共焦腔中基模的光斑尺寸
对称共焦腔内外的光场分布资料教学提纲
um(n x,y)C mH nm (
L 2x)H n(
2y)exL 2 y2 L
（3-18）
① 基模: 取（3-18）式中 m=n=0，得到共焦腔方型镜上基模
TEM00 场的分布 因为
所以
H0() 1
xL2y2
u00(x,y)C00e
可见，基模在镜面上的分布是高斯型的，模的振幅从镜
中心（x=y=0）向边缘平滑地降落。在离中心的距离为
i[kL(mn1) ]
mn e
2
νmnmqn2(qmLcn2c1)L2mn
νmnq2 cL[q1 2(mn1)]
共焦腔的CO2激光器 ω0s≈1.84mm
L=30cm , λ=0.6328μm,共焦腔的He—Ne激光器
ω0s≈0.25mm 可见，共焦腔的光斑半径非常小。
由
0s
L 可知,增大镜面宽度,只减少衍射损耗,对光斑
尺寸并无影响.
③镜面上场的振幅和强度分布—高阶横模
利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：
0s
0s
因为 H 2()4 2 2 H 0() 1 故
2x2
x2 y2
u 20
C 20 [4
2 0s
2 ] exp(
L
)
C
' 20
(
4
x
2
2 0s
)
exp(
x
2 y
2 0s
2
)
x 0s 时 2
u 20 0
x 方向出现两条暗线
TEM20
um(nx,y)CmH nm( 2x)Hn( 2y)exL 2y2
um(nx,y)CmH nm(
2 x)Hn(
圆形镜对称共焦腔
R(z) z L2 z 4z
f2 z
z 1
f 2
z2
z
1
(
f z
)
2
(7-1-29)
如果在共焦场的任意两处放置两个与该处 等相位面大小形状完全相同的球面反射镜，则 从每个反射镜反射出去的场将准确地沿原入射 方向返回，整个共焦场不受任何扰动。
7.2 圆形镜对称共焦腔
圆形镜对称共焦腔两反射镜孔径为圆形，设
半径为a，镜面处坐标以极坐标为宜。它的积
分方程可由方形镜积分方程(7-1-6)式出发，
令 x=rcos , y＝rsin ，x'＝r’cos ’ ，y'＝
r'sin '，从而得到:
umn mn(r,
)
i
L
eikL
a 0
2 0
umn
共焦腔中基模的光斑尺寸为
(z)
f
1
z f
2
0
2
1
z f
(7-1-15)
镜面的基模光斑半径
1
s1 z1
L
LR1
R12 R2 L L1R1 R2
L
4
s2 z2
L
LR2
R22 R1 L LR1 R2
L
4
(7-3-5)
二、谐振频率
由(7-1-28)式可写出方形镜一般稳定球面腔的 两上反射镜面顶点处的位相因子分别为：
2、相位分布
（7-2-4）式为实函数，故圆形镜共焦腔的镜 面本身就是等相位面。
（二）单程衍射损耗
由σmn的近似解也将得出δmn=0，需用精确解
δ随F的增大而 急剧减小。
激光原理知识点汇总201905
激光原理知识点汇总第一章电磁场和物质的共振相互作用1.相干光的光子描述，光的受激辐射基本概念1)1960年7月Maiman报道第一台红宝石固体激光器，波长694.3nm。
2)光的基本性质：能量ε=hνh: Planck常数，ν :光波频率运动质量m=ε/c2=hv/c2静止质量0动量knhnchnmcp=•===22λππν3)光子的相干性：在不同的空间点、不同时刻的光波场某些特性的相关性相干体积相干面积，相干长度，相干时间光源单色性越好，相干时间越长：相格空间体积以及一个光波摸或光子态占有的空间体积度等于相干体积属于同一状态的光子或同一模式的光波是相干的4)黑体辐射的planck公式在温度T的热平衡下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量1-=kThehEνν腔内单位体积、单位频率间隔内的光波摸式数338chnνπν=Planck公式：11833-==kThechνννπρ单色能量密度，k：Boltzmann常数Bohr定则：νhEE=-125)光的受激放大a.普通光源在红外和可见光波段是非相干光，黑体是相干光黑体辐射的简并度KTnmnmKTnmKTncmKTkThhEn50000,1,110,6.0,3001,60,30010,30,3001)exp(1353=≈=≈==≈==≈==→-==-μλμλμλλννb.让特定、少数模式震荡，获得高的光子简并度21212121338AWABchn===ννρνπρ6)光的自激振荡a.自激振荡概念分数单位距离光强衰减的百自损耗系数)(1)(zIdzzdI-=αdzzIIgzdI)(])([)(..α-=考虑增益和损耗])ex p[()(0zgIzIα-=αααsmsmIgIIIgIg)(1)(0-=→=+=光腔作用: (1)模式选择; (2）提供轴向光波摸的反馈；b.震荡条件等于号是阈值振荡ααα≥→≥-=000)(gIgI sm是工作物质长度llgL...........0δδα≥→=lg0单程小信号增益因子7)激光的特性：单色性、相干性、方向性、高亮性。
