高三数学 二项式定理
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学中与排列组合、多项式的概念性质联系比较紧密的内容。
在高考中，二项式定理的命题主要以选择、填空题的形式考查二项展开式的项、系数及其相关问题。
因此，复时要正确理解二项式定理、二项展开式的概念和性质，牢牢掌握二项展开式的通项公式是解答有关问题的关键。
同时，注意把握二项式与定积分及其它知识的联系。
其中，非标准二项式定理求解特殊项的问题是难点问题。
二项式定理的公式为(a+b)^n=C(n,0)*a^n+C(n,1)*a^(n-1)*b+。
+C(n,k)*a^(n-k)*b^k+。
+C(n,n)*b^n，其中n∈N*。
展开式的第k+1项为C(n,k)*a^(n-k)*b^k。
在求二项展开式的特定项问题时，实质上是考查通项T(k+1)=C(n,k)*b的特点。
一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解。
注意k的取值范围为k=0,1,2，…，n。
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解。
二项式系数是二项展开式中各项的系数，记为C(n,k)。
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等。
二项式系数具有对称性，在二项展开式中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C(n,k)=C(n,n-k)。
二项式系数的增减性与最大值是：当k(n+1)/2时，二项式系数逐渐减小。
当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，中间两项的二项式系数最大。
各二项式系数的和等于2，即C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)=2.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C(n,0)+C(n,2)+…=C(n,1)+C(n,3)+…=2^(n-1)。
在高考中，常涉及多项式和二项式问题，主要考查学生的化简能力。
常见的命题角度有：(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题；(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题；(3)三项展开式中的特定项(系数)问题。
赋值法是一种重要的方法，适用于恒等式，用于求形如(ax＋b)、(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子展开式的各项系数之和。
二项式定理高中
二项式定理高中
二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它是代数学中的一个基本公式，也是组合数学中的一个重要定理。
该定理表明，对于任意实数a和b以及正整数n，有如下公式：
(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n
其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数，其计算公式为：
C(n,k) = n! / (k!*(n-k)!)
二项式定理的应用非常广泛，它可以用于求解各种代数式的展开式，也可以用于计算组合问题中的方案数。
在高中数学中，二项式定理通常是在数学归纳法的证明中使用，也是学习排列组合的基础。
需要注意的是，二项式定理只适用于整数幂，对于非整数幂的情况，需要使用泰勒公式进行展开。
此外，在计算组合数时，需要注意排列和组合的区别，以及重复元素的情况。
总之，二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它不仅具有理论意义，还有广泛的应用价值。
在学习过程中，需要认真理解其定义和应用方法，掌握相关的计算技巧，才能更好地应用于实际问题中。
高中数学选择性必修三 6 3 1 二项式定理
跟踪训练3 (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为_－__2_0_.(用数字作答)
解析 由二项展开式的通项公式可知，含 x2y7 的项可表示为 x·C78xy7－ y·C68x2y6， 故(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的系数为 C78－C68＝8－28＝－20.
四、二项式定理的应用
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7.如果
3
x2＋1xn
的展开式中，x2
项为第
3
项，则自然数
n＝__8__，其
x2
项
的系数为_2_8__.
解析
Tk＋1＝Ckn( 3
x2)n－k1xk＝Ckn
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝_2__.(用数字填写答案) 解析 二项展开式的通项为 Tk＋1＝Ck10x10－kak，当 10－k＝7 时，k＝3，T4 ＝C310a3x7， 则 C310a3＝15，故 a＝12.
例4 (1)试求2 01910除以8的余数；
解 2 01910＝(8×252＋3)10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8 这个因数， ∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.
知识点二 二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Cknan－kbk . 思考 二项式系数与二项展开式中项的系数相同吗？ 答案 一般不同.前者仅为Ckn ，而后者是字母前的系数，故可能不同.
二项式定理公式大全
二项式定理公式大全一、二项式定理基本公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。
- 例如，当n = 3时，(a +b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3。
- 计算各项系数：- C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1- C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=(3!)/(1!2!)=3- C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3!)/(2!1!)=3- C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1- 所以(a + b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k（k =0,1,·s,n）。
- 例如，在(x + 2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5 - 22^2。
- 计算C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=(5×4)/(2×1)=10- 所以T_3=10x^3×4 = 40x^3二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 在二项式(a + b)^n的展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
- 例如，在(a + b)^5的展开式中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 计算C_5^1=(5!)/(1!(5 - 1)!)=5，C_5^4=(5!)/(4!(5 - 4)!)=5；C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=10，C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10。
高考数学总复习考点知识专题讲解9 二项式定理
高考数学总复习考点知识专题讲解专题9 二项式定理知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(1)这个公式叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数． 知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n an －k b k . 【例1】（2023•上海）设423401234(12)x a a x a x a x a x -=++++，则04a a +=．【例2】（2022•上海）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n =．【例3】（2021•浙江）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =；234a a a ++=．知识点三二项展开式的通项 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)．(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解．(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．【例4】（2022•新高考Ⅰ）8(1)()y x y x-+的展开式中26x y 的系数为（用数字作答）．【例5】（2022•天津）523)x 的展开式中的常数项为．【例6】（2023•驻马店期末）若7102910012910(2)(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x +-=+-+-+⋯⋯+-+-，则5a =．【例7】（2023•海淀区模拟）已知5()x a +的展开式为5432543210p x p x p x p x p x p +++++，若3415p p -=，则a =．知识点四余数和整除的问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．【例8】（2022秋•杨浦区校级期末）504除以17的余数为．【例9】（2023•沈阳模拟）若20232023012023(1)x a a x a x +=++⋯+，则0242022a a a a +++⋯+被5除的余数是．【例10】（2022•多选•庆阳期末）下列命题为真命题的是() A ．61()x x -展开式的常数项为20B ．1008被7除余1 C ．61()x x-展开式的第二项为46x -D ．1008被63除余1知识点五 二项式系数的性质1.对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －mn2.增减性与最大值 增减性：当k <n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k >n ＋12时，二项式系数是逐渐减小的． 最大值：（1）当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2C n n最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12C n n-，12C n n+相等，且同时取得最大值（2）求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (3)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项． 3.各二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －14.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可，对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.【例11】（2022•北京）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024(a a a ++=) A ．40B ．41C ．40-D ．41-【例12】（2023•新乡开学）若二项式*(2()n x n N∈的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中2x 项的系数为() A ．1120-B ．1792-C ．1792D ．1120【例13】（2023•慈溪市期末）若二项式*(12)()n x n N +∈的展开式中第6项与第7项的系数相等，则此展开式中二项式系数最大的项是() A ．3448x B ．41120x C ．51792x D ．61792x【例14】（2022秋•葫芦岛期末）设n ∈N +，化简=+++-12321666n n n n n n C C C C （ ）A ．7nB ．C ．7n ﹣1D ．6n ﹣1【例15】已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5；(2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.(4)a 0＋a 2＋a 4；(5)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (6)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.【例16】（2023•泰州期末）若6652360136()x y a y a xy a x y a x +=++⋯++⋯+，则220246135()()a a a a a a a +++-++的值为()A ．0B ．32C ．64D ．128【例17】（2023•静安区期末）在23(3)nx x -+的二项展开式中，533r n r n rnC x--称为二项展开式的第1r +项，其中0r =，1，2，3，⋯，n ．下列关于23(3)nx x -+的命题中，不正确的一项是()A ．若8n =，则二项展开式中系数最大的项是1426383C xB ．已知0x >，若9n =，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x 的取值范围是3540()3x <…C ．若10n =，则二项展开式中的常数项是44103C D ．若27n =，则二项展开式中x 的幂指数是负数的项一共有12项 【例18】（2023秋•泰兴市月考）设*n N ∈，0101(1)(1)(2)(2)n n n n n x a a x a x b b x b x =+-++-=+-++-，则()A ．001132n n n n b a b a b a -+-++-=-B ．0101012()nn nb b b a a a a a a +++=+++ C ．