高三第一轮复习二次函数与幂函数(课堂PPT)
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二次函数与幂函数一轮复习课件(共21张PPT)
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,
高考数学一轮复习：2.4二次函数与幂函数课件(文) (共52张PPT)
2.4 二次函数与幂函数
高三一轮（文）
考纲展示
1.了解幂函数的概念．
1 1 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x 2 的图象，了解它
2
3
们的变化情况． 3．解理并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
考点 1
幂函数的图象与性质
典例剖析
解法二(利用顶点式)： 设 f(x)＝a(x－m) 2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为 x＝ 1 ∴m＝2. 2＋－1 1 ＝2， 2
又根据题意，函数有最大值 8，∴n＝8，
1 2
1 1 解析：设 f(x)＝x ，则 2＝2 ，所以 α＝2，故函数 f(x)＝x 2 .
α
α
易错剖析
幂函数概念的误区：系数为 1；指数为常数．
2或－1 已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)xm－3，则 m 为________ ．
解析：若函数为幂函数，则 m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1.
通性通法
(2)“二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a－x)成立”
x＝a 对称”(a 为常数)． 的充要条件是“函数 y＝f(x)的图象关于直线________
解析：由题意知，y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称(a 为常数)．
典例剖析
[典题 2]
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，
且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 由题意得 4ac－b2 4a ＝8，
高三一轮（文）
考纲展示
1.了解幂函数的概念．
1 1 2．结合函数 y＝x，y＝x ，y＝x ，y＝x ，y＝x 2 的图象，了解它
2
3
们的变化情况． 3．解理并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．
考点 1
幂函数的图象与性质
典例剖析
解法二(利用顶点式)： 设 f(x)＝a(x－m) 2＋n. ∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为 x＝ 1 ∴m＝2. 2＋－1 1 ＝2， 2
又根据题意，函数有最大值 8，∴n＝8，
1 2
1 1 解析：设 f(x)＝x ，则 2＝2 ，所以 α＝2，故函数 f(x)＝x 2 .
α
α
易错剖析
幂函数概念的误区：系数为 1；指数为常数．
2或－1 已知幂函数 f(x)＝(m2－m－1)xm－3，则 m 为________ ．
解析：若函数为幂函数，则 m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1.
通性通法
(2)“二次函数 y＝f(x)对定义域内所有 x，都有 f(a＋x)＝f(a－x)成立”
x＝a 对称”(a 为常数)． 的充要条件是“函数 y＝f(x)的图象关于直线________
解析：由题意知，y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称(a 为常数)．
典例剖析
[典题 2]
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，
且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 解法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1， a－b＋c＝－1， 由题意得 4ac－b2 4a ＝8，
高三数学一轮复习之二次函数 ppt课件
f (x)
x1
x2
0
x
(1 0 )方 程 有 一 正 根 一 负 根
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
( 6 ) x 1 ， x 2 有 且 只 有 一 个 根 在 （ k 1 , k 2 ） 内
0
k1
f(k1)f(k2)0
k2
k1
或
b
k2
k1 2a k2
k1
k2
称轴方(2)程顶为点_坐__x标_＝_是_－_____2－_b_a___2_b_a__，_____4___a__c4，_－a__b_2______；
向上 (3) 开口方向；当 a＞0 时，开口_____ ，当 a＜0 时，开
口__向___下___．
(4)值域：当a＞0时，值域为
，
当a＜0时，值域为
可用韦达定理表达式来书写：ac<0
也可 f(0)<0
例1.m为何实数值时，关于x的方程 x2mx+(3+m)0
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1)m 24(3+m )0， m 24m 120 得 ： m 6或 m 2.
0
m6或 m2
(2) x1+x20得 m0
得 ： m6
n个a
（2）特殊：a0 1(a 0) ，
（3） an 1 (a 0, n N*)
an
新疆 王新敞
奎屯
（4）正分数指数幂：
m
a a n n m（ a>0,m,n N 且 n>1）
注意:在分数指数幂里,根指数作分母,幂指数作分子.
