椭圆定义及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程
（3）已知两圆 C1：(x－4) ＋y ＝169，C2：(x＋
2 2
2
2
4) ＋y ＝9，动圆和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求 动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M
和内切于圆 C1， ∴|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的 定义
距离之和等于常数
(大于| F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞| F1F2|}
焦点 焦距 集合语
言
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
解： 设圆 P 的半径为 r ，又圆 P 过点 B ， ∴ |PB| ＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系 xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c ＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点 A
的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 15 5 y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞ b＞ 0)．依题 a b
椭圆及其标准方程
例： ( 1 ) 已知 F ， F 是两定点， F F 6 ，动点 M 满足 1 2 1 2
线段 MF MF 6 ，则动点的轨迹为 ___ 1 2
(2 ) 已知 A （ -1 ,0 ）， B ( 1 ,0 ), M 是一个动点 M 到 AB 两点的距离之和为 6 ，
椭圆 则 M 的轨迹为 ______
3 2 2
+
2 5 +2 2
+
3 2 2
+
2 5 -2 =2 2
10.即
������2 ������2 ∴ 所求椭圆的方程为 + =1. 10 6
反思根据已知条件,判定焦点的位置,设出椭圆的方程是解决此
题的关键.
“神五”飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，地 球半径为R公里，飞船的近地点距地球地面200公里，远 地点距地球地面350公里，则飞船的椭圆轨道的标准方程 为——
♦自然界处处存在着椭圆,我们如
何用自己的双手画出椭圆呢?
先 回 忆 如 何 画 圆
·
· F
1
·
F2
一、椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：
• 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于定长 (2a)（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
• 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 • 两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。
������2 ������2 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0). 25 16
【典型例题 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点 P 到两焦点的 距离的和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - ,
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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆定义及其标准方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
F1
2
2
y
M
o
F2
x
x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 25 9 1
例2椭圆的两个焦点的坐标
分别是（ - 2,0），（ 2,0），
5 3 并且经过点（ ,- ), 求椭圆的标准方程。 2 2
x2 y2 1 10 36
变式：焦点在y轴上，且经过点 的椭圆的标准方程 x 2 y2
x y (2) 1 答：在 144 169
2 2
2
2
y 轴。（0，-5）和（0，5）
判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则： 哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.
Y
Y
M
M
F2(0 , c) X O F1(0,-c) X
F1 (-c,0)
2 2
O
F2 (c,0)
x y 2 1(a b 0) 2 a b
O
F2
x
设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、 F2的距离的和等于常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。
由定义知：
MF1
MF1 MF2 2a
(x c )2 y 2
MF2
(x - c )2 y 2
2a
2
(x c )2 y 2 (x - c )2 y 2
D F2 C O F1 X
题型二：求标准方程
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
椭圆及其标准方程
2．2 椭 圆2．2.1 椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景，理解从具体情境中抽象出椭圆的过程．2.掌握椭圆的定义与标准方程．3．通过对椭圆及其标准方程的学习，了解用坐标法研究曲线的基本步骤．, [学生用书P24])1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹． (2)焦点：两个定点F 1，F 2.(3)焦距：两焦点间的距离|F 1F 2|.(4)几何表示：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (常数)且2a ＞|F 1F 2|.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．( ) (2)椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关．( )(3)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a 2＝b 2＋c 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D3．已知两焦点坐标分别为(2，0)和(－2，0)，且经过点(5，0)的椭圆的标准方程为( ) A ．x 216＋y 225＝1B ．x 225＋y 216＝1C ．x 225＋y 221＝1D ．x 29＋y 225＝1答案：C4．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是________．答案：(0，±12)5．下列命题是真命题的是________(将所有真命题的序号都填上)．①已知定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)距离相等的点的轨迹为椭圆；④若点P 到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和等于点M (5，3)到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和，则点P 的轨迹为椭圆．解析：①因为2＜2，所以点P 的轨迹不存在；②因为|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3，0)距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)；④因为点M (5，3)到定点F 1(－4，0)，F 2(4，0)的距离的和为410＞8，所以点P 的轨迹为椭圆．故填②④.答案：②④求椭圆的标准方程[学生用书P25](1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程．【解】 (1)法一：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知 2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋ ⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322＝210， 所以a ＝10.