4.5.3 函数模型的应用 教学设计
人教A版(2023)高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用 教学设计
人教A版（2023）高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用教学设计第四章指数函数与对数函数4.5 函数模型的应用（一）一、内容与内容解析1.内容教科书例3 和例4，利用已知函数模型解决实际问题的基本过程。
2.内容解析函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。
本节课是函数模型的应用的第1课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用。
通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此利用合适的函数模型、刻画现实问题的变化规律。
本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会利用数学函数模型解决实际问题的一般过程。
在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养。
本节课的教学重点：利用已知函数模型解决实际问题，初步体验数学建模的基本步骤。
二、目标与目标解析1.目标能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图像及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确利用合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养。
2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能明确教科书例3 中的数学关系，认识指数增长模型；（2）能利用教科书中的例题数据，求解模型中的年平均增长率；（3）检验求得的模型并作出预测，提升学生的数学建模素养。
三、教学问题诊断分析首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图像和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题。
教学时可以多从两个方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律。
(1)其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯。
【教案】函数模型的应用教学设计高一下学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.5.3 函数模型的应用一、教学内容分析本节课的教学内容选自《人教版 2019 年高中数学教科书必修第一册(A 版)》第四章指数函数第五节第三课时.函数是描述客观世界中变量关系和规律的最基本的数学语言和工具，函数模型在生活中有广泛的应用．《函数模型的应用》是在学生学习了函数、指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，学生已经掌握了多种函数模型，具备了一定的建模基础．本节课选择了“城市机动车保有量情况”为研究背景，这是各地的热点问题，具有实际意义，不仅能调动学生的积极性，也能体现数学的应用价值．二、学情分析1学生当前已经掌握了函数的概念以及简单的性质，如单调性、奇偶性等，在函数类型上，初中就学习了一次函数、二次函数以及反比例函数，到了高中又学习了指数函数、对数函数以及幂函数等初等函数模型，因此学生具备一些函数方面的基本前在知识，此外从小学开始接触的应用题也是数学模型的简单应用基础，这些知识为学生学习本课时提供了经验上的可能.2学习本课时的学生是刚进入高中阶段的学生，在生理、心理方面逐渐趋于成人，此外学生的智力也日趋成熟，抽象逻辑思维由“经验型”向“理论型”转化. 函数部分作为整个中学数学的重难点，在初中学习的二次函数，可能对一部分学生的学习造成了不少困难，而到了高中函数集合概念的抽象性可能再次让学生困惑，甚至产生一定的恐惧心理.本课时的学习是对以前函数学习的一个巩固和应用，用函数知识解决问题，通过实际应用加深学生对函数理解的同时，也为后面进一步学习函数相关知识打下坚实基础.此外，本课时也涉及数学建模的初步思想，可以利用学生对于数学实践的兴趣来进行教学，使学生达到教学目标.三、目标及目标解析(1)了解函数模型在实际生活中的应用；通过生活实例问题解决的学习，初步理解数学建模的基本过程.(2)经历实际问题解决的完整过程，归纳利用函数模型解决实际问题的一般思维过程；能建立适当函数模型解决简单的生活问题.(3)通过实际问题的函数解决，体会数学的实际应用功能；经历实际问题的函数模型解决过程，增强解决问题的自信心，学会用数学的眼光观察生活.2达成上述目标的标志是：(1)能够想到用函数的思想解决问题，对于不同的实际情况，会选择不同的函数模型针对性的加以解决.(2)在总结部分可以自己总结得到数学建模的一般步骤：实际问题→ 提出问题→建立模型→求解模型→检验结果→ 实际结果；通过合作探究的方式完成问题2，并能够评价问题与反思求解过程.(3)通过对所在城市与首都北京的实际问题—“机动车保有量”的解决，感受到函数并不只是存在于课本的这一章，而是真切的可以应用于生活中；在解决问题过后对问题的反思中，能够通过言语以及语气感受到对实际问题得到成功解决这一行为的自豪感.四、教学重点与难点1学会通过建立函数模型解决实际问题.2能针对不同问题灵活的选取模型，会对数据进行适当的处理.五、方法与策略1.(1)问答法(2)讨论法(3)探究法2.为了突出重点，本课时采用了问题导向式教学.(1)课程标准对本课时的要求为“体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义. ”而教师仅仅通过对教材例题的讲解很难达成目标，采用问题导向式教学可以让学生始终保持对问题的探究，从而在解决实际问题中学会数学建模的基本过程.(2) 教材上的例题虽多但都与学生的生活有一定距离，而通过问题导向式教学可以使得教学富有生活化气息，学生能被激发兴趣，主动探究数学问题.(3)问题导向式教学还能够正确建立学生合作氛围，激励学生相互探究，参研逻辑，整理思路，取得合作能力、沟通能力、表达能力的同步提升.为了突破难点，本课时采用了合作探究的学习方式．(1)首先，通过合作互助，学生能及时发现解题过程中的困难并予以克服，突破学习的难点．(2)其次，在合作探究的过程中，学生能及时交流解题思路并在Geogebra 软件的支持下进行充分探索，有利于发展学生的创新思维．六、教学过程在本节课之前，对班级学生进行前测，以评估他们的学习情况．前测如下：近几年，芜湖市机动车保有量急剧增长，为了研究芜湖市机动车保有量的发展情况，小明调查了三年的机动车保有量数据：x123y39 45 54若机动车保有量y 是年份x 的二次函数，请解答下面的问题：(1)到第4 年，芜湖市机动车保有量将达到多少万辆？(2)芜湖市机动车保有量将在哪一年超100 万辆？【】前测的条件清楚准确，原始问题数学化的过程比较简单，学生只需要利用待定系数法确定函数模型即可解决相关问题．但在题后反思中，大部分同学可能无法作出清晰的评价或仅能作出如“挺实用的”等简单评价．由此可以看出，学生的基本知识和基本技能掌握得较好，但是应用数学的意识不强，也缺乏对问题进行评价与反思的经验．基于对学生学情的把握，本节课的教学分四个环节进行．1.在引入阶段，师生共同回顾前测并交流题后反思．学生认识到常见的应用问题往往条件有限、数据量少、函数模型唯一确定，与现实生活有一定的差距，引出后续的探究活动．2.在学生交流的基础上，展示本节课的问题情境，并引导学生自主探究问题1．作为一个人口约为2000 万的特大城市，北京市的交通拥堵问题一直比较严重．为了缓解拥堵，2010 年12 月，北京市公布了《关于进一步推进首都交通科学发展加大力度缓解交通拥堵工作的意见》，其中一条重要的措施就是实施小客车(含私人小客车和非私人小客车)限购政策．2011 年，小客车限购政策正式实施，从2011 到2015 年，小客车限购指标分别为24 万、24 万、24 万、12 万、12 万．在未来几年中，小客车限购指标将减少至每年10 万．