梁的弯曲教学课件PPT
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梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
机械工程基础课件单元五直梁弯曲
单元五
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
一、弯曲概念
直梁弯曲
5.1 平面弯曲及工程实例
弯曲受力特点： 受横向外力或位于纵向平面内的外力偶作用
弯曲变形特点： 杆的轴线由直线弯成曲线 主要承受弯曲变形的杆称为梁
F
A B A
Me
B
单元五
直梁弯曲
厂房立柱
单元五
直梁弯曲
厂房行车
单元五
直梁弯曲
车床轴
单元五
对称弯曲：
直梁弯曲
① 梁至少具有一个纵向对称面
FRA
ql/2
x
l
FRB
ql M max 8
2
+
ql/2
但此截面上 FS= 0 两支座内侧横截面上剪力绝 对值为最大
F
F
l
悬臂梁
F
l
单元五
梁的力学模型的简化
直梁弯曲
（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
集中力
（2）载荷类型 集中力偶 分布载荷 （3） 支座的类型 可动铰支座
A A
A
A
FRA
单元五
A
直梁弯曲
固定铰支座
FRAy
A A
FRAx A
固定端 FRy FRx M
单元五
5. 2 梁的内力及内力图
1.内力计算 例5.1 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
单元五
5.2.2 剪力和弯矩方程
q
直梁弯曲
剪力图和弯矩图
x
x
l
剪力方程： 描述梁的剪力沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
FS FS x
弯矩方程： 描述梁的弯矩沿梁轴线变化规律的函数关系，记作
《材料力学弯曲》课件
定义方式
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
弯曲应变通常用曲率半径的变化量与原始曲率半径的比值来表示，即 ΔR/R。其中 ΔR 是曲率半径的变化量，R 是原始曲率半径。
弯曲应变的计算
应变计法
通过在物体上粘贴应变片 ，并利用应变计测量应变 值，从而计算出弯曲应变 。
有限元分析法
利用有限元分析软件，建 立物体的有限元模型，通 过模拟受力情况下的变形 过程，计算出弯曲应变。
实验法
通过实验测试物体的弯曲 变形，利用相关公式计算 出弯曲应变。
弯曲应变的分布
应变分布图
通过绘制应变分布图，可以直观地了 解物体在弯曲变形过程中应变的大小 和分布情况。
应变集中
应变梯度
在弯曲变形过程中，物体不同部位上 的应变大小和方向可能不同，形成应 变梯度。
在物体受力点附近区域，应变会集中 增大，可能导致材料疲劳或断裂。
材料力学的重要性
总结词
材料力学在工程设计和实践中具有重要意义。
详细描述
在工程设计和实践中，材料力学是必不可少的学科之一。通过对材料力学的研究 ，工程师可以更好地理解材料的性能，预测其在各种工况下的行为，从而设计出 更加安全、可靠、经济的工程结构。
材料力学的基本假设
总结词
材料力学基于一系列基本假设，这些假设简 化了问题的复杂性，使得分析更为简便。
学习目标
01
02
03
04
掌握材料力学的基本概念、原 理和分析方法。
理解弯曲问题的特点和解决方 法。
能够运用所学知识解决简单的 弯曲问题。
培养分析问题和解决问题的能 力，提高力学素养。
02
材料力学基础
材料力学的定义
总结词
材料力学是一门研究材料在各种 力和力矩作用下的行为的学科。
梁的弹塑性弯曲课件
绿色可持续发展
将环保、可持续发展理 念融入弹塑性弯曲优化 设计，推动绿色工程的 发展。
THANK YOU
感谢观看
弹性模量01Fra bibliotek材料的弹性模量越大，梁的抗弯刚度越大，弹塑性弯曲程度越
小。
屈服强度
02
材料的屈服强度越高，梁的塑性变形能力越小，弹塑性弯曲程
度越小。
应变硬化指数
03
材料的应变硬化指数越大，梁在弹塑性弯曲过程中的承载能力
越强。
截面形状对弹塑性弯曲影响
截面面积
截面面积越大，梁的抗弯截面系数越大，弹塑性弯曲程度越小。
变形与应力分布
分析模拟结果，得到梁的变形和应力分布情况， 评估梁的承载能力和安全性。
塑性铰形成与发展
观察塑性铰的形成和发展过程，研究塑性铰对梁 弹塑性弯曲性能的影响。
参数敏感性分析
针对不同参数进行敏感性分析，探讨各参数对梁 弹塑性弯曲性能的影响规律。
05
梁的弹塑性弯曲影响因素 研究
材料性能对弹塑性弯曲影响
02
梁的弹塑性弯曲理论分析
弹性力学基础
01
02
03
应力与应变
掌握应力、应变的概念及 其在张量表示下的物理意 义，理解弹性体受力与变 形之间的关系。
弹性本构关系
熟悉广义胡克定律及其在 不同材料中的应用，了解 弹性常数之间的换算关系 。
弹性力学基本方程
掌握平衡方程、几何方程 和物理方程的推导及其意 义，理解边界条件的提法 和应用。
截面惯性矩
截面惯性矩越大，梁的抗弯刚度越大，弹塑性弯曲程度越小。
截面形状系数
截面形状系数越大，梁在弹塑性弯曲过程中的应力分布越均匀， 承载能力越强。
加载条件对弹塑性弯曲影响
将环保、可持续发展理 念融入弹塑性弯曲优化 设计，推动绿色工程的 发展。
THANK YOU
感谢观看
弹性模量01Fra bibliotek材料的弹性模量越大，梁的抗弯刚度越大，弹塑性弯曲程度越
小。
屈服强度
02
材料的屈服强度越高，梁的塑性变形能力越小，弹塑性弯曲程
