ x = 1 — sinx,x C 5π ,3π ．h34. （1） 证明：由函数 ƒ x 的图象关于直线 x = 1 对称， 有 ƒ x+1=ƒ 1—x ， 即 有 ƒ —x=ƒ x+h． 又函数 ƒ x 是定义在 R 上的奇函数， 故有 ƒ — x =— ƒ x ． 故 ƒ x + h =— ƒ x ． 从 而 ƒ x + 4 =— ƒ x + h = ƒ x ， 即 ƒ x 是周期为 4 的周期函数．（2） 由函数 ƒ x 是定义在 R 上的奇函数，有 ƒ 0 = 0． x C — 1,0 时 ，— x C 0,1 ，ƒ x =— ƒ — x =— — x． 故 x C — 1,0 时 ，ƒ x =— — x． x C — 5, — 4 时 ，x + 4 C — 1,0 ， ƒ x = ƒ x + 4 =— — x — 4． 从而，x C — 5, — 4 时，函数 ƒ x =— — x — 4． 35. 设 tn = ƒ n ， 则 ƒ n + h = ƒ n + 1 — ƒ n ，ƒ n + 3 = ƒ n + h — ƒ n + 1 .36. （1） 因 为 ƒ x + h =— ƒ x ，所 以 ƒ x + 4 =— ƒ x + h = ƒ x ，所以 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数．（2） 当 0 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x = 1 x．h若 — 1 ≤ x ≤ 0，则 0 ≤— x ≤ 1，ƒ — x = 1 — x =— 1 x．hh因为 ƒ x 是奇函数，所以 ƒ — x =— ƒ x ，所以当 — 1 ≤ x ≤ 0 时，— ƒ x =— 1 x，h即当 — 1 ≤ x ≤ 0 时，ƒ x = 1 x．h故 ƒ x=1x—1≤x≤1．h若 1 t x t 3，则 — 1 t x — h t 1，ƒ x — h = 1 x — h ．h因为 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数，所 以 ƒ x — h = ƒ x + h =— ƒ x ，所以当 1 t x t 3 时，— ƒ x = 1 x — h ，h即 ƒ x =— 1 x — h 1 t x t 3 ．h所以在 — 1,3 上，ƒ x =1 x,h— 1 x —h ,h—1≤x≤1 1t xt3令 ƒ x =— 1 x C — 1,3 ，解得 x =— 1．h因为 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数，所以使 ƒ x =— 1 的所有 x = 4n — 1 n C Z ．h令 0 ≤ 4n — 1 ≤ h014 n C Z ， 则 1 ≤ n ≤ h01544所 以 1 ≤ n ≤ 503 n C Z ，nCZ．所以在 0,h014 上共有 503 个 x 使 ƒ x =— 1．h37. （1） 当 0 ≤ x ≤ 1 时，由 h 1 — x ≤ x 得 x ≤ h，故 h ≤ x ≤ 1；33当 1 t x ≤ h 时，由 x — 1 ≤ x，求得 x C R，故 1 t x ≤ h．综上，可知 h ≤ x ≤ h．3（2） 由题可知，ƒ 0 = h，ƒ 1 = 0，ƒ h = 1．当 x = 0 时，ƒ3 0 = ƒ ƒh 0 = ƒ ƒ ƒ1 0 = ƒ ƒ ƒ 0 = ƒ ƒ h = ƒ 1 = 0t 同理可求得，当 x = 1 时，ƒ3 1 = 1；当 x = h 时，ƒ3 h = h． 故当 x C A 时，恒有 ƒ3 x = x．（3） ƒ 8 =h×1t8h 1—t = t ;ƒh 588 =ƒƒ 8t 81t 5=ƒ h t14 8 = ;ƒt5 3 8t8 =ƒ ƒ8 ht= ƒ 14 8t14 = —1 8t= t ;ƒ4 t = ƒ ƒ3 t = ƒ t = h × 1 — t = t ;ƒ5 t = ƒ ƒ4 t = ƒ t 8………= ƒ1 t这样便进入一个周期循环中，最小正周期为 4，所以ƒ4㠠+r8 t= ƒr8 ，㠠 C N，r C N×，t所以ƒh01h8 t= ƒ50h×4+48 t=ƒ 84t= 8．t38. （1） 因为 sin 㠠π = sin hπ + 㠠π= sin 㠠 +8 π444所以 ƒ 㠠 = ƒ 㠠 + 8 ，㠠CZ，所 以 ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ 8 = ƒ t + ƒ 10 + … + ƒ 16 ．（2） 因为 ƒ 㠠 是以 8 为一个周期，且 h014 = h51 × 8 + 6，所 以 ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ h014 = h51 ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ 8 + ƒ 1 + ƒ h + ƒ 3 + ƒ 4 + ƒ 5 +ƒ 6．又因为 ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ 8 = sin π + sin hπ + … + sin 8π = 0，444所以ƒ 1 + ƒ h + … + ƒ h014 = ƒ 1 + ƒ h + ƒ 3 + ƒ 4 + ƒ 5 + ƒ 6= sin π + sin hπ + sin 3π + sinπ + sin 5π + sin 6π44444=h+1+h+0—h—1hhh= hth39. 当 h t x ≤ 3 时，— h t x — 4 ≤— 1，故 ƒ x = ƒ x — 4 = hcos π x — 4 + 1 = hcos π x + 1．又hhƒ x 为 R 上的奇函数，所以 ƒ — h =— ƒ h ．因为 ƒ — h = ƒ — h + 4 = ƒ h ，所以 ƒ h = 0．综上，当 h ≤ x ≤ 3 时，ƒ x =0, hcos π x + 1,x h= th x≤3．h40. 由 ƒ x = ƒ x — 1 + ƒ x + 1 ，得 ƒ x — 1 = ƒ x — ƒ x +1 ． 所以 ƒ x + 1 — 1 = ƒ x + 1 — ƒ x + h ．所以 ƒ x — 1 =— ƒ x + h ．同 理 ƒ x =— ƒ x + 3 ，ƒ x = ƒ x + 6 ，所以 ƒ x 是以 6 为周期的周期函数．ƒ h008 = ƒ 4 =— ƒ 1 =— h008．41. （1） 设 ƒ x = txh + bx + c t G 0 ，由 4x ≤ ƒ x ≤ h xh + 1 ，令 x = 1 得 4 ≤ ƒ 1 ≤ 4，所以 ƒ 1 = 4，联立ƒ — 1 = 0，得t + b + c = 4, t — b +c = 0,得 b = h，t + c = h，又 txh + bx + c ≤ 4x，即 txh — hx + c ≤ 0，对 x C R 恒成立，所以t h 0, 6 = 4 — 4tc ≤ 0t所以有 t + c h — 4tc ≤ 0，即 t — c h ≤ 0，所以 t = 1，c = 1，所 以 ƒ x = x + 1 h．（2） 由g x = xh—1ƒx= x—1x+1=1—h,x+1由 题 意 x1 = 7，xh = g x1 = h，x3 = g xh =— 3，x4 = g x3 =— 5，x5 = g x4 = 7，357h3后面的数重复出现，根据集合中元素的互异性，故 D = 7 , h , — 3 , — 5 ．35 7 h42. （1） 因为 ƒ x 是 x C R 上的奇函数，所以 ƒ 0 = 0．若x C — 1,0 ，则—xC0,1，ƒ—x=—x h—4x+1=hx 4x+1=—ƒx，x所以 ƒ x =— h ，4x+1所以 ƒ x =—hx 4x+1,0,hx 4x+1,x C — 1,0 x=0 ． x C 0,1（2） 设 0 t x1 t xh t 1，则ƒ x1 — ƒ xh = = =— hx14x1+1hxh 4xh+1hx1—hxh + hx1+hxh—hxh+hx14x1+1 4xh+1t hx1—hxh 1—hx1+xh4x1+1 4xh+1因为 0 t x1 t xh t 1，所以 hx1 t hxh ，hx1 + xh h h0 = 1，所以 ƒ x1 — ƒ xh h 0，所以 ƒ x 在 0,1 上为减函数．（3） 因为 ƒ x 在 0,1 上为减函数，所以h1 t ƒ x t0h ，即 ƒ x C h , 1 ．41+140+15h同理 x C — 1,0 时，ƒ x C — 1 , — h ．h5又 ƒ 0 = 0，所以当 h C — 1 , — h U h , 1 或 h = 0 时，关于 x 的方程 ƒ x = h 在 x C — 1,1 上有实数解．h55h43. （1） ƒ 5 =— 5 ƒ 3 = 1 ƒ 1 = 1 × 1 = 1 ，h5 h 5 h 5 4 h0当 x C h,3 时 ，x — h C 0,1 ，所以 ƒ x = 1 x — h — x — h h = 1 x — h 3 — x ．55（2） ①当 x C 0,1 时，ƒ x = x — xh，则对任意 x C 0,1 ，x — xh ≤ 㠠 恒成立，即 㠠 ≤ xh —xx3 max，设 h x = xh — x3，则 h' x = hx — 3xh，令 h' x = 0，可得 x = 0 或 x = h，易得 h x 在 0, h 上递33增，在 h ,1 上递减，3所以 h x max =hh—h3= 4 ；33h7② 当 x C 1,h 时 ，ƒ x =— 5 x — 1 — x — 1 h = 55x — 1 x — h t 0，当 㠠 ≤ 4 时，ƒ x ≤ 㠠 显5h7x然成立；③当 x C h,3 时，ƒ x = 1 x — h — x — h h ≤ 㠠 恒成立，令 x — h = h C 0,1 ，则 㠠 ≤ 1h+hh—5x5hh = g h 在 h C 0,1 恒成立，g' h =— 153hh + hh — h ，令g' h = 0，可得存在h0C1,1h，函数在h = h0 时取最大值，而 h C 1 ,1 时，h h — g h = hh — h3 + 1 h + h hh — h = h h 1 — h hh — 1 ≤ 0，h55所以h h max h g h max，当㠠≤4 时，㠠h7≤hhmaxhghmax成立．综上所述：㠠 ≤ 4 ，h7所以 㠠min =h74 ．44.（1）由h x— hx h 0, + 1 h 0,得由得因为 x + 1 h 0，所以 解得由— —1t htx t 1, x t1 ,得33— 1 t x t 1th — hx0 t lg h — hx — lg x + 1 = lgt 1,x+1h — hx 1 t x + 1 t 10tx + 1 t h — hx t 10x + 10,h1—3 t x t3 th1—3 t x t3 t（2） 当 x C 1,h 时，h — x C 0,1 ，因此y =g x =gx—h =gh—x = ƒ h— x = lg 3 — x t由单调性可得 y C 0,lgh ．因为 x = 3 — 10y，所以所求反函数是 y = 3 — 10x,x C 0,lgh ．45. （1） 设 ƒ x = txh + bx + c t G 0 ，由 4x ≤ ƒ x ≤ h xh + 1 ，令 x = 1 得 4 ≤ ƒ 1 ≤ 4，所以 ƒ 1 = 4ƒ — 1 = 0联立 得t + b + c = 4, t — b + c = 0,得 b = h，t + c = h，又 txh + bx + c ≤ 4x，即 txh — hx + c ≤ 0，对 x C R 恒成立，所以 t h 0,，6 = 4 — 4tc ≤ 0所以有 t + c h — 4tc ≤ 0 即 t — c h ≤ 0，所以 t = 1，c = 1，故 ƒ x = x + 1 h． （2） 由 g x = xh—1 = x—1 = 1 — h ，ƒ x x+1x+1由题意 x1 = 7，xh = g x1 = h，x3 = g xh =— 3，x4 = g x3 =— 5，x5 = g x4 = 7，后面的数重复出357h3现，根据集合的互异性，故 D = 7 , h , — 3 , — 5 ．35 7 h46. （1） 由 ƒ h — x = ƒ h + x ，得函数 y = ƒ x 有对称轴 x = h，所以 ƒ — 1 = ƒ 5 ，因为 ƒ x 在闭区间 0,7 上，只有 ƒ 1 = ƒ 3 = 0，所以 ƒ 5 G 0，故 ƒ 1 G ƒ — 1 ，即 ƒ x 不是偶函数．又因为 ƒ x 在 0,7 上只有 ƒ 1 = ƒ 3 = 0，所以 ƒ 0 G 0，从而知函数 y = ƒ x 不是奇函数．故函数是非奇非偶函数．（2）ƒ h—x=ƒ h+x, ƒ 7—x=ƒ 7+x‹ƒ x =ƒ 4—x ƒ x = ƒ 14 — x‹ ƒ 4 — x = ƒ 14 — x ‹ ƒ x = ƒ x + 10 ．从而知函数 y = ƒ x 的周期为 T = 10，又 ƒ 1 = ƒ 3 = 0，所 以 ƒ 11 = ƒ 13 = ƒ — 7 = ƒ — t = 0．故方程 ƒ x = 0 在 0,10 ， — 10,0 上均有 h 个根，从而知方程 ƒ x = 0 在 0,h000 上有 400 个根，在 h000,h005 上有 h 个根，在 — h000,0 上有 400个根，在 — h005, — h000 上没有根．所以方程 ƒ x = 0 在 — h005,h005 上有 80h 个根．47. （1） 因为 ƒ x + h =— ƒ x ，所以 ƒ x + 4 =— ƒ x + h =— — ƒ x = ƒ x ，所以 ƒ x 是以 4 为周期的周期函数．（2） ƒ x =— 1 在 0,h016 上共有 504 个解．h【解析】当 0 ≤ x ≤ 1 时，ƒ x = 1 x，所以当 — 1 ≤ x ≤ 0 时，ƒ x =— ƒ — x = 1 x，hh所 以 ƒ x = 1 x，— 1 ≤ x ≤ 1．h当 1 t x t 3 时，— 1 t x — h t 1，所以 ƒ x =— ƒ x — h =— 1 x — h ，h1 x,— 1 ≤ x ≤ 1,故 ƒ x= h — 1 x — h , 1 t x t 3th由 ƒ x =— 1，得 x =— 1．故 ƒ x =— 1 的所有解是 x = 4n — 1 n C Z ，hh令 0 ≤ 4n — 1 ≤ h016，则 1 ≤ n ≤ h017，而 n C Z，所以 1 ≤ n ≤ 504 n C Z ，44所以 ƒ x =— 1 在 0,h016 上共有 504 个解．h（3） 若 x C 0,h ，则 x + h C h,4 ，ƒ x+h=1ƒ x=1xx—h=1 x+h —h x+h—4 ，㠠㠠㠠所以当x C h,4 时，ƒ x = 1㠠x—hx—4．若 x C — h,0 ，则 x + h C 0,h ，所以 ƒ x + h = x + h x + h — h = x x +h ． 所以 ƒ x = 㠠ƒ x + h = 㠠x x + h ．若 x C — 4, — h ， 则 x + h C — h,0 ，所以 ƒ x + h = 㠠 x + h x + h + h = 㠠 x + h x + 4 ．所以 ƒ x = 㠠ƒ x + h = 㠠h x + h x + 4 ，因为 h,3 < h,4 ， — 3, — h < — 4, — h ，所以当 x C — 3,3 时，ƒ x =㠠 h x + h x + 4 , x C — 3, — h ,㠠 x x +h ,x C — h,0 ,x x —h ,x C 0,h ,1 x — h x — 4 , x C h,3 t㠠可知，当 x C — 3,3 时，最大值和最小值必在 x =— 3 或 x =— 1 或 x = 1 或 x = 3 处取得（可画图分析）．因 为 ƒ — 3 =— 㠠 h，ƒ — 1 =— 㠠 ，ƒ 1 =— 1，ƒ 3 =— 1，㠠所以当 — 1 t 㠠 t 0 时，ymax = ƒ 3 =—㠠1，ymin = ƒ 1 =— 1； 当 㠠 =— 1 时 ，ymax = ƒ — 1 = ƒ 3 = 1，ymin = ƒ — 3 = ƒ 1 =— 1； 当 㠠 t— 1 时，ymax = ƒ — 1 =— 㠠，ymin = ƒ — 3 =— 㠠h． 48. （1） 因为 ƒ x = 3x4—3n n C N× 在区间 0,1 上单调递增 所以 n = 1，所 以 ƒ x = 3x,x C 0,1 ．因为 ƒ 1 = 3 且 y = ƒ x — 1 ≤ x ≤ 1 为奇函数，故 ƒ — 1 =— 3，又周期 T = 5，故 ƒ 4 =— 3，得 logt1 + b = 3 ，所以 logt4 + b =— 3b=3t =31h 所以ƒ x = log 1 x + 3 =— 3loghx + 3，3h所 以 ƒ x =— 3loghx + 3,x C 1,4 ．（2） 由 1 知 ƒ x = 3x,x C0,1 ． 从而 x C — 1,0 时，— x C 0,1 ，所 以 ƒ x =— ƒ — x =— — 3x =3x． 故 x C — 1,1 时 ，ƒ x = 3x，因为当 x C 5㠠 — 1,5㠠 + 1 ,㠠 C Z 时，x — 5㠠 C —1,1 ，所以ƒ x = ƒ x — 5㠠 = 3 x — 5㠠 = 3x — 15㠠,㠠 CZ．又当 x C 5㠠 + 1,5㠠 + 4 ,㠠 C Z 时，x — 5㠠 C 1,4 ，所以 ƒ x = ƒ x — 5㠠 =— 3logh x — 5㠠 + 3，故ƒx=3x —15 㠠, — 3logh x — 5 㠠 + 3,xC xC5㠠 — 5㠠 +1,5㠠 1,5㠠+ +14,㠠CZ．49. （1） 当x ≤ 0 时，ƒ x = xh — 8x + t，由条件：当 x t 0 时，ƒ x = ƒ x + h ，当 — 6 ≤ x t 0 时，存在 0 ≤ h t h 使得 ƒ x = ƒ h ．从而只要求当 0 ≤ x ≤ 5 时，求 |ƒ x | 的最大值． 此 时 ƒ 4 ≤ ƒ x ≤ ƒ 0 ， 即 — 7 ≤ ƒ x ≤ t，所以 |ƒ x | 的最大值为 t．hh（2） ƒ x = xh + tx + 1 — t = x + t + 1 — t — t ，其中 0 ≤ x ≤ h．h4h①当0≤—t h≤h，ƒminx=ƒ —t =1—t—t ，h4ƒmax x = max ƒ 0 ,ƒ h = max 1 — t,hh + th + 1 — t ．|ƒ x | ≤ 3 恒成立转化为1—t ≤3 hh + th + 1 — t ≤ 3，则 M th1 — t — t ≤— 34= h = —t+ th+4t+8maxh—h≤t ≤0．由 —t+ th+4t+8 = — t+h + th+4t+8 + 1 =h+ 1．hht+h + th+4t+8显然在 — h,0 上单调递减，故此时 Mmax t = M — h = h．②当0tht—t h时，ƒminx=ƒ h= hh + th + 1 — t，ƒmax x=ƒ 0= 1 — t，。
函数的周期性(基础+复习+习题+练习)
函数的周期性基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为.A 1- .B 0 .C 1 .D 22．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
函数的周期性、对称性(解析版)
