高斯求和
高斯求和讲解
第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
等差数列求和公式 高斯
等差数列求和公式高斯下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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高斯定理1+2+
高斯定理1+2+ (100)Gauss定理Gauss定理是由十九世纪德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯在他的1786年著作中推导出来的一个重要定理，被称为高斯定理或高斯求和定理，它可以利用数学表达式用简洁的方式表达出某些数字的和，也可以用于算出一定范围内正整数的和。
一、高斯定理的基本定义高斯定理的基本定义是：若将一个事物的数目N连续排列，用符号S表示这个事物的和，则S可以用如下公式表示：S=N (N+1) / 2二、高斯定理的应用1、高斯定理可以用来求正整数序列的和。
例如：若有如下正整数序列：1,2,3, ..., 98, 99, 100，则用高斯定理求该序列的和为：S=100 (101) / 2=50502、高斯定理也可以用来求负整数序列的和。
例如：若有如下负整数序列：-1、-2、-3、...、-98, -99, -100，则用高斯定理求该序列的和为：S=（-100）（-101）/ 2 = -50503、高斯定理还可以用来解决数列的乘积与求余数的问题。
例如：对于代数方程组a+b = 15，a*b = 56，则可以用高斯定理进行求解：a+b = 15a*b = 56即可求得a = 7,b = 8四、高斯定理的推广1、求和高斯定理的推广：高斯定理的推广就是求和定理，对于于数字序列m, m + r, …, m + (n-1)r，可用下列公式进行求和:Sn = (n/2)*[2m + (n-1)r]其中n为数字序列中元素的总数。
例如：对于序列2, 4, 6, 8, 10中元素的和，可运用求和定理，得：Sn = (5/2)*[2*2 + (5-1)*2] = 302、积分高斯定理的推广：高斯定理的推广就是积分定理，对于于函数y = f(x)在[a, b]上的定积分，可用如下公式进行求解：I = (b - a) / 2 * [f(a) + f(b) + 2Σf(x)]，其中f(x)为离散函数，a、b分别为函数f(x)定积分的下上限，n为f(x)函数离散点的个数。
高斯求加公式
高斯求加公式
高斯求和公式是数学中一种常见的求和方法，也称为高斯算术平均数公式。
该公式可以帮助我们快速求解连续整数之和，以及一些数列的和等问题。
高斯求和公式的表达式为：S = (a1 + an) × n / 2
其中，S表示连续整数之和，a1表示第一个数，an表示最后一个数，n表示连续整数的个数。
例如，要求1至100的连续整数之和，我们可以使用高斯求和公式进行计算。
根据公式，a1=1，an=100，n=100，代入公式即可得到结果：S = (1 + 100) × 100 / 2 = 5050。
除了连续整数之和外，高斯求和公式还可以用于求解等差数列的和。
等差数列是指每一项与它前一项之差相等的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
假设要求公差为d，首项为a1，末项为an的等差数列的和，则可以使用以下公式进行计算：
S = (a1 + an) × n / 2 = (a1 + a1 + (n-1)d) × n / 2 = (2a1 + (n-1)d) × n / 2
例如，要求公差为3，首项为2，末项为20的等差数列的和，我们可以使用高斯求和公式进行计算。
根据公式，a1=2，an=20，
n=(an-a1)/d+1=7，代入公式即可得到结果：S = (2 + 20) × 7 / 2 = 77。
总之，高斯求和公式是一种十分实用的数学工具，可以帮助我们
快速求解一些常见的数学问题。
高斯求和讲解
高斯求和讲解Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8第3讲高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋ (1999)分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋ (31)分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
第五讲 简单的高斯求和
第五讲简单的高斯求和知识结构：如：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100，这是一个自然数列，它们有着这样的规律，从第二项起每一项与它前面的一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
后项与前项的的差叫做该数列的公差。
我们把数列的第一项叫做首项，最后一项叫做末项，它们之间有着这样的关系：1＋100=101、2＋99=101、3＋98=101……50＋51=101.一共有多少个101呢？100个数每两个为一对，共有50个101.高斯求和就是利用这种配对求和的巧算方法求出这个数列的和的。
解题方法：总和=（首项＋末项）×项数÷2项数=（末项－首相）÷公差＋1末项=首项＋（项数－1）×公差首项=末项－（项数－1）×公差平均数=（首项＋末项）÷2方法探究：例1.计算： 2＋4＋6＋……＋96＋98＋100例2.计算： 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20例3.计算下面各题：（1）100＋95＋90＋……＋15＋10＋5（2）1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＋98＋……＋3＋2＋1例4.小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。