（5）正数的负分数指数幂:
高三年级第一轮复习二次函数与幂函数课件 PPT
4x5的单调区间, 4x4
并比较 f (π)与f ( 2)的大小.
2
解
∵
x24x5
1
f(x)x24x41(x2)2
=1+(x+2)-2,
其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，
该函数在(-2，+∞)上是减函数，在(-∞，-2)上是 增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.
2 ∵f（2）=-1，a(21)281,
2 解之，得a=-4. f(x) 4 (x 1 )2 8 4 x2 4 x 7 .
2
探究提高
二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.
则实数m的取值范围是_______.
解析
•1m ,,m1.
又(1,2)且m1在(1,2)上是增函 , 数
11m21,即m(2,5).
2
2
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
题型分类 深度剖析
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
思维启迪 由 f(x)xm22m3(m∈N*)的图象关于y
轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+∞）上是减函
数，∴m2-2m-3<0，从而确定m值，再由函数f(x)=
x
m 3
的单调性求a的值.
解 ∵函数在(0，+∞)上递减，
2023版高考数学一轮总复习：二次函数与幂函数课件理
=-1,所以a=-3.
2
(2)当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意,
3−
当a≠0时,f(x)图象的对称轴为x=
,由f(x)在[-1,+∞)上单调递减
2
< 0,
知൝3−
解得-3≤a<0.
≤ −1,
2
综上,实数a的取值范围为[-3,0].
考向2
角度2
二次函数的性质及应用
2
4
2
2
f(x)min=m=f(-2)=- 4 +b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b},∴M-
2
2
m=max{ 4 ,1+a+ 4 }与a有关,与b无关;②当-2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增
,∴M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;③当- >1时,f(x)在[0,1]上单调
直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根
为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图象过
点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
考向2
角度1
二次函数的性质及应用
二次函数的单调性
3.典例 (1)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调递减区间是[-1,+∞),则
a=
-3
;
(2)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值
2
(2)当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意,
3−
当a≠0时,f(x)图象的对称轴为x=
,由f(x)在[-1,+∞)上单调递减
2
< 0,
知൝3−
解得-3≤a<0.
≤ −1,
2
综上,实数a的取值范围为[-3,0].
考向2
角度2
二次函数的性质及应用
2
4
2
2
f(x)min=m=f(-2)=- 4 +b,f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b},∴M-
2
2
m=max{ 4 ,1+a+ 4 }与a有关,与b无关;②当-2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增
,∴M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;③当- >1时,f(x)在[0,1]上单调
直线x=2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根
为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图象过
点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
考向2
角度1
二次函数的性质及应用
二次函数的单调性
3.典例 (1)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的单调递减区间是[-1,+∞),则
a=
-3
;
(2)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值
高考数学一轮复习 2-4二次函数与幂函数课件 文
ppt精选
18
基础诊断
考课点堂突总破结
(2)令 f(x)＝g(x)，即 x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8， 即 x2－2ax＋a2－4＝0，解得 x＝a＋2 或 x＝a－2.f(x)与 g(x)的 图象如图．
ppt精选
8
基础诊断
考课点堂突总破结
3. 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为________．
解析 因为 3－aa＋6＝ 18－3a－a2
＝ －a＋322＋841，由于－6≤a≤3，
所以当 a＝－32时， 3－aa＋6有最大值92.
