第二章 坐标系及其变换
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A
p A RB B p
旋转方程
B
p RA p RB
B A A
1 A
p RB
A
T A
p
旋转矩阵为正交矩阵！ 同一行、列元素的平方和=1； 不同行、列元素对应乘积的和=0； 矩阵行列式=1.
旋转矩阵的9个元素是线性相关的！
3）复合坐标变换
A
p ARB B p
ratation
xA A r y A zA xB B r y B zB
已知 B r 和坐标系B与A的关系， 求 Ar 。
A
r A RB B r
A
RB
坐标{B}向坐标{A}变换的旋转矩阵；描述坐
标{B}在坐标{A}中的姿态，姿态矩阵。
5
基本旋转矩阵（绕坐标轴的旋转）
0 0 0 1
κ ax i ay j az k
被旋转的坐标系 O ' x ' y ' z '
在OXYZ中表示为{Y} 在{C}中表示为{X}
Y CX
X C 1Y
Rot κ, Y CRot Zc , X
Rot κ , Y CRot Z c , X CRot Z c , C 1Y
R n o a
旋转矩阵
nx ox ax o o a a n n y y y nz oz az
分别表示固连于刚体的坐标系三个坐标
轴在参考坐标系中的位置！
2、旋转矩阵的一般形式
Rot κ, CRot Zc , C 1
x xV c y xV z s z xV y s V s V c V s z y y z y x Rot κ , x y x zV y s y zV x s z zV c 0 0 0
0 0 0 1
V 1 cos
Rotating about Z axis x 0, y 0, z 1
等效旋转轴及等效旋转角 κ,
本章小结:
参考坐标和关节坐标（移动坐标） 位置、姿态的表述方式（直角坐标、欧拉坐标） 坐标变换、齐次坐标变换 一般旋转变换、等效旋转变换
绕固定轴旋转
A RPYB , , R Z A , R YA , R X A , c s c s s s c c s c s s c c s sБайду номын сангаас s c c s s c c s c s c c s
0 1 R X A , 0 cos 0 sin sin cos 0
cos R YA , 0 sin
cos R Z A , sin 0 sin cos 0 0 0 1
A
p B p A pBo
A
translation
p A RB B p A pBo
Composite Transformation
2.3.2 齐次坐标及其变换
A
p A RB B p A pBo
A
p TB p
A B
A A p RB 1 013
0 sin 1 0 0 cos
2.2.2 欧拉角表示
用来确定定点转动刚体位置的一组（3 个）独立角参量 旋转的组合（刚体的多次旋转）：
绕当前轴旋转；
A EulerB , , R Z A , R Y1 , R Z2 ,
第2 章
2.1
坐标系及其变换
机器人坐标系
用来准确、清晰地描述机器人的位姿 2.1.1 参考坐标系
建立空间3维坐标系的右手法则！
位置和方向不随机器人各 关节的运动而变化；一般采用 空间3维坐标系。
2.1.2 关节坐标系
3 6 2 4 5
1
用来描述机器人每一个独立关节的运动。
特别需要指出的是机器人的每一个关节都只具有一个自由度！
0
TN
N 1
TN T3 T2 T1
2
1
0
矩阵相乘的顺序与变换顺序相反
2）相对于当前坐标系的组合变换
0
TN 0T1 1T2 2T3 N 1TN
矩阵相乘的顺序与变换顺序相同
齐次变换的逆变换
A
p TB p
A B
A A 1
B
p TA p TB A p
B
R B B TA 013
A
T
RB
A
T A
1
PB0
一般旋转变换
旋转轴线不与参考系的任何轴线重合 引入一个新的坐标系{C}
nx n C y nz 0
Rot κ, Rot Zc ,
ox oy oz 0
ax ay az 0
A
pBo B p 1 1
齐次坐标 齐次坐标变换矩阵
齐次变换：就是把被变换坐标系所描述的矢 量变换成用其参考坐标系所描述的矢量
A RB p 1 013 A A
pBo B p 1 1
齐次坐标变换矩阵可分解成为平移矩阵 与旋转矩阵的乘积
2.2
机器人位姿表述
机器人是由一系列关节连接起来的连杆所组成的 多刚体系统。
2.2.1 直角坐标表示
1、刚体位姿表示
用一个3维列向量表示刚体 中的点（向量）在参考坐标系的位置
Ro xo
yo
zo
T
1、刚体位姿表示
用一个固连于刚体上的3维 坐标与参考坐标系之间的方 向关系表示刚体在空间的方 向（姿态）
2.3
坐标变换
2.3.1 直角坐标及其变换 1、直角坐标与向量运算
A ax i a y j az k B bx i by j bz k
向量的点积、向量的叉积
2、坐标变换
空间的同一点（向量）在不同坐标系的描述
1）平移坐标变换
A
p B p A pBo
平移方程
2）旋转坐标变换
A RB 013
A
pBo I 33 1 013
A
pBo A RB 1 013
031 1
基本齐次坐标变换矩阵
组合变换后齐次坐标变换矩阵的求解 变换次序：1-2-3…-N （参考坐标系为0）
1）相对于参考坐标系的组合变换
p A RB B p
旋转方程
B
p RA p RB
B A A
1 A
p RB
A
T A
p
旋转矩阵为正交矩阵！ 同一行、列元素的平方和=1； 不同行、列元素对应乘积的和=0； 矩阵行列式=1.
