高中不定方程
高中数学解题技巧之不定方程求解
高中数学解题技巧之不定方程求解不定方程在高中数学中是一个重要的概念，涉及到求解方程中的未知数的取值范围。
本文将介绍不定方程的求解方法和一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。
一、不定方程的定义和基本概念不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的取值范围不确定，需要通过一定的条件来求解。
常见的不定方程包括线性不定方程、二次不定方程等。
例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7，其中x和y为未知数。
这个方程的解是指满足条件的x和y的取值，使得等式成立。
二、线性不定方程的求解方法1. 列举法：对于简单的线性不定方程，可以通过列举的方法来求解。
例如，解线性不定方程3x + 4y = 7，我们可以列举出一些满足条件的整数解，如(1, 1)、(3, 1)等。
通过观察这些解的规律，我们可以发现解的特点，进而得到一般解。
2. 欧几里得算法：对于形如ax + by = c的线性不定方程，可以利用欧几里得算法来求解。
首先，我们需要找到一个特殊解(x0, y0)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。
例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7。
我们可以先找到一个特殊解(3, -2)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。
具体步骤如下：步骤一：利用欧几里得算法求出3和4的最大公约数d，同时求出一组整数解(u0, v0)，使得3u0 + 4v0 = d。
步骤二：将方程两边同时除以d，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。
步骤三：将特殊解(3, -2)代入上式，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。
通过观察我们可以发现，方程的通解为x = 3 + 4k，y = -2 - 3k，其中k为整数。
三、二次不定方程的求解方法二次不定方程是指含有二次项的不定方程，例如x^2 + y^2 = 25。
对于这类方程，我们可以利用一些特定的方法来求解。
1. 分类讨论法：对于形如x^2 + y^2 = n的二次不定方程，我们可以通过分类讨论的方法来求解。
高中不定方程
不 定 方 程【知识精要】形如x +y =4，x +y +z =3，yx 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理： 定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解；（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形．如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解．定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩⎨⎧-=+=ak cy y bkcx x 00（k 为整数）．对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解； （2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解； （3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解． 【例题精讲】一 二元一次不定方程例1．求方程4x +5y =21的整数解．解：因为方程4x +5y =1有一组解⎩⎨⎧=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解⎩⎨⎧=-=2121y x ．又因为方程4x +5y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 45（k 为整数），所以方程4x +5y =21的所有整数解为⎩⎨⎧-=+-=k y kx 421521（k 为整数）．说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解⎩⎨⎧=-=51y x ，从而得到4x +5y =21的通解⎩⎨⎧-=+-=k y kx 4551（k 为整数）．练习1．求方程5x +3y =22的所有正整数解．解：方程5x +3y =1有一组解为⎩⎨⎧=-=21y x所以方程5x +3y =22有一组解为⎩⎨⎧=-=4422y x又因为5x +3y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y kx 53，k 为整数所以方程5x +3y =22的所有整数解为⎩⎨⎧+-=-=445223k y k x ，k 为整数由⎩⎨⎧>+->-04450223k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<>544322k k ，所以k =8，原方程的正整数解为⎩⎨⎧==42y x ．说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k 的取值范围．若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法．例2．求方程63x +8y =－23的整数解．解：（1）用x 、y 中系数较大者除以较小者．63=8×7+7． （2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1 （3）重复第二步，直到余数为1为此． （4）逆序写出1的分解式． 1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63． （5）写出原方程的特解和通解．所以方程63x +8y =1有一组特解⎩⎨⎧=-=81y x ，方程63x +8y =－23有一组特解⎩⎨⎧⨯-==23823y x ，所以原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯-=+=k y kx 63238823，k 为整数．练习2．求方程37x +107y =25的整数解． 解：107=2×37+3337=1×33+4 33=4×8+1所以1=33－4×8=33－（37－1×33）×8=37×（－8）+33×9=37×（－8）+（107－2×37）×9=107×9+37×（－26）所以方程37x +107y =1有一组整数解为⎩⎨⎧=-=926y x ，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯=+⨯-=k y kx 372591072526，k 为整数．二 多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明．例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解． 解：原方程可化为3x +2y +9z =25．将①分为⎩⎨⎧=+=+25923z t ty x②的一组解为⎩⎨⎧-==t y tx ，所以②的所有整数解为⎩⎨⎧--=+=1132k t y k t xk 1为整数．③的一组解为⎩⎨⎧==27z t ，所以③的所有整数解为⎩⎨⎧-=+=22297k z k tk 2为整数．