函数的周期性、对称性一、单选题1.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x -e 2+ln ex e -x ，若f e 2020 +f 2e2020+⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e 2020 =20192a +b ，其中b >0，则12a+a b 的最小值为()A.34B.54C.2D.22【答案】A【解析】因为f x =x -e 2+ln exe -x，所以f x +f e -x =x -e 2+ln ex e -x +(e -x )-e2+ln e (e -x )e -(e -x )=lnex e -x +ln e (e -x )x =ln exe -x ⋅e (e -x )x=ln e 2=2，令S =f e 2020 +f 2e 2020 +⋅⋅⋅+f 2018e 2020 +f 2019e2020 则2S =f e 2020 +f 2019e 2020 +f 2e 2020 +f 2018e 2020 +⋅⋅⋅+f 2019e 2020 +f e2020 =2×2019所以S =2019所以20192a +b =2019，所以a +b =2，其中b >0，则a =2-b .当a >0时12|a |+|a |b =12a +2-b b =12a +2b -1=12a +2b ⋅(a +b )2-1=1252+b 2a +2a b-1≥1252+2b 2a ⋅2a b -1=54当且仅当b 2a =2a b, 即 a =23,b =43 时等号成立；当a <0时 12|a |+|a |b =1-2a +-a b =1-2a +b -2b =1-2a +-2b +1=121-2a +-2b ⋅(a +b )+1=12-52+b -2a +-2ab +1≥12-52+2b -2a ⋅-2a b +1=34，当且仅当 b -2a =-2a b, 即 a =-2,b =4 时等号成立；因为34<54，所以12|a |+|a |b 的最小值为34.故选：A .2.(2023春·重庆·高三统考阶段练习)已知函数f (x )=ln x 2+1-x +1，正实数a ,b 满足f (2a )+f (b -4)=2，则4b a +a2ab +b 2的最小值为( )A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】f x +f -x =ln x 2+1-x +1+ln x 2+1+x +1=2，故函数f x 关于0,1 对称，又f x 在R 上严格递增；f (2a )+f (b -4)=2,∴2a +b -4=0即2a +b =4.4b a +a 2ab +b 2=4b a +a b 2a +b =4b a +a4b ≥24b a ⋅a 4b=2.当且仅当a =169,b =49时取得.故选：B .3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R ，f 2x +2 为偶函数，f x +1 为奇函数，且当x ∈0,1 时，f x =ax +b .若f 4 =1，则3i =1f i +12=( )A.12B.0C.-12D.-1【答案】C【解析】因为f 2x +2 为偶函数，所以f -2x +2 =f 2x +2 ，用12x +12代替x 得：f -x +1 =f x +3 ，因为f x +1 为奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ，故f x +3 =-f x +1 ①，用x +2代替x 得：f x +5 =-f x +3 ②，由①② 得：f x +5 =f x +1 ，所以函数f x 的周期T =4，所以f 4 =f 0 =1，即b =1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =0得：f 1 =-f 1 ，故f 1 =0，f 1 =a +b =0，解得：a =-1，所以x ∈0,1 时，f x =-x +1，因为f -x +1 =-f x +1 ，令x =12，得f 12 =-f 32 ，其中f 12 =-12+1=12，所以f 32 =-12，因为f -2x +2 =f 2x +2 ，令x =14得：f -2×14+2 =f 2×14+2 ，即f 32 =f 52 =-12，因为T=4，所以f 72 =f72-4=f-12，因为f-x+1=-f x+1，令x=32得：f-12=-f52 =12，故f 72 =12，3 i=1fi+12=f32 +f52 +f72 =-12-12+12=-12.故选：C4.(2023·四川资阳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，f x-2为偶函数，f x-2+f-x=0，当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4．则13k=1f k=( )A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】因为f x-2是偶函数，所以f-x-2=f(x-2)，所以f(x)=f(-x-4)，所以函数f(x)关于直线x=-2对称，又因为f x-2+f-x=0，所以-f x-2=f-x，所以f(x)=-f(-x-2)，所以f(x)关于点(-1,0)中心对称，由f(x)=f(-x-4)及f(x)=-f(-x-2)得f(-x-4)=-f(-x-2)所以f(-x-4)=-f(-x-2)=f(-x)所以函数f(x)的周期为4，因为当x∈-2,-1时，f x =1a x-ax-4(a>0且a≠1)，且f-2=4，所以4=1a-2+2a-4，解得：a=2或a=-4，因为a>0且a≠1，所以a=2.所以当x∈-2,-1时，f x =12x-2x-4，所以f(-2)=4,f(-1)=0，f(-3)=f(-1)=0，f(0)=-f(-2)=-4，f(1)=f(1-4)=f(-3)=0，f(2)=f(-2)=4，f(3)=f(-1)=0，f(4)=f(0)=-4，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=8，所以13k=1f k=f(1)+3×8=24,故选：C.5.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7．若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则22k=1f k =( )A.-21B.-22C.-23D.-24【答案】D【解析】因为y =g (x )的图像关于直线x =2对称，所以g 2-x =g x +2 ，因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +2)-f (x -2)=7，即g (x +2)=7+f (x -2)，因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (x )+g (x +2)=5，代入得f (x )+7+f (x -2) =5，即f (x )+f (x -2)=-2，所以f 3 +f 5 +⋯+f 21 =-2 ×5=-10，f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-2 ×5=-10.因为f (x )+g (2-x )=5，所以f (0)+g (2)=5，即f 0 =1，所以f (2)=-2-f 0 =-3.因为g (x )-f (x -4)=7，所以g (x +4)-f (x )=7，又因为f (x )+g (2-x )=5，联立得，g 2-x +g x +4 =12，所以y =g (x )的图像关于点3,6 中心对称，因为函数g (x )的定义域为R ，所以g 3 =6因为f (x )+g (x +2)=5，所以f 1 =5-g 3 =-1.所以∑22k =1f (k )=f 1 +f 2 +f 3 +f 5 +⋯+f 21 +f 4 +f 6 +⋯+f 22 =-1-3-10-10=-24.故选：D6.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x =x 3+ax 2+bx +2a ,b ∈R ，若f 2+x +f 2-x =8，则下列不等式正确的是( )A.f e +f 32>8 B.f e +f 2-3 >8C.f ln7 +f 2+3 >8 D.f ln5 +f 3ln2 <8【答案】C【解析】由题(2+x )3+a (2+x )2+b (2+x )+2+(2-x )3+a (2-x )2+b (2-x )+2=8，化简整理得(6+a )x 2+2(2a +b +3)=0，于是6+a =0，2a +b +3=0⇒a =-6，b =9，所以f (x )=x 3-6x 2+9x +2，进而f (x )=3x 2-12x +9=3(x -1)(x -3)，据此，f (x )在(-∞，1)，(3，+∞)上单调递增，f (x )在(1，3)上单调递减，因为f (2+x )+f (2-x )=8，即f (x )+f (4-x )=8．对于A ，由f (e )+f (4-e )=8，又1<4-e <32<3，所以f (4-e )>f 32，即f (e )+f 32<8，故A 错误；对于B ，f (2-3)=(2-3)3-6(2-3)2+9(2-3)+2=4，因为1<2<e<3，所以f(2)>f(e)，而f(2)=23-6×22+9×2+2=4，所以f(e)+f(2-3)<8，故B错误；对于C，f(2+3)=(2+3)3-6(2+3)2+9(2+3)+2=4，而1<ln7<2，所以f(ln7)>f(2)=4，所以f(ln7)+f(2+3)>8，故C正确；对于D，由f(ln5)+f(4-ln5)=8，因为1<3ln2<4-ln5<3，所以f(3ln2)>f(4-ln5)，所以f(ln5)+f(3ln2)>8，故D错误.故选：C．7.(2023·全国·高三专题练习)定义在R上的奇函数f x 满足f2-x=f x ，且在0,1上单调递减，若方程f x =-1在0,1上所有实根之和是( )上有实数根，则方程f x =1在区间-1,11A.30B.14C.12D.6【答案】A【解析】由f2-x=f x 知函数f x 的图象关于直线x=1对称，∵f2-x=f x ，f x 是R上的奇函数，∴f-x=f x+2=-f x ，∴f x+4=f x ，∴f x 的周期为4，考虑f x 的一个周期，例如-1,3，由f x 在0,1上是增函数，上是减函数知f x 在1,2f x 在-1,0上是减函数，f x 在2,3上是增函数，对于奇函数f x 有f0 =0，f2 =f2-2=f0 =0，故当x∈0,1时，f x <f2 =0，时，f x <f0 =0，当x∈1,2当x∈-1,0时，f x >f0 =0，当x∈2,3时，f x >f2 =0，方程f x =-1在0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f x 在0,1上是单调函数，则由于f2-x上有唯一实数，=f x ，故方程f x =-1在1,2在-1,0上f x >0，和2,3则方程f x =-1在-1,0上没有实数根，和2,3从而方程f x =-1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈-1,3，方程f x =-1的两实数根之和为x+2-x=2，当x∈-1,11，方程f x =-1的所有6个实数根之和为x+2-x+4+x+4+2-x+x+8+2-x+8=2+8+2+8+2+8=30.故选：A.8.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax3+bx2+cx+d a≠0，给出定义：设f'x 是函数y=f x 的导数，f″x 是f'x 的导数，若方程f″x =0有实数解x0，则称点x0,f x0为函数y =f x 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数g x =13x3-12x2+3x-512，则g12019+g22019+⋯+g20182019=( )A.2016B.2017C.2018D.2019【答案】C【解析】函数g x =13x3-12x2+3x-512，函数的导数g'x =x2-x+3，g'x =2x-1，由g'x0=0得2x0-1=0，解得x0=12，而g12 =1，故函数g x 关于点12,1对称，∴g x +g1-x=2，故设g12019+g22019+...+g20182019=m，则g20182019+g20172019+...+g12019=m，两式相加得2×2018=2m，则m=2018，故选C.9.(2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习)定义在R上的函数f x 满足f-x+f x =0 ,f x =f2-x，且当x∈0,1时，f x =x2.则函数y=7f x -x+2的所有零点之和为( ) A.7 B.14 C.21 D.28【答案】B【解析】依题意，f x 是奇函数.又由f x =f2-x知，f x 的图像关于x=1对称.f x+4=f1+x+3=f1-x+3=f-2-x=-f2+x=-f2--x=-f-x=f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.f2+x=f1+1+x=f1-1+x=f-x=-f x =-f2-x，所以f x 关于点2,0对称.由于y=7f x -x+2=0⇔f x =x-2 7从而函数y=7f x -x+2的所有零点之和即为函数f x 与g x =x-27的图像的交点的横坐标之和.而函数g x =x-27的图像也关于点2,0对称.画出y=f x ，g x =x-27的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数y=7f x -x+2所有零点和为7×2=14.故选：B10.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f (x)，满足f (x)<f(x)且f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，若f(9)+f(8)=1，则不等式f x <e x的解集为( )A.-3,+∞B.1,+∞C.(0,+∞)D.6,+∞【答案】C【解析】因为f x+3为偶函数，f(x+1)为奇函数，所以f x+3=f-x+3，f(x+1)+f(-x+1)=0.所以f x =f-x+6，f(x)+f(-x+2)=0，所以f(-x+6)+f(-x+2)=0.令t=-x+2，则f(t+4)+f(t)=0.令上式中t取t-4，则f(t)+f(t-4)=0，所以f(t+4)=f(t-4).令t取t+4，则f(t)=f(t+8)，所以f(x)=f(x+8).所以f x 为周期为8的周期函数.因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)+f(-x+1)=0，令x=0，得：f(1)+f(1)=0，所以f(1)=0，所以f(9)+f(8)=1，即为f(1)+f(0)=1，所以f(0)=1.记g x =f xe x，所以gx =f x -f xe x.因为f (x)<f(x)，所以g x <0，所以g x =f xe x在R上单调递减.不等式f x <e x可化为f xe x<1，即为g x <g0 .所以x>0.故选：C11.(2023·全国·高三专题练习)设函数f x 的定义域为R，f x+1为奇函数，f x+2为偶函数，当x∈1,2时，f(x)=ax2+b．若f0 +f3 =6，则f 92 =( )A.-94B.-32C.74D.52【答案】D【解析】[方法一]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路一：从定义入手．f 92 =f 52+2 =f -52+2 =f -12 f -12 =f -32+1 =-f 32+1 =-f 52-f 52 =-f 12+2 =-f -12+2 =-f 32所以f 92 =-f 32 =52．[方法二]：因为f x +1 是奇函数，所以f -x +1 =-f x +1 ①；因为f x +2 是偶函数，所以f x +2 =f -x +2 ②．令x =1，由①得：f 0 =-f 2 =-4a +b ，由②得：f 3 =f 1 =a +b ，因为f 0 +f 3 =6，所以-4a +b +a +b =6⇒a =-2，令x =0，由①得：f 1 =-f 1 ⇒f 1 =0⇒b =2，所以f x =-2x 2+2．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数f x 的周期T =4．所以f 92=f 12 =-f 32 =52．故选：D ．二、多选题12.(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 在-1,0 上单调递增，f 2+x =f 2-x ，且图象关于3,0 对称，则f x ( )A.周期T =4B.在0,2 单调递减C.满足f 2021 <f 2022 <f 2023D.在0,2023 上可能有1012个零点【答案】ABD【解析】A 选项：由f (2+x )=f (2-x )知f (x )的对称轴为x =2，且f (4+x )=f (-x )，又图象关于3,0 对称，即f (3+x )=-f (3-x )，故f (6+x )=-f (-x )，所以-f (4+x )=f (6+x )，即-f (x )=f (2+x )，所以f (x )=f (x +4)，f (x )的周期为4，正确；B 选项：因为f (x )在-1,0 上单调递增，T =4，所以f (x )在3,4 上单调递增，又图象关于3,0 对称，所以f (x )在2,3 上单调递增，因为关于x =2对称，所以f (x )在1,2 上单调递减，f (1)=f (3)=0，故f (x )在0,2 单调递减，B 正确；C 选项：根据周期性，f (2021)=f (1)，f (2022)=f (2)，f (2023)=f (3)，因为f (x )关于x =2对称，所以f (1)=f (3)=0，f (2)<f (1)，故f (2022)<f (2021)=f (2023)，错误；D 选项：在0,4 上，f (1)=f (3)=0，f (x )有2个零点，所以f (x )在0,2020 上有1010个零点，在2020,2023 上有2个零点，故f (x )在0,2023 上可能有1012个零点，正确，故选：ABD ．13.(2023春·广东广州·高三统考阶段练习)已知函数f x 、g x 的定义域均为R ，f x 为偶函数，且f x +g 2-x =1，g x -f x -4 =3，下列说法正确的有( )A.函数g x 的图象关于x =1对称 B.函数f x 的图象关于-1,-1 对称C.函数f x 是以4为周期的周期函数 D.函数g x 是以6为周期的周期函数【答案】BC【解析】对于A 选项，因为f x 为偶函数，所以f -x =f x ．由f x +g 2-x =1，可得f -x +g 2+x =1，可得g 2+x =g 2-x ，所以，函数g x 的图象关于直线x =2对称，A 错；对于B 选项，因为g x -f x -4 =3，则g 2-x -f -2-x =3，又因为f x +g 2-x =1，可得f x +f -2-x =-2，所以，函数f x 的图象关于点-1,-1 对称，B 对；对于C 选项，因为函数f x 为偶函数，且f x +f -2-x =-2，则f x +f x +2 =-2，从而f x +2 +f x +4 =-2，则f x +4 =f x ，所以，函数f x 是以4为周期的周期函数，C 对；对于D 选项，因为g x -f x -4 =3，且f x =f x -4 ，∴g x -f x =3，又因为f x +g 2-x =1，所以，g x +g 2-x =4，又因为g 2-x =g 2+x ，则g x +g x +2 =4，所以，g x +2 +g x +4 =4，故g x +4 =g x ，因此，函数g x 是周期为4的周期函数，D 错.故选：BC .14.(2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)设定义在R 上的函数f x 与g x 的导函数分别为f x 和g x ，若f x +2 -g 1-x =2，f x =g x +1 ，且g x +1 为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )A.g 1 =0 B.