度越小。
应变硬化指数
03
材料的应变硬化指数越大，梁在弹塑性弯曲过程中的承载能力
越强。
截面形状对弹塑性弯曲影响
截面面积
截面面积越大，梁的抗弯截面系数越大，弹塑性弯曲程度越小。
变形与应力分布
分析模拟结果，得到梁的变形和应力分布情况， 评估梁的承载能力和安全性。
塑性铰形成与发展
观察塑性铰的形成和发展过程，研究塑性铰对梁 弹塑性弯曲性能的影响。
参数敏感性分析
针对不同参数进行敏感性分析，探讨各参数对梁 弹塑性弯曲性能的影响规律。
05
梁的弹塑性弯曲影响因素 研究
材料性能对弹塑性弯曲影响
02
梁的弹塑性弯曲理论分析
弹性力学基础
01
02
03
应力与应变
掌握应力、应变的概念及 其在张量表示下的物理意 义，理解弹性体受力与变 形之间的关系。
弹性本构关系
熟悉广义胡克定律及其在 不同材料中的应用，了解 弹性常数之间的换算关系 。
弹性力学基本方程
掌握平衡方程、几何方程 和物理方程的推导及其意 义，理解边界条件的提法 和应用。
截面惯性矩
截面惯性矩越大，梁的抗弯刚度越大，弹塑性弯曲程度越小。
截面形状系数
截面形状系数越大，梁在弹塑性弯曲过程中的应力分布越均匀， 承载能力越强。
加载条件对弹塑性弯曲影响
材料力学05_梁的弯曲正应力28页PPT
材料力学05_梁的弯曲正应力
•
6、黄金时代是在我们的前面、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
•
6、黄金时代是在我们的前面、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
第13讲第7章-直梁的弯曲-
第7章 直梁的弯曲
主要内容:
1.直梁平面弯曲的概念 2.梁的类型及计算简图 3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 4.梁纯弯曲时的强度条件 5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁纯弯曲源自的强度条件1.梁纯弯曲的概念
剪力弯曲 平面弯曲
纯弯曲
剪力FQ≠0 弯矩M ≠ 0
剪力FQ=0 弯矩M ≠ 0
在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反 向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩 而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲 为纯弯曲 。
2.梁纯弯曲时横截面上的正应力
1）变形特点 :
横向线仍为直线，只是 相对变形前转过了一个 角度，但仍与纵向线正 交。纵向线弯曲成弧线， 且靠近凹边的线缩短了， 靠近凸边的线伸长了， 而位于中间的一条纵向 线既不缩短，也不伸长。
平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂 直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。
由平面假设可知，纯弯 曲时梁横截面上只有正 应力而无切应力。由于 梁横截面保持平面，所 以沿横截面高度方向纵 向纤维从缩短到伸长是 线性变化的，因此横截 面上的正应力沿横截面 高度方向也是线性分布 的。以中性轴为界，凹 边是压应力，使梁缩短， 凸边是拉应力，使梁伸 长，横截面上同一高度 各点的正应力相等，距 中性轴最远点有最大拉 应力和最大压应力，中 性轴上各点正应力为零。
弯矩图的规律
1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图 为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转 折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突 变量为集中力偶的大小。
2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物 线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向 一致。
3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点 处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯 矩为集中力偶的大小。
主要内容:
1.直梁平面弯曲的概念 2.梁的类型及计算简图 3.梁弯曲时的内力（剪力和弯矩） 4.梁纯弯曲时的强度条件 5.梁弯曲时的变形和刚度条件梁纯弯曲源自的强度条件1.梁纯弯曲的概念
剪力弯曲 平面弯曲
纯弯曲
剪力FQ≠0 弯矩M ≠ 0
剪力FQ=0 弯矩M ≠ 0
在梁的纵向对称面内，两端施加等值、反 向的一对力偶。在梁的横截面上只有弯矩 而没有剪力，且弯矩为一常数，这种弯曲 为纯弯曲 。
2.梁纯弯曲时横截面上的正应力
1）变形特点 :
横向线仍为直线，只是 相对变形前转过了一个 角度，但仍与纵向线正 交。纵向线弯曲成弧线， 且靠近凹边的线缩短了， 靠近凸边的线伸长了， 而位于中间的一条纵向 线既不缩短，也不伸长。
平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍为平面，并垂 直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度。
