2013年高考真题——文科数学 (辽宁卷) 解析版
2013年高考真题——文科数学(辽宁卷)+Word版含答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12（B （C （D ）2（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．B ．C ．132D ． （11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年高考数学辽宁文(word版含答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12 （B （C （D ）2 （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50（C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2 （8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49B ．67C ．89D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A B ． C ．132 D ．（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013学年高考文科数学年辽宁卷答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)
文科数学答案解析
第Ⅰ卷
当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除()
若0x ≤，则以y ax ＝与22||y x x ＝－＋相切为界限，
由2
,2,
y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．
第Ⅱ卷
0=b c ，a 1112⨯⨯＝a b 1(0[]t ＝＋－＝b c a b b ，即1()t t ＋－a b b 2
【解析】画出可行域如图所示。
画出直线20x y －＝，并平移，当直线经过点15.【答案】9π2
【解析】如图，
设球O 的半径为R ，则AH ＝又∵2π·πEH ＝，∴1EH ＝．
123n +
+
-
从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有
710的叶集中在茎叶集中在茎0，1上，由此可看出A 药的疗效更好． 19.【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）3
【解析】（Ⅰ）证明：取AB 的中点
因为CA CB ＝，所以OC AB ⊥．
由于1AB AA ＝，160BAA ∠︒＝，故
由弦切角定理得，ABE BCE ∠∠＝又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，
所以原不等式的解集是|0
{x＜
（Ⅱ）当
1
,
22
x
a
⎡⎫
-⎪
⎢⎣⎭
∈时，(f x。
2013年辽宁省高考数学试卷(文科)及解析
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A、{0}B、{0，1}C、{0，2}D、{0，1，2}2、（5分）复数的模长为（）A、B、C、D、23、（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A、B、C、D、4、（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A、p1，p2B、p3，p4C、p2，p3D、p1，p45、（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）、若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A、45B、50C、55D、606、（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c、asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A、B、C、 D、7、（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（）A、﹣1B、0C、1D、28、（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）A、B、C、D、9、（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A、b=a3B、C、D、10、（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A、B、C、D、11、（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（）A、B、C、D、12、（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a ﹣2）x﹣a2+8、设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A、a2﹣2a﹣16B、a2+2a﹣16C、﹣16D、16二、填空题13、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是、14、（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和、若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=、15、（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为、16、（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为、三、解答题17、（12分）设向量，，、（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值、18、（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点、（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC、19、（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答、（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率、20、（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣、（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）、21、（12分）（1）证明：当x∈[0，1]时，；（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围、请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2013年高考文科数学辽宁卷(含详细答案)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合=0,1,{}2,3,4A ，{||=2|<}B x x ，则=A B ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2} 2.复数1=i 1z -的模为( )A .12BCD .23.已知点(1,3)A ，1(4,)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为( )A .34(,)55-B .43(,)55-C .34(,)55-D .43(,)55-4.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题： 1p ：数列{}n a 是递增数列； 2p ：数列{}n na 是递增数列； 3p ：数列{}n an是递增数列； 4p ：数列{3}n a nd +是递增数列. 其中的真命题为( )A .12p p ,B .34p p ,C .23p p ,D .14p p ,5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ()A .45B .50C .55D .606.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若s i n c o s s i n c o s =12a cb B C BA+，且a b >，则B ∠=( )A .π6B .π3C .2π3D .5π67.)3)1(x f x ＝+，则1(lg2)(lg )2f f +=( )A .1-B .0C .1D .28.执行如图所示的程序框图，若输入8n =，则输出S = ( )A .49 B .67 C .89 D .10119.已知点(0,0)O ，()0,A b ，3(),B a a .若OAB △为直角三角形，则必有 ( )A .3=b aB .31b a a=+C .331()()0b a b a a---=D .331||||0b a b a a-+--=10.已知直三棱柱111ABC A B C －的6个顶点都在球O 的球面上.若=3AB ，=4AC ，AB AC ⊥，112=AA ，则球O 的半径为( )AB.C .132D.11.已知椭圆2222=1(0)x y a C ba b :+>>的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若||=10AB ，||=8BF ，os =45c ABF ∠，则C 的离心率为 ( )A .35B .57C .45D .6712.已知函数22(()22)f x x a x a +-=+，22((2))28g x x a x a =---++.设1()H x =max ()(){}f x g x ,，2mi (){)(n (,)}H x f x g x =（{},max p q 表示p ，q 中的较大值，min{},p q 表示p ，q 中的较小值）.记1()H x 的最小值为A ，2()H x 的最大值为B ，则A B -=( )A .2216a a --B .2216a a +-C .16-D .16--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . 14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和.若1a ，3a 是方程2540x x +=-的两个根，则6S = .15.已知F 为双曲线22=1916x y C :-的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ 上，则PQF △的周长为 .16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）设向量a )=,sin x x ，b (,=cos s )in x x ，2[]π0,x ∈.（Ⅰ）若|a |=|b |，求x 的值；（Ⅱ）设函数()f x =a ·b ，求()f x 的最大值.18.（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心， 求证：QG ∥平面PBC .19.（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求： （Ⅰ）所取的2道题都是甲类题的概率； （Ⅱ）所取的2道题不是同一类题的概率.20.（本小题满分12分）如图，抛物线214C x y :=，222()0C x py p :-=>.点00(,)M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点为A ，B （M 为原点O 时，A ，B 重合于O ）.当0=1x MA 的斜率为12-.（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ，B 重合于O 时，中点为O ）.21.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：当[0,1]x ∈si n x x ≤≤； （Ⅱ）若不等式23()222cos 4ax x x x x ≤++++对[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为O 直径，直线CD 与O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明： （Ⅰ）=FEB CEB ∠∠； （Ⅱ）2=EF AD BC .23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为=4sin ρθ，πcos(4ρθ- （Ⅰ）求1C 与2C 交点的极坐标；（Ⅱ）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为33,1,2x t a b y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t R ∈为参数），求a ，b 的值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数|(|)f x x a =-，其中1a ＞.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()4||4f x x ≥--的解集；（Ⅱ）已知关于x 的不等式|()22()|2f x a f x ≤-+的解集为2|}1{x x ≤≤，求a 的值.{01}A B =，【解析】1i 1z ==-【提示】利用2i =-【试题解析】(3AB =-，，则与其同方向的单位向量3,5ABe AB ⎛== ⎝【提示】同方向的单位向量求法，向量除以模长即可【解析】根据等差数列的性质判定.d n 是假命题.a又sin a 32a b a -=-【解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中∠AB BF ABFcos，点数学试卷 第16页（共33页）【解析】a ）又x ）3sin =a b）AB PA 又PAAC A =，连接OG 并延长交，G Q PA 中点，∴又O QM MO M =BC PC C =，平面PBC QG ⊂平面QMO ）抛物线点N点又F）解法一：当数学试卷第22页（共33页）)又）直线AB又EF）BC又在AF BF，∴EF AD BC. （步骤【提示】根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形的全等和线段间的关系求解【考点】弦切角及圆的有关性质，三角形全等，直角三角形性质数学试卷第28页（共33页）又（11 / 11。
