恒过定点问题的解题策略
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法(原卷版)
圆锥曲线专题：恒过定点问题的4种常见考法一、常用方法技巧1、参数无关法把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。
二、手电筒模型解题步骤1、概念：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如AP BP k k ⋅=定值，+AP BP k k =定值），直线AB 依然会过定点，因为三条直线形似手电筒，故称为手电筒模型。
2、解题步骤：第一步：由AB 直线y kx m =+，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；第二步：由AP 与BP 关系，得到一次函数()k f m =或()m f k =；第三步：将()k f m =或()m f k =代入y kx m =+，得到()y y k x x =-+定定.三、交点弦的中点所在直线恒过定点解题步骤第一步：设其中一条直线的斜率为1k ，求出直线方程；第二步：直线与曲线进行联立，出现韦达定理的形式，或者直接求出坐标，表示出这条弦的中点，并且类比出另外一条的中点坐标；第三步：由上述两部，根据点斜式写出两个中点所在直线的方程；第四步：化直线为点斜式，确定定点坐标。
四、圆锥曲线的切点弦方程1、过抛物线()220y px p =>外一点()00,M x y 作抛物线的切线，切点弦方程为()00yy p x x =+；2、过椭圆()222210x y a b a b+=>>外一点()00,M x y 作椭圆的切线，切点弦方程为00221x x y ya b +=；3、过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>外一点()00,M x y 作双曲线的切线，切点弦方程为00221x x y ya b-=；五、几个重要的定点模型1、过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点(),0F c -作两条相互垂直的弦AB ，CD ，若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则直线MN 恒过定点222,0ac a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）2、动点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=上，由P 引椭圆22221x y a b +=的两条切线，切点分别是M ，N ，则直线MN 恒过定点22,a A b B C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.（双曲线与抛物线也有类似结论）3、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点20000222,y b x x y m ma ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之和为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点0002,2y y x p m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭4、（1）过椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交椭圆于A ，B 两点，则直线AB 必过定点()()2222002222,b ma x b ma y b ma b ma ⎛⎫++ ⎪- ⎪--⎝⎭（2）过抛物线()220y px p =>上的一定点()00,P x y 作两条斜率之积为m 的直线1l ，2l ，分别交抛物线于A ，B 两点，则直线AB 必过定点002,p x y m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3、4两个结论对于圆与双曲线也成立，当22b a =时就是圆中的结论，用2b -替代2b 就可得到双曲线中的结论）题型一手电筒模型恒过定点问题【例1】已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点Q 的直线l 与曲线C 相交于A，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.【变式1-1】已知直线2y =与双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>交于A ，B 两点，F 是C 的左焦点，且AF AB ⊥，2BF AF =.（1）求双曲线C 的方程；（2）若P ，Q 是双曲线C 上的两点，M 是C 的右顶点，且直线MP 与MQ 的斜率之积为23-，证明直线PQ 恒过定点，并求出该定点的坐标.【变式1-2】已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程：（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【变式1-3】已知动点(,)P x y (0)x ≥到定点(1,0)的距离比它到y 轴的距离大1.（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(,0)Q m (m 为常数)，过点Q 作斜率分别为12,k k 的两条直线1l 与2l ，1l 交曲线E 于,A B 两点，2l 交曲线E 于,C D 两点，点,M N 分别是线段,AB CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点.题型二切点弦恒过定点问题【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P 是直线420y x =-+上的动点，过点P 做椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，问直线MN 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．【变式2-1】如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)A ，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程;（2）若过点A 作圆222:(1)(01)M x y r r ++=<<的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D (不同于点A ).当r 变化时，试问直线BD 是否过某个定点若是，求出该定点;若不是，请说明理由.【变式2-2】抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 是椭圆22134x y +=的一个焦点．（1）求C 的准线方程；（2）若P 是直线240x y --=上的一动点，过P 向C 作两条切线，切点为M ，N ，试探究直线MN 是否过定点？若是，请求出定点，若否，请说明理由.【变式2-3】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2)F ，点P 到点F 的距离比点P 到直线3y =-的距离小1，记P 的轨迹为C ．（1）求曲线C 的方程；（2）在直线2y =-上任取一点M ，过M 作曲线C 的切线12l l 、，切点分别为A 、B ，求证直线AB 过定点．题型三相交弦中恒过定点问题2:2(0)C x py p =>上.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点(0,)T p 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，1l 交抛物线C 于A 、B 两点，2l 交抛物线C 于D ，E 两点，若线段AB 的中点为M ，线段DE 的中点为N ，证明：直线MN 过定点．【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到点()2,0F 的距离与它到直线32x =的P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点F 作两条互相垂直的直线1l ，2l .1l 交曲线C 于A ，B 两点，2l 交曲线C 于S ，T 两点，线段AB 的中点为M ，线段ST 的中点为N ．证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．【变式3-2】已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>A ，右顶点为B ，上顶点为C ，ABC 的内切圆的半径为4-．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）点M 为直线:1l x =上任意一点，直线AM ，BM 分别交椭圆E 于不同的两点P ，Q ．求证：直线PQ 恒过定点，并求出定点坐标．【变式3-3】已知M ⎝，N ⎫⎪⎪⎝⎭是椭圆2222:1(0)x yE a b a b +=>>上的两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）过椭圆E 的上顶点A 和右焦点F 的直线与椭圆E 交于另一个点B ，P 为直线5x =上的动点，直线AP ，BP 分别与椭圆E 交于C （异于点A ），D （异于点B ）两点，证明：直线CD 经过点F ．题型四动圆恒过定点问题【例4】已知椭圆C ：223412x y +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆C 的左右顶点，点P 在椭圆C 上，直线AP ，BP 分别与直线4x =相交于点M ，N .当点P 运动时，以M ，N 为直径的圆是否经过x 轴上的定点？试证明你的结论.【变式4-1】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【变式4-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知直线AM ，AN 分别交直线2ax =于P ，Q 两点，当直线l 的倾斜角变化时，以PQ 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【变式4-3】已知抛物线()2:20C y px p =>与直线:20l x y +=交于M ，N 两点，且线段MN的中点为()8,p P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作直线m 交抛物线于点A ，B ，是否存在定点M ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点M．若存在，请求出点M 坐标；若不存在，请说明理由．。
