必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题
基本不等式的解题方法
基本不等式的解题方法
基本不等式的解题方法如下：
1. 读懂题目：首先要仔细阅读题目，理解不等式的条件和要求。
2. 将不等式化为标准形式：将不等式进行变形，使得不等号的右边等于零，并且左边只含有一个未知数。
3. 找出未知数的范围：根据题目中给出的条件，确定未知数的范围。
4. 求解不等式：根据不等号的方向，找出未知数满足不等式的取值范围。
5. 检验解的有效性：将解代入原不等式中验证。
需要注意的是，在求解过程中可能会遇到以下几种特殊情况：
- 当不等号为>或<时，解是一个开区间；
- 当不等号为≥或≤时，解是一个闭区间；
- 当不等号两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要取反；
- 当不等号两边同时除以一个负数时，不等号的方向不变。
综上所述，以上是解题基本步骤，但针对不同类型的不等式，解题方法可能会有所不同。
因此，在解题过程中还需要根据具体情况选择合适的解题方法。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值. 6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
必修五基本不等式题型分类(绝对经典)学习资料
最新必修五基本不等式题型分类（绝对经典）基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1 •如果a,bRab2・ab （当且仅当_A_厂时取="号）・22•如果a,bRab ab（当且仅当匸一时取」’号）2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值;③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。
类型一：利用（配凑法）求最值a「求下列函数的最大（或最小）1（1）求火一一（X 0）的最小值；X 1(2)若x 0,y 0,2x y 4,求xy的最大值（3）已知“〕/ ，且■••求•二|的最大值及相应的’匸的值5变式1：已知x ■，求函数y=4x2 1的最大值4 4x5X类型二：含“ 1 ”的式子求最值02 •已知「」”求：「的最小值.2 3变式1:若x 0, y 0, x y=1，求——的最小值xy变式2 :2 3x 0, y 0, x y=2，求的最小值变式求函数y= 2 2 (0 X ）的最小值类型三：求分式的最值问题X?X 13•已知x0，的最小值变式1求函数y x1 2 X3(X $的值域变式2：求函数y X2 44J的最小值类型四：求负数范围的最值问题、1 曰4. xO,求x ■的最大值X4X变式1：求f (x) x (x 0)的值域Xx12 2x 1变式2：求f (x) 亠的值域x类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5•若正数a,b满足abab 3,则(1) ab的取值范围是(2) a+b的取值范围是变式1:若x，y>0满足2x+y+6 xy,则xy的最小值是变式2:已知x ‘ y>0满足x+2y+2xy 8,则x+2y的最小值是课堂练习:1 :已知a,b R，下列不等式中不正确的是()(A) a1 2 3 b 2ab ( B) ■■- ab (C) a24n 4 b2 b222：在下列函数中最小值为2的函数是()1(A)y x-X(B) y 3X3X1 1(C)y lg x (1 x 10) (D)y sin x (Oxla x sin x 214：若x3,求yx —的最小值x33：若x0，求y3x*的最小值X1 1 6： x 0, y 0, x+3y=1求 --- 的最小值xy作业（共80分，限时40分钟）1、（5 分）1 4设x,y 为正数, 3.4.5.A. 6B.9C.12则（xy ）（丄4）的最小值为（）xyD.15A. (5分) 若a,b 为实数，且a（A ） 18（B ） 6（5分）设正数x 、y 满足2x y(A) 50 (B) 20 2，则歹3b 的最小值是（（C ） 23 （D ）24320 ，贝U lg x lg y 的最大值是（(C) 11g5(D)1（5分）已知a,b 为正实数，且a1［的最小值为（2b 1,则 ---- 、ab ）4,2B. 6C.3 ・ 2 2D. 3+2 2 (5分)设a 、b 2,2(A) 1 ab abR,且 a b, a b(B)ab 12,则必有（） a 2b 2 6.( 5分)F 列结论正确的是22,2 1A.翁XabClik 文 1 时，Igx(D)丄 ? l g xa 2b 22B.ab 0时,C.当x 2时，x —的最小值为xD.7. ( 5 分)若ab 1、P Igalgb、Q 12(lga|gb）,R ©笃，则下列不等式成立的是（）(A) R PQ (B) P Q R (C)Q P R (D)P RQ8. （5分）函数vx1—（x1）的最小值是X 19. （5分）已知两个正实数x・y满足尖系式x 4y 40,则Igx lg y的最大值是110・（5分）已知0 x-JIJx （1 2x）的最大值是211. （5分）已知x，v R，且x 4y 1，则x y的最大值为____________12. （5分）若正数a,b满足abab3,,则ab的取值范围是13. （10分）已知abc是3个不全等的正数。