问：这本小说共有多少页？例5. 时钟每逢几时就敲几下，每半点钟就敲1下。
问：一昼夜该时钟总共敲了多少下？随堂训练：1.计算：（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10（2）12＋13＋14＋……＋29＋30＋31 （3）18＋19＋20＋21＋22＋23（4）100＋102＋104＋106＋108＋110＋112＋1142.试用两种方法计算下面各题：（1）73＋77＋81＋85＋89＋93 （2）995＋996＋997＋998＋9993.求出所有的两位数的和。
4.求和：（1）1＋3＋5＋7＋……＋37＋39 （2）2＋6＋10＋14＋……＋210＋2145.有10个盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？6.影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。
高斯求和讲解
第3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
三年级高斯求和
三年级高斯求和 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】第3讲：高斯求和德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。
计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1：计算下列数列的和（1）1，2，3，4，5，，100；（2）1，3，5，7，9，，99；（3）8，15，22，29，36，，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
（4）由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋＋1999分析：这串加数1，2，3，，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得解：原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
数学家高斯的公式
数学家高斯的公式高斯，这可是数学界响当当的人物啊！咱先来说说高斯小时候的一个事儿。
有一回，老师为了让班上的孩子们安静点，就出了一道难题：从 1 加到 100 等于多少？他想着，孩子们总得算上好一会儿。
可没想到，小高斯很快就给出了答案 5050。
老师都惊呆了！原来高斯发现，1 加 100 等于 101，2 加 99 也等于 101，以此类推，一共有50 组这样的数相加，所以答案就是50×101 = 5050。
这个小故事展现出了高斯非凡的数学天赋，而他的这种天赋在后来的研究中更是创造出了许多重要的公式。
比如说，高斯求和公式：和 = （首项 + 末项）×项数 ÷ 2 。
这个公式在解决一系列等差数列求和问题时，那可真是太好用了！想象一下，你要计算从 1 加到 200 ，要是一个一个加，那得累个半死。
但用高斯的这个公式，很快就能得出答案：（1 + 200）× 200 ÷ 2 = 20100 。
是不是超级简单又高效？再比如，在几何领域，高斯也有突出的贡献。
高斯在研究曲面的性质时，提出了高斯绝妙定理。
这个定理对于理解曲面的弯曲程度和内在性质有着极其重要的作用。
就像我们看一个篮球，从外面看它是个圆圆的球，但用高斯的定理就能更深入地了解它表面的弯曲情况。
在实际生活中，高斯的公式也有很多用处呢。
比如说，在建筑工地上，工人们要计算一堆相同规格的砖块的总数，如果这堆砖块刚好是按照等差数列摆放的，那用高斯求和公式就能轻松算出。
还有在物流行业，计算货物的数量和排列方式时，也可能会用到这些公式。
咱们学习高斯的公式，可不仅仅是为了能在考试中拿到高分。
更重要的是，通过这些公式，培养咱们的逻辑思维和解决问题的能力。
就像高斯小时候解决那个从1 加到100 的问题一样，要善于观察、思考，找到问题的本质和规律。
而且，高斯的公式也告诉我们，数学并不是一堆枯燥的数字和符号，而是充满了智慧和乐趣的。
高斯求和公式,分组计算
整数巧算问题 2- 高斯求和与分组求和授课时间：年月日错题题型错题题号一、知识要点（一）高斯求和公式当一个算式中每两个相邻数之间的差值一定时我们可以使用高斯求和公式达到简便运算的目的。
和 =（首项 +尾项）项数项数 =（尾项 - 首项）公差+1其中项数就是整个算式的数字个数，在运用高斯公式时，难点就是找准算式的项数。
（二）分组求和在数学计算特别是繁杂的计算中往往在题目之后隐藏着一些规律，我们可以按照规律对算式中的数字先进行分组，再计算，可以极大的节省我们的计算时间。