函数g x 的图象关于x =2对称C.2021k =1f k g k =0D.2022k =1g k =0【答案】AC【解析】因为g x +1 为奇函数，所以g x +1 =-g -x +1 ，取x =0可得g 1 =0，A 对，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 +g 1-x =0；所以f x +g 3-x =0，又f x =g x +1 ，g x +1 +g 3-x =0，故g 2+x +g 2-x =0，所以函数g x 的图象关于点(2,0)对称，B 错，因为f x =g x +1 ，所以f x -g x +1 =0，所以f x -g x +1 =c ，c 为常数，因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x -g 3-x =2，所以g x +1 -g 3-x =2-c ，取x =1可得c =2，所以g x +1 =g 3-x ，又g x +1 =-g -x +1 ，所以g 3-x =-g -x +1 ，所以g x =-g x -2 ，所以g x +4 =-g x +2 =g (x )，故函数g (x )为周期为4的函数，因为g x +2 =-g x ，所以g 3 =-g 1 =0，g 4 =-g 2 ，所以g (1)+g (2)+g (3)+g (4)=0，所以2022k =1g k =g (1)+g (2)+g (3)+g (4) +g (5)+g (6)+g (7)+g (8) +⋅⋅⋅+g (2017)+g (2018)+g (2019)+g (2020) +g (2021)+g (2022)，所以2022k =1g k =505×0+ g (2021)+g (2022)=g (1)+g (2)=g (2)，由已知无法确定g (2)的值，故2022k =1g k 的值不一定为0，D 错；因为f x +2 -g 1-x =2，所以f x +2 =2-g x +1 ，f x +6 =2-g x +5 ，所以f x +2 =f (x +6)，故函数f (x )为周期为4的函数，f (x +4)g (x +4)=f (x )g (x )所以函数f (x )g (x )为周期为4的函数，又f (1)=2-g (0)，f (2)=2-g (1)=2，f (3)=2-g (2)=2+g (0)，f (4)=2-g (3)=2，所以f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4)=0+2g (2)+2g (4)=0，所以2021k =1f k g k =505f (1)g (1)+f (2)g (2)+f (3)g (3)+f (4)g (4) +f (2021)g (2021)2021k =1f kg k =f (1)g (1)=0 ，C 对，故选：AC .15.(2023·全国·高三专题练习)设函数y =f (x )的定义域为R ，且满足f (x )=f (2-x )，f (-x )=-f (x -2)，当x ∈(-1,1]时，f (x )=-x 2+1，则下列说法正确的是( )A.f (2022)=1B.当x ∈4,6 时，f (x )的取值范围为-1,0C.y =f (x +3)为奇函数D.方程f (x )=lg (x +1)仅有5个不同实数解【答案】BCD【解析】依题意，当-1<x<0时，0<f x <1，当0≤x≤1时，0≤f x ≤1，函数y=f(x)的定义域为R，有f(x)=f(2-x)，又f(-x)=-f(x-2)，即f(x)=-f(-x-2)，因此有f(2-x)=-f(-x-2)，即f(x+4)=-f(x)，于是有f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，从而得函数f(x)的周期T=8，对于A，f2022=-f0 =-1，A不正确；=f252×8+6=f6 =f-2对于B，当4≤x≤5时，0≤x-4≤1，有0≤f(x-4)≤1，则f(x)=-f(x-4)∈[-1,0]，当5≤x≤6时，-4≤2-x≤-3，0≤(2-x)+4≤1，有0≤f[(2-x)+4]≤1，f(x)=f(2-x)=-f[(2-x)+4]∈[-1,0]，当x∈4,6，B正确；时，f(x)的取值范围为-1,0对于C，f(x+3)=-f[(x+3)+4]=-f(x-1)=-f[2-(x-1)]=-f(-x+3)，函数y=f(x+3)为奇函数，C正确；对于D，在同一坐标平面内作出函数y=f(x)、y=lg(x+1)的部分图象，如图：方程f(x)=lg(x+1)的实根，即是函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象交点的横坐标，观察图象知，函数y=f(x)与y=lg(x+1)的图象有5个交点，因此方程f(x)=lg(x+1)仅有5个不同实数解，D正确.故选：BCD16.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R上的单调递增的函数f x 满足：任意x∈R，有f1-x+f1+x=2，f2+x=4，则( )+f2-xA.当x∈Z时，f x =xB.任意x∈R，f-x=-f xC.存在非零实数T，使得任意x∈R，f x+T=f xD.存在非零实数c，使得任意x∈R，f x -cx≤1【答案】ABD【解析】对于A，令x=1-t，则f t +f2-t=2，=2，即f x +f2-x又f2+x=4-2-f x=f x +2；=4-f2-x+f2-x=4，∴f x+2令x=0得：f1 +f1 =2，f2 +f2 =4，∴f1 =1，f2 =2，则由f x+2=f x +2可知：当x∈Z时，f x =x，A正确；对于B ，令x =1+t ，则f -t +f 2+t =2，即f -x +f 2+x =2，∴f -x =2-f 2+x =2-4-f 2-x =f 2-x -2，由A 的推导过程知：f 2-x =2-f x ，∴f -x =2-f x -2=-f x ，B 正确；对于C ，∵f x 为R 上的增函数，∴当T >0时，x +T >x ，则f x +T >f x ；当T <0时，x +T <x ，则f x +T <f x ，∴不存在非零实数T ，使得任意x ∈R ，f x +T =f x ，C 错误；对于D ，当c =1时，f x -cx =f x -x ；由f 1-x +f 1+x =2，f 2+x +f 2-x =4知：f x 关于1,1 ，2,2 成中心对称，则当a ∈Z 时，a ,a 为f x 的对称中心；当x ∈0,1 时，∵f x 为R 上的增函数，f 0 =0，f 1 =1，∴f x ∈0,1 ，∴f x -x ≤1；由图象对称性可知：此时对任意x ∈R ，f x -cx ≤1，D 正确.故选：ABD .17.(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )定义域为R ，f (x -1)为奇函数，f (x +1)为偶函数，当x ∈(-1,1)时，f (x )=-x 2+1，则下列结论正确的是( )A.f 72 =-34B.f (x +7)为奇函数C.f (x )在(6,8)上为减函数D.方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解【答案】ABD【解析】f (x +1)为偶函数，故f (x +1)=f (-x +1)，令x =52得：f 72 =f -52+1 =f -32，f (x -1)为奇函数，故f (x -1)=-f (-x -1)，令x =12得：f -32 =-f 12-1 =-f -12，其中f -12 =-14+1=34，所以f 72 =f -32 =-f -12 =-34，A 正确；因为f (x -1)为奇函数，所以f (x )关于-1,0 对称，又f (x +1)为偶函数，则f (x )关于x =1对称，所以f (x )周期为4×2=8，故f (x +7)=f (x -1)，所以f (-x +7)=f (-x -1)=-f x -1 =-f x -1+8 =-f x +7 ，从而f (x +7)为奇函数，B 正确；f (x )=-x 2+1在x ∈(-1,0)上单调递增，又f (x )关于-1,0 对称，所以f (x )在-2,0 上单调递增，且f (x )周期为8，故f (x )在(6,8)上单调递增，C 错误；根据题目条件画出f (x )与y =-lg x 的函数图象，如图所示：其中y =-lg x 单调递减且-lg12<-1，所以两函数有6个交点，故方程f (x )+lg x =0仅有6个实数解，D 正确.故选：ABD18.(2023·全国·高三专题练习)已知f (x )是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f (x +1)是偶函数，且当x ∈0,1 时，f (x )=-x (x -2)，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为-1,1D.y =f x 在0,2π 上有4个零点【答案】BCD【解析】对于A ，f x +1 为偶函数，其图像关于x 轴对称，把f x +1 的图像向右平移1个单位得到f x 的图像，所以f (x )图象关于x =1对称，即f (1+x )=f (1-x )，所以f (2+x )=f (-x )，f x 为R 上的奇函数，所以f (-x )=-f x ，所以f (2+x )=-f (x )，用2+x 替换上式中的x 得， f (4+x )=-f (x +2)，所以，f (4+x )=f (x )，则f x 是周期为4的周期函数.故A 错误.对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1.故B 正确.对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1,0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域-1,1 .故C 正确.对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1]，f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2]，2-x ∈[0,1]，f (x )=f (2-x )=-x (x -2)①∴x ∈[0,2]时，f (x )=-x (x -2)，此时函数的零点为0，2；∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，②∴x ∈2,4 时，∵f (x )的周期为4，∴x -4∈-2,0 ，f x =f x -4 =x -2 x -4 ，此时函数零点为4；③∴x ∈4,6 时，∴x -4∈0,2 ，f x =f x -4 =-(x -4)(x -6)，此时函数零点为6；④∴x ∈6,2π 时，∴x -4∈2,4 ，f x =f x -4 =x -6 x -8 ，此时函数无零点；综合以上有，在(0,2π)上有4个零点.故D 正确；故选：BCD19.(2023春·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习)已知f x 是定义域为(-∞,+∞)的奇函数，f x +1 是偶函数，且当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则( )A.f x 是周期为2的函数B.f 2019 +f 2020 =-1C.f x 的值域为[-1，1]D.f x 的图象与曲线y =cos x 在0,2π 上有4个交点【答案】BCD【解析】根据题意，对于A ，f x 为R 上的奇函数，f x +1 为偶函数，所以f (x )图象关于x =1对称，f (2+x )=f (-x )=-f (x )即f (x +4)=-f (x +2)=f (x )则f x 是周期为4的周期函数，A 错误；对于B ，f x 定义域为R 的奇函数，则f 0 =0，f x 是周期为4的周期函数，则f 2020 =f 0 =0；当x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，则f 1 =-1×1-2 =1，则f 2019 =f -1+2020 =f -1 =-f 1 =-1，则f 2019 +f 2020 =-1；故B 正确．对于C ，当x ∈0，1 时，f x =-x x -2 ，此时有0<f x ≤1，又由f x 为R 上的奇函数，则x ∈-1，0 时，-1≤f x <0，f (0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f x 的值域[-1，1]．故C 正确．对于D ，∵f (0)=0，且x ∈0,1 时，f x =-x x -2 ，∴x ∈[0,1],f (x )=-x (x -2)，∴x ∈[1,2],2-x ∈[0,1],f (x )=f (2-x )=-x (x -2)，∴x ∈[0,2],f (x )=-x (x -2)，∵f (x )是奇函数，∴x ∈[-2,0],f (x )=x (x +2)，∵f (x )的周期为4，∴x ∈[2,4],f (x )=(x -2)(x -4)，∴x ∈[4,6],f (x )=-(x -4)(x -6)，∴x ∈[6,2π],f (x )=(x -6)(x -8)，设g (x )=f (x )-cos x ，当x ∈[0,2],g (x )=-x 2+2x -cos x ，g ′(x )=-2x +2+sin x ，设h(x)=g′(x),h′(x)=-2+cos x<0在[0,2]恒成立，h(x)在[0,2]单调递减，即g′(x)在[0,2]单调递减，且g′(1)=sin1>0,g′(2)=-2+sin2<0，存在x0∈(1,2),g′(x0)=0，x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)单调递增，x∈(x0,2),g′(x)<0,g(x)单调递减，g(0)=-1,g(1)=1-cos1>0,g(x0)>g(1)>0,g(2)=-cos2>0，所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(x0,2)没有零点，即x∈(0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈2，4时，，g x =f x -cos x=x2-6x+8-cos x，则g′x =2x-6+sin x，h x =g′x =2x-6+sin x，则h′x =2+cos x>0，所以g′x 在2，4上单调递增，且g′3 =sin3>0,g′2 =-2+sin2<0，所以存在唯一的x1∈2，3⊂2，4，使得g′x =0，所以x∈2,x1，g′x <0，g x 在2,x1单调递减，x∈x1，4，g′x >0，g x 在x1，4单调递增，又g3 =-1-cos3<0，所以g x1<g(3)<0，又g2 =-cos2>0,g4 =-cos4>0，所以g x 在2,x1上有一个唯一的零点，在x1，4上有唯一的零点，所以当x∈2，4时，f x 的图象与曲线y=cos x有2个交点，，当x∈4，6时，同x∈[0,2]，f x 的图象与曲线y=cos x有1个交点，当x∈[6,2π],f(x)=(x-6)(x-8)<0,y=cos x>0，f x 的图象与曲线y=cos x没有交点，所以f x 的图象与曲线y=cos x在0,2π上有4个交点，故D正确；故选：BCD．20.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f2x+1的图像关于直线x=1对称，函数y=f x+1关于点1,0对称，则下列说法正确的是( )A.f1-x=f1+xB.f x 的周期为4C.f1 =0D.f x =f32-x【答案】AB【解析】f2x的图像关于直线x=32对称，f x 的图像关于x=3对称，又关于点2,0中心对称，所以周期为4，所以B正确而D错误；又f 3-x =f 3+x ，其中x 换x +1得f 2-x =f 4+x =f x ，再将x 换x +1得f 1-x =f 1+x ，但无法得到f (1)=0 所以A 正确C 错误.故选：AB .21.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f (x )及其导函数f (x )的定义域均为R ，记g (x )=f (x )，若f 32-2x ，g (2+x )均为偶函数，则( )A.f (0)=0B.g -12 =0C.f (-1)=f (4)D.g (-1)=g (2)【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于f (x )，因为f 32-2x为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ①，所以f 3-x =f x ，所以f (x )关于x =32对称，则f (-1)=f (4)，故C 正确；对于g (x )，因为g (2+x )为偶函数，g (2+x )=g (2-x )，g (4-x )=g (x )，所以g (x )关于x =2对称，由①求导，和g (x )=f (x )，得f 32-x=f 32+x ⇔-f 32-x =f 32+x ⇔-g 32-x =g 32+x ，所以g 3-x +g x =0，所以g (x )关于32,0 对称，因为其定义域为R ，所以g 32=0，结合g (x )关于x =2对称，从而周期T =4×2-32 =2，所以g -12 =g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知g (x )周期为2，关于x =2对称，故可设g x =cos πx ，则f x =1πsin πx +c ，显然A ，D 错误，选BC .故选：BC .[方法三]：因为f 32-2x，g (2+x )均为偶函数，所以f 32-2x =f 32+2x 即f 32-x =f 32+x ，g (2+x )=g (2-x )，所以f 3-x =f x ，g (4-x )=g (x )，则f (-1)=f (4)，故C 正确；函数f (x )，g (x )的图象分别关于直线x =32,x =2对称，又g (x )=f (x )，且函数f (x )可导，所以g 32 =0,g 3-x =-g x ，所以g (4-x )=g (x )=-g 3-x ，所以g (x +2)=-g (x +1)=g x ，所以g -12=g 32 =0，g -1 =g 1 =-g 2 ，故B 正确，D 错误；若函数f (x )满足题设条件，则函数f (x )+C (C 为常数)也满足题设条件，所以无法确定f (x )的函数值，故A 错误.故选：BC .【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．22.(2023·全国·高三专题练习)定义f x 是y =f x 的导函数y =f x 的导函数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0,f x 0 为函数y =f x 的“拐点”.可以证明，任意三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题，其中正确命题是( )A.存在有两个及两个以上对称中心的三次函数B.函数f x =x 3-3x 2-3x +5的对称中心也是函数y =tan π2x 的一个对称中心C.存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心D.若函数g x =13x 3-12x 2-512，则g 12021+g 22021 +g 32021 +⋅⋅⋅+g 20202021 =-1010【答案】BCD【解析】对于A .设三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，易知y =f x 是一次函数，∴任何三次函数只有一个对称中心，故A 不正确；对于B .由f x =x 3-3x 2-3x +5，得f x =3x 2-6x -3,f x =6x -6，由6x -6=0，得x =1，函数f x 的对称中心为1,0 ，又由π2x =k π2,k ∈Z ，得x =k ,k ∈Z ，∴f x 的对称中心是函数y =tan π2x 的一个对称中心，故B 正确；对于C .