将⑥代入④⑤，消去t 得，⎪⎩⎪⎨⎧-=---=++=212122397297k z k k y k k x （k 1，k 2为整数）．练习3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？解：设红、黄、蓝球各摸出x 、y 、z 个，则⎩⎨⎧=++=++213210z y x z y x )2()1( ②③④ ⑤⑥⑦（2）－（1）消去x 得y +2z =11 （3）（3）的通解为⎩⎨⎧-=+=kz ky 521，k 为整数．所以x =10－y －z =4－k ，当k =0时，x 最大，此时y =1，z =5． 所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．三 其他不定方程 例4．求不定方程2111=+y x 的正整数解． 解：原式变形为2x +2y =xy ，即（x －2）（y －2）=4所以⎩⎨⎧=-=-2222y x 或⎩⎨⎧=-=-1242y x 或⎩⎨⎧=-=-4212y x解得⎩⎨⎧==44y x 或⎩⎨⎧==36y x 或⎩⎨⎧==63y x ．练习4．求方程x 2－y 2=105的正整数解．解：（x +y ）（x －y ）=105=3×5×7所以⎩⎨⎧=-=+1105y x y x 或⎩⎨⎧=-=+335y x y x 或⎩⎨⎧=-=+521y x y x 或⎩⎨⎧=-=+715y x y x解得⎩⎨⎧==5253y x 或⎩⎨⎧==1619y x 或⎩⎨⎧==813y x 或⎩⎨⎧==411y x ．例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解解：原方程可变形为y 2+3x 2y 2－30x 2－10=517，即：（y 2－10）（3x 2+1）=3×13×13． 由于3（3x 2+1），所以3｜（y 2－10）．又因为3x 2+1>1，所以y 2－10>0，经实验可知y 2－10=39，3x 2+1=13． 所以x =2，y =7．说明：本题虽然简单，但也综合运用了恒等变形、估算等多种方法．练习5．求证方程x 3+113=y 3没有正整数解．解：假设方程有正整数解，则由x 3+113=y 3得（y －x ）（y 2+xy +x 2）=113． 由于y >x ，y >11，所以y 2+xy +x 2>112，于是y －x =1，y 2+xy +x 2=113． 所以（x +1）2+x （x +1）+x 2=3x 2+3x +1=113=1331，即3（x 2+x ）=1330． 这与31330矛盾，所以原方程没有正整数解．例6．求方程x +y =x 2－xy +y 2的全部整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程：x 2－（y +1）x +（y 2－y ）=0． 若此方程有解，则△=（y +1）2－4（y 2－y ）≥0，即3y 2－6y －1≤0．解得：1－3321332+≤≤y ，所以y =0，1或2． 将y 的值代入原方程可解得：⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==01y x ，⎩⎨⎧==10y x ，⎩⎨⎧==12y x ，⎩⎨⎧==21y x ，⎩⎨⎧==22y x ．练习6．求方程x 2+y 2=2x +2y +xy 的所有正整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程x 2－（y +2）x +（y 2－2y ）=0． 若此方程有整数解，则△=（y +2）2－4（y 2－2y ）为完全平方数． 又因为△=－3（y －2）2+16∈[0，16]，所以△=0，1，4，9或16． 解得y =2或4．代入原方程解得⎩⎨⎧==24y x ，⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧==44y x ．例7．求方程x 6+3x 3+1=y 4的整数解．解：（1）当x >0时，x 6+2x 3+1<y 4<x 6+4x 3+2，即（x 3+1）2<y 4<（x 3+2）2所以x 3+1<y 2<x 3+2，而x 3+1与x 3+2为两个相邻整数，中间不可能有其他整数，这说明x >0不成立．（2）当x =0时，y 4=1，y =±1．（3）当x =－1时，y 4=－1，y 无实数解．（4）当x ≤－2时，x 3+1<0，所以x 6+4x 3+2<y 4<x 6+4x 3+1，即（x 3+2）2<y 4<（x 3+1）2 所以－（x 3+2）<y 2<－（x 3+1），与（1）类似可证x ≤－2不成立．综上所述，⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧-==10y x ．说明：本题先将原方程变形，利用不等式缩小x 的取值范围，再进行求解．练习7．求方程x 2+x =y 4+y 3+y 2+y 的整数解．解：原方程可变形为4x 2+4x +1=4y 4+4y 3+4y 2+4y +1． ∴（2x +1）2=（2y 2+y ）2+3y 2+4y +1 =（2y 2+y ）2+2×（2y 2+y ）+1+（－y 2+2y ） =（2y 2+y +1）2+（－y 2+2y ）（1）当⎩⎨⎧<+->++02014322y y y y ，即当y <－1或y >2时， （2y 2+y ）2<（2x +1）2<（2y 2+y +1）2而2y 2+y 与2y 2+y +1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解． （2）当y =－1时，x 2+x =0，所以x =0或－1． （3）当y =0时，x 2+x =0，所以x =0或－1． （4）当y =1时，x 2+x =4，此时x 无整数解． （5）当y =2时，x 2+x =30，所以x =－6或5．综上所述：⎩⎨⎧-==10y x ，⎩⎨⎧-=-=11y x ，⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧=-=01y x ，⎩⎨⎧=-=26y x ，⎩⎨⎧==25y x ．说明：本题与例7的解法基本思想相同，但各种条件更隐蔽，需要较高的洞察力．。
不定方程结论
不定方程结论不定方程是指未知数在方程中有多个解的方程。
在数学中，不定方程是一个经典的研究对象，它在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
本文将从不定方程的定义、求解方法以及一些重要的结论等方面进行探讨。
我们来看一下不定方程的定义。
不定方程一般形式为：$ax + by = c$，其中$a$、$b$、$c$为已知数，$x$、$y$为未知数。
不定方程的求解即是要找到$x$、$y$的所有满足方程的整数解。
根据不定方程的定义，我们可以总结出以下几个重要的结论：1. 整数解存在性：对于不定方程$ax + by = c$，存在整数解的充要条件是$c$是$a$和$b$的最大公约数$gcd(a,b)$的倍数。
换句话说，如果$c$不能被$gcd(a,b)$整除，那么方程$ax + by = c$就没有整数解。
2. 通解的存在性：对于不定方程$ax + by = c$，如果存在整数解$(x_0, y_0)$，那么该方程的任意一个解都可以表示为$(x_0 + \frac{b}{gcd(a,b)}t, y_0 - \frac{a}{gcd(a,b)}t)$，其中$t$为任意整数。
这个解的形式被称为不定方程的通解。
3. 整数解的个数：对于不定方程$ax + by = c$，如果存在整数解$(x_0, y_0)$，那么该方程的整数解的个数为$gcd(a,b)$的倍数。
具体来说，如果$(x_0, y_0)$是方程的一个解，那么方程的整数解个数为$gcd(a,b)$。