激光原理第二章习题答案
2.19某共焦腔氦氖激光器，波长λ＝0.6328μm ，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长λ＝3.39μm ，问：此时镜面上光斑尺寸多大？ 解：20/ 1.24s L m ωπλ=≈0/1.16mms L ωλπ==2.20考虑一台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m ，波长λ= 0.5145μm ，腔镜曲率半径R=4m ，试计算基模光斑尺寸和镜面上的光斑尺寸。
解：1/42021/42242()(2)(22)(2) 4.65104L R L R L R L RL L mλωπλπ-⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-==⨯⎢⎥⎣⎦1/42121/4222422()()(2)4.9810(2)L R R L L R L R L R L mRL L λωωπλπ-⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦⎡⎤==⨯⎢⎥-⎣⎦2.21腔长L ＝75cm 的氦氖平凹腔激光器，波长λ＝0.6328μm ，腔镜曲率半径R ＝1m ，试求凹面镜上光斑尺寸，并计算该腔基模远场发散角θ。
解：1/41/4212211121121/41/422112212212()0.295mm()()(1)()0.591()()(1)s s R R L g L Lw L R L R R L g g g R R L g LL w mmL R L R R L g g g λλππλλππ⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦1/41/42221212120212121212(2)(2)220.0014rad=0.0782()()()(1)L R R g g g g L R L R L R R L L g g g g λλθππ⎡⎤⎧⎫--+-===⎨⎬⎢⎥--+--⎣⎦⎩⎭2.22设稳定球面腔的腔长L ＝16cm ，两镜面曲率半径为1R ＝20cm ，2R ＝－32cm ，波长λ=410-cm ，试求：（1）最小光斑尺寸0ω和最小光斑位置；（2）镜面上光斑尺寸1s ω、2s ω；（3）0ω和1s ω、2s ω分别与共焦腔（1R ＝2R ＝L ）相应值之比。
《激光原理及技术》1-4习题答案
激光原理及技术部分习题解答（陈鹤鸣）第一章4. 为使氦氖激光器的相干长度达到1km, 它的单色性0/λλ∆应当是多少 解：相干长度C cL υ=∆，υ∆是光源频带宽度853*10/3*101C c m s Hz L kmυ∆===225108(/)632.8*3*10 6.328*103*10/c cc c nm Hz c m sλλυυυυλλλυλ-=⇒∆=∆=∆∆⇒=∆== 第二章4. 设一对激光能级为2121,,E E f f =，相应的频率为υ，波长为λ，能级上的粒子数密度分别为21,n n ，求：（1）当3000,300MHz T K υ= =时，21/?n n = （2）当1,300m T K λμ= =时，21/?n n = （3）当211,/0.1m n n λμ= =时，温度T=解： Tk E E b e n 1212n --=其中12**E E ch E c h -=∆=λ νλh ch ==∆*E（1）（2）010*425.12148300*10*38.11010*3*10*63.612236834≈====-------e ee n n Tk ch b λ（3）K n n k c h b 36238341210*26.6)1.0(ln *10*10*8.3110*3*10*63.6ln *T =-=-=---λ9. 解：(1) 由题意传播1mm,吸收1%，所以吸收系数101.0-=mm α(2) 01010*********I .e I e I e I I .z ====-⨯-α 即经过厚度为0.1m 时光能通过%10. 解：m/..ln .G e .e I I G.Gz6550314013122020===⇒=⨯第三章2. CO2激光器的腔长L=100cm, 反射镜直径D=1.5cm, 两镜的光强反射系数120.985,0.8r r = = 求由衍射损耗及输出损耗引起的,,R Q τδ 解：（1）输出损耗由腔镜反射不完全引起。
第2.3.2章共焦腔理论 激光物理(研究生)
0 lim
z
2 z 2 z 0
（2.3.38）
