高斯求和

50+49+48+47+…+4+3+2+1=
根据刚刚你求解的方法，你可以试着说一说 等差数列如何求和吗？能推出等差数列的求 和公式吗？
50+49+48+47+…+4+3+2+1= 1275
等差数列的求和公式： 和=（首项+末项）×项数÷2
题 1： 1＋2＋3＋…＋1999＝？ 分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差 数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。 由等差数列求和公式 和=（首项+末项）×项数÷2 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000 注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题 目中的各项是否构成等差数列。
项数=（末项-首项）÷公差+1
例4： 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列
项数=（99－3）÷4＋1＝25， 原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例5： 1＋3＋5＋7＋…＋99＝？ 分析与解：1 ，3，5，7，…，99是公差为2 的数列 项数=（99-1） ÷2+1=50 和=（1+99）×50÷2＝2500。
小试牛刀：
下列数列是不是等差数列，如果是，请找出其中的 首项，末项和公差。
①1、2、3、4、5、6、8、9、10
②11、12、13、14、15、16、17、18 ③1、2 、3、 5、8、 12、13 ④7、14、21、28、35、42、49 ⑤3、5、8、12、17、23、30
你能用高斯的方法算出下题的答案吗？
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单 快捷。
小高斯使用的这种求和方法，广泛地适用于
“等差数列”的求和问题。
哪什么 叫等差 数列呢？
你能根据高斯求和的故事说一说什么是等差 数列吗？
1，2，3，4，5，…，100；
若干个数排成一列称为数列，数列中的 每一个数称为一项，其中第一项称为首项， 最后一项称为末项。后项与前项之差都相 等的数列称为等差数列，后项与前项之差 称为公差。
高斯来自百度文库和
高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪 明过人，上学时，有一天老师出了一 道题让同学们计算： 1＋2＋3＋4＋„＋99＋100＝？ 老师出完题后，全班同学都在埋 头计算。只有小高斯不急不慌的思考 着，想了一会儿，小高斯很快给出了 答案：5050。
1+2+3+4+…+50+51+…+97+98+99+100=？
活学活用：
1.计算下列各题： （1）2＋4＋6＋…＋200； （2）17＋19＋21＋…＋39； （3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
帮帮忙： 某小学一个剧场第一排有36个座位，往后 每排都比前一排多2个座位，最后一排有58 个座位。这个剧场共有多少个座位？ 你能帮忙算一算吗？ （1）.请列出算式。 （2）.能用等差求和的方法解决吗？为什么？ （3）.一共有多少座位？
（2） 4+7+10+13+…+28+31=?
我发现：
31与4相差27，而相邻两个 数之间相差3，27里面有9 个3，说明4要连续加9个3 才是31,31就是第10个数， 因此这个数列的项数是10。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一 目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、 末项、公差的关系，可以得到
题2:11+12+14+16+19+20+22+21=？ 该式不是等差数列，不能使用等差数 列求和公式进行计算。
题3：1+2+3+…＋ ９９９９＝？
分析与解：这串加数是等差数列，首项是1， 末项是9999，共有9999项 原式=（1+9999）×9999÷2=49995000
课堂小结：
这节课上，我学会了：
(1)认识了等差数列 (2) 知道了等差数列的求和公式 (3) 能用等差数列求和公式进行计算
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2 （1）1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
（2）4+7+10+13+…+28+31=?
第二题是等差数列吗？可以直接利用公 式吗？为什么？
你能开动脑筋想想怎么解决吗？
高斯为什么算得又快又准呢？
高斯为什么算得又快又准呢？ 原来小高斯通过细心观察发现：
1＋2＋3＋4＋„+50+51+„＋97+98+99＋100＝？
4＋97＝101
3＋98＝101 2＋99＝101 1＋100＝101
小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。 1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都 相等。于是，小高斯把这道题巧算为 （1+100）×100÷2＝5050。
例如： （1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差 数列； （2）是首项为 1 ，末项为 99，公差为 2 的等差 数列； （3）是首项为 8 ，末项为 71，公差为 7 的等差 数列。 （1）1，2，3，4，5，…，100； （2）1，3，5，7，9，…，99； （3）8，15，22，29，36，…，71。