集合论的发展史
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其性质。
自从19世纪末由德国数学家Georg Cantor创立以来，集合论经历了多个阶段的发展。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理化建立、发展阶段等方面进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到古希腊的数学思想，如毕达哥拉斯学派的无理数概念。
然而，真正系统化的集合论始于19世纪末的德国。
1874年，Cantor首次提出了集合的概念，并开始研究无限集合的性质。
他的工作为集合论的发展奠定了基础。
三、集合论的基本概念1. 集合：集合是指由确定的对象组成的整体。
可以用描述性的方式或罗素概括法来定义一个集合。
2. 元素：集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物，包括数、字母、其他集合等。
3. 子集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则前者是后者的子集。
4. 并集：两个集合的并集是指包含两个集合中所有元素的集合。
5. 交集：两个集合的交集是指包含两个集合共有元素的集合。
6. 补集：对于给定的全集，一个集合的补集是指全集中不属于该集合的元素构成的集合。
四、集合论的公理化建立为了确保集合论的严密性，20世纪初，数学家们开始尝试对集合论进行公理化建立。
在此过程中，提出了多个集合论公理系统，如Zermelo-Fraenkel公理系统和von Neumann-Bernays-Gödel公理系统。
这些公理系统为集合论提供了一套严格的逻辑基础，确保了集合论的内在一致性。
五、集合论的发展阶段1. 初步发展阶段：Cantor的工作为集合论的初步发展奠定了基础，他提出了无限集合的概念，并研究了不同无限集合之间的势（基数）的比较。
2. 公理化建立阶段：20世纪初，集合论开始进行公理化建立，确立了集合论的基本概念和公理系统。
3. 集合论的危机：20世纪初，罗素悖论的出现引发了集合论的危机。
罗素悖论是指由Bertrand Russell提出的一个关于自指的集合的悖论，揭示了集合论的潜在矛盾性。
集合论的发展
集合论的发展1. 引言集合论是数学中的一个基础分支，研究集合的性质、关系和操作。
自从19世纪末以来，集合论在数学领域的发展取得了巨大的成就。
本文将回顾集合论的发展历程，介绍一些重要的里程碑和概念。
2. 约瑟夫·斯特雷尔和基本概念的提出集合论的起源可以追溯到19世纪末的法国数学家约瑟夫·斯特雷尔。
他在1869年的一篇论文中首次提出了集合的概念，并引入了集合的基本运算，如并、交和差。
斯特雷尔的工作为后来的集合论奠定了基础。
3. 康托尔的工作和无穷集合19世纪末至20世纪初，德国数学家乔治·康托尔对集合论做出了重要贡献。
他提出了集合的基数概念，即集合中元素的个数。
康托尔还引入了无穷集合的概念，并证明了不同无穷集合之间存在不同的基数。
这一发现颠覆了人们对无穷的直觉认识，引起了深刻的数学思量。
4. 集合论的公理化20世纪初，数学家们开始尝试对集合论进行公理化。
在这个过程中，数学家们提出了一系列公理，用于描述集合的性质和运算规则。
这些公理化的努力最终导致了现代集合论的建立。
其中最著名的公理系统是ZF公理系统，它由康托尔、埃尔伯兹和弗雷格等人共同发展而成。
5. 集合论的扩展和应用随着时间的推移，集合论逐渐扩展到其他数学领域，并在其中发挥了重要作用。
例如，集合论在数学逻辑、代数学、拓扑学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
集合论的概念和方法也被应用于其他学科，如物理学、经济学和哲学等。
6. 集合论的争议和基础问题尽管集合论在数学中的地位已经得到广泛认可，但它仍然面临着一些争议和基础问题。
例如，康托尔的连续统假设（CH）是一个长期未解决的问题，它涉及到无穷集合的基数问题。
此外，集合论中的一些悖论，如罗素悖论和贝利尔-费尔巴哈悖论，也引起了对集合论基础的深入思量。
7. 结论集合论作为数学的基础分支，经历了一个漫长而丰富的发展过程。
从斯特雷尔的基本概念到康托尔的无穷集合和公理化，集合论为数学家们提供了一个强大的工具和框架。
康托尔与集合论
Word文档可进行编辑康托尔与集合论康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大得数学家,集合论得创立者.是数学史上最富有想象力,最有争议得人物之一.19世纪末他所从事得关于连续性和无穷得研究从全然上背离了数学中关于无穷得使用和解释得传统,从而引起了激烈得争论乃至严厉得责备.然而数学得进展最终证明康托是正确得.他所创立得集合论被誉为20世纪最伟大得数学制造,集合概念大大扩充了数学得研究领域,给数学结构提供了一个基础,集合论不仅妨碍了现代数学,而且也深深妨碍了现代哲学和逻辑.1．康托尔得生平1845年3月3日,乔治·康托生于俄国得一个丹麦—犹太血统得家庭.1856年康托和他得父母一起迁到德国得法兰克福.像许多优秀得数学家一样,他在中学时期就表现出一种对数学得特别敏感,并不时得出令人惊奇得结论.他得父亲力促他学工,因而康托在1863年带着那个目地进入了柏林大学.这时柏林大学正在形成一个数学教学与研究得中心.康托非常早就向往这所由外尔斯托拉斯占据着得世界数学中心之一.因此在柏林大学,康托受了外尔斯特拉斯得妨碍而转到纯粹得数学.他在1869年取得在哈勒大学任教得资格,不久后就升为副教授,并在1879年被升为正教授.1874年康托在克列勒得《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论得第一篇革命性文章.数学史上一般认为这篇文章得发表标志着集合论得诞生.这篇文章得制造性引起人们得注意.wwWcoM 在以后得研究中,集合论和超限数成为康托研究得主流,他一直在这方面发表论文直到1897年,过度得思维劳累以及强列得外界刺激曾使康托患了精神分裂症.这一难以消除得病根在他后来30多年间一直断断续续妨碍着他得生活.1918年1月6日,康托在哈勒大学得精神病院中去世.2．集合论得背景为了较清晰地了解康托在集合论上得工作,先介绍一下集合论产生得背景.集合论在19世纪诞生得差不多缘故,来自数学分析基础得批判运动.数学分析得进展必定涉及到无穷过程,无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪,由于无穷概念没有精确得定义,使微积分理论不仅遇到严峻得逻辑困难,而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶,柯西给出了极限概念得精确描述.在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数得理论.正是这19世纪进展起来得极限理论相当完美得解决了微积分理论所遇到得逻辑困难.然而,柯西并没有完全完成微积分得严密化.柯西思想有一定得模糊性,甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期得数学家们发觉使柯西产生逻辑矛盾得咨询题得缘故在奠定微积分基础得极限概念上.严格地讲柯西得极限概念并没有真正地摆脱几何直观,确实地建立在纯粹严密得算术得基础上.