0101111()211n n a a a a a a n n +++=+++++D ．21201(1)4()4n n n n b b n b a a a ++++=+++【例19】（2023•江宁区期末）二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉，由二项式定理可得：0122*1111(1)(,),1n nn m mn n n n n n C C x C x C x x n N x R C C m n -+++++=+∈∈=+等，则012111231nn n n n C C C C n ++++=+．【例20】（2022•玄武区期末）在231(1)(1)(1)n x x x +++++⋯++的展开式中，含2x 的系数是n a ，8a =；若对任意的*n N ∈，*n N ∈，20n n a λ⋅-…恒成立，则实数λ的最小值是．【例21】（2019•江苏）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n …，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．同步训练1.（2021•上海）已知二项式5()x a +展开式中，2x 的系数为80，则a =．2.（2021•上海）已知(1)n x +的展开式中，唯有3x 的系数最大，则(1)n x +的系数和为．3．（2020•浙江）二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则4a =，135a a a ++=．4．（2020•新课标Ⅲ）262()x x+的展开式中常数项是（用数字作答）．5．（2020•天津）在522()x x+的展开式中，2x 的系数是．6.（2023•郫都区模拟）已知921001210(1)(1)x x a a x a x a x --=+++⋯+，则8a =45-．7.（2020•新课标Ⅰ）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为()A ．5B ．10C ．15D ．208.（2023•湖北模拟）51(1)(12)x x+-的展开式中，常数项是() A ．9-B ．10-C ．9D ．109.（2023•曲靖模拟）已知4520222023(1)(12)(12023)(12022)x x x x -++++-展开式中x 的系数为q ，空间有q 个点，其中任何四点不共面，这q 个点可以确定的直线条数为m ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n ，以这q 个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p ，则(m n p ++=) A ．2022B ．2023C ．40D ．5010.（2023•徐汇区期末）1002被9除所得的余数为() A ．1B ．3C ．5D ．711.已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．12（2023•河源期末）5(21)x y --的展开式中含22x y 的项的系数为() A ．120-B ．60C ．60-D ．3013.（2023•怀化期末）已知10111012n n C C =，设2012(23)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋯+-，下列说法：①2023n =，②20233n a =-，③0121n a a a a +++⋯+=，④展开式中所有项的二项式系数和为1．其中正确的个数有() A ．0B ．1C ．2D ．314（2023•青原区期末）若28(1)(1)ax x x -+-的展开式中含2x 的项的系数为21，则(a =) A ．3-B ．2-C ．1-D ．115.（2023•常熟市月考）今天是星期五，经过7天后还是星期五，那么经过1008天后是()A ．星期三B ．星期四C ．星期五D ．星期六16.（2023•南海区月考）已知012233222281n n n nn n n C C C C C +++++=，则123nn n n n C C C C ++++等于()A ．15B ．16C ．7D ．817.（2022•浙江）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =，12345a a a a a ++++=．。
2022届高三数学第10章 第2节 二项式定理
二项式定理[考试要求] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1na n－1b＋…＋C rna n－rb r＋…＋C nnb n(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝C rna n－rb r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n ，C1n，…，C nn.2．二项式系数的性质(1)0≤r≤n时，C rn 与C n－rn的关系是C rn＝C n－rn.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n为奇数时，第n＋12项和n＋32项的二项式系数最大，最大值为.3．各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C nn＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1 n ＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.[常用结论](1)C0n＝1；(2)C nn＝1；(3)C mn＝C n－mn；(4)C mn＋1＝C m－1n＋C mn.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C rna n－rb r是(a＋b)n的展开式中的第r项．( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )(4)通项Tr＋1＝C rna n－rb r中的a和b不能互换．( )[答案] (1)×(2)×(3)√(4)√二、教材习题衍生1．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24D ．－24A [(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C 24＝6.故选A.] 2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( )A ．5B ．－20C ．20D ．－5A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y)r.根据题意，得⎩⎨⎧5－r ＝3，r ＝2，解得r ＝2.所以x 3y 2的系数是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123×(－2)2＝5.故选A.]3．C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( )A ．1B ．2C ．2 019D ．2 019×2 020A [原式＝22 01922 020－1＝22 01922 019＝1.故选A.]4．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________． 8 [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0；令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.]考点一 二项式展开式的通项公式的应用形如(a ＋b)n 的展开式问题二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：①求通项，利用(a ＋b)n 的展开式的通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r(r ＝0,1,2，…，n)求通项．②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．[典例1－1] (1)(多选)若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－3x 5的展开式中含x α(α∈R)项，则α的值可能为( ) A ．－5 B ．1 C ．2D ．7(2)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.(3)(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．(1)ABD (2)－2 (3)16 2 5 [(1)易知⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－3x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x r ＝C r 525－r (－3)r x 10－3r ，其中r ＝0,1,2，…，5.令r ＝1，则10－3r ＝7；令r ＝3，则10－3r ＝1；令r ＝5，则10－3r ＝－5.令10－3r ＝2，则r ＝83∉N ，所以α的值可能为7,1，－5，故选ABD.(2)⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x－r 2＝C r 5a 5－r ·x10－52r ，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. (3)由题意，(2＋x)9的通项为T r ＋1＝C r 9(2)9－r x r (r ＝0,1,2，…，9)，当r ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝162；若展开式的系数为有理数，则r ＝1,3,5,7,9，有T 2, T 4, T 6, T 8, T 10共5个项．]点评：已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．形如(a ＋b)n (c ＋d)m 的展开式问题求解形如(a ＋b)n(c ＋d)m的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b)2(c ＋d)m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d)m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b)(c ＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x 2)5(1－x)2.(3)分别得到(a ＋b)n ，(c ＋d)m 的通项公式，综合考虑．[典例1－2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y)5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20(2)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3(3)若(x 2－a)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A ．13B ．12C ．1D ．2(1)C (2)D (3)D [(1)因为(x ＋y)5的展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5x5－r y r，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y)5的展开式中x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝15.故选C. (2)能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x 2项，第二个因式取1x 2项得x 2×1x2×C 45(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C 55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.(3)由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－aC 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.]点评：求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．形如(a ＋b ＋c)n 的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．[典例1－3] (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是________．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是________．(用数字作答)(1)－160 (2)－120 [(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x)6－k·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k ·C k 6x 3－k.令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6表示6个因式x 2－2x ＋y 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y ，其余的3个因式中有2个选x 2，剩下一个选－2x，即可得到x 3y 3的系数，即x 3y 3的系数是C 36C 23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.]点评：二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．[跟进训练]1．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )A ．±2B ．12C ．－2D ．±12A [⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax k ＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k x 12－3k ，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C 46·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝1516，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝116，解得a ＝±2，故选A.]2．