空间直线异面直线间距离的一个简明公式
求异面直线距离的常用方法
求异面直线距离的常用方法
1、辅助平面法
（1）线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况。
若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度。
（2）线面平行法，用于一般情况。
其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离
（3）面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面（2）介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离。
2、等积法
在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为
（1）一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离。
（2）分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离。
上述两种距离总是通过直线上（或平面上）一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等面积计算再求高的办法来求得的。
异面直线间的距离(多种方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
一下是一些常用的方法 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法其中定义法、垂直平面法和向量法是常用的方法，可多练这三种方法。
1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
异面直线之间的距离公式 解释说明以及概述
异面直线之间的距离公式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在几何学中，异面直线是指位于不同平面上的两条直线。
由于它们存在于不同的平面中，因此无法以常规的方法来测量它们之间的距离。
然而，解决这个问题十分重要，因为在许多实际应用中，我们需要确定异面直线之间的距离。
1.2 文章结构本文将围绕着异面直线之间的距离公式展开讨论。
首先，我们将介绍异面直线的定义和性质，以便更好地理解这个概念。
接下来，我们将引入并推导出一种计算异面直线距离的公式，并探讨该公式的应用举例。
最后，我们将总结距离公式的重要性及适用范围，并展望进一步研究方向和应用领域。
1.3 目的本文旨在提供一个清晰明了的解释和说明，帮助读者理解异面直线之间距离计算的基本原理和方法，并认识到这个概念在实际生活中和各个领域中的广泛应用价值。
通过深入研究距离公式及其应用举例，我们将了解如何解决异面直线距离计算问题，并有望引发更多关于其进一步研究和应用的思考。
2. 正文:2.1 异面直线的定义与性质在几何学中，异面直线是指不在同一个平面上的两条直线。
异面直线之间存在一些特定性质，例如永远不会相交、平行于同一个平面等。
了解这些性质有助于我们更好地理解异面直线之间的距离。
2.2 距离公式的引入与推导为了计算异面直线之间的距离，我们可以引入一种距离公式。
该距离公式能够准确地计算出任意两条异面直线之间的最短距离。
推导这个距离公式主要依赖于向量和点积的概念。
首先，我们需要将两条异面直线上的一点作为原点，并用向量来表示另外一个点相对于原点的位置。
然后，通过求解这两个向量之间的点积来求得最短距离。
具体而言，在三维空间中，假设有两条异面直线L1和L2。
L1可以表示为P1+r * V1（其中P1是L1上某一点，V1是L1的方向向量），L2可以表示为P2+s * V2（其中P2是L2上某一点，V2是L2的方向向量）。
我们可以通过求解r 和s 的值来确定L1 和L2 间的最短距离。
(完整版)异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
异面直线距离的求法
异面直线距离的求法“哎呀，这异面直线距离可真是个让人头疼的问题啊！”异面直线距离的求法呢，主要有这么几种常见的方法。
一种是直接法，就是找出或作出异面直线的公垂线段，然后计算其长度。
比如说，在一个正方体中，面对角线和体对角线就是异面直线，我们可以通过一些几何关系找到它们的公垂线段。
再比如，看这个例子，有一个三棱锥，其中两条异面直线，我们可以通过仔细观察和分析，找到与这两条异面直线都垂直的线段，这就是公垂线段啦，然后利用一些已知条件去算出它的长度。
还有定义法，根据异面直线距离的定义，转化成求两平行平面之间的距离。
就好像有两个平行的平面，异面直线分别在这两个平面上，那这两个平面之间的距离就是异面直线的距离。
另外，还有一种叫转化法。
可以把异面直线的距离问题转化为线面距离或面面距离问题来求解。
比如把异面直线中的一条放到一个平面内，另一条直线和这个平面平行，那就把求异面直线距离转化成了求线面距离。
向量法也是常用的。
通过建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求异面直线的距离。
这个方法对于一些复杂的图形很有效。
总之呢，求异面直线距离的方法要根据具体的题目情况来选择，灵活运用这些方法，多做一些题目，就能更好地掌握啦。
