空间直线2--异面直线的概念及夹角

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【最新】异面直线定义把不同在平面内的两条直线叫做异面

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(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．由等角定理得∠BMC＝∠B1M1C1.
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法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形． ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形． ∴C1M1＝CM，又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
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[例2] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M， M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
[自主解答] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为 AD，A1D1的中点， ∴MM1綊AA1，又∵AA1綊BB1， ∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形．
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(2)连接A1C1，∵AA1C1C为平行四边形， ∴AC∥A1C1， ∴∠BA1C1是异面直线A1B与AC所成的角．连接BC1，△A1BC1是正三角形，∴∠BA1C1＝60°， ∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
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求异面直线所成角的基本步骤 (1)作——即据定义作平行线，作出异面直线所成的角，作平行线时，若遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线． (2)证——证明这个角或其补角即为所求的角． (3)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

异面直线夹角公式

异面直线夹角公式在几何中，异面直线夹角（Tangent Line Angles）是指两条不同直线交汇时产生的夹角。

它们通常被简写为TLA。

任意一条直线上的点可以与另一条直线上的任一点产生一个夹角，在不同的实例中，夹角的大小是不同的。

在矩形，正方形，平行四边形和正多边形的情况下，将两条不同的直线称为异面直线，它们之间有两个不同的夹角：边夹角和夹角。

边夹角是指直线的两个端点之间的夹角，而夹角是指两条直线之间的夹角，它们之间有一个共同的端点。

对于任意一个夹角，都可以用一个类似于异面直线夹角（TLA）公式来描述它：三角函数中的总共有三个关键因素：角度（α），角度（β）和边长（c），它们满足下面的关系：α + = 90°c2 = a2 + b2 2abcosαα = cos-1 ( (a2 + b2 c2) / 2ab )这里，α和β就是两条不同直线之间的边夹角和夹角，而c就是这两条直线之间的边长。

给定两条异面直线所构成的夹角，可以用这三种证明方法来找出其大小：1、使用“影子法”。

即可以用一条给定的直线（不同直线所影响的边）来表示第二条直线在第一条直线上的位置，然后根据它们之间的距离来估算夹角的大小。

2、使用“直角勾股定理”。

根据两条直线的端点，使用直角勾股定理来求解夹角的大小。

3、使用“延长线定理”。

设置两条延长线，以便延长线和第二条直线之间的距离来估算夹角的大小。

这里定义的异面直线夹角公式亦可用于计算平行四边形和正多边形中的夹角大小。

若已知两条异面的边的长度，可以使用上述的公式来求出相应的夹角。

此外，还可以使用异面直线夹角公式来解决其他几何问题，比如：1、求直线的斜率2、求三角形的外接圆的半径3、求两个不同的点之间的距离4、求不同直线之间的夹角5、求反三角形的边长从上面的定义可以看出，异面直线夹角公式可以用于求解不同形状几何问题中的夹角大小，从而使解决几何问题变得更加容易。

它也是数学中最古老的关于三角运算的方法之一，在今天仍然被广泛使用，同时也增加了我们对三角学的理解和认识。

空间的平行直线与异面直线

a
b
a’
O
α
O
α
a
a'
θ ∈(0,
π
2
]
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直如果两条异面直线所成的角是直角那么就说两条直线互相垂直. 线互相垂直
1.异面直线异面直线 2.异面直线所成的角异面直线所成的角
2'垂直如图, 哪些棱所在直线与直线哪些棱所在直线与直线AA 垂直? 例如图 (1)哪些棱所在直线与直线
已知两条异面直线a、经过空间任一点O, 已知两条异面直线、b, 经过空间任一点分别作直线a 所成的锐角(或直角或直角)叫做异直线 ' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角或直角叫做异，，面直线a、所成的角或夹角). 所成的角(或夹角面直线、b所成的角或夹角
b
θ
b’
θ ∈(0,
π
]
3.练习练习: 练习
1)若a、b是异面直线 b、c也是异面直线则a、c位置关若、是异面直线是异面直线, 、也是异面直线也是异面直线, 、位置关异面直线不具有传递性. 异面直线不具有传递性系是( 系是 A ) A. 相交、平行或异面相交、 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 2)直线和b是两条异面直线点A、C在直线上, 点B、D 直线a和是两条异面直线是两条异面直线, 在直线a上直线、在直线、在直线b上那么直线AB和一定是一定是( 在直线上, 那么直线和CD一定是 C ) A. 平行直线 B. 相交直线 C. 异面直线 D. 以上都可能
(2)求直线 ' 分别和 ' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数求直线BA 分别和CC 的夹角的度数. 求直线 D' 与直线AA 垂直的直线有: 解:(1)与直线 ' 垂直的直线有与直线 C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、、、、、 A' B' C' D' 、D' A' O (2)由BB'||CC', 可知 ∠B'BA'等于异面由 D 的夹角, 所以BA 直线 '与CC'的夹角所以 ' 与 C 直线BA CC' 的夹角为 °. 的夹角为45 A B BA'与DC' 的夹角为 °. 的夹角为90 BA' 与DC' 的夹角为 °. 的夹角为60 求角的一般步骤: 求角的一般步骤 1)找(作)角; 2)求角解三角形找作角求角(解三角形求角解三角形).