因此,许多受分析基础危机妨碍得数学家致力与分析得严格化.在这一过程中,都涉及到对微积分得差不多研究对象─连续函数得描述.在数与连续性得定义中,有涉及关于无限得理论.因此,无限集合在数学上得存在咨询题又被提出来了.这自然也就导致寻求无限集合得理论基础得工作.总之,为寻求微积分完全严密得算术化倾向,成了集合论产生得一个重要缘故.3．集合论得建立康托在柏林大学得导师是外尔斯托拉斯,库曼和克罗内克.库曼教授是数论专家,他以引进理想数并大大推动费马大定理得研究而闻名遐迩是.克罗内克是一位大数学家,当时许多人都以得到他得赞许为荣.外尔斯托拉斯是一位优秀教师也是一位大数学家.他得演讲给数学分析奠定了一个精确而稳定得基础.例如,微积分中闻名得观念确实是他首先引进得.正是由于这些人得妨碍,康托对数论较早产生兴趣,并集中精力对高斯所留下得咨询题作了深入得研究.他得毕业论文确实是关于++=0得素数咨询题得.这是高斯在《算术研究》中提出而未解决得咨询题.这片论文写得相当出色,它足以证明作者具有深刻得洞察力和对优秀思想得继承能力.然而,他得超穷集合论得创立,并没有受惠于早期对数论得研究.相反,他非常快同意了数学家海涅得建议转向了其他领域.海涅鼓舞康托研究一个十分有味,也是较困难得咨询题：任意函数得三角级数得表达式是否唯一?对康托来讲那个咨询题是促使他建立集合论得最直截了当缘故.函数可用三角级数表示,最早是1822年傅立叶提出来得.此后关于间断点得研究,越来越成为分析领域中引人注目得咨询题,从19世纪30年代起,很多杰出得数学家从事着对不连续函数得研究,同时都在一定程度上与集合这一概念挂起了钩.这就为康托最终建立集合论制造了条件.1870年,海涅证明,假如表示一个函数得三角级数在区间[-π,π]中去掉函数间断点得任意小邻域后剩下得部分上是一致收敛得,那么级数是唯一得.至于间断点得函数情况如何,海涅没有解决.康托开始着手解决那个以如此简洁得方式表达得唯一性咨询题.于,他跨出了集合论得第一步.康托一下子就表现出比海涅更强得研究能力.他决定尽可能多地取消限制,所以这会使咨询题本身增加难度.为了给出最有普遍性得解,康托引进了一些新得概念.在其后得三年中,康托先后发表了五篇有关这一题目得文章.1872年当康托将海涅提出得一致收敛得条件减弱为函数具有无穷个间断点得情况时,他差不多将唯一性结果推广到同意例外值是无穷集得情况.康托1872年得论文是从间断点咨询题过度到点集论得极为重要得环节,使无穷点集成为明确得研究对象.集合论里得中心,难点是无穷集合那个概念本身.从希腊时代以来,无穷集合非常自然地引起数学家们和哲学家们得注意.而这种集合得本质以及看来是矛盾得性质,非常难象有穷集合那样来把握它.因此对这种集合得理解没有任何进展.早在中世纪,人们差不多注意到如此得事实：假如从两个同心圆动身画射线,那么射线就在这两个圆得点与点之间建立了一一对应,然而两圆得周长是不一样得.16世纪,伽俐略还举例讲,能够在两个不同长得线段ab与cd之间建立一一对应,从而想象出它们具有同样得点.他又注意到正整数能够和它们得平方构成一一对应,只要使每个正整数同它们得平方对应起来就行了:1234……n……234……n……但这导致无穷大得不同得“数量级”,伽俐略以为这是不可能得因为所有无穷大都一样大.不仅是伽俐略,在康托之前得数学家大多不赞成在无穷集之间使用一一对应得比较手段,因为它将出现部分等于全体得矛盾高斯明确表态：“我反对把一个无穷量当作实体,这在数学中是从来不同意得.无穷只是一种讲话得方式……”柯西也不承认无穷集合得存在.他不能同意部分同整体构成一一对应这件事.所以,潜无穷在一定条件下是便于使用得,但若把它作为无穷观则是片面得.数学得进展表明,只承认潜无穷,否认实无穷是不行得.康托把时刻用到对研究对象得深沉考虑中.他要用事实来讲明咨询题,讲服大伙儿.康托认为,一个无穷集合能够和它得部分构成一一对应不是什么坏事,它恰恰反应了无穷集合得一个本质特征.对康托来讲,假如一个集合能够和它得一部分构成一一对应,它确实是无穷得.它定义了基数,可数集合等概念.同时证明了实数集是不可数得代数数是可数得康托最初得证明发表在1874年得一篇题为《关于全体实代数数得特征》得文章中,它标志着集合论得诞生.随着实数不可数性质得确立,康托又提出一个新得,更大胆得咨询题.1874年,他考虑了能否建立平面上得点和直线上得点之间得一一对应.从直观上讲,平面上得点显然要比线上得点要多得多.康托自己起初也是如此认识得.但三年后,康托宣布：不仅平面和直线之间能够建立一一对应,而且一般得n维连续空间也能够建立一一对应！这一结果是出人意外得.就连康托本人也觉得“简直不能相信”.然而这又是明摆着得事实,它讲明直观是靠不住得,只有靠理性才能发觉真理,幸免谬误.既然n维连续空间与一维连续统具有相同得基数,因此,康托在1879到1884年间集中于线性连续统得研究,相继发表了六篇系列文章,汇合成《关于无穷得线性点集》.前四篇直截了当建立了集合论得一些重要结果,包括集合论在函数论等方面得应用.其中第五篇发表于1883年,它得篇幅最长,内容也最丰富.它不仅超出了线性点集得研究范围,而且给出了超穷数得一个完全一般得理论,其中借助良序集得序型引进了超穷序数得整个谱系.同时还专门讨论了由集合论产生得哲学咨询题,包括回答反对者们对康托所采取得实无穷立场得非难.这篇文章对康托是极为重要得.1883年,康托将它以《集合论基础》为题作为专著单独出版.《集合论基础》得出版,是康托数学研究得里程碑.其要紧成果是引进了作为自然数系得独立和系统扩充得超穷数.康托清醒地认识到,他如此做是一种大胆得冒进.“我非常了解如此做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质得传统观念相对立得地位,但我深信,超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然得扩充.”《集合论基础》是康托关于早期集合理论得系统阐述,也是他将做出具有深远妨碍得特别贡献得开端.康托于1895年和1897年先后发表了两篇对超限数理论具有决定意义得论文.在该文中,他改变了早期用公理定义(序)数得方法,采纳集合作为差不多概念.他给出了超限基数和超限序数得定义,引进了它们得符号；依势得大小把它们排成一个“序列”；规定了它们得加法,乘法和乘方…….到此为止,康托所能做得关于超限基数和超限序数理论已臻于完成.然而集合论得内在矛盾开始暴露出来.康托自己首先发觉了集合论得内在矛盾.他在1895年得文章中遗留下两个悬而未决得咨询题：一个是连续统假讲；另一个是所有超穷基数得可比较性.他尽管认为无穷基数有最小数而没有最大数,但没有明显叙述其矛盾之处.一直到1903年罗素发表了他得闻名悖论.集合论得内在矛盾才突出出来,成为20世纪集合论和数学基础研究得动身点.4．对康托集合论得不同评价康托得集合论是数学上最具有革命性得理论.他处理了数学上最棘手得对象---无穷集合.因此,他得进展道路也自然非常不平坦.他抛弃了一切经验和直观,用完全得理论来论证,因此他所得出得结论既高度地另人吃惊,难以置信,又确确实实,毋庸置疑.数学史上没有比康托更大胆得设想和采取得步骤了.因此,它不可幸免地遭到了传统思想得反对.19世纪被普遍承认得关于存在性得证明是构造性得.你要证明什么东西存在,那就要具体造出来.因此,人只能从具体得数或形动身,一步一步通过有限多步得出结论来.至于“无穷”,许多人更是认为它是一个超乎于人得能力所能认识得世界,不要讲去数它,确实是它是否存在也难以确信,而康托难道“漫无边际地”去数它,去比较它们得大小,去设想没有最大基数得无穷集合得存在……这自然遭到反对和斥责.