“嘿，小王啊，你看这个图形，用哪种方法求异面直线距离比较好呢？”“我觉得可以用直接法先试试。
”“对，先观察一下，看看能不能找到公垂线段。
”在实际解题过程中，一定要认真分析图形的特点和条件，选择最合适的方法来求解异面直线距离，这样才能又快又准确地得出答案。
就像上次给学生们讲的那道题，乍一看好像挺复杂，但仔细分析后，发现用定义法就能很轻松地解决。
所以啊，遇到问题不要慌，静下心来好好分析，肯定能找到解决办法的。
希望这些解释能让你对异面直线距离的求法有更清楚的认识和理解，以后遇到这类问题就不会再犯难啦！。
异面直线上两点间的距离公式的应用
异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。
一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222（1）其中θπθ-,或>=<NQ PM ，若MN=d,MP ＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD 的长？分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --3.求异面直线的夹角由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++4.求二面角在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后112=AB ，求θ的大小？分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而><B B A A ','=θ，AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2则==∴cos ><B B AA ','=21∴><B B AA ','=600∴θ=1200 5.求直线与平面所成的角如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=><BD AC ,cos 利用上述关系及公式即可得出θ=300。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
计算异面直线间距离的两个公式
两线 段 的 端点为顶点 的 四 面 体的 体积 易求 时
.
应 用公
式 ① 则 较为方便 现举 例供 参考 仁 例 月 求 棱长为 。 的 正方 体 相 邻 两面 上 不 相 交 的 两 条对角 线 间 的距 离 ( 图二 中 B C 与 B I D 间的 距 离 ) : : : : 解 连BD和 C D 得BC = C D = B D = 了 2 a
,
.
则
BC土AE
亡“
毖 J 乏 力 11 氏
一
,
一
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线 S B“
”
了 加
12
A c 间的 距 离
刀C 一 刀 E
B C 一平面 A E D
刀 C上 A D
即 B C 与 A D 所 成 的角 e =
,
9 ’0
。
由 A作 A O土 平 面 B C D
’, .
点 O 在刀 E 上
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求异面直线之间的距离的方法
求异面直线之间的距离的方法宝子，今天咱来唠唠求异面直线之间距离的方法呀。
有一种方法呢，叫定义法。
啥是定义法呢？就是直接根据异面直线距离的定义来求呗。
异面直线的距离就是公垂线段的长度呀。
这就像是在两条异面直线之间找一座最短的桥，这座桥得和两条直线都垂直呢。
不过这方法有时候不太好找这个公垂线段，就像在一堆乱麻里找一根特定的线一样麻烦。
再来说说向量法吧。
向量可是个很神奇的东西呢。
我们可以先找到两条异面直线的方向向量，再找一个向量，这个向量能和这两个方向向量都垂直。
就像给这两条异面直线找一个共同的“好朋友”向量。
然后呢，在两条异面直线上分别找个点，构成一个向量。
用这个向量和那个共同的“好朋友”向量做点积，再除以“好朋友”向量的模长，就有可能得到距离啦。
这就像是通过这个特殊的向量关系来算出两条异面直线之间的“小秘密”距离。
还有一种等体积法呢。
想象一下，把两条异面直线放到一个几何体里，比如说三棱锥。
然后利用三棱锥的体积不变这个特性。
我们可以换不同的底面和高来表示这个三棱锥的体积。
当我们巧妙地选择底面和高的时候，就可以通过体积的等式来求出异面直线之间的距离啦。
这就像是给三棱锥玩了个变身游戏，从不同的角度算出体积，然后揪出异面直线的距离这个小调皮。
宝子呀，这些方法各有各的妙处，在不同的题目里就像不同的小工具。
有时候可能一个方法就轻松搞定，有时候可能得试试好几个方法才能找到最合适的那一个。
多做做题目，你就会对这些方法越来越熟悉啦，就像和它们成了好朋友一样，一看到求异面直线距离的题，就能马上想到用哪个小妙招啦。
求异面直线距离的几种方法