异面直线夹角取值范围

异面直线夹角取值范围异面直线指的是位于不同平面上的两条直线，其在三维空间中的夹角的取值范围可以在以下三种情况下讨论：1. 直线相交的情况下：当异面直线相交时，它们在三维空间中的交点可以视为共同的起点。

此时，两条直线围成了一个锐角和一个钝角。

具体的夹角取值范围如下：- 锐角：夹角在 0 到 90 度之间，即 $0<\\theta<\\frac{\\pi}{2}$。

- 钝角：夹角在 90 到 180 度之间，即 $\\frac{\\pi}{2}<\\theta<\\pi$。

2. 直线平行但不共面的情况下：当异面直线平行但不共面时，它们之间的夹角为零，即 $\\theta=0$。

3. 直线不相交也不平行的情况下：当异面直线既不相交也不平行时，它们之间的夹角可以通过向法线投影的方式求解。

具体来说，我们可以使用以下公式计算夹角：$$\\cos \\theta=\\frac{\\vec{n_1}\\cdot\\vec{n_2}}{\\left |\\vec{n_1} \\right |\\left |\\vec{n_2} \\right |},$$其中 $\\vec{n_1}$ 和 $\\vec{n_2}$ 分别为两条直线所在平面的法向量，$\\left |\\vec{n_1} \\right |$ 和 $\\left |\\vec{n_2} \\right |$ 分别为两个法向量的模长。

