4导数研究三次函数的性质
三次函数常见的性质及应用
三次函数常见的性质及应用
一、性质
1、三次函数的图像一定是一个闭合曲线，其中心点为原点（0，0）；
2、三次函数的图像具有左右对称性；
3、三次函数图像的极值点（即最大值点和最小值点）一定位于曲线的拐点处；
4、三次函数的导数存在，其单调性与函数的单调性相反；
5、三次函数的二阶导数存在，其值大于等于0；
二、应用
1、三次函数可以用来描述经济学中的供求关系；
2、三次函数可以用来描述物理学中的力学变化；
3、三次函数可以用来描述数学中的曲线图形；
4、三次函数可以用来描述自然现象中的变化趋势；
5、三次函数可以用来描述计算机科学中的数据处理。
三次函数研究课教案
附录1：课前练习题1、若函数322()25f x x mx m =-+-在区间(9,0)-上单调递减，则m 的取值范围为 . 2、若函数322()f x x ax bx a =+++在x=1处有极值10，求a,b 的值.3、已知函数3()-3f x x x =，若()-0f x a =有三个不等的实根，求a 的取值范围.4、已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，则b 的取值范围是（ ）．A ．(-∞,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,+∞)附录2：附录3：巩固练习题：判断下列三次函数32(0)y ax bx cx d a =+++≠各图象中的a,b,c,d 的符号： （1） （2） （3） （4）判别式系数a>0，0∆> a<0，0∆>a>0，0∆≤a<0，0∆≤图象导函数原函数性质单调性 增区间为12(,),(,)x x -∞+∞； 减区间为12(,)x x增区间为12(,)x x ；减区间为12(,),(,)x x -∞+∞ 增区间为(,)-∞+∞减区间为(,)-∞+∞极值点2个2个0个0个零点12()()0f x f x <：三个零点；12()()=0f x f x ：一个零点； 12()()0f x f x >：无零点.1个零点对称中心 ,())33b b f a a(-- 参数对函数图象的影响0a >：两边为增函数,0a <：两边为减函数；230b ac ->：为双峰函数,230b ac -≤为单调函数； b ：与a 共同影响函数的对称中心 c :0x =处的切线斜率 d :纵截距xx 1x 2x 1x 2xx 0xxxx 1 x 2xx 1x 2 xx（3）（4）A a<0,b>0,c>0,d<0B a>0,b<0,c>0,d=0C a>0,b<0,c<0,d>0D a<0,b<0,c<0,d<0。
导数法解“三次”函数问题
导数法解“三次”函数问题新教材中导数内容的介入，为研究函数的性质提供了新的活力，通过求导可以研究函数的单调性和极值，其操作的步骤学生易掌握，判别的方法也不难。
特别地，当f(x)为三次函数时，通过求导得到的f /(x)为二次函数，且原函数的极值点就是二次函数的零点；同时利用导数的几何意义：曲线在某一点P （00,y x ）处的切线的斜率)(0/x f k =，可得到斜率 k 为关于0x 的二次函数。
根据这些特点，一般三次函数问题，往往可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决。
下面笔者从课堂或试卷上出现的这一类型题目中选择几例，同时结合学生产生的问题，略作说明。
例1：已知f(x)=d cx bx x +++23在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为α、2、β.（1） 求c 的值； （2） 求证：f(1)≥2（3） 求｜α-β｜的取值范围。
解：（1）,23)(2/c bx x x f ++= 由题意可得：x=0为f(x)的极值点， ∴0,0)0(/=∴=c f（2）令023)(2/=+=bx x x f ，得32,021b x x -==∵f(x)在（—∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数， ∴232≥-b ，即3-≤b又∵b d d b f 48,048,0)2(--=∴=++∴=∴.2371)1(≥--=++=b d b f（3）∵方程f(x)=0有三个根α、2、β. ∴设),)(2()(223n mx x x d cx bx x x f ++-=+++= 由待定系数法得2,2d n b m -=+=∴α、β为方程02)2(2=-++d x b x 的两根，∴ α+β=-（b+2），αβ=-d/2；∴｜α-β｜2=16)2(1242)2(222--=--=++b b b d b ∵3-≤b ，∴｜α-β｜2≥9， ∴｜α-β｜ ≥3一般地，若已知三次函数f(x)=)0(23>+++a d cx bx ax 在（—∞，m ）上是增函数，在[m ，n]上是减函数，在（n,+∞）上是增函数,则二次方程f /(x)=0即0232=++c bx ax 的两个根为m ，n ；且当),(),(+∞⋃-∞∈n m x 时f /(x)>0，当),(n m x ∈时f /(x)<0，反之亦然。
5-4三次函数的图象和性质
专题4 三次函数的图像和性质第一讲 三次函数的基本性质设三次函数为()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其基本性质有： 性质一：定义域为R ．性质二：值域为R ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．性质三：单调性和图象．a>a <图像0∆>0∆≤0∆>0∆≤当0a >时，先看二次函数()32f x ax bx c =++，4124(3)b ac b ac ∆=-=-①当224124(3)0b ac b ac ∆=-=->，即230b ac ->时，()f x '与x 轴有两个交点1x ，2x ，)(x f 形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x ，图像如图1，2．②当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-=，即230b ac -=时，)(x f '与x 轴有两个等根1x ，2x ，)(x f 没有极值点图像如图3，4．③当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-<，即230b ac -<时，()f x '与x 轴没有交点，)(x f 没有极值点，图像如图5，6．图1 图2 图3 图4 图5 图6 当0<a 时，同理先看二次函数2()32f x ax bx c '=++，.224124(3)b ac b ac ∆=-=-①当0)3(412422>-=-=∆ac b ac b ，即032>-ac b 时，)(x f '与x 轴有两个交点1x ，2x ，)(x f 形成三个单点区间和两个极值点1x ，2x .