(2021·全国统一考试模拟演练)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x 2的系数是( )A ．60B ．80C ．84D ．120D [(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝1＋x 2[1－1＋x8]1－1＋x＝1＋x10－1＋x2x.所以x 2的系数为C 310＝120，故选择D.]3.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x －y 6的展开式中含xy 的项的系数为( ) A ．30 B ．60 C ．90D ．120B [展开式中含xy 的项来自C 16(－y)1⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5展开式通项为T r ＋1＝(－1)r C r5x5－43r ，令5－43r ＝1⇒r ＝3，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5展开式中x 的系数为(－1)3C 35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x －y 6的展开式中含xy 的项的系数为C 16(－1)C 35(－1)3＝60，故选B.] 考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题(1)系数和问题常用“赋值法”求解赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和．(2)二项式系数和：(a ＋b)n的展开式中二项式系数的和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn ＝2n. [典例2] (1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120(2)若(x ＋2＋m)9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．(1)C (2)－3或1 [(1)令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n2n ＝2n ＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53r x5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 2532＝90，故选C.(2)令x ＝0，则(2＋m)9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39，∴(2＋m)9·m 9＝39， ∴m(2＋m)＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.]点评： (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)．(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．[跟进训练]1．在二项式(1－2x)n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A ．－960B ．960C ．1 120D ．1 680C [因为偶数项的二项式系数之和为2n －1＝128，所以n －1＝7，n ＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(－2x)r ＝C r 8(－2)r x r，所以T 5＝C 48(－2)4x 4，其系数为C 48(－2)4＝1 120.]2．(a ＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________. 3 [设(a ＋x)(1＋x)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.]考点三 二项式系数的性质二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx)n (a ，b ∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1， 从而解出k 来，即得．二项式系数的最值问题[典例3－1] 设m 为正整数，()x ＋y 2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，()x ＋y 2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若15a ＝8b ，则m ＝________.7 [()x ＋y 2m 展开式中二项式系数的最大值为a ＝C m 2m ，()x ＋y 2m ＋1展开式中二项式系数的最大值为b ＝C m ＋12m ＋1，因为15a ＝8b ，所以15C m 2m ＝8C m ＋12m ＋1，即152m ！m ！m ！＝82m ＋1！m ！m ＋1！，解得m ＝7.]项的系数的最值问题[典例3－2] 已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________．－8 064 －15 360x 4 [由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x)5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. 设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x)10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 10·210－k·x 10－2k ，令⎩⎨⎧C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1， 得⎩⎨⎧C k 10≥2C k －110，2C k10≥C k ＋110，即⎩⎨⎧11－k≥2k，2k ＋1≥10－k 解得83≤k≤113.∵k ∈Z ，∴k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.]点评：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C nn ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．[跟进训练]1．二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7D [根据⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x 20的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x)20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝(3)20－r ·C r 20·x20－4r 3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数且0≤r≤20，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项．]2．已知(1＋3x)n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为________．C 715(3x)7和C 815(3x)8[由已知得Cn －2n＋C n －1n＋C n n＝121，则12n·(n－1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x)7和T 9＝C 815(3x)8.]。
二项式定理的基本概念和应用
二项式定理的基本概念和应用二项式定理，又称为“二项式展开定理”，是数学中的一个重要定理，它描述了一个二项式的幂的展开式。
本文将对二项式定理的基本概念和应用进行探讨，希望能够对读者理解和应用该定理起到一定的帮助。
1. 二项式定理的基本概念二项式定理是指将一个二项式的幂展开成一系列项的规律。
表达式的形式如下：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$其中，$(a + b)^n$表示一个二项式的幂，$C_n^k$表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。
2. 二项式定理的证明二项式定理的证明可以通过多种方法进行，其中较为常见的有以下两种方法：数学归纳法和组合数学方法。
这里简要介绍一下数学归纳法的证明思路。
首先，在n=1的情况下，二项式定理成立：$(a + b)^1 = a^1 + b^1$接下来，假设当n=m时，二项式定理也成立，即$(a + b)^m = \sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot a^{m-k} \cdot b^k$我们需要证明当n=m+1时，定理也成立。
通过展开$(a + b)^{m+1}$，我们可以得到:$(a + b)^{m+1} = (a + b)^m \cdot (a + b)$根据假设得到的等式，我们将其代入上述公式：$(a + b)^{m+1} = \left(\sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot a^{m-k} \cdotb^k\right) \cdot (a + b)$我们可以对上述公式进行分配律的展开：$(a + b)^{m+1} = \left(\sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot a^{m-k+1} \cdot b^k\right) + \left(\sum_{k=0}^{m}C_m^k \cdot a^{m-k} \cdotb^{k+1}\right)$我们可以对上述等式进行一些变换和合并得到：$(a + b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m}\left(C_m^k \cdot a^{m-k+1} \cdot b^k + C_m^k \cdot a^{m-k} \cdot b^{k+1}\right)$进一步化简，我们得到：$(a + b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m}\left((C_m^k + C_m^{k-1}) \cdota^{m-k+1} \cdot b^k\right)$我们可以观察到$(C_m^k + C_m^{k-1})$的表达式，它可以化简成组合数的形式：$C_{m+1}^k$，于是上述等式可以再次化简为：$(a + b)^{m+1} = \sum_{k=0}^{m+1}\left(C_{m+1}^k \cdot a^{m+1-k} \cdot b^k\right)$因此，根据数学归纳法，我们可以得出结论：对于任意的非负整数n，二项式定理都成立。
最新高三数学专题复习资料二项式定理
第三节二项式定理1．能利用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理2．二项式系数的性质1．二项式(x＋y)n的展开式的第k＋1项与(y＋x)n的展开式的第k＋1项一样吗？提示：尽管(x＋y)n与(y＋x)n的值相等，但它们的展开式形式是不同的，因此应用二项式定理时，x，y的位置不能随便交换．2．二项式系数与项的系数一样吗？提示：不一样．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．1．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( )A ．C r nB ．C r ＋1nC ．C r －1nD ．(－1)r －1C r －1n 解析：选D 本题中由于y 的系数为负，故其第r 项的系数为(－1)r －1C r －1n .2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21解析：选D 依题意可知，二项式(1＋x )7的展开式中x 2的系数等于C 27×15＝21.3．C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66的值为( )A ．62B ．63C ．64D ．65解析：选B 因为C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66＝(C 06＋C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66)－C 06＝26－1＝63.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n 等于________．解析：∵展开式中只有第6项的二项式系数最大， ∴n ＝10. 答案：105．(A.嘉兴模拟)(x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________．(用数字作答) 解析：依题意知：(x ＋1)9的展开式中x 3的系数为C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84.答案：841．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n 项； (2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1] (1)(A.浙江高考)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210(2)(A.四川高考)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10(3)(A.湖南高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( )A ．－20B ．－5C ．5D ．20(4)使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[自主解答] (1)由题意知f (3,0)＝C 36C 04，f (2,1)＝C 26C 14，f (1，2)＝C 16C 24，f (0,3)＝C 06C 34，因此f (3,0)＋f (2,1)＋f (1，2)＋f (0,3)＝120，选C.(2)只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.(3)由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2·(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20，选A.