专题07 定点问题(解析版)
专题七 定点问题（平民解法，暴力美学）一、考情分析2019全国III 理21中出现，虽然以往全国卷高考题中出现较少，是圆锥曲线部分的小概率考点．但是在2019年出现，所以在2020年备考一定引起重视。
定点问题是比较常见出题形式，题目属于中等偏简单题目。
采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。
化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．二、经验分享【直线过定点的解题策略】（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.（2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【重要结论】1．动直线l 过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0)．2．动曲线C 过定点问题，引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．3.“弦对定点张直角”-圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-． 4.只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点三、题型分析（一）圆锥曲线中直线方程过未知定点例1．【2017新课标Ⅰ】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(P =-，4P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上． 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．故C 的方程为2214x y +=．（2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ，2k ，如果l 与x 轴垂直，设l ：x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，．则121k k +==-，得2t =，不符合题设．从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++．解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）【变式训练1】．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知 抛物线()2:20C y px p >＝的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与抛物线C 的交点为Q ，且2QF PQ ＝.（1）求p 的值；（2）已知点(),2T t -为C 上一点，M ，N 是C 上异于点T 的两点，且满足直线TM 和直线TN 的斜率之和为83-，证明直线MN 恒过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线MN 恒过定点()1,1--. 【解析】（1）设()0,4Q x ，由抛物线定义知02QF p x =+， 又2QF PQ ＝，0PQ x =，所以0022p x x =+，解得02p x =， 将点,42p Q ⎛⎫⎪⎝⎭代入抛物线方程，解得4p =. （2）由（1）知，C 的方程为28y x =，所以点T 坐标为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线MN 的方程为x my n =+，点()11,M x y ，()22,N x y ，由28x my ny x=+⎧⎨=⎩ 得2880y my n --=，264320m n +=>∆.所以128y y m +=，128y y n =-， 所以121222121222221111228282MT NT k k y y y y y y x x +++++=+=+----()()1212121288228+3224y y y y y y y y -=-++--+= 6432881643m n m -==---+，解得1n m =-，所以直线MN 的方程为1(1)x m y +=+，恒过定点()1,1--．【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题. （1）设Q 点坐标，根据抛物线的定义得到Q 点横坐标，然后代入抛物线方程，得到p 的值；（2）()11,M x y ，()22,N x y ，直线和曲线联立，得到1212,y y y y +，然后表示出MT NT k k +，化简整理，得到m 和n 的关系，从而得到直线MN 恒过的定点.【变式训练2】. 【2019全国III 理21】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t=±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或（二）圆锥曲线中直线方程过已知定点例2．【2017新课标Ⅱ】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足 为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-u u u r ，0(0.)NM y =u u u u r．由NP =u u u r u u u r得 0x x =，02y y =．因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-u u u r ，(1,)PF m n =---u u u r ，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r， (,)OP m n =u u u r ，(3,)PQ m t n =---u u u r，由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=．所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l过C 的左焦点F ．【变式训练1】．【2016年山东】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ， 求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标． 【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ，又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为2,),(0)2m P m m >（，由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ，因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （． 于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ，又2200222(14)m m y mx m -=-=+， 于是 直线OD 的方程为x m －y 41=．联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为1(,)4M m -． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0x =，得22m y =－，即点G 的坐标为2(0,)2m G -，又2(,)2m P m ，1(0,)2F ，所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由32222(,)412(41)m m D m m -++，得)1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ．令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P的坐标为1()24P ．【变式训练2】．已知抛物线）＞0(2:2p px y C =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的 直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正 三角形。
专题复习一(直线恒过定点问题)
1、点斜式法：
将直线方程化成 yy0k(xx0)的形式，
则定点坐标为（x0,y0）
例1：已知直线 axkyk0
（ a为常数，k≠0为参数），不论k取何值，
直线总过定点 （0,Байду номын сангаас）
2、分离参数法： 若已知方程是含有一个参数 m 的直线系 方程，则我们可以把系数中的m 分离出来，
化为 f(x,y)m(xg ,y)0的形式.
再由 f (x, y) 0 解出x 和y 的值，即
g(x, y) 0
得定点坐标.
