chapter8边界层解析
边界层理论
x x 2 x x y x y y 2
y
U y 2 x g ( x)
g ( x)
2 x U
( x, )坐标下流函数
f ( )
f
2U x
2U
x f ( )
( x, y )
坐标下流函数
( x, y)
u y
v
U f f ' 2x
《高等流体力学》
汪志明教授
22/124
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯解—数值解
用数值的方法直接求解勃拉修斯方程的一些结果
0.0
f
0.0000000
f'
0.000000
f ''
0.469600
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
《高等流体力学》
v x
汪志明教授
20/124
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯方程
x y 0 x y
y0 y u v 0 u V
x
x x y x x y y 2
2
u
y y
不可压缩粘性流体稳定、二维层流流动N-S方程
2 x 2 x x x 1 p x y gx x 2 y 2 x y x 2 y 2 y y y 1 p x y gy 2 x 2 x y y y
0.423368
0.410565 0.395984 0.379692 0.361804 0.342487 0.321950
1.8
1.9
流体力学第8章中文版课件
Chapter 8: External flows
14
8.3 绕淹没体的流动
分离前的湍流边 界层 分离前的层流 边界层
2013-11-25
Chapter 8: External flows
15
8.3 绕淹没体的流动
2013-11-25
Chapter 8: External flows
16
8.3 绕淹没体的流动
W FD
sphere volume CD V 2 A
4 3 1 S water R CD V 2R 2 3 2
1 2
8RS water V 3C D
2013-11-25
1/ 2
8 0.15 1.02 9800 3 1.20 CD
Re
VD
129 0.3 2.42 10 6 1.6 10 5
V 129 m/s
2013-11-25 Chapter 8: External flows 20
8.3 绕淹没体的流动
求解：(b) 对于球在水中的下落情况，则必须考虑施加在球体上的与阻力FD 同方向的浮力 B 的作用：
如果物体形状上有一 个突然的变化，分离 点将出现在形状突然 变化点或其附近。 另外，分离后流 体在某一个位臵 上又会重新附着 在物体上。
2013-11-25
Chapter 8: External flows
10
8.2 分离
在分离点的上游，壁面附 在分离点的下游，壁面附 近的 x方向上的速度分量 近的 x方向上的速度分量在 负 x 方向，因此在正 x 方向，因此 壁面上 壁面上的 的 u/y一定是负的。 u/y是正的。
流体力学边界层理论
于是
τ 0 = 0.332
μρU 2 x
上式可看出平板层流边界层局部摩擦切应力与ｘ坐标的平方根成反比的规
律随着ｘ的增加而减小。
现计算整个平板上总摩擦阻力。设板长为Ｌ，板宽为ｂ，则平板单面总摩擦
阻力是：
∫ ∫ Rf =
Lτ
0
0bdx
=b
L
0.332
0
μρU 3 dx = 0.664 x
μρ LU 3
总摩擦阻力系数 C f 由下式确定：
2
则：
vx
(
x,
y)
=
U
⋅
1 2
ϕ ′(η )
设 U=25 km/h，ν=0.15cm2/s, x=3m,ｙ=5mm，
求：Vx＝？
解：U=25×1000/3600=6.95m/s, ν=0.0015m2/s,
x=3m, y=0.005m,
代入η中得：
η = 1 × 5×10−3 × 2
6.95 0.15 ×10−4
（11-14）式应采取如下形式：
ϕ(x, y) = xϕ( y ) x
（11-16）
返回为有量纲解时，不出现Ｌ，即 ：
ϕ = ν U x ϕ (η )
η=1y U 2 νx
（11-18）
通过以上分析，来求解下列形式的ψ。
⎡y⎤
ϕ=
νUL
x
⎢ ⎢
L⎢
⎢ ⎣
νL ⎥
U ⎥=
x⎥
L
⎥ ⎦
⎡ νUxϕ ⎢ y
Ｕ（起参数作用），ν和Ｕ不同时，同一空间点上ψ的值不同。
现设法将方程和边界条件中各个物理量无量纲化，不再出现ν和Ｕ。
选特征量：
Ｌ：ｘ的比例尺
8 第八章 边界层与绕流阻力解析
应用量级比较法
