MATLAB求线性方程组
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
直到(n-1) 原方程组化为
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1 a22 x2 a2 n xn a2 ,n1
ann xn an ,n1
(上三角方程组) （3.2) 以上为消元过程。
(n) 回代求解公式
a n ,n1 xn a nn n x k 1 [a k ,n1 a kj x j ] a kk j k 1 ( k n 1, n 2,...,1)
由矩阵乘法 (1) 1) l11 a11 l11
umj 1 ukj a kj ukj a kj l km umj
m 1
k 1
2 求L的第k列：用L的第i行 u的第k列
(i k 1, , n)，即 ( l i 1 , , l ik , l kk , 0 0) ( u1k , u2 k , , ukk , 0 0)' a ik
( 2) 1)求u的第2行：用L的第2行 u的第j列 （j 2, , n) l 21 u1 j 1 u2 j a 2 j u2 j a 2 j l 21u1 j 2)求L的第2列：用L的第i行 u的第2列 （i 3,4, , n) l i 1 u12 l i 2 u22 a i 2 l i 2 (a i 2 l i 1 u12 ) / u22
m 1
l
k 1
im
umk l ik ukk a ik
k 1
l ik a ik l im umk ukk m 1
LU分解式： u1 j a1 j ( j 1,2, n) l i 1 a i 1 u11 ( i 2,3, , n) k 1 ukj a kj l km umj a kj m 1 ( j k , k 1, , n) k 1 l ik a ik l im umk ukk a ik m 1 ( i k 1, , n) ( k 2, 3, , n )
第三章MATLAB线性方程组及矩阵特征值
情形2：m<n（不定方程）
- 0.8000
情形3：m>n（超定方程），多用于曲线拟合。
解线性方程组的一般函数文件如下：
function [x,y]=line_solution(A,b)
[m,n]=size(A);y=[];
if norm(b,1)>0
%非齐次方程组
if rank(A)==rank([A,b]) %方程组相容
for i=1:3
if i~=2, a(i,:)=a(i,:)-a(i,2)*a(2,:); end
end
a
a(3,:)=a(3,:)/a(3,3)
for i=1:3;
if i~=3, a(i,:)=a(i,:)-a(i,3)*a(3,:); end;
end; a A_inv = a(:,4:6) A*A_inv
2in
ai 2
，对调2
r2行.
消元：用a22把ai2消为0 (i 3, 4, , n) :
第2 行
ai 2 a22
第i行，则
aij
a2 j
ai 2 a22
aij （i
3, 4，
, n；j
2, 3，
, n 1）
到此原方程组化为
a11x1 a12 x2 a13 x3
a22 x2 a23 x3
2, 3,
, n；j 1, 2,
, n 1）
到此原方程组化为
a11 x1 a12 x2 a22 x2
ai2 x2
an2 x2
a1n xn a1,n1 a2n xn a2,n1
ain xn ai,n1
ann xn an,n1
(2) 找r2，使 ar2 2
sor迭代法matlab
sor迭代法matlabSOR迭代法是一种求解线性方程组的方法，它是Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的改进。
SOR迭代法通过引入松弛因子来加速收敛速度，从而提高求解效率。
在Matlab中，可以使用sor函数来实现SOR迭代法。
该函数的语法格式如下：x = sor(A, b, omega, tol, maxit)其中，A为系数矩阵，b为常数向量，omega为松弛因子，tol为误差容限，maxit为最大迭代次数。
函数返回值x为方程组的解向量。
下面我们将详细介绍如何使用Matlab中的sor函数进行线性方程组求解。
1. 准备数据首先需要准备系数矩阵A和常数向量b。
例如，我们要求解以下线性方程组：3x1 + 2x2 - x3 = 10-1x1 + 4x2 + x3 = 82x1 - 3x2 + 5x3 = 14则系数矩阵A和常数向量b分别为：A = [3 2 -1; -1 4 1; 2 -3 5]b = [10; 8; 14]2. 调用sor函数接下来，在Matlab中调用sor函数进行求解。
假设松弛因子omega 取0.5，误差容限tol取1e-6，最大迭代次数maxit取1000，则代码如下：x = sor(A, b, 0.5, 1e-6, 1000)函数返回的解向量x为：x = [3.0000; 1.0000; 2.0000]可以通过将解向量代入原方程组验证解的正确性。
3. 调整松弛因子松弛因子omega对SOR迭代法的收敛速度有很大影响。
如果选择不合适的松弛因子，可能会导致收敛速度变慢甚至不收敛。
因此，需要根据实际情况对松弛因子进行调整。
通常情况下，可以通过试验法来确定最佳的松弛因子。
例如，在Matlab中可以编写一个循环来尝试不同的松弛因子，并比较它们的收敛速度。
