第八讲 数列规律

例 用数字摆成右面的三角形，仔细观察后回答问题 （1）这个三角阵的排列有何规律？ （2）写出三角镇的第 6 行、第 7 行。
1 11
（3）推断第 10 行的各数之和是多少？ 解析：本题是著名的杨辉三角，很多孩子在以前接触 过，所以前两问都不算难。 （1） 三角的两边都有 1 组成，第一行 1 个数，第二
例 有一列数 1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，……从第三个数起，每一 个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么第 1989 个数是多少？ 解析：先找出这个数列的规律，每 3 个数为一组，每组中的第一个数都是 1，后两个是从 1989 依次减 1 的等差数列。那所求的第 1989 个数到底是 1，还是从 1989 依次减 1 得到的一个数 呢？需要看看这个数在它所在组的位置。
1989-1326+1=664 第 1989 个数是 664。
例 下面的算式是按规律排列的： 1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，……，那么其中第多少个算式的结 果是 2008？ 解析：先找出规律：每一项都是一个 2 个加数的加法算式，第一个加数是 1，2，3，4 周期 循环的，第二个加数是 1 开始的连续单数（也是一个等差数列）。 结果是 2008，先用枚举法把可能的式子列举出来 1+2007，2+2006，3+2005，4+2004。其中， 2+2006 与 4+2004 不符合第二个加数为单数，排除掉。 2007 应该是（1+2007）÷2=1004 项，而 1 始终在单数项，所以不符合。应该是算式 3+2005， 验算一下： 2005 是（2005+1）÷2=1003 项，说明 2005 在第 1003 个式子中，该式子的第一个加数为 1003 ÷4=250（组）……3（个），第一个加数是 3，符合。
6、立方数列
1， 8， 27， 64， 125， 216， 343， 512， 729， 1000……
1×1×1 2×2×2 33 43
53
63
73
83
93
103
注： 4×4×4，3 个 4 相乘，可以写为 43，读作 4 的 3 次方，3 次方也称为立方
5×5×5×5，可以写成 54，读作 5 的 4 次方
数是 10×10=100，从 100 倒着数的第 7 个数是 100-7+1=94 （2） 与 87 最相近的一个平方数是 81，81 是 9×9，是第 9 圈的最后一个，那么 87 应该
在第 10 圈上，是第 10 圈的第 87-81=6 个。根据规律很容易找到它在第 6 行，左起 第 10 列。
7、兔子数列（斐波那契数列）
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13……
1+1=2 1+2=3 2+3=5 3+5=8 5+8=13 兔子数列规律：第一项和第二项均是 1，从第三项开始，每一项是它的前两项的和。 该规律拓展运用： 例：
2， 1， 3， 4， 7， 11， 18， 29……
2+1=3 1+3=4 3+4=7 4+7=11 7+11=18 11+18=29
8、双重数列 方法：隔着看（即分成奇数项和偶数项两组） 例： 100， 1， 95， 4， 90， 9， 85， 16， 80， 25， 75， 36……
拓展：分组看 2， 4， 5， 10， 11， 22， 23， 46， 47 …… 2 个数为一组，每组第二个数是第一个数的 2 倍，每组的第一个数是它前一个数+1。
1989÷3=663（组） 说明该数是在第 663 组的最后一个数，是属于 1989 依次减 1 的等差数列中的。那它又是这 个等差数列的第几个呢？
663×2=1326（个） 或 1989-663=1326（个）…即去掉每组中的 1，共去掉 663 个 1 从 1989，1988，1987，1986……这个数列中能看出，第 2 项是 1989-1，第 3 项是 1989-2， 第 4 项是 1989-3，那么第 1326 项应该是 1989-1325，所以
三、典型例题解析 例 根据规律，在括号中填上合适的数
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程雪
4+2，5+8，6+14，7+20，（ ）…… 解析：每一项都是一个加法算式，前一个加数构成数列 4，5，6，7……，是等差数列，后 一个加数构成数列 2，8，14，20……也是一个等差数列。很容易填出括号里应该是 8+26。 拓展，第 100 项是？——第一个加数是 4+99=103，第二个加数是 2+99×6=596
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行 2 个数，……除开两边的 1，每个数都是其
121
1 3 31 14 6 41
“左右肩”之后。
（2） 根据规律，第 6 行的数应该是 1，5，10，10，5，1；第 7 行的数是 1，6，15，20，
15，6，1。
（3） 要推断第 10 行的数字之和，先看看前几行各自的和是否有规律
第一行：1
第二行：2
+2 +3 +4 +5 +6 +7
注：观察数列规律时，要逐渐培养分析、归纳的能力。 如上题 1，3，6，10，15，21，28 …… 要求写出第 100 项，怎么办？ 解析：根据之前的规律，第 2 项是前一项+2，第 3 项是前一项+3，那么第 100 项应该是第 99 项+100，可是第 99 项不知道呀？那就找找这个数列的规律是不是还有别的表示方法。发 现第一项是 1，第二项是 1+2，第三项是 1+2+3，第四项是 1+2+3+4……，原来第 n 项就是从 1 一直加到 n，那么第 100 项就是 1+2+3+……+100=5050