二、精讲精练（一）高斯求和公式【例题 1】计算 1+2+3+⋯⋯ +99练习 1：1、1+2+3+⋯⋯ +198+1992、2+3+4+⋯⋯+199+2003、2+3+4+⋯⋯ +997+998【例题 2】现在有一组数字为2,4,6 ⋯⋯ 98,100 请问这组数一共有多少个数字？1、现在有一组数字为3,4,5 ⋯⋯ 98,917 请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为98,100,102 ⋯⋯ 1234,1236 请问这组数一共有多少个数字？3、现在有一组数字为3,6,9 ⋯⋯ 99,102 请问这组数一共有多少个数字？【例题 3】计算 2+4+6+⋯⋯ +998+1000练习 3：1、1+3+5+⋯⋯ +97+992、3+6+9+⋯⋯+198+2013、7+14+21+⋯⋯ +994+1001【例题 4】有一组数为1，3,5 ⋯⋯ 97,99, 这组数中的第30 项是多少？1、有一组数为2， 4,6 ⋯⋯ 98,100, 在这组数中的第40 项是多少？2、有一组数为1， 3,5 ⋯⋯ 97,99, 在这组数中的第20 项和第 30 项的差是多少？3、有一组数为1， 3,5 ⋯⋯ 97,99 ⋯⋯ 999,1001, 在这组数中的第400 项和第 100 项的差是多少？【例题 5】 1+2-3-4+5+6-7-8+⋯⋯+97+98-99-100+101练习 5：1、1+2-3-4+5+6-7-8+9+102、1+2-3-4+5+6-7-8+⋯⋯+197+198-199-200+2013、1+3－ 5－7＋ 9＋ 11－ 13－ 15＋⋯⋯ -1999+2001【例题 6】已知一组数为2,3,4,6,6,9,8,12,10⋯⋯100,150,这组数的和是多少？练习 5：1、1+3+4+6+7+9+10+12+13+15+162、1+3+4+6+7+9+10+12+13+⋯⋯ +66+67+693、1+3+6+6+11+9+16+12+21+⋯⋯ +201+120三、课后巩固1、现在有一组数字为3,6,9 ⋯⋯ 99,189 请问这组数一共有多少个数字？2、现在有一组数字为1,6,11 ⋯⋯ 1001,1006 请问这组数一共有多少个数字？3、有一组数为2， 4,6 ⋯⋯ 98,100, 请问这组数中的第25 项是多少？4、现在有一组数字为1,6,11 ⋯⋯ 1001,1006 请问这组数中的第48 项是多少？5、1+8+15+⋯⋯ +2101+210186、2+4+6+⋯⋯+20007、1+4+7+⋯⋯ +1008、10+11+12+⋯⋯+20099、1+10+20+30+⋯⋯ +200+21010、（ 1-9 ） - （ 2-10 ）- （ 3-11 ）- （ 4-12 ）- ⋯⋯ - （9-17 ） - （ 10-18 ）11、1+2+6+4+11+6+16+8+21+⋯⋯ +251+100。
高斯求和--小升初专项训练 学生版
高斯求和第一关已知首项、末项和项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n =a 1+a n 2×n 1.计算：1+3+5+7+⋯+192.计算：110+111+112+⋯+1263.计算：4+8+12+16+20+⋯+2012+20164.100以内的偶数和是多少？5.计算：1-2+3-4+⋯+97-98+996.计算：(2+4+6+⋯+200)-(1+3+5+⋯+199)7.计算：(1+3+5+⋯+2009+2011)-(2+4+6+⋯+2008+2010)8.计算：1930+1830+⋯+130-39150-38150-⋯-11509.计算(2003+2005+2007+2009+2011+2013+2015)÷710.下面算式中的★表示相同的数，求★1×★+2×★+3×★+4×★+⋯+11×★+12×★+13×★=200211.计算：(1+1.56)+(2+1.56×2)+(3+1.56×3)+⋯+(99+1.56×99)+(100+1.56×100)12.计算：(100+99×1)+(99+99×2)+(98+99×3)+⋯+(2+99×99)+(1+99×100)13.计算：1 2+23+13+34+24+14+45+35+25+15+⋯+1920+1820+⋯+12014.计算：1 2+13+⋯+12016+23+24+⋯+22016+34+35+⋯+32016+⋯+20142015+2014 2016+ 2015201615.如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是多少？16.加工一架梯子，扶杆长为4米，上下横档的长分别为0.35米、0.62米，中间还有7根横档，横档平行且间距均匀．制这架梯子共需多少米的毛竹？(损耗与接头均不计，结果保留一位小数)17.在通往城堡的笔直的道路上，将军这样安排了100个哨兵，他们从城堡门口开始，依次排在相邻两名哨兵之间的距离均为1米．请问，哨兵中任意两人的距离的总和为多少米？18.周长不超过100(包括100)，且边长为自然数的所有正方形的周长之和是多少？19.观鸟协会组织会员到湖边观鸟，会员们发现在一棵大树上：第1分钟飞来1只鸟，第2分钟飞来2只鸟，第3分钟飞走3只鸟，第4分钟飞来4只鸟，第5分钟飞来5只鸟，第6分钟又飞走6只鸟，⋯，照此规律请你算出第66分钟时树上共有多少只鸟？20.在1-100这100个自然数中，所有不能被6整除的数的和为多少？21.我们知道：9=3×3，16=4×4，这里9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？22.求：1~999这些连续自然数所有数字之和是多少？23.数1，2，3，4，⋯，10000按下列方式排列：任取其中一数，并划去该数所在的行与列．这样做了100次以后，求所取出的100个数的和？第二关已知首项、公差及项数，求和【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和．2.计算：2+4+6+8+⋯前198项的和3.计算：17+22+27+32+⋯前100项的和4.计算：131+140+149+158+⋯前98项的和5.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完．这本书共有多少页？6.一个剧院，第一排有20个座位，以后每排总比前一排多2个座位，一共是25排．这个剧院共有多少个座位？7.同学们做广播操，一共排了8排，第一排有4人，以后每排比前一排多1人，一共有多少人做广播操？8.