高中数学基本不等式的解法十例
解 析 ： 由 三 点 共 线 可 得 a b 1 ， 观 察 形 式 采 用 “1” 的 代 换 ， 故 而
1
1
1 a
1 b
a
b
2
b
a
，等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可
ab
1
ab
得 ： b a 2 ba 2 ， 当 且 仅当 b aab1 时 取 等号 。故 而 可 得
a b ab
2x 2y
42x
y
2
2x 2y 42x y 4 ， 当 且 仅 当
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
2x 2y 2x y
42x y
2x 2y
2 ，亦即
x
y
0 3 2
时取等号。此时可得 4 x
3y min
9 2
。
问题 3：方程中的基本不等式
解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。
3
2
3 a
2 b
2a
3b
12
9b a
4a b
，观察分子可得分子积为定值，根据积定和
ab
6
6
最小法则可得： 9b 4a 2
ab
9b a
4a b
12
，当且仅当
9b a
4a b
a b
3 2
1
时取等号，故
而可得
3
2
12
9b a
4a b
4
。
ab
6
（不等式与解三角形）例题 7： .
中，角
的对边分别为
a
2
b
2
ab
可
得
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法一、基本不等式的概念和性质基本不等式是高一数学的重要内容之一，也是数学中的基本概念之一。
在学习基本不等式时，首先要了解不等式的概念和性质。
不等式是数学中的一种等式变种，它是用不等号表示的数学关系式。
不等式具有反身性、传递性和对称性等性质。
在解决不等式问题时，首先要理解其性质，然后根据不等式的性质来解题。
二、基本不等式的类型基本不等式可分为线性不等式、一元二次不等式和高次不等式等类型。
下面来分别介绍这几种不等式及其解题方法。
1.线性不等式线性不等式是最基本的不等式类型，它可以表示为ax+b>0或ax+b<0的形式。
解决线性不等式问题时，可以通过移项、交叉乘除、取绝对值、分情况讨论等方法进行求解。
例如，要解决不等式2x+5>7，则可以通过移项得到2x>2，再除以2得到x>1，这样就得到了不等式的解集{x|x>1}。
2.一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它可以表示为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的形式。
解决一元二次不等式问题时，可以通过因式分解、配方法、求导数等方法进行求解。
例如，要解决不等式x^2-4x+3<0，则可以通过因式分解得到(x-1)(x-3)<0，再通过分情况讨论得到不等式的解集1<x<3。
3.高次不等式高次不等式是包括二次以上的多项式不等式，它可以表示为f(x)>0或f(x)<0的形式。
解决高次不等式问题时，可以通过因式分解、分情况讨论、取对数等方法进行求解。
例如，要解决不等式x^3-3x^2+2x>0，则可以通过因式分解得到x(x-1)(x-2)>0，再通过分情况讨论得到不等式的解集{x|x<0或1<x<2}。
三、基本不等式的解题方法解决基本不等式问题时，首先要理解不等式的类型和性质，然后根据不等式的性质来选择合适的解题方法。
不等式的解题方法与技巧
不等式的解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念，解不等式不仅是中学阶段数学学习的一部分，也是高中阶段进一步学习函数与分析的基础。
下面将介绍一些解不等式的常用方法和技巧。
1.基本不等式性质对于两个不等式a<b和c<d，可以根据其性质进行合并或分拆：-合并：a+b<c+d-分拆：a-b>c-d2.不等式化简对于复杂的不等式，可以通过一系列的等价变形将其化简为简单的形式。
