理论力学第8章分析解析
理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
理论力学(大学)课件8.1 空间任意力系向一点的简化及结果分析
空间任意力系及重心的计算
c. 简化为合力偶
⑤ FR′= 0, MO≠0
一个合力偶 与简化中心无关。 d. 平衡
⑥ FR′= 0, MO= 0
平衡
平面任意力系简化的最后结果
只能是合力、合力偶、平衡三种情况，不可能出现力螺旋。
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
中心轴过简化中心的力螺旋
力螺旋 由一个力和一个力偶组成的力系, 并且力垂直于力 偶的作用面。
MO O F'R
F'R O
右螺旋
F'R O
F'R O
MO
左螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
钻头钻孔时施加的力螺旋
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间任意力系及重心的计算
å å å 方向 cos(FR¢ , i) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , j) =
Fix FR¢
cos(FR¢ , k) =
Fiz FR¢
作用点: 一般令其作用于简化中心上
空间任意力系及重心的计算
空间力偶系的合力偶矩
å å MO = Mi = MO (Fi )
主矩
由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
空间任意力系及重心的计算
汇交力系的合力
FR¢ = å Fi = å Fxi + å Fy j + å Fzk
主矢
F1¢
M2
M1
FR¢ F2¢
Fn¢ M n
理论力学8-4-拉格朗日方程的首次积分
讨论
2 , T 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 T2 1 mR 2 0 2 2
V mgR g cos
2 1 mR 2 2 mgR cos L 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 2
分析动力学
) 为循环坐标，存在循环积分 为循环坐标 存在循环积分 a)
L J mR 2 sin 2 C 系统动量矩守恒
2 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 L 1 mR 2 2 2 mgR cos
T2 T0 V 1 mR 2 2 1 ( J mR 2 sin 2 ) 2 mgR cos E 2 2
7/21
第 8章
9/21
第 8章
11/21
分析动力学 分析动力学 分析动力学
分析动力学
拉格朗日函数可写为：L T2 T1 T0 V N L q LE 2T2 T1 T2 T1 T0 V E j j j 1 q
T2 T0 V E
T T2 故 T V E 对于定常约束，有 T1 T0 0，
第8章 ri ri (q1 , q2 , , qn , t )
r T 1 mi r 2 i 1 i i
N
i r
ri r j i q t q j j 1
n
0
L C 循环积分 j j q
V与广义速度无关
N n r r n r r i i q l i 1 mi i q 2 i 1 j 1 q j j t t q l 1 l N n N r r r r 1 mi i i mi i i q 2 i 1 t t q j t j j 1 i 1
《理论力学》第八章刚体的平面运动
刚体的平面运动特点
刚体的平面运动具有 连续性，即刚体上任 意一点的运动轨迹都 是连续的。
刚体的平面运动具有 周期性，即刚体的运 动轨迹可以是周期性 的。
刚体的平面运动具有 对称性，即刚体的运 动轨迹可以是对称的。
02
刚体的平面运动分析
刚体的平动分析
平动定义
刚体在平面内沿着某一确定方向作等速直线运动。
详细描述
通过综合分析动能和势能的变化，可以深入理解刚体在平面运动中的能量转换过程。例 如，当刚体克服重力做功时，重力势能转化为动能；当刚体克服摩擦力做功时，机械能 转化为内能。这种能量转换过程遵循能量守恒定律，即系统总能量的变化等于外界对系
统所做的功与系统内能变化之和。
06
刚体的平面运动的实例分析
刚体的平面运动通常可以分为两种类型：纯滚动和滑动。在 纯滚动中，刚体只滚不滑，刚体上任意一点在任意时刻都位 于一个固定的圆周上。在滑动中，刚体既滚又滑，刚体上任 意一点在任意时刻都位于一个变化的圆周上。
刚体的平面运动分类
纯滚动
刚体只滚不滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个固定的圆 周上。
滑动
刚体既滚又滑，刚体上任意一点 在任意时刻都位于一个变化的圆 周上。
势能定理
总结词
势能定理描述了势能与其他形式的能量转换的关系。
详细描述
势能定理指出，在刚体的平面运动过程中，非保守力（如摩擦力、空气阻力等）对刚体所做的功等于系统势能的 减少量。非保守力做正功时，系统势能减少；非保守力做负功时，系统势能增加。
动能和势能的综合分析
总结词
在刚体的平面运动中，动能和势能的综合分析有助于理解运动过程中能量的转换和守恒。
做平动，这种运动也是复合运动。
第八章理论力学哈工大
§8-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动 坐标系上的点，称为动点的牵连点。
讨 论
动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的 运动空间，除动坐标系作平移有牵连点的运动能够给动点以直接的影响。 为此，定义某瞬时，与动点相重合的动坐标 系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动的 速度称为动点的牵连速度