在这种情况下，夹角的取值范围为 $0<\\theta<\\pi$。

需要注意的是，在实际应用中，在使用上述公式计算夹角时，由于计算精度的限制，$\\cos \\theta$ 可能会略微大于 1 或小于 -1。

因此，在计算 $\\cos \\theta$ 值时，可能需要对其进行修正，以确保它落在 [-1, 1] 的范围内，从而避免由于精度问题导致的计算错误。

空间几何量的计算板块三异面直线所成的角学生版

空间几何量的计算板块三异面直线所成的角学生版异面直线是空间几何中的基本概念之一，也是解题时常需要考虑的情况。

在空间几何中，我们经常需要计算异面直线所成的角度，这一方面能够帮助我们解决实际问题，另一方面也有助于我们深入理解异面直线的性质和特点。

本文将为大家介绍异面直线所成角的计算方法和应用。

首先，我们需要明确什么是异面直线。

异面直线是指在空间中不在同一个平面上的两条直线。

异面直线有一些独特的性质，如不相交、不平行等，但与平面几何不同的是，两条异面直线之间的夹角不再是常见的钝角、直角或者锐角，需要一些特殊的方法来计算。

计算异面直线所成角的方法有很多种，下面将分别介绍三种常见的计算方法。

第一种方法是通过投影法来计算异面直线所成角。

首先，将两条异面直线的方向向量分别投影到它们之间的公垂线上，得到它们在公垂线上的投影向量。

然后，计算这两个投影向量之间的夹角，即可得到异面直线所成角的大小。

这种方法适用于直线的方向向量已知的情况。

第二种方法是通过坐标法来计算异面直线所成角。

对于已知的两条异面直线，我们可以选择其中一条直线为基准直线，建立直角坐标系，并在该直线上选择一个点作为坐标原点。

然后，根据已知直线的方程，确定基准直线上的一个单位向量。

接下来，计算另一条直线与基准直线的夹角，即可得到异面直线所成角的大小。

这种方法适用于直线的方程已知的情况。

第三种方法是通过向量法来计算异面直线所成角。

向量法是一种比较常用的计算异面直线所成角的方法。

首先，我们可以求解两条异面直线的方向向量，并计算它们之间的夹角。

然后，利用向量的点积和模长等基本运算，可以得到异面直线所成角的大小。

这种方法适用于直线的方向向量已知或两点确定的情况。

除了上述的计算方法，我们还可以通过解析几何等其他方法来计算异面直线所成角。

无论采用哪种计算方法，都需要对空间直线的性质有一定的了解，并学会将题目中的问题抽象成数学模型，进而计算出异面直线所成角的大小。

异面直线所成角的计算方法不仅仅限于学术的计算，还可以应用于实际问题的解决。

异面直线所成角的定义

异面直线所成角的定义
异面直线是指不在同一平面内的两条直线，它们的交点是一个点，这个点不在它们所在的平面内。

而异面直线所成角则是指这两条异面直线之间的夹角。

在三维空间中，我们可以通过向量的概念来理解异面直线所成角。

两条异面直线可以看作是两个不同的向量，它们的夹角就是这两个向量之间的夹角。

这个夹角可以通过向量的点积来计算，公式为：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，a和b分别是两个向量，|a|和|b|分别是它们的模长，θ是它们之间的夹角。

需要注意的是，由于异面直线不在同一平面内，因此它们之间的夹角是没有方向的。

也就是说，无论我们从哪个方向来看这两条直线，它们之间的夹角都是相同的。

异面直线所成角在几何学中有着广泛的应用。

例如，在计算两个物体之间的夹角时，我们可以将它们的边界看作是由异面直线组成的，然后计算它们之间的夹角。

这个夹角可以帮助我们判断两个物体之间的相对位置，从而更好地进行设计和制造。

在计算空间中的角度时，异面直线所成角也是一个重要的概念。

例
如，在计算两个平面之间的夹角时，我们可以将它们的法向量看作是两条异面直线，然后计算它们之间的夹角。

这个夹角可以帮助我们判断两个平面之间的相对位置，从而更好地进行建模和渲染。

异面直线所成角是一个重要的几何概念，它在三维空间中有着广泛的应用。

通过理解和掌握这个概念，我们可以更好地理解和应用空间几何学的知识。

空间直线间的夹角

x
(A)
y O D
B
C
因为A(0,0,0),C1(2,1,3),A1(0,0,3),D(0,1,0) 所以AC1 (2,1,3), A1D (0,1, 3). z
因此 cos s1 , s2
8 0 140
s1 s2 | s1 || s2 |
自主探究
活动:请同学们阅读P43例1之前的内容，回答下列问题:
1、画一画：两条直线l1和l2的夹角与方向向量 s1 和 s2 的夹角 s1 , s2 有什么关系？ 2、想一想：请说出两条直线l1和l2的夹角与方向

向量 s1 和 s2 的夹角 s1 , s2 的具体关系？
A.

6
B.

3
C.

4
D.

2Hale Waihona Puke 课堂小结本节课我们学会了那些知识？有什么收获？
当两条直线l1与l2是异面直线时, 在直线l1上任取一点A作AB//l2 我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角.
l2 B A
l1
C
创设情境
如何利用向量法解决空间中两条直线间的夹角问题呢？空间直线由一点和一个方向确定,所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.
北师大版选修 2-1
§5.1 直线间的夹角
知识回顾
空间中直线与直线之间的位置关系
（1）当直线l1与l2共面时，两条直线的夹角的范围。
（2）异面直线所成的角。
当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中，范围在两直线的夹角
l1 l2 A C B
0， 2
内的角叫作

高二数学异面直线及其夹角

O, P c O, M a 即直线 a, b, c 共面，与已知直线 a, b, c 不共面矛盾．所以直线MN与PQ异
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A B
点A 平面

点B
B 直线l
直线AB与l异面.
例4．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数． A B a 解:连结AC,并取AC中点P,连结EP,FP. P F E b ∵E为AD中点，∴EP∥DC. C ∵F为AD中点，∴FP∥AB. ∴∠EPF(或其补角)为异面直线a与b所成的角。 △ABC中，EF=7cm，EP=5cm，FP=3cm。由余弦定理EF2=EP2+FP2-2EP· FPcos∠EPF，解得cos∠EPF=取中点 0.5,∴∠EPF=120º ．故其补角60º 为异面直线a与b所成的
演示
空间的两条直线有三种位置关系：
相交共面平行唯一公共点记为：a∩b=A.
无公共点记为：a∩b=φ .
异面
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
b b

b

a

a

a
例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直线a，b上，那么正确的结论是（ C ） A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
点C 平面AA1 B1 B.
D
C
A