4. 解的唯一性：对于不定方程$ax + by = c$，如果存在整数解，那么解不一定是唯一的。
具体来说，方程的整数解可以表示为$(x_0 + \frac{b}{gcd(a,b)}t, y_0 - \frac{a}{gcd(a,b)}t)$，其中$t$为任意整数。
因此，方程的解具有无穷多个。
除了上述结论外，不定方程还有一些其他的性质和特点：1. 不定方程的求解可以通过扩展欧几里得算法来实现。
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。
解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。
本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。
1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。
首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。
然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。
这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。
2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。
对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。
这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。
3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。
将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。
这个方法适用于求解模运算的不定方程。
4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。
对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。
此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。
这个方法适用于求解一元不定方程的情况。
5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。
对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。
第十六讲 一次不定方程
第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。
2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。
3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。
例如，方程2x+4y=5没有整数解。
（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。
例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。
定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。
二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。
(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。
（1）观察法； （2）辗转相除法。
练习：求4x+5y=7的整数解。
例3、求方程37x+107y=25的整数解。
例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。
例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。
例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。
例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。
高一联赛班春季班第13讲初等数论——不定方程
第 13 讲初等数论不定方程13.1 不定方程不定方程是指求含有多个未知数的方程的整数解的问题. 这类问题，常常需要进行较高技巧的代数变形，同时亲密注意方程中隐含的各样数论性质，综合性很强，是数论命题中一个重要部分.本讲研究一些较为基础的不定方程，这些方程的求解过程中代数方法( 代数变形、因式分解或许不等式控制等 ) 所占比率较大，只用到较为浅易的数论知识.【例 1】求全部正整数n ，使得 n318n2115n391 为正立方数．【例 2】求方程的全部整解：y2 2 y x420x3104x240x2015 .【例 3】设 n 是一个三位数（100 n 999）.求全部的n，使得n2的末三位数等于n .【例 4】求全部的三元整数组(x, y, z) ，使得 x3y3z3 3 xyz2015 .【例 5】设p是质数，整数x, y, z 知足0 x y z p . 若 x3 , y3 , z3除以p的余数相等，证明：x y z | x2y2z2 .【例 6】已知 34! 295 232 799 039 604 cd0 847 618 609 643 5ab 000 000 .求 abcd【例 7】求全部质数p ,使得p x y31建立，此中x, y 为正整数.【例 8】方程x y201500 有多少对整数解(x, y) ？【例 9】求出全部的奇质数p ,使得p |1p 1 2 p 1...2015 p 1 .实战操练【操练 1】设 P x46x311x23x 31 ，求使P为完整平方数的整数x 的值．【操练 2】求方程的全部整数解：(m2n)( m n2 ) (m n)3【操练 3】求全部的两位正整数a, b ，使得 100a b,201a b 均为四位数，且均是平方数【操练 4】求有多少个正整数对(m, n) ，使得 7m 3n102004，且 m | n .【操练 5】求全部这样的 2 的幂，将其（十进制表示中的）首位删去后，剩下的数还是一个 2 的幂．【操练 6】求方程y2 1 x x2x3x4的全部整数解．。
不定方程组的解法
不定方程组的解法1. 引言在高中数学中，不定方程组通常是初等代数学习中的一部分。
不定方程组是指方程组中未知数的个数等于或大于方程的个数，同时这些方程中的系数不全为常数的方程组。
解决这些方程组的问题通常是找到一组合适的值满足所有方程，即找到所有未知数的值，这些值称为方程组的解。
本文将介绍几种不定方程组的解法。
2. 全消元法全消元法是求解不定方程组的一种基本方法。
它的基本思想是通过将方程组中一部分未知数用其他未知数来表示，逐步消去所有未知数的系数，以达到求解的目的。
举例来说，考虑以下不定方程组：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x-y+z=1\\3x+y+2z=8\end{cases}$$我们可以使用全消元法解决这个问题。
我们可以先使用第二个方程的系数消除第一和第三个方程中的$x$系数。
消去后，方程组变为：$$\begin{cases}x+4y=4\\-9y-4z=-10\\5y+4z=4\end{cases}$$然后，我们使用第一和第三个方程的系数消除$y$系数。
