2021北京高三一模数学试卷含答案石景山

2021北京石景山高三一模数 学本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（ 1 ）已知集合{}1,3,5A =，{}2|160B x x =-<，则AB =（A ）{}1,3 （B ）{}3,5（C ）{1,3,5}（D ）0,4（） （ 2 ）下列函数中，是奇函数且最小正周期πT =的是（A ）1()f x x=（B ）3()f x x =（C ）()2sin cos f x x x = （D ）()sin f x x =（ 3 ）复数i 1ia -在复平面上对应的点位于第一象限，则实数a 的取值范围是 （A ）(,1)-∞-（B ）(,0)-∞（C ）0+∞（，） （D ）(1,)+∞（ 4 ）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（ 5）“直线l 垂直于平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（ 6）已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅＝（A ）232a -（B ）234a -（C ）234a（D ）232a（D ）（C ）（B ）（A ）正（主）视图直观图（ 7 ）过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，若F 是线段AB 的中点，则 | AB |=（A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4（ 8 ）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有 （A ） 81个（B ）90个（C ）100个（D ）900个（ 9 ）已知22,0,()32,0,x x f x x x ⎧-=⎨->⎩≤若|()|f x ax ≥在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值 范围是（A ）(,1][0,)-∞-+∞ （B ）[0,1]（C ）[1,0]-（D ）(1,0)-（10）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC ，AB ＝AC ＝4，点B (1,3-)，点C (4,2-)，且其“欧拉线”与圆M ：222()(3)x a y a r -+-+=相切．则圆M 上的点到直线30x y -+=的距离的最小值为 （A）（B）（C）（D ）6第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）双曲线221169x y -=的离心率为__________． （12）已知函数()|ln |f x x =，若1()8a f =，1()4b f =，(2)c f =，则,,a b c 从小到大排序为__________．（13）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请写出一组满足要求的不全相等的11122122,,,a a a a 的值．11a =_______，12a =_______，21a =_______，22a =_______．（14）在锐角△ABC中，5,2sin a c a b A ===，则B =__________，b =__________．（15）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过AI 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2y x ω=+（ω∈R ），其中；然后，假设某虚拟货船空载时 吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙． 在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________． ① 若π=6ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； π0x ω≤≤② 若π=6ω，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时； ③ 若=1ω，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则π2x =时，船底离海底的距离最大； ④ 若=1ω，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则2π3x =时，船底离海底的距离最大． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，面ABFE 面CDEF EF =，AD ED ⊥，CD EA ⊥．（Ⅰ）求证：CD ∥平面ABFE ；（Ⅰ）若EF ED =，2=2CD EF =，求平面ADE 与平面BCF 所成的锐二面角的大小．\（17）（本小题13分）已知有限数列{}n a 共有30项，其中前20项成公差为d 的等差数列，后11项成公比为q 的等比数列，记数列的前n 项和为n S ．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）,d q 的值；（Ⅰ）数列{}n a 中的最大项． 条件①：2521=4,=30,20a S a =； 条件②：320220,36,9S a a ==-=-； 条件③：1212448,20,160S a a ===．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下：若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响）（Ⅰ）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率；（Ⅰ）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X 表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X 的分布列和数学期望； （Ⅰ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为1μ和2μ，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为21S 和22S ．