【精品】高中数学函数专题(理科)
数学公式高中理科
数学公式高中理科在高中理科学习中，数学公式是必不可少的重要内容之一。
数学公式的掌握对于理科学生来说至关重要，因为它们是解决数学问题的关键工具。
下面将介绍一些高中理科中常见的数学公式及其应用。
1. 三角函数公式三角函数是高中数学中重要的内容之一，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们之间的关系可以用以下公式表示：•正弦函数公式：sin2A+cos2A=1；•余弦函数公式：cos2A=1−sin2A；•正切函数公式：tanA=sinA。
cosA这些三角函数公式在解决三角形相关问题时具有重要的作用，例如计算三角形的边长、角度等。
2. 初等代数公式在代数学习中，初等代数公式是基础而重要的内容。
常见的初等代数公式包括：•二次方程求根公式：x=−b±√b2−4ac；2a•因式分解公式：a2−b2=(a−b)(a+b)；•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2。
这些代数公式在解决方程、因式分解等代数问题时非常有效。
3. 几何公式几何学是高中数学中的另一个重要分支，而几何公式在解决空间和平面几何问题时起着至关重要的作用。
常见的几何公式包括：•长方形面积公式：S=l×w，其中S表示面积，l表示长，w表示宽；•圆的周长公式：C=2πr，其中C表示周长，r表示半径；•三角形面积公式：S=1bℎ，其中S表示面积，b表示底边长，ℎ表示高。
2这些几何公式在计算几何图形的周长、面积等方面具有重要意义。
综上所述，数学公式在高中理科学习中扮演着不可或缺的角色。
掌握各种数学公式，熟练运用它们解决各类数学问题，对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。
希望同学们能够深入学习各种数学公式，并在实际问题中灵活运用，进一步提升数学水平。
高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件
题型二 讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+ x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.
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解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.
当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
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题型二 求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.
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解: (2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g'(x)=-xsin x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.
高中数学理科专题讲解高考大题专项(二)《三角函数与解三角形》教学课件
典例剖析
典例剖析
解题心得在含有边角关系的等式中,利用正弦定理的变形a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可直接将等式两边的边化为角;也能利用余弦定理的变形如 将角化为边.在三角形中利用三角变换求三角式的值时,要注意角的范围的限制.
典例剖析
解:(1)在△ABD中,∵∠DAC=75°,∠CAB=45°,∴∠DAB=120°.又∠DBA=30°,∴∠ADB=30°,∴△ABD为等腰三角形,∴AB=AD=50 m.由余弦定理可得BD2=502+502-2×50×50cos 120°=3×502,∴BD=50 m.△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=∠ABD+∠CBD=30°+75°=105°,∴∠ACB=30°,
典例剖析
2.三角恒等变换和解三角形的结合,一般有两种类型:一是先利用三角函数的平方关系、和角公式等求符合正弦定理、余弦定理中的边与角,再利用正弦定理、余弦定理求值;二是先利用正弦定理、余弦定理确定三角形的边与角,再代入到三角恒等变换中求值.具体解题步骤如下:第一步,利用正(余)弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,查看关键点、易错点.3.解三角形的问题总体思路就是转化思想和消元,要注重正弦定理、余弦定理多种表达形式及公式的灵活应用.
典例剖析
典例剖析
典例剖析
1.在历年的高考试题中,三角中的解答题一般考查简单三角函数式的恒等变形、解三角形,有时也考查正弦定理、余弦定理的实际应用.特别是涉及解三角形的问题,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.把握住高考命题规律,有针对性的训练是提高成绩的有效措施.
第3章 导数-高中数学备考知识点总结与规律方法总结(理科)
第三章 导数专题1 导数以及运算 考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1．常见函数的求导公式．（１）0)(='C （C 为常数）；（２）；（３）；（４）；（5）；（6）()'x x e e =；（7）且1)a ≠；（8）()1ln 'x x =． 2．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： 若C 为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）． 形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解—求导—回代． 法则：y ＇|X = y ＇|U ·u＇|X【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点处的切线的斜率．也就是说，曲线()y f x =在点处的切线的斜率是()0f x '．相应地，切线方程为． 【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在0x x =的导数，即曲线()y f x =在点处切线的斜率；（2）在已知切点和斜率的条件下，求得切线方程特别地，当曲线()y f x =在点处的切线平行于y 轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为0x x =；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解.【应试技巧点拨】1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线y=f(x)上的一点，则以A 为切点的切线方程为y －y 0=f,再根据题意求出切点.2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线，点P 是切点．【 一轮复习指引】导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，它只作为解题的一部分，难度不大，只需会运用公式求导即可．因此在2019年高考备考中应狠下功夫,掌握求导公式,会灵活应用求导法则,理解导数的几何意义即可.【 高考考点定位】高考对导数的运算，导数的几何意义的考查，一般不单独出题，特别是导数的运算，往往和导数的几何意义，导数的应用结合起来，作为第一步求导来进一步研究导数其它应用.专题2 导数的应用考点一、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数()f x 的导数()f x '（2）令()0f x '≥解不等式，得x 的范围就是单调增区间;令()0f x '≤解不等式，得x 的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.考点二、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) .(2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.