消去后，方程组变为：$$\begin{cases}29x=-8\\-29z=-42\end{cases}$$这里$x=\frac{-8}{29}$，$z=\frac{42}{29}$。
通过代回，我们可以求出$y$。
因此，由于全消元法，我们可以找到方程组的唯一解。
3. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法也是一种求解不定方程组的方法。
它的基本思想是通过加减消元和除法操作来将方程组转化为阶梯形矩阵，从而解决问题。
举例来说，考虑以下不定方程组：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x-y+z=1\\3x+y+2z=8\end{cases}$$我们可以使用高斯-约旦消元法解决这个问题。
我们可以先使用第一个方程的系数消除第二个方程中的$x$系数。
消去后，方程组变为：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\-5y-z=-11\\3x+y+2z=8\end{cases}$$然后，我们使用第二个方程的系数消除第三个方程中的$x$系数。
不定方程三种解法
不定方程三种解法不定方程是指方程中含有一个或多个未知量，并且在给定范围内存在多个整数解的方程。
解决不定方程的问题在数学中具有重要意义，因为它们可以应用于各种实际问题，如商业、工程和密码学等领域。
在这篇文章中，我们将讨论三种解决不定方程的常见方法。
## 1. 穷举法穷举法是最简单的解决不定方程的方法之一。
它的原理是通过穷举所有可能的解来找到符合方程要求的整数解。
首先，我们需要确定未知数的取值范围。
然后，使用循环结构，从最小值开始逐个尝试，直到找到满足方程条件的解或超出最大值。
例如，考虑求解方程x + y = 8，其中x和y是整数。
我们可以通过以下伪代码来实现穷举法：```for x in range(1, 9):for y in range(1, 9):if x + y == 8:print("x =", x, "y =", y)```通过这个方法，我们可以得到方程的所有整数解：(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)和(8, 0)。
然而，穷举法在大规模的问题上效率较低，因为它需要遍历所有可能的解，而不是有针对性地解决问题。
## 2. 辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里德算法，用于求解关于两个未知数的不定方程。
这种方法的关键思想是利用两个整数的最大公约数来解决方程。
例如，考虑求解方程ax + by = c，其中a、b和c是已知整数，x和y是未知数。
我们可以使用辗转相除法来求解。
首先，我们需要计算a和b的最大公约数。
然后，检查c是否可以被最大公约数整除。
如果是，则方程有解，否则方程无解。
如果方程有解，我们可以使用扩展欧几里德算法来找到x和y的值。
扩展欧几里德算法可以通过递归方式计算出未知数的值。
辗转相除法是一种较为高效的方法，因为它只需要计算最大公约数和进行有限次的递归运算。
## 3. 数论方法数论方法是解决特定类型不定方程的一种方法。
赣县中学高中数学竞赛数论第11十一讲不定方程(三
第二十一讲 不定方程（三）：求不定方程的一些方法1、 公式法解不定方程：例如，二元一次不定方程、勾股方程、佩尔方程。
2、 同余分析法解不定方程在方程两边取适当的模后，往往能找到方程的解应满足的某些必要条件，甚至推出方程有无整数解。
例1、证明：不定方程68322=-+z y x 没有整数解。
3、 不等式估计法不等式估计法是指通过对所考察的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，解这些不等式就得到未知数取值的范围，从而达到求解目的的方法。
例2、求方程6133+=-xy y x 的正整数解。
例3、求出所有满足方程xyz zx yz xy 4)(5=++的正整数z y x ,,。
4、 代数恒等变形解不定方程:例如，因式分解、配方、换元等。
①、 因式分解法：将方程的一边化为常数，作质因数分解，另一边含未知数的代数式也作因式分解，考查各个因式的取值情况，再配对求解。
例4、求方程073222=--+y x y x 的整数解。
例5、求不定方程24222222222444+++=++x z z y y x z y x 的全部解.②、 配方法例6、已知实数y x ,满足,43)123)(32(22=++++y y x x 求y x +。
③、 换元法：若能判明不定方程的未知数之间有倍数关系，则常使用换元法消去未知数或倍数，使方程简化。
例7、试求出所有的正整数c b a ,,，其中c b a <<<1，且使得)1)(1)(1(---c b a 是1-abc 的约数。
第二十一讲 不定方程（三）练习1、 若8)(422-+=+b a b a ，则=a ____=b ____.2、 已知一件工程某队干了一天后，另一队接着又干了一天，共完成工程量的74，问各队干几天才能完成整个工程？3、 证明：方程75222=-y x 无整数解.4、 求满足方程xy y x y x ++=+)(222的所有正整数y x ,.5、 若三个棱长为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564cm 2 ,则这个正方体的体积之和为多少？附加题：1、证明以下命题：（1）对任一正整数a ，都存在正整数,()b c b c <，使得222,,a b c 成等差数列；（2）存在无穷多个互不相似的三角形n ∆,其边长,,n n n a b c 为正整数且222,,n n na b c 成等差数列.。
高中数学第六节不定方程
第六节 不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。
不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。
不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。
在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目。
基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。
以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如c by ax =+(,,,,Z c b a ∈b a ,不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
定理1.方程c by ax =+有解的充要是c b a |),(；定理2.若1),(=b a ，且00,y x 为c by ax =+的一个解，则方程的一切解都可以表示成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t b a a y y t b a b x x ),(),(00t (为任意整数)。
定理3.n 元一次不定方程c x a x a x a n n =+++ 2211，(N c a a a n ∈,,,,21 )有解的充要条件是c a a a n |),,,(21 .方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。
谈谈高中数学教学中的不定方程
谈谈高中数学教学中的不定方程
不定方程是高中数学中的重要概念，它的解是未知数的集合。
它的解法和求解一元一次方程的解法类似，但意义却完全不同。
下面介绍一下高中数学教学中不定方程的几种重要解法。
一是加减法解不定方程。