试判断1μ和2μ的大小，以及21S 和22S 的大小．（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ，且经过点(2,0)A -和点(2,0)B ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）M 和N 是椭圆C 上两个不同的点，四边形AMBN 是平行四边形，直线AM 、AN 分别交y 轴于点P 和点Q ，求四边形APFQ 面积的最小值．已知函数()()1e xa xf x a +=∈R ． （Ⅰ）当1a =-时，求()f x 在0x =处的切线方程； （Ⅰ）已知()1f x ≤对任意x ∈R 恒成立，求a 的值．（21）（本小题15分）由m 个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =（其中123m a a a a <<<<），记12()m P M a a a =+++，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”.（Ⅰ）分别判断集合1{1,2}M =与2{2,3}M =是否为“满集”，请说明理由； （Ⅰ）若集合M 为“满集”，求1a 的值； （Ⅰ）若123,,,,m a a a a 是首项为1公比为2的等比数列，判断集合M 是否为“满集”，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2021北京石景山高三一模数学参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．（11）54； （12）c b a << （13） 1,2,2,1 答案不唯一； （14）π,6（15）①④．三、解答题：本大题共6个小题，共85分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （16）（本小题13分）解：（Ⅰ）在五面体ABCDEF 中， 因为面ABCD 是正方形 ， 所以CD ∥AB ．又因为AB ⊂平面ABFE ，CD ⊄平面ABFE ， 所以CD ∥平面ABFE ．（Ⅱ）因为面ABCD 是正方形，所以CD ⊥AD . 又因为CD ⊥AE . 又ADAE A =，所以CD ⊥平面ADE又因为DE ⊂平面ADE ，所以CD ⊥DE ． 因为面ABCD 是正方形 ，所以CD AD ⊥． 又因为AD ⊥DE ，所以以点D 为坐标原点，DA ,DC ,DE 分别为x ,y ,z 轴，如图建立空间直角坐标系．因为=22,CD EF EF ED ==(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ,(0,2,0)C ，(0,0,1)E .由（Ⅰ）CD ∥平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ， 平面CDEF平面ABFE EF =，所以CD ∥EF ．所以12EF DC =. 可得(0,1,1)F .由题意知平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC =设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z =.由0,0,n BC n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20,0,x y z -=⎧⎨-=⎩令1y =，得=1z ，0x =, 所以(0,1,1)n =设平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角为θ.cos θ=222DC n DC n⋅==⋅所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角为π4（17）（本小题13分）选择条件①：2521=4,=30,20a S a =解：（Ⅰ）因为{}n a 的前20项成等差数列，25=4,=30a S ，所以114,545302a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得12,2a d =⎧⎨=⎩．所以20=2192=40a +⨯．因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列， 所以212012a q a ==．综上，12,2d q ==． （Ⅱ）{}n a 的前20项成等差数列，d >0． 所以前20项为递增数列． 即:前20项的最大项为2040a =． 数列{}n a 的后11项成等比数列，12q =， 所以后11项是递减数列． 即:后11项的最大项为2040a =综上，数列{}n a 的最大项为第20项，其值为40． 选择条件②：320220,36,9S a a ==-=-解：（Ⅰ）因为{}n a 的前20项成等差数列，3200,36S a ==-，所以11330,1936a d a d +=⎧⎨+=-⎩， 所以122.a d =⎧⎨=-⎩，因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列，2036a =-，又因为229a =-， 2222014a q a == 所以12q =±．综上，12,2d q =-=±．（Ⅱ）{}n a 的前20项成等差数列，d <0． 所以前20项为递减数列． 前20项的最大项为12a =． 因为12q =±．i.当12q =时，20136(2030)2n n a n n -*⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ≤≤且，所以当2030n ≤≤时，0n a <．此时，数列{}n a 的最大项为第1项，其值为2；ⅱ.当12q =-时，20136(2030)2n n a n n -*⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ≤≤且，后11项的最大项为2118a =.此时，数列{}n a 的最大项为第21项，其值为18． 综上，当12q =时，数列{}n a 的最大项为第1项，其值为2； 当12q =-时，数列{}n a 的最大项为第21项，其值为18． 选择条件③：1212448,20,160S a a ===解：（Ⅰ）因为数列{}n a 后11项成公比为q 的等比数列，212420,160a a ==，所以324218a q a ==， 解得2q =． 