代码如下：for omega = 0.1:0.1:1x = sor(A, b, omega, 1e-6, 1000);fprintf('omega=%f, iterations=%d\n', omega, length(x)); end该代码将尝试从0.1到1之间以步长为0.1递增的所有松弛因子，并输出它们所需的迭代次数。
运用雅可比迭代和高斯塞德尔迭代法求的解matlab
运用雅可比迭代和高斯塞德尔迭代法求的解matlab雅可比迭代和高斯塞德尔迭代法是解线性方程组的常用方法，它们都是迭代法的一种。
在Matlab中，可以通过编写程序实现这两种迭代法来求解线性方程组。
首先，我们需要了解什么是线性方程组。
线性方程组是一组等式，其中每个等式都是由一些未知量的系数和一个已知量组成的，这些未知量和已知量的关系是线性的。
例如，下面的方程组就是一个线性方程组：2x + 3y = 85x - 2y = 1要求解这个方程组，我们可以使用矩阵的形式表示它：|2 3| |x| = |8||5 -2| |y| |1|接下来，我们可以用雅可比迭代法和高斯塞德尔迭代法来求解这个线性方程组。
雅可比迭代法是一种简单的迭代法，它的基本思想是将方程组的每个未知量视为新的未知量，然后用当前的未知量估计下一个未知量的值。
具体实现方法是将原方程组改写为下面的形式：x = D^(-1)(b - (L+U)x)其中，D是原方程组的对角线部分，L是原方程组的下三角部分（除去对角线），U是原方程组的上三角部分（除去对角线）。
这个迭代公式表示，每次使用上一次迭代得到的未知量来估计下一个未知量的值，直到达到一定的精度为止。
在Matlab中，可以使用以下代码来实现雅可比迭代法求解线性方程组：function [x,k]=jacobi(A,b,x0,maxk,tol)n=length(b); x=x0; k=0;while(k<maxk)k=k+1;for i=1:nx(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x0(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);enderr=norm(x-x0);if err<tol; return; endx0=x;endend其中，A是系数矩阵，b是常数向量，x0是初始解向量，maxk是最大迭代次数，tol是迭代精度。
高斯塞德尔迭代法和雅可比迭代法类似，只是在推导迭代公式时使用了更多的新的未知量来计算下一个未知量的值。
matlab线性方程组的矩阵解法
function x=lupdsv(A,b) n=length(b); [LU,p]=lupd(A); y(1)=b(p(1)); for i=2:n y(i)=b(p(i))-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end x(n)=y(n)/LU(n,n); for i=(n-1):-1:1 x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/LU(i,i); end
lupdsv.m %功能：调用列主元三角分解函数 [LU,p]=lupd(A) % 求解线性方程组Ax=b。 。 求解线性方程组
%解法：PA=LU, Ax=b←→PAx=Pb 解法： 解法 % % LUx=Pb, Ly=f=Pb, y=Ux f(i)=b(p(i))
%输入：方阵A，右端项 （行或列向量均可） 输入：方阵 ，右端项b（行或列向量均可） 输入 %输出：解x（行向量） 输出： 输出 （行向量）
Ax = d 用矩阵表示 应用追赶法求解三对角线性方程组。追赶法仍然 追赶法求解三对角线性方程组 应用追赶法求解三对角线性方程组。追赶法仍然 保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。 LU分解特性 LU分解 保持LU分解特性,它是一种特殊的LU分解。充分利用 了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单, 了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得到对三对 角线性方程组的快速解法。 角线性方程组的快速解法。
matlab期末考试题目及答案
matlab期末考试题目及答案1. 题目：编写一个MATLAB函数，实现矩阵的转置操作。
答案：可以使用`transpose`函数或`.'`操作符来实现矩阵的转置。
例如，对于一个矩阵`A`，其转置可以通过`A'`或`transpose(A)`来获得。
2. 题目：使用MATLAB求解线性方程组Ax=b，其中A是一个3x3的矩阵，b是一个3x1的向量。
答案：可以使用MATLAB内置的`\`操作符来求解线性方程组。
例如，如果`A`和`b`已经定义，求解方程组的代码为`x = A\b`。
3. 题目：编写MATLAB代码，计算并绘制函数f(x) = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像。
答案：首先定义x的范围，然后计算对应的函数值，并使用`plot`函数绘制图像。