常用的等价变形方法有：- 同乘或同除以一个正数：如果a<b，则对于正数x，有ax<bx；如果a<b且x>0，则有ax<bx；如果a<b且x<0，则有ax>bx。
-同加或同减一个具体数：如果a<b，则对于任意实数x，有a+x<b+x，即a+c<b+c；同理，a-c<b-c。
-综合运用：通过多次变换，将不等式化为更简洁的形式。
3.不等式乘法法则不等式乘法法则用于解决乘法不等式的问题。
对于两个正数a和b，以及一个不等式c<d，有以下结论：- 如果a<b且c<d，则ac<bd。
- 如果a<b且c>d，则ac>bd。
- 如果a<b且c=d，则ac=bd。
注意：当a和b中至少一个为负数时，上述法则不适用。
4.不等式绝对值性质当不等式中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。
对于实数a和b，可以根据绝对值性质得到以下结果：-如果，a，<，b，则a^2<b^2-如果，a，>，b，则a^2>b^2-如果，a，=，b，则a^2=b^25.不等式取正负号问题当不等式的系数为负数时，可以通过取正负号的方式，将其转化为求解不等式的问题。
具体方法如下：-如果a<0，则对不等式两边同时取负号，得到-a>-b。
-如果a>0，则对不等式两边同时取正号，得到a<b。
6.解多项式不等式对于多项式不等式，可以通过求解其零点，确定其正负性。
基本不等式的解题技巧
基本不等式的解题技巧
解基本不等式的关键是要确定不等号的方向，并对变量进行适当的操作以便得到解。
以下是解基本不等式的一些常用技巧：
1. 如果不等式的形式是 "ax + b > 0" 或 "ax + b < 0"，则可以通
过将方程两边同时减去 b，再除以 a 来得到 x 的解。
例如：对于不等式 3x + 4 > 0，可以将其转化为 3x > -4，然后
将两边都除以 3，得到 x > -4/3。
2. 如果不等式的形式是"ax + b ≥ 0" 或"ax + b ≤ 0"，则需要考
虑等号的情况。
当不等号加上一个等号时，解的范围会发生改变。
例如：对于不等式 2x - 5 ≥ 3，可以通过将其转化为2x ≥ 8，然后将两边都除以 2，得到x ≥ 4。
3. 如果不等式中包含绝对值表达式 |ax + b|，则需要分别讨论 x + b ≥ 0 和 x + b < 0 两种情况。
例如：对于不等式 |2x - 3| < 5，可以将其分解为两个不等式 2x - 3 < 5 和 2x - 3 > -5，然后求解这两个不等式得到的解的交集。
4. 如果不等式中有多个变量，则可以尝试通过移项和因式分解的方法来化简不等式。
例如：对于不等式 x^2 + 4x - 12 > 0，可以将其转化为 (x + 6)(x - 2) > 0，然后使用符号代表法来求解。
这些是解基本不等式常用的技巧，具体问题需要根据具体情况进行分析和求解。
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)
高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。
2019年人教版高中数学必修五考点练习：基本不等式的配凑技巧(含答案解析)
6a 2b 当且仅当 b ＝ a 且2a＋b－1＝0，即a＝2－ 3，b＝2 3－3时取等号．
32 故b＋a的最小值为7＋4 3. 答案：7＋4 3
10. 【解析】选D. log4 (3a 4b) log2 ab, 可得 3a 4b ab, 且 a 0,b 0
3a 4b 1, 即 3 4 1,
5
10
A.3
B. 3
3
C. 2
D．3
9. 已知x＞y＞0，求
的最小值及取最小值时的x、y的值.
2 10. 若b>a>1，且3logab＋6logba＝11，则a3＋b－1的最小值为________．
二、“1”的变换
14 1. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝a＋b的最小值是
7
A. 2
B．4
9
C. 2
4. 已知 x , y , z 0 , 1 且 x y z 2 ，求 xy yz zx 的最大值．
5. 已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1 ，则x＋y的最大值为________． 6. 设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
12 7. 若实数a，b满足a＋b＝ ab，则ab的最小值为( )
3y 4x
31
＋ x＋y
·
∴x＋y＝ x y 3 ＝2＋2＋ x ＋3y≥4＋2 x 3y＝8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，
32 故x＋y的最小值是8.
16 1 8. 解析：已知x>0，y>0，且x＋16y＝xy. 即 x ＋y＝1.