通过调控，北京市机动车(包含摩托车，小客车，货车等)增长趋势得到了一定的控制(见下图)，截至2015 年年底，北京市机动车保有量为562 万．市交通委此前发布规划：力争到2025 年将全市机动车保有量控制在730 万辆以内．根据材料中的信息，请你尝试解决下面的问题．1请你估计若不实行限购，2015 年底北京市机动车保有量约为多少？【】阅读材料比前测更贴近实际，包含的数据和信息量较大，材料中的可用信息有待学生自己挖掘，学生需要对信息进行分析、筛选并利用不同的函数模型进行数据拟合和结果预测.：为了落实教学重点，采用自主探究、展示交流、讨论小结三个学习活动，引导学生逐步掌握建立函数模型解决实际问题的步骤.(1)在这个环节中，学生借助Geogebra 软件进行自主探究．多数学生能正确的选择数据 (2002—2010 年机动车保有量) 并利用不同的函数模型进行拟合， 得 到相应的预测结果如下：(2) 在自主探究的基础上， 请一名同学从数据提取、函数拟合、结果预测等方面 展示他的研究过程，并鼓励其他同学进行补充．【】一方面， 这是对问题进行再分析的过程． 学生在阐述方案的同 时， 有意识的分析方案的合理性， 探究能力得到提高； 另一方面， 通过交流， 学 生直观的感受到现实问题结论的多样性．(3)为什么会有不同的预测结果？是不是所有的预测结果都是合理的？：利用模型 y ＝a · X b 预测的结果(470 万) 比实行限购后的实际数据(562 万)小，不合常理，利用三次函数进行拟合的预测数据过大(1207 万)， 不符合实际.函数模型 3 ：y = a . b预测结果：789 万 函数模型 1： y = aX + b预测结果 ：607 万 函数模型 2 ：y = aX 3 + bX 2 + CX + d预测结果：1207函数模型 4 ：y = a . X b 预测结果：470 万】问题有量与年份之间函数关系，从而提供了对结果的不同预测．在对结果合理性的讨论中，学生结合实际对结果进行了评价，学生对问题的认识得到提升，反思的意识得到加强．3.在问题1 的基础上，向学生展示问题2．2请你预测一下按照现行的小客车限购政策，2025 年北京市机动车保有量控制在730 万以内的目标能否达到？2，学生需要理解机动车、小客车、私人小客车之间的关系，并对数据进行适当的处理，这为本节课的难点．为了突破难点，本阶段学生采用了合作探究的学习方式．在充分的探究后，学生从数据选取和函数模型两方面交流了他们的方案．方案一：对2002-2014 年机动车保有量数据进行函数拟合；方案二：对2011-2014 年机动车保有量数据进行函数拟合；方案三：将2015 年机动车保有量加上每年的小客车限购指标；方案四：对每年小客车保有量增量与限购指标的比值进行函数拟合；……对学生的探究成果教师予以肯定，并引导他们对方案进行评价和改进．在这个过程中，学生对问题的认识逐步深入，也提出了一个相对更合理的方案．(1)根据相关数据，计算2002 年到2015 年非小客车(不限购部分) 保有量，选择适当的函数模型进行拟合，预测2025 年的非小客车数量；(2)计算出2015 年小客车(限购部分) 保有量并以此为基础，根据之后每年的小客车限购指标预测2025 年的小客车数量；(3)将(1)(2)的结果相加，得到最后的预测结果(约720 万)，并得出结论——基本能完成630 万的控制目标．【 2 的探究，学生获得了将数学知识运用于实际问题的成功体验，本节课的难点得以突破．之后，通过“请你评价一下这个应用问题”这一设问，学生再次经历了题后反思的过程．与前测相比，学生已经能有意识的从问题背景、解题方法、探究结果等方面来评价这个问题，反思的层次得到提升. 4.师生共同总结建立数学模型解决实际问题的基本步骤：在此基础上， 教师指出， 由于所学知识的限制， 在问题解决的过程中， 并未 考虑更多的影响因素.并留下拓展作业——上网搜集与芜湖市交通有关的数据， 提出相应的问题，并尝试利用所学的知识解决问题．七、板书设计①为什么会有不同的预测结果？ ②是不是所有的预测结果都是合理 的？多媒体投影区y = aX + b 607 万 y = aX 3 + bX 2 + CX + d 1207 万 y = a . b 789 万 y = a . X b 470 万八、设计理念说明1.在数学建模活动中， 学生是认知活动的主体， 教师是帮助者、促进者、引 导者． 在建模的教学中， 方案的探索、实施、调整和反思应尽量由学生自主或合 作探究完成， 同时在评价学习效果时， 无需过多的强调结果的正确性， 应主要考 查学生使用的数学方法是否得当， 求解过程是否合乎常理， 建模的结果是否有一 定的实际意义．2.数学建模本质上是一个问题解决的过程， 因此问题的设置是教学中关键的 一环．数学建模的问题应来自于学生熟悉的日常生活、现实世界等多方面． 同时， 解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程内容有联系． 由于课堂教 学面对的是全体学生，因此问题的设计应该有梯度，以使所有学生都能有所收获．本节课中，“前测——问题1——问题2——拓展作业”难度逐渐加大，不同发展水平的学生都可以在适当的层次上获得数学建模的经验．3. 《普通高中数学课程标准(2017 年版)》指出，“教师应整体设计、分步实施数学建模活动与数学探究活动，引导学生从类比、模仿到自主创新，从局部实施到整体构想，……”．考虑到高一学生数学建模的经验不足，在本节课中，“发现和提出问题”这个环节主要由教师课前完成，在呈现问题情境时，也剔除了一些复杂的现实因素．随着学生数学知识的扩充，数学能力的发展，我们还可以开展以数学应用和数学建模为主题的课外活动，让学生进一步经历数学建模的全过程．4. 由于数学建模的问题的来源更生活化，可用信息和数据量很大，因此，在问题解决的过程中，信息技术(如Geogebra 等)的使用是必要的．利用Geogebra ，学生能从多角度、多层次研究问题，为发展他们的创新思维提供了支持．史宁中教授指出：“抽象、推理、模型”是高中阶段的数学核心素养中最重要的三个要素”，数学建模的教学应当贯穿高中数学教育教学的全过程．作为学科教学的硕士，我们应当积极研究教学内容，在未来的课堂教学中为学生提供适于数学建模的素材和课题，让学生积累发现和提出问题，分析和解决问题的经验，促进学生核心素养的发展．。
2024春新教材高中数学4.5.3函数模型的应用教学设计新人教A版必修第一册
另外，我在课堂上的引导和提问方式也需要改进。我注意到，在小组讨论的时候，有些学生因为害怕犯错而不愿意发表自己的观点。这让我意识到，作为教师，我需要创造一个更加包容和鼓励探索的学习环境，让学生敢于表达自己的思考，哪怕是不完整的想法。
针对学生的学情分析，本节课的教学重点是让学生掌握函数模型在实际问题中的应用，教学难点是如何将实际问题转化为函数模型。在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对不同学生的特点进行有针对性的指导，帮助他们克服困难，提高解决问题的能力。同时，教师需要设计合理的教学活动，激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力。
板书设计：
①函数模型的组成部分
②函数模型的原理
③函数模型的功能
3.函数模型的案例分析
板书设计：
①典型函数模型案例介绍
②案例分析方法
③案例对实际问题的影响
4.学生小组讨论的主题和目标
板书设计：
①小组讨论的主题
②小组讨论的目标
③小组讨论的方法
5.课堂展示与点评的内容和形式
板书设计：
①课堂展示的内容
②点评的形式
在知识方面，学生已经学习了函数的基本概念、性质和图像，对函数有了初步的认识。但是，他们对函数模型在实际问题中的应用还不够了解，需要通过实例来加深理解。在能力方面，学生已经具备了一定的数学思维能力和解决问题的能力，但将这种能力应用到函数模型解决实际问题中还需要进一步的培养。在素质方面，学生的逻辑推理和数据分析能力还有待提高，他们需要通过实际的例子来锻炼这些能力。
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
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已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要 将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已 知函数解析式求函数值或自变量的值.