2013年高考文科数学辽宁卷word解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．(2013辽宁，文1)已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x ||x |＜2}，则A ∩B ＝( )．A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2} 【答案】B【考点】本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法。
【解析】∵|x|＜2，∴x ∈(－2,2)，即B ＝{x|－2＜x ＜2}．∴A∩B＝{0,1}，故选B. 2．(2013辽宁，文2)复数1=i 1z -的模为( )． A ．12BCD ．2【答案】B【考点】本题主要考查复数的运算及复数的概念，意在考查考查考生的运算能力和复数的四则运算法则的掌握情况。
【解析】1i 111i i 1(i 1)(i 1)22z --===------， ∴|z |2=，故选B.3．(2013辽宁，文3)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为( )．A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【考点】本题主要考查向量的坐标表示。
【解析】与向量AB 同方向的单位向量为AB AB34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选A. 4．(2013辽宁，文4)下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列； p 3：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( )． A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 【答案】D【考点】本题主要考查等差数列的通项公式，数列的单调性的判断，意在以数列为载体，考查考生对一次函数、二次函数和反比例函数的掌握情况。
2013年辽宁省高考数学试卷(文科)
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）复数的模长为（）A．B．C．D．23．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A．B．C．D．4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p45．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）A．B．C． D．7．（5分）已知函数f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg2）+f（lg）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）A．B．C．D．9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）A．b=a3B．C．D．10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．11．（5分）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a ﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16二、填空题13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．15．（5分）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．三、解答题17．（12分）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．19．（12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．21．（12分）（1）证明：当x∈[0，1]时，；（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2013年高考真题——文科数学(辽宁卷)解析版含答案
2013高考数学辽宁卷解析大连市红旗高级中学 王金泽一．选择题1.【答案】B【解析】 由已知{|22}B x x =-<<，所以{0,1}A B ⋂=，选B 。
2. 【答案】B【解析】由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||2Z = 3【答案】A【解析】(3,4)AB =- ，所以||5AB = ，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =- 4【答案】D【解析】设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则满足已知，但2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确 5【答案】B【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则150.3m=，50m =。
6【答案】A 【解析】边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=。
7【答案】D【解析】()3)1f x x -=++所以()()2f x f x +-=，因为lg 2，1lg2为相反数，所以所求值为2.8【答案】A 【解析】211s s i =+-的意义在于是对211i -求和。
因为21111()2111i i i =--+-，同时注意2i i =+，所以所求和为1111111[()()()]2133579-+-++- =49 【易错点拨】i 的值容易错想成i=2,3,4,5,6,7,8。
9【答案】C【命题意图】本题考察斜率的定义、两条直线相互垂直的条件的利用，意在考察考生恰当利用分类讨论思想的解题能力。
【解析】若A 为直角，则根据A 、B 纵坐标相等，所以30b a -=；若B 为直角，则利用1OB AB K K =-得310b a a--=，所以选C 10【答案】C 【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M 。
2013年高考真题——文科数学(辽宁卷) Word版含答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x AB ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12 （B ）2（C （D ）2 （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．2B ．C ．132D ．（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为 （A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013年辽宁文科高考题及答案-(7639)
1.doc 及答案2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第I卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共40 分.（1）已知集合A 0,1,2,3,4 , B x||x| 2 ，则A B （）。
（A）0 （B）0,1 （C）0,2 （D）0,1,21（2）复数的Zi 1模为（）。
（A）12 （B）22（C） 2 （D）2（3）已知点A 1,3 ,B 4, 1 ，则与向量AB 同方向的单位向量为（）。
（A）3 4，- （B）5 54 3，- （C）5 53 4，（D）5 54 3，5 5（4）下面是关于公差 d 0 的等差数列 a 的四个命题：np1 :数列a n 是递增数列；p2 :数列na n 是递增数列；p3 :an数列是递增数列；np4 :数列a n 3nd 是递增数列；其中的真命题为（）。
（A）p1, p2 （B）p3, p4 （C）p2, p3 （D）p1, p4（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为20,40 , 40,60 ,60,80 , 80,100 .若低于60 分的人数是15 人，则该班的学生人数是（）。
（A）45 （B）50 （C）55 （D）60第 1 页共13 页（6）在ABC 中，内角A，B，C所对的边长分别为a, b, c. a sin B cosC c sin B c os A12b, 且a b,则 B （）。
（A）（B）（C）6 3 23（D）56（7）已知函数 2 1f x ln 1 9x 3x 1,.则f lg 2 f lg （）。
2（A） 1 （B）0 （C）1 （D）2 （8）执行如图所示的程序框图，若输入n 8,则输出的S （）。
（A）49 （B）67（C）89（D）1011（9）已知点 3O 0,0 , A 0,b ,B a, a .若OAB 为直角三角形，则必有（）。
（A） 3b a （B）3 1b aa（C） 3 3 1b a b aa 0 3 31 （D）b a b aa（10）已知A BC A B C的6 个顶点都在球O的球面上。
2013年辽宁文科高考题及答案-1
212868541.doc及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供文科考生使用）
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.
（1）已知集合A??0,1,2,3,4?, B??x||x|?2?，则A?B?（）。
（A）?0? （B）?0,1? （C）?0,2? （D）?0,1,2?
（2）复数的Z?1模为（）。
i?1
1 （B
（C
（D）2 2
????（3）已知点A?1,3?,B?4,?1?，则与向量AB同方向的单位向量为（）。
（A）（A）?，-? （B）?，-? （C）??? （D）???
（4）下面是关于公差d?0的等差数列?an?的四个命题： ?3?54?5??4?53?5??34??55??43??55? p1:数列?an?是递增数列； p2:数列?nan?是递增数列；
?a?p3:数列?n?是递增数列； p4:数列?an?3nd?是递增数列； n??
其中的真命题为（）。
（A）p1,p2 （B）p3,p4 （C）p2,p3 （D）p1,p4
（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布
直方图如图，数据的分组一次为?20,40?,?40,60?,
?60,80?,?80,100?.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）。
（A）45 （B）50 （C）55 （D）60