( ) 16 1
16y x
＋
则x＋y＝(x＋y) x y ＝16＋1 ＋ x ＋y≥17＋2
高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略
高中数学解题方法系列：用基本不等式求最值的4种策略基本不等式ab b a ≥+2（0,0>>b a 当且仅当b a =时等号成立）是高中必修五《不等式》一章的重要内容之一，也是高考常考的重要知识点。
从本质上看，基本不等式反映了两个正数和与积之间的不等关系，所以在求取积的最值、和的最值当中，基本不等式将会焕发出强大的生命力，它将会是解决最值问题的强有力工具。
本文将结合几个实例谈谈运用基本不等式求最值的三大策略。
一、基本不等式的基础知识[1]基本不等式：如果0,0>>b a ，则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时等号成立。
在基本不等式的应用中，我们需要注意以下三点：“一正”：a 、b 是正数，这是利用基本不等式求最值的前提条件。
“二定”：当两正数的和b +a 是定值时，积ab 有最大值；当两正数的积ab 是定值时，和b +a 有最小值。
“三相等”：b a =是ab b a =+2的充要条件，所以多次使用基本不等式时，要注意等号成立的条件是否一致。
二、利用基本不等式求最值的四大策略策略一利用配凑法，构造可用基本不等式求最值的结构通过简单的配凑（凑系数或凑项）后，使原本与基本不等式结构不一致的式子，变为结构一致，再利用均值不等式求解最值。
题型一配凑系数例1 设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
分析：因为x x x 23)23(4+=-+不是个定值，所以本题无法直接运用基本不等式求解。
但凑系数将4x 拆为x 22⋅后可得到和3)23(2=-+x x 为定值，从而可利用基本不等式求其最大值。
解：因为230<<x ，所以023>-x 故2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=23,043x 时等号成立. 所以原式的最大值为29. 题型二配凑项1 配凑常数项例2 已知54x <，求函数54124-+-=x x y 的最大值。
必修5 第三章《基本不等式》(师用)
必修5 不等式基本不等式知识点● 设a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b 的算术平均数，ab 称为正数a 、b 的几何平均数．● 均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，即2a bab +≥． ● 常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈； ②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭； ④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．● 极值定理：设x 、y 都为正数，则有⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值2p ．【A 组 专项基础训练】一、选择题．1．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是 ( )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D ．ab <a <a ＋b2<b解析：∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B ．2．下列不等式一定成立的是 ( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为 ( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1． 答案 C4．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为 ( )A ．13B ．12C ．34D ．23解析：∵0<x <1，∴1－x >0．∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34．当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案：B 二、填空题．5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．解析：∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3．当且仅当x 3＝y4时取等号．答案 3 6．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．答案：97．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______．解析：设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x ·x ＝40，当且仅当400x＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．答案：20 三、解答题．8．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9． 证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理，1＋1b ＝2＋ab，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab ≥5＋4＝9． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ．由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8， 故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9． 9．为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱的底长为a m ，高度为b m ．已知流出的水中该杂质的质量分别与a ，b 的乘积成反比，现有制箱材料60 m 2．问：当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?解：方法一 设y 为流出的水中该杂质的质量分数，则y ＝kab ，其中k >0为比例系数，依题意，求使y 值最小的a ，b 的值．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)， 解得b ＝30－a2＋a(0<a <30)．①于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a ＝k －a ＋32－64a ＋2＝k34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≥k34－2 a ＋2 ·64a ＋2＝k 18， 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时等号成立，y 取得最小值．这时a ＝6或a ＝－10(舍)，将其代入①式，得b ＝3．故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二 依题意，求使ab 值最大的a ，b 的值．