异面直线所成角定义

异面直线所成角定义1. 什么是异面直线？异面直线是在三维空间中的直线，它们既不共面也不互相平行。

2. 异面直线的性质异面直线上的任意两条线段，它们之间的夹角都是锐角、直角或钝角。

我们可以利用向量和点的坐标进行计算，来确定异面直线所成的角的类型。

2.1 向量判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s其中(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)为两条直线的方向向量。

两条异面直线不共面，即方向向量(a1, b1, c1)和(a2, b2, c2)不互相平行。

2.2 利用点坐标判断异面直线设两条直线的参数方程分别为：L1: x = x1 + a1t, y = y1 + b1t, z = z1 + c1tL2: x = x2 + a2s, y = y2 + b2s, z = z2 + c2s设点P1(x1, y1, z1)为直线L1上的一点，点P2(x2, y2, z2)为直线L2上的一点。

若点P1和点P2不在一条直线上，则直线L1和直线L2异面。

3. 异面直线所成的角的定义异面直线L1和L2上的点A和B，它们与两条直线的交点分别为C和D，连接线段AD和BC。

定义：异面直线L1和L2所成的角是线段AD和BC之间的夹角。

4. 异面直线所成角的计算方法异面直线L1和L2所成的角，可以通过两条直线的方向向量来计算。

设L1的方向向量为(a1, b1, c1)，L2的方向向量为(a2, b2, c2)。

计算方式：cosθ = |a1a2 + b1b2 + c1c2| / √(a1^2 + b1^2 + c1^2) *√(a2^2 + b2^2 + c2^2)其中，|a1a2 + b1b2 + c1c2|表示两个向量的点积的绝对值。

通过求解得到的角的余弦值，我们可以判断异面直线所成的角是锐角、直角还是钝角。

空间异面直线夹角公式

空间异面直线夹角公式是一个重要的数学概念，它可以用来计算两条不同平面上的直线之间的夹角。

这个公式最初是由法国数学家埃尔文·德·拉斐尔在1822年发明的，他将它命名为“拉斐尔夹角”。

该公式表明，如果在三维空间中有两条不同平面上的相交直线l1和l2，则它们之间的夹角α可以通过如下方法来表述：α=arccos[(u1•u2)/(|u1||u2|)]。

其中u1和u2是l1和l2的单位法向量。

该公式也可用于测量三维物体上不同面之间的夹角。

例如：当我们想要测量一个立方体上A、B、C、D四个面之间的夹角时（A、B、C属于一平面内部而D属于另一平面内部)；我们可以使用该公式来测量ABCD四者之间所形成的夹角大小。

此外，该公式也常常应用在几何学中寻找物体表面上不同区域之间所形成的几何形态时使用。

例如:我们想要测量一个球体表面上A,B,C,D四者所形成几何形态时;我们也能使用该公式来得出ABCD四者之前所形成几何彩态大小.
总而言之：空闲异面直线夹角具有很好应电力能力;它能帮助人们快速有效计算三庭物理对象中不各化化郭勇气员已前所生样子大尊;这样人士便能快速有效获得想要信息.。

高中数学空间的角的计算

面-线-面
0，2
语言叙述
二面角半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角. 如图， l 是平面的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面内的射影， POA 就是直线 l 与平面的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别：构成范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A

异面直线及其夹角 PPT课件 6 人教课标版

D
C
点 C 平A面 1B A 1B .
A
B
∴直线AC与A1B为异面直线．
练习2:
已知α∩β＝a，b⊂β，且b∩a＝A，c⊂α，且c∥a.求证：b 和c是异面直线．
证明：证法1：如右图，因为α∩β＝a，b∩a＝A，所以A∈α，又c⊂α，c∥a. 所以A∉c，在直线b上任取一点B (不同于A)，则B∉α.所以b，c是异面直线．
2
AF 3 a, AP 2EC 3a.
2
P
PA中 F应用余 ,得 c弦 o sP定 A理 F2.
3
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
2 3
E D
C
课堂练习1：如图，P为Δ ABC所在平面外一点，
PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：EF与PC为异面直线；
不能理解为:“分别在两个平面内的两直线为异面直线”.
演示
练习1、
１.下面两条直线是异面直线的是（C）
A.不同在一个平面内的两条直线； B.分别在某两个平面内的两条直线； C.既不平行又不相交的两条直线； D.平面内的一条直线和平面外的一条直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
A
a
(1)
a
b
(2)
b