17
1．某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关 系为：
P＝t－＋t2＋0100<0t<2255≤，t≤30. (t∈N*) 设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q＝40－ t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大是第几天？
31
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体重 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
/kg
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第3课时 函数模型的应用
2
学习目标
核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问
题．(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函
2．能建立函数模型解决实际问 数模型的作用，提高学生数学建模、
题．(重点、难点) 数据分析的素养.
3．了解拟合函数模型并解决实际问
车有营运利润的时间不超过
解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋
________年．
11，所以有营运利润的时间为 2 11.
又 6<2 11<7，所以有营运利润的时
间不超过 7 年．]
12
合作探究 提素养
13
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用第2课时教学设计
4.5.3 函数模型的应用（第2课时）教材分析：函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．本节课是函数模型的应用的第2课时，是在学生学习了函数的概念和性质，学习了幂函数、指数函数、对数函数后的综合应用．结合对投资回报和选择奖励模型两个问题的分析，通过比较指数函数、对数函数、线性函数等函数模型的增长速度的差异，进一步理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义，并依此选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题的变化规律．本节课的学习，既是前面学习过的函数有关知识的综合应用，也可以让学生体会建立数学模型解决实际问题的一般过程，在此过程中，激发应用数学的意识，逐步形成分析问题、解决问题的能力，提升数学抽象、数学建模等素养．根据上述分析，确定本节教学的教学重点：选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程．学情分析：首先，学生在本节课之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图象和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题．但是面对较复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对不同函数模型增长差异的深刻认识．教学可以多从两个方面帮助学生克服困难，一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律，从而选择合适的函数模型．其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯．在教学中，可以鼓励学生使用信息技术进行复杂的运算求解，作图画表，多元联系地表示数学对象并分析问题，从而逐步形成利用信息技术研究实际问题的意识．教学目标：能将具体的实际问题化归为函数问题，并能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确选择合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养．教学重点：根据条件确定已知函数模型的参数并利用函数模型解决实际问题.教学难点：选择合适的函数类型建立实际问题的数学模型．教学过程：（一）例题教学例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？问题1：请初步选择一种你认为合适的投资方案．追问：（1）你能根据例题提供的三种投资方案的描述，分析出其中的常量、变量及其相互关系，并建立三种投资方案所对应的函数模型吗？（2）三个方案的本质是三个不同的函数模型，如何选择一个标准来比较它们的差异，从而选择合适的函数模型？（3）根据例1中的表格提供的数据，你对三种投资方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？（4）你能借助计算工具作出函数图象，并根据图象描述一下三种方案的特点吗？师生活动：教师可提出进一步的问题，指导学生分析其中的数量关系，引导学生正确写出三种投资方案所对应的每天回报金额关于天数的函数关系式．再利用表格和图象比较分析三种函数模型的增长情况，作出需要分投资天数进行选择的初步判断．设计意图：例题教学除了关注例题本身承载的教学目的外，还要注意不同层次的学生在学习上的差异，本例设问意在分层次、有针对性地给出不同的台阶，做到“总体引导，分层指导”，结合学生的实际情况，利用追问逐步深入．追问（1）意在指导学生将实际问题转化为数学问题；追问（2）意在引导学生根据不同函数的增长差异选择合适的函数模型；追问（3）意在引导学生利用数表对三种模型的增长情况进行分析，借助增加量初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，尤其是引导学生通过观察增加量体会指数函数的增长速度；追问（4）意在借助计算结果与图象直观理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的实际含义，并通过描述三种方案的特点，为下一个问题埋下伏笔．问题2：仅仅分析每天的回报数就能准确作出选择吗？请结合教科书152页边空的问题进一步思考：关于三种投资方案的选择，你应当如何判断？追问：教科书152页边空的问题中，是根据投资天数作出不同方案的选择，划分天数的标准是什么？这种划分正确吗？师生活动：教师可根据学生的思考，指出计算每月回报的增加量（或增长率）是对数据的基本处理方法，本例提供的表格和图象都可以直观看出三种函数模型的增长差异，但要具体到投资的天数，回报的增加量还不足以作为选择投资方案的依据，然后利用下述追问引导学生选择累计的回报数进行判断，作出正确的回答．最后，在问题2的基础上，给出本题的完整解答．设计意图：教师进一步引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要作出正确选择，除了考虑每天的收益外，还要考虑一段时间内累计的回报．最后借助计算工具，得出总收益并作出正确判断．例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．三个奖励模型：y=0.25x，，其中哪个模型能符合公司的要求？问题3：根据题目条件，你认为应该选择哪个奖励模型才符合公司的要求？追问：（1）公司提出的要求与函数的什么性质有关？这对选择函数模型有什么帮助？（2）函数图象能直观反映函数的性质特征，从而可以直观判断函数模型是否符合公司的要求．为此，你能否作出函数图象，并通过观察作出初步的判断吗？师生活动：教师可以在学生思考问题1的基础上，提出追问中的问题，进一步指导学生结合题目条件，分析例题中隐藏的数量关系，引导学生根据函数的图象与性质确定符合公司要求的函数模型．设计意图：这里依然关注教学的生成，继续在总体指导下有针对性地给出不同台阶的分层问题．追问（1）意在引导学生关注实际问题的变化规律，并建立与函数性质的联系，为选择合适模型做好准备；追问（2）意在引导学生作出函数图象，并结合函数性质作出初步判断，从而实现将实际问题向函数模型转化．问题4：你能说明选择模型的理由，并给出本题的解答吗？追问：（1）你是如何判定所选择的奖励模型是否符合要求？（2）能否给出本题的解答过程？师生活动：教师在学生尝试给出解答的基础上，通过追问中的问题作进一步的指导，帮助学生从画函数图象入手，通过观察函数的图象，得出初步的判断，再通过具体计算求解得出正确结果．设计意图：教师进一步引导学生分析实际问题，并根据函数性质选择合适的函数模型，给出正确解答．追问（1）意在引导学生指出判断依据；追问（2）意在指导学生确认解题基本思路，从而学习运用函数观点分析问题．（二）课堂练习问题：完成教科书第154页练习1，2．师生活动：教师结合两道例题的教学情况让学生进行练习，并根据学生的解答情况，给出应有的指导，或提供正确的解答．设计意图：促进学生进一步应用函数解决实际问题，并从中评价学生达成教学目标的情况．（三）小结问题5：通过解答以上两道例题的实际问题，并结合教科书中的例3和例4，你能归纳出用建立函数模型解决实际问题的基本过程吗？设计意图：总结用建立函数模型解决实际问题的基本过程，提升解决实际问题的能力．（四）布置作业必做题：教科书习题4.5第11，12题；选做题：教科书习题4.5第14题．六、目标检测设计1．为了能在规定时间内完成预期的运输量，某运输公司提出了五种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图所示．运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的图象编号是______________．设计意图：考查在具体背景下，根据不同函数模型的增长特点选择合适的函数图象刻画实际问题．2．某工厂今年前三个月生产某种产品的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件．现有三种函数模型用于描述产量y（单位：万件）关于月份x的关系：y=ax+b，y=ax2+bx+c，．若4月份的产量为1.37万件，请问哪个函数更符合实际？设计意图：考查根据题目条件，选择和求解函数模型刻画实际问题的变化规律．3*．设火箭质量是箭体质量与燃料质量的和，在不考虑空气阻力的条件下，两火箭的最大速度之差与这两火箭质量的自然对数之差成正比．已知某火箭的箭体质量为m kg，当燃料质量为m kg 时，该火箭的最大速度为2ln2 km/s，当燃料质量为m(e－1) kg时，该火箭的最大速度为2 km/s．（1）写出该火箭最大速度y与燃料质量x的函数关系式；（2）当燃料质量为多少时，火箭的最大速度可达12km/s？设计意图：考查建立函数模型，并利用所得函数模型解决实际问题．。