流 体 力 学 与 流 体 机 械
Fluid Mechanics and Machinery
第二节 边界层微分方程
~ L, ~ 1 ~ , dy ~ ~ , x ~ 1, u x ~ U
ux ~ 1, x u y ~ 1, u y ux 1 2 ux 2ux 1 ~ , ~ 1, ~ 2, ~1 2 2 y y x y u y ~ 1, u y x ~ , 2u y x
u x u x 1 p 2 u x 2 u x uy ( 2 2 ) u x y x x y x 2 2 u y 1 p u y u y u y uy ( 2 2 ) u x y y x y x u x u y x y 0
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第一节 边界层概念 2 边界层的形成与发展
U
层流边界层
过渡区
紊流边界层
Rex=Ux/
层流底层
x
边界层的发展
流体流过光滑平板时，边界层由层流转变为湍流发生在 Rek=21053106
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
U 2 U U u dy
2 0
2
0
u U
u 1 U
u dy 0 U
u 1 U
dy
Fluid Mechanics and Machinery
流 体 力 学 与 流 体 机 械
第二节 边界层微分方程 对不可压缩、二维、恒定流绕流流动，忽略质量力， 则其N-S方程式为：
边界层分析求解
5
对于管内的流动运 动，取临界雷诺数 2300
粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内
粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。 紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较 小，流体具有紊流的特点。 边界层厚度=粘性底层+紊流支层
底 =29.4 x w
9
9 1 10
m
t∞ u
流体流过固体壁面的流场就 人为地分成两个不同的区域。
δ 0
t
δ
tw x
其一是边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共 同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区，这里 流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动， 也就是势流流动。
2）边界层的厚度
当速度变化达到 u u 0.99 时的空间位置为速度边界层的 外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 x
0
x
x x 5.0 w x
1
2
5.0 Re
1
2
要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度(即 x x 1 )， 也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够 Re 1 的大,即
因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷 诺数足够大。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或 在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。
3) 临界雷诺数
随着x的增大，δ（x）也逐步增大，同时黏性力对流 场的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。 把边界层从层流过渡到紊流的x值称为临界值，记为xc， 其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即 Re c u xc
流体平行流过平板的 临界雷诺数大约是
边界层
Chap 5 Planetary Boundary Layer所謂行星邊界層（Planetary Boundary Layer ），就是大氣的近地層因和地面有交互作用（主要是受地表摩擦力的影響），風場和高層不同，如圖5-1，在近地表處存在一垂直風切，圖中的彎曲處為開始受到地面摩擦力的作用。
