二次函数与方程

中考压轴专题之二次函数与方程综合 姓名

1.（08天津市卷26题） 已知抛物线c bx ax y ++=232，

（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；

（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<

（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，31

2=

x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭

，． 2分

（Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．

对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤3

1

． ············································ 3分

①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3

1

21-==x x ．

此时抛物线为31

232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭

，． ······································ 4分 ②当3

1

<

c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231，12=x 时，c c y +=++=5232． 由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为3

1

-=x ，

应有12

00.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤．

综上，3

1

=

c 或51c -<-≤． ·················································································· 6分 （Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，

由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23．

于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ． 7分

∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ， ∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ···································· 8分 又该抛物线的对称轴a

b

x 3-

=， 由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2，

∴3

2331<-y ；12=x 时，02>y ，观察图象，

可知在10<

已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上.

（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；

（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由. （08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分） 解：（1）由5x x 122+=0，（1分）得01=x ，5122-

=x ．（2分）∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（5

12

-，0）． ··············································· （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81），

（4分）

分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有

ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 =

22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-2

1

)8144(⨯+=5（个单位面积）

（3）如：)(3123y y y -=．事实上，)3(12)3(52

3a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．

3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ························ （9分） ∴)(3123y y y -=． ······················································································ （10分） 3.(08浙江杭州24) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平

移二次函数2

tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点

为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2

？请你作出判

断，并说明理由；

（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO=

2

3

，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。

（08浙江杭州24题解析）∵ 平移2

tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q , ∴ 抛物线F 对应的解析式为:b t x t y +--=2

)(. --- 2分

∵ 抛物线与x 轴有两个交点，∴0>b t . --- 1分 令0=y , 得-

=t OB t b

，+=t OC t

b ,