这是最好理解和操作的解法，比如一元一次不定方程：ax+b=c，若变量在左边，要想去掉变量，可以将a乘以被等号右边的数c，用c减去等式左边得b，求得解x；若变量在右边，同样也可以采取加减法解：求得b再除以a，求得解x。
二是求两个方程的公共解的方法解不定方程。
当有两个或两个以上的不定方程时，如果此时方程满足共同等式式，则可以用此公共等式解出方程的未知数。
三是逆项积和换元解不定方程的方法。
逆项积法是用相反数相乘求得某一项的值，同样，把不定方程中所有变量的系数都用其相反数减去，则可以求得某一项的值，从而求出解；换元法是把一个方程中的变量换成另一方程中的另一变量，使双方等式成立，然后，可用一元一次方程的方法对未知数一一求解出来。
以上就是高中数学教学中不定方程的几种基本解法，它们可以帮助学生更好地理解不定方程，更好地去求解不定方程。
不定式方程
不定式方程一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定范围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数．2．消元技巧：消掉范围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一?不定方程的计算例、判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解．（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）（2）（3）（4）无整数解解析：（1），，所以，即得，（2），，所以，．（3），，所以，．（4），，所以．无整数解．?例、已知△和☆分别表示两个自然数，并且，则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37，易知其自然数解为△=2，☆=3．所以△+☆=5．?例、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为．已知a，b，c都小于10，a，b，c依次为__________，__________， __________．答案：7，3，2解析：由题意有．解这个不定方程，得．?例、已知代表两位整数，求方程的解．题模二?不定方程的应用例、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个，才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个解析：设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：，解得，．所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个．?例、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工，y名女职工，则孩子有名，依题意得：，整理得：，化简得，解得，，，其中只有时才是整数，所以有12名男职工．?例、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依题意得：注意到题目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少，想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易，一个比较明显的是可以求出，可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样，得，得，所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．（当然本题可以直接看出得到）?例、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米．由，得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．?例、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有x张，1角的有y张，1元的有z张，10元的有w张，依题意得，得，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元．?例、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）答案：191解析：设用了x个13克的砝码，y个17克的砝码，要称的重量为c克，依题意，就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论，c最大取时，无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克．?例、现有升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依题意，模拟的倒几次后会发现，本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中，这个解明显要小，下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满升；2、升倒入4升；3、倒满升；4、升倒入4升；5、倒满升；6、升倒入4升中，还剩升；7、4升的倒入大桶里；8、升倒入4升；9、倒满升；10、升倒入4升；11、倒满升；12、升倒入4升，还剩升；13、4升的倒入大桶里；14、升倒入4升；15、倒满升；16、升倒入4升；17、倒满升；18、升倒入4升；19、倒满升；20、倒入4升，还剩升．21、4升的倒入大桶里；22、升倒入4升；23、倒满升；24、倒入4升；25、倒满升；26、倒入4升，还剩1升．可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．?例、某校开学时，七年级新生人数在500～1000范围内，男、女生的比例为．到八年级时，由于收40名转学生，男、女生的比例变为．请问，该年级入学时，男、女生各有多少人？答案：男生320人，女生280人解析：设开始时共人，后来变为人，则，．易知a为8的倍数，b为5的倍数，故可设，，方程化简为，且．解得，，入学时总人数为人，男生320人，女生280人．?例、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练、下列方程的自然数解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则．答案：（1）（2）（3）无解（4）解析：枚举法．?随练、小高有若干张8分的邮票，墨莫有若干张15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有__________张．答案：3张解析：设小高有8分邮票x张，15分邮票y张，依题意得：，解得，所以小高有3张8分邮票．?随练、将426个乒乓球装在三种盒子里，大盒每盒装25个，中盒每盒装20个，小盒每盒装16个．现共装了24盒，则用了__________个大盒．随练、新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元．小明花了156元买回了总面值为元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了____________________张．答案：20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张解析：设买了x张20分的邮票，y张40分的邮票，z张50分的邮票，依题意得：，消y得，解得，，……，同时还要满足y为整数，经验证当时，符合题意，所以买了20分的邮票3张，40分的邮票3张，50分的邮票13张．?