答案
9 2
ppt精选
9
基础诊断
考课点堂突总破结
4．已知幂函数
q}表示 p，q 中的较大值，min{p，q}表示 p，q 中的较小值)．记
H1(x)的最小值为 A，H2(x)的最大值为 B断
考课点堂突总破结
解析 (1)由①③④知，f(0)＝c＜0. ∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴 x＝－2ba＞0， 知①，③错误，④符合要求． 由②知 f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－2ba＜0，②错误．
6
基础诊断
考课点堂突总破结
诊断自测 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．( × ) (2)幂函数的图象不经过第四象限．( √ ) (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．( × ) (4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c ， x ∈ [a， b] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2
．
• ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． • ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
最新高考一轮数学文科第7讲二次函数与幂函数ppt课件
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
b －∞，－ 在______________ 2a 上单调递减，
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
b －∞，－ 在_____________ 2a 上单调递增，
单调性
b 在 －2a，＋∞上单调递增
b 在[－2a，＋∞上单调递减
________ _和) (0，＋∞ ______上 单调递减
课前双基巩固
常用结论 (1)二次函数解析式的三种形式： ① 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ② 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； ③ 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)一元二次不等式恒成立的条件： ① ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是“a>0，且 Δ<0”． ② ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是“a<0，且 Δ<0”．
)
[解析] B 选项 A 中，f(－ x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sin x＝－f(x)，函数为奇函数； 选 项 B 中 ， f ( － x) ＝ ( － x)2cos(－x)＝x2cos x＝f(x)， 所以函数为偶函数；选项 C 中，函数 y＝|ln x|的定义域 不关于原点对称， 所以函数 不具备奇偶性；选项 D 中， － 函数 y＝2 x 为非奇非偶函 数．故选 B.
1 数；D 选项中，y＝2－|x|＝2|x|是
偶函数，但在0，＋∞上是减函 数．故选 B.
真题在线
■ [2016－2011]课标全国真题再现
[2015· 北京卷] 下列函数中为偶函数的是( A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x
高考数学一轮复习《幂函数与二次函数》课件
A.f( 2)<f －32<f( 3) C.f( 3)<f( 2)<f －32
B.f －32<f( 2)<f( 3)
√D.f( 2)<f( 3)<f －32
(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.
核心素养 题型四 二次函数的恒成立问题
例5 (1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零， 则实数a的取值范围是___－__∞__，__12_ __.
R
__{_y|_y_≥__0_}_ _{_y|_y_≠__0_}
奇偶性 奇 函数 偶 函数 奇函数 非奇非偶函数 奇 函数
性
在_(_－__∞__，__0_] _
质
在R上单 上单调递减； 在R上 在_[0_，__＋__∞__)_
单调性 调递增
在_(_递增
递增
上单调递增
题型一 幂函数的图象与性质
1.若幂函数的图象经过点2，14，则它的单调递增区间是
A.(0，＋∞)
B.[0，＋∞)
√ C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)
2.幂函数y＝ xm2 2m3 (m∈Z)的图象如图所示，
则实数m的值为
A.3
B.0
√C.1
D.2
3.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示， 则m与n的取值情况为 A.－1<m<0<n<1
作业
《步步高》2.3 幂函数与二次函数
当日事，当日毕
B.－1<n<0<m<12 C.－1<m<0<n<12
√D.－1<n<0<m<1
高考数学一轮总复习 第二章 函数 第8讲 二次函数与幂函数课件
在 x∈－∞，－2ba上单 调递增；
在 x∈－2ba，＋∞上单调 在 x∈－2ba，＋∞上单
递增
调递减
当_b_＝__0___时为偶函数，当 b≠0 时为非奇非偶函数
－2ba，4ac4－a b2
函数的图象关于 x＝－2ba对称
第十二页，共六十二页。
3.二次函数在闭区间上的最值 若 a＞0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 在闭区间[p， q]上的最大值为 M，最小值为 N.令 x0＝12(p＋q)， ①若－2ba<p，则 M＝f(q)，N＝__f(_p_)； ②③若若－p≤2ba－>q2b，a≤则x0M，＝则f(Mp)＝，fN(q＝)，_f_(Nq__＝) ；_f_－__2b_a_； ④若 x0<－2ba≤q，则 M＝f(p)，N＝f－2ba.
第十五页，共六十二页。
[解析] 由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数 的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知 a＞b＞c ＞d，故选 B.