集合论最激烈得反对者是克罗内克,他认为只有他研究得数论及代数才最可靠.因为自然数是上帝制造得,其余得是人得工作.他对康托得研究对象和论证手段都表示强烈得反对.由于柏林是当时得数学中心,克罗内克又是柏林学派得首领人物,因此他对康托及其集合论得进展前途得阻碍作用是特别大得.另一位德国得知觉主义者魏尔认为,康托把无穷分成等级是雾上之雾.法国数学界得权威人物庞加莱曾预言：我们得“后一代将把（康托得）集合论当作一种疾病”等等.由于两千年来无穷概念数学带来得困难,也由于反对派得权威地位,康托得成就不仅没有得到应有得评价,反而受到排斥.1891年,克罗内克去世之后,康托得处境开始好转.另一方面,许多大数学家支持康托得集合论.除了狄德金以外,瑞典得数学家米大格---列夫勒在自己创办得国际性数学杂志上把康托得集合论得论文用法文转载,从而大大促进了集合论在国际上得传播.1897年在第一次国际数学家大会上,霍尔维次在对解析函数得最新进展进行概括时,就对康托得集合论得贡献进行了阐述.三年后得第二次国际数学大会上,为了捍卫集合论而勇敢战斗得希尔伯特又进一步强调了康托工作得重要性.他把连续统假设列为20世纪初有待解决得23个要紧数学咨询题之首.希尔伯特宣称:“没有人能把我们从康托为我们制造得乐园中驱逐出去.”专门自1901年勒贝格积分产生以及勒贝格得测度理论充实了集合论之后,集合论得到了公认,康托得工作获得崇高得评价.当第三次国际数学大会于1904年召开时,“现代数学不能没有集合论”已成为大伙儿得看法.康托得声望差不多得到举世公认.5．集合论得意义集合论是现代数学中重要得基础理论.它得概念和方法差不多渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门,为这些学科提供了奠基得方法,改变了这些学科得面貌.几乎能够讲,假如没有集合论得观点,非常难对现代数学获得一个深刻得理解.因此集合论得创立不仅对数学基础得研究有重要意义,而且对现代数学得进展也有深远得妨碍.康托一生受过磨难.他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年.康托虽曾一度对数学失去兴趣,而转向哲学、文学,但始终不能放弃集合论.康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家得反对,坚决地捍卫超穷集合论,与他得科学家气质和性格是分不开得.康托得个性形成在非常大程度上受到他父亲得妨碍.他得父亲乔治·瓦尔德玛·康托在福音派新教得妨碍下成长起来.是一位精明得商人,明智且有天份.他得那种深笃得宗教信仰强烈得使命感始终带给他以勇气和信心.正是这种坚决、乐观得信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功.今天集合论已成为整个数学大厦得基础,康托也因此成为世纪之交得最伟大得数学家之一.。
世纪之交最伟大的数学家——集合统帅康托尔
康托尔提起“集合”，除了像“集合起来搞事情”的意思，作为名词，上过高中的小伙伴们可能都还记得，这是高中数学最开始学的知识。
内容不多，原理也比较简单，更是高考数学的送分题（做对了送分，做不对送命）。
不过大家可能对集合背后的这个神秘男子不太了解，今天浪子老师就给大家扒一扒“集合论”的创始人：康托尔大神和他的传奇故事。
1.天才求学康托尔（Georg Ferdinand Philip Cantor，1845～1918），德国数学家，集合论的创始者，与其他天才一样，还在幼年时代，康托尔就表现出对数学的强烈兴趣。
1862年，17岁的康托尔离开双亲，考入瑞士苏黎世大学，第二年转入柏林大学，兴趣开始转移到纯数学方面。
于1868年以数论方面的论文获博士学位，1869年进入哈勒大学担任讲师，之后发表多篇论文，1879年成为哈勒大学的教授……巴拉巴拉等，反正都是些数学家的正常操作。
2.集合论诞生康托尔的研究主要是在无穷集合领域，无穷这个东西，看不见摸不着，也数不过来，到底能不能拿来计算，怎么个用法，大家争论很大。
因此大多数数学家，包括像高斯、柯西这样的大数学家，只好对无穷集合采取避而远之的态度。
但是老康却把无穷当作了自己的珍爱，他夜以继日地苦读、研究、计算、论证。
最终，康托尔得出了许多惊人的结论，起初他都不敢相信自己的眼睛，他说，“我见到了，但我不相信。
”按照康托尔研究的理论，下述观点是完全正确的——1厘米长的线段内的点，和太平洋内的点，和地球内部的点竟是“一样多”！这种整体等价于局部的理论，在世人眼里，就好比郭敬明和姚明同时站在你面前，你非得说他俩一样高。
但是天才就是天才，在进行了严密的论证后，他证明了郭敬明和姚明一样高，不对，是发现自己的理论无懈可击。
这样，在1874年，年仅29岁的康托尔在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性论文。
这篇论文的发表，标志着集合的诞生。
当时老康估计像这张照片上一样，意气风发，帅的掉渣。
集合的含义及其表示
第一讲：集合的含义与表示【数学史话】格奥尔格・康托（Cantor Georg,1845.3.3―1918.1.6），德国数学家，集合论的创始人.1874年，康托在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，提出：“所谓集合，是把我们的直观或思维中确定相互间有明确区别的那些对象（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑.”集合论的创立是数学史上的重大事件，也是康托对数学的主要贡献，他最重要的著作是《超穷数理论基础》.数学家希尔伯特（D.Hilbert ）称之为“数学家的乐园”,“数学思想最惊人的产物”，英国数学家罗素（B.Russel ）将它誉为“这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.由康托首创的具有划时代意义的集合论，渗透到所有的数学分支，从根本上改变了数学的结构，促进了数学的其他许多新的分支的建立和发展，极大地推进了数学的发展进程.【目标要求】1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.2.理解集合中元素的三个特性，并能利用它们进行解题.3.掌握集合的表示方法，并能够运用他们来表示一些简单的集合.【知识解读】1.集合：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．注意：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.2.元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉．注意：（1）对任何元素a 与集合A ,在A a ∈与A a ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立.（2）符号“∈”和“∉”表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系.例：下列所给的对象哪些能构成集合？（1）所有的等边三角形；（2）3的近似值的全体；（3）九章教育高一年级身高在170cm 以下的学生；（4）参加2020年东京奥运会的年轻运动员；（5）平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点.3.