5.1 Atmospheric Turbulence在大氣中，造成eddy 有兩個原因：1. 地面摩擦：能有效地將動量傳至地面，並將地面的熱（潛熱和可感熱）向上傳遞。
因為摩擦力之故 ♋ 地表面處u = 0 ♋ 垂直風切 ♋ turbulent eddies （mechanically driven ）2. 地面加熱：產生convective eddies （thermally driven ） 分子的mean free path 很小（約10-7m ），即分子必頇走很多距離才能和其他分子碰撞，故傳送動量的效率很低；但如果加上亂流的作用，亂流會引起空氣的混合，可以有效地造成動量、質量、熱量和水汽之輸送（但並沒有淨質量的傳送）。
邊界層的高度和大氣環境有關：1. 當大氣非常穩定（即z∂∂θ＞0）時，turbulent eddies 無法向上發展地很高，所以邊界層高度低，最低可到數十公尺而已。
2. 若大氣較不穩定或是呈中性，邊界層就會較高，可達3㎞。
一般來說，平均邊界層高度約1㎞。
3. 大氣在夏天因比在冬天較不穩定，所以邊界層較高；同樣地，白天時大氣比晚上時不穩定，因此也有較厚的邊界層。
本章主要討論的是mechanically driven 的eddies 。
在邊界層中，以前所學到的動力方程式必頇做調整，才能包含地面摩擦力造成的turbulence 之作用。
在中緯度的行星邊界層中，主要是氣壓梯度力、科氏力和摩擦力的三力平衡。
5.1.1 The Boussinesq Approximation()'ρρρ+=z在標準大氣中，從地面向上一公里內ρ的變化約只有10﹪，且擾動項'ρ的變動幅度亦僅幾個百分比而已，但這並不表示在此範圍內的流體可假設是同質不 可壓縮的（homogeneous incompressible fluid ），因為ρ的變動對浮力影響甚鉅。
物理化学课件第8章表面物理化学
一般T升高，液体分子间引力减弱， σ值减小。
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2019/12/17
8.2 弯曲液面的特性
1.弯曲液面的附加压力 2.弯曲液面的蒸气压 3.亚稳态
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2019/12/17
1.弯曲液面的附加压力
p0
p0
pr
A
B
△p = p r－ p 0 （8-4）
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第八章 表面物理化学
8.6 胶束 8.7 气-固界面吸附 8.8 液-固界面吸附 8.9 润湿作用
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2019/12/17
8.1 表面吉布斯自由能
1.比表面 2.比表面自由能和表面张力
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σ影响如图8-7所示。
Ⅰ. 无机盐类等，表面层 浓度＜本体浓度。非表 面活性物质。
Ⅱ. 小分子醇、酸、酯类，具 有较小的疏水基和亲水基。 表面层浓度＞本体浓度。
II
III
c
图8-7 溶液表面张力与 浓度的关系
Ⅲ. 长碳链有机酸盐、烷基磺酸盐或硫酸盐等，具有 强亲水基和强疏水基。表面活性物质。
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水在土壤毛管内呈凹面， pr<<p0，水蒸气 易于在土壤毛管内凝聚。
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2019/12/17
3.亚稳态
过饱和蒸气、过冷液体、过饱和溶液等—亚稳态
对s-l界面，通过类似处理可得：
lncr c0
2ssR l M T
1 r
（8-7）
第八章 边界层理论
第八章边界层理论流转变为湍流的现象称作边界层转捩流转变为湍流的现象称作边界层转捩。
56V x Re ρ∞==∼510310x μ××粘性力为它的量级为它的量级为，粘性力为，它的量级为。
2V L ρ∞2V μ∞2μ∇V δδ1L二.边界层排挤厚度d dδδ100e e u u dy udy ρδρρ=−∫∫u d δu d ∞10(1)e dy u δ=−∫10(1)edy u δ=−∫三. 动量损失厚度2320(1)u u dy u u δδ=−∫2320(1)u u dy δ∞=−∫e e e e u u§8-3不可压缩层流边界层基本方程和边界条件一平壁面层流边界层基本方程一、平壁面层流边界层基本方程∂u、及分别为、及的特征量，并选取的特征量并Lδe u x y u且由连续方程知v无量纲物理量如下无量纲物理量如下：x x∗=y yy∗==ettL u∗=L L Reδu0=y∗∂y∂沿平壁面的不可压缩流体平面层流边界层的基本方程组。
