流体力学第四章 流体动力学基础

流体微团绕z轴的剪切角速度为 流体微团绕 轴的剪切角速度为
流体微团各表面上的切应力为 （5） ）
法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中， 法向应力的大小与其作用面的方位有关，实际问题中， 法向应力用平均值p作为某点的压力 法向应力用平均值 作为某点的压力 ，可 认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加 压应力，即 压应力， ， ，
4.2 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程 理想的流体运动方程的积分－ 方程
u2 dW − dp = d( ) ρ 2 1
质量力只有重力 X 积分
u2 W − − =c ρ 2 p
W = − ∫ gdz = − gz + c1
= Y = o, Z = − g
p
u2 z+ + = c0 γ 2g
流体微团质量与y轴加速度的乘积为 流体微团质量与 轴加速度的乘积为 （2） ）
由牛顿第二定律（ ） （ ）， ），化简得 由牛顿第二定律（1）=（2），化简得
对于x、 轴同理有 对于 、z轴同理有 （3） ）
方程（ ）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程， 方程（3）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通 作为已知量， 已知， 常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体 已知，方程应 、 、 作为已知量 包含六个应力及三个速度分量， 个未知数。 包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程 个未知数 个方程， （3）加上连续性方程也只有 个方程，无法求解，必须 ）加上连续性方程也只有4个方程 无法求解， 找出新的补充关系式。 找出新的补充关系式。
将方程（ ） 代入方程（ ） 对于x 将方程 （ 5） 、 (7)代入方程 （ 3） ， 对于 代入方程 轴方向的方程为： 轴方向的方程为：
化简
方程右边第三项引入Laplace算子 算子 方程右边第三项引入 ， 第四项由连续性方程判断应该等于0， 第四项由连续性方程判断应该等于 ，最后得到
（8） ）
∂u y ∂t + ∂u y ∂x ux + ∂u y ∂y uy + ∂u y ∂z uz = Y − 1 ∂p ρ ∂y
∂u z ∂u z ∂u z ∂u z 1 ∂p + ux + uy + uz = Z − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z
(1) 不可压缩理想流体的定常流动； 不可压缩理想流体的定常流动； (2) 沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； 沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3) 质量力只有重力。 质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。
方程（ ）就是不可压缩流体的Navier-Stokes方程，简称 方程， 方程（8）就是不可压缩流体的 方程 N-S方程。该方程是一个二阶非线性偏微分方程组，目前 方程。 方程 该方程是一个二阶非线性偏微分方程组， 尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解 尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解
（1）势能积分
p p p ∫ ρgdQ = z + ρgQ z + ρgdQ = z + ∫ ρg ρg ρg
（2）动能积分
u2 u2 1 αv 3 αv 2 3 ∫ 2 g ρgdQ = ∫ 2 g ρgudA = 2 g ρg ∫ u dA = 2 g ρgA = 2 g ρgQ
α=
u 3 dA ∫ v A
3
——动能修正系数
层流α=2 紊流α=1.05~1.1≈1
4.2 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程 理想的流体运动方程的积分－ 方程
（3）水头损失积分 ）
∫ hw ' ρgdQ = hw ρgQ
2 p1 α1v12 p 2 α 2 v2 z1 + + = z2 + + + hw ρg 2 g ρg 2 g
实际流体的 总流上的伯 努利方程
u2 2g
4.2 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程 理想的流体运动方程的积分－ 方程
三、Bernoulli方程的物理意义 方程的物理意义
1、物理意义 、 位能—— 位能
z
压力能—— 压力能
p
γ
u2 动能—— 动能 2g
p z+ 势能—— 势能 γ
1 ∂p du y fy − = ρ ∂y dt
fz −
1 ∂p du z = ρ ∂z dt