已知:
, OA r , OO1 l , OA水平。求 : 1 ?。
解: 1、动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B 2、运动分析： 绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。 3、 √ √ √
ve va sin r sin ve r 2 1 2 2
动点与动系的选取原则（P186思考题）
⒈ 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。
⒉ 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，即是一条 简单、明了的已知轨迹曲线 —-圆弧或直线。
绝对、相对和牵连运动之间的关系
可以利用坐标变换来建立绝对、相对和牵连运动之间的关系。
O 动点：M 动系： ' x ' y ' 绝对运动运动方程
MM 1 va lim t 0 t
速度合成定理
MM 1 显然： ve lim t 0 t
M 1M 1 vr lim t 0 t
va ve vr
动点的绝对速度等于它 的牵连速度与相对速度 的矢量和
上式为矢量方程，它包含了绝对速度、牵 连速度和相对速度的大小、方向六个量， 已知其中四个量可求出其余的两个量。
得
va ve vr
点的速度合成定理：动点在某瞬时的绝对速度等于 它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。 讨论 ⑴ ⑵ ⑶
理论力学第八章点的合成运动和例题讲解
MM' ＝ MM1 ＋ M1M'
MM' ＝ MM1 ＋ M1M' 将上式两边同除以△t， 取△t →0时的极限，得
lim M M lim M M 1 lim M 1 M t 0 t t 0 t t 0 t
va vevr
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 说明：① 点的速度合成定理适用于牵连运动（动系的运动）为
O1B的角速度1。
解：取OA杆上A点为动点，摆杆O1B 为动系，基座为静系。
绝对速度va = r ，方向 OA
相对速度vr = ? 方向//O1B 牵连速度ve = ? 方向O1B
由速度合成定理 va vevr作出速度平行四边形 如图所示。
ve vasin r
r r2 l2
r 2 r2 l2
则
1. 绝对运动：动点相对于静系的运动。 2. 相对运动：动点相对于动系的运动。 点的运动 3. 牵连运动：动系相对于静系的运动。 刚体的运动 在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点叫牵连点。
绝对运动中动点的速度与加速度称绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中动点的速度和加速度称相对速度 v r 与相对加速度 a r
§8-2 点的速度合成定理
点的速度合成定理将建立动点的绝对速度、相对速度和牵连 速度之间的关系。
设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O’x’y’z’ 的曲线AB 运动, 而曲线AB同时又随同动系O’x’y’z’ 相对静系Oxyz运动。
当t t+△t 时 AB A' B' ， M M' 也可看成M M１ M´
理论力学8章分析解析
2018/10/20
理论力学第8章
22
补充例题。圆轮纯滚动的运动特点。 1. 圆轮在水平面上作纯滚动。轮心A作水平直 线运动。 无滑动条件：轮心A的 水平位移OC等于轮缘 滚动过的弧长，即 OC=MC。设OC长度为x， MC的圆心角为φ，则
x r
2018/10/20 理论力学第8章 23
OA sin AB sin r sin sin l
2018/10/20 理论力学第8章 13
2018/10/20
理论力学第8章
14
用基点法建立A和B的 速度关系。
v B v A v BA vB v A sin vBA sin 0 v A cos vBA cos r cos vBA AB l cos cos sin( ) vB r sin r sin r cos cos cos r , cos
2018/10/20
理论力学第8章
34
轮A的速度和加速度分析：
vA v A r A， A 10rad / s R vC 2 R A 4m / s aA aA r A ， A 10rad / s 2 R t n aC a A aCA aCA
v B v A v BA vB cos30 v A cos30 vB sin 30 v A sin 30 vBA v B v A r vBA 0,
2018/10/20
BA 0
理论力学第8章
19
对于轮B： C为瞬心。
vC v B vCB 0 vB vCB vCB vB r vCB B r
《理论力学Ⅰ》第八版课后习题解析
理论力学Ⅰ第 8 版课后习题答案目录：
第一章静力学公理和物体的受力分析
第二章平面力系
第三章空间力系
第四章摩擦
第五章点的运动学
第六章刚体的简单运动
第七章点的合成运动第
八章刚体的平面运动
第九章质点动力学的基本方程
第十章动量定理
第十一章动量矩定理
第十二章动能定理
第十三章达朗贝尔定理
第十四章虚位移定理
第一章
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第二章
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理论力学第三版课后答案第8章
（9）
代入式（3）得 aCx = 1.03m/s 2 ，将其与式（9）第 1 式代入式（7）可解出端 B 加速度
aB = 2.65m/s 2
aB 为正，表明原假定正确，端 B 的确向左滑动。
课
后 答
案
网
ww w
.k hd
aw .