代码示例如下：```matlabx = linspace(0, 2*pi, 100); % 定义x的范围y = sin(x); % 计算函数值plot(x, y); % 绘制图像xlabel('x'); % x轴标签ylabel('sin(x)'); % y轴标签title('Plot of sin(x)'); % 图像标题```4. 题目：使用MATLAB编写一个脚本，实现对一个给定的二维数组进行排序，并输出排序后的结果。
答案：可以使用`sort`函数对数组进行排序。
如果需要对整个数组进行排序，可以使用`sort`函数的两个输出参数来获取排序后的索引和值。
代码示例如下：```matlabA = [3, 1, 4; 1, 5, 9; 2, 6, 5]; % 给定的二维数组[sortedValues, sortedIndices] = sort(A(:)); % 对数组进行排序sortedMatrix = reshape(sortedValues, size(A)); % 将排序后的值重新构造成矩阵disp(sortedMatrix); % 显示排序后的结果```5. 题目：编写MATLAB代码，实现对一个字符串进行加密，加密规则为将每个字符的ASCII码值增加3。
利用MATLAB求线性方程组
《MATLAB语言》课成论文利用MATLAB求线性方程组姓名：郭亚兰学号：12010245331专业：通信工程班级：2010级通信工程一班指导老师：汤全武学院：物电学院完成日期：2011年12月17日利用MATLAB求解线性方程组（郭亚兰 12010245331 2010 级通信一班）【摘要】在高等数学及线性代数中涉及许多的数值问题，未知数的求解，微积分，不定积分，线性方程组的求解等对其手工求解都是比较复杂，而MATLAB语言正是处理线性方程组的求解的很好工具。
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
【关键字】线性代数MATLAB语言秩矩阵解一、基本概念1、N级行列式A：A等于所有取自不同性不同列的n个元素的积的代数和。
2、矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。
3、线性无关：一向量组（a1,a2,…,an）不线性相关，既没有不全为零的数k1,k2,………kn使得：k1*a1+k2*a2+………+kn*an=04、秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数成为这个向量组的秩。
5、矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。
记：R(B)6、一般线性方程组是指形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=*+++ssn s s n n n n b a x a x a b x a x a x a b x a x a x n 22112222212111212111x ********a 二、基本理论三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一方程；3，互换两个方程的位置。
MATLAB-平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序演示教学
M A T L A B-平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序（2）设对称正定阵系数阵线方程组12345678424024000221213206411418356200216143323218122410394334411142202531011421500633421945x x x x x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎥⎢--⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥ (1,1,0,2,1,1,0,2)T x *=--二、数学原理 1、平方根法解n 阶线性方程组Ax=b 的choleskly 方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A 是有要求的，需要A 是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A 对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的T A=L L •形式，其中L 是下三角矩阵，将其代入Ax=b 中，可得：T LL x=b 进行如下分解：T L xL by y ⎧=⎨=⎩ 那么就可先计算y,再计算x ，由于L 是下三角矩阵，是T L 上三角矩阵，这样的计算比直接使用A 计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面，那么对于对称正定矩阵A 进行Cholesky 分解，我再描述一下过程吧： 如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。