3、等比数列 观察要点 ①数列同向变化，但变化速度很快；
②相邻两个数之间的倍数关系相同（即相邻两数之间的商相等） 例：
1， 2， 4， 8， 16， 32……
×2 ×2 ×2 ×2 ×2
1， 3， 9， 27， 81， 243……
×3 ×3 ×3 ×3 ×3
4、商是等差数列
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1， 1， 1， 3， 5， 9， 17， 31…… 发现从第 4 项开始，每一项都是它的前 3 项之和
1， 2， 6， 16， 44， 120， 328 1+2=3，2+6=8，6+16=22，发现前两项之和是它们后一项的一半！那找到规律， （1+2）×2=6，（2+6）×2=16……，从第 3 项开始，每一项都是前两项之和的 2 倍。
②相邻两个数之间的差相等。 例： 1， 5， 9， 13， 17……
+4 +4 +4 +4
100， 88， 76， 64， 52，……
-12 -12 -12 -12
2、差是等差数列 观察要点 ①数列同向变化；
②相邻两个数之间的差依次增加或减少同一个数。 例：
1， 3， 6， 10， 15， 21， 28……
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第八讲：数列规律
一、基本概念（理解即可，不用死记硬背） 1、数列：按一定顺序排列的数。 2、无穷数列：“穷”即尽头，就是没有“尽头”的数。 3、有穷数列：就是有“尽头”的数。 4、项：数列中的第一个数就叫“第一项”，第二个数就叫“第二项”……
二、常见数列规律 1、等差数列 观察要点 ①数列同向变化；
例 仔细观察下面的数表，找出规律，然后填补空缺的数字
16 28 41 58 37 49 62 ?
28 9 ? 14 9 5
21 8 13
解析：数表找规律，要注意位置关系。可以横着看，也可以竖着看，还可以斜着看、分组 看。本题中，第一张表竖着看有规律，即每一列的第二个数都比第一个数大 21，所以填 79。 第二张表横着看有规律，每一行的第一个数等于后两个数之和，所以填 19。
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程雪
（2）87 在上起第几行，左起第几列？
1
2
5 10 17 …
4
3
6 11 18 …
9
8
7 12 19 …
16 15 14 13 20 …
25 24 23 22 21 …
………………
解析：首先找规律，根据自然数自小到大的顺序，很容易看出，数字是“一圈一圈”扩散 的（如图上红线所示），每一圈上都是从上到下再往左拐弯。第 2 圈竖着数 2 个数，横着数 也 2 个数，有一个数重复。那么第 n 圈就应该竖着数 n 个数，横着数 n 个数，共有 2n-1 个 数。同时，第一列的数是每一圈的最后一个数，是一个平方数列，即第 1 圈最后一个数是 1 ×1，第 2 圈最后一个数是 2×2，第 n 行第一个数是 n×n，也是第 n 圈的最后一个数。 （1） 第 10 行的第 7 个数在第 10 圈上（第 10 圈横着应该有 10 个数），第 10 行的第一个
……21
第三行：4 2×2
……22
第四行：8 2×2×2
……23
第五行：16 2×2×2×2
……24
第六行：32 2×2×2×2×2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
……25
发现是一个等比数列，第 10 行应该是 9 个 2 相乘，即 29，算出结果是 512。
例 自然数如下表规律排列 （1）求上起第 10 行，左起第 7 个数是几？
程雪
1
a
17 20
10
16
15
b
30
20
40
例 先观察下面各算式，再按规律填数。 1×9＋2 = 11 12×9＋3 = 111 123×9＋4 = 1111 12345×9＋6 = 1234567×9＋ = 解析：本类题孩子们发现规律都不难，但特别容易马虎。比如孩子会发现算式的结果从上到 下是 2 个 1，3 个 1，4 个 1，所以第一个空格填写 5 个 1，就错了。注意这些都是算式，那 么结果一定跟自身的算式有关，所以在竖向找规律的同时，一定要结合这个式子，即还有 “横向”看。 本题的规律：结果都是由若干个 1 组成的；1 的个数恰好等于式子后面的加数；而后面的加 数比前面乘数的尾数大 1。所以 12345×9＋6 = 111111，1234567×9＋8=11111111
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例 右图中各个数之间存在着某种关系， 请按照这一关系求出数 a 和 b。
解析：注意位置关系。图中的数字有两种位置， 一种只属于一个圆，一种在两个圆的重叠区域。 单看每种位置都没有规律，那尝试结合起来看。 发现：10+20=15×2，20+40=30×2，即重叠区域 数字的 2 倍正好等于两个圆独有数字之和。所以 a=2×17-10=24，b=（16+40）÷2=28。
观察要点 ①数列同向变化，但变化速度更快；
②相邻两个数之间的商是一个等差数列
例： 1， 2， 6， 24， 120， 720，
5040……
×2 ×3 ×4 ×5 ×6 ×7
5、平方数列 1， 4， 9， 16， 25， 36， 49， 64， 81， 100……
1×1 2×2 3×3 4×4 5×5 6×6 7×7 8×8 9×9 10×10