8-5C 质量为 m 半径为 R 的半圆柱体在图示位置静止释放。 图中，点 C 为质心， OC =
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
2
1 R 5 R R J C = mR 2 + m( ) 2 + m( ) 2 + m( ) 2 = mR 2 4 2 2 4 4
系统惯性力系的主矩方向如图 8-1Cb 所示，其大小为为
M * = J Cα =
5 mR 2α 4
课
后 答
案
网
ww w
.k hd
aw .
可解得此瞬时质心速度为
vC = gl
由于杆作瞬时平移，故有点 B 的速度
vB = v A = vC = gl
r （2）对于连体基 A − e 1 ，定义该基的角加速度的正向如图 8-4Cb 不所示。基点 A 作圆 周运动，令其加速度为
课
T − T0 = mg xC0 − xC
后 答
(
1 2 mvC 。由动能定理 2
r r r r r r 其中 a1C = aC = aCx + aCy ， a1etC = a A ， a1eωC = lω12 = 0 ， a1eαC = lα1 。上式变为
即
后 答
r x : aCx = − aωA + a1eαC cos θ
理论力学8
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
理论力学解题思路剖析
典型习题以下通过例题来演示上述介绍的方法。
[例1]由哈工大1-2（k）改编;如图，各处光滑，不计自重。
1）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（不带销钉C）,销钉C的受力图。
2）画出整体，AC（不带销钉C）,BC（带销钉C）。
3）画出整体，AC（带销钉C）,BC（不带销钉C）。
[解法提示]：应用三力汇交时从整体到局部或从局部到整体来思考，尽量减少未知力方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。
BC（不带个数。
1）由整体利用三力汇交确定FA销钉C）也三力汇交。
（a） (b) (c) (d)方向，则AC（不带销钉C）可用三力汇交。
BC（带销钉2）由整体利用三力汇交确定FAC）不能用三力汇交。
具体参考1）方向，BC（不带销钉C）不能用三力汇交。
AC（带销钉3）由整体利用三力汇交确定FAC）不能用三力汇交。
[例2]由何锃1.4.3改编;如图，各处光滑，不计自重。
1）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（不带销钉B）,销钉B的受力图。
2）画出整体，AB（不带销钉B）,BC（带销钉B）。
3）画出整体，AB（带销钉B）,BC（不带销钉B）。
[解法提示]： 1）由B点的特点，可用三力汇交确定F方向。
A（a） (b) (c) (d) 2），3）当销钉处没有集中力时，带不带销钉都一样，可把销钉处AB和BC间的力当作作用力与反作用力。
注意，当销钉处有集中力时，则不能如此。
[例3] 如图，求静平衡时，AB对圆盘c的作用力方向。
各处不光滑，考虑自重，圆盘c自重为P。
[解法提示]： 1）由E点的特点，可用三力汇交确定为DE方向。
[例4] 何锃1.4.9;如图. 各处光滑，不计自重。
画受力图：构架整体、杆AB、AC、BC（均不包括销钉A、C）、销钉A、销钉C[解法提示]：先对整体用用三力汇交确定地面对销钉C的力方向。
依次由a)~f)作图。
（a） (b)(c)(d)(e) (f)第2章平面力系的简化和平衡一问题问题1：本章注意问题有哪些？1）找出二力轩 2）约束力画正确3）①平面汇交力系：2个方程⇒能且只能求得2个未知量（以下“未知量”用？表示）1n平面力偶系： 1个方程⇒2个？ 2n 平面平行力系：2个方程⇒2个？ 3n 平面任意力系：3个方程⇒3个？ 4n⇒一个系统总的独立方程个数为：⇒+++4321322n n n n 能且只能求得相应数目？②任意力学列方程方法 a) 一矩式b ）二矩式 y AB ⊥不（力投影轴）c ）三矩式 ABC 不共线③具体对一个问题分析时注意（1）所列方程必须线性无关，局部：方程1；局部 ：方程2方程1+方程2＝整体方程 是不行的（2）因此尽量选择一个对象列所有的方程，看未知力与方程数差数目再找其他物体列对应方程问题2：如何取研究对象，如何列方程答：㈠、原则：（1）尽量列最少数目的方程 只包含待求未知量（优先） 尽量让每个方程能解出一个未知量 ㈡、解题思路（重要）:a)先整体，看能从3个方程中列几个有用方程，把能求出的未知量当作已知，方便以后分析，但不必具体求出其中的未知量的大小，以后须用到某个未知量，再回头求。
第八章刚体的平面运动习题解答
故
向
即
8-21图8-48所示机构中，圆轮A的半径R=0.2m，圆轮B的半径r=0.1m，两轮均在水平轨道上作纯滚动。在图示瞬时，A轮上C点在最高位置，轮心速度vA=2m/s，加速度aA=2m/s2，试求轮B滚动的角速度和角加速度。
图8-48
加速度分析
圆轮A
杆BC
故
向
8-22轮O在水平面上作纯滚动，如图8-49所示。轮缘上固定销钉B，此销钉可在摇杆O1A的槽内滑动，并带动摇杆绕轴O1转动。已知轮心O的速度是一常量，vO=0.2m/s，轮的半径R=0.5m，图示位置时，O1A是轮的切线，摇杆与水平面的夹角为 。试求该瞬时摇杆的角速度和角加速度。
图8-59
以O为动点，杆AB为动系
(1)速度分析
(2)加速度分析
圆轮O
以O为基点，分析C点
向y
8-33图8-60所示机构中，已知曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动，OA=100mm，l=500mm。在图示位置， ，试确定杆BD的角速度和角加速度。