例2：无论 m 取何实数，直线
( 2 m 1 )x ( m 3 )y ( m 1 ) 1 0
恒过定点，则此定点坐标为？
例3：无论 m取何值，
(3 m 4 )x (5 2 m )y 7 m 6 0
所表示的直线恒过一定点，此定点 坐标为？
例4：判断圆C：
（x-1）2+(y-2)2=25
与直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4的 位置关系。
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恒过定点问题
恒过定点问题恒过定点问题引言恒过定点问题是一种常见的几何问题，它涉及到一条直线与一个或多个圆相交于一个固定的点。
在解决这类问题时，我们需要运用一些基本的几何知识和技巧，通过分析和推理找到准确的解答。
问题描述恒过定点问题的基本情形是给定一条直线L和一个圆C，求直线L 与圆C的交点中到圆心最近的点A。
当然，我们也可以将问题推广到多个圆的情况。
解法一：利用垂直关系一种常见的解决恒过定点问题的方法是利用垂直关系。
根据几何的基本原理，一条直线与圆相切时，切点处的切线垂直于半径。
因此，我们可以根据这个垂直关系来确定直线与圆的切点。
具体步骤如下： 1. 绘制圆C和直线L； 2. 在直线L上选择一个点B，作直线L的垂线BC； 3. 以点B为圆心，BC的长度为半径，在直线L上作一个圆D； 4. 圆D与圆C的交点A即为所求的点。
解法二：利用相似三角形另一种常用的解决恒过定点问题的方法是利用相似三角形的性质。
根据几何的基本原理，如果两个三角形对应的角相等，那么它们是相似的。
在恒过定点问题中，我们可以利用两个相似三角形之间的边比例关系来求解。
具体步骤如下： 1. 绘制圆C和直线L； 2. 在直线L上选择一个点B，作直线L的垂线BC； 3. 以点A为圆心，AC的长度为半径，在直线L上作一个圆D； 4. 连接圆C的圆心和圆D的圆心，记为OE；5. 连接点B和OE，并延长到直线L上的交点F；6. 连接点F和圆C的圆心O； 7. 直线FO与圆C的交点A即为所求的点。
总结恒过定点问题是一种需要应用几何知识和技巧的常见问题。
通过掌握垂直关系和相似三角形的性质，我们可以有效地求解这类问题。
在实际应用中，我们还可以借助计算机辅助绘图软件来验证解答的准确性。
希望通过本文的介绍，读者对恒过定点问题有更深入的理解。
应用场景恒过定点问题在几何学中有着广泛的应用场景。
以下是一些常见的应用场景：1.建筑设计：在建筑设计中，恒过定点问题可以用于确定建筑物的布局和结构。
直线方程恒过定点问题怎么求
直线方程恒过定点问题怎么求问题描述在平面几何中，给定一个定点和一条直线，我们需要找到一个直线方程，使得这条直线在任意位置上都经过给定的定点。
这个问题被称为直线方程恒过定点问题。
本文将介绍如何求解这个问题。
解法一：点斜式直线方程首先我们需要知道点斜式直线方程的一般形式：y=kx+b。
其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。
假设我们需要找到一个直线，使得它始终经过点P(x0,y0)。
根据点斜式直线方程，我们需要求解符合该条件的k和b。
由于直线过点P(x0,y0)，代入直线方程可得：y0=kx0+b然后将这个方程稍作调整：$$ b = y_0 - kx_0 \\quad (1) $$将式(1)代入点斜式直线方程，我们就得到了直线方程的表达式：y=kx+(y0−kx0)这条直线方程恒过定点P(x0,y0)。
因此，我们可以得出结论：对于给定的点P(x0,y0)，直线方程恒过该点的一般形式为y=kx+(y0−kx0)。
解法二：一般式直线方程除了点斜式直线方程，我们还可以使用一般式直线方程来解决直线方程恒过定点问题。
一般式直线方程的一般形式为：Ax+By+C=0。
假设直线经过点P(x0,y0)，我们需要找到符合该条件的A、B和C。
设直线方程为Ax+By+C=0，将点P(x0,y0)代入方程可得：$$ Ax_0 + By_0 + C = 0 \\quad (2) $$假设直线方程的一般法向量为$\\mathbf{n} = (A, B)$，则直线方程可以写成：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p} + C = 0 \\quad (3) $$其中，$\\mathbf{p} = (x, y)$。
将点P(x0,y0)代入方程(3)，可得：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p_0} + C = 0 \\quad (4) $$由于直线过点P(x0,y0)，则向量$\\mathbf{n}$与向量$\\mathbf{p_0}$垂直。
恒过定点问题
1 恒过定点问题--------------山西省太谷县第二中学 张国丽1. 直线恒过定点问题：例如：直线1y ++=a ax 恒过哪个定点解法一：分离变量（恒过定点保证与变量无关）1)1(++=x a y ，当,01=+x 即,1-=x ,1=y 恒成立。
因此直线恒过的的定点为)1,1(-。
解法二：图像变换1)1(++=x a y 的图像是由ax y =向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到的。
而ax y =恒过（0，0），经过变换后的直线1)1(++=x a y 图像恒过（-1,1）。
2. 指数函数恒过定点问题：例如：函数221+=+x y 恒过哪个定点 解法一：利用10=a ，解决问题令,01=+x 则1-=x ，3220=+=y 。
则图像恒过的定点为（-1,3）。
解法二：图像变换：221+=+x y 的图像是由x y 2=的图像向左平移一个单位，向上平移两个单位得到的。
而x y 2=的图像恒过点（0,1），经过变换后的函数221+=+x y 的图像恒过点（-1,3）。
3. 对数函数恒过定点问题例如：函数1)3(log y 2-+=x 恒过哪个定点解法一：利用01log =a ，解决问题 令2,13-==+x x ，111log 2-=-=y 。
则图像恒过的定点为（-2，-1）。
解法二：图像变换：1)3(log y 2-+=x 的图像是由x y 2log =的图像向左平移三个单位，向下平移一个单位得到的。
x y 2log =的图像恒过点（1，0），经过变换后的函数1)3(log y 2-+=x 的图像恒过（-2，-1）。
直线方程的恒过定点问题解析
直线方程的恒过定点问题解析引言直线方程是数学中的重要概念，在几何学和代数学中都有广泛的应用。
直线方程的恒过定点问题是研究直线方程在平面上是否恒过一个给定的点。
本文将对直线方程的恒过定点问题进行解析，包括问题的定义、解决方法和实际应用。
问题定义直线方程的恒过定点问题可以通过以下方式定义：给定一个平面上的直线，判断该直线是否经过一个给定的点。
如果直线恒过该点，则称直线方程满足恒过定点条件。
该问题在几何学中有着重要的应用，例如判定一个点是否在一条直线上。
