概率统计学第一章
概率论与数理统计学1至7章课后答案
一、习题详解：3.1设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为:1222,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ----⎧--+≥≥=⎨⎩其他求}{12,35P X Y <≤<≤.解：因为 257(2,5)1222F ---=--+，6512221)5,1(---+--=F5322221)3,2(---+--=F ，4312221)3,1(---+--=F所以 )3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(F F F F Y X P +--=≤<≤<==+--=----745672322220.02343.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X 表示取到的黑球的个数, 用Y 表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X ,Y )的可能取值为(2,2),(3,1)且 0)1,2(===Y X P ，6.053)2,2(452223=====C C C Y X P 4.052)1,3(451233=====C C C Y X P ，0)2,3(===Y X P 故(X ,Y )的概率分布为3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X 表示在3次中出现正面的次数, 用Y 表示3次中出 现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为|32||)3(|-=--=X X X Y ，又X 的可能取值为0,1,2,3 所以(X ,Y )的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 81)21()3,0(3====Y X P ，83)21()21()1,1(2113====C Y X P 83)21()21()1,2(1223====C Y X P ，81)21()3,3(3====Y X P故(X ,Y )3.4设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(6),01,02,(,)0,a x y x y f x y --≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他 (1) 确定常数a ;(2) 求}{0.5, 1.5P X Y ≤≤(3) 求{(,)}P X Y D ∈,这里D 是由0,0,1x y x y ==+=这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为dxdy y x a dxdy y x f ⎰⎰⎰⎰--=+∞∞-+∞∞-102)6(),(dx x x a dx y x a ⎰⎰---=---=10221022])4()6[(2])6(21[a dx x a 9)5(210=-=⎰由1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得9a =1，故a =1/9.(2) dxdy y x Y X P ⎰⎰--=≤≤5.005.10)6(91)5.1,5.0( dx x dx y y x ⎰⎰--=--=5.005.005.102]89)6(23[91]21)6([91 125)687(5.00=-=⎰dx x (3) 1101{(,)}(,)(6)9xDP X Y D f x y dxdy dx x y dy -∈==--⎰⎰⎰⎰278)1211(181]21)6([9110210102=--=--=⎰⎰-dx x x dx y y x x3.5 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为:(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1) 求分布函数(,)F x y ; (2) 求}{P Y X ≤解：(1) 求分布函数(,)F x y ; 当0,0x y >>，(2)220(,)(,)22(1)(1)yxyxx yu v u v x y F x y f u v dudv e dudv e du e dv e e -+-----∞-∞====--⎰⎰⎰⎰⎰⎰其他情形，由于(,)f x y =0，显然有(,)F x y =0。
概率与统计课件(一)概率论的基本概念
2
0
A B
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事
件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B. 事件A1，A2，…An 的和记为 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
上一页 下一页 返回
表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共
上一页
下一页
返回
例1.27 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机 取巧，随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？
解 设B=“他至少填对6道”.每答一道题有两个可能的 结果：A=“答对”及 =“答错”，P（A）=1/4，故 作10道题就是10重贝努里试验，n=10，所求概率为
定义1.2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时, 频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数 n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的 概率，记为 P ( A) p
上一页
下一页
返回
2、概率的公理化定义
定义1.3
上一页
下一页
返回
概率的性质：
上一页
下一页
返回
上一页
解 设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间， B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本 空间Ω的一个划分，且有 P（A1）=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2， P(B｜A1)=0.04，P(B｜A2)=0.02，P(B｜A3)=0.05.
上一页 下一页 返回
第三节 条件概率、全概率公式
1、条件概率的定义
上一页
下一页
返回
• 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{bb,bg,gb,gg} • （1）事件A=“家中至少有一个女孩“发生的概率？ • (2)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”，再求事 件A发生的概率？ •
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论与数理统计第一章1-4高职高专
A
B
时发生
A1 , A2 ,, An 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,, n A1 , A2 ,, An , 两两互斥
Ai Aj , i j, i, j 1,2,
7. 事件的对立
AB , A B
习 题（P 50-51） 1.
ABC 2% 23% 20% 3% 7% 5% ABC
B
C
ABC 30%
A
2. (1) ABC=A
BC
B A
C
(2)
A
B C
3. 试把 相容的事件的和。
表示成n个两两互不
A
B
AB
ABC
C
6. 解：
(1) (2) (3) (4) (5)
第三节
频率定义
频率与概率
频率——对于随机事件A，若在N次试验中出现
—— A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中
B A
A
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)， 记为 B A 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
8. 完备事件组
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且 Ai
n
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,, An 为 的一个分割
(1) 将3名优秀生分配到三个班级，共有3！种分 法，其余12名新生平均分配到三个班级，共有 种分法，因此所求概率为
交换 ( B C ) ( AB)C A( BC ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C ) A ( BC ) ( A B)( A C )
概率论与数理统计1.1随机事件
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 { 0 , 1, 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
例如
只包含两个样本点的样本空间
{H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
统计推断、预测或者决策。
2.《概率论与数理统计》的地位
《概率论与数理统计》是高校理、工、农、 医科、经济类、管理类等本科专业必修的一门 重要的基础课，也是这些硕士研究生入学考试
的一门必考科目。
3.《概率论与数理统计》与其它学科 的联系及其应用
●《概率与数理统计》是一门应用性很强又 颇具特色的数学学科，它在工程技术、科学研 究、经济管理、企业管理、经济预测等众多领 域都有广泛的应用；
0 1 100 n 答案：（ 1） { , , , } n n n ( 2 ) { 3 , 4 , ,10 }, ( 3 ) { 3 , 4 , } ( 4 ) {10 ,11 , }, ( 5 ) { AB , AC , AD , AE , BA , BC , BD , BE , CA , CB , CD , CE , DA , DB , DC , DE , EA , EB , EC , ED }, ( 6 ) {甲胜乙负，甲负乙胜， 平局 }
例如 可设 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等 等.
