北师大版九年级上《相似图形》教案
北师大版九年级数学《图形的相似》回顾与思考(1)教案
第四章《图形的相似》回顾与思考一、教材分析本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，是对图形全等内容的进一步拓广和发展，有一定的难度。
在本章的学习中，学生已经学习了成比例线段以及相似图形的知识，本章的内容较多，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用二、二、学情分析学生已经学习了平行线的知识以及图形的全等，对两个图形之间的关系有了一定的理解和认识，并且大部分学生能够熟练运用学过的知识解决问题。
本章的学习，学生通过大量的现实情景，从“相似”这个角度认识了图形的另一种关系，丰富了学生对图形的直观体验，学生已经具备了一定的分析理解能力和逻辑推理能力。
三、教学目标1、从平行线分线段成比例开始回顾三角形相似的判定定理、射影定理、以及相似三角形中的常见模型；2、能够在例题及变式中学会识别运用所学知识四、教学重、难点教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。
教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
五、教学过程（1）已知：321l l l ∥∥，图中线段有哪些结论？【定理回顾】平行线分线段成比例定理（ ） （ ） （2）将直线AF 向左平移，使得D 和A 重合，以上结论还成立吗？【定理回顾】平行线分线段成比例定理推论如果【设计意图】直线平移到这个位置，构造出“正A ”相似模型，并引出“反A ”、“特A ”及射影定理的复习。
（3）将直线AF 向左平移，使得E 和B 重合，以上结论还成立吗？【定理回顾】三角形相似的判定定理【设计意图】直线接着平移到这个位置，构造出“正8”相似模型，并引出“反8”相似模（ ） （ ）已知∠ABF =∠AEB =90°，图中有哪些相似三角形？你能得到哪些结论？ （ ） （ ）型的复习。
北师大版九年级数学上册4.8.2位似图形优秀教学案例
3.多媒体教学资源的应用：利用多媒体教学资源，如PPT、图片等，直观地展示位似图形的性质和判定方法，增强学生的空间想象能力，提高学习效果。
4.培养学生关爱环境、珍惜资源的意识，将数学知识与可持续发展理念相结合。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体教学资源，展示实际生活中的位似图形，如图片的放大与缩小、地图的绘制等，引导学生从直观的角度认识位似图形的性质。
2.通过设计有趣的教学活动，如制作位似图形的手工作品，让学生亲身参与其中，增强对位似图形的感知和理解。
3.熟练运用多媒体教学资源，进行自主探究和合作交流，提高信息技术与数学学科的整合能力。
（二）过程与方法
1.通过生活实例引入位似图形的概念，引导学生从直观的角度认识位似图形的性质。
2.利用多媒体教学资源，展示位似图形的实际应用，培养学生的空间想象能力和思维能力。
3.引导学生进行自主探究和合作交流，发现位似图形的性质和判定方法，提高学生的探究能力和团队协作能力。
北师大版九年级数学上册4.8.2位似图形优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为北师大版九年级数学上册4.8.2位似图形，是学生在学习了相似图形的基础上，进一步探究位似图形的性质和判定。位似图形是实际生活中广泛存在的，如图片的放大与缩小、地图的绘制等，因此，本节课的学习对于学生理解和应用数学知识具有重要意义。
（四）反思与评价
1.在教学过程中，引导学生进行自我反思，总结自己在探究过程中的优点和不足，提高自我认知和自我调整能力。
2.通过设置课堂问答、练习题等形式，及时了解学生对位似图形的理解和掌握程度，及时调整教学策略。
北师大版九年级数学《图形的相似》回顾与思考(2)教案
北师大版九年级上册第四章图形的相似回顾与思考—相似基本图形【课标要求及分析】课标要求:了解相似三角形的定义、判定定理、性质定理，并会解决简单的实际问题.课标分析：《标准》的要求定位在“了解”和“简单”的层面，因此在复习过程中要注重对相似三角形相关基础知识和常见题型的把握.【教材及学情分析】北师大教版九年级上册《图形的相似》是在研究“图形的全等”的基础上研究“图形的相似”.在前面的学习中，学生已经较为系统的学习了线段的比、成比例线段、平行线分对应线段成比例定理、相似图形、相似多边形、位似图形等，具备了一定的合情推理和演绎推理能力，为该章节中的重点内容《相似三角形专题复习》做好了知识和能力的准备.【学习目标】1.掌握相似三角形的定义、判定定理、性质定理；2.能根据相似三角形的判定定理和性质定理以及已经学习过的其他知识解决简单的实际问题，进一步体会类比、分类、归纳、数形结合的思想方法.【教学重、难点分析】教学重点为相似三角形的判定定理和性质定理，教学难点为相似三角形性质定理的灵活应用.【教学设计思路】首先通常见基本图形，为本节专题复习做好知识铺垫.接着以问题为导向，以“常见图形”“经典图形”低起点、缓坡度的例题，引导学生自主探究相似三角形的相关问题，感受基本图形在相似三角形问题中的应用，并总结归纳出相关的解题方法.【教学资源】多媒体课件、几何画板【录制方法和工具】Camtasia Studio，全屏录制（PPT中直录）【教学过程设计】字型：∽ABC AEDAB=AD AB AE AC小结：共边之积相等0BC边于D点，则B CD=⋅△BAD∽△BCA：BA BD BC222:::BAD BCA BA BD BC CAD CBA CA CD CB ADB CDA DA DB DC===∽∽∽练习：如图，矩形ABCD ，BF ⊥AC 交AD 于点E 证明：△DEF ∽△BED .可得：∽=ABC CDE AB DE BC CD,ABC CDE ACE 则有∽∽，请同学们证明。
九年级数学上册第4章图形的相似教学案北师大版
九年级数学上册第4章图形的相似教学案(新版)北师大版(总121页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-第四章图形的相似1.了解线段的比、成比例线段,掌握比的性质及平行线分线段成比例的基本事实.2.了解相似多边形和相似比.3.探索并理解三角形相似的条件和性质.4.了解相似三角形判定定理的证明.5.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.6.探索并了解多边形的各顶点坐标(有一个顶点为原点,有一条边在横轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.7.了解黄金分割的意义,以及相似图形在现实生活中的应用.在研究与图形相似有关的问题中,经历观察、操作、类比、归纳、交流等过程,进一步发展几何直观和推理能力,发展发现问题、提出问题、解决问题的能力,积累数学活动经验.在探索问题、合作交流的过程中,进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系和数学的价值,增强应用意识.基于《标准》的要求和学生的基础,本章设计的总体思路是以数形结合为基本方法,以合情推理能力与演绎推理能力的培养为主线,在生动的问题情境和丰富的数学活动中,了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段;掌握平行线分线段成比例的基本事实;类比三角形全等,探索三角形相似的条件;了解相似三角形的判定定理和性质定理;了解图形的位似,体会多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.第1节“成比例线段”、第2节“平行线分线段成比例”,教科书从观察生活中的图案到观察几何图形,进而认识形状相同的图形.通过引导学生思考如何描述形状相同的图形的不同之处,引出学习线段的比的必要性和线段的比的概念,在此基础上,结合图形引出成比例线段、比例的性质,以及平行线分线段成比例等内容,从而为后面研究相似三角形做好准备.第3节“相似多边形”,教科书结合具体的形状相同的图形,明确对应角、对应边的概念,继而给出相似多边形、相似比的概念,接着通过若干具体活动进一步巩固对相似多边形概念的理解.第4节“探索三角形相似的条件”,根据相似多边形的定义,顺势引出相似三角形的概念,接着,类比三角形全等条件的探索,展现三角形相似条件的探索,明确给出相似三角形的三个判定定理,另外,本节借助相似三角形,介绍了黄金分割、黄金比及其计算过程.考虑到相似三角形判定定理的证明是《标准》规定的选学内容,教科书在得出三角形相似的条件2之后,设计了第5节“相似三角形判定定理的证明”,将相似三角形判定定理的证明单独成节,是为了方便教师在教学中根据学情灵活安排.在相似三角形判定定理之后,设计了一节活动课,即第6节“利用相似三角形测高”,介绍了利用相似三角形测量旗杆高度的几种方法.第7节“相似三角形的性质”,研究相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比与相似比的关系,以及周长比、面积比与相似比的关系.第8节“图形的位似”,介绍位似图形的概念,利用位似图形将一个图形放大或缩小,研究多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.【重点】1.成比例线段的性质.2.相似三角形的判定和性质.3.相似形知识在生活中的应用.【难点】1.比例的性质.2.相似多边形的判定.1.数学教学是数学活动的教学,因此建议设置丰富的问题情境,展现知识的发生、发展过程.因此,本章在研究的过程中应注重知识内容与研究方法上的联系与区别,应关注“对应”关系的确定(对应边的关系、对应角的关系等),注重基本模型的识别与应用.2.应注重站在系统的高度,突显类比的方法,梳理相关知识,帮助学生建立知识体系;重视渗透研究几何图形的基本问题和方法,进一步把握“特殊与一般”的关系,进一步明确“性质定理与判定定理”的互逆关系,进一步发展学生合情推理与演绎推理的能力.3.