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2013高考数学(文)真题专业解析(辽宁卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（辽宁卷）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的•1.已知集合A={0, 1 , 2, 3, 4} , B= {x|| x|<2}，则A n B=( )A. {0}B. {0, 1}C. {0, 2}D {0, 1, 2}答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查集合的交集运算，绝对值不等式的求解解题思路：先求集合B,再求交集.解答过程：由于B={x|| x|<2} = {x| —2<x<2}，则A n B= {0 , 1}.规律总结：绝对值不等式的求解容易出错•2 .复数z= 1的模为（）i -1B.D. 2【同理1】答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查复数的模、运算解题思路：先化简复数z，再求模•_1 _i = 土J =— 1 — 1 i ，故 |z | =(i -1)(-1 -i) 2223.已知点A (1, 3) , B (4,— 1),则与向量AB 同方向的单位向量为()B .(43)55C . (— 3，4 )5 5D . (— 4，3 )55【同理3】答案：A 思路分析:考点解剖：本题主要考查向量的基本概念、单位向量解答过程：由于AB =( 4，- 1)—( 1 , 3) = ( 3,— 4),则与AB 同方向的单位向规律总结：与向量a 同方向的单位向量为4.解答过程：由于z = 1i —1 规律总结：复数z = a bi 的模长公式为■. a 2 b 2 .3 5Z/IXA\174 - 5解题思路：先求出向量 AB 的坐标及模，然后运用AB求解即可.量为：―1=ABF面是关于公差d>0的等差数列｛a n｝的四个命题:P l ：数列｛a n ｝是递增数列 P 2：数列｛na n ｝是递增数列.A. p i , P 2B. P 3, P 4C. P 2, P 3D. P i , P 4答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查数列的单调性 解题思路：判断与的大小关系a n 半 a n解答过程：由于数列｛a n ｝中d >0，则数列｛a n ｝是递增数列，即p i 是真命题.而(n + 1) a n+1- nan = (n +1)(an + d )- nan =(n + 1)d + an ，不能明确其值为正数，则5是假命题.合n 1假命题.a n +1+ 3 (n + 1) d -( a n + 3nd )= a n + d + 3 ( n + 1) d -( a n + 3nd )= 4d >0，则数列 ｛a n + 3nd ｝是递增数列，即P 4是真命题•规律总结：结合通项公式，通过作差比较法来比较，注意除了参数 d 为正数外，其他条件都是未知的5.某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： [20 , 40), [40 , 60), [60, 80), [80 , 100].若低于60分的人数是15,则该班的学生 人数是(P 3：数列｛ a ｝是递增数列a nn其中的真命题为( )P 4 :数列｛a n + 3nd ｝是递增数列a n — a n d a n — n(a * d) -(n 1冋nn 1nn(n T)nd -a n n(n 1)，不能明确其值为正数，则P 3是A. 45B. 50C. 55D. 60【同理5】答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查频率分布直方图的应用、频数解题思路：先求低于60分的频率，再利用频数除以对应的频率得到该班的学生人数•解答过程：由频率分布直方图知低于60分的频率为：(0.005 + 0.010 )X 20= 0.3，则该班的学生人数是：15-0.3 = 50人.规律总结：在利用频率分布直方图时，注意表格中的对应的数字是频率的值，不疋频组距率，要加以正确区分，否则容易出错6.在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a sin B cos C+ c sin B cos A= 1b,2且a>b,则/ B=( )A. 二6B 二3C- 23D5 二6答案：A思路分析：考点解剖：本题主要考查解三角形的应用解题思路：运用正弦定理求解，运用正余弦定理结合三角形恒等公式对条件进行适当的变换•解答过程：由a sin B cos C+ c sin B bos A=〔b,结合正弦定理有sin A sin B bos C+2sin C sin B cos A=〔sin B,显然sin B*0,则有sin A cos C+ sin Cs os A=〔，即sin (A+ C =2 21，则有A+ C= 5_.或一.(此时B为钝角，与条件a>b矛盾，舍去)，故B= 一. •2 6 6 6规律总结：利用公式得到sin (A+ C的值时，注意分类讨论并结合题目条件加以分析，容易出现遗漏而导致错误•7.已知函数f (x)= ln (占+9x2 —3x) + 1，则f (lg2 ) + f (Ig i )=( )2A. —1B. 0C. 1D. 2答案：D思路分析：考点解剖：本题主要考查函数的性质、对数函数的求值.解题思路：利用为定值求解.—3x ) + 1 + ln ( 1f (X)+ f (-X)2解答过程：由f (x) = ln ( 1 . 9X2—3x ) + 1 知f (x) + f (—x) = ln ( 〔 . 9*+ 3x ) ] + 2= In1 9x2+ 3x) + 1= ln[ (1 9X2— 3x) (1 9X2+ 2 = 2，故f (Ig2 ) + f (lg 1) = f (lg2 ) + f (—lg2 ) = 2.规律总注意对等式f (X)+ f (-x)的变形和应用，也是切入点，也是易错点&11答案：A思路分析:解答过程：由于输入n= 8, S= 0, i = 2,此时满足条件i w 8.接下来有S= 0十〔22-1分步求解s,i的值，只到j>8时，输出的s值即为所求•A.B.C.D.10考点解剖:本题主要考查算法的应用解题思路: )执行如1 , i =2 + 2 = 4,此时满足条件i < 8.接下来有S= i + i = 2 , i = 4 + 2= 6,此时满3 3 42-1 5足条件i w 8.接下来有S= 2 + 1 = 3 , i = 6+ 2= 8,此时满足条件i w 8.接下来有S5 62 _1 7=3 + i = 4 , i = 8+ 2 = 10,此时不满足条件i w 8,输出7 82-1 9规律总结：循环的终止是解决算法的程序框图问题的关键，注意循环条件，否则易错•9.已知点0( 0, 0), A (0, b), B( a, a3),若厶OAB为直角三角形，则必有( )A. b= a3B. b= a3+ ia3 3C. (b- a ) (b- a -〔) = 0a. 3 . 3D. | b- a| + | b-a -〔| = 0a【同理9】答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查直角三角形的性质、坐标运算解题思路：运用特殊值法判断•解答过程：对于点0(0, 0), A(0 , b) , B(a , a3),取特殊值b= 1, a= 1,此时△OAB 为直角三角形，代入各选项可排除选项 B D.又取特殊值b= 2 , a= 1,此时△ OAB为直角三角形，代入各选项可排除选项 A.规律总结：结合题目条件进行求解会由于计算量偏大，分类过多而导致错误10.已知直三棱柱ABC- ABC的6个顶点都在球O的球面上，若AB= 3 , AC= 4 , ABL ACAA= 12 ,则球O的半径为( )3一172D 310【同理10】答案：c思路分析：考点解剖：本题主要考查球的半径、体积，直三棱柱的性质等解题思路：先找出球心，再求出半径•解答过程：由AB= 3, AC= 4, AB丄AC得BC= 5,则知△ ABC所在的球的截面圆的圆心在BC的中点M上；同理，△ ABC所在的球的截面圆的圆心在BC的中点N上，则球心O为MN 规律总结：本题对球心O位置的确定是最容易出错的地方，要引起重视11.已知椭圆C：2 + 2 = 1 (a>b>0)的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两x ya b点，连接AF, BF.若| AB = 10, | BF = 8, cos/ ABF= 4，则C的离心率为( )5A. 35B 57C. 45D 67【同理15】答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的定义、性质，余弦定理等解题思路：先根据余弦定理求得|AF ;然后利用椭圆的定义求得实半轴长，半焦距等•c. 132的中点，故球的半径为R=12 2 13 -2解答过程：设椭圆的右焦点为F1,由余弦定理得|AF2=|AB2+ |BF2—2| AB|| BF|cos / AB& 36,则有| AF| = 6，故/ AFB= 90o,由椭圆的对称性知四边形FAM为矩形，则有| BF + | BM = 8 + 6= 14 = 2a,即a = 7, |FM = | AE| = 10= 2c,即c= 5，贝U C的离心率为e= c = 5 .a 7规律总结：对于椭圆中的有关弦长，线段长问题，首先可以考虑用椭圆的定义求解•12.已知函数f (x)= x2— 2 (a+ 2) x + a2, g (x)=—x2+ 2 (a-2) x—a2+ 8.设H (x)=max{f (x), g (x) } , H2 (x)= min{f (x), g (x) } (max{p, q}表示p, q 中的较大值，min{p, q}表示p, q中的较小值).记H (x)的最小值为A, H2 (x)的最大值为B,则A—B =( )2A. a —2a—16B. a2+ 2a—16C. —16D. 16答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查函数的最值，数形结合的数学思想解题思路：运用特殊值法，作出图象，数形结合求解解答过程：不失一般性，取特殊值a= 2,则f (x) = x2—8x+ 4=(x —4) 2—12, g( x) =—x2+ 4,作出两函数的图象，结合题目创新定义知A=—12, B= 4,则有A- B=—16,综合各选项答案知只有选项B是正确的.规律总结：无从下手而随便选择导致错误•特殊值选择不当而出现多个满足条件的而导致错误等.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是13.【同理13】 答案：16n — 16 思路分析：考点解剖：本题主要考查几何体的三视图，圆柱、正四棱柱的体积 解题思路：先将三视图还原为直观图，然后根据体积公式求解 解答过程：由三视图知该几何体是一个底面半径为r = 2,高为h = 4的圆柱，中间挖去一个底面边长为 a = 2的正四棱柱，则其体积是 V = n r 2h — a 2h = 16 n — 16.规律总结：有关三视图的体积问题，一般先将三视图还原为直观图 ；然后结合各几何体的体积公式求解•14.已知等比数列｛a n ｝是递增数列，$是｛a n ｝的前n 项和.若a, a s 是方程x 2— 5x + 4= 0的 两个根，贝U S= __________ .【同理14】 答案：63 思路分析：考点解剖：本题主要考查等比数列的前n 项和，一元二次方程的求解.解题思路：先根据方程的根与系数的关系求得，得到公比，进而利用等比数列的a 1 , a 3前n 项和公式求解.不满足递增数列的条件，舍去），则a 1= 1，q = 2 （负值不满足递增数列的条件，舍去） ，故1 -q规律总结：等比数列的前n 项和公式要牢记;另外，要会判断数列的单调性以及根据单解答过a 「as =5，解得（此S 6 =a(1 -q 6)=63.调性来确定数列项之间的大小15.已知F为双曲线C: x2 —y2 = 1的左焦点，P, Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长x y9 16的2倍，点A( 5，0)在线段PQ上,则厶PQF的周长为___________ .答案：44思路分析：考点解剖：本题主要考查双曲线的定义解题思路：利用双曲线的定义求解•解答过程：由题得a= 3, b= 4, a= 5,则点A (5, 0)是双曲线的右焦点，贝U PQ过双曲线的右焦点，根据双曲线的定义有| PF —I PA = 2a= 6QF —I QA = 2a=6,则| PF +1 QF =12 + I PA + I QA = 12+ I PQ = 12 + 4b = 28,故厶PQF勺周长为：| PF + | QF + I PQ = 28 + 4b= 44.规律总结：利用双曲线的定义加以转化过程中，容易遗失相关的边长而导致错误16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据•已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为___________________ •【同理16】答案：10思路分析：考点解剖：本题主要考查样本平均数，样本方差解题思路：根据平均数，方差的定义列等式求解解答过程：由于抽取5个班级的样本平均数X = 7,样本方差S2= 4,而样本数据互不相同，设对应样本数据从小到大依次为X1, X2, X3, X4, X5 (互不相等)，则有X1+ X2 + X3+ X42 2 2 2 2 2+ X5= 7X 5= 35, s = 1 [ (X1—7) +(X2—7) +( X3 —7) +( X4 —7) +( X5 —7) ] = 4,52 2 2 2 2 ___________________________________________________________________________________________即(X1—7) +( X2—7) +( X3—7) +( X4 —7) +( X5 —7) = 20,又X1, X2, X3, X4, X5互不相等，根据五个平方数之和为20的特点，可以分别为20= 32+ 32+ 12+ 12+ 02，即这五个数从小到大依次为：4, 6, 7, 8, 10,故最大值为10.规律总结：分析五个数当时缺乏考虑它们互不相等的条件而导致无从下手或作出错误的规律总结：有关三角函数与平面向量的综合问题， 一般是将平面向量转化为三角恒等式,结合二倍角公式，和角公式等进行转化，进而求解相关的性质：单调性、周期、最值等18. (本小题满分12分)如图：AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.(I)求证：BCL 平面PA C.判定.三、解答题:17.(本小题满分12分)设向量 a =(爲sin x , sin x ), b =( cos x , sin x ), x € [0，乂 ].2(I)若 | a | = |b |，求 x 的值.(n)设函数f (x )= a • b ,求f (x )的最大值.【同理17】 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角恒等变换、向量的数量积、三角函数的最值等 解题思路：(I)根据| a | = | b |，变换求解sin x 的值；(n)根据数量积的定义求出 (x )，再化为Asin .*门小的形式.解答过程:解：(I)由 | a | 2=( 3SS x ) 2+( sin x ) 2= 4si n 2x , | b | 2=( cos x ) 2+( si n x ) 1,及 | a | = | b |，得 4sin 2x = 1，又 x € [0 , -•]，从而 sin x =〔，所以2x=二.(n) f (x ) = a • b = 3 sin x cos x + sin 2x =3 si n2 x - 21 cos2x + 21 = sin (2x - 2当 x = -. € [0 ,二],sin (2x —二)取最大值 1,所以 f (x )的最大值为3 .2(n)设Q为PA的中点，AOC勺重心，求证：QG/平面PBD.