解决方法直线方程的恒过定点问题可以通过以下两种方法解决：代数法和几何法。
代数法代数法是通过代数表达式来解决直线方程的恒过定点问题。
通过将直线方程表达式与给定点的坐标代入，可以判断直线方程是否满足恒过定点条件。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以将点P的坐标代入直线方程，得到等式y0=kx0+b。
如果等式成立，则表示直线方程满足恒过点P的条件。
几何法几何法是通过几何性质来解决直线方程的恒过定点问题。
根据直线的斜率和截距的定义，可以判断直线是否经过给定的点。
以直线方程y=kx+b和定点P(x0,y0)为例，可以求出直线的斜率k。
如果点P的坐标满足等式y0=kx0+b，则表示直线经过点P。
实际应用直线方程的恒过定点问题在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用示例：建筑设计在建筑设计中，经常需要判定某些结构是否恒过一个定点。
例如，要确定一条梁是否恒过某个支撑点，可以将梁的方程与支撑点的坐标代入，从而判断是否满足恒过定点条件。
导航系统在导航系统中，通常需要确定一条路径是否恒过起点和终点。
通过将路径的方程与起点和终点的坐标代入，可以判断路径是否满足恒过定点条件，从而提供准确的导航指引。
地理测量在地理测量中，常常需要确定一条直线是否经过某个标记点。
通过将直线的方程与标记点的坐标代入，可以判断直线是否满足恒过定点条件，从而实现精确的地理测量。
结论直线方程的恒过定点问题是数学中的一个重要问题，在几何学和代数学中有广泛的应用。
高中数学：直线恒过定点的问题
高中数学：直线恒过定点的问题
直线恒过定点问题的多种解法。
求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。
解法一：特殊引路法
分析：因直线随m取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，这样就使得解法更为完备。
证明：直线，取，
此时直线方程为。
①
取，此时方程为②
联立①②解得点P（3，1）。
将点P（3，1）代入直线方程。
故直线恒过定点P（3，1）。
解法二：换元法
分析：众所周知，直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），因此我们可以将直线
的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。
证明：，当时，。
令。
由此可得。
即原直线方程可化为。
由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。
当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。
综上，直线恒过定点P（3，1）。
解法三：参数分离法
分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，并将其分离得
0，此时我们令，，则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程
0，即P（，）在直线
上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。
证明：。
令，=0，解方程组得
令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。
所以也满足。
进一步得点P（3，1）满足。
故直线恒过定点P（3，1）。
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直线恒过定点问题例题
直线恒过定点问题例题直线恒过定点问题是数学中常见的几何问题之一。
它通过给定点和直线的条件，探讨直线是否恒过这个点。
本文将通过例题来详细说明直线恒过定点问题的解决方法。
问题描述例题：已知点A(1,2)和B(3,4)，求直线y = mx + 1是否恒过点C(-1,0)。
解题步骤解决直线恒过定点问题可以按照以下步骤进行：1.求直线的方程；2.将点的坐标代入方程，判断是否满足。
步骤一：求直线的方程两点确定一条直线的方程，可以使用点斜式或两点式。
在本例中，我们选择使用点斜式。
点斜式的一般形式为y - y1 = m(x - x1)，其中m为直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
通过已知点A(1,2)，我们可以计算斜率m。
根据点斜式的给定条件，我们可以得到直线方程为：y - 2 = m(x - 1)步骤二：将点的坐标代入方程我们需要将点C(-1,0)的坐标代入直线方程，判断是否满足。
将C的坐标代入方程，得到：0 - 2 = m(-1 - 1)化简得到：-2 = -2m整理后得到：m = 1因此，当直线方程为y = x + 1时，直线恒过点C(-1,0)。
结论根据上述计算和推导，我们得出结论：直线y = x + 1恒过点C(-1,0)。
总结直线恒过定点问题是数学中的基础几何问题之一。
通过已知点和直线的条件，我们可以求解直线是否恒过这个点。
解决这类问题可以遵循求直线方程和代入点的坐标两个步骤，通过计算和推导得出结论。
希望通过本文的例题分析，能够帮助读者更好地理解直线恒过定点问题的解决方法。
函数图像恒过定点问题
函数恒过定点问题1. 方程“ OX=0'的理解：若方程的解有无穷多个，贝U方程的系数均为02. 若方程mx=n有无数个解，则m= ____ ,n= ____ 方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。
方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0,利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
一、直线过定点问题由“y-y / =k （x-x x）”求定点把含有参数的直线方程改写成“ y-y / =k （x-x x）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（X，, y/）例1:已知（k+1）x- （k-1 ）y-2k=0为直线I的方程，求证不论k取任何实数值时，直线I必过定点，并求出这个定点的坐标例2：若实数满足2a-3b=1，求证：直线ax+by=5必过定点练习题1 .直线I : kx - y+2k+1=0必过定点__________2 .直线y=mx+2m+1过定点_________3 .直线kx+3y+k - 9=0过定点 ________4 .设a+b=3,则直线ax+by=1恒过定点 __________5 .当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点_________6 .直线（m- 1）x+y+2m+1=0S定点________7. 