注重数学思想的教学,关注对证明思路的启发,学会数学的思考,提倡证明方法的多样性;关注数学教学的生活意义与模型价值,培养学生应用意识,提倡采用数学实践活动的方式让学生用数学,感受数学的应用价值.1成比例线段2课时2平行线分线段成比例1课时3相似多边形1课时4探索三角形相似的条件4课时*5相似三角形判定定理的证明1课时6利用相似三角形测高1课时7相似三角形的性质2课时8图形的位似2课时1成比例线段3通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念,理解并掌握比例的性质.通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.学会与他人合作交流,通过有关比的计算,让学生懂得数学的作用,从而增强学生学习数学的信心.【重点】线段的比和成比例线段,以及比例线段的基本性质.【难点】比例线段的基本性质的运用.第课时1.了解线段的比和成比例线段的概念.2.理解比例线段的基本性质.通过生活情境理解相关概念.增强学生对数学知识来源于生活的认识.【重点】成比例线段的概念.4【难点】比例线段的基本性质.【教师准备】课堂教学用的投影图片.【学生准备】测量长度的直尺,放大镜等.导入一:出示如图所示的两面大小不同的国旗,让学生比较这两面国旗有什么不同.[设计意图]以接近学生生活实际的国旗为背景,对学生进行爱国主义教育,同时提出国旗中蕴含着数学知识,激发学生的学习积极性,从而自然引入本节课内容.导入二:埃及法老阿美西斯想要测量金字塔的实际高度,可是没有一个埃及人能测出来.古希腊学者泰勒斯对法老阿美西斯说:“我只需找一个特殊的时刻,就能测出金字塔的高度.”泰勒斯在金字塔前竖立一根1 m长的木棒,他不断测量木棒的影长,当木棒的影子的长正好是1 m时,特殊时刻来了,如图所示,设金字塔的塔基宽为2b m,在塔外的影长为a m,落在塔内的影长恰为塔基宽的一半,这意味着金字塔的影长为a+b,因为木棒的高度与影长的比为1∶1,所以在同一时间同一地点的金字塔的高度与影长之比也应为1∶1,所以金字塔的高度为(a+b)m.[过渡语]形状相同、大小不同的两个图形之间存在着怎样的对应关系呢(1)学生测量两面国旗对角线的长度后,教师总结:描述两面国旗大小之间的关系,我们可以借助于两条线段的比来说明.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成.其中线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项,如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图所示,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm,AB∶A'B'=5∶3,就是线段AB和线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.5(2)问题思考:AB∶A'B'=5∶3,这时线段A'B'与线段AB的比是多少呢[知识拓展](1)求线段的比时,线段的长度单位要统一.(2)线段的比没有单位,所以线段的比与所采用的长度单位无关.(3)两条线段的比有先后顺序,前项和后项不能颠倒.二、成比例线段[过渡语]如果两个图形完全一样,只是大小不同,这两个图形上的对应线段之间存在什么关系呢思路一如图所示,设小方格的边长为1,四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上.(1)AB,AD,EF,EH的长度分别是多少(2),,,的值相等吗【总结】四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.【思考】上图中还有哪些线段是比例线段[知识拓展]在理解比例线段时,应注意三点:(1)比例线段是特指四条线段之间的关系,两条线段不能是比例线段,三条线段中的任意一条线段都不能重复使用时,三条线段也不能是比例线段,而五条或五条以上的线段中,只能判断其中的某四条线段能否是成比例线段.(2)成比例线段是有顺序的.即若a,b,c,d是成比例线段,则a∶b=c∶d,而不能写成a∶b=d∶c.(3)为了讨论问题方便,我们再给出两个相关的定义:①比例的内项与外项:如果四条线段a ,b,c,d是比例线段,那么把线段b,c叫做比例内项,把线段a,d叫做比例外项.②第四比例项:如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d叫做线段a,b,c的第四比例项.下列四组线段中,是成比例线段的是 ()cm,6 cm,7 cm,8 cmcm,6 cm,2 cm,5 cmcm,4 cm,6 cm,8 cm6cm,8 cm,15 cm,10 cm〔解析〕∵≠,∴不是成比例线段,故选项A错误;∵≠,∴不是成比例线段,故选项B 错误;∵≠,∴不是成比例线段,故选项C错误;∵,∴是成比例线段,故选项D正确.故选D.思路二【活动1】建立比例线段的概念.【投影图片】如图所示,AB=50,BC=25,A'B'=20,B'C'=10,求证.证明:∵=2,=2,∴.引导学生分析得出四条线段AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段.(1)题目的已知中共有几条线段分别是哪几条(2)其中的线段AB,BC的比是多少线段A'B',B'C'的比是多少其中线段AB与BC的比与线段A'B'与B'C'的比有何关系(3)我们称AB,BC,A'B',B'C'这四条线段是成比例线段,简称比例线段.(4)请同学们根据这个例子想一想,什么样的四条线段叫做成比例线段(5)学生叙述,教师板书比例线段的定义:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.【活动2】熟悉比例线段的概念.(1)定义告诉我们判定四条线段是成比例线段的方法:(其中的一个比例式)⇒a,b,c,d四条线段成比例;(2)定义告诉我们若已知四条线段成比例,则一定有比例式:a,b,c,d四条线段成比例⇒(唯一的一个比例式).与比例线段有关的概念:(1)项、内项、外项、第四比例项.a,b,c,d叫做组成比例的项,b,c叫做比例内项,a,d叫做比例外项,d叫做a,b,c的第四比例项.(2)比例中项.若作为比例内项的是两条相同的线段,即或a∶b=b∶c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.三、探索比例线段的基本性质计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积.(1);(2)∶3.通过计算,同学们发现了什么规律【学生活动】两个内项的积与两个外项的积相等.7【教师活动】我们把上面成比例的四个数用字母表示,即,用什么方法来说明两个内项的积与两个外项的积相等【学生活动】学生独立思考1分钟后,分组交流探讨“如果,那么ad=bc”.【教师活动】教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:(1)等式两边同时乘bd.(2)设=k,则a=bk,c=dk,因此ad=(bk)d=b(dk)=bc.【教师活动】我们又如何把乘积的形式化成比例的形式【学生活动】学生共同回答“等式两边同时除以bd”.【教师活动】我们把以上两个方面综合起来,就是比例线段的基本性质.比例线段的基本性质:如果,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0),那么.[设计意图]从特殊情况出发,使学生对比例线段的基本性质有一个直观的认识,再让学生以一般的形式探索和推导,让全体学生充分参与,一步一步得出比例线段的基本性质,体现了“从特殊到一般”的教学思想.【教师活动】根据上面的方法你能由推导出下列比例式吗(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7).(教材例1)一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照如图所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即,那么a的值应当是多少解:根据题意可知,AB=a m,AE=a m,AD=1 m.由,得,即a2=1,∴a2=3.开平方,得a=(a=-舍去).【问题思考】如果换成,那么a的值应当是多少81.在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于,那么这四条线段a,b ,c,d叫做成比例线段,简称.在a∶b=c∶d中,a,d叫做比例,b,c叫做比例.如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d叫做线段a,b,c的.答案:c与d的比比例线段外项内项第四比例项2.如果选用量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n,其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的和.答案:同一个长度单位前项后项3.如果,那么;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0),那么.答案:ad=bc第1课时1.两条线段的比2.成比例线段3.比例线段的基本性质一、教材作业【必做题】教材第79页习题的1,2题.【选做题】教材第79页习题的3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法中错误的是()A.线段的比就是指它们的长度之比B.只要两条线段的长度采用同一单位,那么两条线段的比与所采用的单位无关C.求两条线段的比,一定要用同一单位,如果单位不同,应先化成同一单位,再求它们的比D.