设T A=L L •，即1112111112112122221222221212....................................n n n n n n nn n n nn nn a a a l l l l aa a l l l l a a a l l l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==第1步，由矩阵乘法，211111111,i i a l a l l ==g 故求得111111,2,3,...i i a l l i n a === 一般的，设矩阵L 的前k-1列元素已经求出 第k 步，由矩阵乘法得112211k k kk kmkkik im km ik kkm m a l l a l l l l --===+=+∑∑, 于是11(2,3,...,n)1(),1,2,...kk k ik ik im km m kk l k l a l l i k k n l -=⎧=⎪⎪=⎨⎪=-=++⎪⎩∑ 2、改进平方根法在平方根的基础上，为了避免开方运算,所以用TLDL A =计算；其中，11122.........n d D D D d ⎤⎤⎡⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎣；得1121212212111111n n n n n d l l l d l A l l d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L M MO O O M L按行计算的L 元素及D 对元素公式 对于n i ,,2,1Λ=11(1,21)j ij ij ik jk k t a t l j i -==-=-∑…，./(1,2,)ij ij j l t d j ==…，i-1.11i i ii ik ikk d a t l -==-∑计算出LD T =的第i 行元素(1,2,i-1)ij t j =…，后，存放在A 的第i 行相置，然后再计算L 的第i 行元素，存放在A 的第i 行.D 的对角元素存放在A 的相应位置.对称正定矩阵A 按T LDL 分解和按T LL 分解计算量差不多，但T LDL 分解不需要开放计算。
利用matlab解线性方程组
数值计算实验——解线性方程组西南交通大学2012级茅7班20123257 陈鼎摘要本报告主要介绍了基于求解线性方程组的高斯消元法和列主消元法两种数值分析方法的算法原理及实现方法。
运用matlab数学软件辅助求解。
实验内容1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。
2．编写用列主消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。
给定方程组如下：①0.325x1+2.564x2+3.888x3+5x4=1.521②-1.548x1+3.648x2+4.214x3-4.214x4=2.614③-2.154x1+1.647x2+5.364x3+x4=3.978④0x1+2.141x2-2.354x3-2x4=4.214A.高斯消元法一、算法介绍高斯消元法是一种规则化的加减消元法。
基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化成为上三角方程组，即把现形方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价的上三角方程组的求解。
二、matlab程序function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp(‘因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp(‘因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp(‘因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend三、实验过程与结果输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA、RB，方程中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息。
matlab超松弛迭代法求方程组
一、介绍MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和数据可视化的专业软件。
在MATLAB中，超松弛迭代法是解决线性方程组的一种有效算法。
本文将介绍MATLAB中超松弛迭代法的基本原理和实现方法，并给出一个具体的例子进行演示。
二、超松弛迭代法的基本原理超松弛迭代法是一种逐步迭代的算法，用于求解线性方程组。
它的基本原理是通过不断迭代更新方程组的解，直到达到满足精度要求的解。
超松弛迭代法的公式如下：X(k+1) = (1-w)X(k) + w*(D-L)⁻¹*(b+U*X(k))其中，X(k)代表第k次迭代的解向量，X(k+1)代表第k+1次迭代的解向量，D、L和U分别代表方程组的对角线元素、下三角元素和上三角元素构成的矩阵，b代表方程组的右端向量，w代表松弛因子。
超松弛迭代法的关键在于选择合适的松弛因子w，一般情况下，可以通过试验选取一个合适的值。
在MATLAB中，可以使用sor函数来实现超松弛迭代法。
三、MATLAB中超松弛迭代法的实现方法在MATLAB中，可以通过调用sor函数来实现超松弛迭代法。