直线（2a- 1）x+2ay+3=0恒过的定点是________8. 对于任意实数m n，直线（m+n x+12my- 2n=0恒过定点的坐标是__________9. 若p，q满足条件3p- 2q=1，直线px+3y+q=0必过定点___________10 .直线（m- 1）x+ （2m+3 y -（m- 2）=0 恒过定点________二、抛物线过定点问题将解析式中除自变量和因变量之外的参数(设为 m 集中，形成(ax 2+bx+c ) m 的形式，根据题意可得ax 2+bx+c=0,解得定点的横坐标x o ，带入解析式求得纵 坐标y o ，函数图象一定过定点(x 0，y o )例1 •已知抛物线不论m 取何值，抛物线恒过某定点P ,则P 点的坐标为(A.( 2,- 5)B.( 2, 5)C. (- 2, 5)D.不能确定例2.兴趣小组研究二次函数化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,两个定点，请你写出这两个定点的坐标： 练习题1. 抛物线y=kx 2+ (2k+1) x+2恒过定点，请直接写出定点坐标 _________2. 抛物线y=x 2+mx- 2m 通过一个定点，则这个定点的坐标是 ____________ 的图象发现，m 的变 但这个二次函数的图象总经过。
一次函数恒过定点的问题
一次函数恒过定点的问题一次函数是初中数学中的一个重要概念，它描述的是数学中的直线。
当我们学习一次函数的时候，我们会遇到一个经典问题：“一次函数是否能恒过一个定点？”本文将围绕这个问题详细阐述，并提供解决方案。
一、什么是一次函数？在数学中，一次函数也叫线性函数，它表示为y=kx+b，其中k和b是常数，x是自变量，y是因变量。
这个函数的图像是一条直线，k表示这条直线的斜率，b表示y轴截距，当k为0时，直线的斜率为0，此时表示一条水平直线，当b为0时，直线穿过原点。
二、能否恒过定点？一个一次函数能否恒过一个定点实际上就是在问这条直线与y轴的交点是否固定。
如果能恒过一个点，那么这个“定点”就是这条直线与y 轴的交点。
那么，一次函数恒过定点的条件是什么呢？具体来说，我们可以解方程y=kx+b得到恒过一个点的条件：kx+b=y，当x=0时，y=b。
通过解方程可以得出，只要这条直线与y轴的截距b是定值，那么这条直线就能恒过一个定点，这个点就是（0，b）。
三、结论因此，我们可以得出结论：只要一次函数的y轴截距是一个定值，那么这条直线就能恒过一个定点。
比如说，y=x+3这条直线的截距是3，所以这条直线恒过（0，3）这个点。
四、探究如果我们进一步探究一次函数恒过定点的情况，不难发现，这个定点与这个一次函数的斜率有关。
如果这个函数的斜率为0，则这个函数一定恒过y轴的截距点，反之，如果这个函数的斜率不为0，则这个函数一定不恒过y轴截距点。
这个结论可以通过将y=kx+b变形得到。
因此，我们可以得出一个简单的结论：一次函数要想恒过定点，就必须是一条水平直线。
五、总结总之，一次函数恒过定点需要满足截距为定值的条件，这个定值就是这条直线与y轴的交点。
当斜率为0时，这个截距就是一条水平直线与y轴的交点。
因此，我们可以通过这个定理更好地理解一次函数，也可以帮助我们更好地解决各种数学问题。
过定点问题的解题思路
过定点问题的解题思路
过定点问题在数学中是一个常见的问题，通常涉及到函数、方程或不等式等。
解决这类问题的关键是找出与定点有关的条件或关系，然后利用这些条件或关系求解。
解题思路如下：
1. 确定定点：首先需要明确题目中给出的定点坐标，这是解题的基础。
2. 分析条件：根据题目要求，分析给出的条件或关系，找出与定点有关的条件或关系。
3. 转化问题：将问题转化为数学表达式或方程，以便于求解。
4. 求解方程：根据数学知识和计算方法，求解方程或不等式，得出结果。
5. 检验结果：最后需要检验结果的正确性，确保满足题目的要求。
例如，若直线$l$过点$(2,3)$，且与直线$x - 2y + 1 = 0$垂直，求直线
$l$的方程。
首先，确定定点$(2,3)$。
然后，分析条件，直线$l$与直线$x - 2y + 1 = 0$垂直，根据垂直的条件，两直线的斜率之积为-1。
接着，将问题转化为数学表达式，设直线$l$的方程为$y - 3 = k(x - 2)$，即$kx - y - 2k + 3 = 0$。
根据垂直的条件，有$k \times \frac{1}{2} = -1$，解得$k = -2$。
最后，代入$k=-2$，得到直线$l$的方程为$2x + y - 7 = 0$。
直线恒过定点求法
直线恒过定点求法在几何学中，直线恒过定点是一个经典的问题。
这个问题涉及到如何确定一条直线，使其始终通过一个给定的点。
本文将介绍两种解决这个问题的方法。
方法一：使用线段中点定理线段中点定理是关于线段和中点的基本几何定理。
该定理表明，一条直线上的所有点到线段的两个端点的距离之和等于这条线段的长度。
基于这个定理，我们可以构造出一条恒过给定点的直线。
假设给定一个平面上的点P，我们需要构造一条直线，使其恒过点P。
首先，我们任意选择两个点A和B，使得P是线段AB的端点之一。
然后，我们通过以点A和点B为中点的圆心，画两个以点P为半径的圆。
这两个圆将交于另一个点C。
最后，我们连接点C和点P，得到的直线PC将恒过点P。
方法二：使用作弊方法这种方法可能不是纯粹的几何学解决方案，但确实是一种实用且简单的方法。
我们可以通过作弊的方式构造一条恒过给定点的直线。
假设给定一个平面上的点P，我们需要构造一条直线，使其恒过点P。
首先，我们选择一个不在直线上的点Q。
然后，我们连接点P和点Q，得到直线PQ。
下一步，我们将线段PQ转移到任意位置，使其恒过点P。
我们可以使用尺规作图工具或者直尺和铅笔来画线段PQ。
一旦PQ画好，我们只需将铅笔放置在点P上，并固定住尺子，然后绕着点P旋转尺子，这样就能保证移动线段PQ的过程中，直线始终通过点P。
这种方法虽然有违纯几何学方法的原则，但却是一种有效且快捷的解决方案。
总结直线恒过定点是一个有趣且实用的几何问题。
本文介绍了两种解决这个问题的方法：使用线段中点定理和使用作弊方法。
线段中点定理是一个基本的几何定理，通过构造以给定点为半径的两个圆，可以得到恒过给定点的直线。
而使用作弊方法是一种实用的解决方案，通过移动线段实现直线恒过给定点的效果。
这两种方法都是有效的，具体选择哪种方法取决于具体情况和需求。
无论使用哪种方法，都可以实现直线恒过给定点的目标。
希望本文对你理解直线恒过定点的求法有所帮助！。
恒过定点问题的解题策略
三、课堂小结
1、恒过定点问题的解题策略和方法 设动点坐标、设动直线斜率，借助参数利
用恒成立问题的解题方法解决恒过定点问题, 包括用特殊探路、一般证明等方法策略。 2、注意以动态的观点研究解析几何问题的思
维方式，掌握类比探究、转化与化归等思想 方法。
四、课后练习
谢 谢！
O
B
x
BM交直线 l于点Q．
求证：以PQ为直径的Q圆C经过点，并求出该定点坐标．
l:x=4
变式：连接PB并延长交椭圆于点N,直线MN是否
过定点？若过定点，请给出证明.