(3)
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例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直
线a，b上，那么正确的结论是（ C ）
A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线

空间中的异面直线及其夹角

说明：在具体图形中也可以取其中一条上的一点作另一
条的平行线。如右图。
b
b’
b

a

a’
O

O a'
a
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说
两条直线互相垂直.
是说两条直线垂直不是两
条异面直线垂直！
异面直线所成角的范围： (0, ]
2
3.例题讲解
例如图, (1)哪些棱所在直线与直线AA'垂直?
A
B
相交
2)空间两条直线的位置关系: 平行
b a
l
异面
1.异面直线
1)定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线2).空间两条直线的位置关系: 相交、平行、异面.
3)异面直线的判定方法: 连结平面内一点与平面外一点的直线, 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
A
l
B

D'
b
所成的角; 所成角的余弦.
D1
O1
C1
A1
B1
D A
C
O
B
2、在空间四边形ABCD中，E,F分别是边BD，AC的中点，已知BC=4，AD=4，EF=3,求EF与BC所成的角
A
F
D
E
G
B
C
4.小结
(1)异面直
线异直线的判定: 异面直线的判定方法.
(2)异面直线所成角 (0,

]
2
求异面直线所成角的方法: 1)找(作)角; 2)求
C'
A'
B'
l
a
D
C
A
B

空间中线线角、线面角、面面角成法原理及求法思路

DBA Cα空间中的夹角空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。

1、异面直线所成的角〔1〕异面直线所成的角的围是]2,0(π。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。

具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用解三角形来求角。

简称为“作，证，求〞2、线面夹角直线与平面所成的角的围是]2,0[π。

求直线和平面所成的角用的是射影转化法。

具体步骤如下：〔假设线面平行，线在面，线面垂直，那么不用此法，因为角度不用问你也知道〕①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

也是简称为“作，证，求〞注：斜线和平面所成的角，是它和平面任何一条直线所成的一切角中的最小角，即假设θ为线面角，β为斜线与平面任何一条直线所成的角，那么有θβ≤；〔这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。

在右图的解释为BAD CAD∠>∠〕〕2.1确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；：如图，BAC∠在一个平面α，,,PN AC PM AB PN PM⊥⊥且＝〔就是点P到角两边的距离相等〕过P作POα⊥〔说明点O为P点在面α的射影〕求证：OAN OAM∠∠＝〔OAN OAM∠∠＝，所以AO为BAC∠的角平分线，所以点O会在BAC∠的角平分线上〕证明：PA＝PA，PN＝PM，90PNA PMA∠∠︒＝＝PNA PMA∴∆≅∆〔斜边直角边定理〕AN AM∴＝①(PO NO MO PN PM α⊥⎫⇒=⎬⎭斜线长相等推射影长相等）＝ O AN AM AO AO AMO ANO NAO MAO OM N ⎫⎪⇒∆≅∆⇒∠∠⎬⎪⎭＝＝＝＝所以，点P 在面的射影为BAC ∠的角平分线上。