两条线段的比与两个数的比一样有正有负92.一根旗杆长6 m,在正午的阳光下,其影长为80 cm,则旗杆的长与它的影子的长度之比为()A. B. C. D.3.下列四组线段中,成比例的是()=3,b=6,c=2,d=5=1,b=,c=,d==4,b=8,c=5,d=10=2,b=,c=,d=24.一条线段的长度是另一条线段长度的,则这两条线段的比为.5.四条线段a,b,c,d成比例,且a=14 cm,b=16 cm,c=13 cm,则d=.【能力提升】6.下列各组线段中,能成比例的是(),6,7,9 ,5,6,8,6,9,18 ,2,3,47.已知线段a,b,c,d是比例线段,其中a=6 cm,b=4 cm,c=12 cm,求线段d的长.【拓展探究】8.已知三个数,a=1,b=2,c=,请你再添一个数d,使它们能构成比例式,写出这个比例式.(至少写两个)【答案与解析】4.或5.(解析:由比例的基本性质可知,若四条线段成比例,则必有两条线段长度之积等于另两条线段长度之积,所以判断时只需看最小数与最大数之积是否等于另两数之积便可作出判断.如3×9≠6×7,2×8≠5×6,3×18=6×9,1×4≠2×3,故选C.)7.解:因为a,b,c,d是比例线段,所以a∶b=c∶d,即d==8,所以线段d的长为8 cm.8.解:如:d=2或,比例式为或.答案不唯一.本课时的知识要点是强调线段对应成比例,这一点在教学的过程中得到了有效的贯彻.在理解比例线段的基础上,由特殊上升到一般,接着探讨了比例线段的基本性质.理解比的意义和比例线段,是灵活运用比例线段的基本性质的前提.在知识的讲解和例题、习题的讲练过程中,都渗透着对这个问题的处理.10比例线段的比不是固定不变的.比例线段强调的是比例的大小,随着比的顺序的变化,比值也会随之变化,这一点在教学中没有特别地强调.这一点不强调,不利于学生今后理解图形的相似比.以国旗的长和宽为例,强调长和宽是一对比例线段,它们的比值是不变的.以一面国旗来讲,这里强调的是长和宽的比.从两面国旗的角度看,小国旗和大国旗的长和宽是四条对应成比例的线段.随堂练习(教材第79页)1.提示:在地图上,图上长度与实际长度的比叫比例尺.如:用同一张洗出的不同尺寸的两张照片上对应线段的比相同,按照图纸严格建造的楼房的窗户的长与宽与图纸上相应的长与宽的比相同等.2.解:长线段∶短线段=5∶1.3.解:因为a,b,c,d是成比例线段,所以a∶b=c∶d,即3∶2=6∶d,所以d=4(cm).习题(教材第79页)1.解:因为在ΔABC中,∠B=90°,AB=BC=10 cm,所以AC=10 cm.因为ED=EF=12 cm,DF=8 cm,所以,.2.解:∵,∴.解得AD=.∴AD的长为 cm.3.解:由题意可知,∵AE=AB,∴,即AB2=2AD2,∴=2,∴,即原来矩形的长边与短边的比是∶1.关于成比例线段应注意以下两点:(1)线段的比是指两条线段长度之间的比的关系,而成比例线段是指四条线段长度之间的比的关系.(2)线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如是线段a,b,c,d成比例,而不是线段a,c,b,d成比例.通常成比例的四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b的单位一致,c,d的单位一致也可以,为什么解:例如:a=30 cm,b=50 cm,c=3 m,d=5 m,我们可以把四条线段的长度单位都化成厘米,即a=30 cm,b=50 cm,c=300 cm,d=500 cm,则,,因此;我们也可以求出,,所以.第课时理解等比的性质.通过具体数字和证明领会等比性质.鼓励和培养学生的探索精神.【重点】等比的性质.【难点】等比性质的变形及灵活运用.【教师准备】等比性质的推导过程和课堂小结的投影图片.【学生准备】复习比例线段和比例的性质.导入一:小明给小刚提出一个很有意思的问题.他说:“数学来源于生活.因此,数学中的许多定理都可以用生活中的常识来解释,请你利用一个生活常识来解释:若=…=(b+d+…+n≠0),则.”小刚想了想说:“若有含糖a kg的糖水b kg,含糖c kg的糖水d kg,含糖e kg的糖水f kg……它们的浓度相等,把这些糖水混合到一起后,浓度不变,表示方法为:.”小刚所举的例子有什么数学根据呢导入二:如图所示,已知=2,你能求出的值吗[过渡语]你能计算出导入二问题的结果吗【学生活动】学生独立思考1分钟后,分组交流探讨.【教师活动】教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:因为=2,所以AB=2EF,BC=2FG,CD=2GH,DA=2HE.所以=2.【猜想】用数字验证:,,故成立.【教师活动】用数字验证的结论可靠吗【学生活动】学生独立思考1分钟后,分组交流探讨.【教师活动】教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:设=…==k,∴a=bk,c=dk,…,m=nk.∴=k=.【结论】等比性质:如果=…=(b+d+…+n≠0),那么.(教材例2)在ΔABC与ΔDEF中,已知,且ΔABC的周长为18 cm,求ΔDEF的周长.解:∵,∴.∴4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD),即DE+EF+FD=(AB+BC+CA).又∵ΔABC的周长为18 cm,即AB+BC+CA=18 cm,∴DE+EF+FD=(AB+BC+CA)=×18=24(cm),即ΔDEF的周长为24 cm.【思考】(1)吗(2)吗(3)如果AB+BC=10 cm,DE+EF等于多少[设计意图]学到的知识要会应用升华,通过学生练习,使学生掌握运用比例的基本性质、等比性质来求值和说理的方法;通过归纳学生的各种解题方法,达到一题多解的目的,培养学生多角度的开放性思维能力.[知识拓展](1)将比例式转化为乘积式是有规律的,并不是比例式的四个字母中任意两个字母的乘积都等于另外两个字母的乘积,这个规律是:比例的外项乘积等于内项乘积.(2)用等比性质时,要注意b+d+…+n≠0这个条件.(3)比例的其他性质:合比性质:如果,那么.更比性质:如果,那么或.反比性质:如果,那么.1.已知2a=3b,则=.答案:2.若3x-5y=0,则=.答案:3.若(b+d≠0),则的值为.答案:4.已知,则=.答案:5.在ΔABC和ΔADE中,,且ΔABC的周长为36 cm,则ΔADE的周长为.答案:21 cm第2课时1.等比性质2.等比性质的证明一、教材作业【必做题】教材第81页习题的1,2题.【选做题】教材第81页习题的3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知,那么下列等式中不一定正确的是()=5b B.+b=7 D.2.若,则等于()A. B. C. D.3.若,则的值是()A. B. C. D.4.已知直角三角形的两条直角边长的比为a∶b=1∶2,斜边长为4 cm,那么这个三角形的面积是()cm2 cm2 cm2 cm25.若2x-5y=0,则y∶x=,=.6.已知,b+d+f=50,那么a+c+e=.7.如果,那么=.【能力提升】8.如果成立,那么下列各式一定成立的是()A. B.C. D.9.若,则=.10.若,则=.11.已知,求.【拓展探究】12.设a,b,c是ΔABC的三条边,且,判断ΔABC为何种三角形,并说明理由.【答案与解析】∶57.9.11.解法1:由,得,,所以,即=9.解法2:设=k,则x=2k,y=3k,z=4k,显然k≠0,否则x=y=z=0,分式无意义.所以=9.12.解:ΔABC为等边三角形.理由如下:设a,b,c是ΔABC的三条边,∴a+b+c≠0.∵,∴=0,∴a=b=c,∴ΔABC为等边三角形.等比的性质及其变形是本课时的知识难点,为了突破这个难点,必须让学生领会等比性质的推导过程.在推导等比性质的过程中,放手让学生用自己的方法去证明和推导等比性质,加上老师恰到好处的提示和点拨,使学生深刻领会等比性质的推导过程.等比性质的变形是在课堂练习和习题当中体现的内容,是学生课后探究尝试的内容,在本课时的教学过程中,过早地交代和涉及了相关的知识,加大了本课时的课时容量,也会给学生造成知识掌握上的困难.在引导学生探究等比性质的时候,应该遵循从特殊到一般的认识规律,先让学生选择具体的数字或者任意的线段长度进行尝试,有了一定的感性认识之后,最终探索等比性质的一般形式,并适时强调等比性质成立的条件.随堂练习(教材第80页)解:由于(b+d≠0),因此根据等比性质得.习题(教材第81页)1.解:由于且b+d+f≠0,因此根据等比性质得.2.解:AB=2,DE=,BC=2,DC=,AC=2,EC=.CΔABC∶CΔEDC=(2+2+2)∶()=2∶1.3.解:正确.设=k,则a=bk,c=dk,所以=k+1,=k+1,所以.同理,.(1)有关比例的证明题.已知,求证.〔解析〕这是一道有关比例的证明题,利用比例的基本性质证明.证明:因为,所以a(c-b)=b(a-c),即ac-ab=ab-bc,所以ac+bc=2ab,两边同时除以abc,得.[解题策略]解此题时,要注意a≠0,b≠0,c≠0这个隐含条件,所以在等式两边可以同时除以abc.(2)用代换思想解比例问题.若c≠0,3a=5b+2c,a+b=4c,求a∶b∶c.〔解析〕上面两个等式可看成方程,两个方程中有三个未知数,无法直接求解,应把其中一个字母看成已知数,用含有这个字母的式子表示另两个字母.解:由题意得解得所以a∶b∶c=b∶b∶b=7∶3∶3.(2014·牡丹江中考)若x∶y=1∶3,2y=3z,则的值是()C.〔解析〕∵x∶y=1∶3,∴设x=k,y=3k,∵2y=3z,∴z=2k,∴=-5.故选A.若2a=3b=4c,且abc≠0,则的值是()〔解析〕设2a=3b=4c=12k(k≠0),则a=6k,b=4k,c=3k,所以=-2.故选B.2平行线分线段成比例1.理解平行线分线段成比例基本事实及其推论,初步熟悉平行线分线段成比例的应用.2.