由平面假设可知，纯弯 曲时梁横截面上只有正 应力而无切应力。由于 梁横截面保持平面，所 以沿横截面高度方向纵 向纤维从缩短到伸长是 线性变化的，因此横截 面上的正应力沿横截面 高度方向也是线性分布 的。以中性轴为界，凹 边是压应力，使梁缩短， 凸边是拉应力，使梁伸 长，横截面上同一高度 各点的正应力相等，距 中性轴最远点有最大拉 应力和最大压应力，中 性轴上各点正应力为零。
弯矩图的规律
1.梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图 为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转 折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突 变量为集中力偶的大小。
2.梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物 线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向 一致。
3.梁的两端点若无集中力偶作用，则端点 处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯 矩为集中力偶的大小。
第九章梁的弯曲变形-PPT精品文档
第九章 梁的弯曲变形
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节
工程中的弯曲变形
梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强 度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变 形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。 一、挠曲线 挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的 作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。 挠曲线方程
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
M ( x ) y x C EI d
积分二次得挠度方程：
M ( x ) y d x d x Cx D EI
第九章 梁的弯曲变形 转角方程 挠度方程
M ( x ) y x C EI d M ( x ) y d x d x Cx D EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
0 , y 0 简支梁： y A B
悬臂梁： 0 , A
y 0 A
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第九章 梁的弯曲变形
例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
第九章 梁的弯曲变形 挠曲轴线 近似微分方程 结论 两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M(x) y EI
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
ห้องสมุดไป่ตู้
梁的弯曲振动-振动力学课件
(x) 由边界条件确定。
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
常见的约束状况与边界条件
1. 固定端条件（位移边界） 挠度和转角等于零
y(x,t) 0 y '(x,t) 0
(x) 0
'(x) 0 x 0，l
2. 简支端（铰支）（位移、力混界）
挠度和弯矩等于零
y(x,t) 0 M (x,t) 0
(x) 0
EIy"(x) 0
伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）
y x,t 距原点 x处的截面在 t 时刻的横向位移
微段受力分析
FS , M 截面上的剪力和弯矩
l
(
x)
2 t
y
2
微段的惯性力
f x,t 微段所受的外力
l
(
x)
2 t
y
2
动力平衡关系由达朗贝尔原理得
l (x)
2 y t 2
dx
Fs
解：固定端：(0) 0 '(0) 0
自由端： 弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡
EI "(l) 0 EIl m02 l
利用相同的方法，得频率方程：
cos lchl 1 l sin lcoshl cos l sinh l
其中： m0 为集中质量与梁质量之比
m m Sl 为梁质量
说明：
以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响， 因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁 高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响
Fs
Fs x
dx
f
( x, t )dx
l
(
x)
2 t
y
2
Fs x
f (x,t)
工程力学梁的变形教学PPT
Fbl 2 16 EI
0.0625
Fbl 2 EI
26
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中
挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要 简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角
qmax和最大挠度wmax为
A
B 即选择A端固定B端自由的悬臂梁
L
FBy 作为基本静定梁。
MA
q
A
L
(2)解除A端阻止转动的支座反力
B
矩 M作A 为多余约束,即选择两端简
支的梁作为基本静定梁。
39
基本静定基选取可遵循的原则： (1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变 系统； (2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协 调条件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单， 其次是简支梁，最后为外伸梁。
x3 6
C1x
C2
该梁的边界条件为：在 x=0 处 w 0，w =0
于是得
C1 0，C2 0
16
从而有 转角方程 q w Fxl Fx2
EI 2EI 挠曲线方程 w Fx2l Fx3
2EI 6EI
当x=L时：
qmax q
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2 2EI
静定梁(基本静定基) — 将超静定梁的多余约束解除，得到
相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力
以及内力。
多余约束 — 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约
束或多余杆件。
q
多余约束的数目=超静定次数
B 多余约束的数目=1
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
机械基础 第四章 梁的弯曲
三、等强度梁
工程中为了减轻自重和节省材料，常常根据弯矩 沿梁轴线的变化情况，将梁制成变截面的形状，使所
有横截面上的最大正应力都大致等于许用应力[σ] 。
摇臂钻床的横臂
飞机机翼
汽车的板弹簧
阶梯轴
桥梁和厂房中的“鱼腹梁”
F
A
x1
c
B
FA
x2
2l
l
FB
Q图
F
3
M图
2F
3 2 Fl 3
例 作梁的剪力图和弯矩图
解：①求支座反力
FA
FB
m 3l
②分段列剪力方程和弯矩方程
m
Q( x1 )
FA
3l
0, l
m
M ( x1) 3l x1 0, l
Q( x1 )
m 3l
l, 3l
M
(x2 )
m 3l
(3l
x2 )
)
FA x2
F
( x2
2l )
2Fl
2 3
F x2
2l,3l
③画剪力图和弯矩图
上题中列CB段Q、M方程也可取右段为研究对象
Q(x2 )
FB
2 3
F
M ( x2 ) FB (3l x2 )
2Fl
2 3
Fx2
注意：
(2l,3l )
[2l,3l ]
集中外力作用处剪力 图有突变，幅度等于力大 小；类似地，集中力偶作 用处弯矩图有突变，幅度 等于力偶矩大小。
梁纯弯曲变形的本质：各截面都产生了绕中性轴的转动。
一、弯曲正应力及分布规律 4.梁纯弯曲时横截面上正应力分布规律
横截面上各点的正应力分布规律
二、梁弯曲时正应力强度条件及其应用
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1
2 q=15kN/m FP =30kN
上的剪力和弯矩都按照正方向假定。
B
∑Y=0
－FP－q×1＋V1=0 V1= FP＋q×1
A 1
2m
2 1m
V1
q
FP
M1
B
致，∑计即M算11-==结103截果0面＋为上M正15的1，×＋剪说1力q明=×4为15-1正k1×N截值2面。.5上＋剪力F的P×实3际=0方向与图中假定的方向一 M1=－q×1×2.5－FP×3
对梁进行强度和刚度计算时，除了要计算指 定截面上的内力外，还必须知道内力沿梁轴线的 变化规律，从而找到内力的最大值以及最大内力 值所在的位置。
弯曲内力
一、剪剪力力方和程弯矩和一弯般矩是方随程横截面的位置而变化的。横截面
沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪 力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即
∑M3=0 M3＋M＋FBy×a=0
FP=100kN 1 A2
C 12
M = 75kN·m
34
B
34
M3=－M－FBy×a
= －75－25×1.5
（5）求=4－-41截12面.5k的N剪·m力(和负弯弯矩矩)
∑Y=0
V4－FBy=0
V4= FBy=25kN (正剪力)
∑M4=0 M4 ＋ FBy×a=0
1.5m FAy1.5m 1.5m FBy
V3 M3
M
V4
FBy
M4
M4=－FBy×a=－25×1.5=－37.5kN·m (负弯矩)
FBy
弯曲内力
总结与提示
截面法是求内力的基本方法。
(1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但
为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。
(2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知 的剪力和弯矩通常均按正方向假定。
