空间几何——平行与垂直证明

c

c

∥∥b a b a ∥⇒一、“平行关系”常见证明方法

（一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那

么这条直线和交线平行。

5) 利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6) 利用直线与平面垂直的性质定理：

垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a

b

α

β

b

a a =⋂⊂βαβ

α∥b

a ∥⇒

b a b a ////⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

==γβγαβα β

α

⊥⊥b a b

a ∥⇒α

a

b

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质：

在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

1) 利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2) 利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（三）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

1) 利用平面与平面平行的判定定理：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

α

b

a

β

α

a

β

αα∥⊂a β

∥a ⇒b

∥a b a αα⊂⊄α

∥a ⇒

2) 利用某些空间几何体的特性：如正方体的上下底面互相平行等 3) 利用定义：两个平面没有公共点

二、“垂直关系”常见证明方法

（一）直线与直线垂直的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 2) 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为90°，则两直线互相垂直。 3) 利用直线与平面垂直的性质：

如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线。

4) 利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

α

αββ////∩⊂⊂b a P b a b a =α

β//⇒α

β

b

a

P

α

α

⊥⊂b a a

b ⊥⇒α

a

b

5) 利用常用结论：

①

一条直线也垂直于第三条直线。

②

如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互相垂直。 （二）1) 利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面

等

2) 看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂

直于此平面。

3) 利用直线与平面垂直的判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

4) 利用平面与平面垂直的性质定理：

l

b l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂⊥βαβαβαb

a ⊥⇒c

a b a ⊥∥c

b ⊥⇒b

a

l

αA

α⊥⇒⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫l b

l a l A b a b a ⊥⊥=⊂⊂ α

α b

α

α∥b a ⊥b

a ⊥⇒