由题设，知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)． 因为a ＋2b ≥22ab ，所以22·ab ＋ab ≤30，当且仅当a ＝2b 时，上式取等号．由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18． 所以2b 2＝18，解得b ＝3，进而求得a ＝6．故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．【B 组 专项能力提升】一、选择题．1．不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是 ( )A ．正数B ．非负数C ．实数D ．不存在解析：原不等式可变形为a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，对任意实数都成立．答案 C 2．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是 ( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P解析：因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，所以只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b的大小，显然a ＋b 2>ab ．又因为a ＋b 2<a ＋b (因为a ＋b > a ＋b 24，也就是a ＋b4<1)，所以a ＋b >a ＋b2>ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q >P >M ．答案 B3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1．所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4mn ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．答案 C二、填空题．4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0．又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18． ∴xy 的最小值为18．答案 18 三、解答题5．甲、乙两地相距s 千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p (单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q 千米/小时(q >p )．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v (单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k ．(1)把全程燃料费用y (单位：元)表示为船在静水中的速度v 的函数，并求出这个函数的定义域； (2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少?解：(1)由题意，知船每小时的燃料费用是kv 2，全程航行时间为sv －p ，于是全程燃料费用y ＝kv 2·sv －p(p <v ≤q )．(2)由(1)，知y ＝kv 2·s v －p ＝ks ·v 2－p 2＋p 2v －p ＝ks [v ＋p ＋p 2v －p ]＝ks [v －p ＋p 2v －p＋2p ]≥ks [2v －p ·p 2v －p ＋2p ]＝4ksp (当且仅当v －p ＝p 2v －p，即v ＝2p 时等号成立)．①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y m in ＝4ksp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ；②当2p ∉(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝kv 2·s v －p 在(p ，q ]内单调递减，所以y m in ＝ks ·q 2q －p，此时船的前进速度为q －p ．故为了使全程燃料费用最小，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千米/小时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千米/小时．。
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。
2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()min a b +=。
其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。
例题1：若实数,a b 满足221a b +=，则a b +的最大值是 ．解析：很明显，和为定，当且仅当1a b ==-时取等号。
变式：函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。
解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明12m n ==时取等号。
例题2：已知函数()2122xx f x +=+，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得，当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。
变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为 。
解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：解法1：故而可得分式的解法2：问题2：“1”的代换例题4：若两个正实数x 、y 满足141x y += ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。
高中数学必修5解不等式习题精选精讲----均值定理的拓广
均值定理的拓广在高中数学教材中，均值不等式几乎涉及高中数学的所有章节，且在每年的高考题中常考常新，其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及最值时刻等几个方面出现，在高考的考试说明中也明确地要求学生能熟练地掌握均值不等式的适用条件及适用情境。
高中教材中对均值定理的叙述是：（1）定理：如果a 、b 是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“＝”号） （2）定理：如果a 、b 、c 是正数，那么33abc c b a ≥++（当且仅当a=b=c 时取“＝”号） 我们称2b a +（3c b a ++）为a 、b （a 、b 、c ）的算术平均数，称ab （3abc ）为a 、b(a 、b 、c)的几何平均数，因而这一定理又可叙述为“两个（或三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
”事实上，由数学归纳法可把这一定理拓广为“n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。