异面直线所成的角定义

异面直线所成的角定义好吧，今天咱们聊聊“异面直线所成的角”这个概念。

说实话，听到这个词，很多人可能就感觉像吃了几斤榴莲一样，心里一阵发毛，觉得这东西又深奥又复杂。

别紧张，咱们可以把它捋得简单点。

想象一下，咱们生活中处处都有线条，无论是路上的马路、楼房的墙壁，还是你家里的书架。

都是由一根根直线构成的。

而这些直线之间的关系，往往就像朋友之间的关系一样，有的亲密无间，有的则是有些疏远。

那什么是异面直线呢？简单说，就是在三维空间中，根本不在同一平面上的两条直线。

就好像两个人在不同的楼层聊天，一个在二楼，一个在三楼，这两条直线在空间中就找不到交点，绝对没戏。

再来谈谈它们成的角，听着就觉得很神秘。

异面直线之间的角就像人际关系里的“默契度”，虽然看不见，但却能感受到。

你想啊，两个好朋友，他们的相处方式，就好像两条直线，虽然不在同一个平面上，却能找到一个合适的角度，形成一种独特的交流。

你在和朋友打游戏的时候，可能会发现，你们的思维方式有时候就像是两条异面直线，表面上没有交集，但却能找到彼此心灵的共鸣。

这个角度，不好形容，只有在心里才能理解。

说到这里，可能有人会问，怎么能量化这种“角度”呢？这时候，就得借助一些数学工具了。

我们可以用一些公式来计算出这两个直线之间的夹角，像是用向量去描述它们的方向。

这就好比你用GPS定位，想知道两个地方之间的距离和方位，虽然复杂，但其实就是在找一种“关系”。

想象一下，你在跟朋友聊电影，一开始你们各说各的，但最后慢慢地，你们的讨论又找到了一种共同的理解，形成了一个奇妙的角度。

而这个角度，虽然在数学上可能看起来很枯燥，但在生活中却充满了戏剧性。

比如说，两条异面直线在空间里，可能有着某种奇妙的连结，这种连结就像人们的命运。

有时候你觉得两个人完全不可能在一起，但他们却能在某个瞬间找到共鸣。

这就是人生的奇妙之处，不是吗？异面直线的角度也提醒我们，生活中不要只看表面。

就像朋友之间，有时候一个小小的误会就可能造成很大的隔阂。

空间向量求异面直线夹角公式

空间向量求异面直线夹角公式向量的内积是一种运算，表示两个向量的相似程度。

对于两个向量A和B，它们的内积记作A·B。

在空间中，向量的内积有以下性质：1. A·B = ，A，B，cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。

2.如果A·B=0，则A和B垂直。

3.如果A·B>0，则A和B夹角小于90度；如果A·B<0，则A和B夹角大于90度。

了解了向量的内积性质后，我们可以用这个性质来求解异面直线夹角。

假设有两条异面直线L1和L2，分别可以用参数方程表示为：L1:r=a+λmL2:r=b+μn其中a和b分别为L1和L2上的一点，m和n分别为L1和L2的方向向量，λ和μ为参数。

首先，我们可以构造一个过L1和L2上任意两点的平面P，该平面可以用一个法向量p来表示。

其中，p=m×n，即p为m和n的叉积。

然后，我们可以利用向量的内积性质来求解夹角。

对于平面P上的任意向量h，它可以表示为h=r-a，其中r是平面P上的任意一点。

由于向量m和n都与平面P垂直，所以有m·h=0和n·h=0。

将h代入m·h=0和n·h=0的式子中，可以得到以下两个等式：m·(r-a)=0n·(r-b)=0将L1和L2的参数方程代入上述等式中，可以得到：m·(a+λm-a)=0n·(b+μn-b)=0简化上述等式后，可以得到：m·mλ=0n·nμ=0进一步简化等式，可以得到：λ(m·m)=0μ(n·n)=0由于m·m和n·n都是非零向量的长度的平方，所以它们不会等于零。

因此，上述等式只有当λ=0或μ=0时成立。

如果λ=0，则L1上的点r=a；如果μ=0，则L2上的点r=b。

这意味着两条直线相交，而不是异面。

因此，我们需要排除以上情况，即λ≠0和μ≠0。

两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义

两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义前言：立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。

考点一：两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是。

向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= 点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。

构成向量CD AB ,。

><⋅>=<CD AB CDAB CD AB CD AB ,,,cos 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。

随堂练习：1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．10153、如图1－6，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.图1－6(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值．考点二：直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是。

向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为 |c o s |________θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.AP 与平面α的法向量n 所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。