随机事件与样本空间的关系
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
统计学第一章思考题及习题
统计学第一章思考题及习题第一章思考题及习题：?单选题：?1.在统计学的形成和发展过程中，首先将古典概率论引入社会经济现象研究的学者是( A)。
?A.阿道夫・凯特勒B.威廉・配第C.约翰・格朗特D.赫尔曼・康令B.构成总体的单位，必须是不同的?2. 在确定统计总体时必须注意()A。
?A. 构成总体的单位，必须是同质的?C.构成总体的单位，不能有差异D.构成总体的单位，必须是不相干的单位?3.一个统计总体(D)。
?A.只能有一个标志 B.只能有一个指标 C.可以有多个标志D.可以有多个指标?4.在某地区2021年GDP和人均GDP资料中，属于下面哪一种类统计指标(B)。
?A.客观指标和主观指标 B.数量指标和质量指标?C.时期指标和时点指标 D.实体指标和行为指标?5.对某市高等学校科研所进行调查，统计总体是(D)。
?A.某市所有的高等学校B.某一高等学校科研所?C.某一高等学校D. 某市所有高等学校科研所?6.要了解某市国有工业企业设备情况，则统计总体是(?)。
?A.该市全部国有工业企业B.该市每一个国有工业企业?C.该市国有工业企业的全部设备D.该市国有工业企业的每一台设备?7.有200个公司全部职工每个人的工资资料，如要调查这200个公司职工的工资水平情况，则统计总体为（A）。
?A.200个公司的全部职工工资 B.200个公司 C.200个公司职工的全部工资 D.200个公司每个职工的工资?8.下列标志中属品质标志的是（A）?A.性别B.年龄C.商品价格D.工业企业的总产值?9.某企业职工人数为1200人，这里的“职工人数1200人”是（C）。
?A.标志B.变量C.指标D.标志值?10.某班四名学生统计学考试成绩分别为70分、80分、86分和95分，这四个数字是（B）。
?A.标志B.标志值C.指标D.变量?11.工业企业的职工人数、职工工资是（D）。
?D.前者是离散型变量，后者是连续型变量?A.连续型变量B.离散型变量C.前者是连续型变量，后者是离散型变量?多选题：?1.对某市工业生产进行调查，得到以下资料，其中的统计指标是(BCE)。
吴赣昌编概率论与数理统计第1章
事件可以用文字表示，事件也可以表示为样 本空间的子集，后者反映了事件的实质，且 更便于今后计算概率。 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之 间有一定的关系，事件之间的关系是由他们 所包含的样本点所决定的，这种关系可以用 集合之间的关系来描述。
四、事件之间的关系
（熟练掌握）
1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样 本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：A＝B AB且BA。
A B A B,
k k
AB A B
可推广 Ak Ak ,
5、差积转换律
A A .
k k k k
A B A B A ( A B)
例1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运 算关系表示下列事件：
A B C
1.2 频率与概率
1. 频率 定义 1.设在相同条件下， 进行了n次试验，若随机 事件在n次试验中发生了r A 次，则此比值：
n
rn A n 称为事件A在n次试验中发生的频率，记作 fn A，即
r A n fn A = n
频率具有如下的性质 (1)对任一事件A，0 fn(A) 1；
第一章 随机事件及其概率
随机事件及其运算 频率与概率 古典概型和几何概型
条件概率
事件的独立性
1.1随机试验、样本空间、随机事件
一、随机试验（简称“试验”） 试验Ⅰ：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出 一球 试验Ⅱ：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个 黑色，搅匀后任意摸出一球 随机试验的特点(p2) (1)试验可以在相同条件下大量重复进行； (2) 每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所 有可能的结果—可观察性； (3) 进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行 大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律 性。 满足上述特点的试验称为随机试验，一般记为E。
概率与统计学总结
设 A, B,C 为事件，则有 交换律： A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A. 结合律： A∪ (B ∪ C) = (A∪ B) ∪C; A∩ (B ∩ C) = (A∩ B) ∩C. 分配律： A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 德·摩根律： A∪ B = A ∩B; A∩ B = A ∪ B.