M1=－FP a= －100×1.5 =－150kN·m (负弯矩) C
FP=100kN 1 A2 3 12 3
1.5m FAy1.5m
FP=100k
4
B
4
1.5m FBy
（弯3）曲内求力2-2截面上的剪力和弯矩
∑Y=0 V2 ＋ FP－FBy－=0 V2=－FP＋FBy =－100＋125 =25kN (正剪力)
剪力：剪力绕脱离体产生顺时针转动趋势时为正
F V
V F
剪力绕脱离体产生逆时针转动趋势时为负
F V
V F
弯曲内力
弯矩： 外力使脱离体产生下部受拉时为正
M
外力使脱离体产生上部受拉为负
M
弯曲内力
三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩 截面法是求梁的内力的最基本的方法。
其步骤为 (1) 求支座反力。 (2) 用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。 (3) 取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方
计=算－结1果5为×负1×，说2.5明－1-310截×面3上=－弯1矩2的7.实5k际N方·m向与图中假定的方向相反，
即1-1截面上的弯矩为负值。
弯曲内力
（2）求2-2截面上的剪力和弯矩 取2-2截面的右侧为隔离体。 1
2 q=15kN/m FP =30kN
∑Y =0
B
V2－FP－q×1=0
A 1
FP=100kN 1 A2
C 12
M = 75kN·m
34
B
34
1.5m FAy1.5m 1.5m FBy
∑M2=0 M2＋ FP×a=0 M2=－FP a =－100×1.5
FP=100kN M2
C
A
FAy V2
= － 150KN·m (负弯矩)
（弯4）曲求内3力-3截面的剪力和弯矩
∑Y=0 V3－FBy=0 V3=FBy=25kN (正剪力)
∑Y=0
FAy－V=0
V=FAy (↓)
∑MC=0 －FAy x+M=0
M=FAy x () 弯矩M ：
构件受弯时，横截面上其作
用面垂直于截面的内力偶矩。 剪力V ：
构件受弯时，横截面上其作
用线平行于截面的内力。
A FAy
A FAy
1
1 x
V C
V MC
FP B FBy
M FP
FBy
弯曲内力
二、剪力和弯矩的正负号规定
程求出剪力和弯矩。
弯曲内力
例7-1 试用截面法求图示悬臂梁1-1、2-2截面上的剪力和 弯矩。已知：q=15kN/m，FP =30kN。
1
2q
FP
B
A 1
2m
2 1m
解 由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算
内力时可以不求其支座反力。
弯曲内力
（1）求1-1截面的剪力和弯矩
取1-1截面的右侧为隔离体。1-1截面
(3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作
隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的
正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身
的正、负号相混淆。
弯曲内力
通第常三情节况下用，内梁力上方不程同梁截的面内上力的图剪力和弯矩 值是不同的，即梁的内力（剪力和弯矩）随梁横 截面的位置而变化。
C 12
M = 75kN·m
34
B
34
1.5m FAy1.5m 1.5m FBy
解 （1）求支座反力
∑MB=0
FAy 125 kN (↑)
∑Y=0 FBy=25kN (↓)
弯曲内力
（2）求1-1截面上的剪力和
弯矩
列平衡方程
C
∑Y=0 V1 ＋ FP=0
V1=－FP=－100kN (负剪力)
∑M1=0 M1＋FP×a=0
2m
2 1m
q
FP
V2= FP＋q×1 =30＋15×1=45kN (正剪力)
M2
∑M2=0
M2 ＋ q×1×0.5 ＋ FP×1=0
V2
B
M2=－q×1×0.5－FP×1
=－15×1×0.5－30×1 =－37.5kN·m (负弯矩)
弯曲内力
例7-2 用截面法求外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。
FP=100kN 1 A2
V=V（x）和 M=M（x） 以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
第七章
梁的弯曲
弯曲内力
第一节 平面弯曲的概念
一、弯曲和平面弯曲 1. 弯曲: 受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴
线所在平面内作用的外力偶的作用。
变形特点：杆轴线由直变弯。
M
FP
q
以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
弯曲内力
弯曲内力
房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁
弯曲内力
2. 平面弯曲
工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、 T形、槽形等
弯曲内力
二、梁的类型
凡是通过静力平衡方程就能够将梁的支座反力全部
求出的梁，统称为静定梁。 梁的三种基本形式
FP
悬臂梁
M FP
q
简支梁
M
FP
q
外伸梁
弯曲内力
第二节 梁的弯曲内力
一、梁的内力——剪力和弯矩
a
FP
A
B
l
A
FP B
FAy
FBy
弯曲内力