平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算； ３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，
形成转化技能。
谢谢您的关注
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (1,2 3),b (1,1),
求a b，a b，a与b的夹角 .
a b 1 3， a b 2 4 2 3 2(1 3)，
cos a b 1 , 0 180 , 60.
ab 2
(2) 已知a (2,3), b (2,4),
则（a b）（ a b）
.
法一：a b (0,7), a b (4,1)
（a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
法二：（a
b）（ a
b）
a
2
2
b
ห้องสมุดไป่ตู้22
a b 13 20 7
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
a x1i y1 j b x2i y2 j,
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1y2 j
x1x2 y1 y2
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
a b x1x2 y1 y2. b j
oi x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的 数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)a a a 或 a a a；
(1)向量的模
2
设a (x, y), 则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
答案：B的坐标为（ 3，7） 22
y B
或（7 ， 3） 22
A
O
x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 a 是垂直 于 b 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 ,b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
（3）已知a (3,0),b (k,5)，且a与b的夹角为3 ，
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为（0 180）， 则 cos a b
ab
设a （x1, y1), b (x2, y2 ),且a与b夹角为， (0 180 )则cos x1x2 y1 y2 .
x12 y12 x22 y22 其中 x12 y12 0，x22 y22 0.
平面向量数量积的坐 标表示、模、夹角
一、复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
ab
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示a b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
3、两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 a b a b 0
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a b x1x2 y1 y2 0
（2）平行
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a//b x1 y2 x2 y1 0
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)
y
AC (2 1,5 2) (3,3) C(-2,5)
AB AC 1 (3) 1 3 0
AB AC
三角形ABC 是直角三角形.
B(2,3)
A(1,2)
x 0
练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等
腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.
4
求k的值.
答案：（1）b (3 , 4)或b ( 3 , 4).
55
55
（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB， BC AB，则点C的坐标为 C(3, 29)
3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如图，i是x轴上的单位向量， j 是y轴上的单
位向量，由于 a b a b cos 所以
i i 1 . j j 1 . i j j i 0 .
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
下面研究怎样用
a和b的坐标表示a b.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算； ３、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，
形成转化技能。
谢谢您的关注
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1)已知a (1,2 3),b (1,1),
求a b，a b，a与b的夹角 .
a b 1 3， a b 2 4 2 3 2(1 3)，
cos a b 1 , 0 180 , 60.
ab 2
(2) 已知a (2,3), b (2,4),
则（a b）（ a b）
.
法一：a b (0,7), a b (4,1)
（a b）（ a b） 0 4 7 (1) 7.
法二：（a
b）（ a
b）
a
2
2
b
ห้องสมุดไป่ตู้22
a b 13 20 7
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
a x1i y1 j b x2i y2 j,
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1y2 j
x1x2 y1 y2
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
a b x1x2 y1 y2. b j
oi x
根据平面向量数量积的坐标表示，向量的 数量积的运算可转化为向量的坐标运算。
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)a a a 或 a a a；
(1)向量的模
2
设a (x, y), 则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
答案：B的坐标为（ 3，7） 22
y B
或（7 ， 3） 22
A
O
x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 a 是垂直 于 b 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 ,b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
（3）已知a (3,0),b (k,5)，且a与b的夹角为3 ，
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为（0 180）， 则 cos a b
ab
设a （x1, y1), b (x2, y2 ),且a与b夹角为， (0 180 )则cos x1x2 y1 y2 .
x12 y12 x22 y22 其中 x12 y12 0，x22 y22 0.
平面向量数量积的坐 标表示、模、夹角
一、复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
ab
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示a b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
3、两向量垂直和平行的坐标表示
（1）垂直 a b a b 0
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a b x1x2 y1 y2 0
（2）平行
设a （x1, y1), b (x2 , y2 ), 则 a//b x1 y2 x2 y1 0
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)
y
AC (2 1,5 2) (3,3) C(-2,5)
AB AC 1 (3) 1 3 0
AB AC
三角形ABC 是直角三角形.
B(2,3)
A(1,2)
x 0
练习2：以原点和A（5，2）为两个顶点作等
腰直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.
4
求k的值.
答案：（1）b (3 , 4)或b ( 3 , 4).
55
55
（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB， BC AB，则点C的坐标为 C(3, 29)
3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如图，i是x轴上的单位向量， j 是y轴上的单
位向量，由于 a b a b cos 所以
i i 1 . j j 1 . i j j i 0 .
y A(x1,y1)
B(x2,y2)
a
bj
oi x
下面研究怎样用
a和b的坐标表示a b.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b=(x2,y2),则