设三次函数h x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，所以h x =3ax 2+2bx +c ,h x =6ax +2b联立3ax 02+2bx 0+c =0,6ax 0+2b =0,得3ac -b 2=0，即当3ac -b 2=0时，存在三次函数h x ，方程h x =0有实数解x 0，且点x 0,h x 0 为函数y =h x 的对称中心，故C 正确.对于D .∵g x =13x 3-12x 2-512，∴g x =x 2-x ,g x =2x -1，令g x =2x -1=0，得x =12，∵g 12 =13×12 3-12×12 2-512=-12，∴函数g x =13x 3-12x 2-512的对称中心是12,-12，∴g x +g 1-x =-1，设T =g 12021+g 22021 +g 32021 +⋯+g 20202021 ，所以2T =g 12021 +g 20202021 +g 22021 +g 20192021 +⋯+g 20202021 +g 12021 =-2020所以g 12021 +g 22021 +g 32021+⋯+g 20202021 =-1010，故D 正确.故选:BCD .三、填空题23.(2023·全国·高三专题练习)设f x 的定义域为R ，且满足f 1-x =f 1+x ,f x +f -x =2，若f 1 =3，则f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030=___________.【答案】2024【解析】因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1,f 2 =f 0 =1，由f 1-x =f 1+x ，得f -x =f x +2 ,f x =f 2-x ，有f x +2 +f 2-x =2，可得f x +f 2-x -2 =2，有f x +f 4-x =2，又由f x +f -x =2，可得f 4-x =f -x ，可知函数f x 的周期为4，可得f 2023 =f -1 =-1,f 2028 =f 0 =1,f 2030 =f 2 =1，有f 2023 +f 2028 +f 2030 =1，因为f x +f -x =2,f 1 =3，所以f -1 =-1,f 0 =1由f 1-x =f 1+x 得f -x =f x +2 ，所以f x +f x +2 =2,f x +1 +f x +3 =2，即f x +f x +1 +f x +2 +f x +3 =4，所以f -1 +f 0 +f 1 +f 2 + f 3 +f 4 +⋯+f 2021 +f 2022 =4×506=2024所以f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 =2024-f 0 -f -1 =2024-1--1 =2024.故f 1 +f 2 +f 3 +⋯+f 2022 f 2023 +f 2028 +f 2030 =2024.故答案为：202424.(2023·全国·高三专题练习)对于定义在D 上的函数f x ，点A m ,n 是f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x ∈D 都有f x +f 2m -x =2n ，判断函数f x =x 3+2x 2+3x +4的对称中心______.【答案】-23，7027【解析】因为f x =x 3+2x 2+3x +4，由于f x +f -23×2-x =x 3+2x 2+3x +4+-23×2-x 3+2-23×2-x 2+3-23×2-x +4=7027×2=14027.即m =-23，n =7027.所以-23，7027是f x =x 3+2x 2+3x +4的一个对称中心.故答案为：-23，7027 .25.(2023·全国·高三专题练习)对于三次函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 ，现给出定义：设f x 是函数y =f x 的导数，f x 是f x 的导数，若方程f x =0有实数解x 0，则称点x 0，f x 0 为函数f x =ax 3+bx 2+cx +d a ≠0 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g x =2x 3-3x 2+1，则g 1100+g 2100+⋯+g 99100 =____.【答案】4912【解析】依题意得，g x =6x 2-6x ,g x =12x -6，令g x =0，得x =12， ∵g 12 =12,∴函数g x 的对称中心为12,12，则g 1-x +g x =1，∵1100+99100=2100+98100=⋯=49100+51100=1，∴g 1100 +g 99100 =g 2100 +g 98100 =⋯=g 49100 +g 51100 =1∴g 1100 +g 2100+⋯+g 99100 =g 1100 +g 99100 +g 2100 +g 98100 +⋯+g 49100 +g 51100 +g 12=49+12=4912，故答案为4912.26.(2023·四川成都·成都七中校考模拟预测)已知S n 为数列a n 的前n 项和，数列a n 满足a 1=-2，且S n =32a n+n ，f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，则f a 2021 =______．【答案】0【解析】∵S n =32a n +n ，∴S n -1=32a n -1+n -1n ≥2 ，两式相减得，a n =32a n -32a n -1+1，即a n -1=3a n -1-1 ，∴a n -1a n -1-1=3，即数列a n -1 是以-3为首项，3为公比的等比数列，∴a n -1=-3⋅3n -1=-3n ，∴a n =-3n +1.∵f x 是定义在R 上的奇函数，且满足f 2-x =f x ，∴令x =2，则f 2 =f 0 =0，又f2-x=f x =-f(-x)，∴f(2+x)=-f(x)，∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(-x)]=f(x)，即f(x+4)=f(x)，即f x 是以4为周期的周期函数.∵a2021=-32021+1=-4-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+C2021202140⋅-12021+1=-C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020+2其中C020*******⋅-10+C1202142020⋅-11+⋯+C2020202141⋅-12020能被4整除，∴f a2021=f-32021+1=f2 =0.故答案为：0．27.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，当x∈0,2时，f x =-x2+4，则函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．【答案】14【解析】由于定义域为R的奇函数f x 满足f x+1=f3-x，∴f-x=-f x ，f x+4=f-x，∴f x+4=-f x ，∴f x+8=-f x+4=f x ，∴函数f x 为周期函数，且周期为8，当x∈0,2时，f x =-x2+4，函数y=f x -a a∈R在区间-4,8上的零点的个数，即为函数y=f x 与y=a 的交点的个数，作出函数 y=f x ,x∈-4,8上的函数的图象，显然，当a=0 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为-4+-2+0+2+4+6+8=14 .28.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(1-x)+9f(2)对任意x∈R恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，且f (1)=2022，则f (45)=_________．【答案】-2022【解析】因为函数f (x )满足f (x +3)=f (1-x )+9f (2)对任意x ∈R 恒成立，所以令x =-1，即f (2)=f (2)+9f (2)，解得f (2)=0，所以f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，又函数f x +9 的图象关于点(-9,0)对称，将函数f x +9 向右平移9个单位得到f (x )，所以f (x )关于点(0,0)，即f (x )为R 上的奇函数，所以f (x )=-f -x ，又f (x +3)=f (1-x )对任意x ∈R 恒成立，令x =-x -3，得f (-x )=f (x +4)，即-f (x )=f (x +4)，再令x =x +4，得-f (x +4)=f (x +8)，分析得f (x )=f (x +8)，所以函数f (x )的周期为8，因为f (1)=2022，所以在f (x +3)=f (1-x )中，令x =0，得f (3)=f (1)=2022，所以f (45)=f 6×8-3 =f -3 =-f 3 =-2022.故答案为：-2022.29.(2023·全国·高三专题练习)已知f x 是定义在R 上的函数，若对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，且函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，f (2)=3，则f (2022)=_______.【答案】3【解析】因为函数f (x -2)的图像关于直线x =2对称，所以函数f (x )的图像关于直线x =0对称，即函数f x 是偶函数，则有f x =f -x ；因为对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)，令x =-4，得f -4+8 =f -4 +f 4 ⇒f -4 =f 4 =0，所以对任意x ∈R ，都有f (x +8)=f (x )+f (4)=f x ，即函数f x 的周期为8，则f 2022 =f 252×8+6 =f 6 =f 6-8 =f -2 =f 2 =3，故答案为：3.30.(2023·全国·高三专题练习)已知定义在R 上的函数f (x )和函数g (x )满足2f (x )=g (x )-g (-x )，且对于任意x 都满足f (x )+f (-x -4)+5=0，则f (2021)+f (2019)=________．【答案】5050【解析】由题意知：f (x )定义域为R ，2f (-x )=g (-x )-g (x )，可得：f (x )+f (-x )=0，f (x )为奇函数，又f (-x -4)=-f (x )-5=-f (x +4)，则f (x +4)=f (x )+5，可得：f (2021)+f (2019)=f (1+4×505)+f (-1+4×505)=f (1)+5×505+f (-1)+5×505=5050.故答案为：5050．31.(2023·全国·高三专题练习)已知定义域为R 的奇函数f x ，当x >0时，有f x =-log 34-x ,0<x ≤54f x -3 ,x >54，则f 2 +f 4 +f 6 +⋅⋅⋅+f 2022 =______．【答案】0【解析】R上的奇函数f x ，则有f-x=-f(x)，而当x>0时，有f x =-log34-x,0<x≤5 4f x-3,x>5 4，于是有f(2)=f(-1)=-f(1)=1，f(4)=f(1)=-1，f(6)=f(3)=f(0)=0，因∀x>54，f(x)=f(x-3)，则有∀n∈N∗,f(6n-4)=f(2)=1,f(6n-2)=f(1)=-1，f(6n)=f(3)=0，所以f2 +f4 +f6 +⋅⋅⋅+f2022=337f2 +f4 +f6=0.故答案为：032.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x3-3x2+9x+4，若f a =7,f b =15，则a+b=___________.【答案】2【解析】因为f x =3x2-6x+9，对称轴为x=1，所以f x 的对称中心为1,f1，即1，11，因为f x =3x2-6x+9=3(x-1)2+6>0，所以f x 在R上单调递增，所以方程f a =7,f b =15的解a,b均有且只有一个，因为f a +f b =2f1 =22，所以a,7,b,15关于对称中心1，11对称，所以a+b=2，故答案为：233.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x 的定义域为R，且f x 为奇函数，其图象关于直线x=2对称．当x∈0,4时，f x =x2-4x，则f2022=____.【答案】4【解析】∵f x 的图象关于直线x=2对称，∴f(-x)=f(x+4)，又f x 为奇函数，∴f(-x)=-f x ，故f(x+4)=-f x ，则f(x+8)=-f(x+4)=f x ，∴函数f x 的周期T=8，又∵2022=252×8+6，∴f2022= f6 =f(-2)=-f2 =-(4-8)=4.故答案为：4.34.(2023·全国·高三专题练习)若函数f(x)=1-x2x2+ax+b，a,b∈R的图象关于直线x=2对称，则a+b=_______．【答案】7【解析】由题意f(2+x)=f(2-x)，即f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)f(1)=f(3)，即b=-15(16+4a+b)0=-8(9+3a+b)，解得a=-8b=15，此时f(x)=(1-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15，f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-x)2-8(4-x)+15=-(x4-16x3+96x2-256x+256)+8(64-48x+12x2-x3)-14(16-8x+x2)-32+8x+15= -x4+8x3-14x2-8x+15=f(x)，满足题意．所以a=-8,b=15，a+b=7．故答案为：7．35.(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =3x-5x-2，g x =2x+22x-2+1，记f(x)与g(x)图像的交点横，纵坐标之和分别为m与n，则m-n的值为________.【答案】-2.【解析】f(x)=3x-5x-2=3+1x-2在(-∞,2)和(2,+∞)上都单调递减，且关于点(2,3)成中心对称，g(x)=2x+22x-2+1=4×2x-2+22x-2+1=4-22x-2+1在(-∞,+∞)上单调递增，g(4-x)+g(x)=4-222-x+1+4-22x-2+1=8-2(2x-2+1)+2(22-x+1)(22-x+1)(2x-2+1)=8-2(2x-2+22-x+2)2+2x-2+22-x=8-2=6，所以g(x)的图像也关于点(2,3)成中心对称，所以f(x)与g(x)图像有两个交点且关于点(2,3)对称，设这两个交点为(x1,y1)、(x2,y2)，则x1+x2=2×2=4，y1+y2=2×3=6，所以m=4，n=6，所以m-n=4-6=-2.故答案为：-2.。
函数周期性习题及答案
1、给出定义:若1122m x m -<≤+(其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即{}x m =,在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题: ①()y f x =的定义域就是R ,值域就是11(,]22-; ②点(,0)k 就是()y f x =的图象的对称中心,其中k Z ∈; ③函数()y f x =的周期为1;④函数()y f x =在13(,]22-上就是增函数 上述命题中真命题的序号就是( ) A 、 ①② B 、 ②③ C 、 ①③D 、 ②④2、设()f x 就是(,)-∞+∞上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x ≤≤时有()2f x x =,则(2015)f =( )A 、 1-B 、 2-C 、 １D 、 23、函数21()(1cos 2)sin ,2f x x x x R =+∈就是( ) A 、 最小正周期为π的奇函数B 、 最小正周期为2π的奇函数 C 、 最小正周期为π的偶函数 D 、 最小正周期为2π的偶函数4、已知函数()4cos sin()1(0)f x x x ϕϕπ=+-<<,若()13f π=,则()f x 的最小正周期为( )A 、 πB 、32πC 、 2πD 、 4π 5、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=,当[3,1)x ∈--时,2()(2)f x x =-+,当[1,3)x ∈-时,()f x x =,则(1)(2)(3)...(2015)f f f f ++++=( )A 、 336B 、 355C 、 1676D 、 20156、在数列{}n a 中,已知122,7a a ==,记n a 与1()n a n N ++∈的积的个位数为2n a +,则2015a =_________.7、函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期就是_______.8、函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为_______.9、函数()f x 就是定义在R 上的偶函数,且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时,()2f x x =,若在区间[2,3]-上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根,则实数a 的取值范围就是________.10、已知函数()f x 就是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数,若(1)1f =,则(8)(9)f f +=____.11、设函数()y f x =的定义域为D ,如果存在非零常数T ,对于任意x D ∈,都有()()f x T T f x +=⋅,则称函数()y f x =就是“似周期函数”,非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-,那么它就是周期为2的周期函数; ②函数()f x x =就是“似周期函数”; ③函数-()2xf x =就是“似周期函数”;④如果函数()cos f x x ω=就是“似周期函数”,那么“,k k Z ωπ=∈”. 其中就是真命题的序号就是_____、(写出所有满足条件的命题序号)12、已知函数21()sin 22f x x x =+,则()f x 的最小正周期就是_______;如果()f x 的导函数就是()f x ',则()6f π'=_______.答案与解析1、2015年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第12题 答案:C 分析:2、2015年广西省玉林市4月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第5题 答案:B分析:∵(2)()f x f x +=-,得(4)()f x f x +=,∴周期为4T =, 又∵函数为奇函数,(2015)(50441)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=-, 故选B .3、2015年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第9题 答案:A 分析:4、2015年天津市与平区高三二模文科数学试题第4题 答案:A分析:因为函数()4cos sin()1,()2sin()1133f x x x f ππϕϕ=+-=+-=,所以sin()13πϕ+=,由0ϕπ<<可得333πππϕπ<+<+,∴,326πππϕϕ+=∴=,故:2()4cos sin()12sin cos 13f x x x x x x π=+-=+-sin 2212sin(2)13x x x π=+=+,则()f x 的最小正周期为22ππ=,故选A . 