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圆周角定理及推论
一、圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC对同弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC。
以下分五种情况证明【证明】情况1：当圆心O在∠BAC的内部时：图1连接AO，并延长AO交⊙O于D解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC【证明】情况2：当圆心O在∠BAC的外部时：图2连接AO，并延长AO交⊙O于D，连接OB、OC。
解：OA=OB=OC（OA、OB、OC是半径）∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等腰三角形底角相等）∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角，而三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和）∴∠BOC=∠COD-∠BOD=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC【证明】情况3：当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：图3∵OA、OC是半径解：∴OA=OC∴∠BAC=∠OCA（）∴∠BOC=∠BAC+∠OCA=2∠BAC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，由AB为平角180°、三角形△AOC内角和为180°得到。
）【证明】情况4：圆心角等于180°：圆心角∠AOB=180°，圆周角是∠ACB，∵∠OCA=∠OAC=21∠BOC（BC弧）∠OCB=∠OBC=21∠AOC（AC弧）∴∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠A OC）/2=90度∴∠AO B2=∠ACB【证明】情况5：圆心角大于180°：图5圆心角是（360°-∠AOB），圆周角是∠ACB，延长CO交园于点E，∠CAE=∠CBE=90°（圆心角等于180°）∴∠ACB+∠AEB=180°，即∠ACB=180°-∠AEB ∵∠AOB=2∠AEB∴360°-∠AOB=2（180°-∠AEB）=2∠ACB二、圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析
圆周角定理和圆内四边形的性质典例精析一圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
二 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
即：在⊙O 中，∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠利用圆周角定理的推论求角的度数BABA O例1 （2016·四川眉山）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）A．64° B．58° C．72° D．55°【分析】先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．例2 （2016海南）如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】解：由AB和DE是⊙O的直径，可推出OA=OB=OD=4，∠C=90°，又有DE⊥AC，得到OP∥BC，于是有△AOP∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．例3（2016·山东省滨州市）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．利用圆周角定理的推论进行推理论证例4 （2015•烟台）如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．例5 如图所示，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB=AF，BF和AD相交于点E；求证：BE=AE．分析：由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，即可得∠BAD=∠C，又由AB=AF，根据圆周角定理，易得∠ABF=∠F=∠C，则可证得∠ABF=∠BAD，继而证得结论．利用圆内接四边形的性质求度数例6（2015湖南邵阳第7题3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC 的大小是（）利用圆内接四边形的性质进行推理证明 例 7 （2015南京）（8分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ，且DC=DE ． (1) 求证：∠A=∠AEB ．(2) 连接OE ，交CD 于点F ，OE ⊥ CD ．求证：△ABE 是等边三角形．圆周角定理与相似三角形的综合例 8 （2016·天津市南开区·一模）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P 是的中点，求PA 的长； （2）如图（2），若点P 是的中点，求PA 的长．(第26题)例 9 （肇庆市2012）如图7，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ，交BC 于点D ，连结BE 、AD 交于点P . 求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）AB ⋅ CE=2DP ⋅AD ．圆内接四边形性质的综合应用例10 （2009•内江）如图，四边形ABCD 内接于圆，对角线AC 与BD 相交于点E ，F 在AC 上，AB ＝AD ，∠BFC ＝∠BAD ＝2∠DFC ＝β．求证：（1）∠ABD ＝90°－β （2）CD ⊥DF ； （３）BC=2CD ．圆周角定理与函数的综合例 1 1 如图，AB 是圆O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，（1）求证：△ACE ∽△CBE ；（2）若AB=4，设OE=x （0＜x ＜2），CE=y ，请求出y 关于x 的函数解析式图7。
圆周角6个定理
圆周角6个定理
圆周角定理是指在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。
该定理也称为圆周角定理或圆心角定理。
除此之外，还有以下五个圆周角定理:
1. 同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 相等的圆周角所对的弧也相等。
3. 半圆所对的圆周角是直角。
4. 90 度的圆周角所对的弦是直径。
5. 在同圆或等圆中，两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
这些圆周角定理对于解决几何问题非常有用，例如可以用同弧所对的圆周角相等来证明等腰三角形的判定定理。
圆周角定理 课件
3．关于圆周角定理推论的理解
(1)在推论1中，注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦” 的话结论就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两种可 能，在一般情况下是不相等的．
(2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是 “圆心角等于它所对的弧”．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在 同圆或等圆中”．
【示例2】 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC 的中点，直 线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明： (1)CD＝BC； (2)△BCD∽△GBD.