所以212010a a q==． 又因为{}n a 的前20项成等差数列，1148S a ==， 所以2012201a a d -==--． 综上，2,2d q =-=．（Ⅱ）{}n a 的前20项成等差数列，d <0． 所以前20项为递减数列． 前20项的最大项为148a =．{}n a 的后11项成等比数列，而2010a =，2q =， 20102(2030)n n a n n -*=⋅∈N ≤≤且，所以后11项为递增数列． 后11项的最大项为3010240a =综上，数列{}n a 的最大项为第30项，其值为10240． （18）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“抽取的3个门店的线下日营业额均达标”为事件A ， 由题意知，8个样本门店中线下日营业额达标的有3家，所以33381()56C P A C ==.所以抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率为156. （Ⅱ）由题意，8个样本门店中线下日营业总额达标的有4家， 所以从该地区众多门店中任选1个门店，日营业总额达标的概率为12. 依题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.0033111(0)()(1)228P X C ==-=；123113(1)()(1)228P X C ==⋅-=； 223113(2)()(1)228P X C ==-=；3303111(3)()(1)228P X C ==-=.所以随机变量X 的分布列为：其数学期望13313012388882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）221212,S S μμ<=.（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由已知2a =，1c =， 所以2223b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （Ⅱ）因为四边形AMBN 是平行四边形，所以AB 与MN 的中点重合，所以M 、N 关于原点对称. 设11(,)M x y ，则11(,)N x y --.（1120x y ≠±≠且）112AM y k x =+，直线AM 的方程为11(2)2y y x x =++， 令0x =，得1122y y x =+，即112(0,)2y P x +, 又112AN y k x =-， 直线AN 的方程为11(2)2y y x x =+-， 令0x =，得1122y y x =-，即112(0,)2y Q x -. 四边形APFQ 面积为13||||||22AF PQ PQ ⋅=，1112111228||||||224y y yPQ x x x =-=+--. 因为点M 在椭圆上，所以2211143x y +=，110y y ≠.所以2211443x y -=-.所以16||||PQ y =.所以当1y =时，min ||PQ =所以四边形APFQ面积的最小值为（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当1a =-时，1()e x x f x -=，2()e xx f x -'=，所以(0)1f =， (0)2f '=-切线l 的斜率为(0)2k f '==-.所以()f x 在0x =处的切线方程为21y x =-+. （Ⅰ）依题意，()1f x ≤对任意x ∈R 恒成立， 2(1)e (1)(e )1()=(e )e x x x xax ax ax a f x ''+-+-+-'=当0a =时，1()ex f x '=-，由于e 0x >，则()0f x '<恒成立， 所以()f x 在R 内单调递减， 因为(0)1f =，故当0x <时，()1f x >，不符合题意. 当0a ≠时，令()0f x '=，得11x a=-当0a <时，110x a=->，因为(0)1f =，那么,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以结合()f x 的单调性知：当0x <时，，不符合题意. 当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：当01a <<时，110x a=-<，因为(0)1f =， 所以结合()f x 的单调性知当11,0)x a ∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a >时，110x a=->，因为(0)1f =， 所以结合()f x 的单调性知当10,1)x a ∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a =时，110a-=.由()f x 的单调性可知，max ()=(0)1f x f =，所以符合题意. 综上，1a =. （21）（本小题15分）解：（Ⅰ）1M 是满集，2M 不是满集.1()3P M =，且1M 的子集为,{1},{2},{1,2}∅1,({1})()k k P P ==-∅，2,({2})()k k P P ==-∅，3,({1,2})()k k P P ==-∅所以1M 是满集；2()5P M =，且2M 的子集为,{2},{3},{2,3}∅4k =时不存在集合M 的两个子集A 、B ，使得4()()P A P B =-)成立， 所以2M 不是满集.（Ⅱ）设0()k P M =，因为集合M 为“满集”对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A 、B ，使得()()k P A P B =-)成立.则01()()k P A P B -=-，且()0P B ≥，所以0()P A k =或0()1P A k =-. 当0()P A k =时()1P B =，此时11a =； 当0()1P A k =-时()0P B =，因为123m a a a a <<<<，所以2m a a ++为最大01k -，此时11a =.综上11a =.（Ⅲ）集合M 是满集. 由题意知集合1{1,2,4,,2}m M -=，12()2112mm P M -==--，对任意的正整数21m k ≤-，根据二进制可知， 12222s i i i k =+++（10s i i m ≤<<<）.取21{2,,2,2}s i i i A =，B =∅.即()()k P A P B =-，所以集合M 为“满集”.【若有不同解法，请酌情给分】。