数字信号处理第四章附加题
数字信号处理-第4章习题
习题四4.1 用窗函数法设计一线性相位FIR 高通滤波器，通带边界频率为0.6π，阻带边界频率为0.4π，要求阻带衰减不小于40dB ，窗函数从矩形窗、汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗中选取，且要求滤波器的阶数最小。
求出该滤波器的单位脉冲响应h (n )的解析式。
解 求理想高通滤波器的边界频率n ω和过渡带宽ω∆:0.60.40.522c rn ωωππωπ++≈== 0.60.40.2c r ωωωπππ∆=-=-=选择窗函数和窗口长度。
阻带衰减不小于40dB ，因此选择汉宁窗。
根据过渡带宽求窗口长度N 和线性相位延迟常数α:6.20.231N Nππ=⇒= 1152N α-== 根据理想边界频率n ω和线性相位延迟常数α，求理想单位脉冲响应d ()h n :[][]()()d sin ()sin ()1()()d d 21n n n j n j n n n n n n h n e e n ωπωαωαπωαπαωαπαωωπωαπ----⎧---≠⎪⎪-⎡⎤=+=⎨⎢⎥⎣⎦⎪-=⎪⎩⎰⎰ 窗函数与理想单位脉冲响应相乘，即可得到线性相位FIR 高通滤波器的单位脉冲响应:[][]sin (15)sin (15)0.50.50.5cos ()15()15(15)0.515N n n n R n n h n n n ππππ⎧---⎡⎤⎛⎫-⋅⋅≠⎪ ⎪⎢⎥=-⎝⎭⎨⎣⎦⎪=⎩0,1,2,,30n =⋅⋅⋅6kHz ，阻带边界频率为2kHz 和8kHz ，采样频率为20kHz ，要求阻带衰减不小于50dB ，窗函数从矩形窗、汉宁窗、海明窗和布莱克曼窗中选取，且要求滤波器的阶数最小。
求出该滤波器的单位脉冲响应h (n )的解析式。
解 求理想带通滤波器的边界频率1ω、2ω和过渡带宽ω∆:12121212112212221120.4 , 20.620.2 , 20.80.3 , 0.7220.2c c c c s s r r r r s sc r c r r c c r f ff f f ff f ωππωππωππωππωωωωωπωπωωωωωπ========++≈=≈=∆=-=-= 选择窗函数和窗口长度。
数字信号处理第四章习题
第四章习题4.1 (a) By expanding the equation()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰--∞→∞→2200021T T Ft j T xx T xx dt e t x T E lim F P E lim F 00πΓ taking the expected value, and finally taking the limit as ∞→0T ,show that the right-hand side converges to )(f xx Γ.(b) Prove that2102211)(1)(∑∑-=---+-==N n fn j fm j N N m xx en x N e m r ππ.4.2 For zero-mean, jointly Gaussian random variables, X 1, X 2, X 3, X 4, itis well known that)()()()()()()(3241423143214321X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X X X E ++=. Use this result to derive the mean-square value of ()m r xx and the variance, given by()[][]()()()[]∑∞-∞=+-+-≈n xx xx xx xx m n m n n m N N m r γγγ*22varwhich is defined as[][][]22(()(var m r E m r E m r xx xx xx -=. 4.3 By use of the expression for the fourth joint moment for Gaussianrandom variables, show that(a)()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=2212122121421)(sin )(sin )(sin )(sin 1f f N N f f f f N N f f f P f P E x xx xx ππππσ (b)[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=2212122121421)(sin )(sin )(sin )(sin )()(cov f f N N f f f f N N f f f P f P x xx xx ππππσ(c)[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=242sin 2sin 1)(var f N fN f P x xx ππσ under the condition that the sequence ()n x is a zero-mean white Gaussian noise sequence with variance 2x σ.4.4 Generalize the results in Problem 4.3 to a zero-mean Gaussian noiseprocess with power density spectrum )(f xx Γ, as given by()[]()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ=222sin 2sin 1var f N fN f f P xx xx ππ (Hint: Assume that the colored Gaussian noise process is the output of a linear system excited by white Gaussian noise.)4.5 Show that the periodogram values at frequencies,1,1,0,/-==L k L k f k given by (4.1.35), can be computed by passing the sequence through a bank of L IIR filters, where each filter has an impulse response )()(/2n u e n h N nk j k π-= and then computing the magnitude-squared value of the filter outputs at n=N. Note that each filter has a pole on the unit circle at the frequency f k .4.6 The Bartlett method is used to estimate the power spectrum of asignal x(n). We know that the power spectrum consists of a single peak with a 3 dB bandwidth of 0.01 cycle per sample, but we do not know the location of the peak.(a) Assuming that N is large, determine the value of M=N/K so thatthe spectral window is narrower than the peak.(b) Explain why it is not advantageous to increase M beyond thevalue obtained in part (a).4.7 The N-point DFT of a random sequence x(n) is ∑-=-=10/2)()(N n N nk j e n x k X π.Assume that E[x(n)]=0 and E[x(n)x(n+m)]=)(2m w δσ (in other words,x(n) is a white noise process).(a) Determine the variance of X(k).