思路分析：考点解剖：本题主要考查线面垂直、线面平行的证明，以及空间想象的能力解题思路：（I）证ACL BC PAL BC即可；（H）连接0G并延长AC与点M 则由重心的性质可得M为AC的中点.利用三角形的中位线性质，证明OM BC QM PC可得平面OQM //平面PBC 从而证明QG/平面PBC解答过程：解：（I）由AB是圆0的直径，得AC L BC,由PAL平面ABC BC平面ABC得PAL BC又PA? AC=代PA平面PAC AC平面PAC所以BCL平面PA C.（n）连OG并延长交AC于M连接QM QO由AOC的重心，得M为AC中点,由Q为PA中点，得QM PC又O为AB中点，得OM BC因为Ql\? MO^ M QM平面QMO MO平面QMOB8 PC= C, BC 平面PBC PC 平面PBC所以平面QMO平面PBC因为QG平面QMO所以QG平面PBD.v规律总结：立体几何解答题一般分为两类，一类是空间线面关系的判定和证明：主要是证明垂直（线面垂直，面面垂直，线线垂直）与平行（线面平行，面面平行，线线平行）；另一类是空间几何体的体积，异面直线所成的夹角等的计算•对于体积问题，一般要熟练掌握常见的基本形体的体积公式；对于异面直线所成的夹角的问题，一般先通过平移，然后运用勾股定理或者正余弦定理求解平面角•19. （本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.试求：（I）所取的2道题都是甲类题的概率•（n）所取的2道题不是同一类题的概率•思路分析：考点解剖：本题主要考查古典概型•解题思路：（I）先求任取的2道题的种数，再求“都是甲类题”这一事件包含的基本事件数，作除法即可；（n）求出“不是同一类题”这一事件包含的基本事件数，除以任取的2道题的种数即可•解答过程：解：（I）将4道甲类题依次编号为1, 2, 3, 4.2道乙类题依次编号为5, 6,任取 2 道题，基本事件为：{1 , 2} , {1 , 3} , {1 , 4}, {1 , 5} , {1 , 6}, {2 , 3}, {2, 4}, {2 , 5}, {2 , 6}, {3 , 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6},共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的，用A表示“都是甲类题”这一事件，贝U A包含的基本事件有{1 , 2} , {1 , 3}, {1 , 4},{2, 3}, {2 , 4}, {3, 4},共6 个，所以P （A）= 6 = 2 •15 5（n）基本事件同（I）,用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1 , 5}, {1 , 6}, {2 , 5}, {2 , 6}, {3, 5} , {3, 6}, {4, 5}, {4, 6},共8 个，所以P （A）= 8•15规律总结：高考中，概率解答题一般有两大方向的考查• 一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等；二、以应用题为载体，考查古典概型，几何概型•20. (本小题满分12分)如图，抛物线C：x2= 4y, C2: x2= —2py (p>0).点M(X o, y o)在抛物线C2上，过M 作C的切线，切点为A, B( M为原点O时，A, B重合于O .当x o= 1—. 2时，切线MA的斜率为—1 .2(I)求p的值.(H)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A, B重合于O时，中点为O .【同理20】思路分析：考点解剖：本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，曲线的轨迹方程, 以及运算求解的能力.解题思路：(I)运用导数的几何意义求解；(H)运用相关点法求解.解答过程：解：(I)因为抛物线C：x2= 4y上任意一点(x, y)的切线斜率为y' = x2 且切线MA的斜率为一1，所以A点坐标为(一1, 1),2 4故切线MA的方程为y=—1 (x + 1) + 1 ,2 4因为点M( 1 —2, y o)在切线MA及抛物线C2上,2 2 于是 y o =— i (2—2 ) + i =24由③④⑦得x 2 = 4 y , X M 0.3当x i = X 2时，A , B 重合于原点 O, AB 中点N 为O,坐标满足x 2= 4 y .3因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2= 4 y .3规律总结：椭圆是高考考纲要求理解的内容，重点考查椭圆的基本特征,何性质等.;另外，抛物线对于理科来说， 也是高考考纲要求理解的内容， 同时也是文理科在圆锥曲线这章要求的区别精华所在;来年，考查抛物线解答题的可能性也较大 •希望学生们要y0=—(i-2)22p3-2、2， 2p由①②得p = 2.(n)设 N (x, y ), A (X i ,2 Xi),B (X 2,),4X i M X 2,由N 为线段AB 中点知 x =X iy =22 , ④x 1 + x 28切线MA MB 的方程为X i 2(x — X i ) y = x 2 (x — X 2)+X 22, 4由⑤⑥得MA MB 的交点M （x 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学试题 (文科) word解析版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=I 则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 答案 B解析 B ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{0,1}．2．复数z ＝1i －1的模为( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 B解析 z ＝1i －1＝－1－i 2，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22.3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )A.⎝⎛⎭⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎫45，－35C.⎝⎛⎭⎫－35，45D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案 A 解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)， ∴与A B →同方向的单位向量为A B→|A B →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45.4．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4 答案 D解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，命题p 1正确．na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小和a 1的取值情况有关． 故数列{na n }不一定递增，命题p 2不正确．对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列{a nn}递增，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确． 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ，则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确． 综上，正确的命题为p 1，p 4.5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) A ．45 B ．50 C ．55 D ．60 答案 B解析 由频率分布直方图，低于60分的频率为 (0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n ＝150.3＝50.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.7．已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 D解析 设g (x )＝lg(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝lg(1＋9x 2＋3x )＝lg 11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12－1＝g (lg 2)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 12＝0， 因此f (lg 2)＋f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝2.8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S 等于( )A .49 B.67 C.89 D.1011 答案 A解析 执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10；此时i ＝10＞8，输出S ＝49.9．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0 答案 C 解析 易知A B →＝O B →－O A →＝(a ，a 3－b )， 且b ≠0，a ≠0，若A 为直角， OA →·AB →＝(0，b )·(a ，a 3－b )＝b (a 3－b )＝0， ∴b －a 3＝0，若B 为直角，O B →·A B →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝0，∴a 2＋a 3(a 3－b )＝0，则b －a 3－1a＝0，故(b －a 3)·⎝⎛⎭⎫b －a 3－1a ＝0，选C.10．已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3 172 B ．2 10 C.132 D ．3 10答案 C解析 ∵AB ⊥AC ，且AA 1⊥底面ABC ，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l ＝32＋42＋122＝2R ，R ＝132.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67 答案 B解析 在△ABF 中，由余弦定理得 |AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ， ∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6， 从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF .∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点， 则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.12．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( )A ．a 2－2a －16B ．a 2＋2a －16C ．－16D ．16 答案 C解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ，H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16.第Ⅱ卷二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案 16π－16解析 由三视图知，该几何体是由一个底面半径r ＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h ＝4，∴V ＝(π×22－22)×4＝16π－16.14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________. 答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， ∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63.15．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6. ∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28， 因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________． 答案 10解析 把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，(x i ∈N ，且x 1，x 2，x 3，x 4，x 5各不相同)，由题意(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)2＝20.∵x 1，x 2，x 3，x 4，x 5∈N ，且各不相同． 若使x 5－7最大，只需(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小，显然(x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.