②当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-=，即230b ac -=时，)(x f '与x 轴有两个等根1x ，2x ，)(x f 没有极值点. ③当224124(3)0b ac b ac ∆=-=-<，即230b ac -<时，)(x f '与x 轴没有交点，)(x f 没有极值点.性质四：三次方程()0f x =的实根个数对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠），其导数为c bx ax x f ++='23)(2当032>-ac b ，其导数0)(='x f 有两个解1x ，2x ，原方程有两个极值2123b b ac x x -±-、①当0)()(21>⋅x f x f ，原方程有且只有一个实根，图像如图13，14. ②当12()()0f x f x ⋅=，则方程有2个实根，图像如图15，16. ③当12()()0f x f x ⋅<，则方程有三个实根，图像如图17.图14 图15 图16 图17 性质五：奇偶性对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（a 、b 、c 、d R ∈且0a ≠）. ①)(x f 不可能为偶函数；②当且仅当0b d ==时是奇函数． 性质六：对称性（1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,())33b bf a a--； （2）结论二：其导函数为2()320f x ax bx c '=++= 对称轴为3bx a=-，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，)(x f y =图象的对称中心在导函数()y f x '=的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；（3）结论三：()y f x =是可导函数，若()y f x =的图象关于点(,)m n 对称，则'()y f x =图象关于直线m x =对称.（4）结论四：若()y f x =图象关于直线x m =对称，则'()y f x =图象关于点(,0)m 对称. （5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（6）结论六：已知三次函数()32f x ax bx cx d =+++的对称中心横坐标为0x ，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，则有()()()()21212012223f x f x a x x f x x x -'=--=-. 性质七：切割线性质（1）设P 是()f x 上任意一点(非对称中心)，过点P 作函数()f x 图象的一条割线AB 与一条切线PT (P 点不为切点),,,A B T 均在()f x 的图象上，则T 点的横坐标平分A B 、点的横坐标，如图18．图18 图19 图20x 1 x 2x x 1 x 2推论1：设P 是()f x 上任意一点（非对称中心)，过点P 作函数()f x 图象的两条切线PM PN 、切点分别为M P 、，则M 点的横坐标平分P N 、的横坐标，如图19．推论2：设)(x f 的极大值为M ，当成M x f =)(的两根为1x ，2x 12()x x <，则区间[]12,x x 被中心(,())33b bf a a--和极小值点三等分，类似的，对极小值点N 也有此结论，如图20．第二讲 三次函数切线问题一般地，如图，过三次函数()f x 图象的对称中心作切线L,则坐标平面被切线L 和函数()f x 的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）过区域Ⅰ、IV 内的点作()f x 的切线，有且仅有3条；（2）过区域II 、Ⅲ内的点以及对称中心作()f x 的切线，有且仅有1条； （3）过切线L 或函数()f x 图象（除去对称中心）上的点作()f x 的切线，有且仅有2条． 【例1】过点()11-，与曲线()32f x x x =-相切的直线方程是______ ． 【解析】由题意可得： ()2'32f x x =-，设曲线上点的坐标为()3000,2x x x -，切线的斜率为2032k x =-， 切线方程为： ()()()320000232y x x x x x --=--，由于切线过点()1,1-，则： ()()()32000012321x x x x ---=--，解得：01x =或012x =-将其代入切线方程式整理可得，切线方程为：20x y --=或5410x y +-=.【例2】若2f x f x +-= 3x x ++对R x ∈恒成立，则曲线y f x =在点()2,2f 处的切线方程为____． 【解析】()()()()()()3323,23f x f x x x f x f x x x +-=++∴-+=-+-+()()()()333233f x x x x x ⎡⎤∴=++--+-+⎣⎦()()()321,31,213f x x x f x x f ''∴=++=+=又 ()211f =，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为()11132y x -=- ，即1315y x =-. 【例3】过点()21A ，作曲线()33f x x x =-的切线最多有（ ） A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条【解析】法一：设切点为()300,3x x x -，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，因为过()21A ，，所以()()()323200133322670x x x x xx --=--∴-+=令()32267g x x x =-+，()26120g x x x =-='0,2x x ∴==，而()()070,210g g =>=-<，所以()0g x =有三个零点，即切线最多有3条，选A .法二：根据题意，()33f x x x =-关于点()0,0中心对称，()()23303f x x f ''=-⇒=-，在原点的切线方程为3y x =-，()221f =>故点()2,1A 位于区域Ⅰ，有三条切线（如图），选A .秒杀秘籍：第三讲 四段论法则─“房间里装大象”()()320f x ax bx cx d a =+++>且导函数0∆> ()()320f x ax bx cx d a =+++<且导函数0∆>极大值 极大值极小值等值点 中心 极小值 极小值 中心 极小值等值点 1．对称中心：33bb faa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，； 2．极大值到对称中心距离为x ∆，极小值到对称中心距离为x ∆，极小值等值点到极大值距离为x ∆，极大值等值点到极小值距离为x ∆；3．对称中心为极值与极值等值点的三等分点（三次函数性质七）.【例4】函数()331f x x x =-+在闭区间[],03-上的最大值、最小值分别是（ ） A ．