考点三、借助导数研究函数最值【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.【规律方法技巧】1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；2、会利用导函数的图象提取相关信息；3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点.【应试技巧点拨】1. 函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示] 在利用“若函数()f x 单调递增，则()'0f x ≥”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．2．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域．(2)求导数()'f x ．(3)①若求极值，则先求方程()'0f x =的根，再检验()'f x 在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程()'0f x =根的大小或存在情况，从而求解．3．求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤(1)求函数()y f x =在(),a b 内的极值；(2)将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.5.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【一轮复习指引】导数是研究函数的工具，导数进入教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间．所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏．解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．因此在2019年高考备考中应狠下功夫,抓好基础,提高自己的解题能力,掌握好解题技巧,特别是构造函数的灵活运用.【高考考点定位】高考对导数的应用的考查主要有导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在．专题3 积分与微积分基本定理考点一、求已知函数的定积分【备考知识梳理】1、定积分的概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x - 上任取一点()1,2,i i ξ=…，n ,作和式()()11n n i i i i b a f x f nξξ==-∆=∑∑ ，当n →+∞ 时，上述和式无限接近某个水常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作()ba f x dx ⎰，即 ()()1lim n bi a n i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰ 2、微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '= ，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ ,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式.3、定积分的基本性质（1）()()=k bb aa kf x dx f x dx ⎰⎰,其中k 为常数 （2）()()()()[]b b baa a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰,其中a cb << 【规律方法技巧】1.求函数()f x 的定积分，关键是求出函数()f x 的一个原函数()F x ，即满足()F x '=()f x ．正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．2.计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值．3.求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.考点二、求分段函数的定积分【备考知识梳理】1、分段函数的定积分(1)分段函数在区间[],a b 上的定积分可分成几段定积分的和的形式．(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细．2、奇函数与偶函数在对称区间上的定积分若()f x 为偶函数，且在关于原点对称的区间[],a a -上连续,则()()02aaa f x dx f x dx -=⎰⎰ 若()f x 为奇函数，且在关于原点对称的区间[],a a -上连续,则()0a a f x dx -=⎰【规律方法技巧】 分段函数在区间[],a b 上的定积分可分成几段定积分的和的形式. 分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可．考点三、定积分的几何意义【备考知识梳理】1、当函数()f x 在区间[],a b 上恒为正时，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是直线,,0x a xb y === 和曲线()y f x =围成的曲边梯形的面积；2、一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线()y f x =和直线,x a xb ==之间的曲边梯形的面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上定积分值，x 轴下方的面积等于该区间上定积分的相反数.【规律方法技巧】1.利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．2. 定积分的应用及技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分．(4)应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数．求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，否则就会求出负值．[易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时，要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分，既不要弄错积分的上下限，也不要弄错被积函数．用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式．3.定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.【应试技巧点拨】1. 利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．2．求曲边图形面积的方法与步骤（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．3. 定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a xb ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.【 一轮复习指引】定积分可以看作是导数在某一区间上的逆运算．它是新课标新增加的内容之一，在以前的课本中没有出现定积分的概念，在高考中主要考查定积分的计算和定积分的几何意义，多为容易题，一般每年出一道题,有时和二项式结合出题,因此在2019年复习备考中,只须掌握积分的概念,积分的运算,会用积分求面积,体积即可.【高考考点定位】高考对定积分的考查主要有定积分的计算和定积分的几何意义,作为新增内容,它是大学微积分的基础,很受出题人的青睐,故在复习时应引起重视．。
理科高中函数知识点总结
理科高中函数知识点总结一、函数的概念和定义1. 函数的定义函数的概念是高中数学中非常重要的内容，我们常常可以在生活中、自然界中以及数学问题中看到各种函数关系。
在数学中，函数可以描述为一个集合到另一个集合的规律性映射，它可以把自变量的取值对应到因变量的取值。
函数的定义是指:如果对于集合A中不同的元素a，通过某一个确定的规则f，都有唯一确定的元素b与之对应，那么这个规则就是一个函数，它的定义域为集合A，值域为集合B。
