中级微观经济学课件-Chapter20 成本最小化

x*2
y y
2020/11/8
x*1(y) x*1(y)
x1
x*1 ( y )
中级微观经济学
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
x*1
42
要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
yy 投入 2的条件需求
y
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f(x1,x2) y’ x1
中级微观经济学
21
成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
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f(x1,x2) y’ x1
中级微观经济学
22
成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
2020/11/8
f(x1,x2) y’ x1
x*2
y y
y y
y
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x*1(y) x*1(y)
x1
x*1 ( y )
中级微观经济学
x*1(y) x*1(y) x*1 ( y )
x*1
41
要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
yy
y
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
产出扩展线
y y
y
yy
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
11
成本最小化问题 （The Cost-Minimization Problem）
考虑用两种要素生产一种产品的厂商。 厂商的生产函数为
y = f(x1,x2). 其中 y 0是给定的。 假定投入品价格 w1 、 w2 是给定的。则投 入组合的成本为w1x1 + w2x2.
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apy w1
x2
bpy w2
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将求解得到要素需求函数代入生产函数：
y x1a x2b
x2
bpy w2
x1
apy w1
y ( pay)a ( pby)b
w1
w2
可以得到柯布-道格拉斯厂商的供给函数为：
y
(
a
pa )1ab
(
pb
b
)1a b
w1
w2
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所以
x*1
2ww21
2/
3
y
是厂商对于投入要素1的
条件需求函数。
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成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
由于 且
x*2
2w1 w2
x*1
x*1
w2 2w1
2/3
y
则
x*2
2w1 w2
w2 2w1
2/ 3
y
2w1 w2
1/ 3
y
是厂商对于投入要素2的条件需求函数。
w2 x2.
一阶条件是：
p
f
( x1*, x1
x2 *)
w1
0.
p
f
(x1*, x2*) x2
w2
0.
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对于C-D函数 f (x1, x2 ) x1a x2b
利润最大化问题是：
max x1, x2
px1a x2b
w1x1
w2 x2
一阶条件是：
pax1a1x2b w1 0
20 成本最小化
Cost Minimization
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1
本章要点
成本最小化 规模报酬和成本函数 长期成本和短期成本
关键词：成本函数
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研究思路
我们的目标是研究利润最大化的厂商的行为。在 上一章（第19章），我们从直接分析利润最大化 问题开始，着手分析了竞争环境下利润最大化的 厂商的行为。
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本章研究目的
本章（第20章）先研究既定产量下的成本 最小化问题，目的是推导成本函数。
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成本最小化（Cost Minimization）
如果厂商谋求以最小成本生产一个给定的 产量水平y 0，则它是一个成本最小化的 厂商。 c(y) 代表厂商生产y单位产品的最小可能总 成本。 c(y) 是厂商的总成本函数。
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成本最小化
Cobb-Douglas 的例子
一个具有 Cobb-Douglas 生产技术厂商的生 产函数为
y f (x1, x2 ) x11/3x22/3.
厂商面临给定的要素价格 w1 、 w2。 厂商的有条件的要素需求函数是什么?
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2w1 w2
2/3
x*1.
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成本最小化：C-D技术的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
由(b)可得,
x*2
2w1 w2
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
代入(a)得：
y
(x*1
)1/
3
2w1 w2
x*1
2/3
2w1 w2
2/3
x*1.
题（第20、21章）；然后，再研究最有利可图的产量水平（第22章） ）
成本最小化 有条件的 生产函数
要素需求函数
成本函数 （成本曲线）
供给函数 （供给曲线）
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第20章
第21章 第22章
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回顾
利润（长期）最大化问题就是：
max x1 , x2
pf
( x1 ,
x2 )
w1x1
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成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
所以问题—— “在投入要素价格为 w1 、 w2时， 生产既定产量y的成本最小的要素组合是什么?” ——的答案为：
x*1(w1, w2, y), x*2(w1, w2, y)
w2 2w1
2/ 3
y,
2w1 w2
pbx1a
xb1 2
w2
0
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一阶条件是： pax1a1x2b w1 0
pbx1a
xb1 2
w2
0
将第一个方程两边乘以x1 , 第二个方程两边乘以x2 ,
并代入y x1a x2b ,上式可以写作:
pay w1x1
pay w2 x2
求解，得到要素需求函数：
x1
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成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
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成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f (x*1, x*2 ) y
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
yy x*2(y)
x*2
y
y y
y
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x*1(y) x*1(y)
x1
x*1 ( y )
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x*1 ( y )
x*1
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要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
yy
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
yy x*2(y)
x*2 ( y )
x*2
y y
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等成本线（Iso-cost Lines）
等成本线是所有耗费相同成本的投入要素 组合点的集合。 例如：给定 w1 和 w2, 数量为$100 的等成 本线方程为
w1x1 w2x2 100.