1，1-B ．3，17-C ．1，17-D ．9，19-【解析】依题意得对称中心为()0,1，由()233f x x '=-，得1x =±，如图，画出四段论图像，得()()max 13f x f =-=，()()min 317f x f =-=-.【例5】已知函数()3f x x ax b =++的定义域为[1,2]-，记()f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．3【解析 】依题意得对称中心为()0,b ，定义域内画出四段论图像，得()()()112f f f -=-=，解得3a =-，0b =，即()()()1122f f f -=-==，故选C .【例6】已知()33f x x x m =-+，在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以()f a ，()f b ，()f c 为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >B ．4m >C ．6m >D ．8m >【解析】由()()()233311f x x x x '=-=+-，得1x =±，画出函数四段论图像 ∵函数的定义域为[0,2]，所以()()min 12f x f m ==-，()()max 22f x f m ==+，()0f m =由题意知()()()112f f f +>，即422m m -+>+得到6m >，故选C ．【例7】已知32()2f x ax ax b =-+在区间[2,1]-上的最大值是5，最小值为11-，求()f x 解析式．【解析】由32()2f x ax ax b =-+，得2()34(34)f x ax ax ax x '=-=-，令()0f x '=，则10x =，243x =（舍去），如图分类画出四段论图像；当0>a 时，如图1所示，()()max 05f x f b ===，()()min 251611f x f a =-=-=-，得1a =， 所以32()25f x x x =-+；当0<a 时，如图2所示，()()max 216115f x f a =-=--=，得1a =-，()()min 011f x f b ===-，所以32()211f x x x =-+-；综上323225,0()211,0x x a f x x x a ⎧-+>⎪=⎨-+-<⎪⎩.图1()0a > 图2()0a <【例8】若函数()321233f x x x =+-在区间)5,(+a a 内存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)0,5[-B ．)0,5(-C ．)0,3[-D ．)0,3(-【解析】由题意，()22f x x x '=+，另()1202,0f x x x '=⇒=-=，又()()30f f -=画出四段论图像，依题意结合图象可知，⎩⎨⎧>+<≤-0503a a ，得a ∈[﹣3，0），故选C ．【例9】若函数32430ax x x -++≥对任意的[]2,1x ∈-恒成立，求a 的取值范围（ ） A ．[]2,2-B ．[]2,4-C ．[]2,6-D ．[]2,8-【解析】两边同时除以3x ，当0x =时恒成立；当(]0,1x ∈时，即323410a x x x+-+≥恒成立，令[)()11,+t t x=∈∞，构造()()()()()322min 340,981911g t t t t a g t g t t t t t '=+-+⇒≥=+-=-+，对称中心为44,99f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，画出函数四段论图像得()()min 160g t g a ==+≥，即6a ≥-；同理当[),02x ∈-时，()()max10g t g =-≤，得2a ≥-，故选C .【例10】设函数()32f x x ax bx c =+++，a b c R ∈，，，总存在[]004x ∈，，使得不()0f x m ≥等式成立，则实数m 的取值范围是 . 【解析】根据四段论法则（最佳位置选取）得对称中心为()20，，令()32g x x ax bx c =+++,画出四段论图像知()()()()()201069243f f f a b c f f =⎧⎪=-⇒=-==-⎨⎪=-⎩，，,即()32692g x x x x =-+-，()32692f x x x x =-+-，易得()()min 12Maxf x f ==，所以2m ≤.达标训练一．选择题1．函数()32395f x x x =-+在区间]2,2[-上的最大值是（ ） A ．5 B ．2 C ．7- D ．14 2．已知32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[22]-，上有最大值3，那么在[22]-，上的最小值是（ ） A ．5-B ．11-C ．29-D ．37-3．函数3()34([01])f x x x x =-∈，的最大值是（ ） A ．1 B ．12C ．0D ．1-4．若函数()3232f x x x a =-+在]1,1[-上有最大值3，则该函数在]1,1[-上的最小值是（ ）A ．12- B ．0 C ．12 D ．15．若函数()33f x x x =-在区间()212,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)11,1(-B ．)4,1(-C ．]2,1(-D ．)2,1(-6．若函数()33f x x x =-在)8,(2a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,7(-B ．)1,7[-C ．)1,2[-D ．)1,2(-7．函数()33f x x ax a =--在)1,0(内有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤<B ．01a <<C ．11a -<<D ．102a <<8．当]1,2[-∈x 时，不等式3243mx x x ≥--恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．86,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]6,2--C ．[]5,3--D ．[]4,3--9．若关于x 的不等式32392x x x m --+≥对任意[]2,2x ∈-恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(],7-∞B ．(],20--∞C ．(],0-∞D ．[]12,7-10．函数()3213f x x x a =-+，函数()23g x x x =-，它们的定义域均为[)1,+∞，并且函数()f x 的图象始终在函数()g x 的上方，那么a 的取值范围是（ ） A ．),0(∞+B ．)0,(-∞C ．),34(∞+-D ．]34,(-∞11．