4.5.3 函数模型的应用 教学设计

4.5.3 函数模型的应用

本节通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题。

课程目标

1.能利用已知函数模型求解实际问题.

2.能自建确定性函数模型解决实际问题.

数学学科素养

1.数学抽象：建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题；

2.逻辑推理：通过数据分析，确定合适的函数模型；

3.数学运算：解答数学问题,求得结果；

4.数据分析：把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答；

5.数学建模：借助函数模型，利用函数的思想解决现实生活中的实际问题.

重点：利用函数模型解决实际问题；

难点：数模型的构造与对数据的处理．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入

我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不用的变化规律需要用不同的函数模型来刻画.请学生们思考：常见的函数模型都有哪些？面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本148-150页，思考并完成以下问题

1. 常见的数学模型有哪些？其中待定系数有哪些限制条件？

2. 解决实际问题的基本过程是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.常见的数学模型有哪些?

(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);

+b(k,b为常数,k≠0);

(2)反比例函数模型:f(x)=k

x

(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);

注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.

(4)指数函数模型:f(x)=a·b x+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);

(5)对数函数模型:f(x)=m log a x+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);

(6)幂函数模型:f(x)=ax n+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);

(7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.

2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?

(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；

(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；

(4)还原——将数学结论还原为实际问题．

四、典例分析、举一反三

题型一一次函数与二次函数模型的应用

例1某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.

①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;

②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;

③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

【答案】①y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).②w=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).③当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.

【解析】①根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).

②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.

所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).

③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.

又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.

所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.

解题技巧：（一次、二次函数模型的应用）

1.一次函数模型的应用

利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b ≥0(或≤0).解答时,注意系数a 的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.

2.二次函数模型的应用

构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围. 跟踪训练一

1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:

①买一个茶壶赠一个茶杯; ②按总价的92%付款.

某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x (个),付款y (元),试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?

【答案】当4≤x<34时,y 134时,y 1>y 2,优惠办法②更省钱.

【解析】由优惠办法①可得函数解析式为y 1=20×4+5(x-4)=5x+60(x ≥4,且x ∈N ).优惠办法②可得y 2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x ≥4,且x ∈N ).y 1-y 2=0.4x-13.6(x ≥4,且x ∈N ),

令y 1-y 2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;

当4≤x<34时,y 1

当x>34时,y 1>y 2,优惠办法②更省钱. 题型二 分段函数模型的应用

例2 某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-

12

t 2

(万元). (1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量

x 的函数;

(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?

【答案】(1)f (x )={-1

2x 2+4.75x -0.5(0

12-0.25x (x >5).(2)当年产量为475件时,当年所得利润最大.

【解析】 (1)当05时,产品只能售出500件.

所以,f (x )={(5x -1

2x 2)-(0.5+0.25x )(0

)-(0.5+0.25x )(x >5),即f (x )={-1

2x 2+4.75x -0.5(0

12-0.25x (x >5).

(2)当0

2x 2+4.75x-0.5,所以当x=4.75(百件)时,f (x )有最大值, f (x )max =10.781 25(万元).当x>5时,f (x )<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大. 解题技巧：（分段函数模型注意事项） 1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.

2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.

3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 跟踪训练二

甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x (单位:百台),其总成

本为G (x )(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=

固定成本+生产成本),销售收入R (x )= 假定该产品产销平衡

(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列问题: (1)写出利润函数y=f (x )的解析式(利润=销售收入-总成本). (2)甲厂生产多少台新产品时,可使盈利最多?

【答案】(1)f (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8,0≤x ≤5,

8.2-x ,x >5. (2)当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.

【解析】解:(1)由题意得G (x )=2.8+x. ∴f (x )=R (x )-G (x )={-0.4x 2+3.2x -2.8,0≤x ≤5,

8.2-x ,x >5.

(2)当x>5时,∵函数f(x)单调递减,∴f (x )<8.2-5=3.2(万元).

当0≤x ≤5时,函数f (x )=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f (x )有最大值为3.6万元. 故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元. 题型三 指数或对数函数模型的应用

例3 一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,

为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的1

4,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的√2

2. (1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

{

-0.4x 2

+4.2x ,0≤x ≤5,11,x >5.

【答案】(1)1-(1

2)1

10

.(2)到今年为止,已砍伐了5年.(3)今后最多还能砍伐15年.

【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0

=1

2a ,即(1-x )10=1

2,解得x=1-(1

2

)110

.

(2)设经过m

年剩余面积为原来的√2

2,则a (1-x )m =√2

2a,即(12)

m

10=(1

2)12

,m 10=1

2,解得m=5,

故到今年为止,已砍伐了5年.

(3)设从今年开始,最多还能砍伐n 年,则n 年后剩余面积为√2

2a (1-x )n .令√22

a (1-x )n ≥1

4

a ,

即(1-x )n ≥√24,(12

)

n

10

≥(1

2)3

2

,n 10≤3

2

,解得n ≤15.故今后最多还能砍伐15年.

解题技巧：（指数或对数函数模型注意事项）

1.本题涉及平均增长率的问题,求解可用指数型函数模型表示,通常可以表示为y=N·(1+p )x (其中N 为原来的基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.

2.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题,都常用到指数型函数模型. 跟踪训练三

1.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为v (单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ,研究中发现v 与log 3

100

Q

成正比,且当Q=900时,v=1. (1)求出v 关于Q 的函数解析式;

(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数;

(3)一条鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化? 【答案】(1)v 关于Q 的函数解析式为v=1

2log 3

Q 100

.

(2)一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700个单位. (3)鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍. 【解析】(1)设v=k ·log 3

Q 100

,∵当Q=900时,v=1,∴1=k ·log 3

900

100

,∴k=1

2

.

故v 关于Q 的函数解析式为v=12

log 3

Q

100

.

(2)令v=1.5,则1.5=1

2log 3Q

100,解得Q=2 700.故一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时的耗氧量为2 700个单位.

(3)设鲑鱼耗氧量为Q 1,Q 2时,游速分别为v 1,v 2,由题意知v 2-v 1=1,即12

log 3

Q 2

100?1

2log 3Q

1

100

=1. ∴1

2log 3Q

2Q 1

=1,∴Q

2Q 1

=9,即Q 2=9Q 1.故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的9倍.

四、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本155页习题4.5.

本节通过一些函数模型的实例，让学生初步掌握运用函数与方程的思想解决实际问题的步骤：审题、建模、求模、还原．