九年级数学正方形的性质
1.3第1课时 正方形的性质(数学北师大版九年级上册)
A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
B
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.
E
F C
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF. A
∴BE=DF.
6.如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD 四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为 ．
【答案】5 【解答】解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点． ∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2， ∴EF⊥l1，EF⊥l4， 即∠CED＝∠BFC＝90°． ∵ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°． ∴∠DCE+∠BCF＝90°． 又∵∠DCE+∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠BCF． 在△CDE和△BCF中，
∴△PME≌△PNB（ASA）， ∴EM＝BN．
课堂小结
正方形
定义 有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行 四边形叫做正方形
1.四个角都是直角
性质 2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
归纳结论
相互平分
对角线
对边平行且相等
边
相等
对角线
角
四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等
边
对角线
相互垂直且 平Hale Waihona Puke 对角轴对称图形（4条对称轴）
三 正方形性质定理的应用
典例精析
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且
2020年中考数学必考高分考点：正方形(学生版)
专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。
即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。
即有一个角是直角的菱形是正方形。
4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝ ．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝ ．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。
正方形的知识总结(两篇)
引言概述：正方形是一种几何形状，具有许多独特的属性和特征。
本文将深入探讨正方形的知识总结，从正方形的定义和性质，到相关的数学公式和应用，并给出一些实际生活中与正方形相关的例子。
通过本文的阐述，读者将能更深入地理解和运用正方形的概念。
正文内容：1.正方形的定义和性质1.1正方形的定义：介绍正方形是一种四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。
1.2正方形的性质：阐述正方形具有对称性、对角线相等、对角线垂直等性质，并给出证明。
2.正方形的周长和面积公式2.1周长公式的推导：详细介绍如何推导正方形的周长公式。
2.2面积公式的推导：详细介绍如何推导正方形的面积公式。
2.3周长和面积公式的比较：比较周长和面积公式之间的关系和特点，解释为什么周长公式是面积公式的一半。
3.正方形的应用3.1图形的分类：介绍几何图形的分类，重点讲述正方形在图形分类中的作用。
3.2建筑和设计中的应用：介绍正方形在建筑和设计中的应用，比如正方形的房间布局，正方形的花园设计等。
3.3数学问题的解决：解释如何使用正方形的性质和公式来解决一些数学问题，例如寻找最大正方形的面积等。
4.正方形的实际应用举例4.1城市规划：举例说明正方形在城市规划中的应用，如正方形的街区设计，正方形的公园规划等。
4.2网格和排版设计：介绍正方形在网格和排版设计中的应用，如正方形的网格布局，正方形的页面排版等。
4.3绘画和艺术：探讨正方形在绘画和艺术中的应用，如正方形的画框设计，正方形的艺术装饰等。
4.4数字图像处理：介绍正方形在数字图像处理中的应用，如正方形的像素处理，正方形的图像编码等。
4.5生活中的实际应用：举例说明正方形在日常生活中的实际应用，如正方形的餐桌布置，正方形的画框选择等。
5.结论通过本文的详细阐述，我们可以总结出正方形的定义和性质，掌握正方形的周长和面积公式，并了解了正方形在实际应用中的重要性。
正方形作为一种几何形状，在数学、建筑、设计、绘画等领域都具有广泛的应用，为我们的生活带来了便利和美感。
九年级数学正方形的性质
课堂练习1
如图，将n个边长都为1cm的正方形按如 图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方 形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面 积和为（ ）
A2 A3
A1
A4
（第18题）
A.1 cm2 B. n cm2 C.n 1 cm2 D（. 1）ncm2
4
4
4
4
• 例2、已知：如图，在正方形ABCD中，E是 BC的中点，点F在CD，∠FAE=∠BAE.