课后作业作业1、方程有________组自然数解．答案：11解析：易知y可为0至的所有自然数，即方程有11组自然数解．?作业2、求的所有整数解．答案：??为任意整数）解析：先找出一组基本的解，然后写出所有解即可．?作业3、求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解．答案：解析：先确定z的值，把三元一次不定方程转化为二元一次不定方程，再进行计算．正整数解如下：?．?作业4、设A和B都是自然数，并且满足．那么__________．答案：3解析：，又因为A、B为自然数得，．?作业5、有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：大油桶__________个，小油桶__________个．答案：大油桶3个，小油桶4个解析：设有x个大油桶，y个小邮桶，依题意得，解得，所以有3个大油桶，4个小邮桶．?作业6、新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书．已知老师和学生共14人，每名老师能搬12本，每名男生能搬8本，每名女生能搬5本，恰好一次搬完．问：搬书的老师__________名、男生__________名、女生__________名．答案：老师3名，男生2名，女生8名解析：设搬书的老师有x名，男生有y名，女生有z名，依题意得：，消去z得，解得，所以，所以搬书的老师有3名，男生2名，女生8名．?作业7、小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？答案：圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒解析：设圆珠笔买了x盒，铅笔买了y盒，钢笔买了z盒，依题意得：，消去x得，解得，，……将y、z代入原方程组，发现只有时，x有自然数解．所以买了圆珠笔3盒，铅笔2盒，钢笔13盒．?作业8、卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖元一包，酥糖元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅共买了多少包奶糖？答案：12包解析：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包，则．把系数都化成整数，得：．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一组：．也就是．令，则．它的自然数解只有，所以卡莉娅共买了12包奶糖．?作业9、雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍．这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位．请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？答案：二人桌24张；三人桌19张；四人桌12张解析：设图书馆有三人桌x张，四人桌y张，则两人桌有2y张，依题意得：，化简得，解得，，……为符合三种桌子共五十多张，发现只有这组解符合，图书馆两人桌有24张，三人桌19张，四人桌12张．。
【数论第四讲】不定方程
不定方程一、定义：把未知数的个数多于方程的个数的方程（组）称为不定方程．这里的“不定”指的是方程的解不定．二、基本思路与方法：1．因式分解法，对方程的一边进行因式分解，另一边作质因数分解，对比两边，转化为若干个方程构成的方程组，进而求解。
2．配方法，将方程的一边变为平方和的形式，另一边为常数，再用不等式予以处理。
3．不等式估计，利用不等式工具确定不定方程中某元的范围，再利用整数性“夹逼”出该元的取值。
4．运用整除性把“大数”化为“小数”，使方程的解明朗化。
5．同余方法，如果不定方程12(,,,)0n F x x x =有整数解，则对任意*m N ∈，其整数解12(,,,)n x x x 满足12(,,,)0(mod )n F x x x m ≡。
利用这一条件，同余可以作为探求不定方程整数解的一块试金石。
6．构造法，在不易得出方程的全部解时，通过构造法可以提供其部分解，从而证明该方程有解或者有无穷多个解，适合于处理存在性问题。
7．无穷递降法，适合证明不定方程没有正整数解。
三、例题选讲：例1.求所有满足方程222511(11)x y xy +=-的正整数解(,)x y 。
解：法1（因式分解）：方程即2(2)(5)11x y x y --=-，可得解得(,)(14,27)x y =。
法2（配方法）：方程即22211812()1148y x y -+=，即222(411)81181x y y -+⨯= 例2．将113表示成k 个连续正整数之和，求项数k 的最大值。
解：设这k 个连续正整数中最小的数为a ，则1113(1)2ka k k =+-，即112(1)23ka k k +-=⋅，作因式分解可得11(21)23k a k +-=⋅。
显然，为了让k 尽量大，则需a 尽量小，故需k 与21a k +-的取值尽量接近，因此令523k =⋅，6213a k +-=，可得122a =，486k =。
(六)不定方程
不定方程一个方程含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程。
如果不限定解的性质，不定方程一般具有无穷多组解。
不定方程中，最基本的是二元一次不定方程，例如6x+4y= 36。
解二元一次不定方程一般分为3个步骤：(1) 把方程中的系数约化成最简比；(2) 找出方程的一组特解；(3) 通过一组特解找出方程所有的解。
含有更多未知数的方程，我们一般先把它转化成二元一次不定方程，然后再求解。
例如我们来解：6x+4y= 36先化简系数，得到：3x+2y= 18可以用x来表示出y：1832xy-=经过试验，找到它的一组整数解是不难的，如：x=4，y=3这组解也可以用其他的方法得到（例如余数分析法）。
通过这个方法，我们可以得到所有满足条件的解：x=0，y=9x=2，y=6x=4，y=3x=6，y=0我们注意：在原来的方程中，在原来解的基础上，我们把x增加2，y减小3，就可以使等式重新成立。
这样就可以找到另一组解了：x=6，y=0类似地，当x减小2时，y要加上3才行，这也是方程的另一组整数解：x=2，y=6这样我们可以用下面的式子来表示所有满足这个方程的整数解：x=4±2k，y=3 3k，其中k可以是任何整数。
类似地，我们可以写出方程3x-2y=18的所有解：x=6±2k，y=9±3k（k为任何数）例1 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？[分析与解答]设1分、2分、5分的硬币各为x, y, z个则可以列得不定方程x+2y+5z=100z的取值范围为0～20之间的整数。
当z取20，18，16，…，0时，对应y有1，6，11，…，51种取值，故分别有1，6，11，…，51个解；当z取19，17，15，…，1时，对应y有3，8，13，…，48种取值，故分别有3，8，13，…，48个解。
由（1+6+11+…+51）+（3+8+13+…+48）=541知，共有541种凑法。
[评注]此题与上题类似，也是先确定某个未知数的一组值，然后根据每个值的情况来求解其他未知数的值的数目。
高中数学解题技巧之不定方程
高中数学解题技巧之不定方程不定方程是高中数学中的一个重要题型，它涉及到数学中的方程与不等式的求解。
在解不定方程的过程中，我们需要运用一些特定的技巧和方法，才能得到正确的解答。