压力沿y 方向为常数，即21ep u u u u u v ν∂∂∂∂∂++=−+∂2t x y x yρ∂∂∂∂这个方程也适用于曲率半径u x 125v 02250e 000e x 5v0.2 25 x x v u Re δ===∼10⎢⎥+=+=0y x xy u y x y y δδμμ=>=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎢⎥⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦0x x>∂x ()0y ex x u u →∞≥=()0y x xu0y →∞≥=∂与有关u ρe 2u C 2μ∂==()f y 02e u yρ∂§p （2）逆压梯度的情况，即>0）逆压梯度的情况即dpedx因此220u ⎛⎞∂<⎜⎟y y δ=∂⎝⎠⎜⎟⎜⎟0y b y y y y ==∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎣⎦()=0y 布曲线在物面上存在拐点粘性流体在顺压梯度和零压梯度的条件下，不可能出现边界层脱体，所以边界层脱体只可能在逆压梯度的条件下发生。
流体力学边界层理论
平板上u=0u=0
边界层内粘 性力不可忽
一薄层内速度这
∂vx
梯度 ∂y 很大
边界层外边界
U99％
边界层名义厚度 :外边界上流速达到 U99％的点到物面的法向距离 边界层厚度：
根据速度分布的特点，可将流场分为两个区域：
一、边界层：
∂vx 1.这一薄层内速度梯度 ∂y 很大。
2.边界层内的流动是有旋流动 ωz
表 11-1 给出问题的数值解，其中 1 ϕ′(η) = vx 就是边界层内无量纲的速
2
U
度分布。
例 11.1 本例说明上表 11-1 的用法。
(1) 欲求边界层内点（x,y）的速度 Vx（x,y）可将ｘ及ｙ的值代入η = 1 y U ， 2 νx
1
中得出η值，由此值从上表中找出相应的
ϕ
′ (η
)
⎣
U⎤
ν
x
⎥ ⎦
将ψ代入（11-17）式求解
（11-17）
∂ϕ = νUx dϕ dη = νUxϕ ⋅ 1 U = 1 Uϕ′(η)
∂y
dη dy
2 νx 2
∂ 2ϕ ∂y 2
=
1U 4
U ϕ′′(η) νx
∂3ϕ = 1 U 2 ϕ′′′(η) ∂y3 8 ν x
∂ϕ = 1 Uν [ϕ(η) −ηϕ′(η)] ∂x 2 ν x ∂2ϕ = − 1 U ηϕ′′(η) ∂x∂y 4 x
2 νx
δ = 2.5× 2 ν x = 5 0.15×10−4 × 3 = 0.128m = 1.28cm
U
6.95
（3)求板面上的切应力 τ0
解：
由牛顿内摩擦定律
τ0
=
第八章 边界层理论初步
§8.1
边界层的基本概念
一、边界层（续） 边界层（
4.判别边界层层流、 4.判别边界层层流、紊流的准则数特征 判别边界层层流
Re x = vx
υ
过渡区 域
紊流边界层
x—离物体前缘点的距离 离物体前缘点的距离 临界雷诺数
Re x = 5 ×105 ∼ 3 × 106
层流边界层 粘性底层
曲面边界层的分离现象 曲面边界层的分离现象
1 vx vx δ 2 = 2 ∫ ρv x (v − v x )dy = ∫ (1 − )dy v v ρv 0 0
∞
∞
§8.5 平板的层流边界层的近似计算 平板的层流边界层的近似计算
边界层外边界上
v( x) ≈ v∞
p+ 1 2 ρv∞ = 常数 2
v∞
y
o
整个边界层内
p = 常数
dp =0 dx
367 2 dδ 7 2 dδ µ v∞ v∞ − v∞ = −2 630 dx 10 dx ρ δ 367 v∞δdδ = vdx 630
积分得， 积分得，
37 v∞δ 2 = vx + C 1260
x = 0, δ = 0 ⇒ C = 0
边界层厚度
vx −1 δ = 5.84 = 5.84 x Re x 2 v∞
§8.3
根据动量方程， 根据动量方程，得
边界层的动量积分关系式
v
p+ 1 ∂p dx 2 ∂x
C
∂ ∂ ∂p 2 ρv x dy − v ∫ ρv x dy = −δ −τ w ∫ ∂x 0 ∂x 0 ∂x
δ δ
δ
δ
A
p
vx
δ + dδ