(b) Determine the autocorrelation of X(k).4.8 An AR(2) process is described by the difference equation)()2(81.0)(n n x n x ω+-=, where w(n) is a white noise process withvariance 2ωσ.(a) Determine the parameters of the MA(2), MA(4), and MA(8)models that provide a minimum mean-sequare error fit to thedata x(n).(b) Plot the true spectrum and those of the MA (q), q=2,4,8spectra and compare the results. Comment on how well theMA(q) models approximate the AR (2) process.4.9 An MA (2) process is described by the difference equation )2(81.0)()(-+=n n n x ωω, where w(n) is a white noise process withvariance 2ωσ.(a) Determine the parameters of the AR(2), AR(4), and AR(8)models that provide a minimum mean-square error fit to the data x(n).(b) Plot the true spectrum and those of the AR(p), p=2,4,8, andcompare the results. Comment on how well the AR(p) modelsappoximate the MA (2) process.4.10 The autocorrelation sequence for an AR process x(n) ismxx m ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41)(γ (a) Determine the difference equation for x(n)(b) Is your answer unique? If not, give any other possiblesolutions.4.11 Suppose that we represent an ARMA(p,q) process as a cascade ofan MA(q) followed by an AR(p) model. The input-output equation for the MA(q) model is ∑=-=qk k k n w b n v 0)()(, where w(n) is a whitenoise process. The input-output equation for the AR(p) model is∑==-+pk k n v k n x a n x 1)()()((a) By computing the autocorrelation of v(n), show thatq m d b b m mq k m w m k k w vv ≤≤==∑-=+0)(022σσγ(b) Show that 1)()(00=+=∑=a k m a m pk vx k vv γγ4.12 Suppose that the AR(2) process in Problem 4.8 is corrupted by anadditive white noise process v(n) with variance 2v σ. Thus, we havey(n)=x(n)+v(n)(a) Determine the difference equation for y(n) and thusdemonstrate that y(n) is an ARMA(2,2) process. Determinethe coefficients of the ARMA process.(b) Generalize the result in part (a) to an AR(p) process∑=+--=pk k n w k n x a n x 1)()()( and )()()(n v n x n y +=.4.13 The harmonic decomposition problem considered by Pisarenko maybe expressed as the solution to the equationa a a Γa H w yy H 2σ=The solution for a may be obtained by minimizing the quadratic form a Γa yy H subject to the constraint that a a H =1. The constraint can be incorporated into the performance index by means of a Lagrange multiplier. Thus the performance index becomes()a a a Γa H yy H 1-+=λζ.By minimizing ζ with respect to a , show that this formulation is equivalent to the Pisarenko eigenvalue problem given in (4.4.9), with the Lagrange multiplier playing the role of the eigenvalue. Thus,show that the minimum of ζ is the minimum eigenvalue 2w σ.4.14 The autocorrelation of a sequence consisting of a sinusoid withrandom phase in noise is)(2cos )(21m m f P m w xx δσπγ+=where 1f is the frequency of the sinusoidal, P its power, and 2w σthe variance of the noise. Suppose that we attempt to fit an AR(2) model to the data.(a) Determine the optimum coefficients of the AR(2) model as afunction of 2w σ and 1f .(b) Determine the reflection coefficients 1K and 2K correspondingto the AR(2) model parameters.(c) Determine the limiting values of the AR(2) parameters and (1K ,2K )as 02→w σ.4.15 This problem involves the use of cross-correlation to detect a signalin noise and estimate the time delay in the signal. A signal x(n) consists of a pulsed sinusoid corrupted by a stationary zero-mean white noise sequence. That is, 10),()()(0-≤≤+-=N n n w n n y n x ,where )(n w is the noise with variance 2w σ and the signal is⎩⎨⎧-≤≤=otherwise M n n A n y ,010,cos )(0ω. The frequency 0ω is known, but the delay 0n , which is a positiveinteger, is unknown, and is to be determined by cross-correlating x(n) with y(n). Assume that 0n M N +>. Let∑-=-=10)()()(N n xy n x m n y m rdenote the cross-correlation sequence between x(n) and y(n). In the absence of noise, this function exhibits a peak at delay 0n m =. Thus,0n is determined with no error. The presence of noise can lead toerrors in determining the unknown delay.(a) For 0n m =, determine ()[]0n r E xy . Also, determine thevariance ()[]0var n r xy , due to the presence of the noise. In bothcalculations, assume that the double-frequency term averages to zero. That is, 0/2ωπ>>M .(b) Determine the signal-to-noise ratio, defined as []{}[])(var )(020n r n r E SNR xy xy = (c) What is the effect of the pulse duration M on the SNR?。
