力学的变分原理

那么，要使泛函J 取极值，或者说使 J =0，函数q(t)应该满足什么 条件呢？ 泛函 J 的普遍形式为: J F (q,q,t )dt， J =0即可表示为
t1 t2
J F q( , t ), q( , t ), t dt =0
t2 t1
又
F F F= q q 故 q q t2 F F J = ( q q)dt 0， t1 q q
q p
,
q=q(t)+εη(t) δq dq q=q(t) t
dq q '(t )dt
或:
(1)
o
p dt t
dq q ' (t ) dt
t+dt
如果自变量t保持不变，而函数q=q(t)本身形式发生微小变 化，则得另一条曲线 q (t )，如图中虚线所示，显然这种曲线有 无数条。令 式中 是一个参数，为无穷小量。 p δq dq q=q(t) 如果 0，即得函数 q (t )；如果取 p dt 其他值，即得一些与 q (t )非常相近的 t o 函数。因此上式表示的是一族依赖于 t t+dt 参数 的函数 q (t ) ，相应的是一族非常 (t ) 是t的连续可微函数。 接近的曲线。式中， 在瞬时t，由函数本身形式的微小变化而得的微小增量的主 部 q 称为函数的变分： q q q (t ) (3)
任一可能运动用虚线AM B表示，此曲线称为系统的可能路径。 在任一瞬时t，可能路径对真实路径的偏离用等时变分 qk 表示，真实路径的M 点坐标为(qk , t ),而可能路径对应的M 点的 坐标为(qk qk , t )，则真实运动和可能运动的拉氏函数分别为 L L(qk ,qk ,t ) 和 L (qk + qk ,qk + qk ,t ) 函数L的等时变分则为
1 y '2 例：求最速落径方程. ( 已知 F ) 2 gy f 解： 因 F 不显含 x , 则有 F - y' C1 . y ' 1 y '2 1 y '2 即： y' 2 gy y ' 2 gy 常数
1 y '2 y' 常数 y ' 2 gy (1 y '2 ) 2 gy 2 gy (1 y '2 ) 常数 y (1 y '2 ) C1 C1 C1 引入参数 ，使 y ' ctg y (1 cos 2 ) 2 2 1 ctg
t2 t1
我们按式（2）将这族函数表示为依赖于参数的函数q ( , t )；
对式（2）积分，因 可为不同的值，因此泛函J 也是的函数，
这样，泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。
由函数的极值条件 J 即 J 可得 =0
=0
=0
=0
J =0
说明，泛函的极值条件是泛函的变分等于零。
qdt qdt
t1 t1
t2
t2
总之，变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分 的变分。
（3）变分法
设泛函J 为定积分 J = F (q, q, t )dt
t1 t2
M (q j+δqj,t )
,
δq j M(qj ,t)
B
(4)
A (k+1)维空间
现欲求通过固定两点A(t1 , q1 )和 泛函J 具有极值。
比如，牛顿提出的力学三大定律，就是力学的基本原理，由这些基本原理出发，经过严 格的逻辑推理和数学演绎，可以获得经典力学的整个理论框架。
力学原理可以分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可 分为微分形式和积分形式。 不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律。如果原理本身 只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理（如达朗贝 尔原理）。如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则 称为积分原理（如机械能守恒原理）。
而变分原理则不同。它提供一种准则，根据这种准则，可以把力 学系统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别 开来，从而确定系统的真实运动。 如果准则是对某一瞬时状态而言的，则该原理称为微分变分原理 （如虚位移原理，它提供了区别非自由质点系的真实平衡位置和 约束所允许的邻近的可能平衡位置的准则。动力学普遍方程也是 微分变分原理）。如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原 理称为积分变分原理（哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理）