第八章 绕流问题
u
环流的速度分布规律
说明，纯环流中，任一包围原点的速度 环量等于常数。并称Γ为环流强度。
u rd
2
0
c rd 2c r
7
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（8－5）
（8－4）
式（8-5）称为拉普拉斯方程。满足拉普拉斯方程的函数称 为调和函数
3
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8.1.1 势函数和流函数
1 w v x 2 y z 1 u w y 2 z x 1 v u z 2 x y
在圆柱坐标系中，势函数为，且有：
2、源流和汇流 设想流体在单位时间内从源泉 点流出体积为 Q 的流体。如 果流体在间距为 1的平行平板 间向四周均匀扩散，这种流动 就称为源流。点称为源点，如 图所示。反过来，若流体从四 周向某汇合点集中，这种流动 称为汇流流动。点称为汇点。 由于流动是连续且对称的，任意点的速度为：
源流的势函数为 :
8.1.2 几种简单的平面势流 1、平行流（均匀直线流） 流场中各点的速度大小和方向都相同的流动称为平行流。 设x,y方向的速度分量分别为
8.1.2 几种简单的平面势流
显然，流线是一簇与轴成角的平行线，如 下图所示的实线。图中虚线为等势线，流 线和等势线正交。
ay bx ax by
y
2d
v
b dxc
dy
chapter8边界层
实际流体都是有粘性的。 纳维——斯托克斯方程（Naver-Stokes，简称N-S方程）： 建立了粘性流体受力和速度之间的关系。 计算流体动力学CFD(Computational fluid dynamics)：采 用数值计算的方法求解 N-S方程。 §8.1 不可压缩流体的运动微分方程
0
(sin
y y y sin 2 )d( ) 2 2 2
y 2 1 y 1 y 2 2 2 1 (-cos ) ( sin ) ( ) 0.1366 2 0 2 2 4 0 4 2
2
§8.4 平面层流边界层的微分方程
不可压缩粘性流体外流引言不可压缩粘性流体外流流动特点流动特点ns方程ns方程研究方法研究方法解析法解析法自由湍流射流自由湍流射流大气边界层大气边界层交通工具交通工具动量积分方程动量积分方程壁面流动壁面流动实验实验数值法数值法分离分离贴壁贴壁外层外层分区分区内层内层建筑物绕流建筑物绕流阻力问题阻力问题动力响应动力响应生态环境生态环境边界层分离边界层分离形状阻力形状阻力边界层边界层速度分布速度分布摩擦阻力摩擦阻力尾流区尾流区形状阻力形状阻力边界层方程边界层方程摩擦阻力摩擦阻力83边界层的概念实际流体的流动分为两类
v 'y v 'y
' v x ' * ~ 1 v ~ y ' ' y x
x ' 2 v 'y x v 'y y y
' '2
~ * ~ * ~1 ~ 1
2 v 'y
'2
*
C4
不可压缩粘性流体外流
工程流体力学 第2版 项目8 边界层理论基础
普朗特针对大雷诺数流动，提出边界层概念和正确地简化NS方程组的方法，使相当发展的理想流体理论有了实际价值。所 以边界层理论被誉为近代流体力学的重大发展之一。目前，边 界层理论已广泛地应用于航空、航海、水利、气象、机械、化 工及环境科学等方面。本项目主要介绍边界层理论中最基本的 内容，包括：边界层概念，边界层基本特征及边界层厚度，边 界层方程，并对平板层流边界层的计算问题和边界层分离现象 及绕流阻力等进行了分析和讨论。
代入连续性方程的积分方程得：
以上积分关系式可以改造成更简单的形式：
任务5 平板上层流边界层的计算
一、平板层流边界层 （1）边界层内的流速分布关系式
图8 层流边界层速度分布
（2）边界层内的切应力分布关系式 图9 层流边界层阻力分布
如需求流体对平板两面的总摩擦阻力时，只需将上式乘2即可。
二、平板上的紊流边界层 （1）光滑平板上的紊流边界层
【案例导入】
改变世界的科技—特斯拉涡轮机
图1 特斯拉涡轮机
图2 内部原理图
主要内容
任务1 边界层的概念 任务2 边界层厚度 任务3 平面层流边界层的微分方程 任务4 边界层的动量积分方程 任务5 平板上层流边界层的计算 任务6 边界层分离现象及绕流阻力
任务1 边界层的概念
一、边界层的定义 如图3所示，假设一薄平板平行于流速的方向，流体以均匀速 度U流过平板。
Ux Rex v
图3 边界层和外流区
（1）边界层的定义
在雷诺数较大的流动中，紧靠物体表面，流速受到粘性显 著影响，摩擦剪应力不能略去不计，这一极薄层流体，定义为 边界层（附面层）。