数字信号处理习题及答案4
习题及答案4一、填空题（每空1分， 共10分）1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 .2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律. 3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。
4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。
5．序列x(n ）=(1，-2，0，3;n=0，1,2，3）， 圆周左移2位得到的序列为 。
6．设LTI 系统输入为x （n ） ,系统单位序列响应为h （n ）,则系统零状态输出y （n ）= . 7．因果序列x （n ），在Z →∞时，X(Z ）= 。
二、单项选择题（每题2分， 共20分）1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B 。
δ(ω） C 。
2πδ(ω) D 。
2π2．序列x 1(n)的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ )A. 3 B. 4 C 。
6 D 。
73．LTI 系统，输入x （n)时，输出y （n ）；输入为3x （n —2),输出为 （ ) A. y （n-2） B.3y （n —2) C 。
3y （n ） D.y(n ）4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ ）A.时域为离散序列,频域为连续信号B 。
时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列C 。
时域为离散无限长序列,频域为连续周期信号D 。
时域为离散有限长序列,频域也为离散有限长序列5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B 。
理想高通滤波器 C 。
理想带通滤波器 D 。
理想带阻滤波器6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B 。
y （n ）= cos （n+1）x （n ） C 。
y （n ）=x (2n ） D.y （n)=x （— n ）7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 ( ) A 。
数字信号处理 第四章04
同理：∀n1 , 0 ≤ n ≤ L − 1
详见(4-38) P.142
L
M
例：N=12=4×3, M=4 , L=3 算法流图：图4-20,P.144
这是一个蝶形 三点蝶形
这仍然是一个蝶形 四点蝶形
x(n)={x(0), x(1), x(2)…x(11)}
x(0) x(1) x(5) x(9)
= ∑ x( n)WNkn = = =
=
n=0 M −1 L −1
n0 = 0 n1 = 0 M −1 L −1
N −1
x(Mn1+n0)
一列一列 求DFT
= DFTn1 [ x( n1 , n0 )] 0 ≤ k0 ≤ L − 1, ∀n0
∆
n1 = 0
( Mn1 + n0 )( Lk1 + k0 ) x ( n , n ) W ∑∑ 1 0 N Mn1k0 Lk1n0 k0 n0 MLk1n1 x ( n , n ) W W W W ∑∑ 1 0 N N N N
n1 = 0 L −1
n1 = 0,1,..., L − 1
行号
k0 = 0,1,..., L − 1
′ k 0 n0 (3) X 1 (k0 , n0 ) = X 1 (k0 , n0 )WN
0 ≤ k0 ≤ L − 1
0 ≤ n0 ≤ M − 1 (4) ∀k0 , 0 ≤ k0 ≤ L − 1 （针对每一行） M −1 ′ kn ′ X 2 (k 0 , k1 ) = DFTn0 [ X 1 (k 0 , n0 )] = ∑ X 1 (k0 , n0 )WM , k 0 = 0,1,..., M − 1
0 ≤ n0 ≤ M − 1, ∀k
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（6） y(n)=x(n2)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（一）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（二）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题4解图（三）
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)
上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可 以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。
（2） y(n)=x(n)+x(nN+1)k 0
（3） y(n)= x(k)
（4） y(n)=x(n－nn0)n0
（5） y(n)=ex(n)
k nn0
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出 只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,
=2x(n)+x(n－1)+ x(n－2)
将x(n)的表示式代入上式， 得到 1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(2n)+2δ(n－1)+δ(n－2)
北京邮电大学《数字信号处理》门爱东-数字信号处理第四章附加习题.docx
5. 一个线性吋不变因果系统由下列差分方程描述y(n) = x(n)-x (AZ-l)-0.5y(n-l)(1) 系统函数H(Z),判断系统屈于FIR 和11R 屮的哪一类以及它的滤波特性。
第四章附加题 1.请推导出三阶巴特沃思低通滤波器的系统函数，设Sl c =\rad!s o 2.设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器,要求通带的截止频率 f p = 6kHz,,通带最大衰减Ap=3dB,,阻带截止频率X = 12kHz,,阻带的最 小衰减4 = 25dB ,求出滤波器的系统函数。
3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率f P =3kHz,通带衰 减要不大于0.2dB,阻带截止频率f s = 12kHz,阻带衰减不小于50dBo 4. 数字滤波器经常以下图描述的方式来处理带限模拟信号。
在理想情况下，模 —数变换器把模拟信号取样，产生序列x(n) = x a (nT)，而数一模变换器乂将 取样)心)变成限带波形 D sin (龙/T)(—M) (”)加)(,") 整个系统等效于一个线性吋不变模拟系统。
如果系统/?(〃)的截止频率是Tr/Srad/s, i/T = iOkHz,等效模拟滤波器 的截止频率是多少? "=一8 模-数变换器 心)、 2 (周期T) 2 1/T = 20kHz ,重复(1)。