又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. 因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.法二：设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧254a 2＋94b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝10，b 2＝6.所以所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.(2)法一：当椭圆的焦点在x 轴上时，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)因为椭圆经过两点(2，0)，(0，1)， 所以⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，与a ＞b 矛盾，故舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． 因为椭圆过(2，0)和(0，1)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可．即“先定位，后定量”．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a ＞b ＞0这一条件．(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．因为2a ＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c ＝6，所以a ＝5，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝52－3＝16.所以所求椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为2a ＝26，2c ＝10，所以a ＝13，c ＝5.所以b 2＝a 2－c 2＝144.所以所求椭圆标准方程为y 2169＋x 2144＝1.椭圆定义的应用[学生用书P25]已知P 为椭圆x 212＋y 23＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【解】 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43， 即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② 由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4. 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3.1．[变条件]若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠F 1PF 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解：由椭圆x 212＋y 23＝1知|PF 1|＋|PF 2|＝43，|F 1F 2|＝6，因为∠F 1PF 2＝90°，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝36， 所以|PF 1|·|PF 2|＝6， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝3.2．[变条件]若将本例中“∠F 1PF 2＝60°”变为“∠PF 1F 2＝90°”，求△F 1PF 2的面积． 解：由已知得a ＝23，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝12－3＝3.从而|F 1F 2|＝2c ＝6. 在△PF 1F 2中，由勾股定理可得 |PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋36，又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×23＝43， 所以|PF 2|＝43－|PF 1|.从而有(43－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋36.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×6＝332，即△PF 1F 2的面积是332.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解．已知AB 是过椭圆49x 2＋y 2＝1的左焦点F 1的弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝4，其中F 2为椭圆的右焦点，则|AB |＝________．解析：由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝6. 所以|AF 1|＋|BF 1|＝6－4＝2，即|AB |＝2. 答案：2求与椭圆有关的轨迹方程[学生用书P26]如图所示，已知动圆P 过定点A (－3，0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 设动圆P 和定圆B 内切于点M ，动圆圆心P 到两定点A (－3，0)和B (3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8＞|AB |，所以动圆圆心P 的轨迹是以A ，B 为左，右焦点的椭圆，其中c ＝3，a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝42－32＝7，其轨迹方程为x 216＋y 27＝1.利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解：以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4，0)，C (4，0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，c ＝4，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．1．对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视． (2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a )必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．对椭圆标准方程的两点认识(1)标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴或y 轴上．(2)标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于x a 与yb 的平方和，并且分母为不相等的正值．注意：焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同． 3．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法(代入法)有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．注意：求轨迹方程时注意求得的方程中的自变量的取值范围．1．“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若动点的轨迹为椭圆，则根据椭圆的定义，得平面内一动点到两定点的距离之和为一定值．平面内一动点到两定点的距离之和为一定值时，动点轨迹的情况有三种．所以“平面内一动点到两定点的距离之和为一定值”是“这个动点的轨迹为椭圆”的必要不充分条件．2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 解析：选D.由椭圆方程知a ＝5，根据椭圆定义有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.3．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9解析：选B.由4＝25－m 2(m >0)，解得m ＝3.4．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则m 满足的条件是______．解析：由方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，2m －1>0，m ≠2m －1，解得m >12且m ≠1.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m >12且m ≠1 5．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．