求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a 和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG.∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D 与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法V A-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，若AB和CD 所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为V A-BCD，则异面直线AB与CD之间的距离d=6V A-BCDAB?CDsin θ.图5图6公式2已知平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.则异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，则∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3.d=6VP-ABCAC?BPsinθ=6×a362a?5a2?31010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入已知数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.（提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB 的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a）.（收稿日期：2015-07-09）【下载本文档，可以自由复制内容或自由编辑修改内容，更多精彩文章，期待你的好评和关注，我将一如既往为您服务】。
求两条异面直线之间距离的两个公式
求两条异面直线之间距离的两个公式在三维几何中，两条异面直线之间的距离是指两条直线之间的最短距离。
在解决实际问题时，我们经常需要计算两条直线之间的距离，因此找到计算直线之间距离的公式对于解决问题非常重要。
下面将介绍两个计算异面直线之间距离的公式：点法式和向量法式。
1.点法式：假设有两条直线L1和L2，分别由点A1(x1,y1,z1)和A2(x2,y2,z2)以及方向向量v1(a1,b1,c1)和v2(a2,b2,c2)所确定。
步骤如下：1)选择L1上的任意一点P1，使用向量v1连接P1和A1、可以得到向量P1A12)在同一平面上，选择L2上的任意一点P2，使用向量v2连接P2和A2、可以得到向量P2A23)计算向量P1A1和向量P2A2的叉积，得到向量N。
叉积公式为：N=P1A1×P2A24)计算向量N的长度，即向量N的模长。
向量N的模长为：，N，=√(a3^2+b3^2+c3^2)。
5)计算点P1到直线L2的距离。
距离公式为：d=，[P2P1×N]，/，N，其中[P2P1×N]表示向量P2P1和向量N的叉积。
2.向量法式：假设有两条直线L1和L2，分别由点A1(x1,y1,z1)和A2(x2,y2,z2)以及方向向量v1(a1,b1,c1)和v2(a2,b2,c2)所确定。
步骤如下：1)计算两条直线的方向向量叉积，得到向量N。
叉积公式为：N=v1×v22)计算向量N的长度，即向量N的模长。
向量N的模长为：，N，=√(a3^2+b3^2+c3^2)。
3)选择L1上的任意一点P1和L2上的任意一点P2，计算向量P2P14)计算向量P2P1与向量N的点积，得到距离d。
点积公式为：d=，P2P1·N，/，N，其中[P2P1·N]表示向量P2P1和向量N的点积。
这两个公式可以用于计算两条异面直线之间的最短距离。
如果结果为正值，则表示直线L1与直线L2不相交，并且距离为计算结果；如果结果为零，则表示直线L1与直线L2相交；如果结果为负值，则表示直线L1与直线L2相交，但距离为零。
两条异面直线距离公式
两条异面直线距离公式在我们的数学世界里，有一个神奇而又有点神秘的概念——两条异面直线距离公式。
先来说说啥是异面直线吧。
想象一下，在一个大大的房间里，有两根长长的杆子，一根贴在东边的墙上直直地竖着，另一根呢，躺在西边的地上斜斜地放着。
这两根杆子既不平行，也不相交，它们所处的位置完全不同，这就是异面直线啦。
那怎么去算这两条异面直线的距离呢？这就需要用到我们的距离公式。
公式看起来可能有点复杂，但其实就像一个解谜的小钥匙，只要掌握了窍门，就能轻松打开数学的大门。
咱们来举个例子哈。
比如说有两条异面直线，一条可以用方程表示为：$x - 2y + 3z - 4 = 0$，另一条是通过两个点 $A(1, 2, 3)$ 和 $B(4, 5, 6)$ 确定的。
那怎么算它们之间的距离呢？这时候，咱们就得先找到这两条直线的公垂线。
啥是公垂线？就好比在两条异面直线中间，有一条垂直于它们俩的线段，这就是公垂线啦。
找公垂线可不容易，得费点心思。
经过一番捣鼓，算出公垂线的方向向量，再利用点到直线的距离公式，就能算出这两条异面直线的距离啦。
记得我当年教学生这个知识点的时候，有个小同学怎么都搞不明白。
那小眉头皱得紧紧的，都快能夹死一只苍蝇了。
我就耐心地给他一遍又一遍地讲解，还画了好多图。
最后啊，这小家伙终于恍然大悟，那开心的笑容，比吃了蜜都甜。
其实啊，数学里的很多知识就像一个个小宝藏，等着我们去挖掘。
两条异面直线距离公式虽然有点难，但只要咱们多琢磨，多练习，就一定能把它拿下。
在学习的过程中，可别被那些复杂的符号和式子给吓住了。
就像爬山一样，一步一步往上走，总能到达山顶，看到美丽的风景。
而且这个公式在实际生活中也有用呢。