∴(x 5－7)2≤14，因此(x 5－7)2≤9，则x 5≤10，x 5∈N ，经验证x 5＝10时，x 1＝4，x 2＝6，x 3＝7，x 4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.三、解答题17．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6取最大值1. 所以f (x )的最大值为32.18. 如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点． (1)求证：BC ⊥平面P AC ； (2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC . 证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC .(2)连OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ， MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ， BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC . 所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .19．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率． 解 (1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.20. 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p ＞0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )．解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以A 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 214，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④切线MA 、MB 的方程为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .21．(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x ；(2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 记F (x )＝sin x －22x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎡⎦⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即 sin x ≥22x .记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x .综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]．(2)解 方法一 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫24x 2＝(a ＋2)x .所以，当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立．下面证明，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立．因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x 22 ＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎡⎦⎤x －23(a ＋2). 所以存在x 0∈(0,1)⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0. 即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二 记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则f ′(x )＝a ＋2x ＋3x22＋2cos x －2(x ＋2)sin x .记G (x )＝f ′(x )，则G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .当x ∈(0,1)时，cos x ＞12，因此G ′(x )＜2＋3x －4×22x －(x ＋2)＝(2－22)x ＜0.于是F ′(x )在[0,1]上是减函数，因此，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜f ′(0)＝a ＋2.故当a ≤－2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0.即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]恒成立．下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]不恒成立． 由于f ′(x )在[0,1]上是减函数，且f ′(0)＝a ＋2＞0，f ′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1.当a ≥6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在[0,1]上是增函数，故f (1)＞f (0)＝0；当－2＜a ＜6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)＜0.又f ′(0)＞0.故存在x 0∈(0,1)，使f ′(x 0)＝0，则当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＞f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )＞f (0)＝0.所以，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．22. 选修4－1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明： (1)∠FEB ＝∠CEB ；(2)EF 2＝AD ·BC .证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB .由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ，从而∠EAB ＋∠EBF ＝π2；又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π2， 从而∠FEB ＝∠EAB . 故∠FEB ＝∠CEB .(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF . 同理可证，得AD ＝AF .又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .23．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4， 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.24．选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.。
2013年辽宁省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年辽宁省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）2．（5分）（2013•辽宁）复数的模长为（）B解：复数==3．（5分）（2013•辽宁）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为B=，|再根据与向量=，|=5则与向量，4．（5分）（2013•辽宁）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；对于数列=，不一定是正实数，5．（5分）（2013•辽宁）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）则该班的学生人数是=506．（5分）（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）BsinAsinBcosC+sinCsinBcosA=，B=7．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）=ln﹣3x）+1，则f（lg2）+f=是奇函数以及对数值，解：函数++1++8．（5分）（2013•辽宁）执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=（）BS=0+，S=+，S=+，S=+，S=．9．（5分）（2013•辽宁）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角=，①②③=，=，则，则，则．为直角三角形，则必有10．（5分）（2013•辽宁）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，B，所以球的半径为：11．（5分）（2013•辽宁）已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率B12．（5分）（2013•辽宁）已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max （p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值或二、填空题13．（5分）（2013•辽宁）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．14．（5分）（2013•辽宁）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．，则15．（5分）（2013•辽宁）已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则△PQF的周长为44．的左焦点16．（5分）（2013•辽宁）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．三、解答题17．（12分）（2013•辽宁）设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．）由条件求得，的值，再根据以及）．结合=+sin，，可得．]sinx=，即．（sin2x+﹣]∈，]﹣=）取得最大值为=．18．（12分）（2013•辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．19．（12分）（2013•辽宁）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率．=15=6．20．（12分）（2013•辽宁）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．，且切线的斜率为﹣，﹣（，（）=﹣﹣﹣），y=（（yy21．（12分）（2013•辽宁）（1）证明：当x∈[0，1]时，；（2）若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围．x﹣，）与（≥+x．）时，，（[，x+2﹣﹣+2﹣﹣xx[x（和中的较小值）满足+请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
【纯Word版含答案】2013年普通高等学校招生统一考试——文科数学(辽宁卷)