[答案] B
12/13/2021
第十六页，共六十二页。
1
1
(2)若(2m＋1)2>(m2＋m－1)2，则实数 m 的取值范
围是( )
A.－∞，－
5－1 2
R _{_x_|x__≥__0_}_ ___{_x_|x_≠__0_}__
R _{_y_|y_≥__0_}__ ___{_y_|y_≠__0_}__
_奇___ _非__奇__(f_ēi_q_í)_非偶____奇___
_增___
__增__
___(－__∞_，__0_)_和_ _(_0_，__＋__∞__)减__
1
[解析] y＝x－1 的图象经过第一、三象限，y＝x2的 图象经过第一象限，y＝x3 的图象经过第一、三象 限．故选 D.
在 x∈－2ba，＋∞上单调 在 x∈－2ba，＋∞上单
递增
调递减
当_b_＝__0___时为偶函数，当 b≠0 时为非奇非偶函数
－2ba，4ac4－a b2
函数的图象关于 x＝－2ba对称
第十二页，共六十二页。
3.二次函数在闭区间上的最值 若 a＞0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 在闭区间[p， q]上的最大值为 M，最小值为 N.令 x0＝12(p＋q)， ①若－2ba<p，则 M＝f(q)，N＝__f(_p_)； ②③若若－p≤2ba－>q2b，a≤则x0M，＝则f(Mp)＝，fN(q＝)，_f_(Nq__＝) ；_f_－__2b_a_； ④若 x0<－2ba≤q，则 M＝f(p)，N＝f－2ba.
第十五页，共六十二页。
[解析] 由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数 的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知 a＞b＞c ＞d，故选 B.
[答案] B
12/13/2021
第十六页，共六十二页。
1
1
(2)若(2m＋1)2>(m2＋m－1)2，则实数 m 的取值范
围是( )
A.－∞，－
5－1 2
R _{_x_|x__≥__0_}_ ___{_x_|x_≠__0_}__
R _{_y_|y_≥__0_}__ ___{_y_|y_≠__0_}__
_奇___ _非__奇__(f_ēi_q_í)_非偶____奇___
_增___
__增__
___(－__∞_，__0_)_和_ _(_0_，__＋__∞__)减__
1
[解析] y＝x－1 的图象经过第一、三象限，y＝x2的 图象经过第一象限，y＝x3 的图象经过第一、三象 限．故选 D.
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15
知能迁移2 已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 [t,t+1]上的最大值h(t). 解 f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16 ①当t+1<4,即t<3时， f(x)在[t,t+1]上单调递增. 此时h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7； ②当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16； ③当t>4时，f(x)在[t,t+1]上单调递减. 此时h(t)=f(t)=-t2+8t.
{_x_|_x_1_<_x_<_x_2}_
____
无解
__R__
____
3
3.幂函数 (1)幂函数的定义
形如__y____x__( ∈R)的函数称为幂函数,其中x是 _自__变__量__, 为_常__数___.
(2)幂函数的图象
4
1.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标
系中的图象大致是
函数，则实数a的取值范围是
（ A）
A.a≤2或a≥3
B.2≤a≤3
C.a≤-3或a≥-2
D.-3≤a≤-2
解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于二次
函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)
内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，
即a≤2或a≥3.
6
3.方程x2-mx+1=0的两根为, , 且0,12,
2 9
探究提高 二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.
10
知能迁移1 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且
8
解.
设f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1), x2(1) 1.
22 ∴抛物线对称轴为
∴m= 1 . 2
又根据题意函数有最大值为n=8， ∴y=f（x）= a(x 1)2 8.
2 ∵f（2）=-1，a(21)281,
2 解之，得a=-4. f(x) 4 (x 1 )2 8 4 x2 4 x 7 .