h (n) 数-模变换器 儿⑴、 (周期T) 2y 何〉⑵ 若输入x©) = 2cos(0.5勿)+ 5(7?>0),求系统稳态输岀的最大幅值。
6. 设％ (/)表示一模拟滤波器的单位冲激响应,用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器(/2(町表示单位取 样响应，即h(n) = Th a (nT)\确定系统函数H(z),并把T 作为参数,T 为任何 值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波 器。
《现代数字信号处理》第4章习题答案
（a）试求
AR（2）模型的系数 a2
=
⎡⎣1, a2 (1), a2 (2)T
⎤⎦
（表示为 w0 ,
σ
2 w
和
P
的函数形式。）
（b）求AR（2）模型对应的反射系数Γ1和Γ2。
（c）当 σ
2 w
→
0
时，AR（2）参数和反射系数的极限值是多少？
解：(a)
rx (0) =
P
+
σ
2 w
,
rx (1) =
P cosω0,
{ } E
ei− (n) x∗ (n − k )
=
E
⎧⎪⎡ ⎨⎢
x
(
n
− i) +
i
∑ ai∗
(
j)
x(n
−i
+
j)⎤⎥ ⋅
x∗
(n
−
k )⎫⎪⎬
⎪⎩⎣
j =1
⎦
⎪⎭
i
= rx (k − i) + ∑ ai∗ ( j) rx (k − i + j) j =1
=
⎡ ⎢rx
(i
−
k
)
+
i
∑ ai
(
j)
rx
1 6
2 3
⎤ ⎥ ⎦
，
且：
b
(0)
=
rx
(
0)
+
a
(1)
rx
(1)
+
a
(
2)
rx
(
2)
=
1
−
1 6
×
1 2
−
2 3
《数字信号处理》课后答案
数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
数字信号处理习题和答案解析4
完美.格式.编辑习题及答案4一、填空题（每空1分, 共10分）1．序列()sin(3/5)x n n π=的周期为 。
2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。
3．对4()()x n R n =的Z 变换为 ，其收敛域为 。
4．抽样序列的Z 变换与离散傅里叶变换DFT 的关系为 。
5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。
6．设LTI 系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。
7．因果序列x(n)，在Z →∞时，X(Z)= 。
二、单项选择题（每题2分, 共20分）1．δ(n)的Z 变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2π2．序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 73．LTI 系统，输入x （n ）时，输出y （n ）；输入为3x （n-2），输出为 （ ） A. y （n-2） B.3y （n-2） C.3y （n ） D.y （n ）4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT 的是 （ ）A.时域为离散序列，频域为连续信号B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n)7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （ ） A. 实轴 B.原点 C.单位圆 D.虚轴8．已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜>2，则该序列为 （ ）A.有限长序列 B.无限长序列 C.反因果序列 D.因果序列9．若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是 ( ) A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M10．设因果稳定的LTI系统的单位抽样响应h(n)，在n<0时，h(n)= ( ) A.0 B.∞ C. -∞ D.1三、判断题（每题1分, 共10分）1．序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。
数字信号处理-答案第四章
2
2 0
n2 0 n1 0 ( 3 k1 k 0 ) n0 W30 W5n0 k 2
n1k 0 n1k1 W6 W2
流图如下图所示:
7. 研究一个长度为 M 点的有限长序列 x(n) , x(n), x ( n) 0, 0 n M -1 其他 n
令 X 1 (k0 , n1 , n0 )
n2 0
x(n , n , n )W
2 1 0 1 ' 1
2
n2 k 0 3
,
k0 0,1,2
X 1' (k0 , n1 , n0 ) X 1 (k0 , n1 , n0 )W6n1k 0 X 2 (k0 , k1 , n0 )
n1 0
n2 2
n 0,1,,7
[ g ( k ) h( k )]
, k 0,1,,9
5. 试用 N 为组合数时的FFT算法求 N 12 的结果(采用基 3 4) , 并画出流图。
解：依题意： N 3 4 r1r2 , 对于0 n N , 有 n1 0,1,2 n0 0,1,2,3 同样： 令 N r2 r1 n n1r2 n0 ,
解： (a) 若 N M , 依题意 X (e
j 2 k N M 1 n 0
)
x ( n )e
N 1 n 0
j 2 n k N
设 (l 1) N M lN X (e
2 N 1 n N j 2 k N
)
x ( n )e
j 2 n k N
nk X ( k ) x ( n )W12 n 0 11
数字信号处理习题库选择题附加答案选择填空2
第1章选择题1．信号通常是时间的函数，数字信号的主要特征是：信号幅度取 ；时间取 B 。
A.离散值；连续值B.离散值；离散值C.连续值；离散值D.连续值；连续值2．数字信号的特征是（ B ）A ．时间离散、幅值连续B ．时间离散、幅值量化C ．时间连续、幅值量化D ．时间连续、幅值连续3．下列序列中属周期序列的为（ D ）A ．x(n) = δ(n)B ．x(n) = u(n)C ．x(n) = R 4(n)D ．x(n) = 14．序列x(n)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛n 311的周期为（ D ） A ．3 B ．6 C ．11 D ．∞5. 离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π)的周期是 ( C ) A. 7 B. 14/3 C. 14 D. 非周期6．以下序列中（ D ）的周期为5。
A ．)853cos()(ππ+=n n x B. )853sin()(ππ+=n n x C. )852()(π+=n j e n x D. )852()(ππ+=n j en x 7．下列四个离散信号中，是周期信号的是（ C ）。
A ．sin100n B. n j e 2C. n n ππ30sin cos +D. n j n j e e5431π- 8．以下序列中 D 的周期为5。
A.)853cos()(π+=n n x B.)853sin()(π+=n n x C.)852()(π+=n j e n x D.)852()(ππ+=n j e n x 9．离散时间序列x (n )=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+353ππn 的周期是( C ) A.5 B.10/3C.10D.非周期10.离散时间序列x(n)=sin （5n 31π+）的周期是( D ) A.3 B.6C.6πD.非周期11.序列x (n )=cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛n 5π3的周期为( C ) A.3B.5C.10D.∞ 12．下列关系正确的为（ C ）A ．u(n)=∑=n k 0δ (n) B ．u(n)=∑∞=0k δ (n) C ．u(n)=∑-∞=nk δ (n)D ．u(n)=∑∞-∞=k δ (n)13．设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ C ）A ．当n>0时，h(n)=0B ．当n>0时，h(n)≠0C ．当n<0时，h(n)=0D ．当n<0时，h(n)≠014.下列系统(其中y(n)是输出序列，x(n)是输入序列)中______属于线性系统。