•(2)若正方形A′B′C′D′绕 A 点O旋转某个角度后，OE=OF吗？
两正方形重合部分的面积怎样
O (A')
变化？为什么？
B
E
B'
D
F D'
C
由（1）（2）可以得到什么结论？
C'
； 微信红包群 / 微信红包群 ；
去迎接每一天。用自己的双眼，去欣赏属于自己的快乐风景。也可以认为，人的心灵应该永远充满喷涌的激情，人生需要不停的行走，不断地接受新的挑战，追求新的事物，在不断的追求中方能享受人生的快乐，没有欲望，没有追求，就永远难享快乐！还可以将“欲望”分为物质和精神两个层 面，分别论述这两个层面与快乐的关系，或论其中一个层面与快乐的关系。 写作时，可就以上三个方面任选一个角度写一篇议，也可以用一个人物的经历演绎故事，表达自己对这个话题的看法，鼓励文体创新，写出富有个性的佳作。 ? 10.阅读下面的材料，然后按要求作文。 中国自主设计的 地铁二号线投入运营后，人们发现德国人设计的一号线中的许多细节被我们忽视了。譬如，德国设计师在靠近站台约50厘米内铺上了金属装饰，又用黑色大理石嵌了一条边。这样，当乘客走近站台边时，就会有了警惕，会停在安全线以内；而二号线地面全部用同一色的瓷砖，乘客很难意识到已 经靠近了轨道，地铁公
数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正方形的基本概念、性质和判定方法，以及它在日常生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对正方形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级上册第一章第三节的正方形的性质和判定。教学内容主要包括以下方面：
1.正方形的定义：通过前一节矩形和菱形的性质，引导学生探究正方形的定义，即四条边相等且四个角都是直角的矩形。
2.正方形的性质：
（1）对边平行且相等；
（2）对角相等，且均为直角；
2.教学难点
-正方形性质的推导：学生需要理解并推导出正方形的各种性质，如对角线相等、垂直、平分等，这需要较强的逻辑推理能力。
-正方形判定的灵活应用：学生需要能够根据不同情况灵活应用判定方法，这对于部分学生来说可能存在难度。
-解决实际问题中的正方形应用：将正方形的性质和计算方法应用于实际问题，如求解正方形边长或面积，需要学生具备一定的数学建模能力。
（3）对角线互相垂直、平分且相等；
1.3正方形的性质与判定(教案)2018-2019学年九年级上学期数学教材(北师大版)
此外，我也注意到，在小组讨论环节，学生们表现得积极主动，能够提出自己的观点和想法。但在分享成果时，部分学生表达不够清晰，逻辑性不强。因此，我打算在接下来的课程中，加强学生的表达和逻辑思维能力训练，让他们在分享成果时能够更加自信和清晰。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“1.3正方形的性质与判定”。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否见过哪些物体的形状是正方形？”（举例说明，如桌面、瓷砖等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正方形的性质与判定的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正方形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，如正方形性质的推导和判定方法的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直角尺和尺子测量正方形的对角线，验证对角线互相垂直平分的性质。
九年级数学正方形的性质
• 本节课我们把探索和解决问题的思路、方 法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的 情形，从而得到一般的结论，这也是我们 获得数学结论的一种重要的思想方法.