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}0,1,2,3,4,|||2,A B x x AB ==<=则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数11Z i =-模为（A ）12 （B ）2（C （D ）2 （3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,80,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 若1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln 31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49B ．67C ．89D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.AB ,O A b B a a O ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．2B ．C ．132D ．（11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 的最大值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2013高考 数学(文)真题专业解析(辽宁卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（辽宁卷）解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x||x|<2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查集合的交集运算，绝对值不等式的求解.解题思路：先求集合B，再求交集.解答过程：由于B＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，则A∩B＝{0，1}.规律总结：绝对值不等式的求解容易出错.2．的模为（）复数z＝1i1A．12B．22C．2D．2【同理1】答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查复数的模、运算.解题思路：先化简复数z，再求模.解答过程：由于z ＝1i 1-＝1i(i 1)(1i)-----＝1i 2--＝―21―21i ，故|z |＝22)21()21(-+-＝22.规律总结：复数i z a b =+3．已知点A （1，3），B （4，－1），则与向量同方向的单位向量为（ ） A ．（53，－54）B ．（54，－53）C ．（－53，54）D ．（－54，53）【同理3】 答案：A思路分析：考点解剖：本题主要考查向量的基本概念、单位向量. 解题思路：先求出向量AB 的坐标及模，然后运用AB AB求解即可.解答过程：由于AB ＝（4，－1）－（1，3）＝（3，－4），则与AB 同方向的单位向量为：AB AB＝（53，－54）.规律总结：与向量a 同方向的单位向量为a a.4．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列. p 2：数列{na n }是递增数列. p 3：数列{na n}是递增数列. p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列.其中的真命题为（ ） A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 4 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查数列的单调性. 解题思路：判断1n a+与n a 的大小关系.解答过程：由于数列{a n }中d >0，则数列{a n }是递增数列，即p 1是真命题.而（n ＋1）a n＋1－na n ＝（n ＋1）（a n ＋d ）－na n ＝（n ＋1）d ＋a n ，不能明确其值为正数，则p 2是假命题.11++n an －n a n ＝1++n d a n －na n ＝)1()1()(++-+n n a n d a n n n ＝)1(+-n n a nd n，不能明确其值为正数，则p 3是假命题.a n ＋1＋3（n ＋1）d －（a n ＋3nd ）＝a n ＋d ＋3（n ＋1）d －（a n ＋3nd ）＝4d >0，则数列{a n ＋3nd }是递增数列，即p 4是真命题.规律总结：结合通项公式，通过作差比较法来比较，注意除了参数d 为正数外，其他条件都是未知的.5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为： [20，40），[40，60），[60，80），[80，100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（ ）A．45B．50C．55D．60【同理5】答案：B思路分析：考点解剖：本题主要考查频率分布直方图的应用、频数.解题思路：先求低于60分的频率，再利用频数除以对应的频率得到该班的学生人数.解答过程：由频率分布直方图知低于60分的频率为：（0.005＋0.010）×20＝0.3，则该班的学生人数是：15÷0.3＝50人.规律总结：在利用频率分布直方图时，注意表格中的对应的数字是频率的值，不是频组距率，要加以正确区分，否则容易出错.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin B cos C＋c sin B cos A＝1b，2且a>b，则∠B＝（）A．π6B．π3C．2π3D ．65π答案：A 思路分析：考点解剖：本题主要考查解三角形的应用.解题思路：运用正弦定理求解，运用正余弦定理结合三角形恒等公式对条件进行适当的变换.解答过程：由a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝21b ，结合正弦定理有sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝21sin B ，显然sin B ≠0，则有sin A cos C ＋sin C cos A ＝21，即sin （A ＋C ）＝21，则有A ＋C ＝65π或6π（此时B 为钝角，与条件a >b 矛盾，舍去），故B ＝6π. 规律总结：利用公式得到sin （A ＋C ）的值时，注意分类讨论并结合题目条件加以分析，容易出现遗漏而导致错误.7．已知函数f （x ）＝ln （291x +－3x ）＋1，则f （lg2）＋f （lg 21）＝（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查函数的性质、对数函数的求值. 解题思路：利用()()f x f x +-为定值求解.解答过程：由f （x ）＝ln （291x +－3x ）＋1知f （x ）＋f （－x ）＝ln （291x +－3x ）＋1＋ln （291x +＋3x ）＋1＝ln[（291x +－3x ）（291x +＋3x ）]＋2＝ln1＋2＝2，故f （lg2）＋f （lg 21）＝f （lg2）＋f （－lg2）＝2.规律总结：注意对等式f （x ）＋f （－x ）的变形和应用，也是切入点，也是易错点. 8．执行如图所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S ＝（ ）A ．94B ．76C ．98D ．1110答案：A 思路分析：考点解剖：本题主要考查算法的应用.解题思路：分步求解,i S 的值，只到i>8时，输出的S 值即为所求. 解答过程：由于输入n ＝8，S ＝0，i ＝2，此时满足条件i ≤8.接下来有S ＝0＋1212-＝31，i ＝2＋2＝4，此时满足条件i ≤8.接下来有S ＝31＋1412-＝52，i ＝4＋2＝6，此时满足条件i ≤8.接下来有S ＝52＋1612-＝73，i ＝6＋2＝8，此时满足条件i ≤8.接下来有S ＝73＋1812-＝94，i ＝8＋2＝10，此时不满足条件i ≤8，输出S ＝94. 规律总结：循环的终止是解决算法的程序框图问题的关键，注意循环条件，否则易错. 9．已知点O （0，0），A （0，b ），B （a ，a 3），若△OAB 为直角三角形，则必有（ ） A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋a1C ．（b －a 3）（b －a 3－a1）＝0D ．|b －a 3|＋| b －a 3－a1|＝0【同理9】 答案：C 思路分析：考点解剖：本题主要考查直角三角形的性质、坐标运算. 解题思路：运用特殊值法判断.解答过程：对于点O （0，0），A （0，b ），B （a ，a 3），取特殊值b ＝1，a ＝1，此时△OAB 为直角三角形，代入各选项可排除选项B 、D.又取特殊值b ＝2，a ＝1，此时△OAB 为直角三角形，代入各选项可排除选项A.规律总结：结合题目条件进行求解会由于计算量偏大，分类过多而导致错误. 10．已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为（ ）A ．2173 B ．210C ．213D ．310 【同理10】 答案：C 思路分析：考点解剖：本题主要考查球的半径、体积，直三棱柱的性质等. 解题思路：先找出球心，再求出半径.解答过程：由AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC 得BC ＝5，则知△ABC 所在的球的截面圆的圆心在BC 的中点M 上；同理，△A 1B 1C 1所在的球的截面圆的圆心在B 1C 1的中点N 上，则球心O 为MN的中点，故球的半径为R ＝22)212()25( ＝213.规律总结：本题对球心O 位置的确定是最容易出错的地方，要引起重视. 11．已知椭圆C ：22a x ＋22b y ＝1（a >b >0）的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝54，则C 的离心率为（ ）A ．53B ．75C ．54D ．76【同理15】 答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的定义、性质，余弦定理等.解题思路：先根据余弦定理求得|AF |；然后利用椭圆的定义求得实半轴长，半焦距等. 解答过程：设椭圆的右焦点为F 1，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF |cos∠ABF ＝36，则有|AF |＝6，故∠AFB ＝90º，由椭圆的对称性知四边形FAMB 为矩形，则有|BF |＋|BM |＝8＋6＝14＝2a ，即a ＝7，|FM |＝|AB |＝10＝2c ，即c ＝5，则C 的离心率为e ＝a c ＝75.规律总结：对于椭圆中的有关弦长，线段长问题，首先可以考虑用椭圆的定义求解. 12．已知函数f （x ）＝x 2－2（a ＋2）x ＋a 2，g （x ）＝－x 2＋2（a －2）x －a 2＋8.设H 1（x ）＝max{f （x ），g （x ）}，H 2（x ）＝min{f （x ），g （x ）}（max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值）.记H 1（x ）的最小值为A ，H 2（x ）的最大值为B ，则A －B ＝（ ）A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16 答案：C 思路分析：考点解剖：本题主要考查函数的最值，数形结合的数学思想. 解题思路：运用特殊值法，作出图象，数形结合求解.解答过程：不失一般性，取特殊值a ＝2，则f （x ）＝x 2－8x ＋4＝（x －4）2－12，g （x ）＝－x 2＋4，作出两函数的图象，结合题目创新定义知A ＝－12，B ＝4，则有A －B ＝－16，综合各选项答案知只有选项B 是正确的.规律总结：无从下手而随便选择导致错误.特殊值选择不当而出现多个满足条件的而导致错误等.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.【同理13】 答案：16π－16 思路分析：考点解剖：本题主要考查几何体的三视图，圆柱、正四棱柱的体积. 解题思路：先将三视图还原为直观图，然后根据体积公式求解.解答过程：由三视图知该几何体是一个底面半径为r ＝2，高为h ＝4的圆柱，中间挖去一个底面边长为a ＝2的正四棱柱，则其体积是V ＝πr 2h －a 2h ＝16π－16.规律总结：有关三视图的体积问题，一般先将三视图还原为直观图;然后结合各几何体的体积公式求解.14．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.【同理14】 答案：63 思路分析：考点解剖：本题主要考查等比数列的前n 项和，一元二次方程的求解.解题思路：先根据方程的根与系数的关系求得13,a a ，得到公比，进而利用等比数列的前n 项和公式求解.解答过程：根据方程的根与系数的关系知⎩⎨⎧==+453131a a a a ，解得⎩⎨⎧==4131a a 或⎩⎨⎧==1431a a （此时不满足递增数列的条件，舍去），则a 1＝1，q ＝2（负值不满足递增数列的条件，舍去），故S 6＝qq a --1)1(61＝63.规律总结：等比数列的前n 项和公式要牢记；另外，要会判断数列的单调性以及根据单调性来确定数列项之间的大小.15．已知F 为双曲线C ：92x －162y ＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A （5，0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________.答案：44 思路分析：考点解剖：本题主要考查双曲线的定义. 解题思路：利用双曲线的定义求解.解答过程：由题得a ＝3，b ＝4，a ＝5，则点A （5，0）是双曲线的右焦点，则PQ 过双曲线的右焦点，根据双曲线的定义有|PF |－|PA |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，则|PF |＋|QF |＝12＋|PA |＋|QA |＝12＋|PQ |＝12＋4b ＝28，故△PQF 的周长为：|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋4b ＝44.规律总结：利用双曲线的定义加以转化过程中，容易遗失相关的边长而导致错误. 16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________.【同理16】 答案：10 思路分析：考点解剖：本题主要考查样本平均数，样本方差. 解题思路：根据平均数，方差的定义列等式求解.解答过程：由于抽取5个班级的样本平均数x ＝7，样本方差s 2＝4，而样本数据互不相同，设对应样本数据从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5（互不相等），则有x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝7×5＝35，s 2＝51[（x 1－7）2＋（x 2－7）2＋（x 3－7）2＋（x 4－7）2＋（x 5－7）2]＝4，即（x 1－7）2＋（x 2－7）2＋（x 3－7）2＋（x 4－7）2＋（x 5－7）2＝20，又x 1，x 2，x 3，x 4，x 5互不相等，根据五个平方数之和为20的特点，可以分别为20＝32＋32＋12＋12＋02，即这五个数从小到大依次为：4，6，7，8，10，故最大值为10.规律总结：分析五个数当时缺乏考虑它们互不相等的条件而导致无从下手或作出错误的判定.三、解答题：17．（本小题满分12分）设向量a ＝（3sin x ，sin x ），b ＝（cos x ，sin x ），x ∈[0，2π].