解：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点P (3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋（15）2b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1.② 由①②得a 2＝36，b 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1., [学生用书P105(单独成册)])[A 基础达标]1．平面内，若点M 到定点F 1(0，－1)，F 2(0，1)的距离之和为2，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．直线F 1F 2 C ．线段F 1F 2 D ．直线F 1F 2的垂直平分线解析：选C.由|MF 1|＋|MF 2|＝2＝|F 1F 2|知，点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.2．方程x 2k －4＋y 210－k ＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(4，7)C ．(7，10)D ．(4，10)解析：选C.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k －4>0，10－k >0，k －4>10－k ，所以7<k <10.3．(2017·郑州高二检测)椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．32解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即|MF 1|＝2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，所以|MF 2|＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点，所以|ON |＝12|MF 2|＝4.4．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 212＋y 29＝1B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1解析：选B.由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝ 3. 因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， 所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的焦点F (1，0)，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|＝( )A ． 3B ．2C ． 2D ．3解析：选C.如图所示，设l 与x 轴交于点A 1，过B 点作x 轴的垂线BB 1，交x 轴于点B 1，设|AF →|＝t ，则|FB →|＝t 3，得：|AA 1→|＝t 2－1，|BB 1→|＝t 2－13，|FB 1→|＝13，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，t 2－13， 代入椭圆方程得：⎝⎛⎭⎫4322＋t 2－19＝1，得：t ＝ 2.6．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．解析：由已知2a ＝8，2c ＝215， 所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1. 又椭圆的焦点在y 轴上， 所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝17．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________，∠F 1PF 2的大小为________．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝6，且|PF 1|＝4，知|PF 2|＝2. 在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝－12.所以∠F 1PF 2＝120°.答案：2 120°8．已知椭圆的焦点F 1，F 2在x 轴上，且a ＝2c ，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆的标准方程为________．解析：根据椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，则a ＝4，因为a ＝2c ，所以c ＝22，则b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.故椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.答案：x 216＋y 28＝19．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C .求C 的方程．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1，0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点的椭圆(点x ＝－2除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)． 10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142. 解：(1)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆经过点(0，2)和(1，0)， 所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.所以所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与a >b >0矛盾，舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1， 解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14， 所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. [B 能力提升] 11．(2017·唐山高二检测)已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，因为|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32. 又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2，即∠MF 2F 1＝90°，所以△MF 1F 2为直角三角形．12．已知椭圆C 1：mx 2＋y 2＝8与椭圆C 2：9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则m 的值为________． 解析：将椭圆C 1化成标准方程为x 28m＋y 28＝1， C 2化成标准方程为x 21009＋y 24＝1. 设椭圆C 2的焦距为2c ，则c 2＝1009－4＝649. 当椭圆C 1的焦点在x 轴上时，因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦距相等． 所以8m －8＝649，解得m ＝917. 当椭圆C 1的焦点在y 轴上时，因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦距相等． 所以8－8m ＝649，解得m ＝9. 综上可知，m ＝9或m ＝917. 答案：9或91713. 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△POF 2为面积是3的正三角形，试求椭圆的标准方程．解：由△POF 2为面积是3的正三角形得，|PO |＝|PF 2|＝|OF 2|＝2，所以c ＝2. 连接PF 1，在△POF 1中，|PO |＝|OF 1|＝2，∠POF 1＝120°，所以|PF 1|＝2 3.所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2＋23，所以a ＝1＋3，所以b 2＝a 2－c 2＝4＋23－4＝2 3. 所以所求椭圆的标准方程为x 24＋23＋y 223＝1. 14．(选做题)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求|PF 1|·|PF 2|的最大值．(2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF →1＝λ CF →1，求λ的值．(3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值．解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3， 即|F 1F 2|＝23，又因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫422＝4，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝2时取“＝”，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)，由BF →1＝λ CF →1得x 0＝3（1－λ）λ，y 0＝－1λ. 又x 204＋y 20＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0， 解得λ＝－7或λ＝1，C 异于B 点，故λ＝1舍去．所以λ＝－7.(3)因为|PF 1|＋|PB |＝4－|PF 2|＋|PB |≤4＋|BF 2|，所以△PBF 1的周长≤4＋|BF 2|＋|BF 1|＝8，所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，△PBF 1周长最大，最大值为8.。