2. 自变量和因变量在函数中，自变量是指可以独立变化的变量，通常用x表示；而因变量是通过自变量的取值所唯一确定的变量，通常用y表示。
在函数中，自变量的取值决定了因变量的取值。
3. 函数的表示函数的表示可以有多种形式，其中最常见的形式有函数的解析式表示、函数的图像表示和函数的表格表示。
函数的解析式表示是指通过一个表达式来描述函数关系；函数的图像表示是指通过函数的图像来描述函数关系；函数的表格表示是指通过一个表格来记录函数的自变量和因变量的对应关系。
二、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是指函数的自变量可以取值的范围，它可以通过函数的解析式来确定。
函数的值域是指函数的因变量可以取值的范围，它也可以通过函数的解析式来确定。
2. 奇偶性在函数中，我们常常关注函数的奇偶性。
如果对于函数f，对任意的x，都有f(-x) = f(x)，那么函数f为偶函数；如果对于函数f，对任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数f为奇函数。
3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减关系。
如果对于函数f，对任意的x1<x2，都有f(x1)≤f(x2)，那么函数f为递增函数；如果对于函数f，对任意的x1<x2，都有f(x1)≥f(x2)，那么函数f为递减函数。
4. 周期性在函数中，我们还关注函数的周期性。
如果存在常数T>0，使得对于函数f，对任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f有周期T。
高中数学选修本(理科)对数函数与指数函数的导数
对数函数与指数函数的导数——指数函数的导数●教学目标(一)教学知识点指数函数的导数的两个求导公式：(e x )′=e x .(a x )′=a x ln a .(二)能力训练要求1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数的四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么的基础上，应用指数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．(三)德育渗透目标培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力.●教学重点结合函数四那么运算的求导法那么与复合函数的求导法那么，以及四种基本初等函数的求导公式，应用指数函数的求导公式.●教学难点指数函数的求导公式的记忆，以及应用指数函数的求导公式.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］先复习一下四种基本初等函数的求导公式.常数函数，幂函数，三角函数，对数函数.［生］C ′=0(C 是常数)(x n )′=nx n －1(n ∈R )(sin x )′=cos x (cos x )′=－sin x .(ln x )′=x 1 (log a x )′=x1log a e . ［师］这节课要学习第五种基本初等函数的求导公式，就是指数函数的求导公式.Ⅱ.讲授新课(一)指数函数的导数［板书］1.(1)(e x )′=e x(2)(a x )′=a x ln a［师］这两个公式的证明需要用到反函数的求导法那么，这超出了目前的学习X 围，所以这里就不再证明.只需记住它的结论，以e 为底数的指数函数的导数是它本身，以a 为底数的指数函数的导数是它的本身乘以ln a .我们利用这两个公式就可以求一些关于指数函数的导数了.(二)课本例题［例3］y =e 2x cos3x 的导数［分析］ 这题先要用到两个函数乘积的求导法那么，再要用到复合函数的求导法那么.解：y ′=(e 2x )′cos3x +e 2x (cos3x )′=e 2x (2x )′cos3x +e 2x (－sin3x )(3x )′=2e 2x cos3x －3e 2x sin3x=e 2x (2cos3x －3sin3x )［例4］求y =a 5x 的导数.［分析］这题只需用复合函数的求导法那么.解：y ′=(a 5x )′=a 5x ln a ·(5x )′=5a 5x ln a .(三)精选例题［例1］求函数y =e -2x sin3x 的导数.［学生分析］先用积的求导法那么，(uv )′=u ′v +uv ′，再用复合函数的求导法那么求导，y x ′=y ′u u ′x . ［学生板演］解：y ′=(e -2x )′sin3x +e -2x ·(sin3x )′=e -2x (－2x )′sin3x +e -2x cos3x (3x )′=－2e -2x sin3x +3e -2x cos3x=e -2x (3cos3x －2sin3x ).［例2］求y =xe x3sin 2-的导数. ［学生分析］先用商的求导法那么2)(v v u v u v u '-'='，再用复合函数求导法那么求导.y ′x = y ′u ·u ′x .［学生板演］解：y ′=(x e x 3sin 2-)′=222)3(sin )3(sin 3sin )(x x e x e x x '-'-- xx x e x x e x e x x x 3sin )3cos 33sin 2(3sin 33cos 3sin )2(22222+-=⋅--=--- ［例3］求y =x sin x 的导数.y =ln x sin x =sin x ·ln x两边对x 求导y y '=cos x ·ln x +sin x ·x1 ∴y ′=(cos x ln x +x x sin )y =(cos x ·ln x +xx sin )·x sin x . y =f (x )都可以用指数函数的形式表示出来y =)(log x f a a，为了方便起见，我们取a =e .∴y =)(ln x f e .这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？［学生板演］解：由所给函数知x ＞0∵x x x x e e x y x ln sin ln sin sin ⋅===∴y ′=)ln (sin )(ln sin ln sin '⋅⋅='⋅⋅x x e e x x x x)sin ln (cos )sin ln (cos sin ln sin xx x x x x x x x e x x x +⋅=+⋅=⋅ ［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x ＞0，∵x sin x 是幂函数的形式，所以x ＞0，否那么x n (xx sin x ＞0，所以在用第一种方法求导时，等于默认了y ＞0.［师生共同总结］形如(u (x ))v (x )的幂指函数，可以用两种方法求导，其一，是两边取对数后再对x 求导；其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.［例4］求y =32x lg(1－cos2x )的导数.方法一：y =32x lg(1－cos2x )=9x lg(1－cos2x )y ′=9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -·(1－cos2x )′ =9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -sin2x ·2. =9x ·ln9·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·xx x 2sin 2cos sin 2 =9x ·2ln3·lg(1－cos2x )+29x ·lg e ·cot x=2·9x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］方法二：y ′=(32x )′lg(1－cos2x )+32x ·［lg(1－cos2x )］′=32x ·ln3·2lg(1－cos2x )+32x ·x e 2cos 1lg -·sin2x ·2=2·32x ln3·lg(1－cos2x )+2·32x lg e ·cot x=2·32x ［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］［例5］求y =f (e x )e f (x )的导数，其中f (x )为可导函数.解：y ′=［f (e x )］′e f (x )+f (e x )·(e f (x ))′=f ′(e x )·e x e f (x )+f (e x )·e f (x )·f ′(x )=e f (x )［f ′(e x )e x +f (e x )·f ′(x )］.［例6］求y =2x x 的导数.