比如说建筑设计的时候，要计算两个不平行的结构之间的最短距离，就得用到它。
总之，两条异面直线距离公式虽然有点小挑战，但只要咱们用心去学，就能在数学的海洋里畅游，发现更多的奇妙之处！所以，同学们，加油吧！别害怕困难，勇往直前，相信你们一定能掌握这个有趣的数学知识！。
向量法求异面直线的距离公式
向量法求异面直线的距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量法求异面直线的距离公式是一种用向量的方法来计算异面直线之间的距离的公式。
在三维空间中，有时候我们需要求出两条不在同一平面上的直线之间的距离，这时就可以使用向量法来解决这个问题。
下面我们将详细介绍向量法求异面直线的距离公式的推导和应用。
我们假设有两条异面直线，分别用参数方程表示为：直线1：r1(t) = a1 + tb1其中a1,a2分别为直线1和直线2的某一点，b1,b2为方向向量，t,u为参数。
我们首先要确定这两条直线之间的距离，可以通过向量的投影来实现。
假设有一条从直线1上的某一点a1到直线2上的垂足点P的向量p，则有p = a2 - a1 + s(b1 x b2)（1）其中x表示向量叉乘，s为比例因子。
p为两条直线之间的距离向量，我们需要求出它的模长作为实际距离。
为了简化运算，可以令p与b1垂直，即p·b1 = 0，代入公式(1)中得到：(a2 - a1 + s(b1 x b2)) · b1 = 0将s代入公式(1)中，即可求出向量p。
我们求出p的模长即可得到两条异面直线之间的距离。
需要注意的是，如果两条直线平行，则它们之间的距离为0；如果两条直线相交，则直线之间的距禀为0。
向量法求异面直线的距离公式在实际工程和物理问题中有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的梁之间的距离；在机械设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的零件之间的距禀。
掌握向量法求异面直线的距离公式对于解决实际问题具有重要意义。
第二篇示例：向量法求解异面直线距离的问题是解析几何中的一个重要问题。
异面直线是指两条不在同一平面内的直线，它们之间的距离是在空间几何学中一个非常基础的问题。
在实际问题中，当我们需要求解两条异面直线之间的距离时，使用向量法可以简化计算，提高效率。
首先我们来了解一下向量的相关知识。
在空间直角坐标系中，我们可以用一个有方向和大小的有向线段来表示一个向量。
空间异面直线的距离公式推导
空间异面直线的距离公式推导在空间几何中，距离是最重要的几何概念之一，它经常用于衡量不同物体之间的距离。
在空间几何中，平面和直线提供了一种特殊的几何概念，即异面直线。
这种形式的几何图形在工程应用中非常常见，因此，计算异面直线之间的距离也被要求经常实施。
要计算不同平面上两个异面直线之间的距离，需要首先确定以下几个变量：直线间距（l），投影长度（h）和距离（d）。
直线间距（l）表示异面直线之间的距离，而投影长度（h）表示异面直线之间的距离，也就是其在任意一个平面上的投影长度。
距离（d）表示另外一维度上的距离，即两个平面之间的距离。
了解这些变量之后，就可以推导出不同平面异面直线之间的距离公式了，公式如下：d = sqrt(l^2 - h^2)根据此公式，如果已知直线间距（l）和投影长度（h），就可以使用平方根算式来计算距离（d）。
为了更加清楚地理解该公式推导的结果，我们可以先来看一个例子：假设一个平面上有两条异面直线，他们之间的直线间距（l）为100米，投影长度（h）为90米，那么两条异面直线之间的距离（d）就可以用公式推导出来：d = sqrt(100^2-90^2) = 10m此公式实际上是由勾股定理导出来的，例如，如果需要计算三维空间中两条异面直线之间的距离，我们可以将这两条直线投影到同一平面上，并假设平面的距离为0。
在这种情况下，异面直线之间的距离就可以用勾股定理来推导出来。
综上所述，不同平面异面直线之间的距离可以用公式推导出来，并用勾股定理计算出来。
这种距离的计算方法也被应用于三维空间中，用来计算两条空间异面直线之间的距离。
由此可见，这种距离计算方法非常实用，并在工程应用中经常使用。
一个计算异面直线间距离的公式和应用
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求 异面 直 线 间 的 距离
同 学 们 普遍 感到 困难 的是
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求异面直线距离的常用方法
求异面直线距离的常用方法陈广跃陈广跃求异面直线的距离是立体几何的一个难点，主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们克服这一难点，本文介绍两种求异面直线距离的常用方法，望能达到拓宽思路、扩大视野的目的。
望能达到拓宽思路、扩大视野的目的。
一. 直接法直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。
直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。
例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。