函数模型的应用导学案教学设计
《4.5.3函数模型的应用》自主探究导学案主备：贺舒婷时间：_____月___日班级：___________ 姓名：_______________核心素养1.学习目标通过具体实例，求解函数模型中的参数，并利用已知数据和图象验证所得模型与实际是否吻合，进而利用所得模型解释说明实际问题，并进行预测和推断。
会根据变化情况选择函数类型构建函数模型，进而将实际问题化归为数学问题。
2.素养目标通过本节课的学习，提升学生直观想象，逻辑推理，数学运算与数学建模的素养。
一、情景导入我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画。
面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？二、学习任务预习课本P148～154，思考并完成以下问题(1)指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？(2) 解决实际问题的基本过程是什么？三、自我检测1．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝a log(x＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( )2A．300只B．400只C．500只D．600只2．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足( )A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．四、能力提升某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？。
人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.3函数模型的应用第1课时教学设计
4.5.3 函数模型的应用（第1课时）教材分析：函数的实际应用有两个层次，一是用已知的函数模型刻画实际问题，二是根据问题的条件建立函数模型解决问题.本节课主要通过两道例题的研究让学生经历用已知的指数型函数模型刻画实际问题的基本过程．函数是描述客观世界变化规律的数学语言和工具，利用函数模型刻画实际问题蕴含着数学建模思想.现实中的某一类变化可以用指数型函数模型刻画，为了解决实际问题的需要，需要根据具体得到的数据确定函数模型中的参数，这实质上是一个利用待定系数法求函数解析式的过程，体现了函数与方程的思想.本节课所学内容是在学习了指数函数和对数函数的图象和性质基础上解决实际问题，是指数函数和对数函数在实际中的应用.通过本节课的学习，不但让学生体会到指数函数和对数函数在刻画现实世界中的作用，而且使学生对研究函数的基本套路：“背景—概念—图象和性质—应用”有了整体的认识.用函数模型刻画实际问题，可以使学生体会函数在描述客观世界中变量关系和规律的作用，丰富对数学的认识，激发应用数学的意识，感受数学的应用价值，提升数学抽象和数学建模核心素养．学情分析：学生利用数学知识解决实际问题的经验比较欠缺，虽然学习了函数的基本概念和一些常见函数的图象和性质，研究了函数在解方程方面的应用，但是利用函数模型刻画实际问题还是存在一定的困难，主要表现在两方面：一是无法找到恰当的函数模型刻画现实世界中两个变量之间的关系；二是不能够根据函数模型正确地解决实际问题.当给定函数模型时，虽然不存在选择函数模型的问题，但是需要根据条件确定所给模型中的参数，并且给定的模型与现实情况不一定吻合.因此本节课的教学难点有两个：一是根据条件确定已知函数模型的参数；二是利用函数模型对实际情况作出正确的解释和判断.为了破解上述难点，首先要让学生正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值；其次在得到函数模型之后，可以利用信息技术画出函数图象和实际数据的散点图，观察其吻合程度，分析模型的合理性，通过讨论由模型得，其中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.追问1：马尔萨斯人口增长模型“”中，t、、r的实际意义分别是什么？预设的答案：马尔萨斯人口增长模型“”中t表示经过的时间，表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.追问2：根据所给数据，马尔萨斯人口增长模型中的参数的值是多少？预设的答案：马尔萨斯人口增长模型“”中，表示时间为0时的人口数，即人口的初始值，由于要建立我国在1950～1959这一时期的具体人口增长模型，因此为1950年的人口数55196万人.，.,t∈[0,9].预设的答案：分别取t=1，2，…，8，由可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数为约为：56416万，57664万，58939万，60242万,61574万,62936万,64327万,65749万，与表1中的数据相对照，所得模型与实际人口基本相符.追问3：根据表1数据画出散点图，并画出函数t∈[0,9]的图象，观察所得模型与1950～1959的实际人口数据是否符合？由此你能得到什么结论？预设的答案：根据表1数据画出散点图，并画出函数,(t ≥0)的图象，如图1所示：观察可得，所得模型与1950~1959的实际人口数据基本吻合.由此，我们可以得出的结论是，所得模型与1950~1959的实际人口是相符合的.但是，不能够由此推断此模型与我国实际的人口数是相符的，因为对于1960年之后的人口数据情况还不了解，只是根据特殊几年的情况符合就推断说对于所有的年份都适合是不妥当的.追问4：以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国的人口数达到13亿？师生活动：学生利用计算工具解决问题.预设的答案：将代入，由计算工具t≈39.15得，所以，按照表1增长趋势，大约在1950年后的第40年（即1990年）我国的人口数达到13亿.追问5：事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿.对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：对由函数模型所得的结果与实际情况不符，学生们的回答可能有两种看法，一是认为马尔萨斯人口模型并不符合实际的人口增长情况；二是认为我国的人口增长没有满足马尔萨斯人口模型的前提条件.预设的答案：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数（k∈R,且k≠0；a＞0,且a≠1）建立数学模型.，（k∈R,且k≠0；0＜p＜1；x≥0）.所以.，即解得（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？预设的答案：因此，用马尔萨斯人口模型计算，1970年之后的33年，即2003年的时候世界人口是是1970年的2倍.（2）由同样的模型得出的两个结果与实际值相比较有高有低，至少说明两点：①马尔萨斯人口模型只是一种理想化的增长模型，与实际情况不会完全吻合；②马尔萨斯人口模型适合自然状态下的人口增长，在实际情况下，当世界人口受到非自然因素的影响，如战争，疾病、国家政策等，此时，利用此模型来判断人口的增长是不合适的.总之，由同样的模型得出的两个结果中我们可以看到：用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.2.在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？预设的答案：设样本中碳14的初始量为k（k∈R,且k≠0），经过x年后残留量为y，则由例2的解答可知，y与x满足的函数模型为：.由样本中碳14的残留量约为初始量的62.76%可知，，即.解得.问题5：在本节课中，我们主要研究了哪些函数模型？它们可以帮助我们解决怎样的实际问题？给定函数模型，如何根据实际数据确定模型中的参数？利用具体的函数模型分析和解决实际问题时需要注意些什么？通过本节课的学习，你还有哪些其他方面的收获？师生活动：学生回答，教师引导.预设的答案：本节课主要学习了马尔萨斯人口增长模型和碳14年代推测模型，它们分别在人口增长以及考古研究中有重要的应用.当给定函数模型时，要正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值.利用具体的函数模型分析和解决实际问题时，需要注意其适用条件.通过本节课的学习，使我们体会到函数在描述客观世界中变量关系和规律的作用.设计意图：回顾本节课所学内容，感悟函数在生活中的应用价值.（四）布置作业教科书习题4.5第6，9，10题.六、目标检测设计1. 某食品的保鲜时间 y（单位：h）与储藏温度 x（单位：°C）满足函数关系（e=2.718···为自然对数的底数，k，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间为48h，则该食品在33℃的保鲜时间是___h．设计意图：考查学生根据条件确定已知函数模型的参数，并利用所得函数模型解决实际问题的能力.2. 一名驾驶员喝酒后，血液中酒精含量迅速上升到 0.3mg/mL．假定在停止喝酒后血液中的酒精含量以每小时的速度下降，为了保证交通安全，驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.08mg/mL．问：这名驾驶员喝酒后几小时才可驾车?（已知）设计意图：考查学生根据条件确定函数模型，并利用函数模型解决实际问题的能力.。
高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用课件 a高一第一册数学课件
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解:(1)根据题表中提供的数据,知描述该农产品种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常数函数,
因此用函数 Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt 中的任何一个进行描 述时都应有 a≠0,
而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格中所提供 的数据不符,
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差 距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模 的核心素养.
