第七章 第44讲 (1)

第44讲 不等式的综合应用

考试要求 掌握解决不等式综合问题的方法(C 级要求).

诊 断 自 测

1.(必修5P102习题7改编)函数y ＝x ＋4

x (x ≠0)的值域是________. 解析 当x >0时，y ＝x ＋4

x ≥2

x ·4

x ＝4；

当x <0时，y ＝x ＋4x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤

（－x ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ≤

－2

（－x ）·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－4x ＝－4. 答案 (－∞，－4]∪[4，＋∞)

2.(必修5P106复习题16改编)已知x >0，y >0且满足2x ＋8

y ＝1，则x ＋y 的最小值是________ .

解析 ∵ x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫

2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ，x >0，y >0，∴2y x >0，8x y >0，

x ＋y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立，又2x ＋8

y ＝1，∴当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18. 答案 18

3.(必修5P98练习2(2)改编)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.

解析 由a ，b ∈R *，得a ＋b ≥2ab ，则ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即ab －2ab －3≥0⇒(ab －3)(ab ＋1)≥0⇒ab ≥3，∴ ab ≥9. 答案 [9，＋∞)

4.设x ∈R ，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |

，若不等式f (x )＋f (2x )≤k 对于任意的x ∈R 恒成立，则实

数k 的取值范围是________.

解析 不等式化为k ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|2x |，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |

∈(0，1]，所以k ≥2.

答案 k ≥2

5.(必修5P102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q

2%.其中p >q >0，上述三种方案中提价最多的是________.

解析 设原来价格为A ，方案甲：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100＝

A ⎝

⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 100＋pq 10 000；方案乙：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 100；方案丙：经两次提价后价格为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2002＝A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1＋p ＋q 100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋q 22·110 000.因为p ＋q 2>pq ，所以方案丙提价最多. 答案 方案丙

考点一 含参数的不等式问题

【例1】 若不等式组⎩⎨⎧x 2－x －2＞0，

2x 2＋（5＋2k ）x ＋5k ＜0的解集中所含整数解只有－2，求

k 的取值范围.

解 由x 2－x －2>0有x ＜－1或x ＞2， 由2x 2＋(5＋2k )x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k )＜0， 因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2. 由(2x ＋5)(x ＋k )＜0有－5

2＜x ＜－k . 因为原不等式组的整数解只有－2， 所以－2＜－k ≤3，即－3≤k ＜2， 故k 的取值范围是[－3，2).

【训练1】 已知函数f (x )＝lg[(m 2－3m ＋2)x 2＋(m －1)x ＋1]的定义域为R ，求实数m 的取值范围.

解 ∵函数f (x )的定义域为R ，∴对于任意x ∈R ，恒有(m 2－3m ＋2)x 2＋(m －1)x ＋1>0.

①若m 2－3m ＋2＝0，则m ＝2或1. 当m ＝1时，不等式即为1>0，符合题意；

当m ＝2时，不等式即为x ＋1>0，对任意x ∈R 不恒成立，

∴ m ＝2不合题意，舍去. ②若m 2－3m ＋2≠0，由题意得 解得⎩

⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m <1或m >73，即m <1或m >73.

综上可得，m 的取值范围是(－∞，1]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞.

考点二 基本不等式的灵活运用

【例2】 设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋3

2＋y ＝1，则xy 的最小值为________.

解析 由

32＋x ＋32＋y

＝1，得xy ＝8＋x ＋y . ∵ x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16.故xy 的最小值为16. 答案 16

【训练2】 设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4，2]都成立，则m 4－n 4

m 3n 的最小值为________.

解析 设f (x )＝2xm ＋(2－x )n －8＝(2m －n )x ＋(2n －8)为关于x 的一次函数.

由题设得⎩⎨⎧f （－4）≥0，f （2）≥0，n ≤6，即⎩⎨⎧4m －3n ＋4≤0，

m －2≥0，n ≤6.

作出不等式组所表示的可行域如图所示，

设n m ＝t ，则t 表示可行域内的点与坐标原点所连线段的斜率，可得12

7≤t ≤3. g (t )＝m 4－n 4m 3n ＝1t －t 3在12

7≤t ≤3上为减函数， 所以－803≤g (t )≤712－⎝ ⎛⎭⎪⎫1273.

故m 4－n 4m 3n 的最小值为－803. 答案 －80

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考点三 多元最值问题