变式训练：
过椭圆 x2 y2 1 的左顶点A作互相垂
4
直的直线分别交椭圆于M，N两点. 求证：直线MN过定点,并求出该定点坐标．
P
交A,B两点,M是圆O上异 M
于A,B的任意一点,直线
AM交直线l 于点P,直线
BM交直线 l于点Q.
A
O
B
x
求证:以PQ为直径的
圆C过定点，并求定点
坐标.
Q
二、例题精讲
例：如图,已知椭圆
x2 4
y2
1，
直线 l : x 4,A,B是长轴的
y
P
两端点，M是椭圆上异于
M
A,B的任意一点，设直线
AM交直线l 于点P，直线 A
一、课前热身
1. 动直线 (2 a)x (3a 4) y 2a 1 0(a R)
过定点
.
一、课前热身
2.动圆 x2 y2 (a 2)x (4 a) y 4a 4 0(a R)
过定点
.
一、课前热身
y
3.如图,已知圆O:x2 y2 4,
直线 l : x 4，圆O与x轴
借力“含参直线恒过定点”巧解题
Җ㊀甘肃㊀刘仁祖㊀㊀由于含有参数的直线往往恒过定点,所以解题时往往会对恒成立的不等式进行适当变形．如果能够出现不等式的一边表示含参直线,另一边表示函数f (x ),那么就可以在坐标系中画出函数f (x )的图象,再让含参直线绕定点进行旋转分析,从而顺利构建参数满足的不等式,进而求得参数的取值范围．本文进行如下归类解析,望读者有所收获．１㊀求解有关函数零点问题例１㊀若函数f (x )＝l n x －a x ２＋x 有两个不同的零点,则实数a 的取值范围是(㊀㊀)．A．(０,１)㊀㊀㊀㊀㊀B ．(－ɕ,１)C ．(－ɕ,１＋ee２)㊀D．(１＋ee２,１)由题设得方程f (x )＝０,即a x －１＝l n xx有两个不相等的实数根．于是,原问题可化归为当直线y ＝a x －１与曲线y ＝l n xx有两个不同的交点时,求实数a 的取值范围．设函数t (x )＝l n x x ,则t ᶄ(x )＝１－l n xx ２(x ＞０)．易知当０＜x ＜e 时,t ᶄ(x )＞０;当x ＞e 时,t ᶄ(x )＜０．所以函数t (x )在(０,e )上单调递增,在(,)上单㊀㊀图１调递减．又易知t (１)＝０,t (e )＝１e．当x ＞１时,t (x )＞０;当x ң０时,t (x )ң－ɕ;当x ң＋ɕ时,t (x )ң０．易知直线y ＝a x －１恒过定点(０,－１),如图１所示,画出函数t (x )以及直线y ＝a x －１的图象．当直线y ＝a x －１与函数t (x )＝l n xx的图象相切时,设切点的横坐标为x ０,则有t ᶄ(x ０)＝a ,t (x ０)＝a x ０－１,{即１－l n x ０x ２０＝a ,l n x ０x ０＝a x ０－１,ìîíïïïï变形得a x ２０＝１－l n ０a x ２０＝x ０＋l n x ０,{消去a 得２l n x ０＋x ０－１＝０,这说明x ０为方程２l n x ＋x －１＝０的实数根．令s (x )＝２l n x ＋x －１,易知函数s (x )在(０,＋ɕ)上单调递增,且s (１)＝０,故方程２l n x ＋x －１＝０有唯一实数根x ＝１．从而,可知x ０＝１,此时a ＝１,即直线与曲线相切时,直线的斜率为１．于是,让直线y ＝a x －１绕着定点(０,－１)进行旋转分析,可知当直线与曲线有两个不同的交点时,应满足０＜a ＜１．故选A ．该解法的关键在于以下两点:一是借助导数知识,准确画出函数t (x )的图象;二是灵活运用 动态分析法 让直线y ＝a x －１绕定点(０,－１)进行旋转分析,以便获得参数的取值范围．实际上,若知道 函数y ＝l n x x在点(１,０)处的切线方程为y ＝x －１,则极易由图分析出参数的取值范围．２㊀求解有关不等式恒成立问题例２㊀已知函数f (x )＝x ２＋a x ＋b ,g (x )＝e x (c x ＋d ),若曲线y ＝f (x )和y ＝g (x )都过点P (０,２),且在点P 处有相同的切线y ＝４x ＋２．(１)求a ,b ,c ,d 的值;(２)若x ȡ－２时,f (x )ɤk g (x ),求k 的取值范围．(１)由已知可得f (０)＝２,g (０)＝２,fᶄ(０)＝４,g ᶄ(０)＝４,而f ᶄ(x )＝２x ＋a ,gᶄ(x )＝e x(c x ＋d ＋c ),故a ＝４,b ＝２,c ＝２,d ＝２．(２)由(１)可得f (x )＝x ２＋４x ＋２,g (x )＝２e x (x ＋１),由于x ȡ－２时,f (x )ɤk g (x )恒成立,所以x ２＋４x ＋２ɤ２k e x(x ＋１),从而x ȡ－２时,２k (x ＋１)ȡx ２＋４x ＋２ex恒成立．于是,原问题可化归为当x ȡ－２时,若恒过定点(－１,０)且斜率为２k 的直线y ＝２k (x ＋１)与曲线y ＝x ２＋４x ＋２ex有两个不同的交点,求实数a 的取值范围．设函数h (x )＝x ２＋４x ＋２e x,x ɪ[－２,＋ɕ),则h ᶄ(x )＝(２x ＋４)e x －(x ２＋４x ＋２)ex(ex )２＝－(x ＋１＋３)(x ＋１－３)ex,则当－２ɤx ＜３－１时,h ᶄ(x )＞０;当x ＞３－１时,３１h ᶄ(x )＜０．于是,函数h (x )＝x ２＋４x ＋２e x在[－２,３－１)上单调递增,在[３－１,＋ɕ)上单调递减．