例如共焦腔氦氖激光器腔长L＝30cm，λ ＝0.6328μm，则θ＝2．3×10-3rad。
高阶模的发散角是随着模的阶次的增大而 增大，所以多模振荡时，光束的方向性要比 单基模振荡差。
模体积
模体积指的是该模式在腔内所能扩展的空间
os 2 0
0s x y
2 2
L
(2.3.30)
x2 y2
第二部分
2 2 2 z Hm x Hl y e z z
称为横向振幅分布因子，它反映出各模式在不 同z坐标处的横截面内的振幅分布。它是厄 米——高斯分布。
ml arg ml kL m l 1
可得方形镜共焦腔单程附加相移为
2
(2.3.27)
2 可见其附加相位超前，其超前量随横模阶数而 变，但与N无关，这一点与平面腔有所不同。
ml m l 1
由式（2.3.27）可得：
mlq
qc c ml 2 L 2L
可以证明，当腔菲涅耳数N→∞时，圆形镜共
焦腔积分方程的本征函数的近似解析解可表 示为拉盖尔一高斯函数
2r m 2r 2 02s Ll 2 e uml r , cml cos m 0s 0s
Llm(ξ)称为缔合拉盖尔多项式，现写出几个多
H2(ζ)=4ξ2-2
一、自再现模的特征
(一)镜面光场分布 1．振幅分布
令(2.3.23)式中m=l=0，得到基模TEM00的振幅
分布函数为：
u00 x, y c00e
第二章 作业答案
8.考虑一虚共焦非稳定腔，工作波长λ＝ 1.06um，腔长L＝0.3m，有效菲涅耳数Nef ＝0.5，往返损耗率δ＝0.5，试求单端输出 时，镜M1和M2半径和曲率半径。
R1 m2 = = 2 R2 ∴ a1 = m2a2 = 0.56392mm
ξ 往返 = 1
1 = 0.5 2 M R1 M= 2= R2 R1 = 2R2 R1 -R2 L= = 0.3 2 2 0.6 R2 = = 1.4485m 1 2 R1 = 2.0485m
当M1为输出时 ，由N的 定义知N=a2/Lλ 所以a1=0.39875mm a2= a1=0.39875mm 当M2为输出时 ，由N的 定义知N=a2/Lλ 所以a2=0.39875mm
L = R = 113cm
6.设对称双凸非稳定腔的腔长L＝1m，腔镜曲率半径R＝ －5m，试求单程和往返功率损耗率。 g1=g2=1-1/-5=1.2
L( L R R ) 1 1+ ( L R )( L R ) 1 2 = 2 g g + 2 g g ( g g 1) 1 Μ= 1 2 1 2 1 2 L( L R R ) 1 2 1 ( L R )( L R ) 1 2 = 3.472
1/4
= 1.31×10-3rad = 0.0750575°
2 1/4
θ0 = 2
λ ( g1 + g 2 2 g1 g 2 ) π L g1 g 2 (1 g1 g 2 )
=2
λ 4(1 g ) π L (1 + g )
1/4
θ 0 =0 L L g = 1 = 0 R
一般稳定球面腔的模式理论
δϕmn = ϕ mn (0,0, z2 ) − ϕ mn (0,0, z1 ) = qπ
得方形镜稳定腔模的谐振频率为
ν mnq
⎛ c ⎡ z2 z1 ⎞ ⎤ 1 q + (m + n + 1)⎜ = − arctg ⎟ arctg ⎢ ⎜ ⎟⎥ f f π 2 L′ ⎣ ⎝ ⎠⎦
z2 z1 令 α = arctg ， β = arctg ，并代入 z1、z2 和 f，得 f f
ω (z) = ω0
z 2 [( L − R1 ) + ( L − R2 )]2 1+ L( R1 − L)( R2 − L)( R1 + R2 − L)
其中ω0是基模高斯光束的束腰半径
ω0 =
=
λ ⎧ L(R2 − L )(R1 − L )(R1 + R2 − L ) ⎫ = ⎨ ⎬ 2 π π⎩ [(L − R1 ) + (L − R2 )] ⎭
第七节 一般稳定球面腔的模式特征
一般稳定球面腔 ：由两个曲率半径不同的球面镜 按照任意间距组成的腔，当它们满足0 < g1 g 2< 1，即 ⎛ L ⎞⎛ L⎞ 0<⎜ ⎜1 − R ⎟ ⎟⎜ ⎜1 − R ⎟ ⎟ < 1 时，称为一般稳定球面腔。 1 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎝
证明一般稳定球 证明一般稳定球 面腔与共焦腔具 面腔与共焦腔具 有相同的行波场 有相同的行波场
tg(α − β ) =
(z2 − z1 ) f
f 2 + z1 z2
=
1 − g1 g 2 g1 g 2
利用三角函数变换公式可得
cos(α − β ) = g1 g 2
因此，方形镜稳定腔的谐振频率为
圆形镜共焦腔
一、反射镜上的场分布
Lm n ( X ) 缔合拉盖尔多项式 Lm 0 ( X ) 1,
m L1 ( X ) 1 m X , m n X d X X mn Lm ( X ) e ( e X ) n n n ! dX n 0,1, 2,