对称轴为 x a . 2
13
(1)当0≤ a ≤1，即0≤a≤2时， 2
y m a1 4 x(a 2 a 2 )由 ,1 4(a 2 a 2 ) 2 ,
得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求；
(2)当 a <0，即a<0时，y在[0，1]上单调递减，
2
有ymax=f(0)，f(0)=2
a12a6.
则实数m的取值范围是_______.
解析
•1m ,,m1.
又(1,2)且m1在(1,2)上是增函 , 数
11m21,即m(2,5).
2
2
7
题型分类 深度剖析
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
f(x)的最大值是8，试确定此二次函数. 思维启迪 确定二次函数采用待定系数法，有三种 形式，可根据条件灵活运用.
1
(3)二次函数图象和性质
①二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点坐标为
( b , 4acb2);对称轴方程为 2a 4a
x
b 2a
.熟练通过配
方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图.
②在对称轴的两侧单调性相反. ③当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.
2
2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系
aa
∴b2-2ac=10a2.
由①②③得a=1,b=-4,c=3.
故f（x）=x2-4x+3.
③
12
题型二 二次函数的图象与性质
【例2】 已知函数 yx2axa1在区间[0,1] 42
上的最大值是2，求实数a的值. 思维启迪研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系.
解 y(xa)21(a2a2), 24
f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),
求f（x）的解析式.
解 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0).
由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直线x=2对称,
象过（0，3）点，∴c=3.
②
11
x12 x22 (x1x2)2 2x1x2 (b)2 2c10
Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c
的图象
(a>0)
Δ>0
Δ=0
Δ<0
方程ax2+ bx+c=0的解 ax2+bx+c>0
的解集
ax2+bx+c<0 的解集
____x_1_,_x_2 ___
___(_x_1_<_x_2)___
_x__0_
___{_x|_x_>_x_2___ ___{_x|_x_∈__R___ ___或__x<_x_1_}___ __且__x_≠__x_0_}__
（C ）
解析 选项A中，一次函数的斜率a>0，而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,
y=ax2+bx+c的对称轴为 x b , 2a
当a>0,b>0时，x b 0, ∴排除B. 2a
当a<0,b<0时，x b 0. 故选C. 2a
5
2.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调
(3)当 a
42
>1，即a>2时，y在[0，1]上单调递增，
2
有ymax=f(1),f(1)=2
1aa12
42
a 10 .
3
综上，得a=-6或a=
10
.
3
14
探究提高 (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对 函数最值的影响. (2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或 对称轴方程x=m，分三个类型： ①对称轴固定，区间固定； ②对称轴含参数，区间固定； ③对称轴固定，区间变动.
二次函数与幂函数
(1)二次函数的解析式 ①二次函数的一般式为__y_=_a_x_2+_b_x_+_c___（__a_≠__0_）_. ②二次函数的顶点式为_y_=_a_(_x_-_h_)_2_+_k__(_a_≠__0_),其中顶 点为_(_h_,_k_)__. ③二次函数的两根式为_y_=_a_(_x_-_x1_)_(_x_-_x_2_)_(_a_≠__0_),其中 x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是函数的零点) 根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求 解析式.
知能迁移2 已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 [t,t+1]上的最大值h(t). 解 f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16 ①当t+1<4,即t<3时， f(x)在[t,t+1]上单调递增. 此时h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7； ②当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16； ③当t>4时，f(x)在[t,t+1]上单调递减. 此时h(t)=f(t)=-t2+8t.
{_x_|_x_1_<_x_<_x_2}_
____
无解
__R__
____
3
3.幂函数 (1)幂函数的定义
形如__y____x__( ∈R)的函数称为幂函数,其中x是 _自__变__量__, 为_常__数___.
(2)幂函数的图象
4
1.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标
系中的图象大致是
函数，则实数a的取值范围是
（ A）
A.a≤2或a≥3
B.2≤a≤3
C.a≤-3或a≥-2
D.-3≤a≤-2
解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于二次
函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)
内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，
即a≤2或a≥3.