乘法定理： 设 P(A)>0，则有 P(AB)=P(B｜A)P(A) 一般，设 A1, A2, … , An 为 n 个事件，n≥2,且 P( A1A2 ^ An−1) >0,则有
P( A1 A2 ^ An ) = P( An ｜ A1 A2 ^ An−1)P( An−1 ｜ A1A2 ^ An−2 )^ P( A2 ｜ A1)P( A1)
设 A,B,C 是三个事件，如果满足等式： P( AB) = P( A)P(B) P( AC) = P( A)P(C) P(BC) = P(B)P(C) P( ABC) = P(A)P(B)P(C) 则称事件 A,B,C 相互独立。
一般，设 A1, A2, … , An 是 n(n≥2)个事件，如果对于其中任意 2 个，任意 3 个，……，
划分： 设 S 为试验 E 的样本空间， B1, B2, ^ Bn 为 E 的一组事件，若 1. Bi Bj = φ,i ≠ j,i, j = 1,2, ^ , n 2. B1 ∪ B2 ∪^ Bn = S , 则称 B1, B2, ^ Bn 为样本空间 S 的一个划分
全概率公式： 设 试验 E 的 样本空间 为 S ， A 为 E 的 事件， B1, B2, ^ Bn 为 S 的 一个划分 ，且 P(Bi ) > 0(i = 1,2, ^ , n) ，则 P( A) = P( A ｜ B1)P(B1) + P( A ｜ B2 )P(B2 )+^+P( A ｜ Bn )P(Bn )
概率论与数理统计教案(48课时)
概率论与数理统计教案（48课时）第一章随机事件及其概率本章的教学目标及基本要求(1)理解随机试验、样本空间、随机事件的概念；(2)掌握随机事件之间的关系与运算，；(3)掌握概率的基本性质以及简单的古典概率计算；学会几何概率的计算；(4)理解事件频率的概念，了解随机现象的统计规律性以及概率的统计定义。
了解概率的公理化定义。
(5)理解条件概率、全概率公式、Bayes公式及其意义。
理解事件的独立性。
本章的教学内容及学时分配第一节随机事件及事件之间的关系第二节频率与概率2学时第三节等可能概型(古典概型)2学时第四节条件概率第五节 事件的独立性2学时三.本章教学内容的重点和难点1）随机事件及随机事件之间的关系;2）古典概型及概率计算;3）概率的性质;5）独立性、n 重伯努利试验和伯努利定理四.教学过程中应注意的问题1）使学生能正确地描述随机试验的样本空间和各种随机事件;2）注意让学生理解事件4uB,AuB 、AcB,4-B,4B = ®,A... 的具体含义,理解事件的互斥关系；根定律；4)条件概率, 全概率公式和Bayes 公式 3) 让学生掌握事件之间的运算法则和德莫4）古典概率计算中，为了计算样本点总数和1)事件的有利场合数，经常要用到排列和组合，复习排列、组合原理；2)讲清楚抽样的两种方式有放回和无放回；思考题和习题思考题：1.集合的并运算和差运算-是否存在消去律？2.怎样理解互斥事件和逆事件？3.古典概率的计算与几何概率的计算有哪些不同点？哪些相同点？习题：第二章随机变量及其分布本章的教学目标及基本要求(1)理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型和连续型随机变量的概率分布及其性质，会运用概率分布计算各种随机事件的概率；(2)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的分布律或密度函数及性质；二.本章的教学内容及学时分配第一节随机变量第二节第二节离散型随机变量及其分布离散随机变量及分布律、分布律的特征第三节常用的离散型随机变量常见分布（0-1分布、二项分布、泊松分布）2学时第四节随机变量的分布函数分布函数的定义和基本性质，公式第五节连续型随机变量及其分布连续随机变量及密度函数、密度函数的性质2学时第六节常用的连续型随机变量常见分布（均匀分布、指数分布、正态分布）及概率计算2学时三.本章教学内容的重点和难点a）随机变量的定义、分布函数及性质；b）离散型、连续型随机变量及其分布律或密度函数，如何用分布律或密度函数求任何事件的概率；C）六个常见分布（二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布）；四.教学过程中应注意的问题a）注意分布函数F（x） P{X x}的特殊值及左连续性概念的理解；b）构成离散随机变量X的分布律的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；c）构成连续随机变量X的密度函数的条件，它与分布函数F（x）之间的关系；d）连续型随机变量的分布函数F（x）关于x处处连续，且P（X x） 0，其中x为任意实数，同时说明了P（A） 0不能推导A 。
茆诗松概率论与数理统计教程课件第一章 (2)
4. 求概率的几何方法
例四. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求 其中恰有k(k≤D)件次品的概率.
解 : 样本空间就是从 N个产品中取 n件的不同 方式, 样本点数就是方式数
n CN
所求事件是 n个产品中有 k件次品 , 这个事件可以 通过两个步骤完成 :
k (1)从D件次品里取 k件, 方式数为 C D
n k (2)从N D个正品中取 n k件, 方式数为C N D
概率的定义并没有告诉人们如何去求概率, 也没有 说一个特定的样本空间对应一个特定的概率, 只 是告诉人们以任何方式定义的概率必须满足的条 件.
概率的求法, 根据问题的特点, 分别采取以下 的不同途径进行:
• 频率方法
• 古典方法
• 几何方法
2. 求概率的频率方法
事实上, 人们很早就开始了这方面的思考. 例如, “频 率”早就被引入来描述事件发生的频繁程度. 为了研究女婴出生的可能性, 统计学家克 拉梅(1893-1985) 利用瑞典1935年的官 方资料, 测得女婴出生的频率在0.482左 右摆动, 从而得出女婴出生的概率为 0.482.