用均值不等式求函数的最大（小）值是高中数学的一个重点，在运用均值定理求函数的最大（小）值时，往往需要掌握“凑”（凑项、凑因子）的技巧，其目的（一）是创造一个应用不等式的情境；（二）是使等号成立的条件。
例1．边长为c b a ,,的三角形，其面积等于41，而外接圆半径为1，若c b a t c b a S 111,++=++=，则S 与t 的大小关系是（ ） A. t S >B. t S =C. t S <D.不确定（1986年全国高中数学联赛题）解：在三角形中，由正弦定理和面积公式可得C C R C sin 2sin 2==，又∵41sin 21==C ab S ，∴1=abc ∴ab ac bc cb a t ++=++=111∴)()()(2ac bc bc ab ac ab t +++++=S c b a bc a abc c ab 2)(2222222=++=++≥∵1====R c b a 不可能成立故上式取不到等号，∴S t >即t S <，故选C例2．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 （1999年全国高考题第15题）解：∵+∈R b a ,，∴ab b a 2=+，∴323+≥++=ab b a ab ∴032≥--ab ab ，∴0)1)(3(≥+-ab ab ∴1-≤ab （舍去）或3≥ab ∴3≥ab然而有些题由于解析式自然，从形态上看根本凑不出定值，或虽凑出定值而其等号又不能成立，对于这样的题目，学生往往为很难用甚至不能用均值定理而感到束手无策。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） (4)，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立；)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
5 已知，且满足，求的最大值.0,0x y >>3212x y +=lg lg x y +6已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2的最大值.7 若且,求的最小值 .技巧一答案：1解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
+
a
=
30，求函数 y
=
1 ab
的最小值。
3
v1.0 可编辑可修改
25、已知 a>0，b>0，ab - (a + b ) = 1，求 a + b 的最小值。 26、若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。 27、已知正数 a，b 满足 ab = a + b + 3，求 ab 的取值范围。
课后练习
15、已知不等式(x
+
y)(
1 x
+
a y
)
≥
9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a
的最小值为
5
y2 2
=
1，求 x
1 + y2 的最大值。
22、已知 x，y 为正实数，3x + 2y = 10，求函数 y = 3x + 2y 的最值。
23、求函数 y =
2x - 1 +
5
-
2x
1 （2
<
x
<
5 2
）的最大值。
技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式
24、已知 a，b 为正实数，2b
+
ab
x2 + 4
14、若实数满足 a + b = 2，则 3a + 3b 的最小值是
。
15、若
+
=
2，求
1 x
+
1 y
的最小值，并求 x、y 的值。
技巧六：整体代换
16、已知 x
>
0，y
>
0，且
1 x
+
9 y
=
1，求 x
+
y 的最小值。
2
17、若 x、y∈R+且 2x
+
y
=
1，求
1 x
+
1 y
的最小值
9、已知两个正数 a，b 满足 a
+
b
=
4，求使
2 a
+
8 b
≥
m 恒成立的 m 的范围
10、函数 y =
- 1（a>0，a≠1）的图像恒过定点 A，若点 A 在直线
mx
+
ny
+
1
=
0 上，其中 mn
>
0，求则
1 m
+
1 n
的最小值为
11、已知 x x x x 1· 2·…· · 2009 2010 = 1，且 x x x x 1、 2… 2009、 2010 都是正数，则（1 + x1）
均值不等式应用（技巧）
技巧一：凑项
1、 求 y
=
2x +
x
1 -
3
பைடு நூலகம்
（x
>
3）的最小值
2、已知 x
>
3 2
，求 y
=
2 2x -
3
的最小值
3、已知 x
<
5 4
，求函数 y
=
4x
–
2
+
1 4x -
5
的最大值。
v1.0 可编辑可修改
技巧二：凑系数 4、当 0 < x < 4 时，求 y = x(8 - 2x)的最大值。
v1.0 可编辑可修改
18、已知 a，b，x，y∈R+ 且
a x
+
b y
=
1，求 x
+
y 的最小值。
19、已知正实数 x，y 满足 2x
+
y
=
1，求
1 x
+
2 y
的最小值
20、已知正实数 x，y，z 满足 x
+
y
+
z
=
1，求
1 x
+
4 y
+
9 z
的最小值
技巧七：取平方
21、已知 x，y 为正实数，且 x2 +
（1 + x2）…（1 + x2009）（1 + x2010）的最小值是
12、已知直线 l 过点 P（2，1），且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点，O
为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为
13、若 x、y、z∈R+，x
-
2y
+
3z
=
0，求
y2 xz
的最小值
14、已知 A（0，9）、B（0，16）两点，C（x，0）是 x 轴上任意一点，求当点 C 在何位置时，∠ACB 最大
=
x2 +
3x x
+
1
（x
>
0）
1
的值域
v1.0 可编辑可修改
10、已知 x
>
2，求 y
=
x2 - 3x + x-2
6
的最小值
11、已知 a
>
b
>
c，求 y
=
a a
-
c b
+
a b
-
c c
的最小值
12、已知 x
>
-1，求 y
=
x+1 x2 + 5x +
8
的最大值
技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数 y = x2 + 5 的值域。
5、设 0
<
x
<
3 2
时，求 y
=
4x(3
-
2x)的最大值，并求此时 x 的值。
6、已知 0 < x < 1 时，求 y = 2x(1 - x) 的最大值。
7、设 0
<
x
<
2 3
时，求 y
=
x(2 - 3x) 的最大值
技巧三：分离
8、求 y
=
x2 + 7x x+
+ 1
10
（x
>
-1）的值域；
9、求 y
x 3x
+
1
≤
a 恒成立，则 a 的取值范围是
。
6、若点 A（-2，-1）在直线 mx
+
ny
+
1
=
0 上，其中 mn
>
0，则
1 m
+
2 n
的最
4
v1.0 可编辑可修改
小值为 7、已知 x + 3y – 2 = 0，则 3x + 27y + 1 的最小值为 8、若 x，y∈（0，+ ）且 2x + 8y – xy = 0，求 x + y 的最小值
1、已知 x
>
0，y
>
0，满足 x
+
2y
=
1，求
1 x
+
1 y
的最值
2、若 x
>
0，y
>
0，且
2 x
+
8 y
=
1，求 xy 的最值
3、若-4
<
x
<
1，求
x2 - 2x 2x -
+ 2
2
的最大值
4、函数 f (x) =
x2 x4 +
2 （x ≠ 0）的最大值是
；此时的 x 值为
。
5、若对任意 x
>
0，x2 +