图1 解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱是正四棱柱 则A A ABCD A A AC A A A B 11111^^^底面，即，而 所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段的公垂线段 由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角所成的角则∠DOE=45°又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45°∴D 1D=DB=2a∵AA 1=D 1D ∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a二. 间接法间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。
方法。
）线面距离法（1）线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。
行平面的距离即为异面直线间的距离。
例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C 间的距离。
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异面直线间距离的一个简明公式
本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.
定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离
d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ
y x y x l +++
证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG .
则∠DEF =θ，且（DG ）min =d .
设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ.
在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x .
∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x .
图1 图2
在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则
MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ-
在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-=
所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=∆中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ
⋅-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得
)4/()4()(2min 2a b ac GD -=
])cos ctg csc sin ctg (1[4)]cos ctg csc sin ctg (sin 2[])cos ctg csc sin ctg (1[4sin ])cos ctg csc sin ctg (1[422
2222y y x y y x y l y y x y l y y x θ+θ+θ+θ-θ+θ+θ+θ+
.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin .cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin ]
cos ctg ctg 2cos ctg ctg )ctg 1(/[sin sin )cos ctg ctg (sin sin 1sin )cos ctg csc sin ctg (1sin 22222222222222222222222θθθθ
θθθθθθθθ
θy x y x l d y x y x l y x y x y l y x y y l y y y x y l +++=+++=++++=++=++=故例 2.已知
正方形ABCD 和正方形ADD 1A 1所在平面互相垂直，AB =a ，求异面直线DB 与AD 1的距离.
解：由已知及定理得,,90,451a l BDA AD D y x =︒=θ︒=∠=∠==
.3/345ctg 45ctg 90sin 90sin 222a a d =︒+︒+︒︒
=所以
图3
例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB ，AC 为∠VAB 的平分线，点D 在底面圆
周上，且∠ABD =30°，底面圆的直径AB =2R .求异面直线AC 与BD 的距离.
解：由已知得x =y =30°，θ=90°，l =2R .
由定理可得d =.7
7230ctg 2190sin 22R R =︒+︒
两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、 图4
简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.。