椭圆及其标准方程
第一节 椭圆1．椭圆的定义(1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．（2）第二定义：)10(,||<<=e e dPF注：第二定义中焦点与准线应对应2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx a y ，其中a ，b 满足： ．说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(122n m n m nymx≠>>=+适用于焦点位置未知的情形（4）参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对12222=+by ax ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；(4)离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】1．若方程11322=-+-k ykx为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是43，则此椭圆的标准方程是_____________3．若椭圆1222=+myx的离心率为21，则实数=m ______4．已知21,F F 为椭圆1422=+yx的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2∆的周长为______85．已知椭圆121622yx+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则|ON|的长等于 .1 【例题讲解】例1：根据下列条件求椭圆方程（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率55=e ；（3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（4）中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，经过两点)2,3(),1,6(21--P P 小结：求椭圆的方法 例2：（1）椭圆1162522=+yx上一点P 到它的左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆右准线的距离为_________（2）已知21,F F 是椭圆148:22=+yxC 的焦点，在C 上满足21PF PF ⊥的点P 的个数为________2小结：（3）椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，这个椭圆的方程是_________________1129,19122222=+=+yxyx（4）已知椭圆192522=+yx的焦点21,F F ，P 是椭圆上一点，9021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式1： 6021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式2：θ=∠21PF F ，则=∆21PF F S _______变式3：已知椭圆12222=+bya x的焦点21,F F ，椭圆上存在一点P ，使6021=∠PF F ，则离心率e 的取值范围是____________ 例3：关于离心率的运算（1）设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点B A ,，若1ABF ∆为正三角形，则椭圆的离心率为_________ （2）在平面直角坐标系中，椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .（3）在ABC ∆中，187cos ,-==B BC AB ，若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e=(4) 以椭圆12222=+by ax 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则e 的取值范围是_______________1215<<-e小结： 例4：（最值问题） （1）设P 是椭圆1162522=+yx上任意一点，F A ,分别为椭圆的左顶点和右焦点，则AFPA PF PA ⋅+⋅41的最小值为________-9变式：P 为椭圆13422=+yx上任一点，A 为右顶点，B 为下顶点则AB PA ⋅最大值为________（2）椭圆1162522=+yx内有两点)0,3(),2,2(B A P 为椭圆上一动点则||35||PB PA +的最小值为____319变式：若)0,3(-C 则||||PC PA +最大值为__________510+例5：设椭圆()22221,0x y a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率2e =，点2F 到右准线为l 的距离为1）求,a b 的值；（2）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ⋅=，证明：当M N 取最小值时，12220F F F M F N ++=。
椭圆的公式标准方程
椭圆的公式标准方程椭圆是一种常见的二次曲线，其形状类似于一个被拉伸的圆。
椭圆是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
椭圆的公式标准方程是描述椭圆特征的数学表达式，本文将详细介绍椭圆的公式标准方程及其相关知识。
首先，我们来了解一下椭圆的基本概念。
椭圆是一个平面上的封闭曲线，其上的每个点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆的形状可以用离心率来描述，离心率是焦点到中心距离与长轴长度之比的绝对值。
椭圆的公式标准方程是一般二次曲线方程的特殊形式，具有以下表达式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中，(h, k)代表椭圆中心的坐标，a表示椭圆长轴的长度的一半，b表示椭圆短轴的长度的一半。
椭圆的公式标准方程中的变量解释如下：1. (x, y)为平面上任意一点的坐标；2. (h, k)表示椭圆中心的坐标；3. a表示椭圆长轴的长度的一半；4. b表示椭圆短轴的长度的一半。
通过椭圆的公式标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要信息。
首先，椭圆中心的坐标为(h, k)，这个点是椭圆的对称中心。
其次，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，离心率为c/a，其中c表示焦点到中心的距离。
椭圆的公式标准方程也可以表示成另一种形式：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = r²其中，r表示椭圆上任意一点到椭圆中心的距离。
我们可以通过一些具体的例子来理解椭圆的公式标准方程的应用。
以一个常见的例子为椭圆方程(x-2)²/9 + (y-3)²/4 = 1。
我们可以通过这个方程来确定椭圆的特征。
首先，椭圆的中心坐标为(2, 3)，即椭圆的中心在坐标系中的位置为(2, 3)。
其次，椭圆的长轴长度为2×3 = 6，所以椭圆的长轴长度为12。
短轴长度为2×2 = 4，所以椭圆的短轴长度为8。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，距离为2c。
椭圆的长轴是通过焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。
椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(a>b)。
椭圆的标准方程可以通过椭圆的几何特征进行推导。
