复杂动态网络模型研究进展

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￡二Ｅ‘ ，／［ｎ（ｎ＋１）／２］（ ‘ ）
其中：ｄ。为顶‘ 到．１的最短路径（距离），顶到顶自身的距离为０．
节点ｉ的分簇系数定义为
（２）Ｃ；＝２Ｅ；／［ｋ；（ｋ ‘ 一１）〕
１复杂动态网络模型
研究网络最简单有效的模型当属２０世纪６０年代由著名数学家Ｅｒｄｏｓ和Ｒｅｎｙｉ提出的ＥＲ随机图模型，该模型是在有ｎ个顶的一个图 ‘ 中，以概率Ｐ随机地去连接 ‘ 中的２个顶，并因此可能产生ｎ（ｎ一１）／２
。相邻）０。不相邻或ｕ＝。）则图 ‘的谱就是其邻接阵Ａ的特征值若图 ‘有ｎ个节点，则Ａ就有ｎ个特征值，定义谱密度
护．Ｊ、．‘
了‘、
１
“
（８）
谱密度函数性质与网络拓扑特征有着紧密的联系．规则循环网络到完全随机网络的动态演化的谱密度和图谱性质变化还没有得到研究．网络图谱理论、特征值及其多样性、相关图的不变性和拓扑结构对于研究复杂动态网络特性、揭示复杂网络的拓扑
ｅｖｏｌｖｅｍｅｎｔｍｅｃｈａｎｉｓｍｓａｎｄａｔｔｒｉｂｕｔｉｖｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｃｏｍｐｌｅｘｎｅｔｗｏｒｋｓ，ｐｒｅｓｅｎｔｓａｓｅｒｉｅｓｏｆｒｅｓｅａｒｃｈｉｓ－ｓｕｅｓｏｆｎｅｔｗｏｒｋｓｃａｐａｃｉｔｙ，ｎｅｔｗｏｒｋｓｐｒｏｊｅｃｔ，ｓｉｇｎａｌｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔａｎｄｔｏｐｏｌｏｇｙｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｏｆｌａｒｇｅｓｃａｌｅ
脚ａ
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（９）
第５期
余根坚，等：复杂动态网络模型研究进展
６３９
结构和动力学性质具有重要意义．１．２随机网络
文章编号：１０００一２２４３（２００６）０５一０６３７一０７
复杂动态网络模型研究进展
余根坚‘ ，２，许力３，郑宝玉２
（１．福州大学数学与计算机科学学院福建福州３５０００２；２．南京邮电大学信息工程系，江苏南京２１０００３；３．福建师范大学数学与计算机学院福建福州３５０００７）
第３４卷第５期
２００６年１０月
福州大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）
Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．５
Ｏｃｔ．２００６
６３８
福州大学学报（自然科学版）
第３４卷
征，顶和顶间的连接并不随机，而是以某种偏好和依附关系择优连接．１．１网络结构参数通常意义上讲，网络拓扑主要包含２个元素：系统节点元素和连接节点的边；结构参数包含网络节点的平均距离，分簇聚类系数，节点度分布及其分布指数，度相关指数等．假设ｌ为一无向网络图‘中的平均最短路径长度（距离），其定义为
网络向随机网络过渡；１９９９年Ｂａｒａｂａｓｉ和Ａｌｂｅｔｒ在《Ｓｃｉｅｎｃｅ》上发表文章［［２１，指出许多现实世界中的复杂
网络，从生物体中的大脑结构到各种新陈代谢网络、从大型电力系统网络到全球交通运输网络、从科技人员的科研合作网络到各种政治、经济、社会关系网络等，它们的顶点度分布具有某种幂指数形式，与网络规模大小无关，称之为无标度（ＳｃａｌｅＦｒｅｅ）网络．近一两年来，无论是实证研究的范围还是建立模型和理论分析方面，复杂动态网络的研究都取得了令人瞩目的成果〔，一 ’ ］．本文对网络研究飞速发展中新的理论、新的应用领域的发展和开辟进行回顾和展望，同时，结合现代无线通信网提出新的研究课题．
Ｔｈｅｓｕｒｖｅｙｏｆｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃａｌｎｅｔｗｏｒｋｓｍｏｄｅｌｓ
ＹＵＧｅｎ一ｊｉｎａｉ．２，ＸＵＬｉ３，ＺＨＥＮＧＢａｏ一Ｙｕ２
条无向边，从而构成一个无向网络一个顶的度是指与此顶连接的边的数量，那么度的概率分布是服从二项分布，当ｎ趋于无穷时，就服从泊松（Ｐｏｉｓｓｏｎ）分布．但现实世界中的很多网络并不符合随机网络特
００５一１０一２７收稿日期２作者简介余根坚（１９６９一），男，博士研究生，讲师基金项目：江苏博士创新基金资助项目（４６６６６００１）
揭示通信网络的结构提供一个重要工具，此间题到目前为止没有得到研究．
（７）
因为节点度本身就是网络拓扑的一个重要属性，通信网络节点中也可以进行不同种类的划分进而为
ＧｏｈＫＩ，ＯｈＥ等人〔１ｏ）研究了网络节点的介数中心（ＢｅｔｗｅｅｎｎｅｓｓＣｅｎｔｒａｌｉｔｙ）的概率分布（节点的介数中