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迷茫の看着小白一会.而后连忙直接打坐,内视身体检查起情况来. 片刻之后,白重炙睁开了眼睛,眼神内全是震惊和狂喜,以及迷茫. "怎么回事?俺の丹核居然变大了一倍,而且灵魂海洋也扩大了三分之一.这,这简直不可思议啊！这不合逻辑啊?俺都没修炼,只是推演武技,居然,居然战气和灵魂都 增强了那么多?" 莫名出现の情况,让白重炙彻底惊傻了,这就好比一些穷人,前十年买了一百块股票,十年之后突然发现这股票居然涨了几万倍.飞来の横财,让白重炙惊喜之余,还感觉到一丝恐慌,似乎这东西不是自己辛苦修炼而来の,让他有些不适应,不敢接受. 其实白重炙不知道,他在无意将再 次连续进入了灵魂静寂状态.这种状态时练家子修炼の最神奇境界,修炼一天等于修炼十天.最重要の是再这一状态内,灵魂运转会变得比平时快了数十数百倍.否则白重炙就是推演数年也推演不出这三十八式. 而且灵魂静寂,顾名思义对灵魂修炼影响最大,在这一状态下,灵魂会不由自主の增强中, 灵魂海洋会不知觉中慢慢扩大. 而且在这状态下身体会不由自主の自动快速修炼,吸收天地元气,转化成身体内の战气,而灵魂静寂状态下,他头顶以及身体四周の天地原地,比平常浓郁了十倍百倍,所以他修炼当然快速.所以白重炙闭关半年取得如此成绩也不为过. 毕竟这灵魂静寂状态,破仙府历 史上只有一人领悟成功.那人就是凭借一人可力抗四大世家开族老祖,四大圣人境巅峰の强者,月家月后！ "老大,别傻了,这是你呀进入了那种什么灵魂静寂状态修炼照成の,而且这还不算,你呀不知道,小白俺在这半年内也收获颇多,俺灵魂已经达到了八级战智の水平了,而且俺の身体强度也达到 了七级战智の水平,现在俺出去,这种鳄鱼怪智俺一人都能狂扫一片了！嘿嘿！" 小白见白重炙一副傻傻の表情,不禁抽动小嘴巴卡兹卡兹笑了两声,再次抛出一些天大の惊喜. "八级战智の实力?那……那不是俺们の合体技能能秒杀帝王境界の强者了?"白重炙再次被小白の话语所震撼了,吞了两口 唾沫,迟疑の问道. "嘿嘿,俺估计一样の帝王境强者,秒杀！不过,灵魂强の,天地法则领悟深の估计还不行！" 小白の答复,让白重炙心里涌起了滔天巨浪.自己居然能秒杀帝王境强者了?这代表什么?这代表自己终于成为一代强者了,代表着自己终于成为了可以俯视破仙府众多练家子の大人物了！ 当然得白家老七,不仅变成了白家七少,而且还变成了白家七爷了? 虽然帝王境强者,白重炙当年也杀过.夜荣被他一****捅翻在地の情景还历历在目.只是,那是妹妹用生命换来の短暂实力,犹如夜里の昙花般,一现过后,就烟消云散了.而此刻他终于成为了强者了,成为了可以傲视群雄の强者了.白 重炙の心情当然激动了,母亲灵前の誓言,蛮荒山脉の死里逃生,醉心园前の血洒长空……一切の一切此刻在白重炙脑海中闪过,不知不觉中,自己已经成长起来了,不知不觉中,自己已经变得如此强大了? 此刻,他脑海内突然冒出一副场景. 要是他能出了这鬼落神山?回到了白家,而后在众长老和夜 天龙面前,突然把夜剑给生擒了?这会不会让白家の眼睛和下巴掉一地? "哈哈……走,小白！俺们破了这一关,出去晒太阳,烤野味去！" 白重炙越想越兴奋,长啸一声,跃地而起,笔直朝通道出口奔去,在这永远不变の沙漠空间待了七个月,他有些想念花草树木野智の滋味了. "咻！咻！" 一人一智 大摇大摆轻松の朝通道口掠去,小白一马当先幻化成一条黑影,笔直朝前冲去,白重炙而随意の跟在后面,经过这段时间の修炼,以及这么久の和额鳄鱼怪智の对战,他现在很清楚这怪智の攻击力,他非常有自信能轻易杀进去在杀出来. "熬……" 小白嚣张の身影,轻易の激怒了围在通道外面の无数鳄 鱼怪智.一瞬间所以怪智都直起了身子,两道红色の眼睛暴虐の集体朝这边瞪了过来.一股残暴嗜血の气息顿时笼罩了附近の空间. 只是,很奇怪の,这些鳄鱼怪智虽然蠢蠢欲动,看起来似乎要吞人噬肉,但是却没有离开原地,而已不断の在原地张牙舞爪の咆哮着. "老大,俺打前站,俺们杀进去！" 小 白兴奋の大叫几声,冲入鳄鱼怪智群,白重炙当然不敢懈怠,连忙跟上去. 小白犹如一条利剑一样,笔直の朝怪智群射去,小小の身子,在鳄鱼怪智群中上下翻滚,左右摆动,宛如怒海中の一片孤舟般.但是附近不断朝它攻击の怪智,却没有一只怪智,没有一条利爪能碰到它小小の身体.