首先，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
根据点到直线的距离公式，可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和为2a的方程，√((x+c)²+ y²) + √((x-c)² + y²) = 2a。
然后，我们可以对这个方程进行整理，得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。
通过标准方程，我们可以直观地得到椭圆的中心、长轴、短轴等信息。
同时，我们也可以通过标准方程来求解椭圆的焦点坐标和离心率等参数。
在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们进行图形的分析和计算。
例如，当我们需要绘制椭圆的图形时，可以通过标准方程来确定椭圆的中心、长轴、短轴，进而绘制出准确的图形。
另外，当我们需要求解椭圆上的点的坐标或者求解椭圆的焦点坐标时，也可以通过标准方程来进行计算。
除了标准方程外，椭圆还有其他形式的方程，例如参数方程和一般方程。
参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标，而一般方程则是通过平移、旋转等变换得到的一般形式的方程。
这些不同形式的方程都可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质和特点。
总之，椭圆及其标准方程是解析几何中重要的内容，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际问题中有着广泛的应用。
通过深入理解椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，从而更好地应用椭圆解决实际问题。
椭圆的定义及其标准方程
标准方程 及图形
条件 范围
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
|x|≤a；|y|≤b
|x|≤b；|y|≤a
曲线关于 对称性
x轴
、
y 轴、原点 对称
曲线关于
对
x轴、y轴、原点
称
顶点 焦点
长轴顶点( ±a,0 ) 短 轴顶点(0，±b )
( ±c,0 )
长轴顶点( 0，±a)短轴顶点 ( ±b,0 )
13.1 椭圆的定义及其标准方程
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离之 等和于常数 ( 大于|F1F2)|的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2 叫作椭圆的 焦点，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的 焦距 ．
二、椭圆的标准方程及其几何
意义
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
()
A．椭圆
B．线段
C．椭圆或线段或不存在 D．不存在
解析：当a＜6时，轨迹不存在；
当a＝6时，轨迹为线段；
当a＞6时，轨迹为椭圆． 答案：C
3．已知椭圆
上一点P到椭圆一个焦点的距离
为3，则P到另一个焦点的距离为 ( )
A．2
B．3
C．5
D．7
解析：
答案：D
4．椭圆
的焦点坐标为________．
【解】 设所求的椭圆方程为 ＝1(a＞b＞0)，
由已知条件得解得 故所求方程为
a＝4，c＝2，b2＝12，
练习1．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经
过两点 P1( 6,1), P2( 3, ，2求) 椭圆的方程．
解：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．
椭圆的定义及标准方程
1、椭圆的定义： 、椭圆的定义：
椭圆定义
平面内到两个定点 的距离之和等于常 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常 大于|F 椭圆。 数（大于 1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 ）的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离 焦点 M 叫做椭圆的焦距。 叫做椭圆的焦距。 焦距
y x + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0 )
它也是椭圆 的标准方程。 的标准方程。
这样建立平面直角坐标系椭圆方程会是什 么样？ 么样？
y
M ( x, y )
F1 O F2
x
( x − c) y + 2 = 1 (a > b > 0 ) 2 a b
2 2
椭圆的标准方程
思考四: a、 思考四: a、b、c的几何意义
M
F1 F2
动画
椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程 、
怎样建立平面直角坐标系呢？ 怎样建立平面直角坐标系呢？
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
椭圆的标准方程
x y + 2 =1 2 a b
2
2
(a > b > 0)
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
这个方程叫做椭圆的标准方程， 这个方程叫做椭圆的标准方程， 椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 轴上。 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。 焦点在x 如果椭圆的焦点在y 轴上， 如果椭圆的焦点在y 轴上，用类似的 方法，可得出它的方程为： 方法，可得出它的方程为：
椭圆的定义、标准方程及其性质
椭圆的定义、标准方程及其性质[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．【知识通关】1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． 【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±9,0)D ．(0，±9)B3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( ) A .x 29＋y 2＝1 B .y 29＋x 25＝1 C .y 29＋x 2＝1 D .x 29＋y 25＝1 D4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A .5－12B .1＋52C .－1＋52D .－1±52C5．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 20【题型突破】椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 248＝1 B .x 248＋y 264＝1 C .x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B .74 C .72D .752(1)D (2)C[方法总结] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. (1)A (2)3椭圆的标准方程【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 29＝1(y ≠0) B .y 225＋x 29＝1(y ≠0) C .x 216＋y 29＝1(y ≠0) D .y 216＋x 29＝1(y ≠0) (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1[方法总结] (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a ＞|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式.(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A .x 23＋y 22＝1 B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( ) A .x 22＋y 22＝1 B .x 22＋y 2＝1 C .x 24＋y 22＝1 D .y 24＋x 22＝1 (3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． (1)A (2)C (3)x 2＋32y 2＝1椭圆的几何性质►考法1 求离心率或范围【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A .36B .13C .12D .33(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(1)D (2)A►考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________． 4[方法总结] (1)求椭圆离心率的方法,①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.,②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32B ．2－ 3C .3－12D .3－1(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8(1)D (2)C【真题链接】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14D2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34B。