旋转矩阵的9个元素是线性相关的！
3）复合坐标变换
A
p ARB B p
ratation
xA A r y A zA xB B r y B zB
已知 B r 和坐标系B与A的关系， 求 Ar 。
A
r A RB B r
A
RB
坐标{B}向坐标{A}变换的旋转矩阵；描述坐
标{B}在坐标{A}中的姿态，姿态矩阵。
5
基本旋转矩阵（绕坐标轴的旋转）
0 0 0 1
κ ax i ay j az k
被旋转的坐标系 O ' x ' y ' z '
在OXYZ中表示为{Y} 在{C}中表示为{X}
Y CX
X C 1Y
Rot κ, Y CRot Zc , X
Rot κ , Y CRot Z c , X CRot Z c , C 1Y
R n o a
旋转矩阵
nx ox ax o o a a n n y y y nz oz az
分别表示固连于刚体的坐标系三个坐标
轴在参考坐标系中的位置！
2、旋转矩阵的一般形式
Rot κ, CRot Zc , C 1
x xV c y xV z s z xV y s V s V c V s z y y z y x Rot κ , x y x zV y s y zV x s z zV c 0 0 0
0 0 0 1
V 1 cos
Rotating about Z axis x 0, y 0, z 1
等效旋转轴及等效旋转角 κ,
本章小结:
参考坐标和关节坐标（移动坐标） 位置、姿态的表述方式（直角坐标、欧拉坐标） 坐标变换、齐次坐标变换 一般旋转变换、等效旋转变换
绕固定轴旋转
A RPYB , , R Z A , R YA , R X A , c s c s s s c c s c s s c c s sБайду номын сангаас s c c s s c c s c s c c s
0 1 R X A , 0 cos 0 sin sin cos 0
cos R YA , 0 sin
cos R Z A , sin 0 sin cos 0 0 0 1
A
p B p A pBo
A
translation
p A RB B p A pBo
Composite Transformation
2.3.2 齐次坐标及其变换
A
p A RB B p A pBo
A
p TB p
A B
A A p RB 1 013
0 sin 1 0 0 cos
2.2.2 欧拉角表示
用来确定定点转动刚体位置的一组（3 个）独立角参量 旋转的组合（刚体的多次旋转）：
绕当前轴旋转；
A EulerB , , R Z A , R Y1 , R Z2 ,
第2 章
2.1
坐标系及其变换
机器人坐标系
用来准确、清晰地描述机器人的位姿 2.1.1 参考坐标系
建立空间3维坐标系的右手法则！
位置和方向不随机器人各 关节的运动而变化；一般采用 空间3维坐标系。
2.1.2 关节坐标系
3 6 2 4 5
1
用来描述机器人每一个独立关节的运动。
特别需要指出的是机器人的每一个关节都只具有一个自由度！
0
TN
N 1
TN T3 T2 T1
2
1
0
矩阵相乘的顺序与变换顺序相反
2）相对于当前坐标系的组合变换
0
TN 0T1 1T2 2T3 N 1TN
矩阵相乘的顺序与变换顺序相同
齐次变换的逆变换
A
p TB p
A B
A A 1
B
p TA p TB A p
B
R B B TA 013
A
T
RB
A
T A
1
PB0
一般旋转变换
旋转轴线不与参考系的任何轴线重合 引入一个新的坐标系{C}
nx n C y nz 0
Rot κ, Rot Zc ,
ox oy oz 0
ax ay az 0
A
pBo B p 1 1
齐次坐标 齐次坐标变换矩阵
齐次变换：就是把被变换坐标系所描述的矢 量变换成用其参考坐标系所描述的矢量
A RB p 1 013 A A
pBo B p 1 1
齐次坐标变换矩阵可分解成为平移矩阵 与旋转矩阵的乘积
2.2
机器人位姿表述
机器人是由一系列关节连接起来的连杆所组成的 多刚体系统。
2.2.1 直角坐标表示
1、刚体位姿表示
用一个3维列向量表示刚体 中的点（向量）在参考坐标系的位置
Ro xo
yo
zo
T
1、刚体位姿表示
用一个固连于刚体上的3维 坐标与参考坐标系之间的方 向关系表示刚体在空间的方 向（姿态）
2.3
坐标变换
2.3.1 直角坐标及其变换 1、直角坐标与向量运算
A ax i a y j az k B bx i by j bz k
向量的点积、向量的叉积
2、坐标变换
空间的同一点（向量）在不同坐标系的描述
1）平移坐标变换
A
p B p A pBo
平移方程
2）旋转坐标变换
A RB 013
A
pBo I 33 1 013
A
pBo A RB 1 013
031 1
基本齐次坐标变换矩阵
组合变换后齐次坐标变换矩阵的求解 变换次序：1-2-3…-N （参考坐标系为0）
1）相对于参考坐标系的组合变换