图8-60
以A为动点，杆AB为动系
(1)速度分析
(2)加速度分析
图8-33
瞬心法
基点法
8-7在如图8-34所示的筛动机构中，筛子BC的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄长OA=0.3m，转速为n=40r/min。当筛子运动到与点O在同一水平线上时， ，试求此时筛子BC的速度。
图8-34
速度投影定理
8-8长为l=1.2m的直杆AB作平面运动，某瞬时其中点C的速度大小为vC=3m/s，方向与AB的夹角为 ，如图8-35所示。试求此时点A可能有的最小速度以及该瞬时杆AB的角速度。
8-20半径为r的圆盘可在半径为R的固定圆柱面上纯滚动，滑块B可在水平滑槽内滑动，如图8-47所示。已知r=125mm，R=375mm；杆AB长l=250mm。图示瞬时，vB=500mm/s，aB=750mm/s2；O、A、O1三点位于同一铅垂线上，试求此时圆盘的角加速度。
机械原理 第8章 平面机构的受力分析
式中， 为摩擦系数，当运动副元素是平面时，不同材料组 合测得的摩擦系数参数见表8.1。 由于 f 21 是一个常数，在计入摩擦的受力分析时，为了简化 N 21 分析过程，通常不单独分析 f 21 和 N 21 ，而研究它们的合力 F 21 ， 称为构件2对构件1的总反力。从图8.4中可以看到： F 21 与 N 21 之间 f arctan ， 称为构件的摩擦角。因为 F 21 与 的夹角 arctan N 之 v12 间夹角为 90° ，F 21故是运动的总反力。引入摩擦角的概 念对分析构件的运动十分方便。如图8.4(b)所示，当与滑移副导轨 的垂直方向夹角为 的驱动力 F 的作用线作用在摩擦角以内时 (即 时)，无论驱动力 F 加到多大，其水平分力永远小于 摩擦力 f 21 ，滑块原来不动将永远不会运动；如果滑块原来在运 动，则将作减速运动，直至运动停止。当 时，滑块将加速运 动；当 时滑块原来不动仍然不动，原来在运动，则将继续 保持原方向匀速运动。
● 8.4
● 8.4.1
运动副中摩擦力的确定
低副中摩擦力的确定 1. 移动副中的摩擦力和总反力 图8.4(a)所示移动副，滑块1为示力体，当载荷为 Q 的滑块1在 驱动力 F 水平作用下相对构件2以匀速 v12 水平移动时，根据库 仑定理，构件2作用在滑块1上的法向反力 N 21 与摩擦力 f 21 有以下 关系： f 21 N 21 Q (8.8)
两种。
① 有效阻力，即工作阻力。它是机械在生产过程中为了改变 工作物的外形、位置或状态等所受到的阻力，克服了这些阻力就 完成了有效的工作。如机床中工件作用于刀具上的切削阻力，起 重机所起吊重物的重力等均为有效阻力。克服有效阻力所完成的 功称为有效功或输出功。 ② 有害阻力，即机械在运转过程中所受到的非生产阻力。机 械为了克服这类阻力所做的功是一种纯粹的浪费。如摩擦力、介 质阻力等，一般常为有害阻力。克服有害阻力所做的功称为损失 功。 当然，摩擦力和介质阻力在某些情况下也可能是有效阻力，甚 至是驱动力。例如磨床砂轮受到工件给予的摩擦力，搅拌机叶轮 所受到的被搅拌物质的阻力等均为有效阻力。而在带传动中，从 动轮所受到的带的摩擦力则是一种驱动力。 此外，作用于构件重心上的重力，是一种大小和方向均不变化 的力。当重心上升时为阻抗力，而当重心下降时则为驱动力。
理论力学课件 第8章PPT精品文档52页
标Oxy发生运动。 ▪ 动点沿AB的运动为相对运动。 ▪ 在静坐标上观察到的动点运动为绝对运动。
▪ t 时刻，动点在轨道AB的M1点。t+△t，轨
道运动到A’B’，动点运动到A’B’的M’2。 ▪ M1 M’2是绝对位移。 ▪ M1 M2是相对位移。 ▪ M1 M’1是动点在M处的牵连位移。
▪ 站在地面观察到动 点（滑块）的速度 为绝对速度：
va=rω
▪ 相对速度：滑块对于 摇杆的速度
▪ 站在动系（摇杆AB) 看到动点（滑块）沿 着AB运动，其相对速
度为vr，方向沿AB方
向。
▪ 牵连速度：牵连速度 是摇杆上与滑块重合 的点A’的速度，
▪ ve=O1Aω1,
▪ 速度合成：
▪va=ve+ vr ， ▪ 未知：ve的大小，
va ve vr
▪ 例8-1 曲柄OA的O为固 定铰接。A端与滑块铰 接。滑块则可以在摇杆 O1B上滑动。摇杆的O1 端与地面铰接。已知 OA=r，O1O=l，曲柄 OA的角速度为ω，求曲 柄在水平位置时摇杆的 角速度ω1 。
▪ 解：AB为动系。 滑块为动点。
▪ 绝对速度：滑块对 于地面的速度。
▪ §8-1 相对运动、牵连运动、绝对运动
▪ 坐标系：
▪ 1.静坐标系（定参考系）：固结于地面 上的坐标系。
▪ 2.动坐标系（动参考系）：固结于运动 刚体上的坐标系。
▪ 运动分类 ▪ 绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。
▪ 相对运动：动点相对于动坐标系的运动。
▪ 牵连运动：动坐标系相对于静坐标系的运 动。
▪ 速度合成： va = ve+ vr ， ▪ 未知量： va和vr的大小 ▪ 半径CA方向的投影式：
《理论力学》第8章作业
第八章 作业解答参考8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度ω0绕O 轴匀速转动，如图所示。
如OC = BC = AC = r ，并取C为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
解：依题意取C 为基点，将规尺AB 的平面运动分解为随基点C 的平移和绕基点C 的定轴转动。