本文将介绍一些常见的不定方程解题技巧，并通过具体的例题进行说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一题型。
一、一元一次不定方程一元一次不定方程是最简单的不定方程形式，它的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
解一元一次不定方程的关键在于找到x和y 的整数解。
下面以一个例题来说明解题方法：例题：解方程2x + 3y = 10。
解法：根据题目给出的方程，我们可以通过观察发现，当x取2时，y取2，方程左边等于10，符合题意。
因此，x = 2，y = 2是方程的一个解。
此外，我们还可以通过找规律的方法，找到该方程的所有解。
观察方程的系数2和3，我们可以发现，当x增加3，y减少2时，方程左边的值不变。
因此，我们可以得到以下解集：{(2, 2), (5, 0), (8, -2), ...}。
通过以上的解题过程，我们可以总结出解一元一次不定方程的技巧：1. 观察法：通过观察方程的特点，找到一个或多个解；2. 找规律法：通过观察方程的系数，找到方程的所有解。
二、二元一次不定方程二元一次不定方程是稍微复杂一些的不定方程形式，它的一般形式为ax + by = c，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数。
解二元一次不定方程的关键在于找到x和y的整数解。
下面以一个例题来说明解题方法：例题：解方程3x + 5y = 19。
解法：通过观察方程的系数，我们可以发现3和5的最大公约数为1，因此该方程有整数解。
为了找到方程的解，我们可以使用扩展欧几里得算法。
具体步骤如下：1. 列出方程：3x + 5y = 19；2. 使用欧几里得算法计算3和5的最大公约数：5 = 3 * 1 + 2；3. 反复使用欧几里得算法，直到余数为1为止：3 = 2 * 1 + 1；4. 逆向计算系数：1 = 3 - 2 * 1 = 3 - (5 - 3 * 1) * 1 = 3 * 2 - 5；5. 将逆向计算得到的系数乘以方程两边的常数项：19 * 2 = 3 * 2 * 2 - 5 * 2 = 12 - 10；6. 得到方程的一个特解：x = 2，y = -2；7. 方程的通解为：x = 2 + 5 * t，y = -2 - 3 * t，其中t为整数。
20. 不定方程
第二十讲不定方程（一）先看一个问题：老师和小王开了一个玩笑。
他对小王说，我左、右两个手心里各写一个整数，它们的和是10，你能猜出我左、右手心各写的是什么整数吗？我允许你猜三次呢！小王满有信心地说：能行。
于是小王连猜了三次。
第一次猜：左手心写的是9，右手心写的是1，老师说不对。
第二次猜：左手心写的是5，右手心写的也是5，老师又说不对。
第三次猜：左手心写的是8，右手心写的是2，老师还是说不对。
同学们请想一想，如果换一位同学去猜猜一定能猜出吗？细心的同学可能已经想到，两个整数的和为10，这样的整数有好多对，除了小王猜过的（9，1）（5，5）（8，2）之外，还有（7，3）（6，4）（10，0）以及左、右手互换后的（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（0，10）等共有11对，满足条件，不要说请三次，就是猜了十次，还有一组没猜到，老师可以说在左、右手心里写的恰好是没猜到的那一组。
如果设左、右手心写的整数分别为x、y，那么可以列出方程x+y=10由于未知数的个数多于一个，而且是要求这个方程的整数解，这种方程称为不定方程。
让我们再考虑一个实际问题：在长为158米的地段铺设水管，用的是长17米和长8米的两种同样粗细的水管，问两种长度的水管各用多少根（不截断）正好铺足158米长的地段？由于总长度为158米，那么17米长的水管至多用9根，可以假设17米长的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩余的长度是否恰好是8米的整数倍。
这个办法是将17米长的水管可取的各种可能性逐个列举，再看哪种情况合适，这种办法称为穷举法。
当可取的情况很多时，这种办法当然不能令人满意，但当情况较少时，还是可行的。
如设17米长的水管用了x根，8米长的水管用了y根，可列出方程17x+8y=158 （1）本题要求这个方程的正整数解。
我们用下面的方法来求这个方程的整数解。
先将方程变形为：8y=158-17x （2）8y=152+6-16x-x （3）由于152和16x均为8的倍数，因此6-x也应是8的倍数，x只能取6才有可能，用6代x从（2）中可算出y=7。
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不 定 方 程【知识精要】形如x +y =4，x +y +z =3，yx 11+=1的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解．对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：定理1．二元一次不定方程ax +by =c ，（1）若其中（a ，b ） c ，则原方程无整数解；（2）若（a ，b ）=1，则原方程有整数解；（3）若（a ，b ）｜c ，则可以在方程两边同时除以（a ，b ），从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为（2）的情形． 如：方程2x +4y =5没有整数解；2x +3y =5有整数解．定理2．若不定方程ax +by =1有整数解⎩⎨⎧==00y y x x ，则方程ax +by =c 有整数解⎩⎨⎧==00cy y cx x ，此解称为特解．方程方程ax +by =c 的所有解（即通解）为⎩⎨⎧-=+=ak cy y bk cx x 00（k 为整数）． 对于非二元一次不定方程问题，常用求解方法有：（1）恒等变形．通过因式分解、配方、换元等方法将方程变形，使之易于求解；（2）构造法．先利用恒等式构造一些特解，再进一步证明不定方程有无穷多组解；（3）估算法．先缩小方程中某些未知数的取值范围，然后再求解．【例题精讲】一 二元一次不定方程例1．求方程4x +5y =21的整数解．解：因为方程4x +5y =1有一组解⎩⎨⎧=-=11y x ，所以方程4x +5y =21有一组解⎩⎨⎧=-=2121y x ．又因为方程4x +5y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y k x 45（k 为整数）， 所以方程4x +5y =21的所有整数解为⎩⎨⎧-=+-=k y k x 421521（k 为整数）． 说明：本题也可直接观察得到方程4x +5y =21的一组特解⎩⎨⎧=-=51y x ，从而得到4x +5y =21的通解⎩⎨⎧-=+-=k y k x 4551（k 为整数）．练习1．求方程5x +3y =22的所有正整数解．解：方程5x +3y =1有一组解为⎩⎨⎧=-=21y x 所以方程5x +3y =22有一组解为⎩⎨⎧=-=4422y x 又因为5x +3y =0的所有整数解为⎩⎨⎧-==k y k x 53，k 为整数 所以方程5x +3y =22的所有整数解为⎩⎨⎧+-=-=445223k y k x ，k 为整数 由⎩⎨⎧>+->-04450223k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<>544322k k ，所以k =8，原方程的正整数解为⎩⎨⎧==42y x ． 说明：由此题可见，求不定方程的正整数解的方法是先求不定方程的所有整数解（通解），然后再求其中的正整数解．这通常需要解不等式组求出通解中k 的取值范围．若一次不定方程的特解不易观察得出，我们可以用辗转相除法求特解．下面通过例题说明这种方法．例2．