通过有关比的计算,激发学生学习数学、探索问题的兴趣,培养学生进行一定的问题研究的能力.通过教学,培养学生的观察、分析、概括能力,了解特殊与一般的辩证关系.学会与他人合作交流.【重点】理解平行线分线段成比例基本事实及其推论.【难点】成比例的线段中对应线段的确认.【教师准备】教材图4-6,图4-7的投影图片.【学生准备】复习两条线段的比、比例线段的概念及比例的性质,并预习新课内容.导入一:如图(1)所示,梯子是施工过程中经常使用的工具,因为它的实用性和稳定性都很好,所以梯子的应用非常广泛,大到施工工地,小到日常家居,都能看到梯子的身影.如图(2)所示的梯子在生产过程中因为工作失误导致“左右不对称”,不过AB=BC=…,AD∥BE∥CF∥…,这些都符合要求,那么DE和EF相等吗导入二:我们已经学习了成比例线段,请同学们回忆一下,什么叫成比例线段能不能举几个例子说一说这里给出四条线段,我们需要计算才能知道它们成不成比例,这节课我们将要学习不用计算,就知道它们成不成比例的方法,你们想知道是什么吗[过渡语]在什么情况下的四条线段对应成比例呢【探索活动一】平行线分线段成比例的基本事实出示教材图4-6.在图4-6中,小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3.问题1计算线段A1A2,A2A3,B1B2,B2B3的长度.问题2等于吗问题3等于吗问题4将l2向下平移到如图4-7所示的位置,直线m,n与l2的交点分别为A2,B2,你在问题1,2,3中发现的结论还成立吗如果将l2平移到其他位置呢问题5在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗(问题提示:经过计算,在图4-6中,A1A2=,A2A3=4,B1B2=,B2B3=4,利用此数据可得问题2,问题3中的两条线段的比均相等.对于问题4的探索,可同样采取前3个问题的办法) [设计意图]学生对于理解“平行线分线段成比例”这一基本事实有一定的困难,这里的体验活动正好让他们对这一基本事实有一个直观理解.利用直观的操作培养学生大胆猜测、从实践中得出结论的能力,充分体现了教师为主导,学生为主体的教学原则.基本事实的总结:【文字叙述】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.【符号表述】如图所示,直线l1,l2,l3截直线a,b,且l1∥l2∥l3,则.。
北师大版九年级上《相似图形》教案
第三章 相似图形1．成比例线段一、目标导航1．了解两条线段的比的概念；※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB :CD =m :n ，或写成.2．若线段d c b a ::=，则线段d c b a ,,,叫做成比例线段(或比例线段)；3．及bc ad =在指定条件下可以互相转化，即比例式及等积式可以互相转化．二、基础过关1．若2x －5y =0，则y ∶x =________，=________．2．如果53=-b b a ，那么ba =________． 3．若a =2，b =3，c =33，则a 、b 、c 的第四比例项d 为________． 4．若753z y x ==，则zy x z y x -++-=________． 5．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm ，而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________．三、能力提升6．若，且AB=12，AC=3，AD=5，则AE=________．7．已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC=________．8．已知y x 23=，那么下列式子成立的是()A ．3x =2yB ．xy =6C ．32=y xD ．32=x y9．把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是() A ．b d c a 2= B ．b d c a =2 C ．b d c a =2 D ．d a b c 2= 10．已知线段x ，y 满足(x +y )∶(x －y )=3∶1，那么x ∶y 等于()A ．3∶1B ．2∶3 C．2∶1 D ．3∶211．已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2，其斜边长为45cm ，那么这个三角形的面积是()cm 2．A ．32B ．16C ．8D ．412．等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是()cm ．A ．72．8B ．51C ．36．4D ．2813．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例?(1)a =16 cmb =8 cmc =5 cmd =10 cm(2)a =8 cmb =5 cmc =6 cmd =10 cm四、聚沙成塔在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB=15 cm ，AC=10 cm ，且BD ∶DC=AB ∶AC ，BD －DC=2 cm ，求BC 的长．4．1线段的比(2)一、目标导航1．合比性质：如果，那么；2．等比性质：如果(0≠+⋅⋅⋅++n d b )，那么．二、基础过关1．若d c b a ==3(b +d ≠0)，则d b c a ++=________．2．已知(b +f ≠0)，则=___________．3．已知，yx =．三、能力提升4．已知，则下列式子中正确的是()A ．a ∶b = c 2∶d 2B ．a ∶d =c ∶bC ．a ∶b =(a +c )∶(b +d )D ．a ∶b =(a －d )∶(b －d )5．若ac = bd (0≠ac )，则下列各式一定成立的是( )A ．B ．C ．D ．6．已知，则的值为( )A ．54B ．45C ．2D ．21 7．若875c b a==，且3a －2b +c =3，则2a +4b －3c 的值是() A ．14 B ．42 C ．7 D ．314 8．若，设A =，B =，C =，则A ，B ，C 的大小顺序为( )A ．A ＞B ＞C B ．A ＜B ＜C C ．C ＞A ＞B D ．A ＜C ＜B9．若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，．求线段PQ 的长．10．已知：3a =5b =7c ．求：⑴的值；⑵的值．11．已知：x ∶y ∶z=2∶3∶4．求：⑴；⑵；⑶．12．若65432+==+c b a ，且2a －b +3c =21．试求a ∶b ∶c ．四、聚沙成塔13．已知实数a ，b ，c 满足c b a b a c a c b +=+=+，求a c b +的值．2．平行线分线段成比例(1)如图，任意画两条直线l 1、l 2，再画三条及l 1、l 2相交的平行线l 3、l 4、l 5，分别量度l 3、l 4、l 5在l 1上截得的两条线段AB 、BC 和在l 2上截得的两条线段DE 、EF 的长度，AB ︰BC 及DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5， 再量度AB 、BC 、 DE 、EF 的长度，AB ︰BC 及DE ︰EF 相等吗?(2)问题，AB ︰AC=DE ︰()，BC ︰AC=()︰DF ．(3)归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》探索三角形相似的条件教案
4.4 探索三角形相似的条件教案 第1课时 利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′＝80°，∠B ＝70°，∠C ′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC ∽△A ′B ′C ′.理由：由三角形的内角和是180°， 得∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－80°－70°＝30°， 所以∠A ＝∠A ′，∠C ＝∠C ′.故△ABC ∽△A ′B ′C ′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：相似三角形的判定定理1的应用已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ，求证：AF BF ＝EFDF .解析：要证明AF BF ＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE 与△BFD 是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴∠AEF ＝∠BDF ＝90°. 又∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴△AFE ∽△BFD ，∴AF BF ＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE ∥BC ，DF ∥AC ，AD ＝4cm ，BD ＝8cm ，DE ＝5cm ，求线段BF 的长.解：方法一：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AD AB ＝DE BC ，即44＋8＝5BC ，所以BC ＝15cm.又因为DF ∥AC ， 所以四边形DFCE 是平行四边形， 所以FC ＝DE ＝5cm ，所以BF ＝BC －FC ＝15－5＝10（cm ）. 