分房模型在统计物理学里也有应用. 在那里将本例 中的“人”理解成“粒子”, “房间”理解成不同 的“能级”.
例七.(生日问题) 某班级有n个人 (n≤365), 问至少 有两个人的生日在同一天的概率有多大? 解: 假定一年按365天计算, 把365天当作365个“房间”,
那么问题类比于例五. 这时, 事件“n个人生日全不相同”就相当于例五中 的(2):“恰有n个房间, 其中各住一人”. 令A={n个人中至少有两个人的生日在同一天}, 则其 对立事件是{n个人的生日全不相同}. 根据例五(2)知
第一章 概率论的基本概念
随机事件：
随机试验E的样本空间 的子集称为E的随机事件，
简称事件
通常用大写字母 A ,B ,C,…表示
在每次试验中，当且仅当这一子集中的某一个 样 本点出现时，称为这一事件发生
上一页
下一页
返回
基本事件 —— 由一个样本点组成的单点集
必然事件——每次试验中都必然发生的事件, 记为, 不可能事件——在每次试验中不可能发生的 事件，记为
试验中发生的频率，记为 频率具有下列性质： (1)对于任一事件A，有
称为事件A在n次
(2)
上一页 下一页 返回
上一页
下一页
返回
频率稳定性 随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以 不出现，但在大量试验中它却呈现出明显的规 律性（频率在某数附近摆动）---频率稳定性。
历史上著名的统计学家蒲丰（Buffon）和皮尔逊 （Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表 所示.
B=“T超过20000小时” ={T| T>20000}. 所以，A∩B={T| T>20000 }=B
5.事件的差
定义:“事件A发生而 B不发 生”的事件称为 A 与 B 的差 ，记为A-B. A B
A B
A B
例1:抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过3”，B=“出
现偶数点” .则A={1，2，3}， B={2，4，6}.
样本点
样本空间的元素， 即E的每个基本结果 称为样本点
例1 给出一组随机试验的例子
E1 抛一枚硬币，观察正面和反面出现的情况
E2： 在一批电视机中任意抽取一台， 测试它的寿命
记录某地区一昼夜的最高温度与最低温度 E3：
E4： 城市某一交通路口，指定一小时 内的汽车流量
概率论与数理统计1-1(已讲)
• 平时成绩占30%,期末成绩占70%.(43) 平时上课迟到早退三次算缺勤一次(扣平时分 5分) 平时作业情况:书上每两小节结束后留一次作 业;杜绝抄袭现象(抄袭与被抄袭者皆罚).反 映真实情况.而且根据作业情况,适当的调整 课程的进度. 期末考试形式:闭卷
• 本书的大体结构如下: • 第一章:基本知识,但是很重要,为后续章节作 铺垫(涉及到一些排列组合的知识). • 第二、三章是重点，涉及到以前高数、微 积分中的一重积分二重积分公式。倒时候 会给大家复习一下。 • 第四章概念比较多和第一章的地位差不多。 为了讲解第五章埋下伏笔。
n( A) lim P {| − p |< ε } = 1 n →∞ n
伯努利大数定律表明，当独立重复试验次数 伯努利大数定律表明，当独立重复试验次数n 充分大时，事件A发生的频率 发生的频率n(A) / n与事件 的概 与事件A的概 充分大时，事件 发生的频率 与事件 非常接近. 率p非常接近 非常接近 伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件 概率的方法. 概率的方法
Page 8
年至1940年间，概率论的研究一方 年间， 在1900年至 年至 年间 面是极限理论的发展、随机过程理论的建立， 面是极限理论的发展、随机过程理论的建立， 另一方面是系统的研究概率的基本概念， 另一方面是系统的研究概率的基本概念，特 别是俄国数学家柯尔默哥洛夫于1933年发表 别是俄国数学家柯尔默哥洛夫于 年发表 概率的公理化结构” 的“概率的公理化结构”为概率理论奠定了 严格的逻辑基础。 严格的逻辑基础。
• 于是他请教法国数学家帕斯卡，帕斯卡邀请 于是他请教法国数学家帕斯卡， 另一位法国数学家费马共同研究， 另一位法国数学家费马共同研究，后来荷兰 科学家惠更斯得知后，也开始了研究， 科学家惠更斯得知后，也开始了研究，并于 1657年写出了《论掷骰子游戏中的计算》， 年写出了《 年写出了 论掷骰子游戏中的计算》， 这是研究概率问题的最早的论著。 这是研究概率问题的最早的论著。
概率论第一章
(1) 0 f ( A) 1; (2) f () 1, f () 0; (3) 若A, B互斥, 则 f ( A B) f ( A) f ( B).