∵ OC = BC = AC = r∴ ∠CBO = ∠COB设 ∠CBO = φ，则：φ= ω0 t因此，规尺AB 的平面运动方程为：000cos sin C C x r t y r t t ωωϕω===，，8-5 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄连杆机构所带动。
已知曲柄OA 的转速 n OA = 40 r /min ，OA= 0.3 m 。
当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，∠BAO = 90°，求此瞬时筛子BC 的速度。
解：由题意可知，此机构中的OA 杆作定轴转动、AB 杆作平面运动、筛子BC 作平移运动；以B 点的速度v B 代替筛子BC 的运动速度，当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，A 、B 两点的速度分析如右下图所示，其中v B 与CB 间的夹角为30°、与AB 延长线间的夹角为60°，且：()π4πrad/s 303n ω== （逆转） ()()0.4π m/s A OA v OA ω=⋅= 由速度投影定理可得：cos60A B v v =︒∴ ()()0.8π 2.51 m/s cos60A B v v ==≈︒即：当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，筛子BC 的运动速度为2.51 m/s ，方向与水平方向成30°夹角指向左上方。
8-11 使砂轮高速转动的装置如图所示，杆O 1O 2 绕O 1 轴转动，转速为n 4，O 2 处用铰链接一半径为r 2 的活动齿轮Ⅱ，杆O 1O 2 转动时轮Ⅱ在半径为r 3 的固定内齿轮上滚动，并使半径为r 1 的轮Ⅰ绕O 1 轴转动。
理论力学第8章2
3、主、从二件在接触点处有相对运动，没有不变的接 触点。 例如，图中的接触点对主、从二件来讲，时时刻刻 在改变，没有不变的接触点。 此时，不能选接触点为动点。 应选机构上某一特殊点为动 点。（相对轨迹比较明显）
例3、已知、R、e，O、A、B在一条铅直线上。 求图示瞬时，AB杆的速度。
解：1 运动分析 动点：轮心C
习题课
一、根据给定题目，如何确定是否可用合成运动的知 识求解 一点相对于另一运动着的物体有运动，这是确定 能否用合成运动求解的最根本的依据。 1、题目要求一物体相对于另一物体的运动。 或：题目要求一物体上的一点相对于另一物体上 一点的运动。
或：题目要求一物体上的一点相对于另一物体的 运动。
2、机构运动分析中，应用合成运动知识求解的条件
此时 aC方向可由vr顺着e绕动点转过90得到。 如图所示
ac
ac
下面举例说明科氏加速度 aC大小与方向的确定方法及 加速度合成定理的应用。
例1 如图分别以M1、M1为动点，动系与转动的板固连， 试确定图示瞬时两动点的科氏加速度的大小与方向。 首先将表示为矢量
aC1=2v1sin aC1⊥矩形板向里 aC2=0
遵循这两条原则，具体问题具体选取。下面分情 况讨论动点、动系的选取方法。
1、有明显的动点 例如，矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如 图所示。 再例如，在运动的车上看雨滴 的运动。 矿砂与雨滴都是明显的动点。
有明显动点时，就选该点为动 点，动系与另一运动着的物体 固连。
例1、半径r=1m的半圆环以转动方程= t- t2 绕O轴转 3 动，小圆环套在半圆环上，以相对运动方程s'=r(t- t2) 3 运动。试求t=1s时，小圆环的速度。 解：1 运动分析 动点：小圆环M 动系：与半圆环固连 定系：与地基固连 绝对运动：未知曲线运动 相对运动：沿半圆环的圆周运动
《理论力学》第八章-刚体平面运动试题及答案
理论力学8章作业题解8-2 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
如曲柄OA 以匀角加速度a 绕O 轴转动，且当运动开始时，角速度00=w ，转角0=j 。
求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：图示，A 轮平面运动的转角为=A j ∠C 3AC 2=j +∠CAC 2由于弧长CC 1=CC 2，故有 ∠CAC 2=r R /j ，所以22/t rr R r r R r R A a j j j j +=+=+=A 轮平面运动方程为ïïîïïíì+=+=+=+=+=22212212)sin()()sin()()cos()(cos )(tr r R t r R r R y t r R r R x A A A a j a j a j8-6两刚体M ，N 用铰C 连结，作平面平行运动。
已知AC=BC=600mm ，在题附图所示位置s mm v s mm v B A /100,/200==，方向如图所示。
试求C 点的速度。
解：由速度投影定理得()()0==BC C BC B v v 。
则v C 必垂直于BC 连线，v C 与AC 连线的夹角为30°。
由()()AC A AC C v v = 即得：s mm v v A C /200== ，方向如题4-6附图示。
解毕。
8-9 图所示为一曲柄机构，曲柄OA 可绕O 轴转动，带动杆AC 在套管B 内滑动，套管B 及与其刚连的BD 杆又可绕通过B 铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：OA ＝BD ＝300mm ，OB ＝400mm ，当OA 转至铅直位置时，其角速度ωo ＝2rad/s ，试求D 点的速度。
