北京邮电大学数学分析期末考试2016年1月(附答案)

.
8. 设 f ( x ) 连续，满足 f ( x ) 2

x
0
f (t )dt 2 x 1 ，则

9.
1
0
f ( x)dx ________; ln x dx x2
.


e
1
10. 设 y
1 2x 1 e ( x )e x 是 二 阶 常 系 数 非 线 性 微 分 方 程 2 3
g ( x ) 在 0,1 上有一阶连续导数，f (0) 0 ，f ( x ) 0 ， 五.(8 分).设 f ( x ) ， g ( x ) 0 ，证明：对 a 0,1 ，

a
0
f ( x ) g ( x )dx f ( x ) g ( x )dx f (a ) g (1) 。
3
北京邮电大学 2015-2016 学年第一学期 《数学分析》 （上）考试卷参考答案
考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效
一. 填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1. 设 a c 0 ，则 lim
2 2
a sin x b(1 cos x ) x 0 c (e x 1) d ln(1 x 2 )
4. 设函数 y y ( x ) 由参数方程
d2y dx 2

t 0 1 x
.
5. 曲线 y xe 6.
的斜渐近线方程为
_________
；
sin x cos x dx ___________________;
2 0
sin x
7.
sin 3 x ( 4 | sin x |) dx cos x 2 sin 2 x
因为 f ( x ) 0 ， g ( x ) 0 ，所以 f ( x ) ， g ( x ) 在 0,1 上单调增加；
x 0,1 ， g ( x ) g (1) ，从而 F ( x ) 0 ， F ( x ) 在 0,1 上单调减少；
对 a 0,1 ，
当x
5
拐点 ( ,
1 3
4 arctan 1 3 e ) 。 3
(9 分)
三． （每小题 6 分，共 12 分）. （1）设函数 y y ( x ) 由方程 解：对方程两边求导: e
( y 1) 2

yΒιβλιοθήκη Baidu1
1
d2y e dt ln( x 1) 确定，求 2 dx
[(2 x
,
4
1) cos x (8 x 3 x 2 3 x 1) sin x]dx P( x) cos x Q( x) sin x C
6
其中 C 为任意常数。 解： 左边= (2 x 1) sin x ( x 3 x 1) sin xdx
4
1 ( x ln | sin x cos x |) C 2
sin x
填：
4
7.

2
0
(
sin 3 x | sin x |) dx cos 4 x 2 sin 2 x
.
填：4 8. 设 f ( x ) 连续，满足 f ( x ) 2

x
0
f (t )dt 2 x 1 ，则
t 2
；
x 0
y
1 1 ( y 1)2 e ， y ； 1 x 1 x
(4 分) (6 分)
y
2 1 1 ( y 1)2 e ( y 1) e 2(y 1)y 2 (1 x) 1 x
2 当 x 0 时 y 2 ； y x 0 e ， y x 0 2e e 。
arctan x
( B)a 3, b 2, c 1 ( D)a 3, b 2, c 1 。
的单调区间、极值；函数图形的拐点。

y 1
1
e t dt ln( x 1) 确定，求 x 2 f ( xt )dt
1
2
d2y dx 2
；
x 0
（2）设 f ( x ) 连续且 f (0) 0 ，求 lim
y ay by ce x 的一个特解，则：_____________. ( A)a 3, b 2, c 1 ； (C )a 3, b 2, c 1 ；
二． （9 分）. 求函数 y ( x 1)e 三． （每小题 6 分，共 12 分）. （1）设函数 y y ( x ) 由方程
0 0
x
x f (u )du
0 x
x
(3 分)
lim
x 0
0
f (u )du xf ( x)

x
0
f (u )du
(6 分)
lim
x 0
f ( ) x xf ( x) 2 ，( 0 x ) f ( ) x
四.(8 分).求出两个多项式 P ( x ),Q ( x ) ，使得
x ln(t 1) 确定，则 t y cos u 2du 0
d2y dx 2
填： 1

t 0
.
5. 曲线 y xe 填： y x 1 6.