(请两位同学用两种不同的方法做)(方法一)解：两边取对数，得ln y =ln2+x ln x .两边对x 求导y 1y ′=(x )′ln x +x (ln x )′=21x 21-ln x +x ·x 1 )2(ln 21ln 21212121+=+=---x x x x x ∴y ′=)2(ln 2)2(ln 212121+=⋅+--x x x x x x x (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+===. (方法二)解：x x x x e e xy x ln 2ln 2ln 2+=== y ′=)1ln 21()ln (21ln 2ln ln 2ln xx x x e x x e x x x x ⋅+='⋅-++)2(ln )2(ln 2122121+=+⋅=--x x x x x x x ［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对x ln x 求导就可以了.所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.Ⅲ.课堂练习.求以下函数的导数.1.y =x 2e x .解：y ′=(x 2e x )′=2xe x +x 2e x =(2+x )xe x2.y =e 3x解：y ′=(e 3x )′=e 3x ·3=3e 3x3.y =x 3+3x解：y ′=3x 2+3x ·ln3.4.y =x n e －x解：y ′=nx n －1e －x +x n e －x ·(－1)=(n －x )x n －1e －x .5.y =e x sin x解：y ′=e x sin x +e x cos x =e x (sin x +cos x )6.y =e x ln x 解：y ′=e x ln x +e x ·x 1=e x (ln x +x 1)7.y =a 2x +1解：y ′=a 2x +1ln a ·2=2a 2x +1·ln a8.y =2〔22x xe e -+〕解：y ′=22222)2121(x x x xe e e e ---=-⋅.f (x )=2x e +1那么f ′(x )=(C )A.(x 2+1)2x e B.(x 2+1)12+x e x 12+x e xe 2x解：(2x e +1)′=12+x e ·2x =2x 12+x e .10.假设f (x )=e cos x .求f ′(x ).解：f ′(x )=(e cos x )′=e cos x ·(cos x )′=－sin x ·e cos x .y =xe 1－cos x 的导数. 解：y ′=(xe 1－cos x )′=e 1－cos x +xe 1－cos x ·(1－cos x )′ =e 1－cos x +xe 1－cos x ·sin x =(1+x sin x )e 1－cos xy =2x e +ax 导数.解：y′=(2x e+ax)′=2x e·2x+a=2x2x e+a.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(e x)′=e x，(a x)′=a x ln a，以及它们的应用.还有形如(u(x))v(x)的函数求导有两种方法：其一，两边取对数，再两边对x求导，其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.Ⅴ.课后作业(一)课本P127~128.习题3.5 2、3(1)(3).近似计算.128~129131~1322.预习提纲.(1)自变量的微分概念、表示.(2)函数的微分概念、表示.(3)Δy与y的微分的关系.(4)导数用微分如何表示.(5)求微分的方法.(6)微分的四那么运算法那么.●板书设计。
高中数学理科知识点
高中数学理科知识点数学作为一门理科学科，在高中阶段是必修课程。
它不仅培养了我们的逻辑思维能力，还为我们日后的学习和工作奠定了坚实的基础。
下面，我们将探讨一些高中数学理科的重要知识点。
一、代数与函数代数与函数是数学的重要分支，它涉及到方程、不等式、函数等概念和应用。
在代数学中，我们学习如何解方程和不等式，并应用它们解决实际问题。
同时，我们还引入了函数的概念，掌握了函数的性质、图像和应用，例如一次函数、二次函数、指数函数等。
二、数列与数列极限数列是有序的数的排列，数列极限是数列的重要概念之一。
我们研究数列的性质，如等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
通过数列极限的研究，我们能够找到数列的发展趋势，推断数列的通项公式。
三、立体几何与空间向量立体几何是研究空间中的图形与体的性质和关系的学科。
在立体几何中，我们学习了平面与空间的交点、点、线和面的性质，并应用这些性质解决问题。
此外，我们还学习了平行四边形、正方体、圆锥体等图形的性质，并能够计算它们的面积和体积。
空间向量是研究空间中有方向和大小的量的学科。
在空间向量中，我们学习了向量的概念、性质和运算，并应用空间向量解决平面几何和立体几何问题。
四、导数与微分导数是微积分学的基本概念，它是描述函数变化率的工具。
我们学习了函数的导数定义、导数的性质和计算方法，并应用导数解决实际问题。
微分是导数的运算，通过微分，我们能够求出函数在某个点的切线方程和切线斜率。
五、概率与统计概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
我们学习了随机事件的定义、概率的计算方法，并应用概率解决实际问题。
统计学是研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，我们学习了数据的整理、图表的绘制和参数的估计。
在学习高中数学理科知识点的过程中，我们要注重理论与实践相结合。
通过大量的练习，我们可以巩固知识点，提高解题能力。
此外，在遇到难题时，我们要培养良好的分析和思考能力，灵活运用已有知识解决问题。
高中数学理科知识点的掌握不仅对我们的高中阶段学习有重要的影响，更为我们日后的学习和工作打下坚实的基础。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第1章 1.8 对数与对数函数
性 质
4.反函数 28__________互为反函数，它 指数函数 y＝ax 与对数函数○ 29__________对称． 们的图象关于直线○
答案： ①ax＝N(a＞0 且 a≠1) ②x＝logaN ③a ④N ⑤ logaN ⑥ 10 ⑦ lgN ⑧ e ⑨ lnN ⑩ N ⑪ N ⑫ logbN ＝ logaN logab ⑬logad ⑭logaM＋logaN ⑮logaM－logaN ⑯nlogaM 210 ○ 22y＞0 ○ 23y＜0 ○ 24y ⑰(0， ＋∞) ⑱R ⑲(1,0) ⑳1 ○ 25y＞0 ○ 26增函数 ○ 27减函数 ○ 28y＝logax ○ 29y＝x ＜0 ○
续表 a＞1 0＜a＜1 (1)定义域：⑰__________ (2)值域：⑱__________ 21____ (3)过点⑲____，即 x＝⑳____时，y＝○ 24 (4)当 x＞1 时，○ 22______ (4)当 x＞1 时，○ ______ 23______ 25 当 0＜x＜1 时，○ 当 0＜x＜1 时，○ ______ (5)是(0，＋∞)上的 26____ (5)是(0，＋∞)上的○ 27____ ○
考点自测 1.设 a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
)
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解析：∵log 1 b＜log 1 a＞log 1 C，∴b＞a＞c， ∴2b＞2a＞2c.故应选 A. 答案：A
2 2 2
1 2．函数 f(x)＝ 的定义域为( 2 log2－x ＋4x－3 A．(1,2)∪(2,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞) C．(1,3) D．[1,3]
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高三数学理科第五课时：基本初等函数 指、对、幂
备课人：刘妮：
【专题要点】 1.理解函数的概念，了解映射的概念 2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和
奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程． 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系 .