C 12Aj C解 (1)平面运动方法： 由题可知：BD AC w w =确定AC 杆平面运动的速度瞬心。
套筒中AC 杆上一点速度沿套筒(为什么？)s rad IAOA IA v A AC /72.00=´==w w , s mm BD BD v AC BD D /216=´=´=w w D 点加速度如何分析？关键求AC 杆角加速度(=BD 杆角速度) 基点法，分析AC 杆上在套筒内的点(B’)：(1) tA B n A B A B a a a a ¢¢¢++=r r r r大小：× ∠ ∠ × 方位：× ∠ ∠ ∠ 再利用合成运动方法：动点：套筒内AC 杆上的点B’，动系：套筒。
哈工大理论力学 第八章课件
vA1 0
vA3
A2
A4
vA4
O
vO
vA2
A1
vA2 vA4 2r 2v
vA3 2r 2v
理论力学
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22
[例2] 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l， 取柄OA以匀 转动。求：当 =45º 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。
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）
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速度投影法 研究AB, v A ,l 方向OA, v B方向沿BO直线 根据速度投影定理 vB AB v A AB v A v B cos v B v A /cos
l /cos45 2l () 不能求出 AB 速度瞬心法 研究AB，已知 v A , vB 的方向，因此 可确定出P点为速度瞬心
。
轮A作纯滚动，轮O不动。
求 vM 1 , vM 2 。 解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
v A ( R r ) o r Rr o r
(
）
v M 1 PM 1 2r v M 2 PM 2 2r
Rr 2 ( R r )o , r o
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例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动， 而是平面运动。
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二、平面运动的简化 刚体的平面运动 到固定平面 Ⅰ的距离不变
理论力学第8章习题解答
理论力学第8章习题解答第八章质点系动力学：矢量方法习题解答8-1 一个质量为5 kg 弹头M 以水平速度v = 60 m/s 飞行，在D 处爆炸成位于同一水平面内如图示速度方向的两块碎片A 和B 。
已知碎片A 的速度大小v A = 90 m/s 。
试求：(1) 碎片A 的质量m A ；(2) 碎片B 的速度大小v B 。
解：取弹头M 为研究对象，弹头爆炸前后动量守恒 () 30cos B A v m M Mv -= () 30sin 0B A A A v m M v m --=解得M v vm A A 33=，AA B v v vv v 32--=，代入数据得：kg 92.1=A m ，m/s 64.112=B v .8-2 一个质量为m 1的人手里拿着质量为m 2的物体，以仰角θ，速度v 0向前跳起。
当他到达最高点时将物体以相对速度u 水平地向后抛出。
如果不计空气阻力，问由于物体的抛出，跳远距离增加了多少？解：取m 1和m 2物体系统为研究对象，人跳至最高点时只有水平速度 ?c o s 01v v =，所费时间 gv t ?sin 0=。
抛物前后系统水平动量守恒，即 ()()u v m v m v m m -+=+1211021c o s ?，式中1v 为抛物后人的速度。
解得21201c o s m m um v v ++=?，可见，人的速度增量为2121Δm m um v +=，从而跳远距离增加()gm m uv m v t s 21021sin ΔΔ+==?.8-3质量为m 1的平台AB 放在水平面上，平台与水平面间的滑动摩擦因数为f 。
质量为m 2的小车D 由绞车拖动，相对平台的运动规律为221bt s =，其中b 为已知常数。
不计绞车质量，求平台的加速度。
解：1）设平台与水平面间的滑动摩擦因数比较小，当小车D 相对平台运动时，平台AB 的有速度1v （向左），小车D 的相对速度bt sv == r ，（向右），小车D 的绝对速度bt v v v v +-=+-=1r e a ，（向右），滑动摩擦力为 N fF F = 题8-3图题8-3受力图题8-1图由动量定理，()[]F v bt m v m t=-+-1211d d()021=++-N F g m m解得()212121m m g m m f b m a ++-=， ()g m m bm f 212+≤.当()gm m bm f 212+>时，01=a .8-4 质量为m 1的矩形板可在如图所示的光滑水平面上运动。
理论力学第八章2.ppt
说明:1、对任何运动的刚体,上述结论都适用;
2、C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
质点和质点系的动能
1、质点的动能
T 1 m 2
2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
T