u00 (r , ) C00 e
光束基本特征1基模光斑尺寸束腰反射镜任一位置共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结光束基本特征2等相位面曲率半径r为左反射镜曲率半径共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结共焦腔小结光束基本特征4谐振频率共焦腔的模对于频率是高度简并的
3.8 圆形镜共焦腔
一、反射镜上的场分布
2
（-R为左反射镜曲率半径）
共焦腔小结
2. 光束基本特征
（3）基模远场发散角
2 2 0 f
共焦腔小结
2. 光束基本特征 （4）谐振频率 方型镜共焦腔
mnq
圆型镜共焦腔
1 [q (m n 1)] 2 L 2
c 1 q (m 2n 1) 2 L 2
f 0 ,
L R f 2 2 z f
( z ) 0 1 ( ) 2 0 s ( z f ) 20
f2 R( z ) z z 2
0
这些公式与 方型镜共焦腔的 相应公式相同。
共焦腔小结
1. 腔中的模 方型镜共焦腔：厄米—高斯函数（N＞＞1）；
不同横模的损耗各不相同。
共焦腔小结
5. 共焦腔的优缺点： 优点：衍射损耗低，易于调整； 缺点：基模体积小，容易产生多模振荡。
圆形镜共焦腔：拉盖尔—高斯函数（N＞＞1）；
2. 光束基本特征
第七章--圆形镜对称共焦腔
一、镜面的基模光斑半径
一般稳定球面腔镜面上的光斑半径等于它的 等价共焦腔在球面腔镜面处的光斑半径。
共焦腔中基模的光斑尺寸为
(z)
f
1
z f
2
0
2
1
z f
(7-1-15)
镜面的基模光斑半径
1
s1 z1
L
LR1
R12 R2 L L1R1 R2
L
4
s2 z2
L
LR2
R22 R1 L LR1 R2
L
4
(7-3-5)
二、谐振频率
由(7-1-28)式可写出方形镜一般稳定球面腔 的两上反射镜面顶点处的位相因子分别为：
z1 f
tg 1
z2 f
(7-3-7)
将(7-3-4）式代入（7-3-7)式，并利用三角变 换可得一般稳定球面腔谐振频率为：
mnq
c 2L
q
1
m
n
1 cos1
g1 g 2
(7-3-10)
同理，圆形镜一般稳定球面腔的谐振频率为
mnq
c 2L
基模的振幅分 布与方形镜共 焦腔完全一样
高阶模的振幅分布出现节线或节圆。
TEMmn模沿幅角方向的节线数为m，沿径
向r的节圆数为n。各节圆沿r方向不是等距分
布。如TEM01模的节圆半径为0s 2 ，
TEM02模的两个节圆半径分别为
2 2
2 os
高阶模的光斑半径比基模大，阶次越高，光
陈鹤鸣激光原理习题与思考题3解答
习题与思考题三解答1. 简述光学谐振腔的作用。
2. CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为r1=0.985，r2=0.8。
求由衍射损耗及输出损耗分别引起的δ,τ。
解答1 衍射损耗:1880107501106102262.).(.a L =⨯⨯⨯=λ=δ-- s ..c L c 881075110318801-⨯=⨯⨯=δ=τ输出损耗:1190809850502121.)..ln(.r r ln =⨯⨯-=-=δ s ..c L c 881078210311901-⨯=⨯⨯=δ=τ解答2：（1）输出损耗由腔镜反射不完全引起。
初始光强为I0在无源腔内往返一次后光强衰减为I1，则：121012011281818861111111ln ln 0.119220.985*0.8100 2.78*100.12*3*10/3*10/222*2.78*10 4.94*1010.6R R R R I I e r r I r r Lcm s c m scm sQ s m δδτδπυτπτπλμ---==⇒==========（2）衍射损耗：腔的菲涅耳数222282862224144*100*10.60.188(1.5)1 1.77*100.188*3*10/2222 3.15*10d R d R R d da D N L L L cm m N D cm L m s c m s cc L L Q c λλλμδτδπυτπτππλλδλδ--==============3. 利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意近轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。
共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。
两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。
圆形镜共焦腔
面可构成稳定腔.