方法二：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B . 又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ， 所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形； （2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.第2课时利用两边及夹角判定三角形相似1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2.（难点）一、情景导入画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，ABA′B′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？二、合作探究探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（）A.AB·CD＝BD·BCB.AC·CB＝CA·CDC.BC2＝AC·DCD.BD2＝CD·DA解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即CDCB＝CBAC或BC2＝AC·DC.故选C.方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.探究点二：相似三角形的判定定理2的应用如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x.解析：欲求厚度x，而x＝a－AB2，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB 的比例式，解之即可.解：因为OA ：OC ＝OB ：OD ，∠AOB ＝∠COD ，所以△AOB ∽△COD ， 故AB CD ＝OAOC＝n ，可得AB ＝bn ， 所以x ＝a －bn2.方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.如果点P ，Q 同时出发，经过多长时间后△PBQ 与△ABC 相似？解析：要证明△PBQ 与△ABC 相似，很显然∠B 为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.解：设经过t s 后，△PBQ 与△ABC 相似.（1）当BP BA ＝BQBC 时，△PBQ ∽△ABC . 此时8－t 8＝2t 16，解得t ＝4.即经过4s 后△PBQ 与△ABC 相似； （2）当BP BC ＝BQBA 时，△PBQ ∽△CBA .此时8－t 16＝2t 8，解得t ＝1.6.即经过1.6s 后△PBQ 与△ABC 相似.综上可知，点P ，Q 同时出发，经过1.6s 或4s 后△PBQ 与△ABC 相似.易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ 的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ ∽△ABC 的情况，还要考虑△PBQ ∽△CBA 的情况.三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，进一步发展学生的探究、交流能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关.第3课时利用三边判定三角形相似教案1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理3.（难点）一、情景导入如图，如果要判定△ABC与△A′B′C′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？可否用类似于判定三角形全等的SSS方法，通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？二、合作探究探究点一：三边成比例的两个三角形相似已知△ABC的三边长分别为1，2，5，△DEF的三边长分别为10，2，2，试判断△ABC与△DEF是否相似.解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.解：因为12＝22＝510，所以△ABC与△DEF相似.方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.探究点二：相似三角形的判定定理3的应用如图所示，在△ABC中，点D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AE＝6，DE＝5，BD＝15，CE＝3，BC＝15.根据以上条件，你认为∠B＝∠AED吗？并说明理由.解析：要说明∠B＝∠AED，只需要得到△ABC∽△AED，根据三边成比例的两个三角形相似可证得△ABC∽△AED.解：∠B＝∠AED.理由如下：由题意，得AB＝AD＋BD＝3＋15＝18，AC＝AE＋CE＝6＋3＝9，AC AD＝93＝3，ABAE＝186＝3，CBDE＝155＝3，所以ACAD＝ABAE＝CBDE，故△ABC∽△AED，所以∠B＝∠AED.方法总结：证明两角相等，可通过证明对应的两个三角形相似而得到，给出的已知条件以边为主时，首先考虑使用“三边成比例”的判定条件.如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似.解：由甲图可知AC＝12＋12＝2，BC＝2，AB＝12＋33＝10.同理，图①中，三角形的三边长分别为1，5，22；同理，图②中，三角形的三边长分别为1，2，5；同理，图③中，三角形的三边长分别为2，5，3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2，5，13.∵21＝22＝105＝2，∴图②中的三角形与△ABC相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.。
北师大版九年级上册第四章图形的相似课程设计
北师大版九年级上册第四章图形的相似课程设计一、课程目标本课程旨在让学生了解图形的相似性质，掌握相似图形的判定方法，并能运用相似定理解决实际问题。
二、教学内容1. 图形的相似性质•什么是相似图形及其定义•相似图形的性质•相似三角形的判定方法2. 相似图形的应用•相似图形的比例关系•相似图形的面积比及其计算方法•利用相似定理解决实际问题三、教学重点和难点本课程的教学重点为相似图形的判定方法和应用。
在教学过程中，需要注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
难点在于如何运用相似定理解决实际问题，需要重点讲解对具体问题的分析和判断。
四、教学方法本课程采用教师讲授与讨论相结合的方法。
教师通过图示、实验等具体例子，引导学生理解相似图形的性质和判定方法。
同时，教师还可以通过小组讨论、合作学习等方式，激发学生的学习兴趣和积极性，提高课堂效果。
五、教学步骤第一步：导入教师通过回顾前几章的学习内容，引导学生进入本章的学习氛围。
第二步：讲授相似性质教师通过图示等方式，讲解相似图形的定义和性质。
并讲解相似三角形的判定方法。
第三步：讲授相似应用教师通过具体例子，讲解相似图形的比例关系和面积比的计算方法。
第四步：实战演练教师出示具体问题，引导学生根据相似定理进行分析和解决。
第五步：总结归纳教师将本课程的重点难点进行总结归纳，并引导学生自我评价。
六、课堂评价在本课程中，可以采用小组讨论、课堂练习、个人报告等方式进行评价。
其中，课堂练习可以通过单选题、多选题、填空题等形式，进行针对性测试。
个人报告可以通过让学生选择一个实际问题，并利用相似定理进行解决，进行评价。
七、拓展阅读1.《数学课程标准》2.《北师大版初中数学教材》3.等比数列的应用八、教学反思通过本课程的教学，发现学生在相似图形的判定方法掌握方面有些困难。
下一步，需要加强练习，提高学生的运用能力。
同时，在进行应用解题时，需要针对具体问题进行分析和判断，要求学生注重思考和实践。
北师大版九年级数学上册《图形的相似——探索三角形相似的条件》教学PPT课件(4篇)
2. 判断两个三角形相似，在已知一个角相等的情况下， 夹这个角的两边的比相等有两种情况，不要只考虑其中一种， 而忽视了另一种．
第四章 图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时
教学目标
3. 如图，已知 D 是△ ABC 的边 AB 上一点，若∠1＝ ∠∠B ， 则 △ ADC∽△ACB ， 若 ∠2 ＝ ∠AACCBB ， 则 △ ADC∽△ACB.
4. 如图，已知在△ ABC 与△ DEF 中，∠C＝54°，∠A ＝47°，∠F＝54°，∠E＝79°，△ ABC 与△ DEF 相似吗？ 为什么？
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P， 在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S 共线且直线 PS 与河垂直，接着在过 点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 于 PS 的直线 b 的交点 R.如果测得 QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m， 求河的宽度 PQ.
知识点 2 相似三角形的应用 例2 如图，D，E 分别是△ ABC 的边 AC，AB 上的点．AE ＝1.5，AC＝2，BC＝3，且AADB＝34，求 DE 的长．
【
思
路
点
拨
】
由
条
件
可
得
AE AC
＝
AD AB
，
可
说
明
△ AED∽△ACB，再利用相似三角形的性质可得到 DE.