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【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
位:天)的数据如下表:
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解:(1)当 x=1 时,y=100+100×1.2%=100(1+1.2%); 当 x=2 时, y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2; 当 x=3 时, y=100(1+1.2%)2+100(1+2%)2×1.2%=100(1+1.2%)3;… 故 y 关于 x 的函数解析式为 y=100(1+1.2%)x(x∈N*). (2)当 x=10 时,y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人. (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万, 即 100×(1+1.2%)x=120,
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(3)根据收集到的数据作出散点图,结合已知的函数 选择适当的函数模型,这样得到的函数模型的模拟效果 较好.( )
第四章 4.5.3 函数模型的应用
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1).
解 由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数， 得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5， ∴t＝llgg 00..95≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
t
1 2
h，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88
℃热水冲的
速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那
么降温到32 ℃时，需要多长时间？
20
解
由题意知40－24＝(88－24)×
1 2
h
，
20
即14＝
1 2
h
，
解得h＝10，
t
故原式可化简为T－24＝(88－24)×
解 画出散点图，如图所示.
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数 模型，并求出函数解析式；
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( × ) 2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.( × )
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在
意义了.( × )
4.在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1.审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 2.建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识建立相应的数学模型. 3.求模——求解数学模型，得出数学模型. 4.还原——将数学结论还原为实际问题.
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 学会构建函数模型解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。
二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。
2. 教学难点：函数模型的评估与优化。
四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。
2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。
3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。
五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。
2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。
4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。
第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。
2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。
4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。
后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。
注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。
函数模型及其应用教学设计
函数模型及其应用(一)
教学设计
一、教学目标
1、通过一些实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法；
2、认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想
解决现实生活中的一些简单问题；
3、恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一
些实际问题；
4、培养学生学习数学的兴趣，使学生感受到数学的实用性。
二、教学重难点
本节课的教学重点是让学生学会将实际问题转化为数学问题，并对得到的函数模型进行解答，得出数学的解。
本节课的教学难点是让学生掌握如何选择数学模型分析解决实际问题。
三、学情分析
1、本节课的授课对象为高一新生；
2、学生已经初步掌握了一次函数、二次函数、指数函数，对数函数的性质及其图象；
3、学生个性活泼，思维活跃，学习积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的能力；
4、学生缺少生活的积累与历练。
四、教学策略
根据本节知识的特点与课标要求
1、教学过程采用多媒体
2、以探究式体验教学为主，做好充分的课前准备，备学生、备教材、
备教法，利用PPT结合几何画板、EXCEL软件做好课件以便更高效的
完成课堂教学。
五、教学过程
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2021高中数学人教A版(2019)必修第一册教案：4.5.3 函数模型的应用
第四章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.3 函数模型的应用教学设计一、教学目标1.会通过具体的函数模型分析实际问题，达到数学建模和数学运算核心素养学业质量水平一的层次.2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型，并对不同数学模型的契合度进行比较，择优选择，达到数学建模核心素养学业质量水平二的层次. 二、教学重难点 1.教学重点根据图、表信息建立函数模型，解决实际问题. 2.教学难点将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.三、教学过程 （一）新课导入人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus ，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：0rty y e =，其中t 表示经过的时间，0y 表示t =0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符. （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿? （二）探究：数学建模的主要步骤教师：形如cxy ba =的函数为指数型函数，生产生活中以此函数建构模型的实例很多（如“新课导入”中的题目）.教师引导学生审题、建模、求解、检验，尝试完成此问题. 教师和学生合作总结答题思路和题型特征.解：（1）由题意知0y = 55 196，设1950 -1959年期间我国人口的年平均增长率为r ，根据马尔萨斯人口增长模型，有 67 207=55 1969re ，由计算工具得r ≈0.021 876.因此，我国在1950 -1959年期间的人口增长模型为[]0.021********,0,9t y e t =∈.（2）分别取t =1,2,….,8,由0.021********ty e=可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如下表所示：年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口数/万 5641757665589406024361576629386433065753实际人口总数/万5630057482587966026661465628286456365994根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数[]0.021********,0,9t y e t =∈的图象（如下图）.由表和图可以看出，所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.（3）将y=130 000代入0.021********ty e=，由计算工具得t ≈39.15.所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已占到13亿.例1. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案? 教师引导学生思考分析.我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数y =40（x ∈N*）进行描述；方案二可以用函数y =10x （x ∈N*）进行描述；方案三可以用函数10.42(*)x y x N -=⨯∈进行描述,三种方案所得回报的增长情况的见教材第151页表4.5-5.再画出三个函数的图象（见教材第151页图4.5-7）.由表和图可知，从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天所得回报已超过2亿元，下面再看累计的回报数，通过信息技术列表（见教材第152页表4.5-6）.因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三.学生通过对例题的思考和必要的交流，分析归纳例题的解题过程，简述建模的主要步骤： （1）理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景，弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.（2）简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.（3）数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的函数模型有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等.（4）求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.（5）检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性：如果不满意，要考虑重新建模.（6）评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果做出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围：如果模型与实际问题有较大出人，则要对模型改进并重复上述步展， （三）课堂练习例 1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为21 5.060.15L x x =-和22L x =，其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( ) A.45.606B.45.6C.45.56D.45.51解：设甲地销售x 辆，则乙地销售()15x -辆，从而总利润为()()()225.060.152150.15 3.06300015S x x x x x x x x =-+-=-++≥≤≤∈，，N ，显然，当10x =时，S 取得最大值45.6S =.故选B.例2.某工厂引进先进生产技术，产品产量从2011年1月到2012年8月的20个月间翻了两番，设月平均增长率为x ，则有( ) A.19()14x +=B.20()13x +=C.20()12x +=D.20()14x +=解：由平均增长率的定义可知，()2014x +=.故选D.3.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,下表是某公司前5天监测到的数据:则下列函数模型中,能较好地反映计算机在第x 天被感染的数量y 与x 之间的关系的是( ) A.10y x = B.25510y x x =-+ C.210log 10y x =+D.52x y =⨯解：对于A 选项,当1,2,3,4,5x =时,对应的y 值分别为10,20,30,40,50;对于B 选项,当1,2,3,4,5x =时,对应的y 值分别为10,20,40,70,110;对于C 选项,当1,2,3,4,5x =时,对应的y 值分别为2210,20,1010log 3,30,1010log 5++;对于D 选项,当1,2,3,4,5x =时,对应的y 值分别为10,20,40,80,160.而表中所给的数据当1,2,3,4,5x =时,对应的y 值分别为10,20,39,81,160,通过y=⨯能较好地反映y与x之间的关系,故选D. 比较,即可发现选项D中y的值误差最小,即52x（四）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?数学建模的主要步骤：（1）理解问题（2）简化假设（3）数学建模（4）求解模型（5）检验模型（6）评价与应用四、板书设计1.问题导入：例题2.数学建模的主要步骤：（1）理解问题（2）简化假设（3）数学建模（4）求解模型（5）检验模型（6）评价与应用。
函数模型的应用 高中数学获奖教案