只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.4.含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．5.集合中元素的特性：（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的.给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的.集合中的元素是不重复出现的.（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的.集合中的元素没有前后之分.（1）用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法.（2）把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.（3）用集合所含元素的共同特征表示集合的方称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.一般形式：)}({x p x ，其中x 是表示集合元素的一般符号，)(x p 是这个集合中元素的共同特征.注意：元素的共同特征尽量用数学符号表示，多个特征之间的关系应正确使用“且”与“或”描述，不能出现未被说明的字母.例：分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程022=--x x 的解集； （2）大于-1且小于6的所有整数组成的集合.【典型例题】题型一 集合中元素的特性例1 已知{}x x ,1,02∈，求实数x 的值.题型二 元素与集合的关系例2 下列说法正确的是( )A ．若N a ∈，N b ∈,则N b a ∈-B ．若+∈N x ，则N x ∈C ．若0≥x ，则N x ∈D ．若Z x ∉，则Q x ∉例3 设集合},2{Z k k x x A ∈==，},12{Z k k x x B ∈+==.若A a ∈，B b ∈，试判断b a +与B A ,的关系.题型三 集合的表示法例4 用列举法表示下列集合.（1）=A {}8,<∈=x N x x x x 且 （2）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+==为非零实数b a b b a a x x B ,, （3） ⎩⎨⎧⎭⎬⎫∈∈-==+N x Z x x x C ,36题型四 利用元素的个数求参数的取值（范围）例5 已知集合},012{2R a x ax x A ∈=++=.（1）若A 中只有一个元素，求a 的值.（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围.例6 已知三个集合}1{2+=x y x ，}1{2+=x y y ，}1),{(2+=x y y x .（1）它们是不是相同的集合？ （2）它们各自的含义是什么？【拓展阅读】 常用数集符号的由来为什么用N 表示自然数集？用Z 表示整数集？用Q 表示有理数集？用R 表示实数集？一般情况下，符号的记法都是取自英文单词的首字母.1.自然数：Natural number ，所以就用N 了；2.实数：Real number ，所以就用R 了；3.有理数：rational number ，但不能再用R 表示.由于有理数是两个整数之比的结果(商)，而商的英文是quotient ，所以就用Q 了；4.整数：whole number ，但没能用W 表示.这个涉及到德国女数学家诺特对环论的贡献.1921年她写出的《整环的理想理论》是交换代数发展的里程碑.其中，诺特在引入整数环概念的时候（整数集本身也是一个数环），由于她是德国人，德语中的整数叫做Zahlen ，于是当时她将整数环记作Z ，从那时候起整数集就用Z 表示了.第一讲 随堂练习1.用符号∈和∉填空：（1）N ____1- （2）*-N ____3 （3）Z ____21 （4）Q _____14.3 （5）Q _____π （6）Q _____5 （7）R _____22- （8）设集合C 是满足方程12+=n x （其中n 为正整数）的实数x 的集合，则C _____3，C ______5；（9）设集合B 是小于11的所有实数的集合，则B _______32，B _______21+；（10）设π23,2531+=-=y x ，集合{}Q b Q a b a m m M ∈∈+==,2，，则M x _____，M y ______. 2.方程组⎩⎨⎧=-=+9,1y x y x 的解集是( )A.(5,4)B.(5,-4)C.{(-5,4)}D.{(5,-4)}3.由实数332,,,,x x x x x -组成的集合中，元素最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.数集A 满足条件：若A a ∈，则()111≠∈-+a A a a .若A ∈31，求集合中的其它元素.5.已知集合{},2b a b a a A ++=，，，{}2,,ac ac a B =，且A 与B 是相等的集合，求c 的值.第一讲 回家作业姓名： 成绩：1. 设A,B 为两个实数集，定义集合},,,{2121B x A x x x x x B A ∈∈+==+若},3,2{},3,2,1{==B A 则集合B A +中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62. 已知b a ,是非零实数，代数式ab abb ba a++的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ）A.M ∈0B.M ∈-1C.M ∉3D.M ∈1 3. 实数构成的集合A 满足条件：若,1,≠∈a A a 则.11)(A a a f ∈-=求证： （1）若,2A ∈则A 中必还有另外两个元素；（2）A 不可能是单元素集合；（3）A 中至少有三个不同的元素.4.已知{}Z n m n m x x A ∈+==,,2. （1）设24311-=x ，2492-=x ，()23231-=x ，试判断321x x x ，，与A 之间的关系； （2）任取A x x ∈21，，试判断21212121,,x x x x x x x x -+，与A 之间的关系. （3）设{},,,2Z n m n m x x B ∈+==试判断21212121,,x x x x x x x x -+，与B 之间的关系.5.集合M 的元素为自然数，且满足：若M x ∈，则M x ∈-8，试回答下列问题：（1）写出只有一个元素的集合M ；（2）写出元素个数为2的所有集合M ；（3）满足题设条件的集合M 共有多少个？家长意见： 学生总结：。
1.1 集合论发展史
1961年，89岁高龄的罗素参与一个核裁军的游行后被拘 禁了7天。他反对越南战争，和萨特一起于1967年5月成 立了一个 “罗素法庭”，揭露美国的战争罪行。
1959年，罗素发表了《西方智慧》后， 开始了《罗素自传》的创作，并在 1967年95岁高龄之际完成了一生最优 秀的著作之一《罗素自传》。 1970年2月2日去世，一生曾四次结婚， 三次离婚。
2.