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津三 在导数应用中如何构造函数
.
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:构造
()
F(x)= ,则
'()·-()
F'(x)= 2 ,当
x<0 时,xf'(x)-f(x)>0,
可以推出当 x<0 时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
()
∵F(x)= 为奇函数,
∴F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F(1)=0,F(-1)=0,
起看看常考的几种形式.
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
()
'()sin -()cos
F(x)= ,F'(x)=
;
2
sin
si n
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
()
'()cos +()sin
F(x)=xnf(x),F'(x)=nxn-1f(x)+xnf'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)];
()
'()· - -1 ()
F(x)= ,F'(x)=
2
=
'()- ()
.
+1
结论:(1)如果题目中出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,F(4)=0,根据函数的单调性、
高中总复习二轮理科数学精品课件 第二部分 2.1 基本初等函数、函数的图象和性质
3.特别注意“若奇函数在x=0处有定义,则一定有f(0)=0”“偶函数一定有
f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.
4.函数的周期性多与函数的奇偶性、单调性等性质相结合,常涉及求解函
数的周期,常见形式主要有以下几种:
(1)如果f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数f(x)是周期函数,其中一个周期为T=|ab|.
间[0,+∞)上单调递增,所以 a>b>c.
4
1
1
1
3 <3 = ,f(x)在区
,0<3
3
3
命题热点三 函数的图象及其应用
【思考】 如何识别已知函数的图象?如何根据函数的性质判断函数的图
象?
例3(2022全国甲,理5)函数y=(3x-3-x)cos
( A )
π π
x在区间 - , 上的图象大致为
2 2
- ,
2 2
C.是偶函数,且在区间
1
-∞,- 2
上单调递增
D.是奇函数,且在区间
1
-∞,2
上单调递减
∞ 上单调递增
上单调递减
)
(2)(2022新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),
22
f(1)=1,则 ∑ f(k)=(
=1
A.-3
B.-2 C.0
因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,
f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,
所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0.
高中数学高考高三理科一轮复习资料第1章 1.10 函数与方程
解析：∵函数 f(x)唯一零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，∴函数 f(x)的唯一零点必在区间(0,2)内，故应选 C. 答案：C
2 3．函数 f(x)＝lnx－ 的零点所在的大致区间是( x A．(1,2) B．(2,3) C．(e,3) D．(e，＋∞)
)
解析：∵f(1)＝ln1－2＝－2＜0，f(2)＝ln2－1＜0，故排除 2 A，又∵f(3)＝ln3－3，∵3＞e，∴ln3＞1， ∴f(3)＞0，故选 B. 答案：B
3．函数零点的存在性定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④________的一 条曲线，并且⑤________，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有 零点，即存在 c∈(a，b)，使得⑥________，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 4．二分法的定义 对于在区间[a， b]上连续不断且 f(a)· f(b)＜0 的函数 y＝f(x)， 通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间⑦________，使区间的 两个端点逐渐逼近零点， 进而得到⑧________的方法叫做二分 法．
)
解析：∵x2＋2x－3＝0，∴(x＋3)(x－1)＝0， ∴x＝1，－3. ∵f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴顶点为(－1，－4)． 故应选 C. 答案：C
2．若函数 f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，那么下列命题正确的是( ) A．函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B．函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C．函数 f(x)在区间[2,16)上无零点 D．函数 f(x)在区间(1,16)内无零点
高中数学
1．10 函数与方程
高中数学理科知识点总结
高中数学理科知识点总结一、代数1.1 一次方程和一元一次方程组一次方程是指次数为一的方程，一元一次方程指的是一个未知数的一次方程。
解一元一次方程可以通过整理等式，用逆运算求出未知数的值来解决。
1.2 二次函数和二次方程二次函数是指次数为二的函数，常见的形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次方程是指次数为二的方程，通常表现为ax^2+bx+c=0的形式。
解二次方程可以使用公式法、配方法、完全平方公式等方法来解决。
1.3 集合和映射集合是指具有某种共同特征的事物的总体，用大写字母A、B、C等表示，元素用小写字母或数表示。
映射是指一个对应关系，用f：A→B表示，A称为定义域，B称为值域。
1.4 不等式和不等式组不等式指的是两个表达式之间的关系不是相等关系，常见的不等式有绝对值不等式、多项式不等式、有理式不等式等。
不等式组是指由两个或多个不等式组成的数学结构，通过解不等式组可以确定不等式的取值范围。
1.5 同余方程同余方程是指两个整数除以一个正整数m的余数相同的方程，通常形式为a≡b(mod m)。
同余方程在密码学、数论等领域有广泛的应用。
1.6 组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素的所有可能性的数目，通常用C(n,m)或者（nm）表示。
1.7 等差数列和等比数列等差数列是指一个数列中每个数与它前面的数的差都是一个常数，该常数称为公差。
等比数列是指一个数列中每个数与它前面的数的比都是一个常数，该常数称为公比。
1.8 多项式多项式是指包含有限个数项的代数和，常见的多项式有二项式、三项式、四项式等，多项式有加减乘除等运算。
1.9 分式分式是指两个多项式的商，通常形式为a/b，其中a、b是多项式。
1.10 因式分解因式分解是指将一个多项式表示成几个乘积的形式，有整式因式分解和分式因式分解等。
1.11 幂的运算幂是指相同数的连乘运算，通常形式为a^n，其中a为底数，n为指数。
1.12 对数对数是表示以一个数为底数的幂等于另一个数，通常形式为loga(b)=c，其中a为底数，b 为真数，c为对数。
2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的连续性(I)