而它两只小小の 爪子,却宛如神兵利器般,轻易一摆动,一抓,一撩,一拍却能让附近の怪智翻飞,掉下偏偏鳞甲,飘起道道血箭…… 额！小白居然这么生猛了?白重炙暗暗吃惊.不过想到小白说它身体已经达到了七级魔智の水平了,那么对付这群五级巅峰实力の鳄鱼怪智,显然轻易の很. 当前 第22伍章 ２壹６章 小 山谷 22伍章小山谷 "小白,别恋战！冲！" 白重炙大喊一声,手中****刀芒一阵吞吐,划出一条一米多长の青色刀浪.竟然也不展开气场,就这样径直朝怪智群冲去. "咻,咻,咻！" 白重炙手腕快速转动,****不断の幻化成不同の招式,一米多长の青色刀浪,跟着摆动,顿时化成无数道刺眼の刀光,将 迎面而来の鳄鱼怪智全体笼罩进去. 咔哧,咔哧！ 一条道宛如纱布被锐物破开の声音响起,紧接着一条道血雾飘起,再然后,足足有十几头鳄鱼怪智,被斩得四分五裂重重の掉落在地上,砸起片片沙土. 额…… 这威力竟然那么大?竟然可以秒杀一片了?白重炙微微错愕,心里却是狂喜无比,迈着大步 冲了上去,手中の****迅速幻化,一米多长の青色刀浪不停の在身边晃动起来,化成片片刀光,将他前方四周全部笼罩进去. "哈哈……老大,还是你呀牛,俺费好大劲才伤了几头怪智,你呀一出手斩杀一片啊,冲！冲！冲！俺要出去吃跟你呀烤肉去……" 小白回头一望,两只眼珠子闪过一丝喜色,唧唧 乱叫,传了一条音,再次超强扑去. 咔哧,咔哧…… 随着一条道破布声响起,不断の有鳄鱼怪智化成地面上の碎肉,而后又被后面汹涌扑上来の怪智瞬间踩在脚上.怪智宛如无边无尽永远杀不完一样,悍不畏死飞蛾扑火般朝着白重炙和小白不断涌来. 白重炙当然没有那么傻,这又不是府战,杀多了没 奖励,他也懒得杀,和小白开始慢慢の不断の朝通道口涌去. "呼呼……" 几多钟之后,白重炙和小白终于突破了重围,靠近了通道口那个半透明の光罩. "小白战智合体！" 白重炙不敢大意,化出几道刀浪,劈开附近の鳄鱼怪智,朝小白大喊一声.毕竟没有探查清楚,冒然进去,还是小心一点好. 小白 当然懂白重炙の意思,回头过来,化作一条虚影,钻进了白重炙の胸口.感受到身体内の战气能量再次增大了几分,白重炙更加放心了.在怪智群中,宛如闲庭信步一样,一挥手无数刀芒挥洒而出,很容易就靠近了半透明光罩. 一脚跨入,光罩陡然间亮起一条刺眼の白光,而白重炙身边の鳄鱼怪智纷纷怪 叫起来,惊恐の回退,不敢在靠近半步. 白重炙诧异の挑了挑眉头,没有考虑那么多,身体一闪,走进了白色光罩内. 一步之遥,宛如千里.白光一闪,白重炙发现周围の景色完全变幻.他出现在一些山青水绿の山谷内,山谷有山有水,有树有花,有阳光,而且还有许多低级の小生物.而山谷中央一些巨大 の黑色阶梯赫然在目,阶梯上一些黑色の洞口正闪着幽幽の黑光. "俺叉,这落神山创造者太牛叉了！无语了……" 白重炙心里第一时间想到の就是,落神山の创造者实在太强大了.神级大能,果然法力无边,无所不能啊！ 再次沐浴在阳光照耀下,再次闻到清晰の空气,再次看到熟悉の花草树木野智 小水潭,白重炙不禁对落神山の创造者涌起了一股无比钦佩の感觉. "小白,出来玩玩,俺们在这山谷休息五天！" 白重炙心情大好,连忙唤出小白,自己却朝山谷旁边の小水潭扑去. "哗啦！" 半空中把身体上の金色皮甲解开,并且把背后の包
北师大版九上数学北师大版九年级上正方形的判定与性质教案
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量正方形的边长和角度，验证正方形的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
b.对角线互相垂直平分且相等的矩形是正方形；
c.有一组邻边相等且对角线互相垂直平分的矩形是正方形。
3.正方形的性质：
a.四条边相等，四个角都是直角；
b.对角线互相垂直、平分、相等；
c.对角线将正方形分为四个全等的等腰直角三角形；
d.正方形具有矩形和菱形的性质。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过正方形的判定与性质的学习，使学生能够理解正方形的空间结构特征，提高对几何图形的认识和运用能力。
学生小组讨论环节，整体表现不错，大家能够积极分享自己的观点。但在讨论过程中，我发现部分学生还是比较拘谨，不够积极主动。为了提高学生的参与度，我打算在以后的课堂中多设置一些开放性问题，鼓励他们大胆发表自己的看法。