设函数()321252f x x x x =--+，若对于任意[]1,2x ∈，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．),7(∞+B ．),8(∞+C ．),7[∞+D ．),8[∞+ 12．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．),2(∞+B ．)2,(--∞C ．),1(∞+D ．)1,(--∞13．已知304a b ≥-≥，，函数()()311f x x ax b x =++-≤≤，设()f x 的最大值为M ，对任意的a b R ∈、恒有M k ≥，则实数k 的最大值为（ ） A ．4B ．2C ．21 D ．41 14．曲线3y x x =-的所有切线中，经过点(1,0)的切线的条数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数321()3()3f x x x ax a R =-++∈有两个极值点1x ，212()x x x <，则（ ）A ．1()3f x ，210()3f x <B ．1()3f x ，210()3f x >C ．1()3f x ，210()3f x <D ．1()3f x ，210()3f x >16．已知函数32()698f x x x x =-+-+，则过点(0,0)可以作几条直线与曲线()y f x =相切（ ） A ．3条B ．1条C ．0条D ．2条17．已知函数32()f x x ax bx c =+++，[3x ∈-，3]的图象过原点，且在点(1，f （1）)和点(1-，(1))f -处的切线斜率为2-，则()f x =（ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 18．已知函数32()f x x ax bx c =--+有两个极值点1x ，2x ，若122()x x f x <=，则1()f x x =的解的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 19．已知函数32()21f x x mx nx =-++，()f x '是函数()f x 的导数，且2(2)()3f x f x '+='--，若在[1，]π上()1f x 恒成立，则实数n 的取值范围为（ ）A ．]21,(-∞B ．]21,(--∞C ．),21[∞+ D ．),[∞+π20．（2019•汕头月考）函数321()3f x x x ax =-+在[1-，2]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．0aC ．1aD ．1a > 21．（2019•浙江期中）已知函数321()23f x x ax x =+-在区间(1,)+∞上有极小值无极大值，则实数a 的取值范围（ ） A ．12a <B ．12a >C ．12aD ．12a22．（2019•长沙期中）已知函数2()431f x x x =-+，3()31g x x x =--，则()f x 与()g x 的大小关系是（ ） A ．()()f x g x =B ．()()f x g x >C ．()()f x g x <D ．随x 的变化而变化23．（2019•临川月考）正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数321()4433f x x x x =-+-的极值点，则20192a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．524．若函数32()132x a f x x x =-++在区间(1,2)上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．]25,2[B ．),25[∞+C ．),25(∞+ D ．(2,)+∞25．（2019•醴陵期中）函数32()394f x x x x =--+，若函数()()g x f x m =-在[2x ∈-，5]上有3个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．(23,9)-B ．]2,23(-C ．]9,2[D ．)9,2[26．（2019•湛江一模）已知函数32()f x x x ax a =-+-存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，102x x +=（ ） A ．3B ．2C ．1D ．027．（2019•邯郸一模）过点(1,0)M -引曲线3:2C y x ax a =++的两条切线，这两条切线与y 轴分别交于A ，B 两点，若||||MA MB =，则a =（ ）A ．254-B ．274-C ．2512-D ．4912-28．（2019•黔东南州一模）已知函数322()2(63)1216(0)f x x a x ax a a =-+++<只有一个零点0x ，且00x <，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,)2-∞-B ．)0,21(-C ．3(,)2-∞- D ．)0,23(-29．（2019•莆田一模）若函数32()23af x x x x =-+没有极小值点，则a 的取值范围是（ ）A ．]21,0[B ．1[,)2+∞C ．1{0}[,)2⋃+∞D ．1{0}(,)2⋃+∞30．（2018秋•晋中期末）已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为1x ，212()x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（ ） A ．1-B ．16C ．1D ．与b 有关31．（2019•陕西一模）已知函数3()3f x x x =+，则不等式33863(1)1x x x x+>+++的解集为（ ） A ．)1,1()2,(-⋃--∞ B ．),1[)1,2[∞+⋃--C ．),1(]2,(+∞⋃--∞D ．)1,2(-32．（2018•宜春期末）等比数列{}n a 的各项均为正数，5a ，6a 是函数321()3813f x x x x =-++的极值点，则2122210log log log (a a a ++⋯+=（ ） A ．23log 5+B ．8C ．10D ．1533．（2018•湖北期末）已知函数32()17(f x ax bx cx a =++-，b ，)c R ∈的导函数为()f x '，()0f x '的解集为{|23}x x -，若()f x 的极小值等于98-，则a 的值是（ ） A ．8122-B ．13C ．2D ．534．（2019•朝阳二模）已知31()3f x x x =-+在区间2(,10)a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <-B ．23a -<C ．21a -<D ．31a -<<35．