1 x
的斜渐近线方程为
_________
；
sin x cos x dx ___________________;
填：(A) 二． （9 分）. 求函数 y ( x 1)e 解： y
arctan x
( B)a 3, b 2, c 1 ( D)a 3, b 2, c 1 。
的单调区间、极值；函数图形的拐点。 (2 分) (4 分) (6 分)
x(1 x) arctan x e ，令 y 0 ， x 1,x 0 1 x2
;
填：
1 | sin t | arctan dt 0 t _____; 2. lim x 0 x2
a c

x
填：
4
3.设函数 y 填：

x3
1
et dt 的反函数为 x g ( y ) ，则 g (0) ____; 1 t2
2 3e
4. 设函数 y y ( x ) 由参数方程
1. 设 a c 0 ，则 lim
2
2
;
1 | sin t | arctan dt 0 t _____; 2. lim x 0 x2

x
3.设函数 y

x3
1
et dt 的反函数为 x g ( y ) ，则 g (0) ____; 1 t2 x ln(t 1) 确定，则 t 2 y cos u du 0
0 2
1
六.(9 分).求微分方程 y y 2 y sin x 的通解。
2
七.(8 分). 已知曲线 y e
x
及其过原点的切线 L、 y 轴所围图形为 D，求
(1) 切线 L 的方程，图形 D 的面积； (2) 图形 D 绕直线 x 1 旋转一周所得旋转体的体积。 八.（6 分） . 设 , 上连续函数 f ( x ) 是周期函数，周期为 T ，且
于是 P( x ) P ( x ) x 3x 1 ，令 P ( x ) ax bx c ，代入得
2 2
(4 分)
2a ax 2 bx c x 2 3 x 1 ， a 1, b 3, c 1 ；
故 P ( x) x 3x 1 ， Q( x) 2 x 2 x 2 。
0
1
证明：令 F ( x )

x
0
f (t ) g (t )dt f (t ) g (t )dt f ( x ) g (1) ；
0
1
（2 分）
F ( x ) 在 0,1 上有一阶连续导数，且
7
F ( x ) f ( x )[ g ( x ) g (1)] ；
(4 分)

2
(3 分)
(2 x 4 1) sin x ( x 2 3 x 1) cos x (2 x 3) cos xdx (2 x 4 1) sin x ( x 2 3 x 1) cos x (2 x 3) sin x 2sin xdx (2 x 4 1) sin x ( x 2 3 x 1) cos x (2 x 3) sin x 2 cos x C ( x 2 3 x 1) cos x (2 x 4 2 x 2) sin x C
故 P ( x) x 3x 1 ， Q( x) 2 x 2 x 2 。 解法 2 由 [ P ( x) cos x Q( x) sin x] (2 x 1) cos x (8 x x 3 x 1) sin x 得
4 3 2 2 4
(8 分)
P( x ) Q ( x ) 2 x 4 1 ， Q( x ) P ( x ) 8 x 3 x 2 3x 1 ；
北京邮电大学 2015-2016 学年第一学期 《数学分析》 （上）考试卷
考试注意事项：考生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上均无效
一.填空题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
a sin x b(1 cos x ) x 0 c (e x 1) d ln(1 x 2 )
2 4
(8 分)
g ( x ) 在 0,1 上有一阶连续导数，f (0) 0 ，f ( x ) 0 ， 五.(8 分).设 f ( x ) ， g ( x ) 0 ，证明：对 a 0,1 ，

a
0
f ( x ) g ( x )dx f ( x ) g ( x )dx f (a ) g (1) 。
f ( x ) 0 ，证明： lim

x
0
f (t )dt x
x


T
0
f (t )dt T
。
九.附加题（6 分）.设 f ( x ) 在 0,1 上二阶连续可导，且 f (0) f (1) ，证 明：存在 0,1 ，使得

1
0
f ( x)dx
1 1 f (0) f (1) f ( ) 。 2 24
x 0

x
0
0
t f ( x t )dt
。
四.(8 分).求出两个多项式 P ( x ) 、 Q ( x ) ，使得
[(2 x
4
1) cos x (8 x 3 x 2 3 x 1) sin x]dx P( x) cos x Q( x) sin x C
其中 C 为任意常数。
F (a ) F (1) f (t ) g (t )dt f (t ) g (t )dt f (1) g (1) 0 ；

9.
1
0
f ( x)dx ________;
2
填： e


e
填：
2 e
ln x dx x2
.
10. 设 y
1 2x 1 e ( x )e x 是 二 阶 常 系 数 非 线 性 微 分 方 程 2 3
y ay by ce x 的一个特解，则：_____________. ( A)a 3, b 2, c 1 ； (C )a 3, b 2, c 1 ；
函数在 ( , 1) ， (0, ) 上单调增加；在 ( 1, 0) 上单调减少。 函数在 x 1 处取极大值 2e

4
；函数在 x 0 处取极小值-1。
y
1 3 x 1 arctan x ，令 y 0 ， x ； e 2 2 3 (1 x ) 1 1 时， y 0 ；当 x 时， y 0 ； 3 3
（2）设 f ( x ) 连续且 f (0) 0 ，求 lim
x 0
x 2 f ( xt )dt
1

x
0
0
t f ( x t )dt
。
解： 原式= lim
x 0

x
x f (u )du
0
x
0
( x u f (u )du
x
lim
x 0
x f (u )du uf (u )du