推广：(两两互斥事件组) 设 A1 , A2 ,..., An ,... 是样本空间中有限个 或可列个事件，若满足 Ai Aj ,(i j ) ，则称 A1 , A2 ,..., An ,... 是两两互斥的，或称其是两两互斥事件组。 (7) 互逆(对立)事件：若 AB 且A B ，则称A,B为互逆 事件，或称A与B互相对立。逆事件可表示为： A A (8) 完备事件组：设事件组 A1 , A2 ,..., An 为两两互斥事件组，且 A1 A2 ... An ，则称 A1 , A2 ,..., An 是一个完备事件组。 划分 剖分 分解 事件间的运算规律： 与集合运算相似 交换律 结合律 分配律
2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E( X C) E( X ) C
3. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有
E (CX ) CE ( X )
例如 E ( X ) 5, 则 E ( 3 X ) 3 E ( X ) 3 5 15.
对偶律 自反律
例4 一射手连续向某个目标射击三次，事件 Ai 表示该射手第i次射 击时击中目标，使用文字叙述下列事件：
A1 A2
A2 A1 A2 A3
A1 A2 A3
前两次至少有一次击中目标 第二次没有击中目标 三次射击至少有一次击中目标 三次射击都击中目标
概率论与数理统计第一章思维导图
概率论与数理统计第一章思维导图概率论与数理统计第一章思维导图：
1、统计学：统计学是研究发生在实际或理论中事件的过程，用于估计实际可能发生的情况和结果的科学。
2、概率：概率是描述实际事件发生的可能性的一种计量方法，它是一种相对的度量。
3、不确定性：不确定性是模型构建中的基本要素，它反映了模型在实际应用中不能精确描述实际情况，而要做出可能与实际有所偏差的预测。
4、随机变量：随机变量是统计分析中的基本概念，它表示一类事件发生时观测到的可能结果。
5、概率分布：概率分布是描述事件发生的概率特性的方法，通过它可以掌握事件可能发生某种结果的概率大小。
6、离散型概率分布：离散型概率分布的核心思想是将随机变量的取值划分为一些互斥的概率事件，并为每个概率事件提供发生概率。
7、连续型概率分布：连续型概率分布是在随机变量的取值期间取得连续概率分布及其密度函数的方法，它提供了一种可靠的可量化的方法来描述随机事件的发生可能性。
8、期望：期望是统计学中的一种有效度量，它反映了随机变量取不同值时的期望值大小，期望也是统计分析的基础。
9、方差：方差是衡量随机变量发生结果的变异程度的重要参数，它还可以衡量偏差量与期望量之间的差异。
10、协方差：协方差是衡量两个随机变量发生结果之间的线性相关性的参数，它可以用来衡量两个变量之间发生的相关性大小。
概率论与数理统计
第一章第一章 随机事件1.1 概述§1.1§1.2 事件的概率§1.3 古典概率模型§1.4 条件概率§1.5 事件的独立性二.有无限个可数个可能结果的随机试验.例1:观察某交换台早晨8:00-9:00接到电话的次数,设数字i 表示呼叫次数, i =0,1,2=0,1,2……..,则: Ω={0,1,2,={0,1,2,…….}三.可能结果不可数的随机试验.例1:在分析天平上称量某物品并记录称量的结果.记x 为此物的称量, 则Ω={|0}x x ≥例2:在一批灯泡中任取一个，测其寿命记t 为所取灯泡的寿命, 则Ω=}0|{≥t t 例3:观察某块地的玉米产量. 记y 为此块地的玉米产量, 则Ω={|0}y y M ≤≤类似的可推广到多个事件相加,以及无数可列个事件相加.n 个事件的并（和）12,,,n A A A ⋯表示n 个事件中至少有一个发生,记为n A A A +++⋯21nA A A ∪∪∪⋯21可列个事件的并（和）12,,,,n A A A ⋯⋯11n nn A A A ∞=+++=∑⋯⋯表示可列个事件中至少有一个发生,记为或是1nn A ∞=∪或“可列个”在本学科里通常表示无限个可数的。
ABAB-A AAB A-B⇒⇔事件例 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数：事件A 表示“奇数点”；B 表示“偶数点”；C 表示“小于3的点”，D 表示“大于2小于5的点” E 表示“大于4的点”,求事件间的关系.D ={3,4}, E ={5,6}, Ω={1,2,3,4,5,6}解:显然有:A ={1,3,5}, B ={2,4,6}, C ={1,2}互不相容事件有:A 与BC 与D, 或说事件C,D,E 两两互不相容对立事件有:A 与BD 与E,C 与EC D E ++=ΩA B +=Ω又因为A,B 构成Ω的一个最小的划分C ,D ,E 构成Ω的一个划分1.[关系]事件的包含2. [关系]事件的相等：3. [运算]事件的并（和）4. [运算]事件的交（积）5.[运算]事件的差(A-B)6.[关系]互不相容事件（互斥事件）7.[关系]对立事件(互逆事件)8.[关系] Ω的一个划分小结本节首先介绍随机试验、样本空间的基本概念，然后介绍随机事件的各种运算及运算法则。
概率论与数理统计第1章
概率统计是研究随机现象数量规律的数学学科, 理论严谨, 应用广泛, 发展迅速. 目前, 不仅高等学校各专业都开设了这门课程, 而且从上世纪末开始，这门课程特意被国家教委定为本科生考研的数学课程之一，希望大家能认真学好这门不易学好又不得不学的重要课程.《概率论与数理统计概率论与数理统计》》前言《应用概率统计应用概率统计》》 主要教学参考书陈魁 主编 清华大学出版社《概率论与数理统计概率论与数理统计》》刘军凤 等编著 科技文献出版社（复习指导书)每周第一次课收前一周作业，课代表收齐按名单序号排好后课前交教师。
答疑：每周3，晚7：00~9：00，3教5楼教师休息室国内有关经典著作1.1.《《概率论基础及其应用概率论基础及其应用》》 王梓坤著 科学出版社 1976 年版 2.《数理统计引论数理统计引论》》陈希儒著 科学出版社 1981年版国外有关经典著作1.《概率论的分析理论概率论的分析理论》》P.- S.拉普拉斯著 1812年版2. 《统计学数学方法统计学数学方法》》H. 克拉默著 1946年版概率论的最早著作数理统计最早著作 概率统计专业首位中科院院士本学科的 A B C概率(或然率或几率) ) ——————随机事件出现的可能性的量度————其起源用骰子赌博. 1616世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；中的一些问题；171717世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家世纪中叶，法国数学家B. B. B. 帕帕斯卡、荷兰数学家斯卡、荷兰数学家C. C. C. 惠更斯惠更斯惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂方法，研究了较复杂 的赌博问题，的赌博问题， 解决了“ 合理分配赌注问题” 。