4.5.3函数模型的应用（第一课时）(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、教学目标1. 能够认识数学模型的含义，利用已知的函数模型解决实际问题；2. 体会求解模型的过程，初步体验数学建模的基本步骤，能够正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异；3. 感悟数学的科学价值、应用价值，提升数据分析与数学建模核心素养.二、教学重难点重点：利用已知的函数模型解决实际问题.难点：对于碳14半衰期及衰减率的理解及验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合.三、教学过程1.情境引入1.1创设情境，引发思考例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据，早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus ，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中t 表示经过的时间， 表示t=0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率.（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型.（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?2.例题讲解2.1问题串引导，体会建模过程问题1：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，要确定其中的哪些量？0rt y y e【预设答案】人口初始量及年平均增长率． 追问1：我国自1950年起的人口增长模型中人口初始量是多少？【预设答案】依题意是1950年末的人口总数55196万．追问2：如果1950年为初始年记作，1959年是经过了几年，？ 【预设答案】1959年是经过了9年，．追问３：如何计算1950年－1959年的年平均增长率？【预设答案】根据已知得，，，利用人口增长模型可以求出年平均增长率．解：（1）设1950年至1959年我国各年人口增长率为，由，由计算工具得我国1950年至1959年期间人口增长率 ． 已知，则我国1950年至1959年期间人口增长模型为．【设计意图】数学建模是为了解决实际问题，在2021年全国第七次人口普查的背景下借助人口增长这一实例，让学生感受“数学建模”是非常具有现实意义的，有科学价值.问题2：所得模型与实际人口数据是否相符？【预设答案】利用我们确定的人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再与国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数相比较，检验所得模型与实际人口数据是否相符．解：首先我们利用人口增长模型求得我国1950年至1959年期间各年末人口总数，再查阅国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数列出下表，相比较知所得模型与实际人口数据基本相符． 年份 1951 19521953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数／万5641757665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 人口数/万 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994【教师活动】我们也可以画出函数的图象，并根据国家统计局0y r 0y 0t =?t =9t =r 055196y =67202y=9t =0rt y y e =r r 96720755196r e =0.021876r ≈055196y =[]0.021*********,9t y e t =∈，[]0.021*********,9t y e t =∈，[]0.021*********,9t y e t =∈，网站公布的各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过函数图象观察所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合．【教师活动】教师通过计算机工具呈现函数图象与实际人口数据散点图．【设计意图】引导学生验证模型，体会数学建模的思维过程.问题3：如果利用所得模型计算，那么大约在哪一年我国人口数达到13亿？ 【预设答案】将代入，得即 由计算工具得 ．那么大约在1950年后的第39年（即1989年）我国人口达到13亿．问题4：事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得结果与实际状况不符，你有何看法？【预设答案】因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大的矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此，这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，所以得到的结果与实际不符的情况．【教师活动】在人口红利出现拐点，老龄化加速的背景下我国逐步放开了二胎政策，有兴趣的同学可以继续关注国家统计局网站中有关人口数据，探究我国人口变化的规律．【设计意图】使学生明确使用已知模型的前提条件，并正确认识数学求解的结论与实际问题结果的差异.问题5：根据上述例题建模过程，总结数学建模的过程步骤？【预设答案】提出问题、建模、求解、检验.【设计意图】引导学生经历数学建模的完整过程步骤.[]0.021*********,9t y e t =∈，130000y =[]0.021*********,9t y e t =∈，0.02178613000055196t e =，0.02178613000055196t e =，39.15t ≈3.巩固练习，实际应用例4 2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？问题1：我们可以建立怎样的数学模型来推断良渚古城水利系统中水坝的建成年代？【预设活动】学生回答，教师补充（寻找死亡生物体内碳14残留量与时间的关系）【设计意图】引导学生自主探究，培养学生解决问题的能力.问题2：根据课本P115的阅读与思考，了解碳14年代推测模型，你能选出合适的函数模型吗？【预设活动】学生：可以选择指数模型.教师：若设死亡生物体内碳14的初始含量为，年衰减率为，生物死亡的年数为，死亡生物体内碳14含量为，则与间有何种对应关系？学生：（教师各变量范围）【设计意图】从课本中的拓展材料出发，提高学生解决问题的兴趣与好奇心.问题3：如果利用这一对应关系由碳14的残留量推断此水坝建成的大概年代，需要确定(,0;0,1)x y ka k R k a a =∈≠>≠k (01)p p <<x x y x (1)(R,0;01,0)x y k p k k p x =-∈≠<<≥哪个参数？【预设答案】需要确定和教师：如何求解年衰减率学生：用半衰期求解，阅读材料中已知碳14半衰期为5730年，代入函数关系式求解. 解：由，解得问题4：利用模型推断此水坝大概是什么年代建成的？【预设活动】学生代入条件解决问题，教师在一边指导，最后，请学生将他的解答过程通过黑板或者多媒体展示给大家.解：由已知检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%，得 即 ，解得， 由计算工具得 ．因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此大坝是公元前2902年建成的．【设计意图】在探究的基础上，遵循严谨的科学原则，巩固建模的思维过程和求解步骤. 4.归纳小结问题1：在本节课中，我们主要研究了哪些函数模型？它们可以帮助我们解决怎样的实际问题？给定函数模型，如何根据实际数据确定模型中的参数？利用具体的函数模型分析和解决实际问题时需要注意些什么？【预设答案】本节课主要学习了马尔萨斯人口增长模型和碳14年代推测模型，它们分别在人口增长以及考古研究中有重要的应用.当给定函数模型时，要正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值.利用具体的函数模型分析和解决实际问题时，需要注意其适用条件.【教师活动】通过本节课的学习，我们体会到函数在描述客观世界中变量关系和规律的作k pp 57301(1)2k k p =-1p -=1p =-((R,0;01,0)x y k k k p x =∈≠<<≥55.2%(x k k =55.2%(x =log 0.552x =4912x ≈用，在面临实际问题时应该选择合适的函数模型刻画规律.问题2：回顾数学建模的过程和步骤？【预设答案】提出问题、建模、求解、检验.【设计意图】（1）梳理本节课对于数学建模的认知；（2）回顾本节课所学内容，感悟函数在实际生活中的应用价值.四、课后作业课本P150 T1&T3【设计意图】考察学生本节课的掌握情况，巩固数学建模过程和步骤.。
53函数模型的应用一等奖创新教学设计
53函数模型的应用一等奖创新教学设计函数模型是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，如物理、经济、生物等。
在教学中，通过引入函数模型，可以提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
下面是一等奖创新教学设计，围绕着函数模型的应用展开的。
设计目标：通过引入函数模型，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
设计内容：本次设计将引入函数模型的应用于物理问题中，具体内容如下：1.引入：通过实例引入函数模型的概念和作用。
例如，可以利用小球自由落体的例子，引导学生利用实验数据建立函数模型，解决相关问题。
2.建立函数模型：给出一个物体运动的实验数据，要求学生通过观察和分析，建立与时间t的函数关系模型。
例如，给出小车在倾斜路面上的运动实验数据，包括小车的位置与时间的关系。
学生可以通过分析数据，建立与时间t的位置x的函数关系模型：x(t) = v0t + 1/2at^2，其中v0是小车的初速度，a是加速度。
3.解决实际问题：给定一个实际问题，要求学生利用函数模型解决问题。
例如，在小车运动的实验中，设计一个问题：小车从坡上滚下来，求滚下来所用的时间和滚下来的距离。
学生可以利用建立的函数模型，解决问题。
首先，通过测量初速度v0，计算出加速度a。
然后，代入函数模型，求解出时间t和距离x。
4.实践运用：学生将所学的函数模型应用到其他实际问题中。
例如，学生可以选择一个感兴趣的运动现象，如抛物线运动，建立与时间t的函数关系模型。
然后，通过该模型解决相关问题，如求抛出物体的最大高度、最远距离等。
5.拓展探究：鼓励学生进一步探究函数模型的其他应用。
学生可以选择其他领域的问题，如经济学中的成本函数、生物学中的生长模型等，通过实际问题的探究，深化对函数模型的理解和运用。
设计结果：通过引入函数模型解决物理问题的教学设计，可以提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
学生在实践中通过观察、分析和建模，培养了数学思维和问题解决的能力。
4.5.3 函数模型的应用 教学设计(2)
4.5.3 函数模型的应用本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。
课程目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.数学学科素养1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型；3.数学运算：解答数学问题,求得结果；4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答；5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题.重点：利用函数模型解决实际问题；难点：数模型的构造与对数据的处理．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不用的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.请学生们思考：常见的函数模型都有哪些？面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本148-150页，思考并完成以下问题1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？2. 解决实际问题的基本过程是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.常见的数学模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);+b(k,b为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.(4)指数函数模型:f(x)=a·b x+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);(5)对数函数模型:f(x)=m log a x+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);(6)幂函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);(7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．四、典例分析、举一反三题型一一次函数与二次函数模型的应用例1某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】①y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②w=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.【解析】①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.解题技巧：（一次、二次函数模型的应用）1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b ≥0(或≤0).解答时,注意系数a 的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 跟踪训练一1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯; ②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x (个),付款y (元),试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?