解：∵AE＝1.5，AC＝2，∴AAEC＝12.5＝34＝AADB，且∠EAD ＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，
九年级相似图形教案
九年级相似图形教案教案标题：探索九年级相似图形教学目标：1. 理解相似图形的定义和特征；2. 能够识别和分类相似图形；3. 掌握相似图形的比例关系和性质；4. 能够应用相似图形的概念解决实际问题。
教学准备：1. 教学投影仪或白板；2. 相似图形的实物或图片；3. 九年级数学教材；4. 相关练习题和活动。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪或白板展示一些相似图形的实物或图片，引起学生对相似图形的兴趣。
2. 提问学生：你们认为什么是相似图形？相似图形有哪些特征？二、概念讲解（15分钟）1. 通过示例和图示，讲解相似图形的定义和特征，强调相似图形的形状相似、对应角相等、对应边成比例等性质。
2. 引导学生观察和比较相似图形的例子，让他们找出相似图形的共同点和规律。
三、相似图形的比例关系（20分钟）1. 通过练习题和实例，让学生运用相似图形的定义和性质，探索相似图形的比例关系。
2. 引导学生发现相似图形的对应边之间的比例关系，并引导他们应用这一关系解决实际问题。
四、应用活动（15分钟）1. 分发一些实际问题，要求学生利用相似图形的概念解决问题，如计算建筑物的高度、测量无法直接测量的物体等。
2. 学生分组合作解决问题，并展示他们的解决过程和答案。
五、巩固练习（15分钟）1. 分发一些练习题，让学生巩固相似图形的概念和技巧。
2. 在学生独立完成练习后，进行答案讲解和讨论。
六、总结与拓展（10分钟）1. 总结相似图形的定义、特征和性质。
2. 引导学生思考相似图形与比例的关系，并提出拓展问题，激发学生的思维。
教学反思：本节课通过引导学生观察和比较实物和图片，让他们主动发现相似图形的特征和性质。
通过练习题和实际问题的应用活动，培养学生运用相似图形概念解决问题的能力。
同时，通过总结和拓展，加深学生对相似图形的理解。
在教学过程中，教师应注重启发性的提问和引导，激发学生的思维和兴趣，培养他们的自主学习能力。
初中相似图形的教学教案
教案：初中相似图形教学教学目标：1. 让学生理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法。
2. 培养学生运用相似图形解决实际问题的能力。
教学内容：1. 相似图形的定义和性质2. 相似图形的判定方法3. 相似图形在实际问题中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾小学学过的图形变换知识，如平移、旋转等。
2. 提问：你们认为什么是相似图形？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解相似图形的定义：在平面内，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形叫做相似图形。
2. 讲解相似图形的性质：a. 相似图形的对应边成比例。
b. 相似图形的对应角相等。
c. 相似图形的大小可以通过比例关系来计算。
3. 讲解相似图形的判定方法：a. 如果两个图形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个图形相似。
b. 如果两个图形互相旋转或翻转后能够重合，那么这两个图形相似。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题：判断两个图形是否相似。
2. 引导学生通过对应角和对应边的关系来判断图形是否相似。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 引导学生通过相似图形的性质和判定方法来解决问题。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课所学内容，让学生明确相似图形的概念和性质。
2. 提问：相似图形在实际生活中有哪些应用？3. 拓展知识：介绍相似图形在几何学中的重要性，如相似三角形的性质和应用。
教学评价：1. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的掌握程度。
3. 单元测试：进行单元测试，评估学生对相似图形的理解和应用能力。
北师大版九年级数学上册说课稿：4.8图形的相似
北师大版九年级数学上册说课稿：4.8 图形的相似一. 教材分析北师大版九年级数学上册4.8节“图形的相似”是学生在学习了图形的性质、相交线、平行线等基础知识后，进一步探究图形之间的关系。
本节内容主要介绍了相似图形的定义、性质和判定方法，以及相似图形在实际问题中的应用。
通过学习本节内容，学生能够理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法，提高观察、分析、解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对图形的性质和关系有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对相似图形的概念和性质理解不深，难以运用相似图形解决实际问题。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生直观感受相似图形的特点，通过实例让学生体会相似图形在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法，能运用相似图形解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：相似图形的概念、性质和判定方法。
2.教学难点：相似图形的性质和判定方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、小组合作学习法、案例教学法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的相似图形，引导学生观察、思考，引出相似图形的概念。
2.探究相似图形的性质：让学生通过观察、操作、交流，发现相似图形之间的内在联系，归纳出相似图形的性质。
3.学习相似图形的判定方法：引导学生通过实例，探讨相似图形的判定方法，总结出判定相似图形的方法。
4.应用拓展：让学生运用相似图形的性质和判定方法解决实际问题，提高学生的应用能力。
5.总结反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程，提高学生的自主学习能力。
2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.8 图形的相似
2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.8 图形的相似一. 教材分析北师大版九年级数学上册4.8节“图形的相似”是学生在学习了图形的性质、相交线和平行线等知识的基础上，进一步探讨图形的相似性质。
本节内容主要包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质等。
通过本节的学习，使学生能理解相似图形的概念，掌握相似比的意义，了解相似多边形的性质，并为后续学习相似三角形的性质和相似图形的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对图形的性质、相交线和平行线等知识有了初步的了解。
但学生对相似图形的概念和性质的理解还不够深入，需要在教学过程中通过实例分析和练习来加深理解。
三. 教学目标1.理解相似图形的概念，能判断两个图形是否相似。
2.掌握相似比的定义，能计算相似比。
3.了解相似多边形的性质，能应用相似多边形的性质解决问题。
四. 教学重难点1.相似图形的概念和判断。
2.相似比的计算和意义。
3.相似多边形的性质及其应用。
五. 教学方法1.采用直观演示法，通过实物和图形的展示，让学生直观地理解相似图形的概念。
2.采用实例分析法，通过具体的例子，让学生掌握相似比的计算和意义。
3.采用练习法，让学生在练习中巩固相似多边形的性质。
六. 教学准备1.准备相似图形的实物和图片，用于直观展示。
2.准备相似比的计算练习题，用于巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些相似的实物和图片，引导学生观察和思考：这些实物和图片有什么共同的特点？从而引出相似图形的概念。
2.呈现（10分钟）讲解相似图形的定义，通过实例分析，让学生理解相似图形的性质。
引导学生思考：如何判断两个图形是否相似？相似图形有什么共同的特征？3.操练（10分钟）让学生进行相似比的计算练习，巩固相似比的定义和计算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生应用相似多边形的性质解决问题，加深对相似多边形性质的理解。
北师大版九年级数学上册第四章-相似图形-教学案（PDF版 含解析）
高效提分源于优学第14讲相似三角形的判定温故知新一、平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE ∥BC ，则有ＡＤＡＢ＝ＡＥＡＣ，ＡＤＤＢ＝ＡＥＥＣ，ＤＢＡＢ＝ＥＣＡＣ课堂导入一、相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．1、相似三角形是相似多边形中的一种；2、应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；3、相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；4、相似用“∽”表示，读作“相似于”；5、相似三角形的对应边之比叫做相似比，书写对应边的比时，一定要找准对应边。
二、相似三角形的判定方法1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．典例分析例1、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD【解答】证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。
借助于计算也是一种常用的方法。
例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【解答】△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，所以有三对相似三角形．相似三角形的概念及判知识要点一AB CD高效提分源于优学例3、如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．=【解答】D．根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．例4、已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．【解答】（1）由点E是BC的中点，BC=2AD，可证得四边形AECD为平行四边形，即可得△AOE∽△COF；（2）连接DE，易得四边形ABED是平行四边形，又由∠ABE=90°，可证得四边形ABED是矩形，根据矩形的性质，易证得EF=GD=GE=DF，则可得四边形EFDG是菱形．举一反三1、下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【解答】B.此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．2、在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对【解答】A．3、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）【解答】（1）首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例.（2）答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可；△DP2P5，△P5P4F，△DP2P4，△P5P4D，△P4P5P2，△FDP1．4、如图，△ABC中，BE⊥AC于E，AD⊥BC于D．求证：△CDE∽△CAB．高效提分源于优学1、平行线型：常见的有如下两种，D E∥BC ，则△ADE ∽△ABCAAB CB CDEDE2、相交线型：常见的有如下四种情形（1）如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABC11ABCDABCEE D（2）如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB （3）如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△ABCA211BCACBEDD3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE ，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，右图为常见的基本图形．4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．相似三角形基本类型知识要点二B CADE5、斜交型：如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
北师大版九年级数学上册第四章-相似图形-教学案（PDF版 含解析）
