概率在生活中的应用

概率在生活中的应用

摘要：随着科学的发展，数学在生活中的应用越来越广，生活的数学无处不在.而概率作为数学的一个重要部分，同样也在发挥着越来越广泛的用处.本文介绍了概率的某些知识在实际问题中的应用，主要围绕古典概型、几何概型、全概率公式、正态分布、数学期望、小概率模型等有关知识，探讨概率统计知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系.我们在日常生活中的好多事情都多多少少牵扯到了概率计算的问题，正如杰文斯所说：概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为”.在概率论已获得当今社会的广泛应用,概率已成为日常生活的普通常识的今天,对现实生活中的概率问题进行研究就更显得十分重要.

关键词：全概率公式；正态分布；数学期望；概率

正文：概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小.比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生：而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生.但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间.在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析.不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段.

1 概率问题的提出

由赌徒的问题引起,概率逐渐演变成一门严谨的科学.1654年，有一个法国赌徒梅勒遇到了一个难解的问题：梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人谁先赢满3局谁就得到全部赌注.在游戏进行了一会儿后，梅勒赢了2局，他的朋友赢了1局.这时候，梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止.他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？梅勒的朋友认为，既然他接下来赢的机会是梅勒的一半，那么他该拿到梅勒所得的一半，即他拿20个金币，梅勒拿40个金币.然而梅勒争执道：再掷一次骰子，即使他输了，游戏是平局，他最少也能得到全部赌注的一半——30个金币；但如果他赢了，并可拿走全部的60个金币.在下一次掷骰子之前，他实际上已经拥有了30个金币，他还有50%的机会赢得另外30个金币，所以，他应分得45个金币.

赌本究竟如何分配才合理呢？后来梅勒把这个问题告诉了当时法国著名的数学家帕斯卡，这居然也难住了帕斯卡，因为当时并没有相关知识来解决此类问题，而且两人说的似乎都有道理.帕斯卡又写信告诉了另一个著名的数学家费马，于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信，在通信中，他们最终正确地解决了这个问题.他们设想：如果继续赌下去，梅勒（设为甲）和他朋友（设为乙）最终获胜的机会如何呢？他们俩至多再赌2局即可分出胜负，这2局有4种可能结果：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙.前3种情况都是甲最后取胜，只有最后一种情况才是乙取胜，所以赌注应按3：1的比例分配，即甲得45个金币，乙15个.虽然梅勒的计算方式不一样，但他的分配方法是对的.

三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯把这一问题置于更复杂的情形下，试图总结出更一般的规律，结果写成了《论掷骰子游戏中的计算》一书，这就是最早的概率论著作.正是他们把这一类问题提高到了理论的高度，并总结出了其中的一般规律.同时，他们的研究还吸引了许多学者，由此把赌博的数理讨论推向了一个新的台阶，逐渐建立起一些重要概念及运算法则，从而使这类研究从对机会性游戏的分析发展上升为一个新的数学分支.

所谓概率，通俗点说就是有多大的可能性.生活中这类实例是很多的.让我们先举一个简单的例子：投一枚正反两面的硬币，结果正面向上的概率是多少？不用计算就能知道，这种

可能性为一半，也就是说其概率为1／2.当然，即便生活中的概率问题也不都是这么简单，对于较复杂点的就需要我们动动脑筋了.下面就让我们一起来看一看现实生活中有趣的几类

问题吧！

2 古典概型在实际生活中的应用

古典模型是概率论发展史上最早被研究和应用的一种概率模型.许多实际问题，都可以将其转化为古典概率加以解决.古典概率通常又叫事前概率，是指随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数，都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各

种发生结果的概率.

在概率模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的.利用古典概型的等可能性和有限性的特点能方便地求出概率.

古典概型概率的求法：设古典概型的样本空间为12{,,

,}n ωωωΩ=，事件域F 是由Ω的所有子集的全体构成的，共有2n 个事件。若A F ∈，含有m 个样本点，即

12{,,,}m i i i A ωωω=，则由等可能性12()()()n P P P ωωω===，有

12()()()m i i i P P P ωωω===. 由概率的规范性和可加性得

11()1,()(1,2,,)n i i

i P P i n n ωω====∑,

11()m P A n n n

=++=, 即

()A P A =中所含样本点个数样本空间中样本点总数

. 由此可得概率的古典定义.

定义1 （概率的古典定义）设古典概型的样本空间所含的基本事件总数为n ，而事件A 含有其中的m 个基本事件，则定义A 的概率为

()=A m P A n

=Ω中所含样本点个数中所含样本点个数. （2-2-1） 利用式（2-2-1）计算概率，关键是等可能性的判断，构造古典概型，确定试验的样本空间结构并计算出它所含总的样本点个数，然后再求出事件A 所含的基本事件个数.下面来

看一个摸球问题.

例1 设一袋中有85个白球，8个黑球，接连无放回地从袋中摸取3个球，求下列事件的概率：

(1)A =“摸得的3个球依次为黑白黑”；

(2)B =“摸得的3个球都是黑球”；

(3)C =“摸得的3个球中有两个是黑球”.

解 设想球都是编了号的.

(1)由排列组合知识知，从93个不同的球中任取3个排成一列，有393A 种不同的排列方

式，故基本事件总数为393A .而要使A 出现，第一、二、三次应分别摸得黑球（有18A 种方式

实现）、摸得白球（有185A 种方式实现）、摸得黑球（有17A 种方式实现），有排列组合的乘法

原理，A 中含有1118857

A A A 个基本事件，再有定义得 1118857393

()0.0061A A A P A A ==. (2)解法一 类似于(1)得38393

()0.0004A P B A ==； 解法二 因为事件B 与顺序无关，且因为

383388333939393

3!3!

A A C A A C ==， 所以可以把从93个球中摸取三个的组合数393C 当成(2)中基本事件个数，故

38393

()0.0004C P B C ==. (3)因事件C 与摸球次序无关，类似于(2)的解法二，得

31885393

()0.0183C C P C C ==. 如果用排列知识来解(3)，则类似于(1)，基本事件总数为393A .C 含基本事件数可这样

来计算：三次摸球中有两次摸得黑球有23C 种摸取方式.对某种固定的摸取方式（如前两次