若SS，则S是不以自身为元素的集合，则根据S的
定义，有SS，与假设矛盾。
“一个理发师宣称，他不给自己刮脸的人刮脸，但
给所有不自己刮脸的人刮脸。”人们问：“理发师
先生，您自己的脸谁刮？”
伯特兰· 罗素（1872-1970） 英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、 散文作家、社会活动家
3 罗素生平
剖析康托尔集合论中的许多证明便知，几乎他所证明的 一切定理均能从如下三个公理得出: 外延公理 – 任意两个集合相等，当且仅当它们中的各个元素 都是相同的。 抽象公理 – 任给一个性质，都有一个满足该性质的对象所组 成的集合。 选择公理 – 每个集合都有一个选择函数。 Note:毛病出在抽象公理上. 1903年, Russel发现 “由不为自身的成员这一性质的所有客体的集合” 会导出矛盾来, 这就是著名的罗素悖论.
集合论创始人 康托尔 德国数学家 (Georg Cantor 1845－1918)
1845年3月3日 出生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。 1856年 与父母一起迁到德国的法兰克福。 1863年 进入柏林大学，转到纯粹的数学。 1866年 获得博士学位。 1874年 在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论 的第一篇革命性文章。数学史上一般认为这篇文 章的发表标志着集合论的诞生。
06第六讲 数学思想的现代语言——集合论
这种无限的概念是和我所珍视的传统相违背的，我 是经过多年科学上的努力，几乎违背我的意愿……， 逻辑地被迫承认的；
—— Cantor
除非我从你这位老朋友（指戴德金）口中得悉证明 是对或错，否则我的心情难以平静下来。在你未曾 证实这回事之前，我只能说，我看到，但我不相信！
—— Cantor
集合概念是对数学所研究的各种对象的抽象概括。把 一般的集合作为现代数学的研究对象，就能将数学的 各个不同领域统一起来，成为各个数学分支的基础， 同时也极大地扩大了数学的范围。 因此，在现代数学里，研究对象就不再是数和形这两 大传统、经典的研究领域，而是一般的集合、各种空 间和流形。它们都能用集合和映射的概念统一起来， 已很难区分哪些属于数的范畴，哪些属于形的范畴。
第六讲
数学思想的现代语言 ——集合论
本讲内容
集合论的思想发展 集合论的基础地位 集合论作为语言工具
集合论的思想发展
集合论是关于集合的数学理论，现已发展成为 数学基础的一个分支。 集合论被称为是“数学的基础结构”（布尔巴基 学派），它在现代数学中扮演着中心和基础的 角色。 今天，数学家眼中的“集合论”有不同的含义：
集合论的实无穷思想
集合论是实无穷观的产物，cantor 的实无穷思想是他创立集合 论的关键。 无穷的问题自古以来在数学和哲学中占有特别重要的位置。 The infinite! No other question has ever moved so profoundly the spirit of man. Quoted in J R Newman, The World of Mathematics (New York 1956). 無限！再沒有其他問題如此深 刻地打動過人類的心靈。 “从来沒有任何问題能象无限那样，深深地触动人们的情感；沒 有任何观念能象无限那样，曾如此卓有成效地激励着人们的理 智；也沒有任何概念能象无限那样，是如此迫切地需要予以澄 清。” “数学是研究无穷的科学”
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，它研究集合的性质、运算和关系。
自从19世纪末集合论的基本概念被提出以来，经历了多个阶段的发展和完善。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括其起源、基本概念的提出、公理化建立以及后续的发展和应用。
二、起源集合论的起源可以追溯到19世纪末的欧洲，当时数学家们开始思考集合的性质和运算规律。
在这个时期，集合的概念还不够明确和严格，各种对集合的定义和解释存在争议。
然而，这个时期的数学家们为后来集合论的发展奠定了基础。
三、基本概念的提出20世纪初，数学家们开始提出集合论的基本概念，为集合论的建立奠定了基础。
其中最重要的概念是集合、元素和包含关系。
集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合之间的包含关系是集合论的核心概念，它描述了一个集合是否包含另一个集合的所有元素。
四、公理化建立20世纪初到中期，数学家们开始试图通过公理化的方式建立集合论的基础。
公理化是一种严格的逻辑推理方法，通过一组基本公理和推理规则来推导出集合论的定理。
在这个过程中，数学家们提出了一系列公理系统，如Zermelo-Fraenkel公理系统和von Neumann-Bernays-Gödel公理系统，用于描述集合的性质和运算规律。
五、后续的发展和应用集合论的公理化建立为后续的发展和应用打下了坚实的基础。
在20世纪中后期，集合论得到了广泛的应用，不仅在数学领域发挥着重要作用，还在计算机科学、物理学、统计学等其他学科中得到了应用。
例如，集合论在数据库的设计和查询中起到了关键作用，它提供了一种有效的数据组织和检索方式。
六、结论集合论作为数学的一个重要分支，经过多个阶段的发展和完善，已经成为现代数学的基石之一。
通过对集合的性质、运算和关系的研究，集合论为数学家们提供了一种严谨的推理方法和工具，为其他学科的发展和应用提供了理论基础。
集合论的发展历程不仅反映了数学思想的演进，也为我们理解和应用数学提供了重要的参考。
集合论的发展
集合论的发展引言概述：集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和操作。
自从集合论的提出以来，它在数学和其他学科中都发挥了重要作用。
本文将从集合论的发展历程、基本概念、公理系统、应用领域和未来发展等五个方面进行详细阐述。
一、集合论的发展1.1 集合论的起源- 集合论最早起源于古希腊数学，例如毕达哥拉斯学派的数学思想中就包含了集合的概念。
- 17世纪，随着数学的发展，集合论逐渐成为一门独立的学科。
1.2 集合论的奠基人- 19世纪末，德国数学家乔治·康托尔（Georg Cantor）被公认为集合论的奠基人。
- 康托尔通过引入无穷集合和不可数集合的概念，推动了集合论的发展。
1.3 集合论的重要里程碑- 康托尔提出了集合的基数概念，引入了集合的比较和运算。
- 康托尔的对角线论证证明了实数集合是不可数的。
- 集合论的公理化建立了集合论的基础，确立了集合论的严密性。
二、集合论的基本概念2.1 集合的定义- 集合是由确定的元素构成的整体，元素之间没有顺序和重复。
- 集合可以用罗马字母大写字母表示，例如A、B、C。
2.2 集合的运算- 并集：将两个或者多个集合中的所有元素合并在一起。
- 交集：两个集合中共同拥有的元素组成的集合。
- 差集：从一个集合中去除另一个集合中的元素。
2.3 集合的关系- 包含关系：一个集合的所有元素都属于另一个集合。