高效提分源于优学第15讲相似三角形的性质和应用温故知新一、相似三角形的判定方法课堂导入一、黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，如果AC ＝5－12AB ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个.二、相似三角形的性质1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3、相似三角形周长的比等于相似比.4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.典例分析例1、已知线段AB=8，点C 是AB 的黄金分割点，则AC=【解答】根据黄金分割点的概念，应有两种情况，当AC 是较长线段时，AC=4×=2﹣2；当AC 是较短线段时，则AC=4﹣2+2=6﹣2．故本题答案为：2﹣2或6﹣2．例2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，若AE=BC ，则点E 是线段AB 的黄金分割点吗？说明你的理由．【解答】点E 是线段AB 的黄金分割点．证明（略）相似三角形的性质知识要点一ABCD高效提分源于优学例3、两个相似三角形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm 【解答】A．例4、以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积S n=．【解答】∵正方形ABCD的边长为1，∴AB=1，AC=，∴AE=AO1=，则：AO2=AB=，∴S2=，S3=，S4=，∴作的第n个正方形的面积S n=．故答案为：．举一反三1、如果两个相似多边形的周长比为1：5，则它们的面积比为（）A．1：2.5B．1：5C．1：25D．1：【解答】解：相似多边形的周长的比是1：5，周长的比等于相似比，因而相似比是1：5，面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：25；故选C．2、如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：4【解答】解：∵两个相似多边形面积的比是4：9，∴这两个相似多边形对应边的比是2：3．故选B．3、如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP=2或12或5.6．【解答】解：∵①若△PCD∽△APB，则，即，解得DP=2或12；②若△PCD∽△PAB，则，即，解得DP=5.6．∴DP=2或12或5.6．故答案为：2或12或5.6．4、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点0.6处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少8m处．【解答】解：如图所示：，∵BP=0.6AB=0.6×20=12m，∴AP=AB﹣BP=20﹣12=8m．即主持人应走到离A点至少8m处．故答案为：8．5、已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=20厘米，则线段AP=10﹣10或30﹣10厘米．【解答】解：当AP＞BP时，AP=×20=10﹣10厘米，当AP＜BP时，AP=20﹣（10﹣10）=30﹣10厘米．故答案为：10﹣10或30﹣10．高效提分源于优学1、利用三角形相似测量高度方法1、利用阳光下的影子测量物高根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形.在同一时刻，被测量物体的实际高度被测量物体的影长=某物体的实际高度某物体的影长2、利用标杆测量物高观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”.3、利用镜子原理测量物高借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.典例分析例1、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》相似三角形的性质教学设计
4.7相似三角形的性质教学设计第1课时相似三角形中的对应线段之比1.明确相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系；（重点）2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.（难点）一、情景导入在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.二、合作探究探究点一：相似三角形对应高的比如图，△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12.求GH的值.解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴△ADE∽△ABC.又∵AH⊥BC，DE∥BC，∴AH⊥DE.∴DEBC＝AGAH，即1015＝12AH.∴AH＝18.∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.方法总结：利用相似三角形的性质：对应高的比等于相似比，将所求线段转化为求对应高的差.探究点二：相似三角形对应角平分线的比两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：方法一：设其中较短的角平分线的长为x cm，则另一条角平分线的长为（42－x）cm.根据题意，得x 42－x ＝68.解得x ＝18.所以42－x ＝42－18＝24（cm ）.方法二：设较短的角平分线长为x cm ，则由相似性质有x 42＝614.解得x ＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm ，24cm.方法总结：在利用相似三角形的性质解题时，一定要注意“对应”二字，只有对应线段的比才等于相似比，而相似比即为对应边的比，列比例式时，尽可能回避复杂方程的变形.探究点三：相似三角形对应中线的比已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝23，AB 边上的中线CD ＝4cm ，求A ′B ′边上的中线C ′D ′.解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 是AB 边上的中线，C ′D ′是A ′B ′边上的中线， ∴CD C ′D ′＝AB A ′B ′＝23. 又∵CD ＝4cm ，∴C ′D ′＝3CD 2＝32×4＝6（cm ）.即A ′B ′边上的中线C ′D ′的长是6cm.方法总结：相似三角形对应中线的比等于相似比. 三、板书设计相似三角形中的对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，经历“观察－猜想－论证－归纳”的过程，渗透逻辑推理的方法，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力.第2课时 相似三角形的周长和面积之比1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；（重点）2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点）一、情景导入如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB 平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE 的面积为10平方米，CD 长为4m ，BD 长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC 的面积.二、合作探究探究点一：相似三角形的周长比已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 是△ABC 的中线，A ′D ′是△A ′B ′C ′的中线，若AD A ′D ′＝12，且△A ′B ′C ′的周长为20cm ，求△ABC 的周长.解：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以它们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k ＝AD A ′D ′＝12，△ABC 的周长△A ′B ′C ′的周长＝12. 已知△A ′B ′C ′的周长为20cm ，所以△ABC 的周长20＝12.所以△ABC 的周长为10cm.易错提醒：在相似表达式△ABC ∽△A ′B ′C ′及对应中线比AD A ′D ′＝12中，都是△ABC 在前，△A ′B ′C ′在后，而在出现问题时，△A ′B ′C ′在前，△ABC 在后，顺序已经不同了，所以相似比要随之调整或者直接把相关量代入关系式求解.探究点二：相似三角形的面积比如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC ，∠ACB 的平分线CF交AD 于点F ，点E 是AB 的中点，连接EF .若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.解：∵CF 平分∠ACB ，DC ＝AC ， ∴CF 是△ACD 的中线，即F 是AD 的中点. ∵点E 是AB 的中点，∴EF ∥BD ，且EF BD ＝12.∴∠B ＝∠AEF ，∠ADB ＝∠AFE ，∴△AEF ∽△ABD .∴S △AEF S △ABD ＝（12）2＝14.∵S △AEF ＝S △ABD －S 四边形BDFE ＝S △ABD －6， ∴S △ABD －6S △ABD＝14.∴S △ABD ＝8，即△ABD 的面积为8.易错提醒：在运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质时，同样要注意是对应三角形的面积比，在本题中不要犯由EF ：BD ＝1：2得S △AEF ：S △ABD ＝1：2，或S △AEF ：S 四边形BDFE ＝1：2之类的错误.三、板书设计相似三角形的周长和面积之比：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力.通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识.。
九年级数学上册图形的相似教案北师大
A BC D E F 第四章课题 第四章复习与回顾 课型 新授课教学目标 1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。
3、体现研究图形问题的多种方法，培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
重点 1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。
2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。
难点 培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。
教学用具教学环节 说 明 二次备课 复习新课导入课 程 讲 授 第一环节：课前准备，整理知识内容：学生提前把本章的知识内容进行整理，画出本章知识的思维导图。
第二环节：回顾交流、形成体系内容：教师提前掌握学生的思维导图的完成情况，请有代表性的学生投影展示并讲解，其他同学进行点评、补充。
对知识内容进行回顾，对学生感觉有一定难度的内容，鼓励学生之间进行交流、讨论，互相补充，然后教师给以适当的帮助。
第三环节：巩固提升（一）做一做：1、四条线段a 、b 、c 、d 成比例，其中b=3cm ，c=2cm ，d=6cm ，求线段a 的长。
2、如果两个相似多边形面积的比为4∶9，那么这两个相似多边形对应边的比是多少？3、如图，将矩形ABCD 沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE 与矩形ABCD 相似，确定矩形ABCD 长与宽的比。
AB CD EGA B CD EF CAB ED F B ACG4、4、添加一个条件，使△AOB ∽ △ DOC（二）知识源于悟1、如图，DE ∥BC ，D 是AB 的中点，DC 、BE 相交于点G 。
求： 2、如图： DE ∥BC ，EF ∥AB,AE ：EC=2：3，S △ABC=25，求S 四边形BDEF（三）试一试： 1、在正方形方格中, △ABC 的顶点A 、B 、C 在单位正方形的顶点上 ，请在图中画一个△A1B1C1 使△ A1B1C 1 ∽△ABC （相似比不为1），且点都A BOC DGBCGEDC C ∆∆)2(BCDE )1(AB C DE F在单位正方形的顶点上 .2、两块完全相同的等腰三角形放成如图样子，假设图形中的所有点、线、面都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，就把它们一一写出来。
北师大版九年级数学上册：第四章《图形的相似》教案
是学生后续学习的基础，也是本节课研究比例性质的一个基础性概念．对学生而言，这个 概念基于图形背景中，比较直观，学生比较容易理解．比例的性质，则是后续研究相似图 形性质的基础，同时也可以为分式运算提供一些便捷，而且比例性质的寻求与说理过程中， 蕴含着一些基本的数学方法，可以迁移运用到后续知识的学习中，是本节课重要的教学任 务．
学生思考后给出答案，教师点评并提问： 如果镶的纵向边框宽 7.5 cm，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘所成 的矩形相似？ 学生分组讨论后举手回答，教师点评． 四、练习巩固 1．教材第 87～88 页“随堂练习”第 1，2 题． 2．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？
第四章 图形的相似 1 成比例线段
1．理解和掌握两条线段的比的概念，会计算两条线段的比． 2．理解和掌握成比例线段的定义和性质． 3．能应用比例的性质解决相关的问题． 重点 掌握成比例线段的定义和性质． 难点 会运用比例的基本性质解决问题． 一、情境导入 课件出示下图，提出问题：请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的 图片特点进行归纳吗？
如果 b＝d＝…＝ n (b＋d＋…＋n≠0)，那么 b＋d＋…＋n ＝b. 二、探究新知 1．平行线分线段成比例的基本事实 课件出示教材第 82 页图 4－6，图 4－7 及相关问题． 学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 2．平行线分线段成比例的推论 课件出示： (1)如果把图①中 l1, l2 两条直线相交，交点 A 刚好落到 l3 上(如图②)所得的对应线段的 比会相等吗？依据是什么？
二、探究新知 1．课件出示形状相同的正三角形 ABC 与正三角形 A1B1C1，正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1，正五边形 ABCDE 与正五边形 A1B1C1D1E1，提出问题：
北师版九年级上册图形的相似优秀教案导学案
第一章图形的相似第一节成比例线段【学习目标】1、认识形状相同的图形；2、结合实例能识别出现实生活中形状相同，大小、位置不同的图形；3、了解线段的比和比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法；4、理解并掌握比例的基本性质，能通过比例形式变形解决一些实际问题。
【相关知识链接】1、全等的图形：能够完全的两个图形叫做全等图形；2、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除）以的整式，分式的值不变。
【学习引入】一、观察图片，体会相似图形1、同学们，请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？2、小组讨论、交流．得到相似图形的概念，什么是相似图形?3、思考：如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗?二、归纳总结：知识点1、相似的图形一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是相似图形。
注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看做的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。
知识点2、两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们的长度之比，即AB:CD=m:n,或写成nm CD AB =，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。
如果把n m 表示成比值k ，那么k CD AB =，或者AB=k ·CD 。