通常设定v = 0. 99 U的位置线作为边界层的外边界（理论上 讲应伸至无穷远），U为完全理想流体绕流时物面上的切向速 度。
边界层分析
流体外掠平板时的层流边界层与紊流边界层
临界距离：由层流边界层开始 xc 向紊流边界层过度的距离：
临界雷诺数： Rec
惯性力 Rec 粘性力 u xc u xc v
平板： Rec 2 105 ~ 3106 ; 取Rec 5 105
紊流边界层： 为何是一个范围？ 层流底层：紧靠壁面处，粘滞力会占绝对优势，使粘附于壁的一 层薄层仍然会保持层流特征，具有最大的速度梯度。
流动边界层的厚度与流速、流体的运动粘度 和离平板前缘的距离x的关系
δcm
平板长度l (cm) 空气沿平板流动时边界层增厚的情况
x, 空气速度 u 10m / s :
x100mm 1.8mm; x200mm 2.5mm
由牛顿粘性定律：
u y
速度梯度越大，粘滞应力越大。
流动边界层的几个重要特征： 1. 边界层厚度 与壁的定型尺寸L相比极小
L
2. 边界层内存在较大的速度梯度。
3. 边界层流态分层流和紊流，紊流边界层紧靠壁面处仍有 层流特征，层流底层。
4. 流场可以分为边界层区和主流区。
边界层区：由粘性流体运动微分方程组描述。 主流区：由理想流体运动微分方程—欧拉方程描述。 边界层理论的基本论点： 边界层概念也可以用来分析其他情况下的流动和换热。 如流体在管内的受迫流动，流体外掠圆管流动，流体在竖直
层流靠流体导热换热，紊流 依靠流体微团脉动对流换热
故：紊流换热比层流换热强。
与t 的关系：分别反映流体分子和流体微团的动量和热
扩散的深度
t
Pr
1 3
0.6 Pr 50 层流：
壁面加热流体时热边界层的形成和发展
边界层概念——精选推荐
边界层及绕流由于流体粘滞性的存在，紧靠平板的一层流体质点将附着于平板表面上，与平板表面无U，相对运动，流速为0，而在距平板法线方向一定距离处流速仍为未受扰动的原有流速因此从平板表面到未扰动的流体之间存在着一个流速分布不均匀的区域，这个区域就是水流受平板影响的范围叫边界层。
边界层厚度常用符号δ表示。
边界层的厚度是沿平板而变化的。
因为粘滞流体流经平板时有内摩擦阻力发生，克服阻力必耗损一部分能量，以致平板附近部分水流的流速变缓，流经平板距离越长，耗损能量越多，水流受平板影响范围也越大，所以边界层的厚度总是沿板端的距离x而增加的。
边界层内的流体形态可能是层流，也可能是紊流。
在板端附近边界层极薄，流速自0U，因此流速剃度极大，以致产生很大的内摩擦阻力，所以板端附近边界层内的迅速增至流体往往是层流。
沿板端距离越远，边界层厚度越厚。
流速剃度随边界层厚度增加而变小，内摩擦阻力也相应减小，边界层内的流体可自层流逐渐过渡到紊流。
但在紊流边界层中靠近固体表面仍有一层极薄的粘性存在，如图所示若雷诺数用下列形式表示：0Re x U xγ=则距板端距离越远，雷诺数也越大。
当雷诺数达到某一临界值时，流体即自层流转变为紊流。
据实验结果临界雷诺数约在5*510～610之间，如流体非常平静，最高的临界雷诺数也可超过610。
根据边界层的概念，可把粘滞流体分成两个区域：在边界层外，流速剃度为0，无内摩擦力发生，因而也可视为理想流体的流动，符合势流的运动规律；在边界层以内，流速自0增至0U ，流速剃度很大，内摩擦力十分显著。
因此，分析边界层内的运动规律时，必须以粘滞流体所服从的定律（纳为－斯托克斯方程式）为依据。
边界层的分离现象及绕流阻力流体压强在驻点N 处最大，在较高压强作用下，流体由此分道向圆柱体两侧流动。
由于圆柱面的阻滞作用便形成了边界层。
边界层内的特点是流体流动时有能量损失，从N 点起向下游达到A 或B 以前，由于圆柱表面的弯曲，使流体挤压，流速沿程增加，故沿边界层的外边界上0U x ∂∂＝正值，p x∂∂＝负值，即在外边界上压强是沿程下降的，由此可知在NA 或NB 一段边界层内的流体是处于加速减压状态的，也就是说，在该段边界层内用压强下降来补偿能量损失外，尚有一部分压能转变为动能。
大气行星边界层讲解
§8.1.3 湍流输送通量及其参数化
值得注意的是，第一节导出的湍流平均运动方程组并不闭合，因为又 引入了新的未知函数——雷诺应力张量T，湍流热通量密度矢量 h ，以及
湍流水汽通量密度 q 中之各元素及各分量，实际上就是各脉动量二次项的
时均。→困难！若这些脉动量能由平均量表出，那就好了，这就是参数化 方法。下面介绍Prondtl混合长半径经验理论:
?
?
Q?
1
? ?h
——（8.18）
?t ?x ?y ?z cpT cp?
【4】平均水汽方程
考水汽方程：
?q ? V ?? ?t
q?
