立体几何垂直证明的题目常见模型及方法

立体几何垂直证明题常见模型及方法

证明空间线面垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线

（或面）是解题的常用方

法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

垂直转化：线线垂直

线面垂直面面垂直；

基础篇

类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）

（1）共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直

（只需要同学们掌握以下几种模型）

○

1等腰（等边）三角形中的中线

○2菱形（正方形）的对角线互相垂直○

3勾股定理中的三角形○4 1:1:2 的直角梯形中

○

5利用相似或全等证明直角。

例：在正方体

1111ABCD

A B C D 中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1A O

OE

（2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考中的意图）例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD

变式 1 如图，在四棱锥

ABCD P 中，底面A B C D

是矩形，已知60,22,2,2,3PAB

PD PA AD

AB ．

证明：

AD PB ；

变式 2 如图，在边长为

2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，

将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'

A .

求证:

'

A D

EF

；

变式3如图，在三棱锥

P ABC 中，⊿PAB 是等边三角形，∠

PAC =∠PBC =90 o 证明：AB ⊥PC

类型二：线面垂直证明

方法○1利用线面垂直的判断定理

例2：在正方体1111ABCD

A B C D 中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：

1A O

BDE

平面变式1：在正方体

1111ABCD A B C D 中，,求证：11

AC BDC 平面变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90.E 为BB 1的中点，

D 点在AB 上且D

E = 3 .

求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；

变式

3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，

B

E

'

A

D

F

G

P

C

B

A

D

E

2, 2.

CA CB CD BD AB AD 求证：

AO

平面BCD ；

变式 4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥

P ABCD 中，

AD BC ∥，90ABC

°，PA

平面ABCD ．3PA

，2AD

，23AB

，6

BC

1求证：BD

平面PAC

○

2利用面面垂直的性质定理

例3：在三棱锥P-ABC 中，PA ABC 底面,PAC

PBC 面面，BC PAC 求证：面。

方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。变式1, 在四棱锥P

ABCD ，底面ABCD

是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且

PAB ABCD 面底面,求证：BC PAB

面变式2：

类型3：面面垂直的证明。

(本质上是证明线面垂直)

例1 如图，已知

AB

平面

ACD ，DE

平面

ACD ，△ACD 为等边三角形，

2AD DE AB ，F 为CD 的中点.

(1) 求证：

//AF 平面BCE ；

(2) 求证：平面

BCE

平面

CDE ；

例 2 如图，在四棱锥

P

A B C 中，PA 底面

A B C D

，60AB AD AC

CD ABC ，，°，PA AB

BC ，E 是PC 的中点．

（1）证明CD

AE ；

（2）证明PD

平面

ABE ；

变式1已知直四棱柱

ABCD —A ′B ′C ′D ′的底面是菱形，

60

ABC ，E 、F 分别是棱

CC ′与BB ′上的点，且EC=BC =2FB =2．

（1）求证：平面

AEF

⊥平面AA ′C ′C ；举一反三

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

P

E

1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①

M b M

a

b a //②

b

a M

b

M a //③

b

a

M a b ∥M ④

b

a

M a //b ⊥M .

其中正确的命题是 ( )

A.①②

B.

①②③ C.

②③④ D.

①②④

2.下列命题中正确的是

( )

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△

ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为

P .那么，在四面体P —DEF

中，必有 ( )

A.DP ⊥平面PEF

B.DM ⊥平面PEF

C.PM ⊥平面DEF

D.PF ⊥平面DEF 4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是

( )

A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交

B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直

C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直

D.过a 一定可以作一个平面与b 平行

5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m α和m ⊥γ,那么必有

( )

A.α⊥γ且l ⊥m

B.α⊥γ且m ∥β

C.m ∥β且l ⊥m

D.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P

到AB 的距离为 ( )

A.1

B.2

C.5

52 D.

5

537.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直

其中正确命题的个数为

( )

A.0

B.1

C.2

D.3

8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是

( )

A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合

B.α与β必相交且交线m

∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行

D.α与β不一定相交

9.设l 、m 为直线，α为平面，且

l ⊥α，给出下列命题

①若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m

⊥α，

其中真命题．．．的序号是 ( )

第3题图