2019-2020年高中数学选修本(理科)函数的连续性(I)1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，f (x )存在，且f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)f (x )存在；(3)f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，(g(x)≠0)也在点x 0处连续。
②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。
4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )，在b 点处左极限存在等于f (b ).5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义：如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有f (x )=f (b ),就说函数f (x )在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。
高中数学选修本(理科)函数的最大值与最小值
函数的最大值与最小值●教学目标(一)教学知识点解有关函数最大值、最小值的实际问题.(二)能力训练要求用有关求函数的最大值、最小值的知识，解决一些实际问题的最大值与最小值的能力.(三)德育渗透目标1.通过解有关函数最大值、最小值的实际问题，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.2.培养学生实际问题转化为数学问题的数学思想.3.通过解决实际问题，培养学生的数学应用意识，以及学生对数学的兴趣.●教学重点求解有关函数最大值、最小值的实际问题，这是培养学生能力的关键.●教学难点如何把实际问题转化成抽象的数学问题.解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义.●教学方法讲练结合.●教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们在这一章的开始讲了，我们之所以要学习有关函数的导数与微分的知识，是为了解决在日常生活、生产和科研中常常会遇到的一些实际问题.我们首先学习了第一部分导数的概念和运算，以及微分的概念和运算；接着第二部分是导数的应用，先是用导数来研究函数的单调性，然后是函数的极值和最值.而在日常生活、生产中经常会碰到一些有关最值的实际问题.比如像引言中提到的金属罐用料最省的问题.这节课，我们就来看一下，运用我们学过的知识，怎么样来解决，诸如此类的实际问题.Ⅱ．讲授新课(一)函数最值的实际问题(课本例题)(板书)［例1］圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取(如图3—36)，才能使所用材料最省？分析：解这类有关函数最大值、最小值的实际问题时，首先要把各个变量用字母表示出来，然后需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；接着运用数学知识求解，所得结果要符合问题的实际意义.也就是说最后要进行检验.这里要使用料最省，就是使圆柱形的表面积最小，并且体积一定.解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S =2πRh +2πR 2.∵V =πR 2h ，∴h =2R V . 图3—36∴S =S (R )=2πR ·2R V π+2πR 2=RV 22πR 2 ∵S ′=S ′(R )=－22R V +4πR . 令－22RV +4πR =0，即4πR 3－2V =0. 解得R =32πV ∴333222322244)2(πππππππV V V V V V RV h ===== 即h =2R∵当0<R <32πV 时，S ′<0. 当R >32πV 时，S ′>0. ∴S (R )在R =32πV 处有极小值， 且S 极小值=6π3224πV 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值.答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.注：在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )=0的情形称单峰函数，如果函数在这点有极大(或极小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(或最小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.［例2］在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图3—37)，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？图3—37解：设箱底边长为x ，则箱高h =260x - ∴箱子容积V (x )=x 2·h =x 2·26026032x x x -=- (0<x <60)令V ′(x )=21(120x －3x 2)=23x (40－x )=0. 解得x 1=0(舍去)，x 2=40.V (40)=16000.当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，V →0即箱子容积很小∴16000是最大值.答：当箱底边长为40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16000 cm 3.(二)精选例题1.求证：在同一圆的内接矩形中，正方形面积最大.分析：如果知道圆的半径R ，内接矩形的两邻边长分别为x ，y ，矩形面积S =xy ，就是要证x =y 时S 最大，由矩形、圆的性质可知，矩形的对角线就是圆的直径，把x 、y 的关系找出来，则y 可用x 表示，S 是关于x的函数，则可求S 的最大值.证明：设⊙O 的半径为R ，矩形ABCD 的两邻边长分别为x 、y .则矩形面积S =xy (0<x ，y <2R )∵∠ABC =∠ADC =90°，∴A 、O 、C 共线，∴AC =2R .∴x 2+y 2=(2R )2，y =224x R - (∵y >0) ∴S =x 224x R -.令S ′=0424422422222222=--=--⋅+-x R x R x R xx x R∴4R 2－2x 2=0，解得x 1=－2R (舍去)，x 2=2R ∴y =2)2(422=-R R R =x .又∵当x 或y 接近于0时，S 接近于0.当x 或y 接近于2R 时，S 接近于0.∴当x =y =2R 时，S 最大=2R 2.∴矩形为正方形.∴同一圆的内接矩形中，正方形面积最大.2.某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )=1200+752x 3(万元)，又知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，问产量定为多少时总利润最大？［生析］总利润=总的销售额－成本，总的销售额=单价×产品件数.所以关键是把单价用产品件数x 表示出来.图3—38解：设单价为q >0，由题意q 2·x =k当x =100时，q =50，∴502·100=k ，k =250000∴q 2·x =250000，即q =x 500. ∴总利润y =xq －c (x )=x ·x 500－1200－752x 3=500752-x x 3－1200. 令y ′=500·75221-x ·3x 2=x x 252625025-=0. ∴6250－225x =0，解得x =25.当x <25时y ′>0，当x >25时，y ′<0.∴当x =25时，y 有最大值.答：当产量为25万件时，总利润最大.3.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20厘米，要使体积为最大，则其高应为多少？解：设圆锥底面半径为R ，圆锥高为h∴h 2+R 2=202∴R =2400h -.