椭圆的定义及其标准方程说课稿及教案
椭圆的定义及其标准方程说课稿及教案一、说课稿1. 椭圆的定义椭圆是一种平面内到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的长轴。
椭圆的焦点可以在平面上任意位置，但椭圆的对称轴必须通过焦点。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，a是椭圆的长轴的一半，b是椭圆的短轴的一半。
椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 焦点与椭圆的关系椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
即\[ 2a = |PF_1| + |PF_2| \]其中，\( PF_1 \)和\( PF_2 \)分别是椭圆的两个焦点。
4. 椭圆的性质（1）椭圆的长轴和短轴互相垂直，且通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点在长轴上，且距离中心点的距离分别为\( c \)和\( -c \)，其中\( c \)满足\( c^2 = a^2 b^2 \)。
（3）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
（4）椭圆的面积为\( S = \pi ab \)。
二、教学目标1. 了解椭圆的定义及其性质。
2. 掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 能够应用椭圆的知识解决实际问题。
三、教学内容1. 椭圆的定义及其性质。
2. 椭圆的标准方程及其求法。
3. 椭圆在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方法进行教学。
2. 使用多媒体课件辅助教学，增强学生的直观感受。
3. 设置实例分析，引导学生运用椭圆知识解决实际问题。
五、教学步骤1. 导入：通过展示生活中常见的椭圆形状物体，引导学生关注椭圆的形状特征。
2. 讲解椭圆的定义及其性质，引导学生理解椭圆的基本概念。
3. 推导椭圆的标准方程，让学生掌握椭圆方程的求法。
4. 结合实际问题，让学生运用椭圆知识进行分析。
5. 课堂练习：设置相关练习题，让学生巩固所学知识。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.注意：定义中的常数用2a表示，｜F1F2｜用2c表示，当2a＞2c＞0时，轨迹为椭圆，当2a=2c 时，轨迹为线段F1F2；当2a＜2c时，无轨迹.这样，椭圆轨迹一定要有2a＞2c这一条件.另外，应用定义来求椭圆方程或解题时，往往比较简便.2.椭圆的标准方程当焦点在x轴上时：+ =1(a＞b＞0)当焦点在y轴上时：+ =1(a＞b＞0)注意：(1)三个量之间的关系：a2=b2+c2(2)由x2,y2的分母大小确定焦点在哪条坐标轴上，x2的分母大，焦点就在x轴上，y2的分母大，焦点就在y轴上.(3)在方程Ax2+By2=C中，只有A、B、C同号时，才可能表示椭圆方程.(4)当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式.典型例题例1 求与椭圆+ =1共焦点，且过点M(3，-2)的椭圆方程.解法一：(待定系数法)由已知椭圆方程+ =1得C2=9-4=5，且焦点在x轴上，设所求椭圆方程为+ =1又∵点M(3，-2)在椭圆上∴+ =1，得a4-18a2+45=0∴a2=15或a2=3＜5=C2(舍)∴所求椭圆方程为+ =1解法二：(定义法)椭圆两焦点为F1(- ，0)，F2( ，0)，点M(3，-2)到这两个焦点距离之和是2a，即2a=｜M1F1｜+｜M1F2｜= + =2∴a2=15 b2=a2-c2=15-5=10∴所求椭圆方程为+ =1例2 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1( ，1)，P2(- ，- )，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为mx2+ny2=1,(m＞0，n＞0)由题意有解得m= ，n=∴所求椭圆方程为+ =1说明：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)可免讨论焦点的位置，而且计算简便.例3 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两个焦点为F1F2，且｜PF1｜= ，｜PF2｜=由椭圆定义知2a=｜PF1｜+｜PF2｜=2 ∴a=而｜PF1｜＞｜PF2｜知PF2与焦点所在的对称轴垂直.∴Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2= =∴∠PF1F2=2C=｜PF1｜cos =∴b2=a2-c2=故所求方程为+ y2=1或x2+ =13.(代入法)与椭圆有关的轨迹问题：常用的方法有定义法，坐标转移法，交轨法，点差法. 例4 已知圆C1：x2+y2+4x-12=0与圆C2:x2+y2-4x=0，动圆C与C1相内切，且与C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程.解：圆C1与C2的标准方程是(x+2)2+y2=16，(x-2)2+y2=4圆心分别为C1(-2，0)，C2(2，0)设动圆P的圆心为P，半径为r，有｜PC1｜=4-r,｜PC2｜=2+r∴｜PC1｜+｜PC2｜=6＞｜C1C2｜=4∴P点在椭圆上运动，又2a=6，2c=4，∴b2=a2-c2=5∴P的轨迹为+ =1(在已知圆C1内)例5 已知MN是椭圆+ =1(a＞b＞0)中垂直于长轴的动弦，AB是椭圆长轴的两端点，求直线MA与NB的交点P的轨迹方程.解：设M、N的坐标为M(x0,y0)，N(x0,-y0)，又A(-a,0),B(a,0)所以直线AM的方程为y= (x+a) ①直线BN的方程为：y= ②①×②得：y2= (x2-a2) ③∵点M(x0,y0)在椭圆上，∴b2x20+a2y20=a2b2∴x20-a2=- y02,代入得③得：y2= (x2-a2)∴交点P的轨迹方程为- =1例6已知椭圆+y2=1(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程(2)过A(2，1)引椭圆的割线，求截得的弦中点轨迹方程(3)求过点P( ，)，且被P平分的弦所在的直线方程.解：(点差法)设弦的两端点分别为M(x1,y1)N(x2,y2)、MN的中点为P(x,y)，则x21+2y21=2，x22+2y22=2,两式相减弄除以(x2-x1)得：x1+x2+2(y1+y2) =0而x1+x2=2x,y1+y2=2y∴x+2y· =0 (*)(1)将=2代入(*)式得所求的轨迹方程为x+4y=0(椭圆内部分)(2)将= 代入(*)式，得所求的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0(椭圆内部分)(3)将x1+x2=1,y1+y2=1代入(*)式，得=-∴所求的直线方程为2x+4y-3=0例7已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l:y=3x-2截得弦的中点横坐标为，求椭圆方程.解：∵C= ，∴a2=b2+50∴可设椭圆方程为+ =1把直线y=3x-2代入椭圆方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b4-46b2=0∴x1+x2=又∵=∴12b2=10b2+50解得b2=25 a2=75∴所求的椭圆方程为+ =1例8已知P为椭圆+ =1上的一点，F1F2是椭圆上的两焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.解：∵= ｜PF1｜·｜PF2｜sin∠F1PF2∴只需求｜PF1｜·｜PF2｜即可又｜PF1｜+｜PF2｜=10｜PF1｜2+｜PF2｜2-2｜PF1｜·｜PF2｜cos60°=4C2=64解得｜PF1｜·｜PF2｜=12∴= ×12× =3例9已知方程2(k2-2)x2+k2y2+k2-k-6=0表示椭圆，求实数k的取值范围.解：结合椭圆的变形方程式a2y2+b2x2-a2b2=0从而有：2(k2-2)＞0 k＜- 或k＞k2≠0解得k≠0k2-k-6＜0 -2＜k＜32(k2-2)≠k2k≠±2∴k∈(-2，- )∪( ，2)∪(2，3)例10△ABC的三边a＞b＞c，且a+c=2b，｜AC｜=2,求顶点B的轨迹.