证明 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又 已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD ＝ AD. 而 CF∥AD ， 连 接 AF ， 所 以 ADCF 是 平 行 四 边 形 ， 故 CD＝AF.
证明 连结 CE、CF、EF，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC ＝90°，∠BEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠A. 又∵∠BFE＝∠BCE，∴∠BFE＝∠A.又∵∠EBF＝∠DBA， ∴△BEF∽△BDA.∴EBFE＝ABDD. ∵∠BFC＝∠BCA，∠CBD＝∠CBD， ∴△CBF∽△DBC.∴CBCF＝CBDD. 又∵AD＝CD，∴EBFE＝CBCF，∴BBCE＝CEFF.
(4)在同圆或等圆中，由弦相等⇒弧相等时，这里的弧要求 同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．
题型一 圆中相关角度数的求解
【例 1】 在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦 AB，求此弦
所对的圆周角．
[思维启迪] 对于弦所对的圆周角要考虑全面．
解 如图所示，过 O 点作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB，OD
反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
一 圆周角定理
是半圆的直径,P是半圆上的 例３，如图，BC是半圆的直径 是半圆上的 如图， 是半圆的直径 一点,过 的中点Ａ， ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ａ，作 一点 过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足 Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证 求证： 为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证： ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦ Ａ
圆周角定理
圆周角的定义： 圆周角的定义：顶点在圆周上且两边都 与圆相交的角。 与圆相交的角。 圆周角定理： 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对 弧的度数的一半。 弧的度数的一半。 推论1：同弧（或等弧） 推论 ：同弧（或等弧）上的圆周角相 等。 同圆或等圆中， 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 相等。 相等。 推论2：半圆（或直径） 推论 ：半圆（或直径）上的圆周角等 于90度。 度 反之， 度的圆周角所对的弦为直径 度的圆周角所对的弦为直径。 反之， 90度的圆周角所对的弦为直径。
2 1 3
Ｐ
4
Ｂபைடு நூலகம்
ＥＦ Ｄ
Ｃ
内接于⊙ 例４，如图， ΔABC内接于⊙Ｏ， 如图， ABC内接于 ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证 于点Ｈ，求证： ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ，求证： ＯＡＢ＝∠ （１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ ）ＯＡＡＨ＝１ ＡＢ （２）ＯＡＡＨ＝１／２ＡＢＡＣ
Ａ Ｂ D ． Ｏ Ｈ Ｃ
例1，如图，ΔABC中，AB=AC， ΔABC ，如图， ABC中 AB=AC， 外接圆⊙O的弦AE BC于点 求证： ⊙O的弦AE交 于点D 外接圆⊙O的弦AE交BC于点D，求证：
AB = AD × AE
2
A
B E
D
C
的两条高, 例2，如图，设AD,CF是ΔABC的两条高, ，如图， 是 ABC的两条高 AD,CF的延长线交 ABC的外接圆 的延长线交Δ 的外接圆O AD,CF的延长线交ΔABC的外接圆O于G,AE ⊙O的直径 求证: 的直径, 是⊙O的直径,求证: (1)ABAC=ADAE (2)DG=DH A
圆周角的定理及推论的应用
圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。
本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。
一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。
一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。
二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。
证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。
由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。
2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。
证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。
则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。
3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。
连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。
因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。
设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。
将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。
4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。
24.2圆周角定理及其运用
=
1 ∠COD, 2
1 ∴ ∠ABC = ∠AOC. 2
B
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2
这个四边形叫做圆内接四边形
这个圆叫做这个四边形的外接圆。
猜想：圆内接四边形的对角有什么关系呢？ 证明猜想
思路：在一般的圆内接四边形中，如果把圆心O与一组 对顶点A、C分别相连，能得到什么结果呢? D
1 1 x ，∠B= y ∵ ∠D= 2 2
y
A
O
x
C
B 1 1 ∴∠D+∠B= ( x y ) 360 180 2 2
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
A
1
8 7
6
C
2 3
B
4
5
探究与思考： 问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问： ∠C1、∠C2、∠C3的度数是 90° 。
C1
A
C2
C3 B
O
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3 是直角，那么∠AOB 是 180° 。 推论：半圆（或直径）所对的 圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
• 说说你的想法,并与同伴交流.