数字信号处理—基于计算机的方法第4章答案
4-1 Show that if })(Re{)(tj c et g t ωυ=, Eqs. (4-1b) and (4-1c)are correct, where g (t ) = x (t )+jy (t )=R (t )e j θ(t ).Solution:{}{}()()Re ()Re ()ccj t j t j t t g t e R t e e ωωθυ=={}[()]()R e ()()c o s [()]c j t t c t R t e R t t tωθυωθ+==+ {}{}.()Re [()()]Re [()()][cos sin ]c j tc c or t x t jy t e x t jy t t j t ωυωω=+=++{}Re ()cos ()sin ()cos ()sin c c c c x t t jx t t jy t t y t t ωωωω=++-()()cos ()sin c c t x t t y t t υωω=-4-2 A double-sideband suppressed carrier (DSB-SC) signal s (t ) with a carrier frequency of 3.8 MHz has a complex envelope g (t )=A c m (t ). A c =50V , and the modulation is a 1-kHz sinusoidal test tone described by m (t )=2sin(2π1,000t ) , Evaluate the voltage spectrum for this DSB-SC signal. Solution:using (2-26) with the help of Sec. A-5G(f)=AcM(f)=50[-j δ(f-1000)+j δ(f+1000)]Substituting this into (4-15) and using δ(-f)=δ(f) the voltage spectrum of this DSB-SC signal isS(f)=-j25δ(f-f c -1000)+j25δ(f-f c +1000) -j25δ(f+f c -1000)+j25δ(f+f c +1000)4-3 Assume that the DSB-SC voltage signal s (t ), as described in Prob. 4-2 appears across a 50-Ω resistive load.(a) Compute the actual average power dissipated in the load.(b) compute the actual PEP. Solution: (a) Using (4-17) 222222211()|()|()2212(50)25002222S normC c m P g t A m t A A watts =<>=<>=== ()2500()50 watts 50S norm S ActualL P P R ===(b) Using (4-18)2211[max g()][(50)(2)]22()100 watts 50PEP ActualL t P R ===4-9 Let a modulated signal,()()()100sin 500cos 100sin c a c c a s t t t tωωωωω=++--where the unmodulated carrier is 500 cos ωc tProblems:(a) Find the complex enveloper for the modulated signal.What type of modulation is involved? What is the modulating signal?(b) Find the quadrature modulation components x (t ) and y (t ) for this modulated signal.(c) Find the magnitued and PM components R (t ) and θ(t ) for this modulated signal.(d) Find the total average power, where s (t ) is a voltage waveform that is applied across a 50-Ω load. Solution: (a)()()()100sin 500cos 100sin 500cos 200cos sin 21sin 500cos 5c a c c a c c a a c s t t t t t t t t t ωωωωωωωωωω=++--=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是AM ，调制信号为：2()sin 5a m t t ω=2()5001sin 5a g t t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(b) 2()5001sin 5a x t t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()0y t =(c)2()5001sin 5a R t t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭︒=∠=0)()(t g t θ222222222221()|()|2125001sin 25500441sin sin 225550050041500500222522255005002700502502550norma a a norm reald P g t t t t P P watts ωωω=<>⎛⎫=<+> ⎪⎝⎭=<++>=+⨯⨯=+==+=⨯⨯4-10 Find the spectrum of the modulated signal given in Prob. 4-9 by two methods:(a) By direct evaluation using the Fourier transform of s (t ). (b) By the use of Eq. (4-12). Solution:()()()100sin 500cos 100sin c a c c a s t t t tωωωωω=++--[][][]()(){()}100()()2500()()2100()()2c a c a c c c a c a a S f F s t j f f f f f f f f f f j f f f f f f δδδδδδ==++---++---+---+ 2()()5001sin 500200sin 5a a b g t t t ωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()()()()500()100[()()]500()100[()()500()100[()()]500()100[()()]500()100[()()]a a a a c c a c a c c c a c a c c c a c a G f f j f f f f G f f j f f f f f f j f G f f f f j f f f f f f G f f f f j f f f f f f f f f f f δδδδδδδδδδδδδδδ**=++---=---+---=-----+---=-+-+-----=+-+--++--]()()()[][]121500()100[()()]21500()100[()()]2c c c c a c a c c a c a S f G f f G f f f f j f f f f f f f f j f f f f f f δδδδδδ*⎡⎤=-+--⎣⎦=-+-+---++-+--++。
数字信号处理(程佩青)第四章 习题
6
6
T = T1 + T2 = 0.013824s
4-2
1.注意输入,输出,蝶形结,旋转因子 注意输入,输出,蝶形结, 注意输入 2.注意每 一级有多少蝶形单元 注意每 3.旋转因子求解时有何特殊方法 旋转因子求解时有何特殊方法 4.蝶形单元的输入与输出是在时域还是 蝶形单元的输入与输出是在时域还是 在频域? 在频域?
看出:第m级的系数为W , k = 0,1 2
结论:每由后向前( 由 结论:每由后向前(m由M-->1级)推进一级, 级 推进一级, 则此系数为后级系数中偶数序号的那一半. 则此系数为后级系数中偶数序号的那一半.