【答案】当4≤x<34时,y 1<y 2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y 1>y 2,优惠办法②更省钱.【解析】由优惠办法①可得函数解析式为y 1=20×4+5(x-4)=5x+60(x ≥4,且x ∈N ).优惠办法②可得y 2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x ≥4,且x ∈N ).y 1-y 2=0.4x-13.6(x ≥4,且x ∈N ),令y 1-y 2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4≤x<34时,y 1<y 2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y 1>y 2,优惠办法②更省钱. 题型二 分段函数模型的应用例2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-12t 2(万元). (1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?【答案】(1)f (x )={-12x 2+4.75x -0.5(0<x ≤5),12-0.25x (x >5).(2)当年产量为475件时,当年所得利润最大.【解析】 (1)当0<x ≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,f (x )={(5x -12x 2)-(0.5+0.25x )(0<x ≤5),(5×5-12×52)-(0.5+0.25x )(x >5),即f (x )={-12x 2+4.75x -0.5(0<x ≤5),12-0.25x (x >5).(2)当0<x ≤5时,f (x )=-12x 2+4.75x-0.5,所以当x=4.75(百件)时,f (x )有最大值, f (x )max =10.781 25(万元).当x>5时,f (x )<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大. 解题技巧：（分段函数模型注意事项） 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 跟踪训练二甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x (单位:百台),其总成本为G (x )(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R (x )= 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数y=f (x )的解析式(利润=销售收入-总成本). (2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?【答案】(1)f (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8,0≤x ≤5,8.2-x ,x >5. (2)当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.【解析】解:(1)由题意得G (x )=2.8+x. ∴f (x )=R (x )-G (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8,0≤x ≤5,8.2-x ,x >5.(2)当x>5时,∵函数f(x)单调递减,∴f (x )<8.2-5=3.2(万元).当0≤x ≤5时,函数f (x )=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f (x )有最大值为3.6万元. 故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元. 题型三 指数或对数函数模型的应用例3 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的√22. (1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?{-0.4x 2+4.2x ,0≤x ≤5,11,x >5.【答案】(1)1-(12)110.(2)到今年为止,已砍伐了5年.(3)今后最多还能砍伐15年.【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x<1),则a (1-x )10=12a ,即(1-x )10=12,解得x=1-(12)110.(2)设经过m年剩余面积为原来的√22,则a (1-x )m =√22a,即(12)m10=(12)12,m 10=12,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n 年,则n 年后剩余面积为√22a (1-x )n .令√22a (1-x )n ≥14a ,即(1-x )n ≥√24,(12)n10≥(12)32,n 10≤32,解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年.解题技巧：（指数或对数函数模型注意事项）1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p )x (其中N 为原来的基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型. 跟踪训练三1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ,研究中发现v 与log 3100Q成正比,且当Q=900时,v=1. (1)求出v 关于Q 的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化? 【答案】(1)v 关于Q 的函数解析式为v=12log 3Q 100.(2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700个单位. (3)鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍. 【解析】(1)设v=k ·log 3Q 100,∵当Q=900时,v=1,∴1=k ·log 3900100,∴k=12.故v 关于Q 的函数解析式为v=12log 3Q100.(2)令v=1.5,则1.5=12log 3Q100,解得Q=2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700个单位.(3)设鲑鱼耗氧量为Q 1,Q 2时,游速分别为v 1,v 2,由题意知v 2-v 1=1,即12log 3Q 2100−12log 3Q1100=1. ∴12log 3Q2Q 1=1,∴Q2Q 1=9,即Q 2=9Q 1.故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本155页习题4.5.本节通过一些函数模型的实例，让学生初步掌握运用函数与方程的思想解决实际问题的步骤：审题、建模、求模、还原．。
【新教材精创】4.5.3 函数模型的应用 教学设计(2)-人教A版高中数学必修第一册
4.5.3 函数模型的应用本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。
课程目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.数学学科素养1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型；3.数学运算：解答数学问题,求得结果；4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答；5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题.重点：利用函数模型解决实际问题；难点：数模型的构造与对数据的处理．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不用的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.请学生们思考：常见的函数模型都有哪些？面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本148-150页，思考并完成以下问题1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？2. 解决实际问题的基本过程是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.常见的数学模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);+b(k,b为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.(4)指数函数模型:f(x)=a·b x+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);(5)对数函数模型:f(x)=m log a x+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);(6)幂函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);(7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．四、典例分析、举一反三题型一一次函数与二次函数模型的应用例1某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】①y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②w=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.【解析】①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.解题技巧：（一次、二次函数模型的应用）1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b ≥0(或≤0).解答时,注意系数a 的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 跟踪训练一1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯; ②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x (个),付款y (元),试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?【答案】当4≤x<34时,y 1<y 2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y 1>y 2,优惠办法②更省钱.【解析】由优惠办法①可得函数解析式为y 1=20×4+5(x-4)=5x+60(x ≥4,且x ∈N ).优惠办法②可得y 2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x ≥4,且x ∈N ).y 1-y 2=0.4x-13.6(x ≥4,且x ∈N ),令y 1-y 2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4≤x<34时,y 1<y 2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y 1>y 2,优惠办法②更省钱. 题型二 分段函数模型的应用例2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-12t 2(万元). (1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?【答案】(1)f (x )={-12x 2+4.75x -0.5(0<x ≤5),12-0.25x (x >5).(2)当年产量为475件时,当年所得利润最大.【解析】 (1)当0<x ≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,f (x )={(5x -12x 2)-(0.5+0.25x )(0<x ≤5),(5×5-12×52)-(0.5+0.25x )(x >5),即f (x )={-12x 2+4.75x -0.5(0<x ≤5),12-0.25x (x >5).(2)当0<x ≤5时,f (x )=-12x 2+4.75x-0.5,所以当x=4.75(百件)时,f (x )有最大值,f (x )max =10.781 25(万元).当x>5时,f (x )<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大. 解题技巧：（分段函数模型注意事项） 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 跟踪训练二甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x (单位:百台),其总成本为G (x )(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R (x )= 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数y=f (x )的解析式(利润=销售收入-总成本). (2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?【答案】(1)f (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8,0≤x ≤5,8.2-x ,x >5. (2)当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.【解析】解:(1)由题意得G (x )=2.8+x. ∴f (x )=R (x )-G (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8,0≤x ≤5,8.2-x ,x >5.(2)当x>5时,∵函数f(x)单调递减,∴f (x )<8.2-5=3.2(万元).当0≤x ≤5时,函数f (x )=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f (x )有最大值为3.6万元. 