C1 y' ctg，y (1 cos 2) 2 dy si n2d 2 si n cos d 而 dx C1 C1 y' ctg ctg 2C1 si n d C1 (1 cod ( 2 si n2) C 2 2 所以最速落径的参数程 方 为: C1 x 2 ( 2 si n2) C 2 旋轮线方程 C1 y (1 cos 2) 2
哈密顿原理是分析力学的基本原理。它潜藏着经典力学的全部内 容并把这门学科的所有命题统一起来。也就是说，由它出发，也 可得到经典力学的整个框架。
变分原理的思想，不仅在力学中，而且在物理学科的其他领域中 ，都具有重要的意义和应用价值。 力学的变分原理是变分法在力学中的应用。先介绍泛函和变分法 的基本知识。
L L L L L ( qk qk ) qk k 1 qk 泛函变分为 N t2 t2 t2 L L Ldt Ldt ( qk qk )dt t1 t1 t1 qk k 1 qk t2 N d L d L L [ ( qk ) ( ) qk ]dt t1 dt qk qk k 1 dt qk
o p q
,
q=q(t)+εη(t) δq dq q=q(t) t
p dt t
t+dt
变分的运算法则：
由于函数取等时变分时，自变量t保持不变，变分运算与 时间无关，则 (a)任一连续函数 q=q(t)的变分与微分可以交换：即
dq d ( ) (q ) dt dt
(b) 在积分的上、下限不变的条件下，函数对自变量的积分 的变分，等于该函数的变分对该自变量的积分。
q t q t 0
因此，式（6）右边第一项等于零，把式（6）代入（5），得 F d F J ( ) qdt 0, 由于 q的任意性，上式成立 t1 q dt q 的条件是
t2
F d F ( )0 q dt q
（7）
式（7）就是使泛函J 取极值时函数q (t )应满足的条件。它是关于函数 q (t )的二阶微分方程，称为欧拉微分方程，解之便得欲求的函数q (t )。 如果F 不显含自变量 t , 则欧拉方程有初积分 : F - q F 常数 q
A x
B
y
最速落径问题 (dx) 2 (dy ) 2 ds v dt dt
o
A
x
1 y '2 dx dt 质点自沿曲线自由滑下到点所需的时间为 T dt
xA xB xB
1 y '2 2 gy
xA
dx
B y
上式中，时间t是用定积分（函数的集合）来表示的，这种 关系即泛函，其数值取决于式中未知函数y f ( x)和y f ( x)。 显然求此泛函的极小值就是求所用的最小时间t，也就是求出 函数y f ( x)中的哪个函数表示的曲线是最速降线。 如何求泛函的极值？先介绍变分的概念。
2.变分法简介 （1）变分法的研究对象 变分法是研究求泛函的极值的方法。凡有关求泛函极值的问题都 称作变分问题。
最速落径问题 铅直平面内在所有联结二个定点 A 和 B o 的曲线中，找出一条曲线来，使得初速度为 零的质点，在重力作用下，自 A 点沿它无摩 擦地下滑时，以最短时间到达 B 点。 解：这是泛函极值问题。 速度 v 与坐标 y ( x) 的关系 : v 2 gy , ds 而 v dt (dx) 2 (dy ) 2 1 y '2 dx, dt dt
（2）变分的概念 变分分等时变分和全变分两种，全变分又称非等时变分。我们这 里主要介绍等时变分。
设集合D中的元素是表示某一力学系统运动的函数q q(t ), 其中t为自变量，q为力学系统的广义坐标，此函数关系 如图中曲线所示。当自变量 t有微小增量dt时，对应的 函数q的微小增量的线性主部 dq称为函数的微分，记为
t2
下面具体说明之。先介绍增广位形空间的概念。 设一完整系有N个自由度，其广义坐标为q1 , q2 ,, qN ,由这些 坐标所确定的空间称为N维位形空间。这个空间中的一个点 表示系统在某一时刻的位置，这一点包含N个不同值的广义 坐标。为了形象而简洁地表示系统的运动，设想由N个广义 坐标和时间t组成N +1维空间，这样，增广位形空间的一个点 就表示了系统在任一瞬时的位置。
变分法简介
1.泛函的概念
（1）函数的概念 设 x 和 y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对D 中的每一 个数 x ，变量 y 按确定关系总有一个确定的数值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y f ( x) ， x 称为自变量， y 称为 因 变量。对于多元函数，记作 y f ( x1 , x2 ,, xn ) 。
设系统在起始和终止的时间和位置 分别用A(qkA , t )和B(qkB , t )两个点 表示，系统的真实运动用图中的实线 AMB表示，此曲线称为系统的真实 路径。在相同的始末条件下，系统为 约束所允许的与真实运动非常邻近的
M (q j+δqj,t ) A
,
δq j M(qj ,t)
B
(k+1)维空间
,
q=q(t)+εη(t)
q(t ) q( , t ) q(t ) (t )