1 2
mii
2
（1）平移刚体的动能
T
1 2
mvC2
2 g st
Fmax k st k st 1
2 g st
mg1
g
k m
16.9kN
弹性力 F k(r l0 )er
弹性力的功为
W12
k 2
(12
2 2
)
式中 1 r1 l0,2 r2 l0
弹性力的功也与路径无关
3. 定轴转动刚物体上作用力的功
从角 1转动到角 2过程中力 F 的功为
若 M z 常量
则 W12 M z (2 1)
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
1 2
J
p 2
1 2
(JC
md 2 ) 2
得
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
即:平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能 与绕质心转动的动能之和.
上面结论也适用于刚体的任意运动.
动能定理
1、质点的动能定理
统称保守系统
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vD ωAB DC
例8-6 已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm ，由曲柄 OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲 柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG， GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。 求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
CD l
2.选D为基点 aD l 2 t n a A aD a AD a AD
大小 ？ l 2 方向 ? l 2
分别沿 轴和 轴投影
n aA cos aD cos π 2 aAD
t n 0 aD sin a AD cos a AD sin
§ 8-3 求平面图形内各点的瞬心法
1.定理
基点：A
v
B
v
A
v
BA
vM v A vMA
vM v A AM
可以找到一点C，此时 vCA vA 即： AC vA ω vC 0 一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地 存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简 称速度瞬心。
dt R dt R
3.选Ｏ为基点
t n aC aO aCO aCO
大小 ？ 方向 ？
由于 和
aO R
R 2
大小相等，方向相反
n aC aCO R 2
[例] 已知O1A=O2B, 图示瞬时 O1A//O2B。试问 1 和 2 是否相等？ (a),(b)两种情况下1 和 2 ，
解： 1. AB作平面运动
（vA） vB AB AB
vB cos 30 OA OA vB 0.2309 m s cos 30
2.CD作定轴转动，转动轴：C
vB vD CD 3vB 0.6928 m s CB
3.DE作平面运动
（vD） vE DE DE vE cos 30 vD vD vE 0.8 m s cos 30
速度瞬心的确定方法 (1) 已知一平面图形在固定面 上作无滑动的滚动（纯滚动）
w
图形与固定面的接触点 C就是图形的速度瞬心
(2) 已知 v A , vB 的方向，且 v A不平行于 vB 。
速度瞬心C的位置必在每一点速度的垂线上
(3) 已知 v A , vB 相互平行，且速度方向垂直于两点 连线
滚子A沿水平面作纯滚动，通 过连杆AB带动滑块B沿铅垂轴向 上滑动。设连杆长l = 0.8m，轮 心速度 v0 3 m/s 。求当A B与铅 垂线成 30 时，滑块B的速度 及连杆的角速度。 解：1.基点法 取A为基点，B点的速度
vB vA vBA
2. 速度投影法
（vA） vB AB AB
[例] 行星齿轮机构
已知: R, r , 0 轮A作纯滚动，求 vM 1 , vM 2
解：OA定轴转动; 轮A作平面运动, 瞬心P点
§ 8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度
基点：A， 牵连运动为平移
t n a B ae a r a r t n a B a A a BA a BA
解：
1. AB作平面运动
基点：A
（1） 60
vB v A cos 30 2 3r 3
（2） 0 vB 0
（3） 90
vB v A r ,
vBA 0
解题步骤： （1）分析题中各物体的运动 平移、转动、平面运动 （2）研究作平面运动的物体上哪一点的速度大小 和方向是已知的，哪一点的速度的某一要素是已 知的 （3）选定基点，而另一点可应用公式作速度平行 四边形 v v v
O
I
A
解:
1.轮Ⅰ作平面运动，瞬心为 C。
轮Ⅰ的角速度和角加速度为：
vO 1l r r 2.选基点为Ｏ
2
d2 0 dt
B
C O1 II
O
A
I
（1）点A：
点A的加速度的方向沿OA，指向中心O，它的大小为：
（2）点B：
点B的加速度大小为：
aB a a
2 O
2 n BO 2
A
v
BA
其中 vBA
大小 vBA AB
方向垂直于 AB ，指向同
平面图形内任一点的速度等于基点的速 度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解：
1. AB作平面运动 基点： A
解得 a A l 2