一堆木料，最上面一层有4根，最下面一层有20根，每相邻两层之间相差2根，这堆木料共有多少根？9.果果从小学三年级开始每年的植树节时都植树，三年级时植了2棵，以后每年都比前一年多植树2棵．那么，果果高中毕业时一共植树多少棵？10.有一串数：1,12,22,13,23,33,14,24,34,44,15,25,35,45,55，⋯它前2004个数的和是多少？11.1995003这个数，最多可以拆成多少个不同的非零自然数相加的和？第三关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.计算：1+2+⋯+8+9+10+9+8+⋯+2+12.一个时钟只有在整点时才敲出响声，凌晨1时敲1下，凌晨2时敲2下⋯中午12时敲12下，下午1时敲1下，下午2时敲2下⋯夜里12时敲12下，那么一昼夜该时钟共要敲多少下？3.1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+99+100+99+98+⋯+4+3+2+14.在一根绳子上串了价格不同的一些珠子共31个，其中正中间那一个最贵，从某一端算起，后一个珠子比前一个贵3元．直至到中间那个为止；若从另一端算起，后一个珠子比前一个贵4元，直至到中间那个为止．这串珠子总价值为2260元，那么中间的那一颗珠子价值多少元？5.张教授连续做实验若干小时．开始和结束时，墙上的挂钟都正在报时，他做完实验后大约16分钟，钟面上时针与分针重合．已知这个挂钟只在整点报时(几点就报几下，如下午1点敲1下)，整个实验过程中挂钟共敲了39下．问：(1)张教授的实验一共做了多少小时？(2)他做完实验时，挂钟敲了多少下？第四关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.一辆公共汽车有78个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上二位乘客，第三站上三位乘客，依次下去，多少站以后，车上坐满乘客？2.小明读一本书．第一天读了8页，第二天读了11页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天他读了32页，正好读完．这本书有多少页？3.一个堆放铅笔的V形架的最下层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支．这个V形架上共放了多少支铅笔？4.一群小猴上山摘野果，第一只小猴摘了1个野果，第二只小猴摘了2个野果，第三只小猴摘了3个野果，依此类推，后面的小猴都比他前面的小猴多摘了1个野果，最后，每只小猴分得8个野果，这群小猴一共有多少只？5.小明往一个大池里扔石子，第一次扔1个石子，第二次扔2个石子，第三次扔3个石子，第四次扔4个石子⋯，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔多少次？第五关【知识点】1.小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某数时，结果是2014，后来发现中间有个数多加了一次，多加的那个数是多少？2.王涛将连续的自然数1，2，3，⋯逐个相加，一直加到某个自然数为止，由于计算时漏加了一个自然数而得到错误的结果2012．那么，他漏加的自然数是多少？3.小强练习加法计算，他从1加到某个数时，和是1993，但他发现计算时少加了一个数，小强少加了的那个数是多少？4.从15开始的若干个连续自然数，如果去掉其中一个，剩下的数的平均数是311217，则去掉的自然数是多少？第六关【知识点】高斯求和公式：S n=a1+a n2×n高斯求和其它相关公式：末项=首项+(项数-1)×公差，项数=(末项-首项)÷公差+1，首项=末项-(项数-1)×公差1.蜗牛每小时都比前1小时多爬0.1米，第10个小时蜗牛爬了1.9米，第1小时蜗牛爬了多少米？2.27个连续自然数的和是1998，其中最小的自然数是多少？。
高斯求和法的项数公式
高斯求和法的项数公式高斯求和法是数学中一种常见的求和方法，可以用来计算等差数列的和。
高斯求和法的项数公式是其中的重要部分，它可以帮助我们快速计算出等差数列的和，而不需要逐个相加。
下面我们来详细介绍一下高斯求和法的项数公式。
我们先来回顾一下等差数列的概念。
等差数列是指数列中的每个数之间的差都相等的数列。
我们用a表示等差数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的第n项可以表示为：an = a + (n-1)d。
而高斯求和法的项数公式可以帮助我们直接计算等差数列的和，而不需要逐个相加。
项数公式的表达式为：Sn = n/2 * (a + an)。
其中，Sn表示等差数列的和，n表示项数，a表示首项，an表示第n项。
项数公式的原理是将等差数列的每一项与对应的倒数项相加，每一对的和都是公差d，总共有n/2对。
所以，我们可以将公差d 乘以n/2即可得到等差数列的和。
举个例子来说明高斯求和法的项数公式的使用方法。
假设我们要计算等差数列1，3，5，7，9的和。
首先，我们可以确定该等差数列的首项a为1，公差d为2，项数n为5。
根据项数公式，我们可以直接计算出等差数列的和：S5 = 5/2 * (1 + 9) = 5 * 10 = 50。
因此，等差数列1，3，5，7，9的和为50。
高斯求和法的项数公式在实际应用中有着广泛的用途。
比如在计算机科学中，我们经常需要对一组数据进行求和操作。
如果这组数据满足等差数列的特点，那么我们就可以利用高斯求和法的项数公式来快速计算出它们的和，从而提高计算效率。
除了等差数列，高斯求和法的项数公式还可以用于计算一些特殊的数列的和，比如等比数列。
对于等比数列，我们可以对其取对数，将其转化为等差数列，然后再利用高斯求和法的项数公式来计算。