（１．ＣｏｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＦｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５０００２，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｔｒ－
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｕｒｖｅｙｓｔｈｅｓｔａｔｕｓｑｕｏｉｎｒｅｓｅａｒｃｈｍｏｄｅｌｓｏｆｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ，ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓｔｈｅ
０系统科学在２世纪４０年代末到６０年代取得了重大进展．其中复杂网络的研究更是取得了可喜的进展．特别是两项开创性的工作掀起了一股研究复杂网络的热潮：１９９８年Ｗａｔｔｓ和Ｓｔｒｏｇａｔｚ在《Ｎａｔｕｒｅ》上
发表文章〔 ‘ 〕，提出了基于人类社会网络的小世界（ＳｍａｌｌＷｏｒｌｄ）网络，它通过调节一个参数就可以从规则
ＡｄＨｏｃｎｅｔｗｏｒｋｓａｎｄｓｅｎｓｏｒｎｅｔｗｏｒｋｓｔｈａｔａｒｅｂａｓｅｄｏｎｖｉｔｒｕｅｃｏｍｐｕｔｅｐｌａｔｆｏｒｍａｎｄｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｆｏｕｎｄｓ－
在社会网络中，人们的行为方式总是倾向与在某些方面与自己相似的人发生联系（如各种肤色人种
之间的婚配、疾病传播））［８１．在这样的网络中，可以把节点分为许多种类，那么节点之间的连接概率将还依赖于节点种类，假设一个网络中节点可以分为Ｎ个种类，Ｅ二表示连接：和ｔ类节点的边数，ｓ，ｔ＝１， …，Ｎ．令矩阵Ｅ＝（Ｅ，），。＝（。，）＝￡／ＩＩ￡！｝
ｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘｄｙｎａｍｉｃａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ；ｍｏｄｅｌ；ｅｖｏｌｖｅｍｅｎｔｍｅｃｈａｎｉｓｍ；ａｔｒｉｂｕｔｅｐｒｏｐｅｔｒｙ
３．ＣｏｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅ，ＦｕｊｉａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｚｈｏｕ，Ｆｕｊｉａｎ３５０００７，Ｃｈｉｎａ）
摘要：对复杂动态网络模型的研究现状做了综述，总结了复杂网络的演化机制与属性特征，提出了以复杂动态网络为虚拟计算平台和理论基础，开展大型ＡｄＨｏｃ网络、传感器网络的网络性能、网络规划、信号增
强、拓扑优化的一系列研究课题．关健词：复杂动态网络；模型；演化机制；属性特征中图分类号：ＴＰ３９３文献标识码：Ａ
这里：Ｅ ‘ 为节点ｉ和其ｋ ‘ 个邻节点所组成的子网络的实际边数，整个网络的分簇系数定义为
Ｃ＝习Ｃ；／ｎ
这里：ｎ为网络总节点数．
（３）
节点度指的是网络中与该节点相关联的边数，网络模型的一个重要属性就是其连接度分布ｐ（ｋ），即一个节点具有ｋ条边的概率分布．度分布服从幂律分布的复杂网络近年来得到了极大的关注［（３，，１
心是网络中所有的经过的最短路径的数量），发现许多现实网络的介数中心都服从幂律分布．介数中心可作为衡量网络恢复力的一个尺度，它表明了当一个节点从网络中移除时对路径长度的影响程度．文献【１１］研究了网络图谱问题，或称图邻接矩阵的特征值和特征向量问题，其反映了一个网络的扩散和震荡模式，以及节点中心等．一个图 ‘ 可用一个邻接矩阵Ａ二（ａ－，）表示，其中元素ａ－定义如下：
了‘、
、．２
４
这里｝｝ＥＩ｝表示矩阵Ｅ中所有元素的和．定义条件概率
ｒ
、
Ｐ（，Ｉቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ‘ ）＝。。／）｝１。二
显然其满足
１１｝
、
１
Ｚｅ二二 ‘ ，，ＰＹ（ｔＩｓ）＝ ‘
那么度相关指数（９｝定义为
了 ‘ 、
、，１１
６
ｒ＝（ＥＰ（，ＩＳ）－１）／（，一１）
ｍｅｎｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＮａｎｊｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｏｓｔｓａｎｄＴｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ２１０００３，Ｃｈｉｎａ；