概率论是研究客观世界随机现象数量规律的 数学分支学科.19331933年苏联柯尔莫哥洛夫完成了概率的公理化体系。
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策的科学艺术使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是瑞士数学家是瑞士数学家J.J.J.伯努利；而概率论的飞速发展伯努利；而概率论的飞速发展则在则在171717世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后世纪微积分学说建立以后.. 概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用.但是它们是两个并列的数学分支学科，并无从属关系.本学科的应用概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如1.1. 气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与 概率论 紧密相关；2. 产品的抽样验收，新研制的药品能否在3. 寻求最佳生产方案要进行 实验设计 和数据处理；临床中应用，均需要用到 假设检验；4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计;5. 探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用;6. 研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述;7. 在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；8. 许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都可用一类概率模型来描述，其涉及到的知识就是排队论.目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用概率统计方法. 正如法国数学家拉普拉斯所说: “生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”第一章概率论的基本概念§1 随机试验§2 样本空间、随机事件§3 频率与概率§4 等可能概型§5 条件概率§6 独立性序 言1.自然界和人类社会中的两类不同现象：例：同性电荷相斥.北京地区7、 8、 9三个月的降雨量.一个标准大气压下,100o 水沸腾.朝某方向一直走，终究返回原地.例：癌症患者手术后生存时间.我校西面马路上一个月内发生车祸的次数.一定条件下必发生称为必然现象新生婴儿的体重.随机现象随机现象是不是没有规律可言?2.随机现象统计规律的实例：肿瘤医院医生对其病人手术后生存时间估计很准确。
概率论与数理统计第一章5节-2
贝叶斯 (1702─1761)
英国数学家. 是一位自学成才的数学家.曾 助理宗教事务，后来长期担任坦布里奇韦 尔斯地方教堂的牧师.1742年，贝叶斯被 选为英国皇家学会会员.1763年，贝叶斯 发表《论机会学说问题的求解》中，提出 了一种归纳推理的理论， 其中的“贝叶斯定理（或贝叶斯公式）”给出了在已 知结果后，对所有原因计算其条件概率（后验概率） 的公式，可以看作最早的一种统计推断程序，以后被 一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为 贝叶斯方法.
B2
B3
B1
Bn1 Bn
返回主目录
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个 红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红 球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球， 求取得红球的概率. 解：记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球}
1
2
3
A发生总是伴随着B1，B2， B3 之一同时发生， 运用加法公式得 即 且 A= AB1+AB2+AB3， AB1、AB2、AB3两两互斥
第一章 概率论的基本概念
例 2 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种
试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验
反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验
反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 分析如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 则 C 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005，P(C)=0.995, P(A|C)=0.95， P(A| C )=0.04
•问题：抽签是否公平？即P(B)=P(A)=4/10
是否成立？需要求B的全概率。
概率论与数理统计第一章
可见，既可以用文字表示事件，也可以将事件表 示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质， 且更便于今后计算概率。 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有 一定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH 时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C 在任何情况下均不可能同时发生。 易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点 所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描 述。