在使用高斯求和法的项数公式时，需要注意的是要确保等差数列的首项和公差都是已知的，并且项数是正整数。
如果条件不满足，那么就无法使用高斯求和法来计算等差数列的和。
高斯求和
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差 数列的和。 3.求首项是13，公差是5的等差数列的前 30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数 等于该钟点数，每半点钟也敲一下。 问：时钟一昼夜敲打多少次？ 5.求100以内除以3余2的所有数的和。 6.在所有的两位数中，十位数比个位 数大的数共有多少个？
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项 的和。 解：末项=25＋3×（40-1）＝142， 和=（25＋142）×40÷2＝3340。 利用等差数列求和公式及求项数和末项的公 式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
练习3
1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？ 分析与解：这串加数11，12，13，…， 31是等差数列，首项是11，末项是31，共有 31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441
在利用等差数列求和公式时，有时项数并 不是一目了然的，这时就需要先求出项数。 根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。 例3 3＋7＋11＋…＋99＝？ 分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数 列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1）。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
高 斯 求 和 (一)
高斯求和（一）高斯求和公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1末项＝首项＋公差×（项数－1）总和＝（末项＋首项）×项数÷2公差＝（末项－首项）÷（项数－1）首项＝末项－公差×（项数－1）首项＝总和×2÷项数－末项末项＝总和×2÷项数－首项项数＝总和×2÷（首项＋末项）一、计算：1 +2 +3 +4 +5 +……+252 + 4 +6 + 8 +……+4041 +43 +45 + 47 +49 +……+97+99（3＋7＋11＋...＋47）－（2＋6＋10＋ (46)5 +15 +25 +35 +45 +……+953 +6 +9 +12 +15 +18 +……+30（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4940）÷3 （1＋11＋21＋31＋41）＋（9＋19＋29＋39＋49）1 + 3 + 5 +7 +…+59二、列式计算：1、等差数列2，5，8，11，…，问第80项是多少？2、一个等差数列的第2项是6，第3项是11，则这个数列的第10项是多少？3、已知等差数列5，8，11，…，它的第21项是多少？4、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4。
问这串数中第2001个数是多少？5、有一个等差数列3，7，11，15，……这个等差数列的第100项是多少？6、一等差数列，首项＝3，公差＝2，项数＝10。
这个等差数列的末项是多少？7、有一个数列，4、10、16、22 ……52，这个数列共有多少项？8、等差数列中，首项＝1，末项＝39，公差＝2。
这个等差数列共有多少项？9、有一个等差数列2，5，8，11，……173，这个等差数列共有多少项？10、已知等差数列11，16，21，26，……1001，问这个等差数列共有多少项？11、求等差数列1，4，7，10……，这个等差数列的第30项是多少？12、求等差数列2，6，10，14……，这个等差数列的第100项？13、有这样的一列数1，2，3，4，……84，85，请你求出这列数各项相加的和？14、小明练习写毛笔字，第一天写了6个，以后每天都比前一天多写相同数量的大字，结果全月（31）天共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写几个大字？。
高斯求和公式推导过程
高斯求和公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高斯（Carl Friedrich Gauss）是一位著名的数学家和物理学家，他在数学领域做出了许多重要贡献，其中之一就是高斯求和公式。
高斯求和公式是一种用来求解等差数列和的公式，也叫高斯求和公式，它能够快速求解某个范围内所有整数之和的问题。
在本文中，我将向大家介绍高斯求和公式的推导过程，希望对大家理解和掌握这一数学公式有所帮助。
让我们来看一下等差数列的数学定义。
一个等差数列是由首项a1和公差d确定的序列，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的一般形式可以表示为：a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，……，an。
其中a1为首项，d为公差，n为等差数列的项数。
对于等差数列的求和问题，我们通常会用高斯求和公式来求解。
高斯求和公式的推导过程可以通过以下步骤来完成：第一步，设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则等差数列的最后一项可以表示为an=a1+(n-1)d。