试求出N=64时用 时用DIT共有多少级,每级有多 共有多少级, 试求出 时用 共有多少级 少个蝶形单元, 少个蝶形单元 6 并写出每一级的旋转因子. 解:N = 64 = 2,并写出每一级的旋转因子.
m = 5,旋转因子为W ,W ,W ,W 共16个
0 64 2 64 4 64 30 64
m = 6, 旋转因子为W ,W ,W ,W 共32个
0 64 1 64 2 64 31 64
�
第四章 习题
直接DFT的运算量和FFT DFT的运算量和FFT的运算量 4-1 直接DFT的运算量和FFT的运算量
解:
(1)直接计算 复乘所需时间
T1 = 5 ×106 × N 2 = 5 ×106 × 5122 = 1.31072 s
复加所需时间
T2 = 0.5 ×106 × N × ( N 1) = 0.5 ×106 × 512 × ( 512 1) = 0.130816s
-1 -1
0 W16
2 W16 3 W16 4 -1 W16 5 -1 W16
数字信号处理习题集(附答案)
第一章数字信号处理概述简答题：1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。
在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。
判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
（）答：错。
需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。
（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。
（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。
（b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。
解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响，故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。
数字信号处理课后习题Ch4
= ( n−2 α )π sin[( n − α ) wc ] sin[( n − α ) w0] 因为 h(n)=hd (n)W R (n)= hd(n) R N (n) 所以（1）当 N 为奇数时 h（n）= { (0 ≤ n ≤ N − 1) ; 0 , 其他 （2）当 N 为偶数时 h（n）的表达式与 N 为奇数时相同 （3）若采用汉明窗设计 h(n)= h d (n)W(n) = ( n−2 α )π sin[( n − α ) wc ] sin[( n − α ) w0] [0.54-0.46cos (
N ⎧ 2 1 ⎪ H (ω ) = b ( n ) c o s [ω ( n − )] ∑ ⎪ 2 n =1 ∴ ⎨ ⎪ N b (n ) = 2 h ( − 1 + n) ⎪ 2 ⎩
∴ （1）当 N 为奇数时
2
sinωc (n − α ) ⎧ RN (n), 0 ≤ n ≤ N − 1 ⎪2cosω0 (n-α ) π (n − α ) h( n) = ⎨ ⎪0, 其他 ⎩
（2）当 N 为偶数时 h(n)的表达式与 N 为奇数时的相同； （3）若用汉明窗设计
h( n) = hd (n)ω (n) = 2 cos ω0 ( n − α ) sin ωc ( n − α ) 2π n [0.54 − 0.46 cos( )]RN (n) π (n − α ) N −1
(1 ).h d ( n ) = =
1 2π
∫
2π 0
H d (e
jω
)e
jn ω
dω
1 π + ω c − j ( ω − π ) α jn ω e e dω 2 π ∫π − ω c π +ωc 1 = e jπ α ∫ e j ( n −α )ω d ω π −ω c 2π 1 1 = e jπ α e j ( n − α ) ω 2π j ( n − α ) 1 e jπ α [e = 2π j ( n − α )
数字信号处理(第三版)教程及答案第4章
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
4.3 按照系统函数或者差分方程画系统流图
按照系统函数设计系统的实现方法主要依据的是系统函 数的特点和要求， 画出系统流图， 然后根据流图设计用硬 件或软件进行实现。 系统的网络结构有很多， 但最基本的是FIR和IIR网络结 构。 这两类结构各有特点。 FIR结构一般没有反馈回路， 单 位脉冲响应是有限长的， 系统稳定， 但相对IIR结构， FIR 结构的频率选择性不高， 换句话说， 要求频率选择性高时， 要求FIR有很高的阶数。
N / 2 −1
H ( z) =
∑
n =0
h(n)[ z − n ± z − ( N − n −1) ]
N为偶数
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
H ( z) =
( N −1) / 2 −1
∑
n=0
h(n)[ z − n
N −1 − − ( N − n −1) ±z ] + h( )z 2
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
N
Ak H ( z) = C + ∑ 1 − p k z −1 k =1
式中, pk是极点l， C是常整数， Ak是展开式中的系数。 一 般pk、 Ak都是复数。 为了用实数乘法， 将共轭成对的极点 放在一起， 形成一个二阶网络， 公式为
bk 0 + bk1 z H k ( z) = 1 + a k1 z −1 + a k 2 z − 2
−1
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
上式中的系数均是实数。 总的系统函数为
H ( z) = C + ∑ H k ( z)
数字信号处理习题答案第 章
11z1
11z1
H(z)
3
3
13z11z2 (11z1)1(1z1)
48
2
4
按照上式可以有两种级联型结构:
①
1 1 z1 H(z) 3
1
1 1 z1 1 1 z1
2
4