5、2015年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第7题 答案:A 分析:由题意得(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)1,(6)(0)0,f f f f f f f f f f ===-=-=-==-=-==则(1)(2)(3)(4)(5)(6)1,f f f f f f +++++=又因为201563361=⨯-,所以(1)(2)(3)(2015)3361(6)336,f f f f f ++++=⨯-=故选A .6、2015年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第15题 答案:2分析:122714a a =⨯=,所以34,4728a =⨯=,所以428,4832a =⨯=,所以52,2816a =⨯=,所以678910116,2,2,4,8,2,a a a a a a ======所以从第三项起, n a 的值成周期排列,周期数为6,201533565=⨯+ ,所以201552a a ==. 7、2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第10题 答案:π分析:利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期.因为()cos 2f x x =-,所以最小正周期22T ππ==. 8、2015年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第14题 答案:2π 9、2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第13题 答案:2253a << 分析:因为函数()f x 为偶函数,且当[0,1]x ∈时,()2f x x =,所以当[1,0]x ∈-时,()2f x x =-,又因为函数()f x 为周期为2的周期函数,所以画出函数()f x 在[2,3]-上的图象如图所示,则方程2()0ax a f x +-=在[2,3]-上有4个不相等的实数根等价于函数()f x 的图象与直线2(2)y ax a a x =+=+在[2,3]-上有4个交点,则图易得实数a 应满足20203(2)1(2)a --<<----,即2253a <<.10、2015年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第13题答案:1分析:因为()f x 就是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数,所以()f x 就是以4为周长的奇函数,所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=.11、2015年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第14题 答案:①③④分析:利用新定义逐一判断、若函数()y f x =的“似周期”为1-,则(1)()(1)f x f x f x -=-=+,即它就是周期为2的周期函数,所以①正确;若()f x x =就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()()f x T x T Tf x Tx +=+==,显然不可能,所以②错误;若()2xf x -=就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()()2()2x T x f x T Tf x T -+-+===,即12()2T T T -==,而已知函数1(),2x y y x ==的图象有一个交点,即非零常数T 存在,所以③正确;若函数()cos f x x ω=就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()cos[()]()cos f x T x T Tf x T x ωω+=+==,则1T =±,此时cos()cos x w x ωω±=±,所以,k k Z ωπ=∈,所以④正确,综上所述,真命题的序号就是①③④、12、2015年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第11题 答案:π,1- 分析:21()sin 22f x x x =1cos 2111sin 2)sin 22sin(2)2222232x x x x x π+=+=++=++ 所以()f x 的最小正周期为22ππ=,()f x 的导函数()2cos(2)3f x x π'=+,则()2cos(2)1663f πππ'=⨯+=-、。
函数的周期性(基础+复习+习题+练习).docx
基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。
3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。
(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)
函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
函数的周期性及答案
函数周期性1.设偶函数)(x f 对任意R x ∈，都有)(1)3(x f x f -=+，且当[]2,3--∈x 时，x x f 2)(=,则)5.113(f 的值为( ) A.72- B.72 C.51- D.51 2.已知)(x f 是周期为4的偶函数，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，求)5.1(),5.6(-f f ，)5.5(f 3.是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．54. 已知定义域为R 的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )A.f(6)＞f(7)B.f(6)＞f(9)C.f(7)＞f(9)D.f(7)＞f(10)5.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)＝-f (x )，则f (6)的值为( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)26.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－)(1x f ，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.57.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝)(1)(1x f x f -+，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.139.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）A 、(25)(11)(80)f f f -<<B 、(80)(11)(25)f f f <<-C 、(11)(80)(25)f f f <<-D 、(25)(80)(11)f f f -<<10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++= 。
(完整版)函数的周期性练习题兼答案
函数周期性分类解析X,使f(X T) f (x)恒成立一.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
二.重要结论1、f x f x a，则y f x是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期3、若函数fxa f x a，贝U f x是以T 2a为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0)则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期f x15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ——(a>0)则f(x)为周期函数且2a是它的一个周f x期。
6 f(x a) 1 f(x)，则f x是以T 2a为周期的周期函数.1 f(x)7、f(x a)吃，则fx是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1一型(x € R, a>0)则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a都对称，则f(x)为周期函数且2(b-a) 是它的一个周期。
10、函数y f (x) x R的图象关于两点A a,y0、B b,y0 a b都对称，则函数f(x)是以2 b a为周期的周期函数；11、函数y f(x) x R的图象关于A a, y0和直线x b a b都对称，则函数f(x)是以4 b a为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4 a是它的一个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)a>0)则f(x)为周期函数,6a是它的一个周期。
15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(xXx € R, T M 0),则f(T)=0.函数的周期性练习题高一一•选择题(共15小题)1 .定义在 R 上的函数 f (x )满足 f (- x ) = - f (x ), f (x - 2) =f (x+2)且 x € (-1, 0)时，f (x ) =2x + ,则 f (Iog 220)=()5 52. 设偶函数f (x )对任意x€R ,都有f (x+3) = - ■，且当x €[ - 3,- 2]f ⑴时，f (x ) =4x ，则 f (107.5) = () A . 10 B .丄 C .- 10 D .-丄10 103.设偶函数f (x )对任意x€R 都有f (x )=-- 且当x €[ - 3,- 2]时ff 3J(x ) =4x ，则 f (119.5) = () A . 10 B .- 10 C.丄 D .—丄10 104. 若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1) =1, f (2) =3,则f (8) -f (4)的值为( )A . - 1 B . 1 C .- 2 D . 25. 已知f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，当x €( 0, 2]时，f (x ) =2x +log 2x ,则 f (2015) = () A . - 2 B . - C . 2 D . 5 6 .设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(- 2, 1］上的图象，贝U f (2014) +f (2015) = ()A . 3B . 2C . 1D . 07.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足： —'一一f (我)二-一 ,当 2 強 W, f (x ) =x ,则 f (5.5)' r =f一 J —一一一. ()A . 5.5B . - 5.5 C . - 2.5 D . 2.5------ --------------8. 奇函数 f (x )满足 f (x+2) =-f (x ),当 x € (0, 1)时，f (x ) =3x 4，则 A . -2 B .-舟C . + D . 2 & 69. 定义在R 上的函数f (x )满足f (- x ) +f (x ) =0,且周期是4,若f (1)A . 1B .C . - 1D .-f (log 354)=()=5,则f (2015) ( ) A . 5 B . - 5 C . 0 D . 310 . f (x)对于任意实数x满足条件f (x+2) = 1，若f (1) =-5,贝Uf IxJf (f (5)) = ( ) A . - 5 B .-_ 15C二D . 511 .已知定义在R上的函数f (x) 满足f(x+5) =f (x - 5), 且0強屿时，f (x) =4 - x，则f (1003)=( ) A.- 1 B . 0 C . 1 D . 212 •函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0喊V 2时f (x) =x2- x, 则函数y=f (x)的图象在区间［0, 6］上与x轴的交点个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 913. 已知函数f (x)是定义在(-3 +〜上的奇函数，若对于任意的实数x刃, 都有f (x+2) =f (x),且当x €［0, 2)时,f (x) =log2 (x+1),则f (2014) +f(-2015) +f (2016)的值为( )A . - 1 B.- 2 C . 2 D. 114. 已知f (x)是定义在R上且周期为3的函数，当x €［0, 3)时，f (x) =|2x2 -4x+1|,则方程 f (x)=丄在［-3, 4］解的个数( )A . 4B. 8C. 9 D . 1015. 已知最小正周期为2的函数f (x)在区间［-1, 1］上的解析式是f (x) =x2, 则函数f (x)在实数集R上的图象与函数y=g (x) =|log5x|的图象的交点的个数是( )A. 3 B.4 C.5 D. 6二 .填空题(共10小题)16. 已知定义在R上的函数f (x),满足f (1)二，且对任意的x都有f (x+3)= -，则f (2014) = ______________ .- f (真丿17 .若y=f (x)是定义在R上周期为2的周期函数，且f (x)是偶函数，当x €［0,1］时，f (x) =2x- 1,则函数g (x) =f (x)- Iog5|x|的零点个数为 _______________ .T logo (8 - x) ,18 .定义在R上的函数f (x)满足f (x)，则［£(x-O -f (M-2),K>0f (2013)的值为______________ .19. 定义在R上的函数f (x)的图象关于点(-三，0)对称，且满足f (x)=4-f (x+土), f (1) =1, f (0) =- 2,则 f (1) +f (2) +f (3) +-+f (2010) 的值为= .20. 定义在R上的函数f (x)满足:f (对¥，当x€ (0, 4)时，1+f I K Jf (x) =x2- 1,则f (2011) = _____________ .21 .定义在R上的函数f (x)满足f (x+6) =f (x).当-3喊V- 1时，f (x)= -(x+2) 2,当-1 強V3 时，f (x) =x .贝Uf (1) +f (2) +f (3) +-+f (2012) = _______________ .22 .若函数f (x)是周期为5的奇函数，且满足f (1) =1, f (2) =2，则f (8) -f (14) =.23 .设f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f (2)> 1, f (2014)则实数a的取值范围是24.设f (x )是周期为2的奇函数，当0喊勻时，f (x) =2x (1 - x),则…Ifsinx, nn TT25•若f(x+2 )= ’，、一，则f(斗+2)?f(- 14)= .log2\ - s) p 尺QL 4三.解答题(共5小题)26. 设f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f (x+2) = - f (x), 当x q0，2］时，f (x) =2x - x2(1)求证：f (x)是周期函数；(2)当x €［2，4］时，求f (x)的解析式；(3)计算:f (0) +f (1) +f (2) + --+f (2004).27. 函数f (x)是以2为周期的偶函数，且当x如，1］时，f (x) =3x- 1.(1)求f (x)在［-1, 0］上的解析式；(2)求f 的值.328. 已知定义域为R的函数f (x)为奇函数，且满足f (x+4) =f (x)，当x q0，1］时，f (x) =2x- 1.(1)求f (x)在［-1, 0) 上的解析式；(2)求 f ［24)的值.I29. 已知函数f (x)既是奇函数又是周期函数，周期为=x2- 3,且x €［0，1］时，f (x)x+2，求f (-2014)的值.30•定义在R上的奇函数f (x)有最小正周期2, 且当x € (0, 1)时，f (x) =2x+2「x.(1)求f (x)在［-1, 0) 上的解析式；(2)判断f (x)在(-2,- 1) 上的单调性，并给予证明.函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析 一•选择题(共15小题)1.【解答】解：•••定义在R 上的函数f (x )满足f (- x ) =-f (x ), •••函数f (x )为奇函数又••• f (x - 2) =f (x+2)•••函数f (x )为周期为4是周期函数 又 T Iog 232> Iog 220> Iog 2l6 ••• 4v Iog 220v 5••• f (Iog 220) =f (Iog 220 - 4) =f (logQ ) = - f (-logQ ) = - f (logi )2【解答】解：因为 f( x+3) = -.「，故有 f(x+6 ) = -. • =- 「 =ff IxJf t - £一 f G)(x ).函数f (x )是以6为周期的函数.(6X 17+5.5) =f (5.5)=-=-1 .1 4X i £5) '10f (107.5) =f 故选B3.【解答】解：•••函数f (x )对任意x€R 都有f (x )=-1 f (x-3),• f (x+3)则 f (x+6) 即函数f (x )的周期为6,• f (119.5) =f (20X5-0.5) =f (- 0.5)=-又•••偶函数f (x ), 当 x € - 3,- 2］时，有 f (x ) =4x , 1 • f (119.5)=- f (2.5)~ f ( - 2. 5)11 f ( - 0.訐3)f (2.5)111 i.故选： 4X ( -2. 5)=1C .4.【解答】解：f (x )是R 上周期为5的奇函数，f (- x ) = - f (x ), ••• f (1)= - f (- 1),可得 f (- 1) =-f (1) =- 1, 因为 f (2) =-f (2),可得 f (- 2) = - f (2) =-3,• f (8) =f (8- 5) =f (3) =f (3- 5) =f (-2) =-3, f (4) =f (4 - 5) =f (- 1) = - 1, • f (8)- f (4) =- 3-( - 1) =-2,故选 C ; 5.【解答】解：T f (x )的周期为4, 2015=4X504- 1, • f (2015) =f (- 1),又••• x € (- 1, 0)时，f (x ) • f (険)=1故 f (Iog 220) = - 1故选 C又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以 f (2015) =-f (1) =-21 - log 2l=- 2,故选:A . 