（Ⅰ）若|a |＝|b |，求x 的值.（Ⅱ）设函数f （x ）＝a ·b ，求f （x ）的最大值. 【同理17】 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角恒等变换、向量的数量积、三角函数的最值等. 解题思路：（Ⅰ）根据|a |＝|b |，变换求解sin x 的值;（Ⅱ）根据数量积的定义求出f （x ），再化为()sin A x bωϕ++的形式.解答过程：解：（Ⅰ）由|a |2＝（3sin x ）2＋（sin x ）2＝4sin 2x ，|b |2＝（cos x ）2＋（sin x ）2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1，又x ∈[0，2π]，从而sin x ＝21，所以x ＝6π.（Ⅱ）f （x ）＝a ·b ＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝23sin2x －21cos2x ＋21＝sin（2x －6π）＋21，当x ＝3π∈[0，2π]，sin （2x －6π）取最大值1，所以f （x ）的最大值为23.规律总结：有关三角函数与平面向量的综合问题，一般是将平面向量转化为三角恒等式，结合二倍角公式，和角公式等进行转化，进而求解相关的性质：单调性、周期、最值等.18．（本小题满分12分）如图：AB 是圆O 的直径，PA 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面PA C.（Ⅱ）设Q 为PA 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG //平面PB C.思路分析：考点解剖：本题主要考查线面垂直、线面平行的证明，以及空间想象的能力.解题思路：（Ⅰ）证AC⊥BC，PA⊥BC即可;（Ⅱ）连接OG并延长AC与点M，则由重心的性质可得M为AC的中点．利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM ∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC．解答过程：解：（Ⅰ）由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PA C.（Ⅱ）连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点，由Q为PA中点，得QM//PC，又O为AB中点，得OM//BC，因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以平面QMO//平面PBC，因为QG⊂平面QMO，所以QG//平面PB C.规律总结：立体几何解答题一般分为两类，一类是空间线面关系的判定和证明：主要是证明垂直（线面垂直，面面垂直，线线垂直）与平行（线面平行，面面平行，线线平行）;另一类是空间几何体的体积，异面直线所成的夹角等的计算.对于体积问题，一般要熟练掌握常见的基本形体的体积公式；对于异面直线所成的夹角的问题，一般先通过平移，然后运用勾股定理或者正余弦定理求解平面角.19．（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答． 试求：（Ⅰ）所取的2道题都是甲类题的概率. （Ⅱ）所取的2道题不是同一类题的概率. 思路分析：考点解剖：本题主要考查古典概型.解题思路：（Ⅰ）先求任取的2道题的种数，再求“都是甲类题”这一事件包含的基本事件数，作除法即可;（Ⅱ）求出“不是同一类题”这一事件包含的基本事件数，除以任取的2道题的种数即可.解答过程：解：（Ⅰ）将4道甲类题依次编号为1，2，3，4.2道乙类题依次编号为5，6， 任取2道题，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}， {2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}， 共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的，用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}， {2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个， 所以P （A ）＝156＝52.（Ⅱ）基本事件同（Ⅰ），用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件 有{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，共8个， 所以P （A ）＝158.规律总结：高考中，概率解答题一般有两大方向的考查.一、以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征：如平均数，中位数，频数，频率等;二、以应用题为载体，考查古典概型,几何概型.20．（本小题满分12分）如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py （p >0）.点M （x 0，y 0）在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B （M 为原点O 时，A ，B 重合于O ）.当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－21.（Ⅰ）求p 的值.（Ⅱ）当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A ，B 重合于O 时，中点为O ）.【同理20】 思路分析：考点解剖：本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，曲线的轨迹方程，以及运算求解的能力.解题思路：（Ⅰ）运用导数的几何意义求解; （Ⅱ）运用相关点法求解. 解答过程：解：（Ⅰ）因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点（x ，y ）的切线斜率为y ′＝2x ，且切线MA 的斜率为－21，所以A 点坐标为（－1，41），故切线MA 的方程为y ＝－21（x ＋1）＋41，因为点M （1－2，y 0）在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－21（2－2）＋41＝－4223-， ①y 0＝－p2)21(2-＝－p2223-， ②由①②得p ＝2.（Ⅱ）设N （x ，y ），A （x 1，421x ），B （x 2，422x ），x 1≠x 2，由N 为线段AB 中点知x ＝221x x +， ③y ＝82221x x +， ④切线MA ，MB 的方程为y ＝21x （x －x 1）＋421x ， ⑤y ＝22x （x －x 2）＋422x ， ⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M （x 0，y 0）的坐标为x 0＝221x x +，y 0＝421x x ，因此点M （x 0，y 0）在C 2上，即x 02＝－4y 0，所以x 1x 2＝－62221x x +， ⑦由③④⑦得x 2＝34y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝34y .因此AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝34y .规律总结：椭圆是高考考纲要求理解的内容，重点考查椭圆的基本特征，标准方程，几何性质等.;另外，抛物线对于理科来说，也是高考考纲要求理解的内容，同时也是文理科在圆锥曲线这章要求的区别精华所在;来年，考查抛物线解答题的可能性也较大.希望学生们要面面俱到，不要掉以轻心.21．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：当x ∈[0，1]时，22x ≤sin x ≤x . （Ⅱ）若不等式ax ＋x 2＋23x ＋2（x ＋2）cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围.思路分析：考点解剖：本题主要考查导数的应用，证明不等式，不等式恒成立，以及转化与划归的数学思想，运用所学知识分析问题与解决问题的能力.解题思路：（Ⅰ）利用导数的单调性证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）22x ≤sin x 得到sin 24x x≥，先推得：“当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋23x ＋2（x ＋2）cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立.”然后给与证明.解答过程：解：（Ⅰ）证明：记F （x ）＝sin x －22x ，则F ′（x ）＝cos x －22，当x ∈（0，4π）时，F ′（x ）>0，F （x ）在[0，4π]上是增函数.当x ∈（4π，1）时，F ′（x ）<0，F （x ）在[4π，1]上是减函数.又F （0）＝0，F （1）>0，所以当x ∈[0，1]时，F （x ）≥0，即sin x ≥22x .记H （x ）＝sin x －x ，则当x ∈（0，1）时，H ′（x ）＝cos x －1<0， 所以H （x ）在[0，1]上是减函数，则H （x ）≤H （0）＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0，1]. （Ⅱ） 因为当x ∈[0，1]时，ax ＋x 2＋23x ＋2（x ＋2）cos x －4＝（a ＋2）x ＋ x 2＋23x －4（x ＋2）sin 22x≤（a ＋2）x ＋ x 2＋23x －4（x ＋2）（42x ）2＝（a ＋2）x ，所以，当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋23x ＋2（x ＋2）cos x ≤4对x ∈[0，1]恒成立.下面证明，当a >－2时，不等式ax ＋x 2＋23x ＋2（x ＋2）cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立.因为当x ∈[0，1]时，ax ＋x 2＋23x ＋2（x ＋2）cos x －4＝（a ＋2）x ＋ x 2＋23x －4（x ＋2）sin 22x≥（a ＋2）x ＋ x 2＋23x －4（x ＋2）（21x ）2＝（a ＋2）x －x 2－23x≥（a ＋2）x －23x 2＝－23x [x －32（a ＋2）]，所以存在x 0∈（0，1）（例如x 0取32 a 和21中的较小值）满足ax 0＋x 02＋230x ＋2（x 0＋2）cos x 0－4>0， 即当a >－2时，不等式ax ＋x 2＋23x ＋2（x ＋2）cos x ≤4对x ∈[0，1]不恒成立.综上，实数a 的取值范围是（－∞，－2].规律总结：导数在高考中的分值大概是12-17分，一般为1道解答题或者1道解答题＋1道小题.对于小题，一般考查导数的运算，导数的几何意义等，在解答题中，一般综合考查导数判断函数的单调性，求解函数的最值，证明不等式等综合应用，难度较大.多以压轴题的形式出现.此次是把导数求曲线的切线等几何意义放在解答题的第1问中考查，预计来年在小题中考查导数几何意义的可能性较大;运用导数判断最值来证明不等式是导数综合应用的常考题型，不等式一般都可以通过最值来转化求解.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 为⊙O 直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：（Ⅰ）∠FEB＝∠CE B.（Ⅱ）EF2＝AD·B C.【同理22】思路分析：考点解剖：本题主要考查弦切角定理，相似三角形的性质等.解题思路：（Ⅰ）利用弦切角定理结合直径所对的圆周角是直角证明;（Ⅱ）利用相似三角形的性质证明.解答过程：解：（Ⅰ）由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB，由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π，2又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π，从而∠FEB＝∠EAB，2故∠FEB＝∠CEB：（Ⅱ）由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF，类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF，又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·B C.规律总结：注意平面几何中的角与角之间的正确转化.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别ρ＝4sinθ，ρcos（θ－π）＝22.4（Ⅰ）求C 1与C 2交点的极坐标.（Ⅱ）设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1233t b y a t x （t ∈R 为参数），求a ，b 的值.【同理23】 思路分析：考点解剖：本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系，交点坐标等.解题思路：（Ⅰ）将圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别化为直角坐标方程，然后联立方程组求解;（Ⅱ）先根据P 点与Q 点的直角坐标求出直线PQ 的直角坐标方程，与参数方程转化的直角坐标方程比较系数求解.解答过程：解：（Ⅰ）圆C 1的直角坐标方程为x 2＋（y －2）2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，解⎩⎨⎧=-+=-+044)2(22y x y x ，得⎩⎨⎧==4011y x ，⎩⎨⎧==2222y x ，所以C 1与C 2交点的极坐标为（4，2π），（22，4π）.