第四章 倒易点阵及晶体衍射方向

第四章倒易点阵及晶体衍射方向

1. 布拉格定律

一定波长的X 射线或入射电子与晶体试样相互作用 , 可以用布拉格定律来表征产生衍射的条件。

图 4.1 布拉格定律的几何说明

如图4.1, 设平行电子束σ0入射到晶体中面间距为d hkl的晶体面网组(hkl), 在人射波前SS' 处, 两电子波位相相同, 如果左边一支波经历波程PA+AD = nλ，n 为包括零的整数, 则两支波离开晶体后达到新波前TT' 时, 将具有相同的位相, 相干结果可以达到衍射极大; 反之, 若PA+AD ≠nλ, 则达到TT' 时, 它们位相不同, 不能相干得到衍射极大。由图4.1 可知，

PA+AD =2d hkl sinθ=nλ(4.1)

此即布拉格方程,n称为衍射级数。式(4.1)也可以写成:

λθ=⎪⎭

⎫

⎝⎛sin 2n

d hkl (4.1a) 因为 d hkl /n=d nh, nk, hl ，故可把n 级 (hkl) 反射看成是与 (hkl) 平行 但面网间距缩小 n 倍的、 (nh, nk, nl) 的一级反射。这样 , 布拉格方程可以写成一般形式 :

λθ=sin 2hkl d (4.1a) 还可以写成下述形式：

λ

θ/2/1sin hkl

d =

(4.1b) 只要满足布拉格方程 , 就获得了产生衍射极大的条件。式 (4.1a) 中 d hkl 为晶体中晶面组 (hkl) 的晶面间距；λ为入射电子束的波长；θ为人射电子束方向相对于晶面 (hkl) 的掠射角。

2. 倒易点阵

2.1 倒易点阵定义 （1）倒易点阵：

若已知晶体点阵的单位矢量 a 、b 、c, 可以定义倒易点阵的单位矢量a *、b *、c *，该点阵的方向矢量垂直于同名指数的晶体平面, 它的大小等于同名指数晶面间距的倒数,该点阵称为倒易点阵。 （2）正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系：

图4.2 正点阵与倒易点阵和基矢量的相互关系

取一晶体单胞 , 如图 4.2, 晶体点阵的单位矢量为 a 、b 和 c , 相应点阵的 6 个参数是a 、 b 、 c 、α、β和 γ。其晶体点阵的倒易点阵所具有的 3 个单位倒易矢量为a *、b *、c *。相应的倒易点阵的 6 个参数是a *、b *、c *、α*、β*和γ*。根据倒易点阵的定义可求出a *。其表达示为：

100100100**/1/1h d R a ===

式中的 h 100 为晶体平行六面体单胞中垂直于 (100) 面的高 OA 。 设 OA 与 a 的夹角为α。则以下两个同名基矢的标量积应有如下结果: （a ） 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点乘积等于 1

1/cos 1001000==⋅=⋅**h h a a a a α

1=⋅=⋅=⋅***c c b b a a （4.2）

倒易基矢长度为:

[]1

)cos(-**∧⋅=a a a a

[]1

)cos(-**∧⋅=b b b b （4.3）

[]1

)cos(-*

*

∧⋅=c c c c

（b ） 正点阵与倒易点阵的异名基矢之间是相互垂直的, 即 a *⊥b ，a *⊥c 。正点阵与倒易点阵的异名基矢的点乘积等于零。

a *∙

b = a *∙

c = b *∙a = b *∙c = c *∙a = c *∙b = 0 (4.4)

（c ）定义晶体正点阵的单位基矢 (a 、 b 和 c) 与倒易点阵的单位基矢 (a *、b *和 C * ) 之间有如下关系:

V c b a ⨯=*

*

*

*⨯=V

c b a V a c b ⨯=*

（4.5） *

*

*⨯=V

a c

b （4.6） V b a

c ⨯=*

*

*

*⨯=V

b a

c 其中 V 和V *分别是正点阵和倒易点阵单胞的体积。倒易基矢 a *在正 点阵单胞基矢 b 、c 构成的平面法线方向, 它的长度等于这个平面族的面间距的倒数。同理，b *与 c 、a 构成的平面正交，c *与 a 、b 构成的平面正交, 它们的长度也分别等于这两个平面族的面间距的倒数。

正倒点阵单胞的体积 V 和 V *分别等于 a 、 b 、 c 和 a *、b *、c *

的三重标量积。

b a

c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅= (4.7)

b a

c a c b c b a V ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅=****** (4.8) 由倒易基矢a *、b *、C *组成的倒易矢量是

****++=lc kb ha r hkl （4.9）

它的端点是 hkl 倒易阵点。如 h 、k 、l 取遍所有整数值 , 即构成一个无穷尽的倒易点阵 , 正如在正空间中 wc vb ua r uvw ++=的端点处的阵点构 成的一个正点阵一样。正点阵与倒易点阵有完全对应的倒易关系。 (3) 正点阵与倒易点阵基矢之间的定量关系

假设它们基矢的列矩阵间存在矩阵因子[M], 其关系式表示如下:

[]⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡***c b a M c b a (4.10)

等式两边分别右乘以正点阵的行矩阵 [a b c], 则有 [][][][]⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡************c c b c a c c b b b a b c a b a a a M c b a c b a M c b a c b a

上述等式右方最后一个矩阵为单元矩阵，可求出[M]并表示如下：

[][]⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡=⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=22

2

cos cos cos cos cos cos c cb ca bc b ba ac ab a c c b c a c c b b b a b c a b a a a c b a c b a M α

βαλ

βγ

（4.11）

式中α、β、γ分别是晶体基轴b 与c ，c 与a 和a 与b 之间的夹角。 将等式（4.10）两边同时左点乘以[M]的逆矩阵[M]-1，得到以下结果：

[]⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅**

*-c b a c b a M 1

等式两边同时右点乘以倒易点阵基矢的行矩阵[]**

*c b a ，有

[]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=***

********

****

**

*-c c b c a

c c b b b a b c a b a a a M 1 （4.12） 进一步解得：

[]⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎣

⎡

------=-222

22

21

sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos sin 1c cb

ca bc b ab

ac

ab a A M γβ

βγβγαβγββλβαβγαγ

βαα

（4.13）

式中γβαγβαCOS COS COS COS COS COS A 21222+---=。