6
3.方程x2-mx+1=0的两根为, , 且0,12,
2 9
探究提高 二次函数的解析式有三种形式： (1)一般式：f(x)=ax2+bx+c (a≠0) (2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k (a≠0) (3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) 具体用哪种形式，可根据具体情况而定.
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知能迁移1 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且
8
解.
设f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1), x2(1) 1.
22 ∴抛物线对称轴为
∴m= 1 . 2
又根据题意函数有最大值为n=8， ∴y=f（x）= a(x 1)2 8.
2 ∵f（2）=-1，a(21)281,
2 解之，得a=-4. f(x) 4 (x 1 )2 8 4 x2 4 x 7 .
对称轴为 x a . 2
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(1)当0≤ a ≤1，即0≤a≤2时， 2
y m a1 4 x(a 2 a 2 )由 ,1 4(a 2 a 2 ) 2 ,
得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求；
(2)当 a <0，即a<0时，y在[0，1]上单调递减，
2
有ymax=f(0)，f(0)=2
a12a6.
则实数m的取值范围是_______.
解析
•1m ,,m1.
又(1,2)且m1在(1,2)上是增函 , 数
11m21,即m(2,5).
2
2
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题型分类 深度剖析
题型一 二次函数的解析式的求法 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且
f(x)的最大值是8，试确定此二次函数. 思维启迪 确定二次函数采用待定系数法，有三种 形式，可根据条件灵活运用.
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(3)二次函数图象和性质
①二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的顶点坐标为
( b , 4acb2);对称轴方程为 2a 4a
x
b 2a
.熟练通过配
方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图.
②在对称轴的两侧单调性相反. ③当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数.
2
2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系
aa
∴b2-2ac=10a2.
由①②③得a=1,b=-4,c=3.
故f（x）=x2-4x+3.
③
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题型二 二次函数的图象与性质
【例2】 已知函数 yx2axa1在区间[0,1] 42
上的最大值是2，求实数a的值. 思维启迪研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系.
解 y(xa)21(a2a2), 24
f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),
求f（x）的解析式.
解 设f(x)=ax2+bx+c (a≠0).
由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直线x=2对称,
象过（0，3）点，∴c=3.
②
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x12 x22 (x1x2)2 2x1x2 (b)2 2c10
Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c
的图象
(a>0)
Δ>0
Δ=0
Δ<0
方程ax2+ bx+c=0的解 ax2+bx+c>0
的解集
ax2+bx+c<0 的解集
____x_1_,_x_2 ___
___(_x_1_<_x_2)___
_x__0_
___{_x|_x_>_x_2___ ___{_x|_x_∈__R___ ___或__x<_x_1_}___ __且__x_≠__x_0_}__
（C ）
解析 选项A中，一次函数的斜率a>0，而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,
y=ax2+bx+c的对称轴为 x b , 2a
当a>0,b>0时，x b 0, ∴排除B. 2a
当a<0,b<0时，x b 0. 故选C. 2a
5
2.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调
(3)当 a
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>1，即a>2时，y在[0，1]上单调递增，
2
有ymax=f(1),f(1)=2
1aa12
42
a 10 .
3
综上，得a=-6或a=
10
.
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探究提高 (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对 函数最值的影响. (2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或 对称轴方程x=m，分三个类型： ①对称轴固定，区间固定； ②对称轴含参数，区间固定； ③对称轴固定，区间变动.
二次函数与幂函数
(1)二次函数的解析式 ①二次函数的一般式为__y_=_a_x_2+_b_x_+_c___（__a_≠__0_）_. ②二次函数的顶点式为_y_=_a_(_x_-_h_)_2_+_k__(_a_≠__0_),其中顶 点为_(_h_,_k_)__. ③二次函数的两根式为_y_=_a_(_x_-_x1_)_(_x_-_x_2_)_(_a_≠__0_),其中 x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是函数的零点) 根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求 解析式.