在总结回顾环节，我发现有些学生对正方形的性质和应用还不够熟练。因此，我计划在下一节课开始时，先对这部分内容进行简要回顾，帮助学生巩固记忆。
九年级数学正方形的性质(PPT)3-2
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六表面的雷暴模型显示一次暴风雨便可形成数十厘米深的甲烷雨水。”美国宇航局戈达德太空研究协会研究小组成员托尼－德尔杰尼奥（Tony土卫六表面湖 泊效果图土卫六表面湖泊效果图DelGenio）称，这项研究是证实土卫六表面存在液态甲烷的最直接证据。图特尔说：“人们看到土卫六上空的这种云层非常 类似于地球的云层，同时人们发现该区域表面有液体洪流的迹象。”德尔杰尼奥补充指出，“卡西尼”探测器科学家在此之前并未注意到这个新湖泊的形成，
当时由于科学家们意识到该区域可能出现大雨，便投入更多的精力观测出现大雨的特征，忽视了土卫六表面形成新湖泊的迹象。科学家非常兴奋这项研究发
现揭示了土卫六的气候特征变化，当于冬季，暴风云主要聚集形成于土卫六南极
地区。季节正接近于春分，这儿不再有任何南半球暴风。德尔杰尼奥说：“暴风雨主要集中在中纬度地区，偶尔会出现在低纬度地区。”科学家在土卫六发 现新近形成；好玩的手游 / 好玩的手游 的甲烷液体湖泊科学家在土卫六发现新近形成的甲烷液体湖泊8年，“卡西尼”探测器已完成了年 勘测任务，计划延长勘测时间至年。该探测器现运行状况健康正常，任务操作员希望今后进一步延长其工作寿命。图特尔在约翰·霍普金斯大学实验室的同事 拉尔夫－罗雷兹（RalphLorenz）并未直接涉及这项研究，他指出像这样的研究将有助于人们理想地球气候变化的特点。他在一封电子邮件中写道：“土卫六 大气层拥有大量的甲烷潮湿气体，因此在度过漫长的干旱之后会出现强烈的暴风雨天气。”[7]年月日，美国宇航局的卡西尼飞船在土星最大的卫星土卫六的 高层大气中发现了甲烷云层。戈达德空间飞行中心卡西尼项目科学家，有关这一发现的研究论文第一作者卡里·安德森(CarrieAnderson)表示：“甲烷云层竟 然能在土卫六大气中如此高的高度上形成完全出乎意料。此前没有人认为这是可能的。”[8]冰封地下或存在海洋年7月日消息，据美国宇航局网站报道，来 自卡西尼探测器的最新数据显示土星最大的卫星土卫六冰封的地下可能存在一个液态水层。有关这一发现的论文已经被发表在最新出版的《科学》杂志上。 论文第一作者，卡西尼项目组成员，意大利罗马第一大学的卢西亚诺·列斯(LucianoIess)说：“卡西尼探测到土卫六大幅度的潮汐起伏，这几乎必然让人得出 其地表下方存在一个隐匿着的海洋的结论。”他说：“对于水的搜寻是太阳系探测行动的一项重要目标，而现在我们又锁定了一个
正方形的概念
正方形的概念正方形是几何学中的一种特殊类型的四边形，具有特定的性质和定义。
它是由四条相等且相互垂直的边所组成的，其中每个内角都是直角（即90度），而且四条边的长度也相等。
正方形是矩形的一种特殊情况，也可以被看作是菱形的一种特殊情况。
在这篇文章中，我将详细介绍正方形的定义、性质和应用。
正方形的定义正方形可以被定义为具有以下特征的四边形：1. 四条边的长度相等：正方形的四条边长完全相等，记为a。
这意味着正方形的周长为4a。
2. 内角均为直角：每个内角都是直角，即角度为90度。
由于所有内角之和为360度，所以每个内角的度数为90度。
3. 对角线相等且垂直：正方形的两条对角线相等且垂直于彼此。
对角线长度可以通过勾股定理计算，即对角线长度d等于边长a的平方根乘以2，即d = a√2。
正方形的性质正方形具有以下性质：1. 对称性：由于正方形的边和角都相等，所以它具有4个对称轴。
这意味着可以将正方形沿着这些对称轴进行旋转或翻转，从而得到相同的图形。
2. 面积和周长：正方形的面积等于边长的平方，即A = a²。
周长等于边长的四倍，即P = 4a。
这些公式在计算正方形的面积和周长时非常有用。
3. 对角线长度：正方形的对角线长度可以通过边长求得，即d = a√2。
因为对角线是两个直角三角形的斜边，所以可以使用勾股定理来计算对角线的长度。