S
?
?
Sa
?
?q ?t
?
u
?q ?x
?
v
?q ?y
?
w ?q ?z
?
Sa
——（8.20）＇
10
类似， A ? A ? A' ，求时均，可得脉动量二次方项的平均不为零，从而有：
?y
?
?? w'
?z
? ???
? ?? u'? ' ? ?? v'? ' ? ? w'? ' ? ? ' ?? u' ? ? ' ?? v' ? ? ' ?? w'
?x
?y
?z
?x
?y
?z
?0
为0（脉动连续方程）
右端的简化如下： ? ? ? ? ? ' ? ?
T T ?T' T
（ ? ' ?? ? ，T ' ?? T ）
?x
?y
?y
第八章边界层
已知: 设边界层内速度分布为
u(
y)
Usin
y 2
U
上式中y为垂直坐标，δ为边界层名义厚度。
y y
求： (1)位移厚度δ* ;(2)动量厚度θ.(均用δ表示)
解：按速度分布式,u(0) = 0 , u(δ)=U ,符合边界层流动特点。
(1) 按位移厚度的定义
* (1- u )dy (1- sin y )dy ( y 2 cos y ) 2 0.363
[例3] 平板湍流边界层近似计算 (2-2) （2）按(C4.5.18)式计算或查平板阻力系数图，平板湍流光滑区阻力系数为
CDf,T
0.074 Re1l / 5
0.074 (1.2106)1/
5
0.0045
按布拉修斯精确解公式计算
CDf,L
1.328 Re1l / 2
1.328 (1.2106)1/
正弦 曲线
0.137 1.57
4.79
0.655
1.312
精确 解
0.133
5.00
0.664
1.328
[例2] 平板层流边界层近似计算(3-1)
已知: 设无压强梯度平板定常层流边界层内速度分布为正弦曲线：
u = U sin (πy/2δ) (0≤y≤δ)
求： （1）沿壁面的无量纲名义厚度分布δ（x）/ x ；（2）在边界层截
U
U
l
l
p0
设 * l ,在边界层内 y* , v* ~ *, x* , u* , p* ~ 1 , Re ~ 1/ *2 , Eu ~ 1
忽略第二方程最后一项、第三方程除压强项的其他项 。
流体力学教案边界层理论
第八章 边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。
a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外，0=∂∂yu，粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。
c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义，为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。
边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2) 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
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定义：
在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零 急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层称 为边界层。
二、粘性流体的流动具有两个基本特征
1、在固体壁面上，流体与固体壁面的相对速度为0，这一特 征称为流动的无滑移条件。 2、当流体之间发生相对运动（或角变形时） ，流体之间存 在剪切力（摩擦力） 三、顺流平板边界层
动量积分方程 边界层分离 阻力问题 动力响应 形状阻力
大气边界层
自由湍流射流
生态环境
§8.3 边界层的概念 实际流体的流动分为两类：内流和外流。
绕流问题要回答的问题是：物体周围流场的分布；物体受到的 升力和阻力；流体绕物体流过时粘性作用的特性。
一、边界层的概念 1904年普朗特提出，发现问题的方法：实验观察。 结论：在大雷诺数绕流情况下，粘性的影响仅局限在物体壁面 附近的薄层以及物体之后的尾迹流中。流动的其它区域梯度很 小，粘性的影响很小。可以按理想流体的势流理论来处理。物 体壁面附近的薄层内存在着很大的速度梯度和旋涡，粘性影响 不能忽略，这一薄层称为边界层。
动量定理：对于一给定的流体系统，其动量对于时间 变化率等于作用于其上的外力总和。
不可压缩粘性流体外流