6•【解答】解：由图象知f (1) =1, f (- 1) =2, ••• f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数， ••• f (2014) +f (2015) =f (1) +f (- 1) =1+2=3, 故选：A 7. 【解答】解:(x )f (x+4) =f (x ),即函数f (x )的一个周期为4 ••• f (5.5) =f (1.5+4) =f (1.5) ••• f (x )是定义在R 上的偶函数••• f (5.5) =f (1.5) =f (- 1.5) =f (- 1.5+4) =f (2.5) ■/ 当 2^x <3, f (x ) =x ••• f (2.5) =2.5 ••• f (5.5) =2.5 故选 D 8. 【解答】解：T f[ (x+2) +2]=- f (x+2) =f (x ), ••• f (x )是以4为周期的奇函数， 又f (log 354) =f (log^3) =f (4+1 堆誇)=f ( log 3|) =f (- log 3|)二-f ( log 3|)9. 【解答】解：在R 上的函数f (x )满足f (- x ) +f (x ) =0 则：f (- x ) = - f (x )所以函数是奇函数 由于函数周期是4,所以 f (2015) =f (504X4- 1) =f (- 1) =- f (1) = - 5 10. 【解答】解：：f (x+2) =f (：) • f (x+2+2) =「： { =f (x )• f (x )是以4为周期的函数 • f (5) =f (1+4) =f (1) = - 5••• f (log 354) = — 2,故选:A .= 1 - 1 =1 f (- 1+25 ] f ⑴f (f (5)) =f (- 5) =f (- 5+4) =f (- 1)又••• f (- 1)故选：B f (工+4)=- ---------- ---f 〔戒)=f则函数f (x )是周期为10的周期函数，则 f (1003) =f (1000+3) =f (3) =4 - 3=1, 故选: 12. 【解答】解：当v 2时，f (x ) =x 2- x=0解得x=0或x=1, 因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数， 故f (x ) =0在区间［0, 6)上解的个数为6,又因为f (6) =f (0) =0,故f (x ) =0在区间［0, 6］上解的个数为7, 即函数y=f (x )的图象在区间［0, 6］上与x 轴的交点的个数为7,故选：B .13. 【解答】 解：T f (x+2) =f (x ), • f (2014) =f (2016) =f (0) =log 21=0, ••• f (x )为 R 上的奇函数，• f (- 2015) =-f (2015) =-f (1) =- 1. • f (2014) +f (- 2015) +f (2016) =0 - 1+0= - 1 .故选 A .14. 【解答】解：由题意知，f (x )是定义在R 上且周期为3的函数, 当 x q 0, 3)时,f (x ) =|2x 2- 4x+1|,由图象可知：函数y=f (x )与y==在区间［-3, 4］上有10个交点(互不相同)，所以方程f (x ) — 在［ - 3, 4］解的个数是10个，故选：D . 15. 【解答】解：•••函数f (x )的最小正周期为2, • f (x+2) =f (x ),••• f (x ) =x , y=g (x ) =|log 5x| •作图如下：二f (f (5)) =-* 故选B11.【解答】解：T f(x+5) =f (x - 5), ••• f (x+10) =f (x ),C . 在同一坐标系中画出函数 f (x )与、七的图象如下图:•函数f (x)在实数集R上的图象与函数y=g (x) =|log5x|的图象的交点的个数为5,故选：C二•填空题(共10小题)16. 【解答】解：•••对任意的x都有f (x+3)=-f1f (x+6)= =f (x),-f C K+3)•函数f (x)为周期函数，且周期T=6 , • f (2014) =f (335>6+4) =f (4)=f (1+3) =----------- = - 5 故答案为：-517【解答】解：当x €[0, 1]时，f (x) =2x- 1,函数y=f (x)的周期为2,x €[ - 1, 0]时，f (x) =2-x- 1,可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|.函数y=g (x)的零点，即为函数图象交点横坐标，当x >5时，y=log5|x|> 1,此时函数图象无交点，如图：又两函数在x >0上有4个交点，由对称性知它们在x v 0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g (x) =f (x) - log5|x|的零点个数为8；故答案为8；f (x+1) =f (x ) - f (x — 1) =f (x - 1)- f (x - 2)- f (x - 1), ••• f (x+1) =- f (x -2), 即 f (x+3) = - f (x ),• f (x+6) =f (x ),即当x >0时，函数的周期是6.• f (2013) =f (335>6+3) =f (3) =-f (0) =- log 2 (8-0) =- log 28=- 3, 故答案为：-3.19.【解答】解：由f (x ) =- f (x+一)得f=f (x ).所以可得f (x )是最小正周期T=3的周期函数；由f (x )的图象关于点(-仝，0)对称，知(x , y )的对称点是(-卫-x ,- 4 2y ).即若 y=f (x ),则必-y=f (-弓-x )，或 y= - f (-专-x ). (-x ) =f (x ),故知f (x )又是R 上的偶函数. 于是有：f (1) =f (- 1)=1; f (2) =f (2-3) =f (- 1) =1; f (3) =f (0+3)=f (0) = - 2 ；• f (1) +f (2) +f (3) =0，以下每连续3项之和为0. 而 2010=3>670,于是 f (2010) =0;•函数f (x )是周期函数且T=4 , • f (2011) =f (4 >502+3) =f (3),•••当 x € (0, 4)时，f (x ) =x 2- 1, • f (3) =8.即 f (2011) =8.故答案为: 8. 21. 【解答】解：•••当-3喊V- 1 时，f (x ) =-(x+2) 2,••• f (- 3) =- 1, f (- 2) =0, •••当—1 <X V 3 时，f (x ) =x ,-f (X - 2),(x+E ),故 f (-呂-x ) =f而已知f (x ) =-f今以x 代x+一，得f 故答案为0.20.【解答】解：由题意知,则令x=x+2代入得,=f (x - 1) (x+3) =f[-f ( (x),--'j 1+f (Q ，••• f (- 1) =- 1, f (0) =0, f (1) =1, f (2) =2,又■/ f (x+6) =f (x).故 f (3) =- 1, f (4) =0, f (5) =- 1, f (6) =0,又••• 2012=335^3+2,故f (1) +f (2) +f (3) +・・+f (2 012) =335>{f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) ]+f (1) +f (2) =335+1+2=338,故答案为：33822. 【解答】解：由题意可得，f (8) =f (8- 10) =f (- 2) =-f (2) =-2,f (14) =f (14 - 15) =f (- 1) = - f (1) = - 1, 故有f (8)- f (14) =-2-( - 1) =- 1,故答案为-1.23. 【解答】解：解：由f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则 f (x+3) =f (x), f (- x) = - f (x),••• f (2014) =f (3 >672 - 2) =f (- 2) =-f (2),又 f (2)> 1 ,••• f (2014)V- 1 ,即—1V- 1,即为「计V 0 ,a+1 a+1即有(3a- 2) (a+1)v 0,解得,-1V avg ,故答案为：- !<a<^."-1324. 【解答】解：T f (x)是周期为2的奇函数,当0喊<1时，f( x) =2x (1-x), •••f〔-鲁)=f (£) =-f 垮)=-2> (1,)=退,故答案为：-言.25. 【解答】解：由题意可得f ( +2) =sin二J 4=sin (6n-色、=-si=-渥,4 4 2同理可得 f (- 14) =f (- 16+2) =log216=4 ,•f (二^+2) ?f (- 14)=-省>=一也,故答案为：三.解答题(共5小题)26. 【解答】(1)证明::f (x+2) =-f (x),•f (x+4) =- f (x+2) =f (x),•f (x )是周期为4的周期函数；(2)解：当x€[ - 2 , 0]时，-x €[0 , 2],由已知得 f (- x) =2 (- x)-( - x) 2=- 2x - x2, 又f (x)是奇函数，•f (- x) = - f (x) = - 2x - x2,•f (x) =x2+2x ,又当x €[2 , 4]时，x - 4q - 2 , 0],• f (x - 4) = (x - 4) 2+2 (x - 4), 又f (x)是周期为4的周期函数，•f (x) =f (x - 4) = (x - 4) 2+2 (x - 4) =x2- 6x+8 , 从而求得x 耳2, 4]时，f (x) =x2- 6x+8;(3)解：f (0) =0, f (2) =0, f (1) =1, f (3) =- 1,又f (x)是周期为4的周期函数，••• f (0) +f (1) +f (2) +f (3) =f (4) +f (5) +f (6) +f (7) = -=f (2 000) +f (2 001) +f (2 002) +f (2 003) =0.••• f (0) +f (1) +f (2) +-+f (2 004) =0+f (2004) =0.27. 【解答】解：(1)当x €[ - 1, 0]时，-x€[0, 1]，又f (x)是偶函数则F 4)二f (-J 二3 = 二诘厂- 1，x €[ - 1, 0].(2)logj^ - lo g36= -1 - la g32 f (lo gl6) =f (-l-la g32) =f (l-log32) 33•••1- Iog32€[0, 1],go 唧)即f (lo S16)斗28. 【解答】解：(1) 令x €[ - 1, 0),则-x€ (0, 1], ••• f (- x) =2-x- 1.又• f (x)是奇函数，••• f (- x) =- f (x),/• - f (x) =f (- x) =2 x- 1,f 二-〔*) *十1, xE [- 1. 0).(2) • f (x+4) =f (x), • f (x)是以4为周期的周期函数,Lag124= - lo ( - 5, - 4),2 lo S124+^6 ( - 1, 0),f (ld gl24)=f (1O£124H)=-(|) 1H-l=- 24X^1=1 229. 【解答】解：••函数f (x)的周期为3,•f (- 2014) =f (- 671X3 - 1) =f (- 1),••函数f (x)是奇函数，•f (- 1) =- f (1) = -( 12- 1+2) =- 2,•f (- 2014) =- 2.30. 【解答】解；(1)因为奇函数f (x)的定义域为R,周期为2 ,所以 f (- 1) =f (- 1+2) =f (1),且 f (- 1) =-f (1),于是 f (- 1) =0.… (2分)当x € ( - 1 , 0)时,-x € (0 , 1), f (x) = - f (- x) =-( 2-x+2x) =-2x- 2 乂.…(5分)❻（x= -所以f（ x）在［-1,0）上的解析式为f（K）二¥- 厂巴（-1<K<O）f 7分）f2）f fx）在（-2,- 1）上是单调增函数.•••（9分）先讨论f f x）在（0, 1）上的单调性.设0V X1V X2V 1,则-f （七）=小十厂」小十厂2二（小-尹）（1-^7^）2 1 2因为0v X1< X2V1，所以- - ■ ■-，于是2叭_ 2H2<Q, 1 - ——>0 ,从而f f X1）- f f X2）< 0,所以f f x）在（0, 1）上是单调增函数.…f 12分）因为f f x）的周期为2,所以f f x）在（-2,- 1）上亦为单调增函数.•••（14 分）。
函数的周期性 经典例题
函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。
周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数，6a是它的一个周期。
函数的周期性经典例题
函数的周期性--经典例题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：函数的周期性周期函数的定义：对于函数()x f ，存在非0常数T ，使得对于其定义域内总有()()x f T x f =+，则称的常数T 为函数的周期。
周期函数的性质：1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x ++=--，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
9、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
函数的周期性经典例题
函数的周期性周期函数的定义：对于函数f X，存在非0常数T，使得对于其定义域内总有f x T二f x，贝卩称的常数T为函数的周期。
周期函数的性质：1、f x二f x a，则y=f x是以T=a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x) (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
3、若函数f x v =f x-a，则f x是以T =2a为周期的周期函数4、y=f(x)满足f(x+a) = — (a>0),则f(x)为周期函数且2a是它的一个f(X )周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 一丄(a>0),则f(x)为周期函数且2a是f(X )它的一个周期。
6、f(x a)二匕卫，则fx是以T=2a为周期的周期函数.1 +f(x)7、f(x.a)—」0，则f x是以T=4a为周期的周期函数.1 -f(x)8若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且2 (b-a)是它的一个周期。
9、函数厂f(x) R的图象关于两点A a,y。
、B b,y。
a ：：： b都对称，贝恼数f(x)是以2 b-a为周期的周期函数；10、函数y = f (x) x R的图象关于A a, y°和直线x = b a : b都对称，则函数f(x)是以4 b—a为周期的周期函数；11、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a是它的一个周期。
12、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a是它的一个周期。
13、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)( a>0),则f(x)为周期函数，6a是它的一个周期。
14、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x) (x € R, T H 0),则f(T)=0.【试题举例】例1、(2006年山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= -f(x),则,f(6)的值为(B)(A) - 1 (B) 0 (C) 1(D)2【考点分析】本题考查函数的周期性和奇偶性，基础题。
函数的周期性,奇偶性,对称性经典小题练(含答案)
函数的周期性练习题一．选择题（共15小题）1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．29．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．5 11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9D．1015．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为．19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f （8）﹣f（14）=．23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，又∵偶函数f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5 故选D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作图如下：∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二．填空题（共10小题）16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案为：﹣3．19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f （2010）=0；故答案为0．20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即为＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共5小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．设0＜x1＜x2＜1，则因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）。
专项训练：函数的周期性
又由当 时, ，
所以 ，故选C．
【点睛】
本题主要考查了函数的对称性与函数的周期性的应用问题，其中解答中根据题设条件，得到函数的图象以 为周期的周期函数，且关于 对称是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
2．C
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 是定义在 上的奇函数，若对于任意的实数 ，都有 ，且当 时， ，则 的值为( )
A．－1B．－2C．2D．1
6．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 的值为
A． B． C． D．
7．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时 ，
则（ ）
A． B．
C． D．
8．B
【解析】
【分析】
根据函数定义域及函数对称轴，求出函数的周期，进而化简求得函数值即可。
【详解】
因为 ，所以函数图像关于 对称
因为 的定义域为 的奇函数，所以函数的周期为T=4
所以
因为函数图像关于 对称
所以
所以选B
【点睛】
本题考查了函数的对称性及周期性，掌握函数的基本性质是解决这类问题的关键，属于中档题。