t a AD 0 AB
t a AD 0 AD
例8-9 已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心 O的速度为 vO ，加速度为 aO ，车轮与地面接触无相 对滑动。 求：车轮上速度瞬心的加速度。
解： 1. 车轮作平面运动，瞬心为 C。
vO 2. R d 1 dvO aO
t a BA
n aBA
t 大小 a BA AB
方向垂直于 AB ，指向同
n 2 AB 大小 aBA
方向由 B指向 A
平面图形内任一点的加速度等于基点的加 速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和 法向加速度的矢量和。
例8-7 已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速 度ω1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只 滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线 上，而点B在垂直于O1O的半径上。 求：点A和B的加速度。 B C O1 II
基点：B
vD vDB vB l
vD vB DE 5 rad s DE l vDB vB BD 5 rad s BD l
2 2 vC vB vCB 1.299 m s
方向沿BD杆向右
例8-3
已知：曲柄滑块机构如图所示，OA =r, AB= 3r 。如曲柄 OA以匀角速度ω转动。 求：当 0,60,90 时，点B 的速度。
l
2 1
l 1 r
与半径OB间的夹角为： aO r arctan n arctan aBO l
例8-8 已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以
匀角速度ω绕O 轴转动。OD＝AD＝BD＝l。
求：当 60时，尺AB的角加速度和点A的加速 度。
解： 1. AB作平面运动，瞬心为 C。 vD l AB
xO f1 t yO f 2 t f3 t
刚体平面运动方程
O 基点 转角
运动分析
=
+
平面运动 = 随 Oxy 的平移+绕 O 点的转动 平面运动可取任意基点而分解为平移和转 动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有 关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速 度与基点的选择无关。
2.平面图形内各点的速度分布 基点：瞬心C vA vC vAC vAC vB vC vBC vBC vD vC vDC vDC 平面图形内任意点的速度 等于该点随图形绕瞬时速度 中心转动的速度。
vA ω AC
vB vA cot
vA vBA sin vBA vA AB l l sin
例8-2 已知：如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角 速度为ω=5rad/s。 求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。
解： 1.BD 作平面运动
B A BA
（4）利用几何关系，求解平行四边形中的未知量
速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影，得到：
vB AB vA AB
例8-4
如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速 度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E 沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A， B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。 求：此瞬时点E的速度。
2.杆BG作平面运动，瞬心为C vG BG GC BC vB BG BC vG GC vG cos 60
ω AB vB AB vG cos 60 0 .888 rad s AB
由此可看出： 1.机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的； 2. 在每一瞬时，机构中作平面运动的各刚体有各自的 速度瞬心和角速度
例8-5
已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。 求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。
解： AB作平面运动， 速度瞬心为点C。 图形的角速度：
AB
vA vA AC l sin
B点的速度：
vD
D
C
vB AB BC vA cot
第八章
刚体的平面运动
第八章
§ 8-1 § 8-2
刚体的平面运动
刚体平面运动的概述和运动分解 求平面图形内各点速度的基点法
§ 8-3
§ 8-4
求平面图形内各点速度的瞬心法
用基点法求平面图形内各点的加速度
§ 8-5
运动学综合应用举例
引言
刚体的平动与定轴转动是最常见的、最简单的刚体 运动。刚体还可以有更复杂的运动形式。其中，刚体的 平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动。它可 以看作为平动与转动的合成，也可以看作为绕不断运动 的轴的转动。
本章将分析刚体平面运动的分解、平面运动刚体的 角速度、角加速度，以及刚体上各点的速度和加速度。