（2018•海淀期末）函数32()7f x x kx x =+-在区间]1,1[-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ） A ．]2,(--∞B ．]2,2[-C ．),2[∞+-D ．),2[∞+36．（2019•汉阳模拟）函数32()31f x ax x =+-存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的范围为（ ） A ．(,2)-∞-B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(2,)-+∞37．（2019•瀍河月考）设函数3()2f x ax bx =-+的极大值和极小值分别为M ，m ，则(M m +=（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4 38．（2018•南阳期末）函数32()392f x x x x =--+在]4,0[上的最大值和最小值分别是（ ） A ．2，18- B ．18-，25-C ．2，25-D ．2，20-39．（2018•合肥期末）已知函数53()353f x x x x =---+，若f （a ）(2)6f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞ B ．(3,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞二 填空题1．（2019•东城一模）已知函数3()4f x x x =-，若1x ∀，2[x a ∈，]b ，12x x ≠都有12122()(2)(2)f x x f x f x +>+成立，则满足条件的一个区间是 ．2．（2019•陕西二模）设函数32()21f x x ax bx =+++的导函数为()f x '，若函数()y f x ='的图象的顶点横坐标为12-，且f '（1）0=．则a b +的值为 ．3．（2019•新疆二模）已知函数32()f x x ax =-在(1,1)-上没有最小值，则a 的取值范围是 ． 4．（2019•十堰模拟）对于三次函数32()(f x ax bx cx d a =+++，b ，c ，d R ∈，0)a ≠，有如下定义：设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解m ，则称点(m ，())f m 为函数()y f x =的“拐点”．若点(1,3)-是函数32()5g x x ax bx =-+-，(,)a b R ∈的“拐点”也是函数()g x 图象上的点，则当4x =时，函数4()log ()h x ax b =+的函数值为 ．5．（2018•揭阳期末）已知函数3()2f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+，则实数a 的取值范围是 ． 6．（2018•长治期末）已知函数3()23f x x x =-，若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则t 的取值范围是 ．7．（2019•自贡模拟）已知32()31f x ax x =+-存在唯一的零点0x ，且00x <，则实数a 的取值范围是 ． 8．（2019•天山月考）设321()252f x x x x =--+，当[1x ∈-，2]时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ．9．已知函数()32143+33f x x x x =--，直线l ：920x y c ++=．若当[]2,2x ∈-时，函数()y f x =的图象恒在直线l 的下方，则c 的取值范围是 ． 三 解答题1．已知函数321()23f x ax x =+，其中0a >．若()f x 在区间[11]-，上的最小值为2-，求a 的值．2．知函数32()6([12])f x ax ax b x =-+∈-，的最大值为3，最小值为29-，求a 、b 的值．3．已知函数321()2f x x x bx c =-++；（1）若()f x 在(,)-∞+∞上是增函数，求b 的取值范围；（2）若()f x 在1=x 时取得极值，且[1,2]x ∈-时，2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围.4．（2019•海淀期中）已知函数32()f x ax bx x c =+++，其导函数()y f x '=的图象过点1(,0)3和(1,0)．（1）函数()f x 的单调递减区间为 ，极大值点为 ； （2）求实数a ，b 的值；（3）若()f x 恰有两个零点，请直接写出c 的值．5．（2019•莱西月考）设函数32()32g x x x =-+．（1）若函数()g x 在区间(0,)m 上递减，求m 的取值范围；（2）若函数()g x 在区间(-∞，]n 上的最大值为2，求n 的取值范围．6．（2019•海淀一模）已知函数3215()||132f x x x a x =-+-． （1）当6a =时，求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．7．（2019•怀柔一模）已知函数32()231()f x x ax a R =++∈．（1）当0a =时，求()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间[0，2]上的最小值8．（2019•天津一模）已知函数32()21()f x x ax a R =-+∈．（1）6a =时，直线6y x m =-+与()f x 相切，求m 的值；（2）若函数()f x 在(0,)+∞内有且只有一个零点，求此时函数()x 的单调区间；（3）当0a >时，若函数()f x 在]1,1[-上的最大值和最小值的和为1，求实数a 的值．9．（2018•镇海期末）已知函数311()32f x x =+． （1）求曲线()y f x =在点5(1,)6P 处的切线与x 轴和y 轴围成的三角形面积； （2）若过点(2,)a 可作三条不同直线与曲线()y f x =相切，求实数a 的取值范围．10．（2018•太原期末）若2x =是函数32()3f x ax x =-的极值点．（1）求a 的值；（2）若[]x n m ∈，时，4()0f x -成立，求m n -的最大值．11．（2018•佛山期末）已知函数322()33()f x x ax a l x =++-．（1）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的值；（2）设1x ，2x 是22()()635(0)g x f x ax a x a a =--+>的两个极值点，若12()()0g x g x +，求a 的最小值．。
三次函数性质总结_S
已知函数
.
（Ⅰ）讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）设函数 在区间
内是减函数，求 的取值范围.