令h (x )＝０,可得x ＝－２ʃ２,又因为－１＜－２＋２＜０,－２－２＜－２,所以在[－２,＋ɕ)内函数h (x )＝x ２＋４x ＋２ex的零点为x ＝－２＋２．设P (x ０,y ０)为函数h (x )图象上的任意一点,则以P 为切点的切线方程为y －x ２０＋４x ０＋２e x ０＝－x ２０－２x ０＋２e x０(x －x ０),根据切线过点(－１,０)可得－x ２０＋４x ０＋２e x ０＝－x ２０－２x ０＋２e x０(－１－x ０),解得x ０＝０或x ０＝－２．又注意到h (０)＝２,h (－２)＝－２e２,所以过点(－１,０)的直线与曲线h (x )＝x ２＋４x ＋２ex相切于点(０,２)或(－２,－２e ２),对应切线斜率k １＝２－００＋１＝２,k ２＝０＋２e ２－１＋２＝２e ２．如图２所示,在同一坐标系内画出函数h (x )＝x ２＋４x ＋２e x,x ɪ[－２,＋ɕ)以及直线y ＝２k (x ＋１)的图象,考虑约束条件 当x ȡ－２时,直线y ＝２k (x ＋１)与曲线y ＝x ２＋４x ＋２ex有两个不同的交点 ,通过让直线y ＝２k (x ＋１)绕着定点(－１,０)进行旋转分析,易得k １ɤ２k ɤk ２,即２ɤ２k ɤ２e ２,解得１ɤk ɤe ２,故所求k 的取值范围是[,e２]．图２本题第(２)问求解的关键在于以下几点:一是通过适当变形,灵活转化目标问题;二是借助导数知识,准确画出函数h (x )的图象;三是借助解析几何知识,准确求解切线的斜率;四是灵活运用 动态分析法 ,让直线y ＝２k (x ＋１)绕定点(－１,０)进行旋转分析,迅速获得参数k 的取值范围．(作者单位:甘肃省白银市靖远县第一中学)Җ㊀山东㊀洪㊀新㊀孙㊀军㊀㊀空间平行关系是立体几何命题的重要视角,主要包括 线线平行 线面平行 面面平行 ,这三种关系可以相互推导㊁相互判定,其中 线面平行 在平行关系的判定中起到桥梁的作用．下面就对空间平行关系的教学中需要注意的几个关键点进行说明．１㊀扎实理论基础三种平行关系的判定及性质如下．１)线线平行⇒线面平行:直线l ,m ,平面α,若l ʊm ,m ⊂α,l ⊄α,则l ʊα．２)线面平行⇒面面平行:直线l ,m ,平面α,β,若l ,m ⊂α,l ʊβ,m ʊβ,l ɘm ＝A ,则αʊβ．３)线线平行⇒面面平行:直线m ,n ,p ,q ,平面α,β,若m ,n ⊂α,m ɘn ＝A ;p ,q ⊂β,p ɘq ＝B ,且m ʊp ,n ʊq ,则αʊβ．４)面面平行⇒线面平行:平面α,β,直线l ,若αʊβ,且l ⊂α,则l ʊβ．５)线面平行⇒线线平行:直线m ,n ,平面α,β,若m ʊβ,m ⊂α,αɘβ＝n ,则m ʊn ．６)面面平行⇒线线平行:平面α,β,γ,直线m ,n ,若αʊβ,αɘγ＝m ,βɘγ＝n ,则m ʊn ．在学习了空间向量后,空间中的平行关系也可借用空间向量的运算来求解．１)两条直线的方向向量平行,则两条直线平行．２)一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直,则直线与平面平行．３)两个平面的法向量平行,则两个平面平行．上述理论基础是处理空间平行关系问题的重要依据,教学中教师要严格要求学生准确把握这些内容．２㊀严谨应用过程会而不对,对而不全 是学生在解题中常出现的问题,在空间平行关系的应用中这种情况主要体现在对判定定理㊁性质的完备性把握不准．例１㊀已知l ,m 为直线,α为平面,且m ⊂α,那么 l ʊm 是 l ʊα的条件．本题有部分学生的答案是充分不必要条件,对于非必要性没有什么疑问,但对于充分性,还要满足l ⊄α．因此正确答案是既不充分也不必４１。
函数图像恒过定点问题
精心整理
函数恒过定点问题
1.方程“0X=0”的理解：若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0
2.若方程mx=n有无数个解，则m=_____,n=_____
方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。
方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。
，函数图象一定过定点(x
0，y
)
取何值，抛物线恒过某定点P，则P点的坐标为（
的坐标：
练习题
1.抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，请直接写出定点坐标________
2.抛物线y=x2+mx﹣2m通过一个定点，则这个定点的坐标是_________。
求直线方程恒过定点怎么求
求直线方程恒过定点的方法在解析几何中，我们经常遇到求取直线方程的问题。
有时候我们需要找到一个过给定点的直线方程，这时我们可以使用一些特定的方法来求解。
本文将介绍几种方法来求解求直线方程恒过定点的问题。
1. 已知斜率的情况首先，如果我们已知直线的斜率和过定点的坐标，那么我们可以直接套用直线的一般方程来求解。
设直线的斜率为k，过定点(x0, y0)，则直线的一般方程为y - y0 = k(x - x0)。
通过这个方程，我们可以求得过定点的直线方程。
举个例子，我们要求过点(2, 3)且斜率为2的直线方程，那么我们就可以代入式子，得到y - 3 = 2(x - 2)。