C3
自己证明!
2、任意一个稳定
z1
z2 z
球面腔唯一地等价 于某一共焦腔
C1
C4 共焦腔面
C2
目标： 由 R1 , R2 , L 自己证明
z1 , z2 , f ，且必须有 f 2 > 0。
成都信息工程学院光电技术系 钟先琼
3、等价条件
以拉盖尔—高斯或厄米—高斯近似为前提。即 只有稳定腔的孔径足够大，腔中的场集中在铀 线附近时，等价结论才正确。
y e 2z
E11x, y, z
A11E0
0
z
2
2
z
x
共焦腔中基模的光斑尺寸
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
2009 湖北工大理学院 6
模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态
粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
2009
湖北工大理学院
21
单程相移和谐振频率
自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :
2 pl arg 1 2[( p 2l 1)
2
pl
kL]
圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :
plq
C 1 q p 2 l 1 2L 2
q plq1 plq
2
2
k r2 x, y, z [kf (1 ) ] ( m n 1 )( ) 2 1 2 2f z 2z z ( L / 2) L f
0 L / 2
r 2 x 2 y2 1 arctan 1
2009 湖北工大理学院
w0 s
L
17
圆形镜对称共焦腔镜面模的振幅和相位分布
对于高阶模 TEM pl ，在沿辐角方向有节线，数目为p；沿半 径方向有节圆，节圆数为l；p、l增加，模的光斑半径增大， 并且光斑半径随着l的增大比随着 p增大来的更快；
高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处 的点与镜面中心的距离；
2009
湖北工大理学院
共焦腔中基模的光斑尺寸43页PPT
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
பைடு நூலகம்
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
共焦腔中基模的光斑尺寸
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
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f2
w0s 2w0
共焦腔基模高斯光束腰斑半径
模体积
模体积是指模式在腔内空间扩展的范围。模体积越大，对该模有贡献的激发态 粒子数就越多，因而，也就可能获得大的功率输出。 由于实际上光频电磁场是存在于无限大的范围之内，但是又由于它的能量的绝 大部分分布于中心附近，所以一般定义模体积是指光斑半径以内的那部分体积。 对于基模，由于其光斑尺寸随z变化，比较严格的计算应该进行积分运算，但 是通常用下式估算：
激光原理
方形球面镜共焦腔的行波场
知道了腔镜面上的场分布之后，利用菲涅耳—基尔霍夫衍射积分可以求 出共焦腔内或腔外任意一点的场分布，在镜面上的场能用厄米—高斯函 数描述的条件下：
共焦腔场的解析式：
坐标原点选在腔轴线的中心
E m x ,y n ,z A m E 0 w n w ( 0 z )H m w ( 2 z )x H n w ( 2 z )y e x x w 2 2 p ( z y ) 2 e x i x p ,y ,z
r2
w0s
L
E00(r,)c00e w02s
基模模体积通常用下式估算：
V0012Lw02s
1L2
2
高阶模模体积通常用下式估算：
V1L w 2w 2 (2m 1 )2 (n1 )L 2
2 m n
m sns
2
模体积
一般稳定球面腔的基模模体积可定义为：
V00
1 2
L(ws1ws2)2
2
代入
ws1、ws2
：
V00
1 2
Lw02s (2
g1 g2
g2 )
基模光斑尺寸(场振幅衰减到中心最大值的1/e处对应的横向距离) ：
2
2
wzw0s 2
1zf
w0 1zf
L
在共焦镜面上：
wz wf w 0s
在z=0处有最小值
基模高斯光束的束腰半径 ： w0w0
f
振幅分布和光斑尺寸
、
共焦腔中，基模光斑随着坐标按双 曲线规律变化：
w2z z2 1
w02
2 L
r
)
l
Llp
(
2 L
r
2
)