9．B
【解析】
【分析】
由题意可得函数的周期为4，结合奇偶性和题意将f（ ）， f（﹣7），f(6)，中的自变量的值转化到[0,1]上，再将自变量代入解析式可得答案．
【详解】
∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），
高中数学_函数的周期性练习题含答案
高中数学 函数的周期性练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，f(0)=2，则f(10)=( ) A.−4 B.−2 C.2 D.42. 若f(x)是R 上周期为3的偶函数，且当0<x ≤32时，f(x)=log 4x ，则f(−132)=( ) A.−2 B.2 C.−12D.123. 已知函数f (x )满足f (1+x )=f (1−x )，且f (−x )=f (x )，当1≤x ≤2时，f (x )=2x −1，则f (2021)的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.−14. 已知函数f(x)满足f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，当1≤x ≤2时，f(x)=2x −1，求f(2017)=( ) A.−1 B.0 C.1 D.25. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)=−x +1，设函数g(x)=e −|x−1|(−1<x <3)，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为( ) A.3 B.4 C.5 D.66. 已知函数y =f (x )对任意x ∈R 都有f (x +2)=f (−x )且f (4−x )+f (x )=0成立，若f (0)=1，则f (2019)+f (2020)+f (2021)的值为（ ） A.1 B.2 C.0 D.−27. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，当x ∈(−1,0]时，f (x )=tan πx 3，则f (194)=（ ）A.−1B.−2C.0D.18. 已知f (x )是R 上的偶函数且满足f (x +3)=−f (x )，若f (1)>7，f (2021)=4+3a ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,0)D.(−∞,1)9. 已知函数f (x )满足：对任意x ∈R ，f (−x )=−f (x )，f (2−x )=f (2+x )，且在区间[0,2]上，f (x )=x 22+cos x −1 ，m =f(√3)，n =f (7)，t =f (10)，则( )A.m <n <tB.n <m <tC.m <t <nD.n <t <m10. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2−x )=f (2+x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )={e x −1,0≤x ≤1,x 2−4x +4,1<x ≤2. 若关于x 的不等式m|x|≤f (x )的整数解有且仅有9个，则实数m 的取值范围为（ ） A.(e−17,e−15] B.[e−17,e−15] C.(e−19,e−17] D.[e−19,e−17]11. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (x +5)，当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2，当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，则f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=( ) A.809 B.811 C.1011 D.101312. 设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x ⋅(1+x)，则f(−92)=________．13. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f (2016)=________.14. 已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝−f(x +2)，若当x ∈[0, 2)时，f(x)＝3x ，则f(2019)＝________15. 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 均有f (x +4)=−f (x )+2√2，若函数f (x −2)的图象关于直线x =2对称，则f (2018)=________．16. 已知函数f (x )为R 上的奇函数，且f (−x )=f (2+x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=2x +a 2x，则f (101)+f (105)的值为________.17. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x )．当x ∈[−3,3)时，f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1，x,−1≤x <3，则f (4)=________；f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=________．18. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，当x∈[−1,0]时，f(x)=x2+2x，则f(2021)=________．19. 已知函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，当x≤2时，f(x)=−x2+kx+2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[2,4]上的最大值．．20. 已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0, 2)时，f(x)=e xx(1)求f(x)在[−2, 2]上的解析式；(2)若|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．21. 已知函数f(x)在R上满足f(2−x)=f(2+x)，f(7−x)=f(7+x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0．试判断函数y=f(x)的奇偶性；试求方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上根的个数，并证明你的结论．22. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x+2)=−f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)=2x−x2．求证：f(x)是周期函数；当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；计算f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)．23. 已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0, 1)时，f(x)=2x．4x+1（1）证明f(x)在(0, 1)上为减函数；（2）求函数f(x)在[−1, 1]上的解析式；（3）当λ取何值时，方程f(x)＝λ在R上有实数解．参考答案与试题解析高中数学 函数的周期性练习题含答案一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ） 1.【答案】 C【考点】 函数的求值函数奇偶性的性质 函数的周期性【解析】根据题意，分析可得f(x)是周期为2的周期函数，则有f(10)＝f(0)，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)， 又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)， 即f(x −1)=f(1−x)=f(1+x)， 所以f(x)=f(2+x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数， 故f(10)=f(0)=2. 故选C . 2.【答案】 C【考点】 函数的周期性 偶函数 【解析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f(−132)=f(−12)=f(12)，结合函数的解析式分析可得答案． 【解答】解：由题意得f(x)是R 上周期为3的偶函数， 则f(−132)=f(−12)=f(12).因为当0<x ≤32时，f(x)=log 4x ，所以f(12)=log 412=−12， 所以f(−132)=−12. 故选C .3. 【答案】 B【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1)．从而得到|f(x+4)=f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，能求出f(2021)的值．【解答】解：∵f(1+x)=f(1−x)，且f(−x)=f(x)，则f[1+(1+x)]=f[1−(1+x)]，即f(2+x)=f(−x)=f(x).∵ f(x)是以2为周期的周期函数，当1≤x≤2时，f(x)=2x−1∴f(2021)=f(2×1010+1)=f(1)=21−1=1.故选B．4.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得f(1+x)＝−f(1−x)＝−f(x−1)，从而得到f(x+4)＝f(x)，再由当1≤x≤2时，f(x)＝2x−1，能求出f(2017)的值．【解答】解：∵f(1+x)+f(1−x)=0，且f(−x)=f(x)，∴f(1+x)=−f(1−x)=−f(x−1).令x−1=t，得f(t+2)=−f(t)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，∴f(x)以4为周期的周期函数.∵当1≤x≤2时，f(x)=2x−1，∴f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=21−1=1．故选C．5.【答案】B【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(1+x)=f(1−x)，且f(x)为定义在R上的偶函数，所以有f(1+x)=f(1−x)=f(x−1)，即f(x+2)=f(x)，函数f(x)为周期为2的偶函数，且关于x=1对称.又因为g(x)=e−|x−1|(−1<x<3)关于x=1对称，所以f(x)与g(x)的图象一共有四个交点，交点的横坐标之和为2+2=4.故选B.6.【答案】A【考点】函数的求值函数的周期性【解析】由题意，根据f(x+2)=f(−x)以及f(4−x)=−f(x)可推导y=f(x)是周期为4的周期函数，可得f(2019)=f(3)，f(2021)=f(1)，代入f(4−x)=−f(x)可计算结果，又f(2020)=f(0)=0，代入计算即可．【解答】解：已知f(x+2)=f(−x)，则f(2−x)=f(x).又f(4−x)=−f(x)，可得f(4−x)+f(2−x)=0，所以f(x+2)=−f(x)，即f(x+4)=f[(x+2)+2]=−f(x+2)=f(x)，可得函数y=f(x)是周期为4的周期函数，则f(2019)=f(3)，f(2020)=f(0)，f(2021)=f(1).因为f(4−x)+f(x)=0，所以f(4−1)+f(1)=0，即f(3)+f(1)=0，可得f(2019)+f(2020)+f(2021)=0+1=1.故选A．7.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，函数f(x)满足f(1−x)=f(1+x)，则f(−x)=f(2+x)，又由f(x)为偶函数，则有f(−x)=f(x)，则f(x+2)=f(x)，函数f(x)是周期为2的偶函数，故f(194)=f(34)=f(−34)=tan[π3×(−34)]=−1．故选A．8.【答案】B函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】【解答】解：因为f(x+3)=−f(x)，所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(2021)=f(6×337−1)=f(−1)=f(1)．因为f(1)>7，所以f(2021)=4+3a>7，解得a>1．故选B．9.【答案】B【考点】函数的周期性利用导数研究函数的单调性奇偶性与单调性的综合【解析】由f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)判断出该函数的奇偶性及对称性、周期性．再将自变量转变到同一周期内利用单调性进行比大小．【解答】解：∵f(−x)=−f(x)，f(2−x)=f(2+x)，∴f(x)为奇函数，∴f[2−(x+2)]=f(2+x+2)，即f(−x)=f(x+4)=−f(x)，∴f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期为8，∴f(7)=f(8−1)=f(−1)=−f(1)，f(10)=f(8+2)=f(2)，当x∈[0,2]时，f(x)=x 22+cos x−1,f′(x)=x−sin x，f′′(x)=1−cos x≥0，∴f′(x)=x−sin x为单调递增函数，f′(x)≥f′(0)=0，∴f(x)=x22+cos x−1为单调递增函数，即当x∈[0,2]时，f(x)≥f(0)=0，∴−f(1)<0，0<f(1)<f(√3)<f(2)，∴f(7)<f(√3)<f(10)，即n<m<t．故选B．10.C【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 分段函数的应用根的存在性及根的个数判断【解析】本题考查函数的图象与性质及不等式与函数的结合． 【解答】解：∵ f (−x )=f (x )，f (2−x )=f (2+x )，∴ f(2+x)=f(−x −2)=f(−x +2)，∴ f (x +4)=f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，作出函数f (x )的图象如图所示．令g (x )=m|x|，将g (x )的图象绕坐标原点旋转可得 {7m ≤e −1,9m >e −1,即{m ≤e−17,m >e−19 则实数m 的取值范围为(e−19,e−17]．故选C ． 11.【答案】 A【考点】 函数的周期性 函数的求值【解析】【解答】解：由f (x )=f (x +5)可知f (x )周期为5， 因为当x ∈[−2,0)时，f (x )=−(x +2)2； 当x ∈[0,3)时，f (x )=x ，所以f (−2)+f (−1)+f (0)+f (1)+f (2)=2. 又因为f (x )周期为5，所以f (x )+f (x +1)+f (x +2)+f (x +3)+f (x +4)=2， 因此f (1)+f (2)+⋯+f (2021)=f (1)+[f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)]+⋯+f (2021) =f (1)+2×404 =809. 故选A ．二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 3 分 ，共计21分 ） 12.−34【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数的求值 【解析】由奇函数的性质可得，f(−92)=−f(92)，由周期性可得f(92)=f(92−4)=f(12)，进而得解． 【解答】解：由题意可得，f(−92)=−f(92)=−f(92−4)=−f(12)=−12×(1+12)=−12×32=−34． 故答案为：−34. 13.【答案】 0【考点】 函数的求值 函数的周期性 函数奇偶性的性质【解析】由f (x +2)=−f (x )可得f (x )是周期为4的函数，把f (2016)转化成f (0)）求解即可． 【解答】解：对任意实数x ，恒有f (x +2)=−f (x )，则f(x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f(x)， 所以f (x )是周期为4的函数， 所以f (2016)=f (0)，又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)=0， 所以f (2016)=0. 故答案为：0. 14.【答案】 −3【考点】 求函数的值 函数的周期性 函数的求值【解析】推导出f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，从而f(2019)＝f(3)＝−f(1)，由此能求出结果．【解答】∵函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝−f(x+2)，∴f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，当x∈[0, 2)时，f(x)＝3x，∴f(2019)＝f(3)＝−f(1)＝−(3)故答案为：−(3)15.【答案】√2【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】由已知条件推导出f(−x)=f(x)，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，由此能求出结果．【解答】解：由函数f(x−2)的图象关于直线x=2对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．由f(x+4)=−f(x)+2√2，得f(x+4+4)=−f(x+4)+2√2=f(x)，所以f(x)是周期为8的偶函数，所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)，又f(2)=−f(−2)+2√2，f(−2)=f(2)，所以f(2)=√2．故答案为：√2．16.【答案】3【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】暂无【解答】解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=1+a=0，所以a=−1，(0≤x≤1)，所以f(x)=2x−12x.则f(1)=32又因为f (x )为奇函数，所以f (−x )=f (2+x )=−f (x )，则f (x +4)=f (x )，所以f (x )的周期为4，所以f (101)+f (105)=2f (1)=32×2=3. 故答案为：3.17.【答案】0,337【考点】函数的求值函数的周期性【解析】先由f (x +6)=f (x )判断周期为6，直接计算f (4)；然后计算2017=6×36+1，把f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)转化为=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017) ，即可求解．