(4)T r ＋1＝C r n(3x )n －r·x －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －r －32r ＝C r n ·3n －r·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，若T r ＋1是常数项，则有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不满足条件；当r ＝2时，n ＝5.[答案] (1)C (2)C (3)A (4)B互动探究若本例(2)中的条件“n ∈N *”改为“n ≥3”，其他条件不变，则展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：T r ＋1＝C r n3n －rxn －5r2(r ＝0,1,2，…，n )．即当⎝⎛⎭⎪⎫n －5r 2为整数时，T r ＋1为有理项．显然当n ＝3时，r 的取值最少，有r ＝0，r ＝2， 即有理项为T 1、T 3两项． 答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项； (2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为( )A ．6B ．10C ．12D ．15解析：选C T r ＋1＝C r n(x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，所以n ＝12.2．(A.金华模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式x 的项为2x ·C 4410(－x )4＋x C 0414(－x )0＝2x ＋x ＝3x .所以x 的系数为3.答案：3[例2] (1)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)若C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.[自主解答] (1)由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1， 所以13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴132mm ！·m ！＝72m ＋1mm ＋1，∴72m ＋1m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解，选B.(2)由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.[答案] (1)B (2)256方法规律 赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1f 12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1f 12.1．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中，令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n .令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2．(A.丽水模拟)若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013＋a 2 014x 2 014(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2解析：选C 令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝－1.—————————————[课堂归纳——通法领悟]——————————————1个公式——二项展开式的通项公式通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点：(1)C r n an －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项； (2)通项公式中a ，b 的位置不能颠倒；(3)通项公式中含有a ，b ，n ，r ，T r ＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”．3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)展开式中第r ＋1项的二项式系数与第r ＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．前沿热点(十六)与二项式定理有关的交汇问题1．二项式定理作为一个独特的内容，在高考中总有所体现，常常考查二项式定理的通项、项的系数、各项系数的和等．2．二项式定理作为一个工具，也常常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与函数交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系即可．[典例](B.陕西高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15[解题指导] 先寻找x >0时f (x )的取值，再寻找f [f (x )]的表达式，再利用二项式定理求解．[解析] x >0时，f (x )＝－x <0，故f [f (x )]＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r6·(－x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝(－1)6－r ·C r 6·(x )6－2r ，由6－2r ＝0，得r ＝3，故常数项为(－1)3·C 36＝－20.[答案] A[名师点评] 解决本题的关键有以下几点： (1)正确识别分段函数f (x )； (2)正确判断f (x )的符号； (3)正确写出f [f (x )]的解析式； (4)正确应用二项式定理求出常数项.(A.安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.解析：由题图可知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧C 1n ·1a＝a 1＝3，C 2n ·1a 2＝a 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧na ＝3，n n －1a2＝8，可得⎩⎨⎧n ＝9，a ＝3.答案：31．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－40 解析：选D T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x10－3r， 令10－3r ＝1，得r ＝3.所以x 的系数为(－1)3·25－3·C 35＝－40.2．在(1＋x )2－(1＋3x )4的展开式中，x 的系数等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4 D ．－4解析：选B 因为(1＋x )2的展开式中x 的系数为1，(1＋3x )4的展开式中x 的系数为C 34＝4，所以在(1＋x )2－(1＋3x )4的展开式中，x 的系数等于－3.3．(A.金华模拟)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112 D ．168解析：选D (1＋x )8展开式中x 2的系数是C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数是C 24，根据多项式乘法法则可得(1＋x )8(1＋y )4展开式中x 2y 2的系数为C 28C 24＝28×6＝168.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40解析：选D 由题意，令x ＝1得展开式各项系数的和为(1＋a )·(2－1)5＝2，∴a ＝1.∵二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的通项公式为T r ＋1＝C r 5(－1)r ·25－r·x 5－2r ，∴⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式中的常数项为x ·C 35(－1)322·x －1＋1x·C 25·(－1)2·23·x ＝－40＋80＝40.5．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －3＝0，则自然数n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 易知a 2＝C 2n ，a n －3＝(－1)n －3·C n －3n ＝(－1)n －3C 3n ，又2a 2＋a n －3＝0，所以2C 2n ＋(－1)n －3C 3n ＝0，将各选项逐一代入检验可知n ＝8满足上式． 6．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12解析：选D 512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．7．(A.新课标全国卷Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10x10－r a r，当10－r ＝7时，r ＝3，T 4＝C 310a 3x 7，则C 310a 3＝15，故a ＝12. 答案：128．(A.山东高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：29．(B.浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的通项T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x r ＝(－1)r C r 5x 5－r 2x －r 3＝(－1)r C r 5x15－5r 6. 令15－5r ＝0，得r ＝3，所以常数项为(－1)3C 35x 0＝－10.即A ＝－10. 答案：－1010．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187. 11．若某一等差数列的首项为C11－2n 5n－A2n －211－3n，公差为⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2m的展开式中的常数项，其中m 是7777－15除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．解：设该等差数列为{a n }，公差为d ，前n 项和为S n . 由已知得⎩⎨⎧11－2n ≤5n ，2n －2≤11－3n ，又n ∈N *， ∴n ＝2，∴C 11－2n 5n －A 2n －211－3n ＝C 710－A 25＝C 310－A 25＝10×9×83×2－5×4＝100， ∴a 1＝100.∵7777－15＝(76＋1)77－15＝7677＋C 177·7676＋…＋C 7677·76＋1－15 ＝76(7676＋C 177·7675＋…＋C 7677)－14＝76M －14(M ∈N *)，∴7777－15除以19的余数是5，即m ＝5.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫52x －253x 2m 的展开式的通项是T r ＋1＝C r 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－253x 2r ＝(－1)r C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫525－2rx 53r －5(r ＝0,1,2,3,4,5)，令53r －5＝0，得r ＝3，代入上式，得T 4＝－4，即d ＝－4，从而等差数列的通项公式是a n ＝100＋(n －1)×(－4)＝104－4n .设其前k 项之和最大，则⎩⎨⎧104－4k ≥0，104－4k ＋10，解得k ＝25或k ＝26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，S 25＝S 26＝a 1＋a 252×25＝100＋104－4×252×25＝1 300.12．从函数角度看，组合数C r n 可看成是以r 为自变量的函数f (r )，其定义域是{r |r ∈N ，r ≤n }．(1)证明：f (r )＝n －r ＋1rf (r －1)； (2)利用(1)的结论，证明：当n 为偶数时，(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大．解：(1)证明：∵f (r )＝C r n＝n ！rn －r，f (r －1)＝C r －1n ＝n ！r －1n －r ＋1，∴n －r ＋1r f (r －1)＝n －r ＋1r ·n ！r －1n －r ＋1＝n ！rn －r.则f (r )＝n －r ＋1rf (r －1)成立． (2)设n ＝2k ， ∵f (r )＝n －r ＋1rf (r －1)，f (r －1)>0， ∴f r f r －1＝2k －r ＋1r . 令f (r )≥f (r －1)，则2k －r ＋1r≥1，则r ≤k ＋12(等号不成立)．∴当r ＝1,2，…，k 时，f (r )>f (r －1)成立．反之，当r ＝k ＋1，k ＋2，…，2k 时，f (r )<f (r －1)成立． ∴f (k )＝C k 2k 最大，即(a ＋b )n 的展开式中最中间一项的二项式系数最大． [冲击名校]1．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1解析：选D 已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中，x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，则a ＝－1.2．(A.湖州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 6的展开式中1x 2的系数为－12，则实数a 的值为________．解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 6展开式中第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6·(2x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 6·26－r ·a r ·x 3－r ，当3－r ＝－2，即r ＝5时，含有1x2的项的系数是C 56·2·a5＝－12，解得a ＝－1.答案：－1。
高三数学教案《二项式定理》四篇