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
画出级联型结构如题1解图（二）（a)所示。 ②
H(z) 1
1 1 z1 3
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
教材第5章习题与上机题解答
1. 已知系统用下面差分方程描述:
y (n ) ＝ 3 y (n 1 ) － 1 y (n 2 ) ＋ x (n ) 1 x (n 1 )
4
8
3
试分别画出系统的直接型、 级联型和并联型结构。 式中 x(n)和y(n)分别表示系统的输入和输出信号。
第 4 章 时域离散系统的网络结构及数字信号处理的实现
画出级联型结构如题4解图(a)所示。 ②
H 1 ( z ) 1 1 1 .4 0 . z 5 z 1 1 1 z 4 2， H 2 ( z ) 1 0 .4 9 ( z 1 1 z 0 1 .) 8 z 2 1
画出级联型结构如题4解图（b）所示。 第一种级联型结构最好， 因为用的延时器少。
解： 分别画出（1）、 （2）的结构图如题10解图 （一）、 （二）所示。
（1） 属第一类N为偶数的线性相位滤波器， 幅度特性 关于ω=0, π, 2π偶对称， 相位特性为线性、 奇对称。
（2） 属第二类N为奇数的线性相位滤波器， 幅度特性 关于ω=0, π, 2π奇对称， 相位特性具有线性且有固定的π/2相 移。
数字信号处理第四章作业
求线性卷积，并比较它们的运算量。
k
(b) z k ak , k=0,1„,N-1.a 为实数， a 0 。 (c) (a)和(b)两者都行。 (d) (a)和(b)都不行，即线性调频 z 变换不能计算 H(z)在 z 为实数时的取样。 10. (第四章习题 13)设对列长 N=64 及列长 L=48 的两序列用(1)直接计算法，(2)快速卷积法
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数字信号处理第四章作业
1. ( 第四章习题 1) 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要 100us,每次复加需要 20us， 今用来计算 N=1024 点的 DFT[x(n)],问直接运算需要长时间， 用 FFT 运算需多少时间？ 2. (第四章习题 2)把 16 点序列 x(0) x(1) „x(15)排成反序序列。 3. (第四章习题 4)试用基-2 按时间抽取与按频率抽取法分别作出 N=16 时的信号流图。 4. (第四章习题 5)试画出 4 点按时间抽取的 FFT 算法流程图，要求利用本书图 4-8 的蝶形， 具有反序的输入序列，自然顺序的输出序列，并且表示成“原位”计算。 5. (第四章习题 6)重排题 5 的流图，使它仍然符合“原位”计算，但要有自然顺序输入，反 序输出。 6. (第四章习题 8)推导 N=16 时，基-4FFT 公式，并画出流图，就运算量的多少（不计 i, j 的运算量）与基-2 情况作比较。 7. (第四章习题 9)画出 8 点分裂基 L 型运算流图，计算其复数乘法次数，并与基 -2 和基-4 法 进行比较。 8. (第四章习题 10)已知 X(k)和 Y(k)分别是两个 N 点实序列 x(n)和 y(n)的 DFT 为提高运算效 率，试设计用一次 N 点 IFFT 来从 x(k)和 y(k)求 x(n)和 y(n)。 9. (第四章习题 12)在下列说法中选择正确的结论。线性调频 z 变换可以用来计算一个有限长 序列 h(n)在 z 平面实 z 轴上诸点{zk}的 z 变换 H（z） ，使 (a) z k a , k=0,1„,N-1.a 为实数， a 1 。
数字信号处理教程第四章练习题
数字信号处理教程第四章练习题一、单选题1、直接计算N点DFT所需的复数乘法次数与( D)成正比。
A、NB、N2C、N3D、Nlog2N2、基-2FFT算法的基本运算单元为(A)。
A、蝶形运算B、卷积运算C、相关运算D、延时运算3、在N=32的按时间抽取法FFT运算流图中,从x(n)到X(k)需(B)级蝶形运A、4B、5C、6D、34、如图所示的运算流图符号是( B)基2FFT 算法的蝶形运算流图符号。
A、按频率抽取B、按时间抽取C、A、B都是D、A、B都不是5、如何将无限长序列和有限长序列进行线性卷积(D)。
A、直接使用线性卷积计算B、使用FFT计算C、使用循环卷积计算D、采用分段卷积可采用重叠相加法二、多选题1、用FFT算法计算DFT所需的复数乘法次数为(),复数加法次数为(AD)。
A、N/2log2NB、N/4log2NC、Nlog2N/2D、Nlog2N2、快速傅里叶变换的特点是(BCD)。
A、线性计算B、蝶形计算C、原位计算D、码位计算3、利用的哪些性质可以减少DFT的运算量(ACD)。
A、周期性B、循环性C、对称性D、可约性4、采用FFT算法用DFT计算线性卷积的方法有(AD)A、重叠相加法B、重叠相减法C、重叠去除法D、重叠保留法三、填空题1、快速傅里叶变换算法可以分为两大类,分别是(时域抽取法)、(频域抽取法)。
2、若对序列x(n)作1024点的DIT-FFT运算,则FFT运算中总需要的复数乘法次数(5120)。
四、判断题1、时域抽取法基2 FFT算法中不能实现原位计算。
(×)2、按频率抽取的基-2 FFT算法中,输入顺序为自然排列,输出为倒序排。
(√)3、按时间抽取的FFT算法运算量等于按频率抽取的FFT算法运算量。
(√)4、重叠相加法求线性卷积也是利用圆周卷积法代替线性卷积,用FFT算法求得。
(√)。
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第四章附加题
1. 由三阶巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数推到其系统函数，设
1/c rad s Ω=。
2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率
6,p f kHz =，通带最大衰减3,p A dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最
小衰减25s A dB =，求出滤波器的系统函数。