解：以AC的中点为坐标原点建立坐标系，则A(-1，0)，C(1，0)，又a+c=2b=4由椭圆的定义知B点在椭圆上运动.∵a＞b＞c，且A、B、C三点不共线∴B点的轨迹方程是椭圆+ =1，在y轴左侧的部分，但要去掉点(-2，0)，(0，)，(0，- )核心知识1.椭圆+ =1(a＞b＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里，即｜x｜≤a，｜y｜≤b.2.对称性：椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A1(-a,0)，A2(a,0)，B1(0，b),B2(0,-b)4.离心率：e= ,(o＜e＜1),e越接近于1，则椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.5.椭圆的第二定义：平面内的点到定点的距离和它到定直线的距离的比为常数e(0＜e＜1＝的点的轨迹.定点即为椭圆的焦点，定直线为椭圆的准线.6.椭圆的焦半径公式：设P(x0,y0)是椭圆+ =1(a＞b＞0)上的任意一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则｜PF1｜=a+ex0,｜PF2｜=a-ex0.7.椭圆的参数方程典型例题例1 设直线l过点P(-1，0)，倾角为，求l被椭圆x2+2y2=4所截得的弦长.解：直线l的方程为y= x+ ，代入椭圆方程，得7x2+12x+2=0,∵△=144-4×7×2=88∴弦长= =例2 求椭圆+ =1上的点到直线3x+4y-64=0的最长距离与最短距离.解：设椭圆上的点为(5cosθ，9sinθ)，则d= ==∴d max=例3 已知椭圆+ =1内有一点P(1，-1)，F是右焦点，M是椭圆上的动点，求｜MP｜+2｜MF｜的最小值，并求此时M的坐标.解：过M作右准线x=4的垂线，垂足为M1，由椭圆第二定义，有= ∴2｜MF｜=｜MM1｜∴｜MP｜+2｜MF｜=｜MP｜+｜MM1｜过P作右准线的垂线交椭圆于N，垂足为N1，垂线方程为y=-1.显然｜MP｜+｜MM1｜≥｜NP｜+｜NN1｜(当M与N重合时等号成立)而｜NP｜+｜NN1｜=｜PN1｜=3由方程组得N( ，-1)∴｜MP｜+2｜MF｜的最小值是3，此时M的坐标是( ，-1)例4 P是椭圆方程为+ =1上的任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，试求｜PF1｜·｜PF2｜的取值范围.解：设｜PF1｜=t,则t∈［a-c,a+c］，即t∈［4- ，4+ ］且｜PF2｜=2a-t=8-t.∴｜PF1｜·｜PF2｜=t(8-t)=-(t-4)2+16 t∈［4- ，4+ ］当t=4时，取最大值为16当t=4± 时，取最小值为9.∴所求范围为［9，16］例5 F1、F2是椭圆的两个焦点，过F2作一条直线交椭圆于P、Q两点，使PF1⊥PQ，且｜PF1｜=｜PQ｜，求椭圆的离心率e.解：如下图，设｜PF1｜=t，则｜PQ｜=t，｜F1Q｜= t，由椭圆定义有：｜PF1｜+｜PF2｜=｜QF1｜+｜QF2｜=2a∴｜PF1｜+｜PQ｜+｜F1Q｜=4a 即( +2)t=2a,t=(4-2 )a∴｜PF2｜=2a-t=(2 -2)a在Rt△PF1F2中，｜F1F1｜2=(2c)2∴［(4-2 )a］2+［(2 -2)a］2=(2c)2∴=9-6 ∴e= = -双曲线1.双曲线的定义平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示.常数用2a表示.(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2a时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2a时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2a=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2a＞2c时，动点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程- =1(a＞0,b＞0)焦点在x轴上的双曲线；- =1(a＞0,b＞0)焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.典型例题例1 若方程+ =1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )A.-3＜m＜2或m＞3B.m＜-3或m＞3C.-2＜m＜3D.-3＜m＜3或m＞3分析该方程表示双曲线，则x2与y2项的系数的符号相反，即(2-m)(｜m｜-3)＜0，将问题转化为不等式的求解.答：A例2 求与椭圆+ =1共焦点，且过点(3 ，)的双曲线的方程.分析一由题意知所求双曲线的焦点在x轴上，且焦距为8，∴c=4,设所求双曲线方程为- =1代入点(3 ，)，得λ2=7，故所求双曲线方程为- =1.分析二运用与椭圆共焦点的曲线系方程.设所求双曲线方程为+ =1，代入点(3 ，)，得λ=16或λ=-7(舍)，故所求双曲线方程为- =1.例3 课本第108页习题8.3第一题：△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边所在直线的斜率之积是，求顶点A的轨迹.分析其顶点A的轨迹方程求得：- =1(x≠0).若将问题一般化：B(0，a)、C(0，-a)·k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹方程为：- =1(x≠0).若B(bcotφ，acosφ)、C(-cotφ，-acscφ).k AB·k AC= ，则顶点A的轨迹会是怎样?反之，双曲线- =1(x≠0)上任一点到B(0，a)，C(0，-a)两点的连线的斜率之和，等于;若改变B、C的位置保持B、C两点关于原点对称于双曲线上，k AB·k AC是否成立.总之，同学们在学习过程中要多动手、多思考，举一反三，做到“以点代面，以少胜多”.例4一动圆与圆(x+3)2+y2＝1外切又与圆(x-3)2+y2＝9内切，求动圆圆心轨迹方程.分析如图，设动圆M与⊙O外切于A，与⊙O2内切于B，由位置关系可得数量关系：｜MO1｜＝｜MA｜+1 ｜MO2｜＝｜MB｜-3由｜MA｜＝｜MB｜可得｜MO1｜-｜MO2｜＝4由定义可知M点轨迹为双曲线的一支.解：如图，设动圆圆心M坐标为M(x,y)，圆M与圆O1外切于A，与圆O2内切于B，则，MO1＝｜MA｜+1，①｜MO2｜＝｜MB｜＝3②，①-②：｜MO1｜-｜MO2｜＝4由双曲线定义知，M点轨迹是以O1(-3，0)O2(3，0)为焦点2a＝4的双曲线的右支∴b2＝32-23＝5∴所求轨迹方程为：- ＝1(x≥2)说明：在求轨迹方程时，要注意使用曲线的定义，此时的思路：位置关系(内切，外切)数量关系(｜MO1｜＝r1+r0,｜MO2｜＝r-r2其中r为动圆半径曲线形状写出标准方程，可以简化运算.同时应注意定义中是到两定点距离的绝对值，此时不含绝对值，要求｜MO1｜>｜MO2｜，所以是双曲线的右支，而不是整个双曲线.例5过双曲线- ＝1的右焦点作倾角为45°的弦，求弦AB的中点C到右焦点F 的距离，并求弦AB的长.分析将直线方程与双曲线方程联立，求出A、B两点的坐标，再求其中点，由两点的距离公式求出｜CF｜.解：∵双曲线的右焦点为F(5，0)，直线AB的方程为y＝x-5，故16x2-9y2-144＝0 ①y＝x-5 ②消去y，并整理得7x2+90x-369＝0 ③此方程的两个根x1、x2是A、B两点的横坐标，设AB的中心点C的坐标为(x,y)，则x＝＝＝- .C点的坐标满足方程②，故y＝- -5＝-∴｜CF｜＝＝(5+ )＝又设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2)，则y1＝x1-5,y2＝x2-5.∴y1-y2＝x1-x2，｜AB｜＝＝＝＝由方程③知x1+x2＝- ,x1·x2＝-∴｜AB｜＝＝＝＝27点评：利用韦达定理及两点间距离公式求弦长核心知识1.双曲线- ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称。
高中数学椭圆及其标准方程知识点
椭圆知识点知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆定义及其标准方程
设 a 2 - c 2 = b2 b > 0 得 b2x2+a2y2=a2b2 设F F =2 c，则有 F (c ， 0) 、 F ( c ， 0) 以 F F 所在直线为 x 轴，线段 F1F2 2 21、 1 2 1 2 2 x y + 2 = 1 a > by > 轴建立直角坐标系。 0 即： 2 的垂直平分线为
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于定长 （定长大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆. 定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距.