正方形的应用正方形在数学和实际生活中有多种应用：1. 建筑设计：正方形是建筑设计中常用的几何形状之一。
许多建筑物的平面设计中使用了正方形，如广场的布局和建筑的底部平面。
2. 绘画和艺术：正方形在绘画和艺术创作中常被用作画布的形状，例如画作的背景或画框的形状。
3. 数学推理和证明：正方形作为一种特殊的四边形，常常在数学推理和证明中被使用。
通过理解正方形的性质和特征，可以解决和证明许多数学问题。
4. 游戏和拼图：许多游戏和拼图中都会使用正方形的图形，如拼图游戏中的方块。
总结正方形是一种特殊类型的四边形，具有特定的性质和定义。
北师大版九年级上册数学《正方形的性质与判定》说课稿
目录
01. 教材分析
03. 教学目标 05. 教法与学法 07. 板书设计
02. 学情分析 04. 教学重难点 06. 教学过程 08. 教学反思
《正方形的性质与判定》说课稿
敬爱的各位评委老师，大家好！我是今天说课内容是初中 数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形的第三节 《正方形的性质与判定》的说课。接下来，我将从教材、 学情、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、 板书设计以及教学反思这八个方面进行详细的说明。
05
教法与学法
教法与学法
在本节课的教学中，我将采用多种教 法和学法相结合的方式，包括讲授法、 示范法、讨论法和实践法等。通过讲 解知识点、举例说明、引导学生讨论 和实际操作等方式，激发学生的学习 兴趣，培养他们的自主学习和合作学 习能力。
06
教学过程
教学过程
导入新课： 我可以通过一个与正方形相关的生活场景或问题来引入新课，例如： 假设学生们在校园里看到了一个篮球场地，他们观察到篮球场是一个 矩形，但是他们不确定这个矩形是否是正方形，于是他们想要了解如 何判断一个四边形是否是正方形。
教学过程
练习与讨论： 在这一步，我会设计一些练习题，让学生运用所学知识判断给定的四 边形是否为正方形，并引导学生进行讨论和解答。例如，我可以给出 几个四边形的尺寸，让学生判断它们是否为正方形，并解释他们的判 断依据。
教学过程
拓展与应用：在这一步，我会提供一些拓展性的问题，让学生运用所 学知识解决实际问题，拓展思维。例如，我可以给出一个实际场景， 如一个房间的地板平面图，让学生判断该房间的地板形状是否为正方 形，并解释他们的判断依据。 总结与归纳： 在这一步，我会对本节课所学内容进行总结，梳理正方形的定义和性 质，强化学生的记忆和理解。我会提醒学生要注意正方形的特点，如 边长相等、角度为直角等。
北师大九年级数学上册《正方形的性质》课件
13．(2014·哈尔滨)如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF＝3，△EFC 的周长为 12，
3．正方形是轴对称图形，它有____4____条对称轴．
1．(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．(3分)如图，将正方形ABCD折叠，使边AB，CB均落 在对角线BD上，折痕为BE，BF，则∠EBF的大小为( C ) A．15° B．30° C．45° D．60°
(2)解：∵AB＝2，∴AC＝ 2AB＝2 2.∵CE＝CD，∴AE＝2 2 －2.过点 E 作 EH⊥AB 于 H，则△AEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝AH＝ 22AE＝2－ 2，∴BH＝2－(2－ 2)＝ 2.在 Rt△BEH 中， BE2＝BH2＋EH2＝( 2)2＋(2－ 2)2＝8－4 2.
(2)解：∵CD＝CE，BC＝CD，∴CE＝BC.又∵∠BCE＝30°， ∴∠EBC＝75°.而AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBE＝75°.
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
9．如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中
的等腰直角三角形有( C )
A．4 个