3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率 f p =3kHz ，通带衰
减要不大于0.2dB ，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于 50dB 。
4. 数字滤波器经常以下图描述的方式来处理限带模拟信号。
(1)
如果系统()h n 的截止频率是8rad s π，110T kHz =，等效模拟滤波器的截止频率是多少？
(2)
设120kHz =，重复(1)。
()
()
()
()
()
()
()
T T a x
t x n y n y t a
h n −−−→
−−−→
−−−→
−−−→模-数变换器
数-模变换器
采样周期采样周期
5. 一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述
()()()()10.51y n x n x n y n =----
(1) 系统函数()H Z ，判断系统属于FIR 和IIR 中的哪一类以及它的滤波特性（低通、高通等）。
(2) 若输入()()2cos 0.55x n n π=+ ()0n ≥，求系统输出信号达到稳态后的最大幅度値。
6. 设()a h t 表示一模拟滤波器的单位冲激响应，
()0.9,0
0,0
t a e t h t t -⎧≥=⎨<⎩
用冲激响应不变法，将此模拟滤波器转化成数字滤波器（()h n 表示单位取样响应，即()()a h n Th nT =）。
确定系统函数()H z ，并把T 作为参数，T 为任何值时，数字滤波器是稳定的，并说明数字滤波器近似为低通滤波器还是高通滤波器。
7. 用冲激响应不变法将以下
变换为
,抽样周期为T 。
（1） 。
（2）
，n 为任意正整数。
8. 用冲激响应不变法设计一个离散时间低通滤波器，连续时间巴特沃斯滤波器
的幅度平方函数为
()()
2
21
1/a N
c H j j j Ω=
-ΩΩ
滤波器的技术指标为
()11
0j p p H e ωδωω-≤≤≤≤
()j s
s H e ωδωωπ≤≤≤
假设没有混叠，问冲激响应不变法中所用的采样周期值对设计结果是否有影响，并说明理由。
9. 图示是由RC 组成的模拟滤波器，写出其传输函数()a H s ，并选用一种合适
的转换方法，将()a H s 转化成数字滤波器()H z ，最后画出网络结构图。
10. 试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足技术指标如下： (1) 通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且没有起伏； (2) 频率在0.5π处的衰减为 3.01dB -；
(3) 频率在0.75π处的衰减至少为15dB 。
11. 设计一个数字滤波器，要求3dB 截止频率为π2.0，频率在π5.0到π之间的
阻带衰减至少为15dB ，系统取样频率为500Hz ，用双线性变换法设计满足指标的最低阶巴特沃思滤波器的传递函数，并用正准型结构实现。
12. 设计一个数字低通滤波器，要求其截止频率 f c = 50Hz ，在 fc 处的衰减为α
c = 3dB 。
系统的取样频率为
500Hz ，要求从二阶 Butterworth 模拟低通滤波
器中用双线性变换法导出数字滤波器的 H(z)。
13. 冲激响应不变法和双线性变换法是两种滤波器设计方法。
这两种方法将s 左
半平面的极点映射到z 平面单位圆内部，从而保持模拟滤波器的稳定性。
如果一个模拟滤波器的所有极点和零点都在s 左半平面内，那么这个滤波器具有最小相位。
（1）确定冲激响应不变法是否可以将最小相位模拟滤波器映射为最小相位
离散时间系统。
（2）对于双线性变换法重复（1）。
14. 阶数2N ≥时，连续时间滤波器()a H s 的系统函数可以用两个低阶系统的级
联来表示
()()()12a a a H s H s H s =
所以，一个数字滤波器可以通过将变换直接应用到()a H s 来设计，也可以通过分别将()1a H s 、()2a H s 变换为()1H z 、()2H z 来设计，然后以级联方式实现
()()()12H z H z H z =
（1） 如果()1H z 、()2H z 用冲激响应不变法由()1a H s 、()2a H s 设计，与用冲激响应不变法由()a H s 直接设计的滤波器()H z ，式()()()12H z H z H z =是否成立。
（2） 对双线性变换法重复（1）。
15. 假设某模拟滤波器()a H s 是一个低通滤波器，又知()()1
1
a z s z H z H s +=
-=，数字
滤波器()H z 的通带中心位于下面哪种情况？并说明原因。
（1） 0ω=（低通）。
（2） ωπ=（高通）。
（3） 除0或π以外的某一频率（带通）。
16. 设计一个数字巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率0.8p ωπ=rad ，通
带衰减不大于3dB ，阻带截止频率0.5s ωπ=rad ，阻带衰减不小于18dB ，采样间隔为2s 。
17. 证明u z =-（旋转变换）是一个低通→高通的稳定变换。
18. 把模拟低通滤波器传递函数中的s 用1/s 代替，就得到模拟高通滤波器。
即
若)(s G a 是低通滤波器的传递函数，)(s H a 是高通滤波器的传递函数，则
)/1()(s G s H a a =。
另外，数字滤波器还可以借助双线性变换1
1
+-=
z z s 从模拟滤波器映射得到（为方便起见，设2=T ）。
在这种映射下，虽然频率刻度有
了畸变，但保留了幅度特性的特征。
下图的网格表示一个截止频率为
2/
πω=L
的低通滤波器。
常数A 、B 、C 、D 都是实数。
试问为了得到截止频
率为2/πω=H 的高通滤波器，应如何修改这些系数？
19. 利用双线性变换法设计一个满足下面指标要求的数字带通巴特沃思滤波器：
通带上下边缘频率各为 200Hz 和300Hz ，通带波动3dB ，阻带上下边缘频率分别为 50Hz 和450Hz ，阻带衰减20dB ，取样频率为1kHz 。
请用模拟滤
ω
波器频率变换实现本设计。
20. 设滤波器差分方程为
)2(6
1
)1(65)1(21)()(---+-+=n y n y n x n x n y
试用正准型及一阶节的级联型、并联型结构实现此差分方程。