注：极坐标系下点的表示不唯一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，P 点与Q 点的直角坐标分别是（0，2），（1，3）， 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝2b x －2ab ＋1，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=21212ab b ，解得a ＝－1，b ＝2.规律总结：注意极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化的正确性. 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|x －a |，其中a >1.（Ⅰ）当a ＝2时，求不等式f （x ）≥4－|x －4|的解集.（Ⅱ）已知关于x 的不等式|f （2x ＋a ）－2f （x ）|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值.【同理24】思路分析：考点解剖：本题主要考查绝对值不等式的求解及其应用.解题思路：（Ⅰ）分类讨论求解;（Ⅱ））记h （x ）＝f （2x ＋a ）－2f （x ），然后分类讨论求出函数h （x ）的分段表达式，结合解集数形结合求解.解答过程：解：（Ⅰ）当a ＝2时，f （x ）＋|x －4|＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-4,6242,22,62x x x x x ，当x ≤2时，由f （x ）≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1.当2<x <4时，f （x ）≥4－|x －4|无解.当x ≥4时，由f （x ）≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f （x ）≥4－|x －4|的解集为{x | x ≤1或x ≥5}.（Ⅱ）记h （x ）＝f （2x ＋a ）－2f （x ），则h （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤-a x a ax a x x a ,20,240,2，由|h （x ）|≤2，解得21-a ≤x ≤21+a ，又已知|h （x ）|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=-221121a a ，于是a ＝3.规律总结：注意对|h （x ）|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}的正确转化与利用，否则容易出错.。
2013年辽宁省高考文科数学试卷含答案精简
2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12（B ）2 （C （D ）2（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．2 B ． C ．132D ． （11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （14）已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若，是方程26540x x S -+==的两个根，则 .（15）已知F 为双曲线22:1,916x y C P Q C PQ -=的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，()5,0A PQ PQF =∆点在线段上，则的周长为 . （16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 . 17．（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值 18．（本小题满分12分）如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证：BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面19．（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求： （I ）所取的2道题都是甲类题的概率；（II ）所取的2道题不是同一类题的概率. 20．（本小题满分12分）如图，抛物线()()2212002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上，1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =的切线，切点为为原点时，重合于当1-.2MA 切线的斜率为（I ）P 求的值；（II ）2M C AB N 当在上运动时，求线段中点的轨迹方程(),,.A B O O 重合于时中点为21．（本小题满分12分）（I ）证明：当[]0,1sin ;2x x x x ∈≤≤时，（II ）若不等式()[]3222cosx 40,12x ax x x x a ++++≤∈对恒成立，求实数的取值范围.1.B2. B 3 A 4 D 5 B 6 A 7 D 8 A 9 C 10 C11 B 12 C 13 [答案]1616π- 14 [答案]63 15 [答案]44 16 [答案]10 17所以6x π=。
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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<= 则（A ）{}0 （B ）{}0,1 （C ）{}0,2 （D ）{}0,1,2 （2）复数的11Z i =-模为（A ）12（B ）2 （C （D ）2（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， （D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， （4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p na 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π（7）已知函数())()1ln31,.lg 2lg 2f x x f f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭则A ．1-B ．0C ．1D ．2（8）执行如图所示的程序框图，若输入8,n S ==则输出的A ．49 B ．67 C ．89 D ．1011（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a =B ．31b a a=+C ．()3310b a b a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a -+--=（10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A B ． C ．132D ． （11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,8,cos ABF ,5AF BF AB B F C ==∠=连接若则的离心率为（A ）35 （B ）57 （C ）45 （D ）67（12）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .（14）已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若，是方程26540x x S -+==的两个根，则 .（15）已知F 为双曲线22:1,916x y C P Q C PQ -=的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，()5,0A PQ PQF =∆点在线段上，则的周长为 . （16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值 18．（本小题满分12分）如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证：BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面19．（本小题满分12分）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求： （I ）所取的2道题都是甲类题的概率；（II ）所取的2道题不是同一类题的概率. 20．（本小题满分12分）如图，抛物线()()2212002:4,:20.,C x y C x py p M x y C ==->点在抛物线上，1M C 过作()0,,.1A B M O A B O x =的切线，切点为为原点时，重合于当1-.2MA 切线的斜率为（I ）P 求的值；（II ）2M C AB N 当在上运动时，求线段中点的轨迹方程(),,.A B O O 重合于时中点为21．（本小题满分12分）（I ）证明：当[]0,1sin ;2x x x x ∈≤≤时，（II ）若不等式()[]3222cosx 40,12x ax x x x a ++++≤∈对恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，.AB O CD O E AD CD D 为直径，直线与相切于垂直于于，BC 垂直于,.CD C EF F AE BE 于，垂直于，连接证明：（I ）;FEB CEB ∠=∠（II ）2.EF AD BC =22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标；（II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为 ()33,,.12x t at R a b b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数求的值 22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数(), 1.f x x a a =->其中（I ）()=244;a f x x ≥=-当时，求不等式的解集（II ）()(){}{}222|12,x f x a f x x x +-≤≤≤已知关于的不等式的解集为.a 求的值2013高考数学辽宁卷（文科）解析大连市红旗高级中学 王金泽一．选择题 1. [答案]B[解析] 由已知{|22}B x x =-<<，所以{0,1}A B ⋂=，选B 。
2. [答案]B [解析]由已知111,(1)(1)22i Z i i i -+==-----+所以||2Z = 3 [答案]A[解析](3,4)AB =- ，所以||5AB = ，这样同方向的单位向量是134(,)555AB =-4 [答案]D[解析]设1(1)n a a n d dn m =+-=+，所以1P 正确；如果312n a n =-则2312n na n n =-并非递增所以2P 错；如果若1n a n =+，则满足已知，但11n a n n=+，是递减数列，所以3P 错；34n a nd dn m +=+，所以是递增数列，4P 正确5 [答案]B[解析]第一、第二小组的频率分别是0.1、0.2，所以低于60分的频率是0.3，设班级人数为m ，则150.3m=，50m =。
6 [答案]A[解析]边换角后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=。
7 [答案]D[解析]()3)1f x x -=+所以()()2f x f x +-=，因为lg 2，1lg 2为相反数，所以所求值为2.8 [答案]A[解析]211s s i =+-的意义在于是对211i -求和。
因为21111()2111i i i =--+-，同时注意2i i =+，所以所求和为1111111[()()()]2133579-+-++- =499 [答案]C[解析]若A 为直角，则根据A 、B 纵坐标相等，所以30b a -=；若B 为直角，则利用1OB AB K K =-得310b a a--=，所以选C 10 [答案]C[解析]由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M 。
计算AM=52，由垂径定理，OM=6，所以半径132= 11 [答案]B[解析]由余弦定理，AF=6，所以26814a =+=，又210c =，所以105147e == 12 [答案]C[解析]()f x 顶点坐标为(2,44)a a +--，()g x 顶点坐标(2,412)a a --+，并且()f x 与()g x 的顶点都在对方的图象上，图象如图， A 、B 分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=(44)(412)16a a ----+=-[方法技巧]（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。
（2）并不是A ，B 在同一个自变量取得。
二．填空题13 [答案]1616π-[解析]直观图是圆柱中去除正四棱柱。
V =222424π⋅-⋅=1616π- 14 [答案]63[解析]13135,4a a a a +==由递增，131,4a a ==，所以2314a q a ==，2q =代入等比求和公式得663S = 15 [答案]44[解析]||||6,||||6,FP PA FQ QA -=-=两式相加，所以并利用双曲线的定义得||||28FP FQ +=，所以周长为||||||44FP FQ PQ ++=16 [答案]10[解析]设五个班级的数据分别为a b c d e <<<<。