∴圆锥体积V =31πR 2·h =31π(400－h 2)·h =31π(400h －h 3) 令V ′=31π(400－3h 2)=0，∵h >0 ∴解得h =3320 当h <3320时V ′>0，当h >3320时V ′<0. ∴当h =3320时，V 有最大值. 答：其高应为3320 cm ，体积最大. 4.在平面坐标系内，通过一已知点P (1，4)引一直线，使它在两坐标轴上的截距都为正，且图3—39两截距之和为最小，求这条直线的方程.解：设这条直线方程为y －4=k (x －1)令x =0得y =－k +4令y =0得x =－k 4+1 由题意⇒⎩⎨⎧<><⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-0440144k k k k k 或k <0.两截距之和d =－k +4－k 4+1=－k －k 4+5令d ′=－1－40)2)(2(4)1(2222=-+=-=-k k k k k k解得k 1=－2，k 2=2(舍去)当k <－2时，d ′<0当k >－2时，d ′>0∴当k =－2时，d 有最小值.∴这条直线的方程为y －4=－2(x －1)即y =－2x +6.5.平地放一重物，其重为P 牛顿，若此物体与地面之间的摩擦系数为μ，现加一外力F ，使之移动，问此力与水平方向夹角为多少时，最省力？解：水平方向F cos θ=f =μN .竖直方向F sin θ+N =P∴F sin θ+μ1F cos θ=P∴F =θμθcos 1sin +P令F ′=0)cos 1(sin )sin 1(cos 2=+--θμθθμθP∴cos θ=μ1sin θ，tan θ=μ，解得θ=arctan μ(∵0≤θ≤2π) 图3—40当θ<arctan μ时，F ′<0.当θ>arctan μ时，F ′>0.∴当θ=arctan μ时，F 取到最小值.答：此力与水平方向夹角为arctan μ时，最省力.6.数列{n n }中的最大项为第几项.n n 解：令y =n n ，n ∈N *n n n n y 1==.两边取对数ln y =n1ln n . 两边对n 求导，n n n n y y 11ln 12⋅+-=' ∴y ′=21n(1－ln n )·n n . 令21n(1－ln n )n n =0，∴n =e . n <e 时，y ′>0，y 是增函数，∴1<2. n >e 时，y ′<0，y 是减函数，∵n ∈N * ∴33>n n (n >3) 只要比较2与33，∵6369382=>=.∴当n =3时，y =n n 取到最大值. ∴数列{n n }中的最大项为第三项.［师生共评］这题中因为定义域是N *，所以n =e 不能取到，根据函数的增减性进行判断. Ⅲ.课堂练习1.把60 cm 的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时，矩形面积最大？解：设长、宽分别为x ，y .∴2(x +y )=60，y =30－x .矩形面积S (x )=xy =x (30－x )=30x －x 2令S ′(x )=30－2x =0，解得x =15.当x <15时，S ′(x )>0当x >15时，S ′(x )<0∴当x =15时，S (x )取得最大值.此时y =30－x =30－15=15.答：长、宽都为15 cm 时，矩形面积最大.2.把长100 cm 的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？ 解：设一段铁丝长x cm ，则另一段铁丝长(100－x )cm. 则围成的正方形的边长分别为4x cm ，4100x - cm. ∴两个正方形面积之和为S (x )=(4x )2+(4100x -)2=81x 2－225x +625. 令S ′(x )=41x －225=0，解得x =50. 当x <50时，S ′(x )<0当x >50时，S ′(x )>0.∴当x =50时，S (x )取到最小值.答：应该把100 cm 的铁丝分成两段都是50 cm.Ⅳ.课时小结这节课主要学习了有关解函数的最值的实际问题.首先把各变量用各字母分别表示出来，然后分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式.确定函数的定义区间，用数学知识求得最大、最小值.所得结果要符合问题的实际意义，即进行检验.如在区间内函数只有一个点使f ′(x )=0，且在这点上函数有极大或极小值，那么解实际问题时，可以不与端点值进行比较，而直接可以得出这就是最大或最小值.Ⅴ．课后作业(一)课本P 140，习题3.9 2(2)、3、4、5.(二)1.复习回顾本章基本内容.2.对本章各部分内容进行总结.●板书设计。
高中数学选修本(理科)函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值一、学习目标 理解极值与最值的区别联系，会求某些函数的最值，会运用最值知识解决一些实际问题．二、重点难点本节重点：最值定义及求最值步骤本节难点：极值是局部性概念，最大〔小〕值可以看作整体性概念.三、典型例题1．怎样求函数的最大、最小值．例1求f 〔x 〕＝x 3－3 x 2－9 x ＋5在[－4，4]上的最大值和最小值．[解]f ′(x )＝3 x 2 －6 x －9＝3〔x ＋1〕〔x －3〕令f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝3f ″(x )＝6 x －6f ″(－1)＝－12＜0；f ″(3)＝12＞0∴f 〔x 〕在x ＝－1处有极大值f 〔－1〕＝10f 〔x 〕在x ＝3处有极小值f 〔3〕＝－22在区间端点处f 〔－4〕＝－71，f 〔4〕＝－15比较上述结果得：f 〔x 〕在[－4，4]上的最大值为f 〔－1〕＝10，最小值为f 〔－4〕＝－71．[点评]求在闭区间上的最大最小值：① 求出导数为0的点和导数不存在的点，② 求出导数为0的点和导数不存在的点及端点的函数值，③ 直接比较它们的大小．2．怎样求解应用题的最大最小值问题？例2矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．[解]设位于抛物线上的矩形的一个顶点为〔x ，y 〕，且x ＞0，y ＞0，那么另一个在抛物线上的顶点为〔－x ，y 〕，在x 轴上的两个顶点为〔－x ，0〕、〔x ，0〕，其中0＜ x ＜2．设矩形的面积为S ，那么S ＝2 x 〔4－x 2〕，0＜ x ＜2．由S ′〔x 〕＝8－6 x 2＝0，得x ＝332，易知 x ＝34是S 在〔0，2〕上的极值点， 即是最大值点， 所以这种矩形中面积最大者的边长为332和38． [点评]应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．例3一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？[解]假设每次进书x 千册，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，那么平均库存量为批量之半，即2x ，故有 y ＝x 150×30＋2x ×40，y ′＝－24500x＋20， 令y ′＝0，得x ＝15，且y ″＝39000x，f ″(15)＞0， 所以当x ＝15时，y 取得极小值，且极小值唯一，故 当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15150＝10〔次〕． 即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．[点评]此题应用了二阶导数判定极小值．又由于极小值唯一，即为最小值．例4有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？[解]设水厂D 点与乙城到岸的垂足B 点之间的距离为x 千米，总费用为y 元， 那么CD ＝2240+x ．y ＝500〔50－x 〕＋70016002+x＝25000－500 x ＋70016002+x ，y ′＝－500＋700 · 21(x 2＋1600)21-· 2 x ＝－500＋16007002+x x，令y ′＝0，解得x ＝3650． 答：水厂距甲距离为50－3650千米时，总费用最省． [点评]当要求的最大〔小〕值的变量y 与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x ，然后再根据条件x 来表示其他变量，并写出y 的函数表达式f 〔x 〕．。