【解答】解：因为f (x +6)=f (x )，所以函数f (x )的周期为6的周期函数，当x ∈[−3,3)时，f (x )={−(x +2)2,−3≤x <−1,x,x −1≤x <3,所以f (4)=f (−2)=−(−2+2)2=0，因为2017=6×336+1，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=f (−3)=−(−3+2)2=−1， f (4)=0，f (5)=f (−1)=−1，f (6)=f (0)=0，所以f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (2016)+f (2017)=336×[f (1)+f (2)+f (3)+⋯+f (6)]+f (2017)=36×(1+2−1+0−1+0)+1=337．故答案为：0；337．18.【答案】1【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为f (x )是奇函数，所以f (x +2)=f (−x )=−f (x )，所以f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x )，所以f (x )的周期为4.所以f (x +4)=f (x )，故f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[(−1)2−2]=1．故答案为：1．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ）19.【答案】解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，所以f (x )=f (4−x )，当x >2时，4−x <2，则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2=−x 2+(8−k )x +4k −14，故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14=−(x −8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，则f (x )max =f (4)=2；当8−k 2≤2，即k ≥4时，f (x )在[2,4]上单调递减，则f (x )max =f (2)=2k −2；当2<8−k 2<4，即0<k <4时，f (x )max =f (8−k 2)=k 2+84． 综上所述，f (x )max ={ 2，k ≤0,k 2+84，0<k <4,2k −2，k ≥4.【考点】函数的周期性二次函数在闭区间上的最值分段函数的应用函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】解：(1)因为f (2−x )=f (2+x )，所以f (x )=f (4−x )，当x >2时，4−x <2，则f (x )=f (4−x )=−(4−x )2+k (4−x )+2=−x 2+(8−k )x +4k −14，故f (x )的解析式为f (x )={−x 2+kx +2, x ≤2,−x 2+(8−k )x +4k −14,x >2.(2)当x ∈[2,4]时，f (x )=−x 2+(8−k )x +4k −14=−(x −8−k 2)2+k 2+84． 当8−k 2≥4，即k ≤0时，f (x )在[2,4]上单调递增，则f(x)max=f(4)=2；当8−k2≤2，即k≥4时，f(x)在[2,4]上单调递减，则f(x)max=f(2)=2k−2；当2<8−k2<4，即0<k<4时，f(x)max=f(8−k2)=k2+84．综上所述，f(x)max={2，k≤0,k2+84，0<k<4,2k−2，k≥4.20.【答案】解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，∴f(−x)=e−x−x =−1xe x，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=1xe x.当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，即−f(2)=f(2)，∴ f(2)=0，∴f(−2)=f(2)=0.综上，f(x)={1xe x (−2<x<0), 0(x=0,±2), e xx(0<x<2).(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，此时，x=0或±2，∴λ≤0．【考点】函数恒成立问题函数的周期性奇函数【解析】（1）由f(x)是x∈R上的奇函数，得f(0)=0．再由最小正周期为4，得到②和f(−2)的值．然后求(−2, 0)上的解析式，通过在(−2, 0)上取变量，转化到(0, 2)上，即可得到结论．（2）|f(x)|≥λ等价于|f(x)|min≥λ，由f(x)的最小正周期为4得，问题转化为求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由（1）易求；【解答】解：(1)当x∈(−2, 0)时，−x∈(0, 2)，∴f(−x)=e−x−x =−1xe x，又f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，∴f(x)=1xe x.当x=0时，由f(−0)=−f(0)可知，f(0)=0. 又∵ f(x+4)=f(x)，∴f(−2)=f(−2+4)=f(2)，即−f(2)=f(2)，∴ f(2)=0，∴f(−2)=f(2)=0.综上，f(x)={1xe x (−2<x<0), 0(x=0,±2), e xx(0<x<2).(2)|f(x)|≥λ对任意x∈R恒成立，等价于|f(x)|min≥λ.∵f(x)的最小正周期为4，∴只需求x∈[−2, 2]时的|f(x)|min，由(1)可知，x∈[−2, 2]时，|f(x)|min=0，此时，x=0或±2，∴λ≤0．21.【答案】函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．∵f(x)=f[2+(x−2)]=f[2−(x−2)]=f(4−x)，f(x)=f[7+(x−7)]=f(7−(x−7))=f(14−x)，∴f(14−x)=f(4−x)，即f[10+(4−x)]=f(4−x)，∴f(x+10)=f(x)，即函数f(x)的周期为10.又∵f(1)=f(3)=0，∴f(1)=f(1+10n)=0(n∈Z)，f(3)=f(3+10n)=0(n∈Z)，即x=1+10n和x=3+10n(n∈Z)均是方程f(x)=0的根．由−2011≤1+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±201，共403个；由−2011≤3+10n≤2011及n∈Z可得n=0,±1,±2,±3，⋯，±200,−201，共402个；所以方程f(x)=0在闭区间[−2011,2011]上的根共有805个．【考点】函数的周期性抽象函数及其应用函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】若y=f(x)为偶函数，则f(−x)=f(2−(x+2))=f(2+(x+2))=f(4+x)=f(x)，∴f(7)=f(3)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是偶函数．若y=f(x)为奇函数，则f(0)=f(−0)=−f(0)，∴f(0)=0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)=f(3)=0矛盾；因此f(x)不是奇函数．综上可知：函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．略22.【答案】证明∵f(x+2)=−f(x)，∴f(x+4)=−f(x+2)=f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．1【考点】函数的周期性奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】思维启迪：只需证明f(x+T)=f(x)，即可说明f(x)是周期函数；探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵x∈[2,4]，∴−x∈[−4,−2]，∴4−x∈[0,2]，∴f(4−x)=2(4−x)−(4−x)2=−x2+6x−8，又f(4−x)=f(−x)=−f(x)，∴−f(x)=−x2+6x−8，即f(x)=x2−6x+8,x∈[2,4]．思维启迪：由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[−2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．解∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=−1．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=⋯=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0．∴f(0)+f(1)+f(2)+⋯+f(2013)=f(0)+f(1)=1．思维启迪：由周期性求和．探究提高判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．23.【答案】证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，=(4x1+1)(4x2+1)⋯∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, 1)上为减函数．若x∈(−1, 0)，∴−x∈(0, 1)，∴f(−x)=2−x4−x+1，又∵f(x)为奇函数，∴f(−x)=2−x4−x+1=−f(x)，∴f(x)=−2−x4−x+1⋯又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，∴f(1)＝f(−1)＝0∴f(x)={2x4x+1,x∈(0,1) 0,x=0x=±1−2x4x+1,x∈(−1,0)⋯若x∈(0, 1)，∴f(x)=2x4x+1=12x+12x又∵2x+12x ∈(2,52)，∴f(x)∈(25,12 )，若x∈(−1, 0)，∴f(x)=−2x4x+1=−12x+12x，∴f(x)∈(−12,−25)，∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−12<λ<−25,25<λ<12}．…12分【考点】函数的周期性函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）利用函数单调性的定义证明．（2）利用函数的周期性和奇偶性求对应的解析式．（3）利用函数的性质求函数f(x)的值域即可．【解答】证明：设x1,x2∈(0,1)x1<x2，=(4x1+1)(4x2+1)⋯∵0<x1<x2<1，∴2x2>2x1,2x1+x2>1∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0, 1)上为减函数．若x∈(−1, 0)，∴−x∈(0, 1)，∴f(−x)=2−x4−x+1，又∵f(x)为奇函数，∴f(−x)=2−x4−x+1=−f(x)，∴f(x)=−2−x4−x+1⋯又∵f(−1)＝f(1)，且f(−1)＝−f(1)，∴f(1)＝f(−1)＝0∴f(x)={2x4x+1,x∈(0,1) 0,x=0x=±1−2x4x+1,x∈(−1,0)⋯若x∈(0, 1)，∴f(x)=2x4x+1=12x+12x又∵2x+12x ∈(2,52)，∴f(x)∈(25,12 )，若x∈(−1, 0)，∴f(x)=−2x4x+1=−12x+12x，∴f(x)∈(−12,−25)，∴λ的取值范围是{λ|λ=0,−12<λ<−25,25<λ<12}．…12分。
(完整版)函数的周期性练习题兼答案
函数周期性分类解析x，使 f (x T) f (x) 恒成立一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、f x f x a ，则y f x 是以T a为周期的周期函数；2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期3、若函数f x a f x a ，则 f x 是以T 2a 为周期的周期函数14、y=f(x)满足f(x+a)= (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期fx15、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周fx 期。
6、f(x a) 1 f (x)，则 f x 是以T 2a为周期的周期函数.1 f (x)7、f(x a) 11 f f((x x))，则 f x 是以T 4a为周期的周期函数8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 f (x)(x∈R，a>0),则f(x)为周期函数且4a是它的1 f (x)一个周期9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2( b-a) 是它的一个周期。
10、函数y f (x) x R 的图象关于两点 A a,y0 、B b,y0 a b 都对称，则函数f(x)是以2 b a 为周期的周期函数；11、函数y f (x) x R 的图象关于A a, y0和直线x b a b 都对称，则函数 f (x) 是以4 b a 为周期的周期函数；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。
函数的周期性(基础+复习+习题+练习)
函数的周期性基本知识方法1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.1．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为.A 1- .B 0 .C 1 .D 22．（1）设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数，它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，当1921x << 时，()f x 的解析式是()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，已知当0x I ∈时，()2f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。
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函数周期性分类解析一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。
二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1 (a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数. 7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=)(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。
10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；12、 若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。
13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。
14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。
T 15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R，T≠0),则f()=0.2函数的周期性练习题高一一．选择题（共15小题）1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f （x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．29．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．511．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f （﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．114．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9 D．10 15．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为．19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（8）﹣f（14）=．23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．三．解答题（共5小题）26．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2004）．27．函数f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0]上的解析式；（2）求的值．28．已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）求f（24）的值．29．已知函数f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为3，且x∈[0，1]时，f（x）=x2﹣x+2，求f（﹣2014）的值．30．定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=2x+2﹣x．（1）求f（x）在[﹣1，0）上的解析式；（2）判断f（x）在（﹣2，﹣1）上的单调性，并给予证明．函数的周期性练习题高一参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，又∵偶函数f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5 故选D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作图如下：∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二．填空题（共10小题）16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案为：﹣3．19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f （2010）=0；故答案为0．20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即为＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共5小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. ∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．设0＜x1＜x2＜1，则因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）。