求方程63x +8y =－23的整数解．解：（1）用x 、y 中系数较大者除以较小者．63=8×7+7．（2）用上一步的除数除以上一步的余数．8=7×1+1（3）重复第二步，直到余数为1为此．（4）逆序写出1的分解式．1=8－7×1=8－（63－8×7）×1=8－63+8×7=8×8－63．（5）写出原方程的特解和通解．所以方程63x +8y =1有一组特解⎩⎨⎧=-=81y x ，方程63x +8y =－23有一组特解⎩⎨⎧⨯-==23823y x ，所以原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯-=+=k y k x 63238823，k 为整数．练习2．求方程37x +107y =25的整数解．解：107=2×37+3337=1×33+433=4×8+1所以1=33－4×8=33－（37－1×33）×8=37×（－8）+33×9=37×（－8）+（107－2×37）×9=107×9+37×（－26）所以方程37x +107y =1有一组整数解为⎩⎨⎧=-=926y x ，原方程的所有整数解为⎩⎨⎧-⨯=+⨯-=k y k x 372591072526，k 为整数．二 多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二元一次不定方程来求解．下面通过例题进行说明．例3．求方程12x +8y +36z =100的所有整数解．解：原方程可化为3x +2y +9z =25．将①分为⎩⎨⎧=+=+25923z t t y x ②的一组解为⎩⎨⎧-==t y t x ，所以②的所有整数解为⎩⎨⎧--=+=1132k t y k t x k 1为整数． ③的一组解为⎩⎨⎧==27z t ，所以③的所有整数解为⎩⎨⎧-=+=22297k z k t k 2为整数．将⑥代入④⑤，消去t 得，⎪⎩⎪⎨⎧-=---=++=212122397297k z k k y k k x （k 1，k 2为整数）．练习3．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3．小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21，则小明摸出的球中红球个数最多为几个？解：设红、黄、蓝球各摸出x 、y 、z 个，则⎩⎨⎧=++=++213210z y x z y x )2()1( ② ③④⑤ ⑥ ⑦（2）－（1）消去x 得y +2z =11 （3）（3）的通解为⎩⎨⎧-=+=kz k y 521，k 为整数．所以x =10－y －z =4－k ，当k =0时，x 最大，此时y =1，z =5．所以小明摸出的球中红球个数最多为4个．三 其他不定方程例4．求不定方程2111=+y x 的正整数解． 解：原式变形为2x +2y =xy ，即（x －2）（y －2）=4所以⎩⎨⎧=-=-2222y x 或⎩⎨⎧=-=-1242y x 或⎩⎨⎧=-=-4212y x 解得⎩⎨⎧==44y x 或⎩⎨⎧==36y x 或⎩⎨⎧==63y x ．练习4．求方程x 2－y 2=105的正整数解．解：（x +y ）（x －y ）=105=3×5×7所以⎩⎨⎧=-=+1105y x y x 或⎩⎨⎧=-=+335y x y x 或⎩⎨⎧=-=+521y x y x 或⎩⎨⎧=-=+715y x y x 解得⎩⎨⎧==5253y x 或⎩⎨⎧==1619y x 或⎩⎨⎧==813y x 或⎩⎨⎧==411y x ．例5．求方程y 2+3x 2y 2=30x 2+517的所有正整数解解：原方程可变形为y 2+3x 2y 2－30x 2－10=517，即：（y 2－10）（3x 2+1）=3×13×13． 由于3（3x 2+1），所以3｜（y 2－10）．又因为3x 2+1>1，所以y 2－10>0，经实验可知y 2－10=39，3x 2+1=13．所以x =2，y =7．说明：本题虽然简单，但也综合运用了恒等变形、估算等多种方法．练习5．求证方程x 3+113=y 3没有正整数解．解：假设方程有正整数解，则由x 3+113=y 3得（y －x ）（y 2+xy +x 2）=113．由于y >x ，y >11，所以y 2+xy +x 2>112，于是y －x =1，y 2+xy +x 2=113．所以（x +1）2+x （x +1）+x 2=3x 2+3x +1=113=1331，即3（x 2+x ）=1330．这与31330矛盾，所以原方程没有正整数解．例6．求方程x +y =x 2－xy +y 2的全部整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程：x 2－（y +1）x +（y 2－y ）=0．若此方程有解，则△=（y +1）2－4（y 2－y ）≥0，即3y 2－6y －1≤0．解得：1－3321332+≤≤y ，所以y =0，1或2． 将y 的值代入原方程可解得： ⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==01y x ，⎩⎨⎧==10y x ，⎩⎨⎧==12y x ，⎩⎨⎧==21y x ，⎩⎨⎧==22y x ．练习6．求方程x 2+y 2=2x +2y +xy 的所有正整数解．解：将原方程看成关于x 的一元二次方程x 2－（y +2）x +（y 2－2y ）=0．若此方程有整数解，则△=（y +2）2－4（y 2－2y ）为完全平方数．又因为△=－3（y －2）2+16∈[0，16]，所以△=0，1，4，9或16．解得y =2或4．代入原方程解得⎩⎨⎧==24y x ，⎩⎨⎧==42y x 或⎩⎨⎧==44y x ．例7．求方程x 6+3x 3+1=y 4的整数解．解：（1）当x >0时，x 6+2x 3+1<y 4<x 6+4x 3+2，即（x 3+1）2<y 4<（x 3+2）2所以x 3+1<y 2<x 3+2，而x 3+1与x 3+2为两个相邻整数，中间不可能有其他整数，这说明x >0不成立．（2）当x =0时，y 4=1，y =±1．（3）当x =－1时，y 4=－1，y 无实数解．（4）当x ≤－2时，x 3+1<0，所以x 6+4x 3+2<y 4<x 6+4x 3+1，即（x 3+2）2<y 4<（x 3+1）2 所以－（x 3+2）<y 2<－（x 3+1），与（1）类似可证x ≤－2不成立．综上所述，⎩⎨⎧==10y x 或⎩⎨⎧-==10y x ．说明：本题先将原方程变形，利用不等式缩小x 的取值范围，再进行求解．练习7．求方程x 2+x =y 4+y 3+y 2+y 的整数解．解：原方程可变形为4x 2+4x +1=4y 4+4y 3+4y 2+4y +1．∴（2x +1）2=（2y 2+y ）2+3y 2+4y +1=（2y 2+y ）2+2×（2y 2+y ）+1+（－y 2+2y ）=（2y 2+y +1）2+（－y 2+2y ）（1）当⎩⎨⎧<+->++02014322y y y y ，即当y <－1或y >2时， （2y 2+y ）2<（2x +1）2<（2y 2+y +1）2而2y 2+y 与2y 2+y +1为两相邻整数，所以此时原方程没有整数解．（2）当y =－1时，x 2+x =0，所以x =0或－1．（3）当y =0时，x 2+x =0，所以x =0或－1．（4）当y =1时，x 2+x =4，此时x 无整数解．（5）当y =2时，x 2+x =30，所以x =－6或5．综上所述：⎩⎨⎧-==10y x ，⎩⎨⎧-=-=11y x ，⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧=-=01y x ，⎩⎨⎧=-=26y x ，⎩⎨⎧==25y x ． 说明：本题与例7的解法基本思想相同，但各种条件更隐蔽，需要较高的洞察力．。