圆锥曲线难点知识点

圆锥曲线知识储备汇总

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五个：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容

倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈

点到直线的距离d =

两平行直线的距离d =

（3）弦长公式

直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-

= 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且

2、圆锥曲线基本性质

椭圆（以122

22=+b

y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶

点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。

双曲线（以22

22

1x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为

等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠； ⑤离心率：c e a

=，双曲线⇔1e >，等

轴双曲线⇔e =

e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2

p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2

p x =-。

3、点、直线与圆锥曲线的位置关系

点00(,)P x y 和椭圆122

22=+b

y a x （0a b >>）的关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b

y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b

+< 直线与圆锥曲线相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0∆>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0∆>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；0∆=⇔直线与双曲线相切；0∆=⇔直线与抛物线相切；

相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；0∆<⇔直线与双曲线相离；0∆<⇔直线与抛物线相离。

4、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠

2a =

参数方程：cos ,sin x a y b θθ==

(2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：221(0)mx ny m n +=⋅<

距离式方程：2a =

(3)、三种圆锥曲线的通径

22222b b p a a

椭圆：；双曲线：；抛物线：

(4)、焦点三角形面积公式（证明过程？？）：

122tan 2

F PF P b θ∆=在椭圆上时，S 122cot 2

F PF P b θ∆=在双曲线上时，S （其中222

1212121212||||4,cos ,||||cos ||||

PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅） (5)焦半径公式(证明过程？？)：

（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为

（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为

（3）11||,||22

p p x x y +

+抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 简记为“左加右减，上加下减”。

5、利用导函数求解切线问题。