《结构力学》第十四章结构振动与稳定1-40页精选文档
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l EI
yst
F
m2
F1 1
---荷载幅值作为静荷载所引起的静力位移
FR y
-----阻尼系数
2.计阻尼自由振动
1）.振动微分方程及其解
m y(t)
m y(t)
y(t)
k11y(t)
运动方程 令
m y y k1y 10
k/2m 衰减系数
y 2ky 2y0
设
y Cert
r22k r 20 特征方程
根为 rk k22
k(2m ) 小阻尼情况
b
y02
(yky0)2
解:
3EI k11 k l3
mW/g
k
3EI l3
g
3 EI l2
W
EI
ห้องสมุดไป่ตู้
k
l
k11
1
k11
3 EI
l3
k
二、阻尼对振动的影响
1.阻尼与阻尼力
阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
自振周期
与外界无关,体系本身固有的特性
1 2 自振园频率(自振频率)
T
a
振幅
初相位角
3.自振频率和周期的计算
利用计算公式
2km 11m 1 11mgg 11
g
st
k11 m
m1 11
mgg 11
g
st
算例 例一.求图示体系的自振频率和周期.
解:
1 1E 1(1 2 Ill3 2l1 2lll 1 2l2 ll)
§14—4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
一、不考虑阻尼 1.振动微分方程及其解
F(t)Fsint
F(t) m y(t)
l EI
F ---荷载幅值 ---干扰力频率
振动微分方程
m y (t) k1y 1 (t)F sitn
或
y (t)2y(t)Fsint
设
yAsin t
m
代入方程,可得
二阶线性非齐次常微分方程
F
通解
y(t)y0 y
A m(2 2)
其中y0A 1co t sA 2si n t y(t)A 1c通解o t为 sA 2sitnm (2 F 2)sitn
2.纯强迫振动分析
yAsin t
A A
m y(st 2F---最2)大动 力m位F移2 （ 1振幅1）22
F(t) m y(t)
y(t)y0cots y 0si nt
2.振动分析
其中
a
y02
y02
2
tan y0
y0
单自由度结构不计阻尼时的自由振动是简谐振动.
y ( t ) a st i n ) a s (t i n 2 ) ( a s( i t n 2 ) [ ] y ( t 2 )
T 2
§14—2 结构振动的自由度
一. 自由度的定义 确定振动过程中结构中所有质点位置所需的独立参数的数目，称作 结构的振动自由度。
二. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
5)
2) W=2
W=2
弹性支座不减少振动自由度
6)
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1 7)
为减少振动自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
1.振动微分方程及其解
y11[m y ]
k11ym y
令
2 k11 1 m m11
y2y0
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 y(t)A 1cot sA 2sitn 令 y0 asin
由初始条件 y(0)y0
y 0/acos
y(0) y0
y(t)asi n t ()
可得 A1 y0 A2 y0 /
令 2 k2临界阻尼情况
方程的通解为
tan y 0 /y (0 k0) y
k(2m )
由初y 始( t) 条B 件1e y k ( y 0 0 ( ) ,B tB 1 c 2 y 0,(o y y (t 0 0 )大B s k 阻2 y 0 s 尼) 0 y /情i 况t) n cry c(tr) 2m 2 (m C 1 kC - 2 -t临)e 界 阻k 阻尼不t尼比振系动数
降为1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
2cm
2.刚度系数
3.无阻尼周期
16.4kN 4.重量
k11 1.0 4 6 .0 12 308.2150 (N/m )
5.阻尼系数
6.若质量增加800kg体系
的周期和阻尼比为多少
3.无阻尼周期
T2/40.5(s)
5.阻尼系数
2 m 36 (N 0 s1 /)m
y(t)b k es t in t ()
k(2m ) 不振动
2）.振动分析
y(t) y n
y(t)b k es t in t ()
y n1
12
tn
t n 1
t
T 2
周期延长
T
计算频率和周期可不计阻尼
振动是衰减的
yn yn1
betn be(tnT)
eT
ln yn T
yn1
对数递减量
y2 y1
W=2
振动自由度与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。
EI
W=1
8) W=1
9)
W=13 振动自由度为1的结构称作单自由度结构； 振动自由度大于1的结构称作多自由度结构; 振动自由度无限多的结构称为无限自由度结构。
§14—3 单自由度结构的自由振动
一、不计阻尼的自由振动
自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。 阻尼---耗散能量的作用。
7 l3 12 EI
1
m11
12EI 7ml3
l/2
m
EI EI
l
=1 11
l
T 2 2 7ml3
12EI
l
=1
l
例二.求图示体系的自振频率和周期. m/2 m
l
=1
解:
11
2 3
l3 EI
EI EI
l EI l
1 3m 2l3
EI ml3
l
2 3EI
T 2 ml 3
EI
例三.质点重W,求体系的频率和周期.