- 相等关系：两个集合的元素彻底相同。
三、集合论的公理系统3.1 朴素集合论- 朴素集合论是集合论的一种直观描述，没有明确的公理系统。
- 朴素集合论存在悖论，例如罗素悖论，导致了集合论的公理化。
3.2 公理化集合论- 公理化集合论通过引入公理系统，解决了朴素集合论的悖论问题。
- 公理系统包括包含公理、相等公理、分离公理等。
3.3 集合论的公理化建立了集合论的严密性和一致性。
- 公理化集合论为集合论提供了一个严密的基础。
- 集合论的公理系统可以通过逻辑推理来证明集合论的定理。
集合论的历史
集合论1、集合论的历史。
集合论是一门研究数学基础的学科。
集合论是现代数学的基础，是数学不可或缺的基本描述工具。
可以这样讲，现代数学与离散数学的“大厦”是建立在集合论的基础之上的。
21世纪数学中最为深刻的活动，就是关于数学基础的探讨。
这不仅涉及到数学的本性，也涉及到演绎数学的正确性。
数学中若干悖论的发现，引发了数学史上的第三次危机，而这种悖论在集合论中尤为突出。
集合论是德国著名数学家康托尔(G.Cantor)于19世纪末创立的。
十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。
在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。
其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。
十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。
1874年，德国数学家康托尔在著名的《克雷尔数学杂志》上发表了关于无穷集合论的第一章革命性文章。
从1874年到1884年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。
他对集合所下的定义是：把若干确定的、有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，，其中各事物称为该集合的元素。
没想到集合论一诞生就遭到了许多数学家的激烈反对，当时的权威数学家克罗内克(Kronecker)非常敌视康托尔的集合论思想，时间达整整十年之久，法国数学大家庞加莱(Poincare)则预测后一代人将把集合论当作一种疾病。
在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。
然而乌云遮不住太阳，经历二十余年后，集合论最终获得了世界公认。
到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。
数学家们乐观地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。
数学史题库
数学史考试重点1. 简述数学史的定义及数学史课程的内容。
答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系。
数学史课程的功能可以概括成以下四部分:（1）掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识，更好的从整体上把握数学。
（2）复习已有知识：按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。
（3）了解新的知识：通过学习数学各学科的发展，了解没有学过的学科的内容。
（4）受到思想教育：通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质，陶冶数学情操。
2. 简述数学内涵的历史发展。
答：数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段。
A 数学是量的科学：公元前4世纪。
B 数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学;19世纪。
C 数学研究各种量之间的关系与联系：20世纪50年代。
D 数学是作为模式的科学：20世纪80年代。
1. 简述河谷文明及其数学。
答：历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明”，因为这些国家是在河流的入海口建立的。
尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明；印度河和恒河孕育了印度文明。
埃及、美索不达米亚的数学产生较早，纪元前已经衰微，而印度、中国的数学崛起较晚，却延续至中世纪。
2. 简述纸草书与泥板文书中的数学。
答：古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸存至今，被称为纸草书。
莱茵德纸草书（现存于伦敦大英博物馆）中有84个数学题目；莫斯科纸草书（现存于俄国普希金精细艺术博物馆）中有25个数学题目；还有其他纸草书。
纸草书中的数学知识包括：（1）算术，包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；（2）几何，包括面积、体积计算和四棱台体积公式。
美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今，被称之为泥板文书。
出土50万块其中数学文献300块。
泥板文书中的数学包括：（1）记数，包括偰形文、60制、位值原理；（2）程序化算法，包括û1.414213；(3)数表；(4)x²–px–q=0 ,x³=a,X³+X²=a (5)几何，测量、面积、体积公式、相似形、勾股数值。
集合论的发展历程
集合论的发展历程集合论发展历程：古典集合论：说到古典集合论，我们不得不先介绍一下其背后贡献最大的数学家——康托尔（为数学而“疯”的数学家），他是古典集合论的创始人，完善了古典集合论的大部分基础理论，对于集合论的产生，占有举足轻重的地位。
康托尔于1845年3月3日出生于俄国圣彼得堡，从小对数学有着浓厚的乐趣，1863年进入柏林大学，之后取得哈勒大学的教授职位，从此一直从事着集合论的创立工作。
黎曼于1854年在论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中提出函数的三角级数表示的唯一性问题，1870年，康托尔受邀海涅解决这一问题，他在1871-1872年间，逐步把三角级数展开的唯一性条件推广到允许例外值成为无穷的情况，认识到了无穷集合的重要性，这是集合论产生的一个直接原因。
1873年，康托尔在于戴金德的来信中，宣布证明了实数集是不可数的，这一年被称为集合论的诞生年。
1874年，康托尔在论文中断言：所有实代数数的集合是可数的，所有实数的集合是不可数的，因此非代数数的超越数是存在的，而且远远多于代数数。
康托尔的证明引起了许多数学家的反驳。
但是康托尔冒着被称为“神经病”的称号，依然坚持着自己对于集合论的研究。
1878年，康托尔提出一一对应的概念，作为判断两个集合对等的充要条件。