故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元. 题型三 指数或对数函数模型的应用例3 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的√22. (1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?{-0.4x 2+4.2x ,0≤x ≤5,11,x >5.【答案】(1)1-(12)110.(2)到今年为止,已砍伐了5年.(3)今后最多还能砍伐15年.【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x<1),则a (1-x )10=12a ,即(1-x )10=12,解得x=1-(12)110.(2)设经过m年剩余面积为原来的√22,则a (1-x )m=√22a,即(12)m10=(12)12,m 10=12,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n 年,则n 年后剩余面积为√22a (1-x )n .令√22a (1-x )n ≥14a , 即(1-x )n≥√24,(12)n10≥(12)32,n 10≤32,解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年.解题技巧：（指数或对数函数模型注意事项）1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p )x (其中N 为原来的基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型. 跟踪训练三1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ,研究中发现v 与log 3100Q成正比,且当Q=900时,v=1. (1)求出v 关于Q 的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化? 【答案】(1)v 关于Q 的函数解析式为v=12log 3Q100.(2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700个单位. (3)鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍. 【解析】(1)设v=k ·log 3Q 100,∵当Q=900时,v=1,∴1=k ·log 3900100,∴k=12.故v 关于Q 的函数解析式为v=12log 3Q100.(2)令v=1.5,则1.5=12log 3Q100,解得Q=2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700个单位.(3)设鲑鱼耗氧量为Q 1,Q 2时,游速分别为v 1,v 2,由题意知v 2-v 1=1,即12log 3Q 2100−12log 3Q1100=1. ∴12log 3Q2Q 1=1,∴Q2Q 1=9,即Q 2=9Q 1.故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本155页习题4.5.本节通过一些函数模型的实例，让学生初步掌握运用函数与方程的思想解决实际问题的步骤：审题、建模、求模、还原．。
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4.5.3 函数模型的应用本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。
课程目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.数学学科素养1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型；3.数学运算：解答数学问题,求得结果；4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答；5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题.重点：利用函数模型解决实际问题；难点：数模型的构造与对数据的处理．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
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一、情景导入我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不用的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.请学生们思考：常见的函数模型都有哪些？面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本148-150页，思考并完成以下问题1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？2. 解决实际问题的基本过程是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.常见的数学模型有哪些?(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);+b(k,b为常数,k≠0);(2)反比例函数模型:f(x)=kx(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.(4)指数函数模型:f(x)=a·b x+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);(5)对数函数模型:f(x)=m log a x+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);(6)幂函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);(7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．四、典例分析、举一反三题型一一次函数与二次函数模型的应用例1某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?【答案】①y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②w=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.【解析】①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.解题技巧：（一次、二次函数模型的应用）1.一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b ≥0(或≤0).解答时,注意系数a 的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.2.二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 跟踪训练一1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:①买一个茶壶赠一个茶杯; ②按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x (个),付款y (元),试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?【答案】当4≤x<34时,y 1<y 2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y 1>y 2,优惠办法②更省钱.【解析】由优惠办法①可得函数解析式为y 1=20×4+5(x-4)=5x+60(x ≥4,且x ∈N ).优惠办法②可得y 2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x ≥4,且x ∈N ).y 1-y 2=0.4x-13.6(x ≥4,且x ∈N ),令y 1-y 2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4≤x<34时,y 1<y 2,即优惠办法①更省钱;当x>34时,y 1>y 2,优惠办法②更省钱. 题型二 分段函数模型的应用例2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-12t 2(万元). (1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?【答案】(1)f (x )={-12x 2+4.75x -0.5(0<x ≤5),12-0.25x (x >5).(2)当年产量为475件时,当年所得利润最大.【解析】 (1)当0<x ≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,f (x )={(5x -12x 2)-(0.5+0.25x )(0<x ≤5),(5×5-12×52)-(0.5+0.25x )(x >5),即f (x )={-12x 2+4.75x -0.5(0<x ≤5),12-0.25x (x >5).(2)当0<x ≤5时,f (x )=-12x 2+4.75x-0.5,所以当x=4.75(百件)时,f (x )有最大值, f (x )max =10.781 25(万元).当x>5时,f (x )<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大. 解题技巧：（分段函数模型注意事项） 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 跟踪训练二甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x (单位:百台),其总成本为G (x )(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R (x )= 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数y=f (x )的解析式(利润=销售收入-总成本). (2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?【答案】(1)f (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8,0≤x ≤5,8.2-x ,x >5. (2)当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.【解析】解:(1)由题意得G (x )=2.8+x. ∴f (x )=R (x )-G (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8,0≤x ≤5,8.2-x ,x >5.(2)当x>5时,∵函数f(x)单调递减,∴f (x )<8.2-5=3.2(万元).当0≤x ≤5时,函数f (x )=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f (x )有最大值为3.6万元. 故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元. 题型三 指数或对数函数模型的应用例3 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的√22. (1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?{-0.4x 2+4.2x ,0≤x ≤5,11,x >5.【答案】(1)1-(12)110.(2)到今年为止,已砍伐了5年.(3)今后最多还能砍伐15年.【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x<1),则a (1-x )10=12a ,即(1-x )10=12,解得x=1-(12)110.(2)设经过m年剩余面积为原来的√22,则a (1-x )m =√22a,即(12)m10=(12)12,m 10=12,解得m=5,故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n 年,则n 年后剩余面积为√22a (1-x )n .令√22a (1-x )n ≥14a ,即(1-x )n ≥√24,(12)n10≥(12)32,n 10≤32,解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年.解题技巧：（指数或对数函数模型注意事项）1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p )x (其中N 为原来的基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型. 跟踪训练三1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ,研究中发现v 与log 3100Q成正比,且当Q=900时,v=1. (1)求出v 关于Q 的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化? 【答案】(1)v 关于Q 的函数解析式为v=12log 3Q 100.(2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700个单位. (3)鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍. 【解析】(1)设v=k ·log 3Q 100,∵当Q=900时,v=1,∴1=k ·log 3900100,∴k=12.故v 关于Q 的函数解析式为v=12log 3Q100.(2)令v=1.5,则1.5=12log 3Q100,解得Q=2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700个单位.(3)设鲑鱼耗氧量为Q 1,Q 2时,游速分别为v 1,v 2,由题意知v 2-v 1=1,即12log 3Q 2100−12log 3Q1100=1. ∴12log 3Q2Q 1=1,∴Q2Q 1=9,即Q 2=9Q 1.故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.四、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本155页习题4.5.本节通过一些函数模型的实例，让学生初步掌握运用函数与方程的思想解决实际问题的步骤：审题、建模、求模、还原．。