A C
●
A C
圆周角定理及其运用
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
课本 练 习
3.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个 三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
∠CAD=_2_5__°__；
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为
(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_20°_；
2
求证： △ABC 为直角三角形.
C
证明： 以AB为直径作⊙O，
1
∵AO=BO， CO= 2 AB,
A
·
B
O∴AO=BO=CO.∴点C在⊙O上.又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°=
90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
3. 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，∠COD=50°，则
D
A
O 40° B
C
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半．都等于这条弧度数的一半。
A
C
圆周角定理及运用课件.ppt
●O
B A C
∠ABD
=
1∠AOD,∠CBD
2
= 1∠COD,
2
B
●O
∴ ∠ABC = 1∠AOC.
2
你能写出这个命题吗?
同弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
..。..
9
巩固练习：
如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四 边形ABCD的对角线把4个内角分成 8个角，这些角中哪些是相等的角？
24.1.4 圆周角
..。..
1
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角．
..。..
2
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P 不是
顶点不 在圆上。
是
顶点在圆上， 两边和圆相 交。
不是
两边不和 圆相交。
..。..
不是 有一边和圆 不相交。
3
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
..。..
4
画一个圆,再任意画一个圆周角,看一 下圆心在什么位置?
圆心在一边上 圆心在角内
A C
●O
提示:能否转化为1的情况?
B
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD
=
1∠AOD,
2
∠CBD
=1
2
4.3圆周角定理及其运用
圆周角
复习旧知：请说说我们是如何给 圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？ 顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做圆周角．
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P
P
P 不是 顶点不 在圆上。 是 顶点在圆上， 两边和圆相 交。 不是 两边不和 圆相交。 不是 有一边和圆 不相交。
C
A
C
B
P
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠ACD=20 ° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ） A、70°； B、110°； B C、90°； D、120°
A E D O C
4、如图，△ABC的顶点A、B、C 都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2， 2 则⊙O的半径是 。
解：连接OA、OB ∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 ° 又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
A
⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？
它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
画一个圆,再任意画一个圆周角, 看一下圆心在什么位置?
圆心在一边上
圆心在角内
圆心在角外
• 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大 小有什么关系?
A C
●
A
A
C
●
C B
●
O
O
O
B
B
圆周角和圆心角的关系
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC 2 102 62 8
A
O
圆周角定理
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
例４． 如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：
∠BAC= ∠BOC
∠BAC= ∠BOC
Ｂ Ｄ Ｃ 例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D,
３．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法． (2)等弦所对的圆周角相等或互补；
一．圆周角定理
A
A
O●
●
C
O
B
C
B
A
C O●
B
一. 圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
已知：如图，在⊙O中，B C
A
A
所对的圆周角和圆心角分别
是∠BAC, ∠BOC ．
O ●
●
求证：∠ BAC=
1
∠
BOC
B
O
C
C
2
B
分析２: 以直径为分界线，可以得到另外两类圆周角及 相应的圆心角，如下图（２），（３）所示．只要能将它们 化归为（１）的特殊情形，问题就能解决．
延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 已知：如图，在⊙O中， 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC, ∠BOC ．
判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？ 的度数与 的度数和的一半等于∠APD的度数．
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
小结： 圆周角／圆心角定理
• １．圆心角（central angle）：顶点在圆心上的角叫做圆 心角．(1)在同圆或等圆中，两圆心角相等⇔其所对的弦 （或弧）也相等；(2)圆心角的度数等于它所对的弧的度 数．
圆周角定理及推论
用于判断某 用于判断某个 条线是否过 圆周角是否是 圆心 直角
例1
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒ ⌒ BD=DE
A
证明：连结AD.