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比
4.重量212 .57 (1/s)
m k1T1 /251(k 9)g 0
为2 多 少 8.215013 .86 (1 9/s2)
51 9 80 00
1.1 7(0 1/s)
T2 /0.53 (s)7
W m g 5.0 8(6 kN ) /2m 0.0257
2 2
1 ln yn 2 yn1
利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成
1 ln yn 2j yn j
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比
丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅
214ln1 20.0276
yst
F
m2
F1 1
---荷载幅值作为静荷载所引起的静力位移
FR y
-----阻尼系数
2.计阻尼自由振动
1）.振动微分方程及其解
m y(t)
m y(t)
y(t)
k11y(t)
运动方程 令
m y y k1y 10
k/2m 衰减系数
y 2ky 2y0
设
y Cert
r22k r 20 特征方程
根为 rk k22
k(2m ) 小阻尼情况
b
y02
(yky0)2
解:
3EI k11 k l3
mW/g
k
3EI l3
g
3 EI l2
W
EI
ห้องสมุดไป่ตู้
k
l
k11
1
k11
3 EI
l3
k
二、阻尼对振动的影响
1.阻尼与阻尼力
阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
自振周期
与外界无关,体系本身固有的特性
1 2 自振园频率(自振频率)
T
a
振幅
初相位角
3.自振频率和周期的计算
利用计算公式
2km 11m 1 11mgg 11
g
st
k11 m
m1 11
mgg 11
g
st
算例 例一.求图示体系的自振频率和周期.
解:
1 1E 1(1 2 Ill3 2l1 2lll 1 2l2 ll)
§14—4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
一、不考虑阻尼 1.振动微分方程及其解
F(t)Fsint
F(t) m y(t)
l EI
F ---荷载幅值 ---干扰力频率
振动微分方程
m y (t) k1y 1 (t)F sitn
或
y (t)2y(t)Fsint
设
yAsin t
m
代入方程,可得
二阶线性非齐次常微分方程
F
通解
y(t)y0 y
A m(2 2)
其中y0A 1co t sA 2si n t y(t)A 1c通解o t为 sA 2sitnm (2 F 2)sitn
2.纯强迫振动分析
yAsin t
A A
m y(st 2F---最2)大动 力m位F移2 （ 1振幅1）22
F(t) m y(t)
y(t)y0cots y 0si nt
2.振动分析
其中
a
y02
y02
2
tan y0
y0
单自由度结构不计阻尼时的自由振动是简谐振动.
y ( t ) a st i n ) a s (t i n 2 ) ( a s( i t n 2 ) [ ] y ( t 2 )
T 2
§14—2 结构振动的自由度
一. 自由度的定义 确定振动过程中结构中所有质点位置所需的独立参数的数目，称作 结构的振动自由度。
二. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
5)
2) W=2
W=2
弹性支座不减少振动自由度
6)
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1 7)
为减少振动自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
1.振动微分方程及其解
y11[m y ]
k11ym y
令
2 k11 1 m m11
y2y0
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 y(t)A 1cot sA 2sitn 令 y0 asin
由初始条件 y(0)y0
y 0/acos
y(0) y0
y(t)asi n t ()
可得 A1 y0 A2 y0 /
令 2 k2临界阻尼情况
方程的通解为
tan y 0 /y (0 k0) y
k(2m )
由初y 始( t) 条B 件1e y k ( y 0 0 ( ) ,B tB 1 c 2 y 0,(o y y (t 0 0 )大B s k 阻2 y 0 s 尼) 0 y /情i 况t) n cry c(tr) 2m 2 (m C 1 kC - 2 -t临)e 界 阻k 阻尼不t尼比振系动数
降为1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
2cm
2.刚度系数
3.无阻尼周期
16.4kN 4.重量
k11 1.0 4 6 .0 12 308.2150 (N/m )
5.阻尼系数
6.若质量增加800kg体系
的周期和阻尼比为多少
3.无阻尼周期
T2/40.5(s)
5.阻尼系数
2 m 36 (N 0 s1 /)m
y(t)b k es t in t ()
k(2m ) 不振动
2）.振动分析
y(t) y n
y(t)b k es t in t ()
y n1
12
tn
t n 1
t
T 2
周期延长
T
计算频率和周期可不计阻尼
振动是衰减的
yn yn1
betn be(tnT)
eT
ln yn T
yn1
对数递减量
y2 y1
W=2
振动自由度与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。
EI
W=1
8) W=1
9)
W=13 振动自由度为1的结构称作单自由度结构； 振动自由度大于1的结构称作多自由度结构; 振动自由度无限多的结构称为无限自由度结构。
§14—3 单自由度结构的自由振动
一、不计阻尼的自由振动
自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。 阻尼---耗散能量的作用。
7 l3 12 EI
1
m11
12EI 7ml3
l/2
m
EI EI
l
=1 11
l
T 2 2 7ml3
12EI
l
=1
l
例二.求图示体系的自振频率和周期. m/2 m
l
=1
解:
11
2 3
l3 EI
EI EI
l EI l
1 3m 2l3
EI ml3
l
2 3EI
T 2 ml 3
EI
例三.质点重W,求体系的频率和周期.
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比
4.重量212 .57 (1/s)
m k1T1 /251(k 9)g 0
为2 多 少 8.215013 .86 (1 9/s2)
51 9 80 00
1.1 7(0 1/s)
T2 /0.53 (s)7
W m g 5.0 8(6 kN ) /2m 0.0257
2 2
1 ln yn 2 yn1
利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成
1 ln yn 2j yn j
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比
丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅
214ln1 20.0276