∂u x ∂u x ∂u x ∂u x 1 ux + uy + + uz = X − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂u y ∂u y ∂u y ∂u y 1 ux + uy + uz = Y − + ∂z ρ ∂t ∂x ∂y ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z 1 ux + uy + + uz = Z − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ
流体为理想流体时，运动粘度， － 方程简化为 流体为理想流体时，运动粘度，N－S方程简化为
如流体处于静止状态，则
4.2 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程 理想的流体运动方程的积分－ 方程
一 、运动微分方程在流线上的积分形式
∂u x ∂u x ∂u x ∂u x 1 ∂p + ux + uy + uz = X − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x
y x
ρ
2
u = p2 + z2γ +
2 1
ρ
2
u + ∆pf
2 2
∆pf = γhf
4.2 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程 理想的流体运动方程的积分－ 方程
实际总流的Bernoulli Bernoulli方程 2 实际总流的Bernoulli方程
u12 p2 u22 z1 + + = z2 + + + hf γ 2g γ 2g p1
根据牛顿第二定律得 根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程 牛顿第二定律
du x ∂p dx ∂p dx f x ρdxdydz + p − dydz − p + dydz = ρdxdydz ∂x 2 ∂x 2 dt
1 ∂p du x fx − = ρ ∂x dt
∂p ∂y
乘以dx 乘以 乘以dy 乘以 乘以dz 乘以
∂p ∂z
4.2 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程 理想的流体运动方程的积分－ 方程
定常流动 流线和迹线重合，则 流线和迹线重合，
dx = u x dt , dy = u y d t , d z = u z d t
1 ∂p ∂p ∂p ∂u y ∂ux ∂u Xdx + Ydy + Zdz − ( dx + dy + dz) = dx + dy + z dz ρ ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t ∂t ∂uy ∂ux ∂u = ux dt + uy dt + z uz dt Xdx + Ydy + Zdz = dW ∂t ∂t ∂t
第四章 流体动力学基础
第1节 理想流体的运动微分方程 第2节 纳维－斯托克斯方程 第3节 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli方程 第4节 流速、流量仪表和Bernoulli方程应用 第5节 动量定理及应用
4.1 理想流体的运动微分方程
理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。 理想流体运动微分方程式是研究流体运动学的重要理论基础。可以用 牛顿第二定律加以推导。 加以推导 牛顿第二定律加以推导。
（注意：应力符号中的下标，下标第一个字母表示作用面的法线方 向，第二个字母表示应力作用线的指向。）
在这9个分量中， 因此只
在粘性流体的任意点A附近， 在粘性流体的任意点 附近，取一棱边平行 附近 于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为dx、 于坐标轴的平行六面体微团，其边长分别为 、 dy、dz，表面应力在 轴上分量如图。 轴上分量如图。 、 ，表面应力在y轴上分量如图 y轴上合力为： 轴上合力为： 轴上合力为 （1） ）
附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到: 附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到 (6)
方程（6）称为广义牛顿内摩擦定律。 方程（ ）称为广义牛顿内摩擦定律。
因此
(7)
将方程（ ） 由不可压缩流体的连续性方程 ，将方程（7）中三个式子 相加后平均得到，正好验证了前面的论述。 相加后平均得到，正好验证了前面的论述。
由牛顿内摩擦定律知， 由牛顿内摩擦定律知，切应力与速度梯度关系为 （4） ） 在层流中取正方形流体微元面积abcd，流层间存在相对 在层流中取正方形流体微元面积 ， 速度，在运动中必然变形，经时间dt后变成 后变成a 速度，在运动中必然变形，经时间 后变成 ’b’c’d’，ab 边线的转角为 ， ，那么角变形速度为 ，牛顿内摩擦定律也可以写成
∂p ∂p ∂p = u x du x dp = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z 2 2 ux + u y + uz2 u2 d( ) = d( ) = ux dux + u y du y + uz duz 2 2
+ u y du y + u z du z
四式联合
u2 d W − dp = d ( ) 2 ρ 1
受力分析： 受力分析： 1、质量力： 质量力： 2、表面力： 表面力： fxρdxdydz x轴正方向 轴正方向
切向应力＝ 切向应力＝0（理想流体） 理想流体） 法向应力＝压强 法向应力＝
∂ p dx p− ∂x 2