B．5 个
3.正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
1．有一组邻边__相__等____，并且有一个角是____直____角的平行 四边形叫做正方形．
2．正方形既是特殊矩形，又是特殊菱形， 它的四个角都是____直____角，四条边都___相__等___， 对角线_相__等__且__互__相__垂__直__平__分_， 并且每一条对角线___平__分___一组对角．
正方形的性质与判定ppt课件
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个 角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？
情景引入
正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系 垂直
对称性 有
合作学习
第二类图形就是正方形，我们给出定义： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议： （1）正方形是菱形吗? （2）你认为正方形有哪些性质？
从我们得到数据分析：正方形既是矩形 又是菱形，它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形 性质
菱形 性质
么特征？
H
F
C G D
第三环节 猜想结论，分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢？
原四边形可以是：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论，分组验证
特殊四边形的中点四边形：
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想： 正方形有几条对称轴
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
1.3正方形的性质与判定(教案)2021—2022学年北师大版数学九年级上册
2.提升学生的空间想象能力：借助正方形的性质，引导学生从二维图形想象到三维空间，培养学生的空间想象力和图形转换能力。
3.增强学生的数学应用意识：将正方形的性质和判定应用于实际问题，让学生体会数学在生活中的广泛应用，提高学生解决实际问题的能力。
其次，在新课讲授环节，我尝试采用理论介绍、案例分析和重点难点解析的方式，帮助学生掌握正方形的性质与判定方法。然而，我注意到在讲解过程中，部分学生对一些概念和性质的理解仍然不够深入。针对这一点，我考虑在今后的教学中，可以增加一些互动环节，让学生在课堂上充分参与，以提高他们的理解和记忆。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们动起手来，更好地体验正方形的性质。但从成果展示来看，部分小组在讨论和操作过程中仍存在一定的困难。为了提高实践活动的效果，我计划在下次教学中，加强对学生的引导，让他们明确讨论的主题和实验的目的，以便更好地完成任务。
举例：通过具体例题，让学生学会运用不同的判定方法来判断一个四边形是否为正方形。
2.教学难点
（1）正方形性质的推导：对于某些性质，如对角线互相垂直平分、对角线相等，学生可能难以理解推导过程。
解决方法：通过直观的图形演示、实际操作或动画辅助，帮助学生理解性质的推导过程。
（2）正方形判定方法的应用：学生可能会对判定方法的适用条件和使用顺序感到困惑。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
132正方形的判定
（1）
（2）
（3）
（4）
知识讲解
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
一组邻边相等
矩形
对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
菱形
正方形
对角线相等知识讲解来自定理1. 1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形.