高三数学教案《二项式定理》四篇教学过程篇一1.情景设置问题1：若今天是星期二，再过30天后的那一天是星期几？怎么算？预期回答：星期四，将问题转化为求“30被7除后算余数”是多少？问题2：若今天是星期二，再过810天后的那一天是星期几？问题3：若今天是星期二，再过天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“被7除后算余数”是多少？在初中，我们已经学过了(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3（提问）：对于(a+b)4，(a+b)5如何展开？（利用多项式乘法）（再提问）：（a+b)100又怎么办？(a+b)n(n?N+）呢？我们知道，事物之间或多或少存在着规律。
也就是研究（a+b)n(n?N+）的展开式是什么？这就是本节课要学的内容。
这节课，我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性。
学完本课后，此题就不难求解了。
（设计意图：使学生明确学习目的，用悬念来激发他们的学习动机。
奥苏贝尔认为动机是学习的先决条件，而认知驱力，即学生渴望认知、理解和掌握知识，并能正确陈述问题、顺利解决问题的倾向是学生学习的重要动力。
）2.新授第一步：让学生展开；问题1：以的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。
预期回答：①展开式每一项的次数按某一字母降幂、另一字母升幂排列，且两个字母幂指数的和等于乘方指数；②展开式的项数比乘方指数多1;③展开式中第二项的系数等于乘方指数。
第二步：继续设疑如何展开以及呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。
）继续新授师：为了寻找规律，我们以中为例问题1：以项为例，有几种情况相乘均可得到项？这里的字母各来自哪个括号？问题2：既然以上的字母分别来自4个不同的括号，项的系数你能用组合数来表示吗？问题3：你能将问题2所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是、一个是。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结一、概念：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中取出k个元素的组合方式数。
二、证明：可以用排列组合的方法证明二项式定理。
考虑对(a+b)^n展开式中每一项的系数，将(a+b)^n表示为n个相加的项，每一项由a和b组成。
可以把这n个项分成若干组，每组的项数k从0到n，且对于固定的k有k个a和n-k个b。
根据组合数的定义，对于每组项数k，其系数为C(n,k)，因此可以得到二项式定理。
三、应用：1.计算组合数：二项式定理可以用来计算组合数。
当a=b=1时，二项式展开后的每一项系数即为对应的组合数。
例如，(1+1)^n=2^n，系数为1,n,n(n-1)/2,n(n-1)(n-2)/6,...，依次为组合数C(n,0),C(n,1),C(n,2),...2. 多项式展开：利用二项式定理，可以方便地展开多项式。
例如，(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^33.计算幂数：二项式定理可以用于计算幂，即对于任意整数m，可以使用二项式定理计算(a+b)^m的展开式，将其中的每一项进行计算，得到每一项的幂数。
4.计算二项式系数：二项式定理可以用来计算二项式系数，即对于给定的a,b和n，可以通过二项式定理展开式中的各项系数得到相应的二项式系数。
五、推广：1.负指数：二项式定理不仅适用于非负整数n，也适用于负指数n，即(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n。
这样可以扩展二项式定理的应用范围。
2. 多变量二项式定理：二项式定理不仅限于两个变量a和b，可以推广到多变量的情况。
高中数学知识点总结---二项式定理5篇
高中数学知识点总结---二项式定理5篇第一篇：高中数学知识点总结---二项式定理高中数学知识点总结---二项式定理0n01n-1rn-rrn0n1.⑴二项式定理：(a+b)n=Cnab+Cnab+Λ+Cnab+Λ+Cnab.展开式具有以下特点：① 项数：共有n+1项；012rn② 系数：依次为组合数Cn,Cn,Cn,Λ,Cn,Λ,Cn;③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.（a+b)n展开式中的第r+1项为：Trn-rrbr+1=Cna(0≤r≤n,r∈Z).⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.．．．．．I.当n是偶数时，中间项是第n2n+1项，它的二项式系数C2n最大；II.当n是奇数时，中间项为两项，即第最大.③系数和：Cn+Cn+Λ+Cn=2C024n+Cn+Cn+01nn13n+Cn+n+12项和第n+12n-1n+12n+1项，它们的二项式系数C2n=CΛ=CΛ=2n-1 附：一般来说(ax+by)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．⎧Ak≥Ak+1,⎩Ak≥Ak-1⎧Ak≤Ak+1或⎨(Ak为TA≤Ak-1⎩k解.当a≠1或b≠1时，一般采用解不等式组⎨的绝对值）的办法来求解.k+1的系数或系数⑷如何来求(a+b+c)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中(a+b+c)=[(a+b)+c]n-rnnp,q,r∈N,且p+q+r=n把rn-rr(a+b)C，另一方面在视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(a+b)中含有bq的项为pqrCn-raqn-r-qb=Cn-rabqqpq，故在(a+b+c)n中含apbqcr的项为(n-r)!n!r!q!p!pqrn-pCrCnCn-rabc.其系数为CnCn-r=rqrqn!r!(n-r)!q!(n-r-q)!⋅==CnC.2.近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1+a)n≈1+na，因为这时展开式的后面部分Cn2a2+Cn3a3+Λ+Cnnan很小，可以忽略不计。
二项式定理讲义 高三数学一轮复习
高三讲义：二项式定理【知识园地】1、二项式定理：设n 是正整数，等式()nb a +=___________________________________ 称为二项式定理.相关概念:（1）上述等式右端称为二项展开式, 一共有__________项;（2）各项的系数C (0,1,,)rn r n =称为_____________;（3）通常用1+r T 表示展开式中的第________项，即1+r T =____________),1,2,1,0(n n r -=1+r T 称为()nb a +展开式的通项，________是第r+1项的二项式系数.2、二项式系数的性质(1) 对称性: 011C C ,C C ,n n n n n n -==, 即C C rn r n n -=.(2) 在二项式定理中, 令a b ==____, 则二项式系数和为:=+++n n n n n C C C C 210_____; 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和：=+++ 420n n n C C C =+++ 531n n n C C C ____（3）若二项式的幂指数n 是偶数, 则___________的二项式系数最大; 若是奇数, 则___________的二项式系数相等, 并且最大;3、各项系数和：【例】()n x 12+的各项系数和为_____________【例题讲解】例1、（1）求51⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式，并求第4项（2）求（x 2﹣）4的二项展开式考点一、求展开式某一项的系数例2、（1）求()623x -的二项展开式中3x 的系数（2）求92⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中3x 的系数（3）已知二项式(52x x，则展开式中3x 的系数为________（用数字作答）.（4）在（1﹣x ）5（1+x 3）的展开式中，x 3的系数为 ．（结果用数值表示）考点二、求展开式的常数项 例3、（1）求61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 二项展开式中的第3项、常数项（2）在262()x x +的二项展开式中，常数项等于 ．（3）求展开式中常数项为______________考点三、二项式系数和、系数和例3、（1）在912x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数之和为________. （2）若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321展开式的各项系数之和为256，则n=_________考点四、系数最大值例3、求()1531x +的二项式展开中，系数最大的项 变式：()1531x -例4、已知对任何给定的实数x ，都有 求值：（1）100210a a a a ++++（2）99531a a a a ++++（3）求1a 的值()()()()100100221010011121-++-+-+=+x a x a x a a x【回家作业】1. 在（1+x ）6的二项展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．2．在8(21)x +的二项式展开式中，2x 项的系数是 ．3.（1﹣2x ）5的展开式中x 3的项的系数是 （用数字表示）4．（x 2+）5的展开式中x 4的系数为5. 二项式（3x ﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为 ．6．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为160-，则实数a =___________． 7.二项式（）6的展开式的常数项为 ． 8.若23(2)n a b +的二项展开式中有一项为412ma b ，则m = ．9. 若272314012314(1)x a a x a x a x a x -=+++++，则58a a += _ .10.设（x ﹣1）（x +1）5＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 6x 6，则a 3＝ （结果用数值表示）11. 若在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的二项展开式中，二项式系数之和为64 （1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项.12．（5分）“n ＝4”是“（x +）n 的二项展开式中存在常数项”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13、设(62)n x -的展开式中, 各项系数之和为256, 则展开式中二项式系数最大项是第（ ）项.A. 2B. 3C. 4D. 514、（1）求()721x +的二项展开式中系数最大的项 （2）求()721x -二项展开式中系数最大的项（提示：先求系数绝对值最大）15、（1）在52⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a x 的二项式展开式中，若x 的系数是-10，求实数a 的值； （2）求92⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中3x 的二项式系数与系数； （3）在()2021x -的二项展开式中，如果第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，求此展开式的第4r 项.。
高三22—二项式定理和统计
高三数学一、二项式定理：1. 二项式展开：11222()nnn n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C ab C a b C b ---+=++++++L L通项公式：1C 0,1,2,,k n k kk nT a b k n -+=⋅⋅=，L 2. 二项展开式的结构与特征 （1）项数：共1n +项（2）系数：()0,1,2,,rn C r n =L 为第1r +项的二项式系数.（3）指数：a 的次数从n 起逐项减1直到0；b 的次数从0起逐项加1直到n .a 与b 的次数之和等于n . 3. 二项式系数的性质（1）等距性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等即：r n r n nC C -=. （2）所有二项式系数之和等于2n ，即：0122n nn n n n C C C C ++++=L . （3）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于12n -.即：0241351C C C C C C 2.n n n n n n n -+++=+++=L L4. 二项式定理的应用赋值法：()()nF x ax b =+展开式的各项系数和为()1f ；奇数项系数和为1[(1)(1)]2f f --； 偶数项的系数和为)]1()1([21-+f f .二、统计：5. 统计的基本概念：在统计中，把被研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做个体；从总体中抽出一部分个体所组成的集合叫做样本，样本中所含个体的个数叫做样本容量，抽取的过程叫做抽样. 6. 把总体中的各个个体N x x x ,,,21 ，依由小到大的顺序排列，当N 为奇数时，位于该数列正中位置的数叫做总体的中位数，记作m ．当N 为偶数时，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做总体的中位数．7. 基本统计量数：如果总体有N 个个体，它们的值分别为N x x x ,,,21 ，那么Nx x x N+++=21μ叫做总体均值．()()()[]2222121μμμδ-++-+-=N x x x N叫做总体方差，而δ叫做总体标准差. 二项式定理与统计知识梳理8. 抽样方法有随机抽样、系统抽样、分层抽样.9. 分层抽样的方法如下：先将总体个数N 按要求分成k 层，每层的个体数分别记作k N N N ,,,21 ；在每层中分别随机抽取k n n n ,,,21 个个体组成容量为n 的样本，使得k N N N N +++= 21，k n n n n +++= 21，kk N n N nN n === 2211． 10. 如果样本为n x x x ,,,21 ，样本的容量为n ，那么可以用样本的平均值nx x x x n+++=21作为总体均值的点估计值；用样本的标准差()()()122221--++-+-=n x x x xx x n δ作为总体标准差的点估计值.