•
exp(
L
r
2
cos l
) sin
l
(r, ) ：为镜面上的极坐标， Llp ( x) ：缔合拉盖尔多项式 Ll0(x) 1
L1 l()1lx
L l2()1 2x2(2 )x1 2(1l)2 (l)
圆形镜对称共焦腔镜面光场分布
镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：
共焦场等相面的分布
远场发散角
基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：
lim2wzlim2w0
1(z)2 f
22
z
z
z
z
w f
0
例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, 0.638m
2
2.31 03 ra d
f
某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, 10.6m
5.2103rad
一般激光器的远场发散角都很小，约为10－3弧度，也就是 表明激光具有很好的方向性。
L ：共焦腔的腔长
f L/2：镜的焦距
方形球面镜共焦腔的行波场
w z
L 1 2 w 0s
2
2
1 z 2 f
w0
1 z 2 f
x , y, z [kf (1 ) k • r 2 ] (m n 1)( )
1 2 2f
2
z 2z z (L / 2) L f
x2 y2 zz
0 2R(z)
腔中点或距腔中点无限 远处，等相面为平面
共焦腔的反射镜面是 两个等相位面，与场 的两个等相位面重合 ，且曲率半径最小。
z 0 0
z 0 0
R(z0) 0 R(z0) 0
zz 0 0
zz 0 0
一般情况下，共焦腔 的等相面凹面向着腔 的中心的球面
等相位面的分布
共焦腔等相位面的一个重要的性质： 若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片， 不影响共焦腔的场分布。
zz01 2• L 21 0 0 2• L 2
旋转抛物面方程
抛物面焦距： f/ 102 Lz0 f2
40
2 2z0
可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z处的等相位面近似为
球面，其曲率半径为：
R(z)2f/
12 002Lz0fz0 2
等相位面的分布
当 z 0 时， R(z0) 当 z时，R(z0)
当 z0 f 时，R(z0) L 当 z 0 时， R(z) 0 当 z 0 时， R(z)0
振幅分布和光斑尺寸
共焦场的振幅分布为：
E m x ,n y ,z A m E 0 n w w (0 z)H m w (2 z)x H n w (2 z)y e x x w p 2 2 (z y )2
对基模： E 00x,y,zA 0E 00w w 0 zex p xw 22 zy2
0 L / 2 r2 x2 y2 arctan 1
1
方形镜共焦腔的行波场
TEMmn模在腔内或腔外任意点(x,y,z) 处的电场强度：
E m x ,y wn ,z A m E 0 w n w ( 0 z )H m w ( 2 z )x H n w ( 2 z )y e x x w 2 2 p ( z y ) 2 e x i x p ,y ,z
1
0
w (z)
：振幅衰减因子
2 Hmw(Leabharlann z)xHnw(2z)yexp wr2(2z) ：行波场横向振幅分布因子
3 ex ip x,y,z：位相因子，决定了共焦腔的位相分布
传播因子
位相弯曲因子
x ,y ,z [k(1 f) 1 k2•2 r2 f] (m n 1 )2 ()
附加相移因子
1
g1 4 1 g1g2
V000 (2
g1 g2
g2 )
1
g1 4 1 g1g2
对于一般稳定球面腔，TEMmn模体积可：
Vm nV00(2m1)2 (n1)
等相位面的分布
与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：
x ,y ,z 0 ,0 ,z 0
忽略附加相移因子， 在近轴情况下，z0点的等相位面方程为：
远场发散角
不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图
远场发散角
高阶横模的光束发散角
和
m
可以n 通过基模的光斑和
发散角求出来：
m 2 m 1 0
n 2 n 1 0 0为基模光束的发散角
圆形球面镜共焦腔自再现模积分方程
在近轴范围内，当 N时，圆形镜共焦腔积分方程的本征 函数的近似解：
Epl (r, ) Cpl (