帕斯卡和费马（P. de Fermat）在通信中讨论了 点数问题及其他问题。他们把这些日常赌博问题 变成了真正的数学问题，用排列组合理论得出正 确解答，并提出了数学期望的这一核心概念。现 在，大家公认他们二人是概率论的共同创立者。
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些 生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相 似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这 些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发 展。
前
言
概率论是研究偶然、随机现象的规律性的数学理 论，产生于17世纪中叶。 概率论发展初期，主要是从讨论赌博问题开始的。 16世纪的意大利学者吉罗拉莫· 卡尔达诺 （Girolamo Cardano）研究了掷骰子等赌博中的 一些简单问题。
到了17世纪中叶，法国宫廷贵族中间盛行掷骰子 游戏。 据说，1654年左右，爱好赌博的法国人梅雷写信 向帕斯卡（B.Paseal）请教了著名的“点数问题” 或“赌金分配问题” 。
集合A与集合 B的和或并
A
A B
B
n个事件A1,A2,…,An的和 C Ai
例1.1
E1: 抛一枚硬币， 观察出现正面H和反面T的情况；
E2: 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况； E3: 将一枚硬币连抛三次，观察出现正面的次数；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
开 关 a,b,c闭
合 ,D表
示 灯 亮
则可
=(Π v歹 丿z「 D≡ ABt/c; D ∶ (B取 6、设 Ⅱ () 1在 什 么 条 件 下 P/) ,B是 两事件且 P(爿 )=0.6,P(B)=0.7,问 大值,最 大值是 多少? (2)在 什 么条件下 P(刀B)取 到最小值,最 小值是 多少? ^9、 ^PCA丿 ‘ 沟 涕 欠伍 . c∧ D’ l冫 【 ∧Cβ . 卩
万 9`CB/n^丿
=3 =:J ` 9D/
=空 '击 十亠一r
° /口 。
学院
班 姓
名
学 号
^′自 溺 袋平″ ″从 甲 社 u乙 筅牢屮 谄 泅ˉ
"AA罕
19、设有甲、乙两袋,甲 袋装有 ″只白球,〃 只红球;乙 袋中装有 Ⅳ只白球,M只 红球 , 一 今从 甲袋中任取一 只球放入 乙袋中,再 从 乙袋中任意取 只球 ,问 取到 白球的概率是 ^11” 自耐 ∴
、 。 午
`(B/泅
∷
'm:丨 疒
上旦 %1锆 宁
I
(B/∠ =置 ⒓ 凵口 =÷
;''H乙
/B,-^型
'A c·
’ BA ’丿 ( / ’
锱 罕
亠 △ ⒉ /' 亻孚
卜A√叮 男 峁 搓 呈 三等 芾 辂 双功 目 击
一枪 ,求 目标被 击 中的概率.
:广
⒐%乙
6+l ltfl/t+l=豸 ′
击 中辘
生产的可能性最 大 ?
焰 At="f饣 -Ht r岁
Dˉ
P(^l厂 素
"frT1
、 `(^· 厂 斋 `Fc^3`=浩 口、’' ′ =而 丿
^l ` ' 、 ^ 0 '
品
竹 7F丁
'`“
`(泅
t/B丿
午广 斋
,
. 4丿 =° 、 夕 :
tB冖 ⒋ 广 A忄 )Pf:/n讠
¨ 冖 99D Q`′
=° tε /泅 3丿 广冫 、
~
9ˉ P('。
、 ⒉
∴
=Pr月 `mB丿
广 `fA石 =」
`
D 氵 ∫
一
夕
`。 r =
δ’ P「 凵 = 卫 BC闩 丿上’ Pc/l,) 丿 两 |子 |舍 亭 ≠ '(b/A丿
坠 孕 -J
=P(∧ '′ ·
· 、
ˉ 丿 (β β’ P(内 ′ //l厂
十 ^′ · P(B’ f/J3丿
T∷
=管 〓 +l穸 ˉ · 7ζ f:=I乒
名
学 号
16、 十个考签 中有四个难的,三 人参加抽签 (不放 回),甲 先、乙次、丙最后,记 事件
求 `(刀 ),P(/B),P(/IB【 ,P(/BC)·
P(A3丿
=Pf4氵
’ /月 =亻 ·笋=彳 ← )丨(ε ’ 争 ∶ ” PtAˉ 丁 Pf丌
Pcc//qB丿 `
=一
Pc:/A丿
=菇
△
乃厂
B= PcA’
、:
/ot冲 -ln'叉
自 vf渤 荔
u乙
铷
'再 以 乙笏 屮
=
爿‰卜 B)=P(A’
P(什 ′
:u/n,--黼 丿十 Pt丌 丿 P cB/A^丿
.P tD/A^广
沛
,
Pt
。:/∧=斋 铺 坛十两|· 召 湍"(J=卜 汤 ·`3· · · 午 ’ (卩 卩 甲 z· 冈 T’
⒛ 、 18盒 同类 电子元件 中有 5盒 是 甲厂生产的 ,7盒 是 乙厂生产的 ,4盒 是 丙厂生产 在 任 的 ,其 余是丁厂 生产 的,该 四厂的产 品合格 品率依次 为 0.8,0.7,0.6,0.5,现 一 个厂 一 意从 某一 盒 中任取 个元件 ,经 测试发现是 不合格 品 , 试 问该盒产 品属于哪
/ˉ · /-〓 了
.4,问 以 上 的概 率 为 θ
乡
=∫
=`rAI丿
=万 湾 寸 `(丌 l· z丿
戈 多
现
歹 ?25年
倔
A="出
出 F泷
岁 刊 ⒉°
丿 /、
冖 'B="由
J芏 虍 :yJ2f岁
△
即 咖 P(B'/↑ 、· D匚 A ∴
∴ = `(B/A丿
钅 =∫ 争 锱 了÷
ˉˉ 3
学院
班 姓
18、 设 每 100个 男 人 中 有 5个 色 言 者 ,而 每 10000个 女 人 中 有 25个 色 言 者 ,今
在 3000
钾 氵
Pt"·
· =手 、 丿 ,Pt:/冖 P㈩ · y勺 γ 哇 /衤 1絮 纟茯
P(B丿 ˉ P(浒 )P(:/沔
广 昆
~击 氵
'卩 (:/;广
磊
=
伽 一
片
卜 ⊥ 仰
∧ 、 已^‘ 丌 . ∧
只有 一 个 产 品 是 次 品 ⒎ IA已 A3^+V4f面 少有 三 个产 品不 是 次 品 A1AaA,∧
(4)至
—
:0`t '丫
瑚 幺 ¨ _ 姓 _ j ˉ ˉ ~ _ ’ I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
5、 设 事 件 刀.B,C’ 分 别 表
用 事 件 刀 ,,表 BC 示 :
到 最
t )tB-L 冫 A/Fr'
∶ ?′ Pc/l:J∫|1Fr∶ 扌r :;∫
只 ⑷ =只 ③ =只 ○ =÷ ,只 碉 =只 妁 =⒐ 即 O=:,
五 /H肾|亻
⒎ 设 孔 曳 C是 三 =/+,且
求 /,B,C至
∵ ∧
少有一个发生的概率。
Bˉ 冖 Bc’ F口
厶‘ c∧ r, Pc∧
、 `口
″ .