一、二项式定理：1）求特定项和特定项的系数【例1】（1）求()721x +的二项展开式的第4项的系数；（2）求91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中3x 项的系数.【难度】★【答案】34444723516560C x x x ⋅⋅==⋅；()339184.C -=- 【解析】（1）()721x +的二项展开式的第4项是()733331721T C x -+⋅⋅==34444723516560C x x x ⋅⋅==⋅.（2）91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式的通项是 ()9921991C 1C rr r r r rr T x x x --+⎛⎫=⋅⋅--⋅ ⎪⎝⎭=， 根据题意，得 923, 3.r r -==因此所求系数是 ()339184.C -=-【例2】求()732x x +的二项展开式的第4项的二项式系数及第4项的系数.【难度】★例题解析【答案】()732x x+的二项展开式的第4项的二项式系数为3735.C =因为 ()74333172T C x x -+⋅⋅==341231572560C x x x ⋅⋅⋅=，所以()732x x +的二项展开式的第4项的系数为560.【例3】求153)1(xx -的展开式中的常数项和有理项.【难度】★★【答案】0055115(1)T C x x =-⋅⋅=,75005T =,513420T x -=.【解析】设展开式中的常数项为第1r +项,则30515611515(1)(1)rrr rr r rr T C C x --+=-⋅⋅=-⋅⋅， 由题意得30506r -=,解得6r =,所以展开式中的常数项为第7项6676115(1)5005T T C +==-⋅=. 由题意可得3056rZ -∈,即r 是6的倍数,又因为015r ≤≤,所以r =0,6,12故展开式中的有理项为0055115(1)T C x x =-⋅⋅=,75005T =,513420T x -=.【例4】（1）（2010普陀区二模）在二项式的展开式中任取项，则取出的项中系数均为奇数的概率为 .（用分数表示结果）（2）已知为正偶数，且的展开式中第项的二项式系数最大，则第项的系数是 .（用数字作答）【难度】★ 【答案】（1）152；（2）25-【例5】如果在n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.【难度】★★ 【答案】41x T =，5358T x =，921256T x=. 9(1)x +22n nxx )21(2-44【解析】n 的展开式的通项为1rn r r r n T C -+=前三项的系数为001122111()()()222n n n C C C ，，，∴100221112()()222n n n C C C ⋅=+∴8=n通项化简为163841881()(08,)2rrrrr r r T C C x r r Z --+==≤≤∈设第1+r 项为有理项，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8. 有理项为41x T =，5358T x =，921256T x =.【例6】1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 【难度】★★ 【答案】5648980<<x 【解析】使1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义，必须0>x ； 依题意，有43T T <，即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．【例7】已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值． 【难度】★★【答案】32=x ，或32-=x ．【解析】设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ，即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xxC ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．2）二项式展开式的系数和（赋值法）【例8】若723456701234567(12)x a a x a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求 （1） 展开式中各项系数和； （2） 求0246a a a a +++的值. 【难度】★【答案】（1）利用赋值法，令1x =，得7701234567(12)32187a a a a a a a a +=+++++++==①，所以展开式中各项系数和是2187.（2）令1x =-，7701234567(12)31a a a a a a a a -=-+-+-+-==-②，①+②，得02462222218712186a a a a +++=-=，即02461093a a a a +++=.【例9】求证121112422 3.n n n n n n n n n C C C C --+++++=L 【难度】★【答案】在二项展开式011222()nnn n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C ab C a b C b ---+=++++++L L 中，令1,2,a b ==得122(12)12223nnnnn n n C C C +=+⋅+⋅++⋅=L ， 即12(12)12423nnnnn n n C C C +=++++=L .【例10】（1）求证：n n n n n n C C C )2(3)1(333133221-=-++⋅-⋅+-（2）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，求2312420)()(a a a a a +-++的值． 【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）在公式nn n n n n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(中令3-=x ，即有 n nn n n n C C C )3()3()3(1)31(2211-++-+-+=- n n n nC C 3)1(331221⋅-+-⋅+⋅-= ∴等式得证．（2）在展开式443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+中， 令1=x ，得443210)32(+=++++x a a a a a ； 令1-=x ，得443210)32(+-=+-+-a a a a a ． ∴原式)()(4321043210a a a a a a a a a a +-+-⋅++++=1)32()32(44=+-⋅+=．【例11】设423401234(31).x a a x a x a x a x -=++++（1）求01234;a a a a a ++++（2）求024;a a a ++（3）13;a a + （4）1234;a a a a +++（5）求各项二项式系数的和。
二项式定理知识点总结
二项式定理知识点总结二项式定理专题一、二项式定理：二项式定理是一个重要的恒等式，它表示了任意实数a,b 和正整数n之间的关系。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下恒等式成立：a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b +。
+ C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数。
右边的多项式叫做(a+b)的二项式展开式，其中各项的系数C(n,k)叫做二项式系数。
二项式定理的理解：1）二项展开式有n+1项。
2）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n。
3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a,b，等式都成立。
通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。
例如，当a=1，b=x时，有以下恒等式成立：1+x)^n = C(n,0) + C(n,1)*x +。
+ C(n,n-1)*x^(n-1) +C(n,n)*x^n4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式(a+b)展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式(a+b)^n。
二、二项展开式的通项公式：二项展开式的通项公式是指，二项式展开式中第k+1项的系数C(n,k)的公式。
具体地，对于任意正整数n和实数a,b，有以下通项公式成立：T(k+1) = C(n,k)*a^(n-k)*b^k其中，T(k+1)表示二项式展开式中第k+1项的系数。
通项公式体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心。
它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用。
三、二项展开式系数的性质：在二项式展开式中，二项式系数具有以下性质：①对称性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C(n,0) = C(n,n)。
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇
高三数学教案《二项式定理》优秀3篇1. 介绍本文档将介绍三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
这些教案从不同的角度和方法讲解了二项式定理，帮助学生更好地理解和应用该定理，提高数学解题能力。
2. 教案一：《二项式定理初步认识》2.1 教学目标•了解二项式的定义和性质•掌握二项式展开的基本方法•能够灵活应用二项式定理解决实际问题2.2 教学内容1.二项式的定义和性质–介绍二项式的概念和表达形式–讲解二项式的性质，如二项式系数的对称性等2.二项式展开的基本方法–介绍二项式在展开时的基本方法–给出一些例题进行演示和练习3.实际问题的应用–利用二项式定理解决实际问题，如排列组合问题等–给出一些实际问题的例题和练习2.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式的定义和性质，并用例题演示二项式展开的基本方法，加深学生对二项式定理的理解•提问与讨论：引导学生参与讨论，思考问题的解决方法，培养学生的分析和解决问题的能力•练习与巩固：给学生一定数量的练习题，巩固所学知识，并能够应用到实际问题中2.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上教师的观察、学生的表现及课后作业的完成情况，进行教学评价•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改正错误，提高学习效果3. 教案二：《二项式定理的证明与应用》3.1 教学目标•掌握二项式定理的证明方法•理解二项式定理的应用领域•提高数学推理和证明能力3.2 教学内容1.二项式定理的证明方法–讲解二项式定理的组合证明方法，如二项式系数的递推关系等–通过数学推理，证明二项式定理的正确性2.二项式定理的应用–介绍二项式定理在组合数学、概率论等领域的应用–给出一些应用题进行练习，提高学生的应用能力3.数学推理与证明–培养学生的数学推理和证明能力，通过解答证明题加深学生对二项式定理的理解3.3 教学方法•讲授与演示相结合：通过讲解二项式定理的证明方法，并演示具体的证明过程，加强学生对二项式定理的理解•课堂讨论：引导学生进行证明题的讨论和分析，提高学生的数学推理能力•练习与应用：给学生一些练习题，加深学生对二项式定理的应用理解3.4 教学评价与反馈•教学评价：通过课堂上的表现、学生的参与情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进学习方法，提高学习效果4. 教案三：《二项式定理与三角恒等式》4.1 教学目标•掌握二项式定理与三角恒等式的联系和应用•理解二项式定理与三角恒等式在数学中的重要性•提高学生的综合应用能力4.2 教学内容1.二项式定理与三角恒等式的联系和应用–介绍二项式定理与三角恒等式之间的联系和应用–分析二项式展开式的三角形式及其与三角恒等式的关系2.二项式定理与三角恒等式的具体应用–给出一些具体的二项式展开题目，引导学生将其化简成三角恒等式形式–通过练习题，锻炼学生的综合应用能力4.3 教学方法•讲授与实例演示：通过讲解二项式定理与三角恒等式的联系，并给出具体的例题进行演示，加深学生对二项式定理和三角恒等式的理解•练习与应用：给学生一些练习题，锻炼学生将二项式展开式化简成三角恒等式形式的能力•问题探究与讨论：引导学生思考和探索二项式定理与三角恒等式之间的更多联系4.4 教学评价与反馈•教学评价：通过观察学生的课堂表现、参与讨论的情况以及课后作业的完成情况综合评价学生的学习情况•教学反馈：及时给予学生反馈，并指导学生改进问题解决的方法，提高学习效果5. 总结本文档介绍了三篇优秀的高三数学教案，主题为《二项式定理》。
第十九章§19.2 二项式定理
８！
（
８－ｒ）
≥ ！
１ ２
８！
· （
ｒ＋１）
！
（
７－ｒ）
， ！
ìïï
１ ２ｒ
≥９１－ｒ，
即
îíïï８１－ｒ≥２（
１ ｒ＋１）
，
解得 ２≤ｒ≤３．
５
７
∴ 系数最大的项为第 ３ 项 Ｔ３ ＝ ７ｘ ２ 和第 ４ 项 Ｔ４ ＝ ７ｘ ４ ．
二、展开式中系数和的有关问题的解法
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
ｘ５ ｙ２ ，易知
ｘ５ ｙ２
的系数为
Ｃ２５
Ｃ
１ ３
＝ ３０．
１－５
æ
ç
è
ｘ
＋ ２
１ ４ｘ
ö
÷
ø
８
的展开式中系数最大的项是
．
５
７
１－５ 答案 Ｔ３ ＝ ７ｘ ２ ，Ｔ４ ＝ ７ｘ ４
解析
æ
ç
è
ｘ
＋ ２
１ ４ｘ
ö
÷
ø
８
的展开式的通项为
( ) ( ) ８－ｒ
Ｔｒ＋１ ＝ Ｃ８ｒ ｘ ２
１ ２
解得 ｎ ＝ ８ 或 ｎ ＝ １（不合题意，舍去），
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
系数杨辉三角找，对称特性立其中。
2.二项式系数的性质
一 一一 一 二一
一 三三 一
性质
一四六四一 一五 十 十 五一
性质描述
一 六 十五二十十五 六 一
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即_C_nm_＝__C__nn－_m_
1 x6
感悟提升
求展开式中某指定项（如有理项、常数项、第r+1项，含xr的项） 以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点，通常 要用二项式的通项求解，有时要先变形再应用。
注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数。
二项乘方知多少，万里源头通项找!