不可压缩粘性流体外流 引言 分区 流动特点 壁面流动
外层 内层
势流 边界层 速度分布 尾流区 摩擦阻力
贴壁
分离
形状阻力 摩擦阻力
解析法
研究方法 数值法 实验 交通工具 应 用 建筑物绕流
N-S方程
边界层方程
边界层厚度 1. 名义厚度δ 定义为速度达到外流速度99%的厚度。
对平板层流边界层
5.0 x U
2. 位移厚度 δ * 将由于不滑移条件造成的质量亏损折算成 无粘性流体的流量相应的厚度δ * 。又称 为 质量流量亏损厚度
*
0
u ( 1 )dy U
C4.2.2
边界层厚度
3. 动量厚度θ
设船
l 10m , V 10 km h 2.8 m s
2.8 10 7 Re 2 . 8 10 110 6 Vl
大Re数流动是常见现象. 边界层特点 1. 边界层很薄
普朗特理论：边界层内惯性力与粘性力量级相等。
C4.2.1
边界层特点
u 2u u ~ 2 x y
实际流体流过一半无限长平板的情况：
平板固定不动，来流速度为U，方向与板面方向一致。 当流体流过平板时具有如下特征：
1）板面上流体质点的速度为0；
2）与板面垂直的方向上存在着很大的速度梯度，存在速度梯度， 就存在很大的摩擦力，阻滞邻近的流体质点流动； 3）从平板的前缘开始形成边界层，随着流动向下发展越来越多 的流体质点受到阻滞，边界层的厚度也随着增加。
[例 ]
边界层位移厚度与动量厚度
已知: 设边界层内速度分布为
y Usin u( y) 2 U
y y
上式中y为垂直坐标，δ为边界层名义厚度。
求： (1)位移厚度δ* ;(2)动量厚度θ.(均用δ表示) 解： 按速度分布式,u(0) = 0 ,u(δ)=U ,符合边界层流动特点。
第八章 粘性流体绕物体的流动
实际流体都是有粘性的。 纳维——斯托克斯方程（Naver-Stokes，简称N-S方程）： 建立了粘性流体受力和速度之间的关系。 计算流体动力学CFD(Computational fluid dynamics)：采 用数值计算的方法求解 N-S方程。 §8.1 不可压缩流体的运动微分方程
0
(sin
y y y sin 2 )d( ) 2 2 2
y 2 1 y 1 y 2 2 2 1 (-cos ) ( sin ) ( ) 0.1366 2 0 2 2 4 0 4 2
将由于不滑移条件造成的动量流量 亏损折算成无粘性流体的动量流量 相应的厚度θ 。
0
u u ( 1 )dy U U
• 动量厚度<位移厚度
边界层的基本特征： 厚度很小 层内速度梯度很大 层厚度沿流动方向
增加 层中各截面的压强等于同一截面上边界层外 边界上的压强 层内粘滞力和惯性力是同一数量级 层内流体分为层流边界层、混合边界层和中 间的过渡区域
U 2
l
U ~ 2
2
~ l 2 Ul
1 ~ l Re
当Re 106 ,
l 0.001
2 ( x)
x2
2. 边界层厚度增长
~
Ux
( x ) ~
x
U
3. 边界层内流态 实验测量表明边界层内层流 态向湍流态转捩的雷诺数为
Rexcr 3.2 105
边界层概念
(Re x )cr 5 10 (Re )cr 4 10 3
不可压缩粘性流体外流
边界层概念 例1：空气运动粘度 1.4 105 m2 s 设汽车 h 1.5m , V 80 km h 22 m s
22 1.5 6 Re 2 . 4 10 1.4 105 例2：水运动粘度 1106 m2 s Vh
(1) 按位移厚度的定义
* 0
u y 2 y 2 (1 - )dy (1 - sin )dy ( y cos )0 0.363 0 U 2 2
(2) 按动量厚度的定义
0
u u y y 2 (1 - )dy sin ( 1 sin )dy 0 U U 2 2
边界层的概念（人为划定）：通常取物面到沿物体表面外法线 上速度达到势流速度的99%处的距离作为边界层的厚度。用δ
表示。
边界层流动问题，常用雷诺数来确定其流动特征。有两种不同定义：
Re x Re
v xΒιβλιοθήκη x——物面上一点到前驻点的距离 δ——对应的边界层厚度
v
层流边界层转为紊流边界层的转捩点的位置与许多因素有关： 流动的雷诺数、壁面的粗糙度、来流的紊流度、壁面上的压强 梯度。 5
4）起初，边界层内流态为层流，当层流边界层发展到一定程度 时，层流变为不稳定状态，流体质点的运动变得不规则，流动的 不规则最终发展为紊流，这一变化过程发生在很短的长度范围。 称为转捩区。转捩区的下游边界层内的流动为紊流状态。
5）靠平板表面很薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称为层 流底层或粘性底层。