Ⅱ z厂澎
磊
扌 纟 讠 坊 ^‘
率为 ⒐⒏ 幺
谄 A="罕 丘毕
丿 :)∶ = Pt∧
勹
B"莎 =z
屮
^。
丿· cB)一 Pr∧ 寸 P
u、 ε 十 °
一 、 尸
P (A)十
`tB’
PfA:丿
P“
° 、 ￡
丿 f:丿 ′
、 尸 ° I
、 ° `p
ˉˉ 5
学院
班 姓
名
学 号
22、 猎人在距 离 100m处 射 击一动物,击 中的概率 为 0.6;如 果未击中,则 进行第二次射 击。但因动物逃跑而使距 离变为 150m,如 果第二次又未击中,则 进行第 三次射 击,这 时距 离为 ⒛Om,假 定击中的概率与距离成反 比,求 猎人最多射击三次的情 况下击中动
三次射击中至少有一次击 中的概
霍 肛丿 和 栉
″ B〓 卟猞 确 -质
〃
″ 出 廿
。
'
1f1t夕
矸 农狎 1
u氵 .
=丨 P tB’
=OI午
jl(:∶ 巾 ,}fAJ` 珏 :f}:i崔 :i∶ :i;l晃 ;虍 ;i↓ `(瓦
rD、 夕 x0、 3十 ,、 ‘ 亻 Jif/D、 3十 9、 ‘ 丫 0、r× 。 7
窍兔
cJⅡ
些
品 的 概 率 为 ____ˉ
C石 J
=·
工;(2)至
少有 2个 次 品 的 概 率 为 ⊥ 二J匚
ˉ2ˉ
壬 蓬 ≡ =」
L兰
壬芦芝罗
C⒎ ∶ ∷
J
学院
姓名
学号
J洽 一 投入 8个 信箱 (有的信箱可能没有信),问 每个信箱 有 封信的概率 11、8封 信随 抄产 ˉ 冖 =l亠 --个 月的概爿 Fc^’ `c^丿 ∫ %匙 顶:的⊥ 日 在同 丁T渥 巧而鬲可不 12墁 嬷币而舀等∵宋灭
讠坎 五 井 夂 ″ cf引 '2、 多,. '丨 00=k
诌
At="矛
,`f^I丿
ˉ k=歹 冫
鱼 = 主
°
·
步 、 P(几
~∶
,C泅
~9 L , 、 下
航 瓦广
=万 瓦 丿
t= )旁
犭 /夕 1,9
`(瓦
IVA·
瓦 儿 ;饣 ≡ ∶ `(月
丿 ^;丿 =丨 ^尸
,/瓦
(泅
″
.
丿
Iv^LD瓦
= /~∫
c^G,A^BFt/∧ Bc
至 少 有 一 个 发 生 AVBt/C; (4)彳 不发 生 ∧ β C
∶(6) /,B.C中
发生 用
,B,C都
不 多 于 一 个 发 生 A^瓦 Et/^Ξ
(7)/,B,C中
4 设 、 用 一
不 多 于 两 个发 生 ∧ VBVg(8)/,B9C中
了 四 个 零 件 , Ⅱ l 表 示 事 件 “ 他 生 产 的 第 ' 个
10只 产品 中有 3只 次品 ,每 次从其中取一只 (取后不放回),直
取 出 ,写 出 抽 取 次 数 的 样 本 空 间 :Ω =「 3、 仵 `s' ˉ
到将 3只 次品都
' 丨 0,
¨·
ˉ 若 放 回 ” F = 地 抽 取 则 , Ω 午 ' · ' 5 '
…
有
l
2、说 出下列各对事件的关系
≤
c泅 pc9≤ 尸 ˉ
P(用
=口 β丿
冖 P(Ac丿
c’ ==P(A丿 P(Au B丿 〓 亻