【题型 2】不等式与恒成立问题 例题 2 （08 安徽文）
设函数
（Ⅰ）已知函数 在 处取得极值，求 的值；
（Ⅱ）已知不等式
对任意
都成立，求实数 的取值范围。
7
【题型 3】三次方程根问题
例题 3 （05 全国）设 为实数，函数
,若 在
上的最大值为 20，求它在
变式 8 当
【2012 高 考北京 文第 19 题改编】已知函数
，
时，若函数
在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围。
g(x) x3 bx 。
例题 11. 【2014 高考北京文第 20 题改编】已知函数 的取值范围
.若过点
存在 3 条直线与曲线
相切，求
变式 9 (1)已知函数 (2)已知函数 (3）问过点
.若过点
存在 2 条直线与
相切，求 的取值范围；
.若过点
存在 1 条直线与
相切，求 t 的取值范围
，
，
分别存在几条直线与曲线
相切？
变式 10 已知函数
在
处有极值.
（Ⅰ）求函数 （Ⅱ）若函数
的单调区间；
在区间
上有且仅有一个零点，求 的取值范围。
例题 12. 设 变式 11 已知函数
围．
例题 13. 已知函数 例题 14. 已知函数 例题 15. 已知函数
是可导函数，若
的图象关于点
对称，则
图象关于直线
对称.
(5)
是可导函数，若
的图象关于直线
对称，则
图象关于点
导数与三次函数的关系
通过乘法法则和链式法则，将原函数进行求导，得到 导数表达式。
注意事项
在计算过程中，需要注意各项的系数和变量的指数变 化。
三次函数导数的性质
单调性
通过导数的符号判断函 数的单调性，若导数大 于0，函数单调递增； 若导数小于0，函数单 调递减。
极值点
导数为0的点称为临界 点或驻点，是函数值可 能发生变化的点，即极 值点。
数学教育改革
在数学教育领域，如何更好地教授导数与三次函数的关系，将直接 影响学生理解和应用数学的能力。
未来研究方向
对于导数与三次函数关系的深入研究，将推动数学理论和应用的不 断发展，为解决复杂问题提供更多有效工具。
THANKS
谢谢
凹凸性
通过求二阶导数判断函 数的凹凸性，二阶导数 大于0，函数为凹函数； 二阶导数小于0，函数 为凸函数。
三次函数导数的几何意义
切线斜率
导数在某一点的值表示该点处切线的斜率。
函数变化率
导数表示函数在某一点附近的变化率，即函 数值增量与自变量增量的比值。
单调区间
通过导数的符号变化，可以确定函数的单调 区间。
优化问题求解
导数在优化问题中扮演关键角色，如最大值和最小 值问题，通过求导可以找到使函数取得极值的点。
近似计算
在科学、工程和经济学中，经常需要估算函 数的近似值，导数有助于更精确地估计这些 值。
导数与三次函数关系在数学中的地位
连接初等与高等数学
导数与三次函数的关系是初等数学与 高等数学之间的桥梁，帮助学习者逐
VS
极值判断
在找到极值点后，我们可以进一步判断这 些点是极大值还是极小值。如果函数在极 值点左侧递增，右侧递减，则该点为极大 值；如果函数在极值点左侧递减，右侧递 增，则该点为极小值。
三次函数图像与性质(解析版)
专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。
以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。
∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。
导数之三次函数图像与性质ppt
5 5 ， 极小值-1， 当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点， 所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二： 将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的 交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。 （Ⅰ）求 f ( x ) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0
试探三次函数的图像性质与应用(定稿)
6ma b 12m2a 4mb c (8m3a 4m2b
2mb
d
2n)
m n
b 3a
f ( b 3a
)
由上又可得以下结论： y f (x) 是可导函数，若 y f (x) 的图象关于点 (m, n) 对称，则
y f '(x) 图象关于直线 x m 对称.
证明 y f (x) 的图象关于 (m, n) 对称，则 f (x) f (2m x) 2n,
3 解：依题意可得 f (x) x2 2x m
上为单调函数或两极值同号，所以 b 2 3ac 0 或 b 2 3ac 0 ，且 f (x1 ) f (x2 ) 0 . (3) f (x) 0 有两个相异实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 X 轴有两个公共点且其中之一为切点，
所以 b2 3ac 0 ，且 f (x1) f (x2 ) 0 . (4) f (x) 0 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 y f (x) 与 X 轴有三个公共点，即 f (x) 有一
处取得极小值. 以上两个性质的图像特征如下图： 3.根的性质
三次函数 f (x) ax3 bx 2 cx d (a 0) (1) 若 b 2 3ac 0 ，则 f (x) 0 恰有一个实根； (2) 若 b2 3ac 0 ,且 f (x1) f (x2 ) 0 ，
则 f (x) 0 恰有一个实根； (3) 若 b2 3ac 0 ,且 f (x1) f (x2 ) 0 ，
(3) 若 b2 3ac 0 ，则 f (x) 在 (,) 上为减函数；
(4) 若 b 2 3ac 0 ，则 f (x) 在 (, x1) 和 (x2 ,) 上为减函数， f (x) 在 (x1, x2 ) 上为增函数，
三次函数的性质及简单应用
三次函数的性质及简单应用发表时间：2011-02-22T11:12:46.477Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2011年第3期供稿作者：徐树富[导读] 三次函数问题,可通过求导转化为二次函数或二次方程问题徐树富摘要：本文运用导数的知识来研究一般的三次函数的性质，为进一步探索高次函数的性质提供了方法依据，为解决高考中三次函数单调性、最值等问题找到了有效的方法。
关键词：三次函数；性质；最值；单调性；对称性作者简介：徐树富，任教于浙江省衢州高级中学。
二次函数的有关性质及其应用是函数内容中的一个重点，而随着导数知识的介入，三次函数在函数问题的研究中凸显出其重要性。
三次函数问题,可通过求导转化为二次函数或二次方程问题,然后结合导数的基本知识及二次函数的性质来解决，在高考和一些重大考试中频繁出现有关它的单独命题。
笔者就教学及解题中碰到的一些三次函数的性质进行一些初浅的探讨。
一、一般的三次函数的图象与性质：1．函数的定义域与值域均为R。
2．极值：3．单调性：（1）证明：三次函数关于点（m，n）对称的充要条件是，即（4）过对称中心的曲线的切线有且只有一条；（5）把函数的图象按向量平移后得到的图象关于原点中心对称。
6．图象有两种形状：图二图三二、与三次函数有关的问题2.三次函数解析式的形式三、应用举例三次函数的导函数是二次函数，因此，熟练把握二次函数的图像与性质便是研究三次函数图像与性质的起点。
函数是高中数学的核心内容，在新教材高三数学选修本中虽然利用了导数方法重新研究了函数的若干性质，但是在离开导数背景的函数问题的学习与研究中，大多数学生仍然未能自觉地想到用导数方法来解决高中数学教学中遇到的用初等方法较难解决的问题，为克服这一思维定势，在与二次函数比较的基础上，对三次函数的性质进行系统的梳理，旨在使学生真正学会用导数作为工具研究函数的性质、并能将该思想方法早日纳入到原有的知识结构之中，形成自觉的应用意识。
三次函数的性质
三次函数的性质2015年11月13日 意琦行 数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一 单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明 的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二 对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明 由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解 由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解 的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三 切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明 设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解 由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四 切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明 由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解 （1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）． 练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1） 根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注 本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注 本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。