空间两条直线的位置关系——异面直线

空间两条直线的位置关系
----异面直线
定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
问题1: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB 与A1C具有怎样的位置关系？
异面即:不共面(不平行又不相交)? 问题2: 为何不共面(不平行也不相交)? D1 C1 B1 A
1
D A B
C
D1
β
b β b a β b α a α
α
a
问题３：
AB与BC是相交直线，AC与BC也是相交直线，它们之间又有什么区别？
D1 C1 B1 A1
所成角不同
D C B
A
问题4：直线AB与B1C1,直线A1C1与BC,
都是异面直线.它们有什么区别？
D1 A1 C1
B1
所成角不同
D A
B C
定义：异面直线所成的角
a,b是两条异面直线,经过空间任意一点 o,分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直线a1和 b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b 所成的角 b b
b
1
α
a
Ｏ
a1
α
a1 a
点o常取在两条异面直线中的一条上
可以得出如下的结论: ①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点 O的位置选取无关. ②两条异面直线所成的角的范围 0o＜θ≤900； ③ 找两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角； ④若两条异面直线a,b所成角是直角,则称这两条异面直线互相垂直，记a⊥b
A1
B1
C1
A B α
D A B
C
假设AB与A1C共面,过点C和AB的平面只有一个. 所以直线A1C和AB都应在ABCD内. 于是点A1在平面ABCD内. 这与点A1在平面ABCD外矛盾，所以直线A1C和AB是异面直线.

2.1.2空间中异面直线夹角

2.1.2 空间中异面直线的夹角
1.空间两条直线的位置关系：共面直线平行直线同一平面内，没有公共点。
相交直线同一平面内，有且只有一个公共点。
异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。
2.异面直线的判定 (1)、定义法

·
A
a
B
(2)、判定定理
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
因为 B BA 45 B A 所以与CC 的夹角为 45 ．
C
B
D
C
A
B
练习1
在如图所示的长方体中，AB= 3 ，且
AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.
D1
C1
A1
B1
D
A
C
B
30
O
练习
已知正方体 ABCD ABC D，求下列异面
直线所成的角
C' D' D A' C A B D
B'
D'
C' A' C A
B' B
∠ADC=∠A′D′C′
∠ADC+∠B′A′D′=1800
定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
AC // AC , AB // AB
C C
A
C
B
A
B

A
B

B
A
C
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对Байду номын сангаас平行且方向相同，那么这两个角相等.
b b 根据等角定理可知， a′与b′所成角的大小与点 O的 b 在异面直线所成角的 a 位置无关．定义中，角的大小与 O a a a 但是为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上， O 点o的位置有关系吗特别是这一直线上的某些特殊点(如线段的端点、中点等 )．

空间直线异面直线的概念及夹角

空间直线2--异面直线的概念及夹角空间直线与直线的位置关系(二)教学目标： 1. 理解异面直线的定义，会画出两条异面直线；2．理解异面直线所成的角；3. 初步了解反证法。

教学重点：异面直线所成的角概念教学难点：异面直线所成的角概念教学过程：一. 引入:提问：请叙述“公理4”和“等角定理”我们知道：公理4可以用来证明空间两条直线平行；等角定理用来判定空间中两个角相等。

那么我们就把在同一平面中的“平行直线的传递性” 和等角定理，推广到空间。

那么空间中，任意的两条直线的位置关系该如何界定呢二. 新课（1）定义由平面几何知识我们知道：在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交。

那么我们就把“不能置于同一平面的两条直线l 1, l 2叫做异面直线”。

怎么理解“不能置于同一平面” 不同在任何一个平面内。

请在教室内，找一找异面直线（2）画法在作两条异面直线的直观图时，为了使它们有“异面”的视觉效果，有时需要借助于辅助平面来表示。

见课本P10b例1：课本P10 例2 反证法证明两条直线是异面直线。

（3）异面直线所成的角在长方体中找与同一条棱异面的两条棱，那么这两对异面直线的相对位置是不同的。

我们如何进一步区分，如何寻找一个合适的几何量来刻划两条异面直线之间的相对位置（及远近距离）呢（角）问题1、两条直线相交就构成角，而两条异面直线不相交哪来的“角”呢如何规定两条异面直线所成的角呢问题2、能否找出两条相交直线所成的角来刻划两条异面直线所成的角呢根据等角定理这些角都相等，因此，这样作出的角是合理的，唯一的。

归纳：①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置关系决定的，与角的顶点O 的位置的取法无关。

②正因为点O 的位置可以任意选取，这就给我们确定两条异面直线所成的角带来了方便，在运用时，为了简便，可以把点O 取在两条异面直线中的其中一条上，甚至取在其中一条的一个已知或特殊点上。

③要找到两条异面直线所成的角，关键是经过平移把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的锐角（或直角），因此，若两条异面直线所成的角为θ，则0 <θ≤90 。