菱形
正方形
目标测试
1.下列命题正确的是（ D ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个角、四条边都相等的四边形一定是（ A ）
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
3.如图,在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是 BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M, N.
B
知识讲解
做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四
边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四
边形？
A
H
A
E
D
平行四边形 G
E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
H
A
D
D
G
E 正方形 G
CB
C F
正方形
矩形
平行四边形
有一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等）
求证：四边形CEDF是正方形.
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G. A
北师版九年级数学上册第1章3正方形的性质与判定
2. 常见的中点四边形 (1)任意四边形的中点四边形是平行四边形； (2)平行四边形的中点四边形是平行四边形； (3)矩形的中点四边形是菱形； (4)菱形的中点四边形是矩形； (5)正方形的中点四边形是正方形.
知4－讲
知4－讲
知4－讲
特别提醒 中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的
位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的 中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形)；两条对角线 相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形， ∴ CD ∥ AB，AD ∥ BC； AD ⊥ DC，DC ⊥ CB， CB ⊥ BA，BA ⊥ AD； AD=DC=CB=BA
性质
图形
角
四个角都相等， 都等于90°
两条对角线互 对 相垂直平分且 角 相等，每条对 线 角线平分一组
对角
知2－讲
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ ADC= ∠ DCB= ∠ CBA=∠ BAD =90°
对角线互相平分
对角相等
对角线互相垂直平分，每条 对角线平分一组对角
四个角都 是直角
对角线互相平分且相等
四个角都 对角线互相垂直平分且相等， 是直角 每条对角线平分一组对角
特别提醒
知2－讲
正方形的特殊性质：
1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角
三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角
(4)从菱形出发：① 有一个角是直角的菱形是正方形；② 对角线相等的菱形是正方形.
方法点拨
知3－讲
判定正方形的常见思路 ：
1.从边上证明.
邻边相等
北师大版九年级数学13正方形的性质与判定教案
教案：北师大版九年级数学13正方形的性质与判定一、教学内容本堂课的教学内容为正方形的性质与判定。
学生通过本节课的学习，将了解正方形的定义和特征，并能够利用正方形的性质判断给定的图形是否为正方形。
二、教学目标1.知识目标：了解正方形的定义和特征，能够应用正方形的性质判断图形是否为正方形。
2.技能目标：培养学生观察并归纳总结的能力，以及运用已学知识判断问题的能力。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决问题的自信心。
三、教学重难点1.教学重点：正方形的定义和特征，以及判断给定图形是否为正方形的方法。
2.教学难点：帮助学生归纳总结正方形的特征，理解并应用正方形的性质进行判断。
四、教学准备1.教师准备：教材、黑板、白板笔、图形卡片。
2.学生准备：准备纸和笔。
五、教学过程Step 1 自由探究1.教师出示一些较为复杂的图形，并让学生观察和讨论，看是否能够找出其中的正方形。
2.学生观察并尝试寻找，教师帮助引导学生观察正方形的特征，如四条边相等且四个角都是直角等。
3.学生将可能的正方形标出来，并与同桌讨论。
4.教师随机选择一组学生发言，让他们将找到的正方形标出来，并说明自己的观察。
Step 2 归纳总结1.教师引导学生回顾所找到的正方形图形，并将其特征进行总结，强调正方形的定义：四边相等，四个角都是直角。
2.教师将正方形的定义写在黑板上，学生将其抄写在笔记本上。
3.学生自主提问并与同桌讨论：只有边相等和角为直角，是否就能判断为正方形？4.教师引导学生思考，并通过举例说明：对角线相等，是否能判断为正方形？引导学生进行思考和讨论，并总结规律。
Step 3 知识点讲解1.教师讲解正方形的性质：正方形的对角线相等，并通过示意图进行说明。
2.学生通过观察和讨论，将正方形的对角线相等这一性质归纳总结，并记录在笔记本上。
Step 4 练习巩固1.教师出示一些图形，让学生根据正方形的性质判断其是否为正方形。
2.学生分组进行讨论，并将判断结果写在纸上。
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