三次函数的图像和性质
导数是新课标下高考的必考内容之一，利用导数研究函数的 性质，主要是利用导数求函数的单调区间、极值和最值等，这 些年来也是高考的重点.考纲的主要要求有：(1)导数的概念及其 意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用.其中第（3） 点有两个小点：①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数 研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般 不超过三次).②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过 三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次).括号中的内容：其中多项式函数一般不超过三次. 这提示着我们，如果考与多项式有关的导数问题，多项式函数 中一元三次函数是重点.从近几年各地的高考题来看这一点也是 值得肯定的，特别是文科的高考题.基于导数高考大纲多项式函 数中一元三次函数的重要地位，因此我们有必要着重于对一元 三次函数的图象进行深入的研究，其目的在于通过研究函数
y
f ( x)
y
f / ( x)
o
x
图1
o
图1中函数f ( x)在x R
x
y
严格递增,没有极值点;
y
f ( x)
f / ( x)
图2中函数f ( x)在x R 严格递增,有一拐点x0 ;
o x0 x
图2
o
y
x1
图3
x0
x
y
x1o x2
f ( x)
f / ( x) 图3中函数f ( x)有两个
f ( x) x 3x.
3
4.已知f ( x) ax3 bx 2 3x在x 1处取得极值. (1)求函数f ( x)的解析式. 求实数m的取值范围.
3次函数曲线-概念解析以及定义
3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。
三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。
三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。
它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。
理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。
本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。
接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。
最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。
通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。
接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。
1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。
通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。
本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。
2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。
我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。
此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。
2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。
我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。
此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。
三次函数的性质及导函数研究函数的应用
专题一：三次函数的中心、单调性、极值、零点和恒成立问题前言：研究三次函数的性质，实质上是研究导函数对应的二次函数的性质。
一、三次多项式函数的中心理论：①若))(,(00x f x 是三次函数的中心，则0)(0//=x f 且0212x x x =+时，有)(2)()(021x f x f x f =+。
②若三次函数)(),(x f x g 的中心分别是))(,()),(,(0000x f x x g x ，则)()(x f x g y +=的中心为))()(,(000x g x f x +。
例1：（1）若()323f x x x =-，则1220122012f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4022...2012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭40232012f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A -8046B -4023C -2013D -2012（2）若321151()3132122g x x x x x =-+-+-，则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g +++++= （A ）2010 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013 二、三次函数的极值理论：函数有极值⇔函数不单调⇔导函数二次函数的0>∆； 函数无极值⇔函数单调⇔导函数二次函数的0≤∆。
例2：（1）若a ＞0，b ＞0，且函数224)(23+--=bx ax x x f 在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于 【 】 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9（2）已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为 【 】A ．c ＜14B ． c ≤14C ．c ≥14D ．c ＞14（3）133)(23++-=x ax x x f 。
（i ）2=a 时，求)(x f 的单调区间；（ii ）若)(x f 在)3,2(中至少有一个极值点，求a 的范围。
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4导数研究三次函数的性质复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数的零点。