变式探究2: （1）求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数；
变式探究2:
（2）求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2
（2）解法一：分别求出各个二项展开式中x2的系数；
0，C20 , C31, C42 , C53, ，取和，可知所求x2的系数等于-20.
解法二：∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5
（4）求展开式中第四项的系数及二项式系数.
变式探究1:
Tk+1 = Cnk (
x
)
8-k
(
2 x2
)k
8-5k
= Ck8 2k x 2
求该展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
设Tr 1 的系数为 A r 1 ，那么A r 1 为最大应有:
Ar1 Ar且Ar 1 Ar 2 .
高考数学复习考点知识与题型专题讲解73---二项式定理
高考数学复习考点知识与题型专题讲解10.3二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *) 二项展开式的通项 T k ＋1＝C k n an －k b k ，它表示第k ＋1项 二项式系数C k n (k ∈{0,1,2,3，…，n })2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值当n 是偶数时，中间一项2C n n取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C -n n与12C+n n相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n . 微思考1．总结(a ＋b )n 的展开式的特点． 提示(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.2．(a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗？提示不一定．(a＋b)n的展开式的通项是C k n a n－k b k，其二项式系数是C k n(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k项．(×)(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(4)(a＋b)n的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(√)题组二教材改编2．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n答案D解析(x－y)n二项展开式第m项的通项为T m＝C m－1n(－y)m－1x n－m＋1，所以系数为C m－1n(－1)m－1.3．(八省联考)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是() A．60B．80C．84D．120答案D解析(利用公式C m n＋C m＋1n ＝C m＋1n＋1)(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )9的展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 29＝C 33＋C 23＋…＋C 29＝C 310＝120.4．C 111＋C 311＋C 511＋…＋C 1111＝________.答案210 题组三易错自纠5．已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n (a 为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为() A ．1B ．±1C ．2D ．±2 答案C解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，则二项式的展开式通项为T k ＋1＝C k 5(x )5－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x k ＝a k C k 51556kx -，令15－5k6＝0，得k ＝3，则其常数项为C 35a 3，根据题意，有C 35a 3＝80，可得a ＝2.6．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为_____． 答案1解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n ＝32，解得n ＝5. 在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5中，令x ＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.题型一多项展开式的特定项命题点1二项展开式问题例1(1)(2020·北京)在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为() A ．－5B ．5C ．－10D ．10解析T k ＋1＝C k 5(x )5－k (－2)k ＝C k 552kx -·(－2)k ，令5－k2＝2，解得k ＝1.所以x 2的系数为C 15(－2)1＝－10.(2)(2019·浙江)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________． 答案1625解析该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9(2)9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2)9＝162；当k ＝1,3,5,7,9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5. 命题点2两个多项式积的展开式问题例2(1)(2020·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为() A ．5B ．10C ．15D ．20 答案C解析方法一∵⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5＝⎝⎛⎭⎫x ＋y2x (x 5＋5x 4y ＋10x 3y 2＋10x 2y 3＋5xy 4＋y 5)， ∴x 3y 3的系数为10＋5＝15.方法二当x ＋y 2x 中取x 时，x 3y 3的系数为C 35， 当x ＋y 2x 中取y 2x时，x 3y 3的系数为C 15， ∴x 3y 3的系数为C 35＋C 15＝10＋5＝15.(2)(2019·全国Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为() A ．12B ．16C ．20D ．24解析展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.命题点3三项展开式问题例3 (1)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为() A ．10B ．20C ．30D ．60 答案C解析方法一利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二利用排列组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个因式取y ，剩余的三个因式中两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)(2020·合肥检测)⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15的展开式中的常数项为() A ．1B ．11C ．－19D ．51 答案B解析⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －1x ＋15 展开式的通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫x －1x 5－k当k ＝5时，常数项为C 55＝1，当k ＝3时，常数项为－C 12C 35＝－20，当k ＝1时，常数项为C 45C 24＝30.综上所述，常数项为1－20＋30＝11.思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．跟踪训练1 (1)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案12解析通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.(2)(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为() A ．－3B ．－2C ．1D ．4 答案B解析(x －1)4的通项为T k ＋1＝C k 4x 4－k (－1)k ，(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为C 34(－1)3＋C 24(－1)2＋C 14(－1)＝－2，故选B.(3)(1＋2x －3x 2)5的展开式中x 5的系数为________．答案92解析方法一(1＋2x －3x 2)5＝(1－x )5(1＋3x )5，所以x 5的系数为C 05C 5535＋C 15(－1)C 4534＋C 25(－1)2C 3533＋C 35(－1)3C 2532＋C 45(－1)4C 1531＋C 55(－1)5C 0530＝92.方法二(1＋2x －3x 2)5＝[(1＋2x )－3x 2]5＝C 05(1＋2x )5＋C 15(1＋2x )4(－3x 2)＋C 25(1＋2x )3(－3x 2)2＋…＋C 55(－3x 2)5，所以x 5的系数为C 05C 5525＋C 15C 34×23×(－3)＋C 25C 13×2×(－3)2＝92.题型二二项式系数与各项的系数问题命题点1二项式系数和与各项系数和例4(1)若二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为() A ．－1B ．1C ．27D ．－27 答案A解析 依题意得2n ＝8，解得n ＝3.取x ＝1，得该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1. (2)若(2－x )7＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 7(1＋x )7，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6的值为() A ．1B ．2C ．129D ．2188 答案C解析令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝27＝128， 又(2－x )7＝[3－(x ＋1)]7，则a 7(1＋x )7＝C 77·30·[－(x ＋1)]7，解得a 7＝－1. 故a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝128－a 7＝128＋1＝129. 命题点2二项式系数的最值问题例5二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为()A ．3B ．5C ．6D ．7 答案D解析 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n的展开式的通项为T k ＋1＝C k 20·(3x )20－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x k ＝(3)20－k ·C k 20·4203kx －，要使x 的指数是整数，需k 是3的倍数，∴k ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项． 思维升华 (1)求展开式中各项系数和可用“赋值法”． (2)二项式系数最大项在中间一项或中间两项取得．跟踪训练2 (1)(2021·随州调研)在⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为()A ．－126B ．－70C ．－56D ．－28 答案C解析∵只有第5项的二项式系数最大， ∴n ＝8，⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k C k 8382k x-(k ＝0,1,2，…，8)，∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3C 38＝－56.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是() A ．63x B.4x C ．4x 6x D.4x或4x 6x 答案A解析令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n <32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . (3)已知m 是常数，若(mx －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33，则m ＝________. 答案3解析当x ＝0时，(－1)5＝－1＝a 0.当x ＝1时，(m －1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝33－1＝32，则m －1＝2，m ＝3.课时精练1．(2020·邯郸调研)(1－2x )6的展开式的第三项为() A ．60B ．－120C ．60x 2D ．－120x 2 答案C解析T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2.2.⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中含x 3的项的系数为() A ．80B ．－80C ．－40D ．48 答案B解析⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k ，令5－2k ＝3，得k ＝1.于是展开式中含x 3的项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80.3．(2020·山西八校联考)已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A ．29B ．210C ．211D ．212 答案A解析由题意得C 4n ＝C 6n ，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29. 4．(2020·肇庆模拟)已知(1－ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a 等于() A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案A解析(1－ax )(1＋x )5＝(1－ax )(1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5)，其展开式中x 2的系数为10－5a ＝5，解得a ＝1.5．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是() A ．－3B ．－2C ．2D ．3 答案D解析⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式通项为T k ＋1＝C k 5⎝⎛⎭⎫1x 25－k (－1)k ＝C k 5x 2k －10(－1)k ，由2k －10＝0得k ＝5，所以⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式中常数项为C 55(－1)5＝－1.由2k －10＝－2得k ＝4，所以⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式中x －2的系数为C 45(－1)4＝5，所以(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是2×(－1)＋5＝3. 6．设(1＋x )3＋(1＋x )4＋(1＋x )5＋…＋(1＋x )50＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 50x 50，则a 3的值是()A ．