删去“同圆或等圆”的条件，结论都不
∵AB是圆的直径 E ∴∠ADB=90°， C D ∴AD⊥BC B ∵AB=AC， ∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD， ∴⌒ ⌒ BD= DE （同圆或等圆中，相等的圆周角所对 弧相等）。
1.同弧或等弧所对的圆周角相等; 在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的 弧相等. 2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所对的弦是直径. 条件“同弧或等弧”改为“同弦或等 弦”,或
圆周角和圆心角的关系
过点B作直径BD.由1可得: ∠ABD =
1 1 ∠AOD,∠CBD = 2 ∠COD, 2 1 = (∠AOD2
A
∠ABD -∠CBD 1 ∠COD), ∴ ∠ABC = ∠AOC.
C
B
●
O
2
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
练习
求圆中角X的度数
120° O A
圆周角 定理及推论
圆周角定义
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相
交的角叫做圆周角。
如图所示：∠ACB 为圆周角
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角的度 数是圆心角度数的一半。也可 以说成：一条弧所对的圆周角 等于圆心角的一半。
圆周角定理：在同圆或等圆中，
几何语言：
圆周角定理 课件
∴ED＝2.5 cm. 【名师点评】 和圆周角有关的线段、角的计算，不仅可以 通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段， 有时，还可以通过比例线段，相似比来计算．
又 OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°，∴∠CAB＝∠BOD. (2)在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，得 AC＝12AB， 又 OB＝12AB，∴AC＝OB. 由 BD 切⊙O 于点 B，得∠OBD＝90°. 在△ABC 和△ODB 中，
∠CAB＝∠BOD ∠ACB＝∠OBD ， AC＝OB
的弦是直__径__．
考点突破
考点一 与圆周角定理相关的证明 例1 (高考课标全国卷)如图，D，E 分别为△ABC 边 AB ，AC 的中点，直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F ，G 两点．若 CF ∥ AB ，
证明：(1) CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD. 【证明】 (1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DE ∥BC.又已知 CF∥AB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CF＝BD＝AD.而 CF∥AD，连接 AF，所以四边形 ADCF 是 平行四边形，故 CD＝AF.
圆周角定理
1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_一__半__． 应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着_同__一__条__弧____，它
们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理 圆心角的度数_等__于___它所对弧的度数． 3．圆周角定理的推论 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相__等__；同圆或等圆中，相等 的圆周角所对的弧也相__等__． 推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直__角__；90°的圆周角所对
圆周角定理
圆周角定理
第 6课 圆周角定理【学习目的】理解圆周角与圆心角、圆心角与所对弧的度数之间的关系，能熟练运用圆周角定理、圆心角定理解题。
【学习重点】能熟练运用圆周角定理、圆心角定理解题。
【学习难点】能熟练运用圆周角定理、圆心角定理解题。
【过程展示】1、圆周角定理：2、圆心角定理： 推论1：推论2：例1 如图，OA 是⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，求证：D 是AB 的中点。
例2 如图，BC 为⊙O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，AB AF =，BF 和AD 相交于E ，求证：AE BE =。
你还有解以上各题的好方吗？站在大家面前，勇敢地展示你的想法和解法吧！你评、我评、大家评，评出精彩，评出智慧！第6课时 圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接四边形的性质定理定理1 圆的内接四边形的对角_______。
定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。
2．圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点______。
习题2.21．如图，AD 、BE 是△ABC 的两条高，求证：CED ABC ∠=∠。
BAC DO1．对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。
∠，且与BC、3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，EG平分EAD分别相交于F、G。
求证：CFG DGF∠=∠。
第7课时圆的切线的性质及判定定理1．切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
2．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
习题2.31．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。
求证:AC与⊙O相切。
圆周角 Word 文档 (2)
A 24.1 圆(第3课时)教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题． 重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程一、复习引入请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题． 二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在 EF所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOCC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：三、巩固练习 1．教材P92 思考题．2．教材P93 练习．五、归纳小结 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．第三课时检测一、选择题C1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．A．140° B．110° C．120° D．130°(1) (2) (3)2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠23．如图3，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（）．A．3 B．．5-12．5二、填空题1．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________．2．如图4，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•B(4) (5)3．如图5，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．三、综合提高题1．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．2．如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．3．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．。