所谓以一一对应，可以理解为：两个集合的元素通过映射，可以建立满射关系，一一对应包含了集合元素基数（也称势，即元素个数）相等，这是研究无穷集合的一个重要概念。
用阿列夫0代表自然数集的势，用c代表实数集的势，运用一一对应比较各种无穷集合的大小，其中，无穷集合与有限集合最大的区别在于：无穷集合可以与其子集建立一一对应关系，例如整数与偶数建立一一对应关系，两者的势是相等的。
1883年，康托尔证明了康托尔定理：任何集合的势都小于其幂集（由集合的子集组成的集合）的势，揭示了无穷有无穷多个层次。
并且提出了著名的“连续统假设”：可数集的势与不可数集的势之间不存在其他势。
集合论的创立与发展
集合论的创⽴与发展三次数学危机与集合论的创⽴⼀、前⾔每⼀门学科都有其⾃⼰的历史。
数学，常被认为是⼀门完善的⾃然学科也有着⾃⼰的发展历程。
同⼀切事物⼀样，数学在其发展的过程中，并⾮是⼀帆风顺的，⽽是经历了很多次问题的出现和解决才逐步发展起来的。
⽆论是概念还是体系，内容还是⽅法，理论还是应⽤，都是伴随着各种问题的⽃争和解决⽽进步和发展的。
⽐如⽆理数，连续，⽆穷等概念的出现，没⼀个新问题的提出都刺激着数学的发展。
1、数学危机虽然总是不断的有新问题的出现，但是就数学的整个历史发展历程来说，曾遇到过三次数学危机。
第⼀次危机是由⽆理数的发现引发的；第⼆次危机是由于⽆穷⼩量引发的；第三次危机则是由罗素悖论产⽣的。
每⼀次危机的出现都猛烈冲击着原有的理论体系，都是对原有理论体系内在⽭盾的揭⽰，通过对其中逻辑⽭盾的发现，启发⼈们对原有理论的缺陷或局限性进⾏思考。
危机的出现刺激着⼈们更加深⼊的研究，⽽每⼀次危机的解决都是对科学的进⼀步的改正、完善、补充和促进，对数学的发展有重要的意义，也必将推动数学的快速发展。
正如⼈们常说，“危机是⼀种激化了的⾮解决不可的⽭盾冲突，每⼀次危机都⼤⼤推动了数学的发展。
”2、集合论简介集合论作为整个现代数学的基础，是数学中有着极为重要的作⽤。
集合论是19世纪70年代由德国数学家康托尔G.Cantor 1845 - 1918创⽴的。
集合论到现在已经被应⽤到了各个科学领域，并成为了数学的基础，产⽣了很多数学分科。
3、集合论与数学危机的联系集合论的出现，使得第⼀第⼆次数学危机得到了很好的解决，成为了其理论基础。
⽽第三次数学危机的出现对作为根基的集合论提出了⽭盾，从⽽形成了更⼤的危机。
⼆、三次数学危机1、第⼀次数学危机第⼀次数学危机是由希泊索斯（Hippasis ）对⽆理数的发现⽽引发的。
在公元前580～568年之间的古希腊，当时“万物皆数”是在学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派的⼀个信条。
他们认为⼀切都可以归结到整数或整数⽐，也就是说世上只有有理数。
集合论的发展历史和应用
集合论的发展历史和应用嘿，朋友！想象一下这样一个场景：在一个宽敞明亮的教室里，一群学生正围着一位老师，眼睛里充满了好奇和求知的渴望。
老师在黑板上写下了几个神秘的符号和术语，其中就有“集合论”这三个字。
集合论，这听起来是不是有点高深莫测？但其实它和我们的生活有着千丝万缕的联系。
要说集合论的发展历史，那得从很久很久以前说起。
在 19 世纪，有一位名叫康托尔的数学家，他就像一位勇敢的探险家，踏入了这个未知的领域。
当时，数学界的很多人对他的想法并不理解，甚至还嘲笑他。
可康托尔并没有被这些负面声音打倒，他坚信自己的研究有着重大的意义。
康托尔不断地探索和思考，他发现集合这个概念可以用来解决很多数学难题。
这就好比我们在黑暗中找到了一把神奇的钥匙，能够打开一扇扇紧闭的大门。
随着时间的推移，集合论逐渐发展壮大。
越来越多的数学家开始认识到它的价值，并且不断地完善和拓展它。
那集合论到底有啥用呢？这用处可大了去啦！比如说，在计算机科学中，集合论就像是一个幕后英雄。
当我们在电脑上进行文件分类整理的时候，这背后其实就运用了集合的概念。
我们把相同类型的文件放在一个“集合”里，方便查找和管理。
这不就像我们把自己的玩具按照种类放进不同的箱子里一样简单明了吗？在统计学中，集合论也发挥着重要作用。
统计数据的时候，我们把具有某些共同特征的数据看作一个集合，然后进行分析和处理。
这能帮助我们更清晰地了解数据的分布和规律。
再想想我们的日常生活，比如去超市购物。
我们会把要买的东西分成不同的类别，比如蔬菜类、水果类、日用品类等等。
这难道不是在运用集合的思想吗？集合论就像一座桥梁，连接着数学的各个分支，让数学的世界更加完整和有序。
它又像一把万能钥匙，能打开许多知识领域的大门，让我们看到更广阔的天地。
所以说，集合论可不是什么遥不可及的高深学问，它就在我们身边，默默地为我们的生活和科学的进步贡献着力量。
它的发展历史充满了挑战和突破，而它的应用更是无处不在，让我们的世界变得更加美好和便捷！。
集合论发展史
集合下课了，老师老远的对教室外的同学喊：“喂，那几个高个子的同学来办公室一趟！”只见教室外几个一米八零左右的同学面面相觑，不知谁该去！同学们，刚才这一幕可能在我们的生活中也会经常出现。
但是，你知道老师的这句话在数学上有什么问题吗？事实上，“高个子的同学”这类人的分类标准是不清晰的。
等我们学完了《集合》这一章，大家就会明白。
集合是数学的语言和工具，是继续学习数学知识的基础，让我们走进集合，学习集合吧！【数学史话】数学的伊甸乐园——康托创立集合论集合论是19世纪末德国数学家乔治·康托创造的。
由于它深入到数学的每一个角落，所以成为一切数学分支的基础。
英国哲学家、数学家罗素称赞康托的发现“或许是我们这个时代可引以为自豪的最伟大的事件”。
（一）勤勉的康托早在1638年，意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题，全体自然数与全体平方数，谁多谁少？不仅伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不了这个问题。
谁又会想到，这一问题却为现代数学基础——集合论的诞生播下了种子。
乔治·康托于1845年3月3日出生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。
1856年，康托全家迁往德国法兰克福。
康托一生主要时光是在德国度过的。
康托弟妹六人，他是老大。
父亲从小就给他们灌输宗教方面的教育，并培养他们自信、自强和奋斗精神。
父亲在给15岁的康托的一封信中写到：“你的父亲，或者说，你的父母以及在俄国、德国、丹麦的其他家人都在注视着你，希望你将来能成为科学地平线上升起的一颗明星”。
这封信始终陪伴着康托，成为康托终生奋斗的一个动力。
年轻的康托在一所寄宿学校读书，操行评语上写着：“他的勤勉和热情堪称典范，在初等代数和三角方面成绩优异，其行为举止值得赞扬。
”他是一个有很高天赋，全面发展的学生，在数学方面尤为突出。
但父亲并不希望儿子献身纯粹数学，希望儿子能够学工程学。
1862年，康托上了苏黎世大学，次年又转入柏林大学学习。
当时，维尔斯特拉斯、库默尔等著名数学家都在柏林大学任教。
谈谈集合论的发展历程
谈谈集合论的发展历程摘要：集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的发展历程和数学史上最有争议的人物之一康托尔是联系在一起的。