C 450B ．2C 350C ．C 351D ．C 451答案D解析由题意可得a 3的值是x 3的系数，而x 3的系数为C 33＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 350＝C 451.7．(多选)对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，下列判断正确的有()A ．存在n ∈N *，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N *，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N *，展开式中有一次项答案AD解析二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n ，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD.8．(多选)(2020·枣庄模拟)已知(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5，则()A ．a 0＝－32B ．a 2＝－80C ．a 3＋4a 4＝0D ．a 0＋a 1＋…＋a 5＝1答案ABC解析令x ＝－1得(－1－1)5＝a 0，即a 0＝－32，故A 正确．令x ＝0得(－1)5＝a 0＋a 1＋…＋a 5，即a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1，故D 不正确．令x ＋1＝y ，则(x －1)5＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 5(x ＋1)5就变为(y －2)5＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋…＋a 5y 5，根据二项式定理知，a 2即二项式(y －2)5展开式中y 2项的系数，T k ＋1＝C k 5y 5－k (－2)k ，故a 2＝C 35·(－2)3＝－80，B 正确．a 4＝C 15(－2)1＝－10，a 3＝C 25(－2)2＝40，故C正确，故选ABC.9．(2020·全国Ⅲ)⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是________．(用数字作答) 答案240解析⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k ⎝⎛⎭⎫2x k ＝C k 62k x12－3k ， 令12－3k ＝0，解得k ＝4，所以常数项为C 4624＝240.10．(2020·辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x 3的系数为________．答案240解析⎝⎛⎭⎫2x －1x n 的展开式的通项为T k ＋1＝C k n ·(2x )n －k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C 1n ∶C 2n ＝2∶5，解得n ＝6.所以T k ＋1＝(－1)k C k 626－k ·362k x -，令6－32k ＝3，解得k ＝2，所以x 3的系数为C 2626－2(－1)2＝240. 11．已知⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5(a ≠0)，若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝________，展开式中常数项为________．答案 －2310 解析在⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1)5中， 令x ＝1，得(a ＋1)·35＝81，解得a ＝－23， 所以⎝⎛⎭⎫－23x ＋1x (2x ＋1)5的展开式中的常数项为 1x ·C 45·2x ＝10. 12．(2020·浙江)二项展开式(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 4＝________，a 1＋a 3＋a 5＝________.答案80122解析由题意，得a4＝C45×24＝5×16＝80.当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，所以a1＋a3＋a5＝122.13．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为()A．55B．89C．120D．144答案A解析由题意，可知a1＝1，a2＝1，a3＝1＋1＝2，a4＝1＋2＝3，a5＝2＋3＝5，a6＝3＋5＝8，a7＝5＋8＝13，a8＝8＋13＝21，a9＝13＋21＝34，a10＝21＋34＝55.14．(2021·济南模拟)设(1－ax)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2020a2020＝2020a(a≠0)，则实数a＝________.答案2解析已知(1－ax )2020＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2020x 2020，两边同时对x 求导，得2020(1－ax )2019(－a )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋2020a 2020x 2019，令x ＝1得，－2020a (1－a )2019＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2020a 2020＝2020a ，又a ≠0，所以(1－a )2019＝－1，即1－a ＝－1，故a ＝2.15．若多项式(2x ＋3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，则多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－4n －4的展开式中x 2的系数为()A ．－304B ．304C ．－208D ．208答案A解析多项式(2x ＋3y )n 的展开式中仅第5项的二项式系数最大，故展开式有9项，所以n ＝8，多项式⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－44＝⎣⎡⎦⎤－4＋⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 24的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4(－4)4－r ·⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2r (0≤r ≤4，且r ∈N ).⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2r 的展开式的通项T k ＋1＝C k r (x 2)r －k ·⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝C k r x 2r －4k (0≤k ≤r ，且k ∈N ，r ∈N )．令2r －4k ＝2，即r ＝2k ＋1，所以k ＝0，r ＝1；k ＝1，r ＝3，所以展开式中x 2的系数为C 14·(－4)3＋C 34·C 13·(－4)＝－256－48＝－304.16．设a ，b ，m 为整数(m >0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ≡b (mod m )．若a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220，a ≡b (mod10)，则b 的值可以是() A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021答案D解析a ＝C 020＋C 120·2＋C 220·22＋…＋C 2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a ≡b (mod10)，所以b 的值可以是2021.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二项式定理
1． 知识精讲：
（1）二项式定理：()n
n n r r n r n n n n n n
b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（*
∈N n ）
其通项是=+1r T r
r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555
156b a C T T n n -+==
亦可写成：=+1r T r n r n a
b a C )(
()()()n n n n r
r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n n
x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（*
∈N n ）
其中，r
n C ——二项式系数。
而系数是字母前的常数。
例1．n n
n n n n C C C C 13
21393-++++Λ等于 （ ） A ．n
4 B 。
n
43⋅ C 。
134-n D.3
1
4-n 解：设n
n
n n n n n C C C C S 13
21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333
3221++++=Λ=133333
32210
-+++++n
n n n n n n C C C C C Λ
故选D
例2．（1）求7
(12)x +的展开式的第四项的系数；
（2）求91
()x x
-的展开式中3
x 的系数及二项式系数解：（1）7
(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，
∴7
(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9
1()x x
-的展开式的通项是9921991
()(1)r r
r r r r r T C x
C x x
--+=-=-， ∴923r -=，3r =，
∴3x 的系数339(1)84C -=-，3
x 的二项式系数3984C =．
（2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的
二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k
n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。
如果
二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：()
1
22
m ax
+==n n n r
n
T C C ；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即
()
1
211
212
12
1max
+++-+-====n n n n
n n
r n
T T C C C 。
③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n 2即n
n n n n C C C 210=+++Λ；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
131202-=++=++n n n n n C C C C ΛΛ
例3．已知727
0127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求：
（1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，7
7
(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a ++++L
∴0127a a a a ++++L 1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0127a a a a ++++L 1=- ①
令1x =-，7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：7
02462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=，
∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例4．（1）如果在n
x x ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+4
21 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
（2）求3
21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x x 的展开式的常数项。
解：（1）展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8
)
1(-n n ，
由题意得：2×2n =1+8
)
1(-n n 得n =8。
设第r+1项为有理项，4
3168
12
1
r r r r x
c T -+⋅⋅=，则r 是4的倍数，所以r=0，4，8。
有理项为2
954
12561
,835,x T x T x T =
=
=。
【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定r 。
（2）
3
21⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x x 6
1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=x x ，其展开式的通项为
()2
2
66111r
r
r
r
r x x
C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+()22661r r r r x C ---=，令02r 26=-—r 得3=r
所以，常数项为
204-=T
【思维点拨】 密切注意通项公式的使用。
（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：()N n n n n
∈≥>,322取
()n
n 112+=的展开式中的四项即可。
例5、 若n 为奇数，则77
771
2211---++++n n n n n n n C C C Λ被9除得的余数是 （ ） A ．0 B 。
2 C 。
7
解：77
771
2211---++++n n n n n n n C C C Λ()11918--=-=n
n =()()119199
11
1
1--+-++----n
n n n n n n
C C Λ
因为n 为奇数，所以原式=()2]9199
[11
1
1--++----n n n n n n
C C Λ
所以，其余数 为9 – 2 = 7，选C 例6：当N n ∈且n >1，求证3)11(2<+
<n
n
证明: 2111111)11(1221=+>++++=+n
C n C n C n C n n n
n n n n n Λ
()()()()()n n
n n n n n n n n n n n n 12321!1!321!212112⋅⋅--++--+-+
=⎪⎭
⎫
⎝⎛+ΛΛ 2
112112122
121212!1!31!212112-⎪
⎭⎫
⎝⎛-+
=++++<++++<--n n n ΛΛ .
32131
<-
-n 从而3)11(2<+<n n 【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定。
2．重点难点: 二项式定理，和二项展开式的性质。
3．思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用。
4．特别注意:①二项式的展开式共有n+1项，r r
n r
n b a
C -是第r+1项。
②通项是=+1r T r
r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ）中含有r n b a T r ,,,,1+五个元素，只要知道其
中四个即可求第五个元素。
③注意二项式系数与某一项系数的异同。
④当n 不是很大，|x |比较小时可以用展开式的前几项求n
x )1(+的近似值。