第二步，将等差数列从头到尾按照正序排列并逆序排列，即将等差数列的前n项与后n项相加，可以得到一个和为2S，其中S表示等差数列的和。
第三步，将正序排列和逆序排列的等差数列相加，可以得到如下公式：a1 + a2 + ... + an + an + an-1 + ... + a1 = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + (a1 + (n-1)d)) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2根据上式可得高斯求和公式为：S = n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2通过上述推导过程，我们得到了高斯求和公式S = n * (a1 + an) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (n * a1 + n^2d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2。
第3讲高斯求和
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是 12厘米2，边长是1根火柴棍。 问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？ （2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
注意：
利用等差数列求和公式之前，一定要判断 题目中的各个加数是否构成等差数列。
• 例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
• 分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31， 共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了 然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公 差的关系，可以得到 项数=（末项-首项）÷公差+1， 末项=首项+公差×（项数-1） 首项=末项-公差×（项数-1）
• 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？ • 1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 • 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。 于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。 • 小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷， 并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。 • 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项， 其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之 差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。 例如：（1）1，2，3，4，5，…，100； • （2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29， 36，…，71。其中（1）是首项为1，末项为100，公差为 1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的 等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差 数列。
第一讲 高斯求和
第一讲高斯求和姓名：得分：
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2
例1 1+2+3+…+1999=？
例2 11+12+13+…+31=？
例3 3+7+11+…+99=？
例4下图是一个堆放铅笔的V形架，如果最上面一层放60枝铅笔，问一共有多少枝铅笔？
例5 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
练习：
1、计算下列各题：
（1）2+4+6+…+200
（2）17+19+21+…+39
（3）5+8+11+14+…+50
（4）全部三位数的和是多少？
2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点种也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？
5、某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位。
这个剧院有多少个座位？。
第3讲 高斯求和
第3讲高斯求和若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？例2 11＋12＋13＋…＋31＝？项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？练习31.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋...＋200；（2）17＋19＋21＋ (39)（3）5＋8＋11＋14＋...＋50；（4）3＋10＋17＋24＋ (101)2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？。