他是集合论的创立者，19世纪末20世纪初德国伟大的数学家。
他从事的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和传统的理解。
但数学的发展最终证明康托尔是正确的。
集合论不仅影响了现代数学，也深深影响了许多方面。
关键词：生平背景建立意义1、康托尔(1846—1918)的生平1846年3月3日，乔治·康托尔生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭。
1856年康托和他的父母迁到德国法兰克福。
1863年进入了柏林大学。
当时这里正在形成一个数学教学与研究中心。
他受到了影响而转到纯粹的数学。
1869年他取得在哈勒大学任教的资格，随后升为副教授，在1879年被升为正教授。
1874年康托发表了关于无穷集合理论的一篇开创性文章。
数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生。
在此以后康托研究的主流就放在集合论上，他一直研究到1897年，过度的思维劳累及强列的外界刺激使康托患了精神分裂症。
这一难以消除的病根在他后来几十年间—直影响着他的生活。
1918年1月6日，康托在哈勒大学的精神病院中去世。
2、集合论诞生的背景集合论诞生原因来自现今数学分析这门课程。
在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，还使无穷概念在数学中信誉扫地。
19世纪上半叶，柯西(1789—1857)给出了极限概念的精确描述。
在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。
19世纪发展起来的极限理论解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。
但并没有彻底完成微积分的严密化。
19世纪后期的数学家们发现产生逻辑矛盾的原因在奠定微积分基础的极限概念上。
柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，只是建立在纯粹严密的算术的基础上。
很多数学家致力于分析的严格化。
这一过程都涉及到对微积分的基本研究对象——连续函数的描述，涉及关于无限的理论。
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集合论的发展史
集合是什么，通俗地说它是一些元素组成的集体，是一些确定而又可分的“物”的集体。
集合并不指具体的“物”，而是由物的集体所组成的新对象。
20世纪以来的研究表明，不仅微积分的基础——实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。
因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。
现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。
集合论最重要的创建者是康托尔（Georg Cantor，1845—1918）。
在19世纪人们很少怀疑微积分的基础应该建立在严密的实数理论上，而严密的实数理论可以由集合论推出。
但是微积分本质上是一种“无限数学”。
那么无限集合的本质是什么？它是否具备有限集合所具有的性质？
从19世纪60年代起，法国数学家康托尔承担了这一工作，他清楚地看到以往数学基础中的问题，都与无穷集合有关。
康托尔的集合论的建立，不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑，甚至还是人类思维发展史上的一座里程碑。
它标志着人类经过几千年的努力，终于基本上弄清了无限的性质，找到了制服无限“妖怪”的法宝。
苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫说：“康托尔的不朽功绩在于向无限冒险迈进。
”德国数学大师伯特赞扬康托尔的理论是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动最美的表现之一”。
然而事情并非总是顺利的。
1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。
开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。
1903年英国哲学家兼数学家罗素（Russell, B.A.W,1872—1970）提出了一个悖论，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。
可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。
试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。
根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。
还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。
所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。
罗素悖论以其简单、明确震动了整个西方数学界和逻辑学界，逻辑学家费雷格收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术基础法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难甚的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。
当这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。
”弗雷格对罗素悖论的迅速反应是惊恐地感到：“算术开始受难。
”
数学史上第三次危机来临了，数学王国的居民们惶惶不安，因为数学家们一贯追求严密性，一旦发现他们自称绝对严密的数学的基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想像，他们是多么震惊。
震惊之余，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其他有关的“悖论”。
现在，各种成功地解决悖论的方案都对集合的“无限扩张”进行了限制，因此现在任何一种形式的集合论，实质上都包
含一个“限制大小”的公理。
集合论是现代数学中重要的基础理论。
它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。
几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。
所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深远的影响。