几个著名不等式

几个著名不等式

1 著名不等式

柯西不等式对于任意两组实数和有

上述不等式只有当时，等号才能成立．证明因为对任意x，有

将上式展开得

上述二次三项式对任意x均大于等于0，故其判别式不能大于0，所以

当判别式等于0时，上述方程有重根，设重根为x=k，则

这时

所以上述不等式只有当

时等号才能成立。

如令，则得

柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积．若

则

其中

例１若都是正数，求证

证明构造两个实数列

则由柯西不等式得

即

*赫勒德尔不等式由柯西不等式

可得

但

所以有

同理有

一般地有

现在证明上述不等式对任意不等于2m的正整数也成立（假定所有数列均为正数列）．设

共k个实数列设

共k个

再令

则有

但

所以

所以

即该不等式对任意不等于2m的整数k也成立．

上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明．

由证明知，不等式

对无穷多个自然数k=2m成立．

现在假设不等式对m=k成立．

（是k个数列）≤

但是左边

所以

即不等式对m=k-1也成立。由反归纳法知，不等式对任意整数k均成立．例２设非负实数满足

求证．

证明当n=1时，结论显然正确．

假设命题在n=k时正确，非负实数满足

则成立．

现设为k+1个非负实数，满足

+要证

令，则由归纳假设

但是，因为，所以

所以

证毕

如果令．

这里均为正实数，则得

现在证明下面不等式

其中均为正有理数，且

证明

上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当为正无理数且满足条件时，上述不等式当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，便可证明．

最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式．

对于，得

即

于是有

所以

上式是两个实数列的赫勒德尔不等式．

对三个实数列情况，即

令

这时

即赫勒德尔不等式对三个实数列也成立．同理可得赫勒德尔不等式又四个…实数列也成立。

令

这里．则得

当时，上式就是柯西不等式．

由上述不等式可得

其中，所以

即

上述不等式称为明可夫斯基不等式．当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和．

2 凸函数

下面我们给出凸函数定义及其性质．

定义2.1如果函数f(x)满足以下条件：对任意x1和x2，有

其中，则称f(x)为下凸函数．

如果函数f(x)满足下面条件，对任意的x1和x2有

其中，则称f(x)为上凸函数．

凸函数的几何意义分别用图２－１和图２－２表示．

下凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在相应弦的下方，而上凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在弦的上方．

显然，当时，

即

是x1与x2中间的点．

反之，当x是x1与x2中间的点时，即x1

有，且，有

所以闭区间中所有点均为的形式．反之，也是区间中的点．定理2.1若f(x)是下凸函数，则下面不等式成立：

其中

证明当n=2时，上式即为下凸函数定义，所以定理成立．现假设k=n时定理成立．

当k=n+1时，令

这时

所以

所以定理对k=n+1也成立．

同理，对上凸函数f(x)也有

其中

例３由图形知是上凸函数．所以

令，则有

除去对数符号，得

如果令，上式的意义即为算术平均值大于几何平均值．

例４设

这时（以后说明为什么下凸函数，所以是下凸函数

消去，得

除去对数符号，得

令，则得

即几何平均值大于等于的调和值．

例５求证圆内接n边形中，以正n边形面积为最大．

证明设圆的半径为Ｒ，内接n边形的面积为Ｓ，n边形各边所对应的圆心角为．则

因为都区间是上凸函数．

所以

上式只有在时等号才能成立，也就是说正n边形面积最大．

最后我们给出一些与分析有关的不等式．

例６若，求证

证明因为，令，所以

在上式中，如果令，则

令，得

另一方面，因为

所以

当，有

令，得

当时，．

练习2.2

1.设

求证．

提示

2.已知为实数，，求的极大值．

3.利用为凸函数性质，证明算术平均值大于等于几何平均值．