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专题1 函数(理科)一、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念.2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函数图像要注意以下方面。
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．例1设a＞0，求函数)ln()(axxxf+-=(x∈(0，＋∞))的单调区间．分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式()0f x'≥(递增)及()0f x'<(递减)。
解：)0(121)(>+-='x a x xx f ．当a ＞0，x ＞0时f '(x)＞0⇔x2＋(2a －4)x ＋a2＞0， f '(x)＜0⇔x2＋(2a －4)x ＋a2＜0． (ⅰ)当a ＞ 1时，对所有x ＞ 0，有 x2＋(2a －4)x ＋a2＞0，即f '(x)＞0，此时f(x)在(0，＋∞)内单调递增． (ⅱ)当a ＝1时，对x ≠1，有 x2＋(2a －4)x ＋a2＞0，即f '(x)＞0，此时f(x)在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递增． 又知函数f(x)在x ＝1处连续，因此，函数f(x)在(0，＋∞)内单调递增． (ⅲ)当0＜a ＜1时，令f '(x)＞0，即 x2＋(2a －4)x ＋a2＞0，解得a a x ---<122，或a a x -+->122．因此，函数f(x)在区间），a a ---1220(内单调递增，在区间），∞+-+-a a 122(内也单调递增．令f '(x)＜0，即x2＋(2a －4)x ＋a2 ＜ 0， 解得 ：a a x a a -+-<<---122122．因此，函数f(x)在区间），a a a a -+----122122(内单调递减．点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．例2 已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=x x ax x f 。
设a x 201<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。
(Ⅰ)求l 的方程；(Ⅱ)设l 与x 轴交点为)0,(2x 。
证明：①a x 102≤<；② 若a x 11<，则a x x 121<<(Ⅰ)分析：欲求切线l 的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，问题归结为求曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 的一阶导数值。
解：求)(x f 的导数：2'1)(x x f -=，由此得切线l 的方程：)(1)1(1211x x x x ax y --=--。
(Ⅱ)分析：①要求2x 的变化范围，则须找到使2x 产生变化的原因，显然，2x 变化的根本原因可归结为1x 的变化，因此，找到2x 与1x 的等量关系式，就成；② 欲比较2x 与1x 的大小关系，判断它们的差的符号即可。
证：依题意，切线方程中令y ＝0，a x ax x x ax x x 20)2()1(1111112<<-=+-=，其中.由a a x a x x ax x x a x 1)1(,0),2(,2021221121+--=>-=<<及有a x a x a x 11,10212==≤∴时，当且仅当〈.②a x x ax x x ax a x 1)2(112111211<>-=<<，且由①，，因此，时，当 a x x 121<<所以。
点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。
例3、 函数y ＝1－11-x 的图象是( )解析一：该题考查对f(x)＝x 1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y ＝x 1的图形变形到y ＝11-x ，即向右平移一个单位，再变形到y ＝－11-x 即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－11-x ＋1，从而得到答案B.解析二：可利用特殊值法，取x ＝0，此时y ＝1，取x ＝2，此时y ＝0.因此选B. 答案：B点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。
2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。
考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例４()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式. 证明：由题意可知))(()(21x x x x a x x f --=-.a x x x 1021<<<< ，∴ 0))((21>--x x x x a ，∴ x x f >)(.又)1)(())(()(211211+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x x f ， ,011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且 ∴ 1)(x x f <，综上可知，所给问题获证.点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式()().21x x x x a y --=。
例5 已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .(1)如果4221<<<x x ，设函数)(x f 的对称轴为0x x =，求证：10->x ；(2)如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.分析：条件4221<<<x x 实际上给出了x x f =)(的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解：设1)1()()(2+-+=-=x b ax x x f x g ，则0)(=x g 的二根为1x 和2x . (1)由0>a 及4221<<<x x ，可得 ⎩⎨⎧><0)4(0)2(g g ，即⎩⎨⎧>-+<-+034160124b a b a ，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+⋅--<-⋅+,043224,043233a a b a a b 两式相加得12<a b，所以，10->x ; (2)由a ab x x 4)1()(2221--=-， 可得 1)1(122+-=+b a .又0121>=a x x ，所以21,x x 同号.∴ 21<x ，212=-x x 等价于⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<<1)1(1220221b a x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+-=+<<-<1)1(1202212b a x x ， 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>1)1(120)0(0)2(2b a g g 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+>>-1)1(120)0(0)2(2b a g g解之得41<b 或47>b .点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。