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等成本线
一般而言，在给定w1 和 w2 的条件下，耗费 成本$c的等成本线表示为
w1x1 w2x2 c
重新排列得到
x2
w1 w2
x1
c w2
.
等成本线的斜率为- w1/w2,,纵截距为c/w2.
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等成本线
x2
c” w1x1+w2x2 c’ w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
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等成本线
x2
斜率 = -w1/w2.
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成本最小化问题
对于给定的w1, w2 和 y, 厂商的成本最小化问 题就是求解
min w1x1 w2x2
x1 ,x 2 0
s.t. f (x1, x2 ) y.
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成本最小化问题
成本最小的最优解组合是：x1*(w1,w2,y) 和 x1*(w1,w2,y) ，是厂商在既定价格条件下，生 产给定产量产品的要素投入。也叫做这个企 业对投入品1和2的有条件的要素需求函数 （conditional demands for inputs 1 and 2）。 厂商生产y的最小可能成本（成本函数）为：
y y
y
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x*1(y) x*1(y)
x1
x*1 ( y )
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x*1 ( y ) x*1 ( y )
x*1
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要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
yy
y
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
yy
y
x*2(y) x*2(y) x*2 ( y )
1/3 y
.
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要素的条件需求曲线
（Conditional Input Demand Curves） x2 w1 、 w2不变
y y
y
x1
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要素的条件需求曲线
x2 w1 、 w2不变
y
y
x*2 ( y ) x*2 ( y ) x*2 ( y )
可以换一种间接的思考方法，把利润最大化问题 分割为两部分：首先，考虑既定产量下的成本最 小化问题（第20、21章）；然后，再研究最有利 可图的产量水平（第22章）。
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研究思路
第19章的思路（直接分析利润最大化）
生产函数
利润最大化
要素需求函数
供给函数
第20-22章的思路（间接的思考方法， 先研究既定产量下的成本最小化问
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成本最小化（Cost Minimization）
当厂商面对给定的要素价格
w = (w1,w2,…,wn) 总成本函数为：
c(w1,…,wn,y).
成本函数度量的是当要素价格为 (w1,w2,…,wn) ， 生产y单位产量时的最小成本!
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L w1x1 w2 x2 ( f (x1, x2 ) y)
对x1, x2 , 求导, 得到一阶条件:
w1
f
( x1 , x1
x2 )
0
w2
f
(x1, x2 ) x2
0
f (x1, x2 ) y 0
整理,并用第一个方程除以第二个方程, 就可以得到:
w1 f (x1, x2 ) / x1 w2 f (x1, x2 ) / x2
(b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率
即
在( x1*,
x2* )，
w1 w2
TRS
MP1 MP2
x2*
f(x1,x2) y’
x1*
x1
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成本最小化问题
相切条件的推导方法）： 1、直接代入法 2、拉格朗日法
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min x1, x2 w1x1 w2 x2 s.t. f (x1, x2 ) y 建立拉格朗日函数:
x*2 2x*1
.
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成本最小化：C-D技术的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
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成本最小化：C-D技术的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
由(b)可得,
x*2
c” w1x1+w2x2
c’ w1x1+w2x2
c’ < c”
x1
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等产量线
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
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f(x1,x2) y’ x1
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20
成本最小化问题
x2
所有产出为y’ 的投入要素的集合。 哪一个最便宜？
c(w1, w2, y) = w1x1*(w1, w2, y) + w2x2* (w1, w2, y).
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成本最小化问题
给定w1, w2 和 y, 如何确定最小成本的投入 组合1、2的位置？ 厂商的总成本函数如何计量?
比较消费者理论中的消费者最优选择问题！
（第5章）
30
成本最小化 Cobb-Douglas 的例子
生产给定产量成本最小化的投入要素组合 (x1*,x2*) 满足
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
(b)
w1 w2
y y
/ /
x1 x2
Βιβλιοθήκη Baidu
(1 / 3)(x*1 )2/3(x*2 )2/3 (2 / 3)(x*1)1/3(x*2 )1/3
2w1 w2
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
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成本最小化：C-D技术的例子
(a) y (x*1)1/3(x*2 )2/3
由(b)可得,
x*2
2w1 w2
x*1
.
(b)
w1 w2
x*2 2x*1
.
代入(a)得：
y
(x*1
)1/
3
2w1 w2
x*1
2/3
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成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f (x*1, x*2 ) y 且
(b) 等成本线的斜率等于等产量线的斜率
x2* x1*
f(x1,x2) y’ x1
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成本最小化问题
x2
在一个成本最小化的内点解上： (a) f (x*1, x*2 ) y 且