复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况；【典型例题】题型一：三次函数单调性的讨论例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围.例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a ,（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．题型二：三次函数极值，最值的讨论例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-；（1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值．例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<.（1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值；（2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++⋅，试判断函数()F x 的极值点个数．【课后作业】1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为5．设函数b x a ax x x f +-+-=2233231)( (0<a <1)． (1)求函数)(x f 的单调区间； (2)当x ∈[]2,1++a a 时，不等式|()x f/ |≤a ，求a 的取值范围．6.已知函数3221()21(0)32a f x x x a x a =--+> （1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()y f x =的图象与值线0y =恰有三个交点，求实数a 的取值范围；（3）已知不等式2'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.7.已知函数()()a x x f -=2()x b -,b a ,为常数,(1)若a b ≠,求证:函数()x f 存在极大值和极小值(2)设()x f 取得极大值、极小值时自变量分别为12,x x ,令点A 11(,()x f x ),B 22(,()x f x ),若a >b ，直线AB 的斜率为12-,求函数()x f 和/()f x 的公共递减区间的长度.答案：【典型例题】1． 61≥a . 2．（I ） 0)(,963)(2<'++-='x f x x x f 令，解得x <－1或x >3所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）)}2(),2(max{)(,5)1()(,3212m ax m in f f x f a f x f -=+-=-=∴<<-<-)2()2(,22)2(,2)2(->∴+=+=-f f a f a f 于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．3. 解析：（1）2'()32f x x ax =-．因为'(1)323f a =-=，所以0a =．又当0a =时，(1)1,'(1)3f f ==，所以曲线()(1,(1))y f x f =在处的切线方程为3x y --2=0．（2）令'()0f x =，解得1220,3a x x ==． 当203a ≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而max (2)84f f a ==-． 当223a ≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而max (0)0f f ==． 当2023a <<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而max 84,0 2.0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨<<⎪⎩综上所述，max 84, 2.0, 2.a a f a -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩4.解（Ⅰ）由已知得，323()2f x x ax b =-+； 由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减．∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =． 又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<． 由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =．故43a =，1b =为所求． （Ⅱ） 2222()(3361)33(2)1x x F x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦． ∴ []222()63(2)233(2)1x x F x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅．二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦，令0∆≤，得：21(2),22333a a -≤-≤≤+令0∆>，得2,233a a <->+或 ∵20x e >，12a <<，∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0；当12a <<()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．【课后作业】1.(1,0)或(-1,-4)2.解：f (x )＝a·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，……4分∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t . …………7分∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在x ∈(－1,1)上恒成立．∴t ≥3x 2－2x ， ……………11分令g (x )＝3x 2－2x ，x ∈(－1,1)．∴g (x )∈⎣⎡⎭⎫－13，5，∴t ≥5. ……………15分3． f (x )max =1,f (x )min =－2。
4.9万件 解析：令导数2'810y x =-+>，解得09x <<；令导数2'810y x =-+<，解得9x >，所以函数31812343y x x =-+-在区间(0,9)上是增函数，在区间(9,)+∞上是减函数，所以在9x =处取得极大值，也是最大值。
5. (1)∵f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －3a )(x －a )，……3分由f ′(x )>0得：a <x <3a ；由f ′(x )<0得：x <a 或x >3a ；……………7分则函数f (x )的单调递增区间为(a,3a )，单调递减区间为(－∞，a )和(3a ，＋∞)．(2)∵f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －2a )2＋a 2，∴f ′(x )在[a ＋1，a ＋2]上单调递减，∴f ′(x )max ＝f ′(a ＋1)＝2a －1，f ′(x )min ＝f ′(a ＋2)＝4a －4. ……………11分∵不等式|f ′(x )|≤a 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|≤a 4a －4≥－a ，解得：45≤a ≤1， ……………14分 又0<a <1，∴45≤a <1， 即a 的取值范围是45≤a <1. ……………15分6.（1）22'()2,f x x ax a =-- 令22()20f x x ax a '=--=，则x a =-或2x a = 22()20f x x ax a '∴=-->时，x a <-或，2x a >x a ∴=-时，()f x 取得极大值37()1,26f a a x a -=+=时，()f x 取得极小值 310(2)13f a a =-+ （2）要使函数()y f x =的图象与直线0y =恰有三个交点，则函数()y f x =的极大值大于零，极小值小于零；由（1）的极值可得33710610103a a ⎧+>⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩解之得a >=（3）要使2'()1f x x x <-+对任意(1,)a ∈+∞都成立即22221x ax a x x --<-+, 2(1)21a x a -<+ (1,)10a a ∈+∞∴-<2211a x a+>-对任意(1,)a ∈+∞都成立, 则x 大于2211a a+-的最大值 22212(1)4(1)33[2(1)4]111a a a a a a a +-+-+=-=--++--- 由(1,)a ∈+∞，310,2(1)1a a a ->∴-+≥-12a =+2214)1a a+∴≤--故2max 21()(41a x a+>=-+-7【答案】(1)[])2(3)()(/b a x b x x f +--= b a ≠ 32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32b a + ∴f (x )存在极大值和极小值(2)①若a =b ,f (x )不存在减区间②若a >b 时由(1)知x 1=b ,x 2=32b a +∴A (b ,0)B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a )(x f ∴的减区间为)32,(b a b +即(b ,b +1),,f (x)减区间为)21,(+-∞b ∴公共减区间为(b ,b +21)长度为21。