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小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单 快捷。
小高斯使用的这种求和方法，广泛地适用于
“等差数列”的求和问题。
哪什么 叫等差 数列呢？
你能根据高斯求和的故事说一说什么是等差 数列吗？
1，2，3，4，5，…，100；
若干个数排成一列称为数列，数列中的 每一个数称为一项，其中第一项称为首项， 最后一项称为末项。后项与前项之差都相 等的数列称为等差数列，后项与前项之差 称为公差。
项数=（末项-首项）÷公差+1
例4： 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列
Байду номын сангаас
项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例5： 1＋3＋5＋7＋…＋99＝？ 分析与解：1 ，3，5，7，…，99是公差为2 的数列 项数=（99-1） ÷2+1=50 和=（1+99）×50÷2＝2500。
高斯为什么算得又快又准呢？
高斯为什么算得又快又准呢？ 原来小高斯通过细心观察发现：
1＋2＋3＋4＋„+50+51+„＋97+98+99＋100＝？
4＋97＝101
3＋98＝101 2＋99＝101 1＋100＝101
小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都 相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。
题2:11+12+14+16+19+20+22+21=？ 该式不是等差数列，不能使用等差数 列求和公式进行计算。
题3：1+2+3+…＋ ９９９９＝？
分析与解：这串加数是等差数列，首项是1， 末项是9999，共有9999项 原式=（1+9999）×9999÷2=49995000
课堂小结：
这节课上，我学会了：
（2） 4+7+10+13+…+28+31=?
我发现：
31与4相差27，而相邻两个 数之间相差3，27里面有9 个3，说明4要连续加9个3 才是31,31就是第10个数， 因此这个数列的项数是10。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一 目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、 末项、公差的关系，可以得到
例如： （1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差 数列； （2）是首项为 1 ，末项为 99，公差为 2 的等差 数列； （3）是首项为 8 ，末项为 71，公差为 7 的等差 数列。 （1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。
小试牛刀：
下列数列是不是等差数列，如果是，请找出其中的 首项，末项和公差。
①1、2、3、4、5、6、8、9、10
②11、12、13、14、15、16、17、18 ③1、2 、3、 5、8、 12、13 ④7、14、21、28、35、42、49 ⑤3、5、8、12、17、23、30
你能用高斯的方法算出下题的答案吗？
50+49+48+47+…+4+3+2+1=
根据刚刚你求解的方法，你可以试着说一说 等差数列如何求和吗？能推出等差数列的求 和公式吗？
50+49+48+47+…+4+3+2+1= 1275
等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2
题 1： 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差 数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。 由等差数列求和公式 和=（首项+末项）×项数÷2 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题 目中的各项是否构成等差数列。
活学活用：
1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
帮帮忙： 某小学一个剧场第一排有36个座位，往后 每排都比前一排多2个座位，最后一排有58 个座位。这个剧场共有多少个座位？ 你能帮忙算一算吗？ （1）.请列出算式。 （2）.能用等差求和的方法解决吗？为什么？ （3）.一共有多少座位？
(1)认识了等差数列 (2) 知道了等差数列的求和公式 (3) 能用等差数列求和公式进行计算
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2 （1）1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
（2）4+7+10+13+…+28+31=?
第二题是等差数列吗？可以直接利用公 式吗？为什么？
你能开动脑筋想想怎么解决吗？
高斯求和
高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪 明过人，上学时，有一天老师出了一 道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋 头计算。只有小高斯不急不慌的思考 着，想了一会儿，小高斯很快给出了 答案：5050。
1+2+3+4+…+50+51+…+97+98+99+100=？