开普勒第一定律（轨道定律）：
每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳， 而太阳则处在椭圆的一个焦点中.
例:(口答)已知B，C是两个定点，|BC|=6。 以线段BC为一边画三角形，试问满足条件“ 三角形ABC的周长等于20”的顶点A的轨迹是什 么样的图形？ A
2、椭圆的标准方程（焦点在x轴）
x y + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
2 2
课下探究：
如果焦点设在 y 轴或在任意位置时，那 么方程会是什么情况？与课上获得的椭 圆标准方程进行比较,体会建立直角坐标 y 系对于方程的影响.
F2
O
P
x
F1
D
……………………………………… O O
B
C
E
答：A点的轨迹为椭圆，但不包括椭圆与 BC所在直线的交点.
探究：如何建立椭圆的标准方程
回忆圆标准方程的建立过程
1、建立平面直角坐标系 2、根据坐标系设圆心坐标O（a，b），圆上一点P （x，y），半径为r 3、根据定义和两点距离公式列出方程
( x a ) 2 ( y b) 2 r
§2.2.1 椭圆及其标准方程
b 2 a 2 c 2 10 4 6.
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
5、回顾小结 一种方法： 求椭圆标准方程的方法 二类方程:
x2 y2 y2 x2 2 1 2 2 1 a b 0 2 a b a b
三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
M
立坐标系才能使 椭圆的方程简单?
y
M
y M
F1o
y
F2
x
F1 o
y
F2
x
F1 o
yF2xຫໍສະໝຸດ F2F2M
F2
M
o
M
x
F1
o
x
F1
o
x
F1
以 F1 , F2 的中点为坐标原点， F1 , F2 所在直线为 设M(x,y)是椭圆上任意一点 x轴建立直角坐标系，
F1F2 =2C,那么F1 ,F2的坐标分别是 -c,0 , c,0
圆的标准方程？哪些是椭圆的方程。
练习2比较椭圆的两种标准方程并填表
标准方程 不 同 点 图形
焦点坐标 定义 共 同 a、b、c 点 的关系
F1 c,0
F2 c,0
F1 0, c
F2 0, c
c 2 a 2 b2 (a b 0, c 0)
焦点位置 的判定
y A
F1 o F2
B
x
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
解： AB BC AC 16, BC 6
.
y
A
AB AC 10, 且10 BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆， B o C 且B、C为焦点 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直 角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 ： x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆及其标准方程
要点 1
椭圆的定义 (大于
平面内与两定点 F1、F2 的距离之和 等于常数 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点 点． 两焦点间的距离 叫做椭圆的焦距．
叫做椭圆的焦
要点 2
椭圆的标准方程
(1)这里的“标准”指的是中心在 原点 ，对称轴为 坐标轴． x2 y2 (2)焦点在 x 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)；焦点在 y y2 x2 轴时，标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0)．为了计算上的方便，有时将 方程写为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． (3)标准方程中的两个参数 a 和 b， 确定了椭圆的形状和大小， 是椭圆的定形条件．
(4)椭圆的两种标准方程中，如果 x2 的分母大，焦点就在x 轴 上；如果 y2 的分母大，则焦点就在 y 轴 上． (5)椭圆的方程中，a、b、c 三者之间 a 最大，且满足
a2＝b2＋c2 .
1．椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小 于|F1F2|”的常数，其他条件不变点的轨迹是什么？
解析
设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0 且 m≠n)，
椭圆经过 P1，P2 点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，
6m＋n＝1 有 3m＋2n＝1
① ②
1 1 x2 y2 解得 m＝ ，n＝ ，∴所求椭圆方程为 ＋ ＝1 9 3 9 3
探究 3
方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示椭圆：若
m<n，则焦点在 x 轴上；若 n<m，则焦点在 y 轴上。 思考题 3 求经过两点 A(3， 3)，B(2,3)的椭圆标准方程．