将这个方程化简后，即可得到直线的方程。
2. 已知两点的情况其次，如果我们已知直线经过两个点(x1, y1)和(x2, y2)，那么我们可以通过两点式来求解直线方程。
设直线的斜率为k，过点(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的两点式为(y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)。
通过这个方程，我们可以求得直线的方程。
举个例子，我们要求过点(1, 2)和(3, 4)的直线方程，那么我们就可以代入式子，得到(y - 2) / (4 - 2) = (x - 1) / (3 - 1)。
将这个方程化简后，即可得到直线的方程。
3. 垂直平行直线的情况如果我们已知直线与 x 轴垂直，那么我们可以很轻松地求得直线方程。
设直线经过点(x0, y0)，则直线与 x 轴垂直，斜率为无穷大。
此时，我们可以直接得到直线方程为x = x0。
同理，如果我们已知直线与 y 轴垂直，那么我们可以得到直线方程为y = y0，其中(x0, y0)是直线经过的点。
4. 一般情况下的方法如果我们无法直接根据已知条件得到直线方程，我们可以先求取过给定点的直线斜率，然后再根据已知斜率的情况进行相应的求解。
设过点(x0, y0)的直线斜率为k，则我们可以找到一个点(x, y)，使得直线经过(x0, y0)和(x, y)。
数学学不好？试试这个：巧用直线恒过定点快解题
数学学不好？试试这个：巧用直线恒过定点快解题
高考数学MOOK
2017 VOL.37
王应祥
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一
巧用直线恒过定点，求解距离的最值
【思路分析】直线含参数，且是经过定点的直线，求点到直线的距离的最大值转化为求两定点之间的距离.
【变式训练1】已知点P(2，－1)，求：
(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程；
(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
二
巧用直线恒过定点，求取值范围
三
巧用直线恒过定点，解决直线与圆的问题
当直线恒过定点时，判断定点与圆的关系，若定点在圆内，则直线一定与圆相交.
四
巧用直线恒过定点，求解线性规划问题
总结
当我们做题目时，如果问题涉及到动直线，解题时就要想到把动直线恒通过的定点挖掘出来，再考虑这一定点与所求有何联系，只有这样才能寻找到巧妙的解题思路，优化解题思维的过程.。
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宜兴市丁蜀高级中学高三理科二轮复习微专题
恒过定点问题的解题策略
一课前热身：
1.动直线(2)(34)210()a x a y a a R ++-+-=∈过定点 .
2.动圆22(2)(4)440()x y a x a y a a R ++++---=∈过定点 .
3.在平面直角坐标系xOy 中,设抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,以P 为圆心的圆与直线l 相切，则圆过定点
4.如图，已知圆224x y +=，直线:4l x =，圆O 与x 轴交A ，B 两
点， M 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AM 交直线l 于点P ，
直线BM 交直线l 于点Q .求证：以PQ 为直径的圆C 过定点，并求
出定点坐标.
二 例题讲评
例1. 1.已知椭圆22221(0)x
y a b a b +=>>过点3(1,)2，离心率为32．过椭
圆右顶点A 的两条斜率乘积为14
-的直线分别交椭圆C 于,M N 两
点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由.
例2.已知圆M 的方程；4)4(2
2=+-y x ，点C )0,1(，设P 是圆M 上一动点，在x 轴上是否存在异于C 的定点B ，使得PB
PC 恒为定值λ？若存在，求出定点B 的坐标，并求λ的值；若不存在，说明理由.
x y O M A B P Q
三巩固训练
1.已知椭圆22
:142
x y C +=的上顶点为A ，过A 点引两条直线分别交椭圆于,P Q 两点，设直线,AP AQ 的斜率分别为12,k k .若121k k =-时，问直线PQ 是否过定点
2.已知点P 是椭圆C 上任意一点，点P 到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆C 交于不同的两点A,B （A,B 都在轴的上方），且.（1）求椭圆C 的方程；
（2）当A 为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；
（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由.
1:2l x =-1d ()1,0F -2d 212d d l x 180OFA OFB ∠+∠=y l l OFA ∠l。