苏科版数学九年级上册知识梳理

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第一章一元二次方程

1.1一元二次方程

1、概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程

2、一元二次方程的一般形式

（1）形如ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数

（2）特殊的一元二次方程

ax2=0（a≠0，b=0，c=0）

ax2+c=0（a≠0，b=0，c≠0）

ax2+bx=0（a≠0，b≠0，c=0）

注意：二次项系数a≠0

（3）化一元二次方程为一般形式的方法：

整理一元二次方程的常用手段是去分母、去括号、移项、合并同类项等

（4）一元二次方程的一般形式的特征：

等号的左边是按x的降幂进行排列，右边等于0

3、根据实际问题列出一元二次方程

从实际问题中抽象一元二次方程的一般步骤：

（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系

（2）设出合适的未知数

（3）确定相等关系

（4）根据等量关系列出方程

1.2一元二次方程的解法

直接开平方法

1、如果一个一元二次方程的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，就可以用直接开平方法求解

2、直接开平方法的使用范围和理论依据：

（1）直接开平方法适合解形如x2=b和（x-a）2=b的方程，其中b≥0，因为若b＜0，方程无解

（2）直接开平方法的实质是吧一个一元二次方程降次为两个一元一次方程来求方程的根，因此要注意方程应该有两个根

配方法

配方法是通过配方将一元二次方程左边化为完全平方的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以a2±2ab+b2=（a ±b）2为依据，其基本步骤为：

（1）在方程两边同除以二次项系数a，把二次项系数化为1；

（2）把常数项移到等式的右边；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（4）方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；

（5）利用直接开平方法解方程。

公式法

用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根为x=

a2

ac 4-

b

b-2

±

（b2-4ac≥0）。把

x=

a2

ac 4-

b

b-2

±

叫做一元二次方程的求根公式

一般步骤：

（1）把一元二次方程化为一般形式；

（2）确定a、b、c的值

（3）求出b2-4ac的值，若b2-4ac＜0，则方程无解；（4）若b2-4ac≥0，代入求根公式求出x1，x2

根的判别式

（1）把b 2

-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式

（2）当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不等的实数根；当b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根，反过来也成立

（3）根据判别式可以判别一元二次方程的情况；由一元二次方程根的情况可确定参数的取值范围

因式分解法

将一元二次方程右边化为0，左边进行因式分解化成两个因式的积。根据两个因式积为0的充分必要条件是至少有一个因式为0，解出方程的根，这种方法叫做因式分解法。

（1）因式分解法的理论依据：若两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0

（2）常用的因式分解法的基本思想：化一元二次方程为一元一次方程，基本方法就是降次，通过分解因式，可以化二次式为一次式，达到2降次的目的，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解

（3）一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；将方程左边因式分解为两个一次因式的积；令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根

1.3一元二次方程的根与系数的关系

1、根与系数的关系

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=a b -

，x 1x=a c ； 特殊的，若一元二次方程x 2+px+q=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x=q

2、利用根与系数的关系计算对称式的值

2

221x x +；2

1x 1x 1+；（x 1-5）（x 2-5）；21x -x

1.4用一元二次方程解决实际问题

平均增长率问题、营销问题、动点问题、商品销售获利问题、方案优化问题

第二章对称图形——圆

2.1圆

1、圆的运动定义

在平面内，线段OA绕它的一个固定端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径

2、圆的集合定义

在同一平面内，圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点叫做圆心，定长叫做半径3、圆的内部和外部

圆的内部：圆的内部可以看做是圆心的距离小于半径的点的集合

圆的外部：圆的外部可以看做是到圆心的距离大于半径的点的集合

4、点与圆的位置关系

圆的半径为r，点到圆心的距离为d

点在圆外，d＞r

点在圆上，d=r

点在圆内，d＜r

5、圆的相关概念

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中有无数条弦，其中最大的弦是直径。

弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。直径将圆分成的两条弧叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧

同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆

等圆：圆心不同，半径相等的两个圆

等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