注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统一时，要先化成同一单位长度； 2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同的长度单位即可。
★知识点3、成比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
注意：1、如果c b b a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项； 2、在比例式a:b=c:d 中，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项；3、成比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d知识点4、比例的性质1、比例的基本性质：如果dc b a =，那么ad=bc ； 如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a = 2、等比性质：如果)0...(...≠+++===n d b nm d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++...... 【例题解读】例1、观察下列图形，指出是相似图形. 例2、线段AB 被点M 分成32=BM AM ,则=MB AB ,=AM MB 例3、如果的值。
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第三章 相似图形1．成比例线段一、目标导航1．了解两条线段的比的概念；※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB :CD =m :n ，或写成nm B A =.2．若线段d c b a ::=，则线段d c b a ,,,叫做成比例线段(或比例线段)； 3．dcb a =与bc ad =在指定条件下可以互相转化，即比例式与等积式可以互相转化． 二、基础过关1．若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________． 2．如果53=-b b a ，那么ba=________． 3．若a =2，b =3，c =33，则a 、b 、c 的第四比例项d 为________．4．若753z y x ==，则z y x z y x -++-=________． 5．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm ，而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________．三、能力提升6．若AEACAD AB =，且AB=12，AC=3，AD=5，则AE=________． 7．已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC=________．8．已知yx 23=，那么下列式子成立的是( )A ．3x =2yB ．xy =6C ．32=y x D ．32=x y 9．把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是( ) A ．bd ca 2=B ．b dc a =2 C ．bd c a =2 D ．da b c2=10．已知线段x ，y 满足(x +y )∶(x －y )=3∶1，那么x ∶y 等于( ) A ．3∶1B ．2∶3 C．2∶1D ．3∶211．已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2，其斜边长为45cm ，那么这个三角形的面积是( )cm 2．A ．32B ．16C ．8D ．412．等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是( )cm ． A ．72．8B ．51C ．36．4D ．2813．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例? (1)a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm(2)a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm四、聚沙成塔在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB=15 cm ，AC=10 cm ，且BD ∶DC=AB ∶AC ， BD －DC=2 cm ，求BC 的长．4．1线段的比(2)一、目标导航1．合比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a ±=±；2．等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==(0≠+⋅⋅⋅++n d b )，那么ba n db mc a =++++++ΛΛ． 二、基础过关1．若d c b a ==3(b +d ≠0)，则db ca ++=________．2．已知,32===f e d c b a (b +f ≠ 0)，则fb ea ++=___________． 3．已知342=+x y x ，yx= ． 三、能力提升4．已知dcb a =，则下列式子中正确的是( ) A ．a ∶b =c 2∶d 2 B ．a ∶d =c ∶b C ．a ∶b =(a +c )∶(b +d ) D ．a ∶b =(a －d )∶(b －d ) 5．若ac = bd (0≠ac )，则下列各式一定成立的是( )A ．d c b a =B ．ccb d d a +=+ C ．c d b a =22 D ．dacd ab = 6．已知0432≠==c b a ，则c ba +的值为( ) A ．54B ．45C ．2D ．217．若875cb a ==，且3a －2b +c =3，则2a +4b －3c 的值是( ) A ．14 B ．42 C ．7 D ．314 8．若572z y x ==，设A =z y x y ++，B =y z x +，C =xzy x -+，则A ，B ，C 的大小顺序为( )A ．A ＞B ＞C B ．A ＜B ＜C C ．C ＞A ＞BD ．A ＜C ＜B9．若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，32AP AQ BPBQ==．求线段PQ 的长．10．已知：3a =5b =7c ．求：⑴b c b a ++的值； ⑵ca cb a +-+32的值．11．已知：x ∶y ∶z=2∶3∶4．求：⑴y y x 2+； ⑵z y x x 5323-+； ⑶zy x zy x --++2332．12．若65432+==+c b a ，且2a －b +3c =21．试求a ∶b ∶c ．四、聚沙成塔13．已知实数a ，b ，c 满足cba b a c a c b +=+=+，求a cb +的值．2．平行线分线段成比例(1)如图，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5，分别量度l3、l4、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、EF的长度，AB︰BC与DE︰EF相等吗? 任意平移l5，再量度AB、BC、DE、EF的长度，AB︰BC与DE︰EF相等吗?(2)问题，AB︰AC=DE︰( )，BC︰AC=( )︰DF．(3)归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。
=_____=_____、例1 如图，若AB=3c m，BC=5c m，EK=4c m，写出EKKFAB_____=______。
求FK的长?AC平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图中l1、l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图(1)，所得的对应线段的比会相等吗?2、如果把图中l1、l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图(2)，所得的对应线段的比会相等吗?3、归纳总结：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的________线段的比_____。
3．相似多边形图形的相似例1 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是( )例2 一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少?(1)如果a=125c m，b=75c m，那么长与宽的比是多少?(2)如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少?小结：上面分别采用m、c m、mm三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位_________，但求比时两条线段的长度单位必须________．例3 已知：一张地图的比例尺是1：32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5c m，求北京到上海的实际距离大约是多少km?分析：根据比例尺=图上距离实际距离，可求出北京到上海的实际距离．【巩固练习】1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗? 2．如图，图形a～f中，哪些是与图形(1)或(2)相似的?3、下列说法正确的是( )A ．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B ．商店新买来的一副三角板是相似的.C ．所有的课本都是相似的.D ．国旗的五角星都是相似的.【能力提升】1、如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，(1)(小)长是_______c m ，宽是_______c m ； (大)长是_______c m ，宽是_______c m ； (2)(小)=长宽 ；(大)=长宽 ． (3)你由上述的计算，能得到什么结论吗?2、在比例尺是1：8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5c m ，那么福州与上海之间的实际距离是多少?3、AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5c m ，那么这张平面地图的比例尺是多少?相似多边形如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．【结论】：(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______． 几何语言：在∆ABC 和∆A 1B 1C 1中若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．111111C A ACC B BC B A AB == 则∆ABC 和∆A 1B 1C 1相似(2)相似比：相似多边形__________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系? 结论：相似比为1时，相似的两个图形________． 例1 下列说法正确的是( )A ．所有的平行四边形都相似B ．所有的矩形都相似C ．所有的菱形都相似D ．所有的正方形都相似例2、如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．【巩固练习】1．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 c m ，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗? 为什么?3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．【能力提升】1． △ABC 与△DEF 相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC 与的相似比是( )． A ．32 B ．23 C ．52 D ．942．下列所给的条件中，能确定相似的有( )(1)两个半径不相等的圆；(2)所有的正方形；(3)所有的等腰三角形；(4)所有的等边三角形；(5)所有的等腰梯形；(6)所有的正六边形．A．3个B．4个C．5个D．6个3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10c m 和4c m，如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6c m，那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少?4．如图，AB∥EF∥C D，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．4．探索三角形相似的条件四. 相似三角形※1. 在相似多边形中，最为简简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.五. 探索三角形相似的条件※1. 相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.①一个锐角对应相等； ②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例；b. 斜边和一直角边对应成比例.相似三角形在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∠C=∠C′， 且AB BC CAk A B B C C A===''''''． 我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有∠A=_____， ∠B=_____， ∠C=____， 且AC CAC B BC B A AB ''=''=''． 问题：如果k =1，这两个三角形有怎样的关系?【巩固练习】如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4，AB=3，EC=1. 求AD 和BD.【能力提升】1．如图，△ABC∽△AED，其中DE∥BC，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应边的比例式．【反思归纳】● “三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．● 相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC∽△A′B′C′的相似比k A C CAC B BC B A AB =''=''=''，那么△A′B′C′∽△ABC 的相似比就是kCA A C BC C B AB B A 1=''=''=''，它们的关系是互为倒数． 思考：如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E 。