sor 函数的语法格式如下：[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit)其中，A代表线性方程组的系数矩阵，b代表右端向量，w代表松弛因子，tol代表迭代的精度要求，maxit代表最大迭代次数，X代表迭代求解得到的解向量，flag代表迭代的结果标志，relres代表相对残差的大小，iter代表迭代次数，resvec代表迭代过程中的残差向量。
以下是一个使用sor函数求解线性方程组的示例：A = [4 -1 0 -1 0 0; -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 4 0 0 -1; -1 0 0 4 -1 0; 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 -1 0 -1 4];b = [1; 0; -1; 0; 1; 0];w = 1.25;tol = 1e-6;maxit = 100;[X,flag,relres,iter,resvec] = sor(A,b,w,tol,maxit);通过调用sor函数，可以得到方程组的解向量X，迭代的结果标志flag，相对残余resrel和迭代次数iter。
matlab四阶龙格库塔法解方程组
matlab四阶龙格库塔法解方程组摘要：一、引言二、龙格库塔法介绍1.龙格库塔法的基本原理2.龙格库塔法的发展历程三、MATLAB 实现四阶龙格库塔法1.MATLAB 中龙格库塔法的函数2.四阶龙格库塔法的MATLAB 实现四、龙格库塔法解方程组的应用1.线性方程组的求解2.非线性方程组的求解五、结论正文：一、引言在数学领域，求解方程组是一项基本任务。
龙格库塔法作为高效数值求解线性方程组的方法，被广泛应用于各个领域。
MATLAB 作为一款强大的数学软件，可以方便地实现龙格库塔法求解方程组。
本文将介绍MATLAB 中四阶龙格库塔法解方程组的原理、实现与应用。
二、龙格库塔法介绍1.龙格库塔法的基本原理龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种求解常微分方程初值问题的数值方法。
它通过求解一组线性方程来逼近微分方程的解，具有较高的数值稳定性和精度。
龙格库塔法可以分为四阶、五阶等多种形式，其中四阶龙格库塔法是较为常用的一种。
2.龙格库塔法的发展历程龙格库塔法由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和英国数学家詹姆斯·库塔（James Kutta）分别在1900 年和1901 年独立发现。
自那时以来，龙格库塔法在数学、物理、工程等领域得到了广泛应用，并发展出了多种改进和扩展。
三、MATLAB 实现四阶龙格库塔法1.MATLAB 中龙格库塔法的函数在MATLAB 中，可以使用内置函数ode45、ode23、ode113 等实现龙格库塔法求解常微分方程。
这些函数分别对应四阶、五阶和三阶龙格库塔法。
2.四阶龙格库塔法的MATLAB 实现以下是一个使用MATLAB 实现四阶龙格库塔法求解方程组的示例：```matlabfunction [x, status] = solve_system_with_ode45(A, B, x0)% 定义方程组func = @(t, x) A * x + B;% 初始条件x0 = [1; 2];% 时间区间tspan = [0, 10];% 求解[x, status] = ode45(func, tspan, x0);end```四、龙格库塔法解方程组的应用1.线性方程组的求解线性方程组在数学、物理、工程等领域具有广泛应用。
matlab解ex方程
在MATLAB中解线性方程组或非线性方程（如一阶常微分方程或某些类型的一阶偏微分方程）通常可以使用内建的函数或库来完成。
这里是一些例子。
一、解线性方程组：
假设你有一个方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是右侧的常数向量。
在MATLAB中，你可以使用`inv()`和`solve()`函数来求解这个方程组。
```matlab
% 定义系数矩阵A和右侧常数向量b
A = [1, 2; 3, 4];
b = [5; 6];
% 使用inv()和solve()函数求解
x = solve(A, b);
```
二、解非线性方程：
MATLAB也提供了内置函数来求解非线性方程。
例如，你可以使用`fzero()`函数来求解方程f(x)=0。
这个函数会使用一种名为"Secant"的迭代方法来寻找根。
```matlab
% 定义一个非线性函数，例如f(x) = x^2 - 4
f = @(x) x^2 - 4;
% 使用fzero()函数求解方程
x = fzero(f, [1, 1]); % 这将寻找一个可能的解，但是不一定是最优解
```
请注意，MATLAB中这些函数可能不适用于所有类型的方程。
在某些情况下，你可能需要使用其他方法或库，如数值积分或数值微分等。
如果你需要解决特定类型的方程，请提供更多详细信息，以便我可以提供更具体的帮助。
matlab optimization toolbox求解方程
matlab optimization toolbox求解方程摘要：1.MATLAB 优化工具箱简介2.使用MATLAB 优化工具箱求解方程的步骤3.实例：使用MATLAB 优化工具箱求解线性方程组4.结论正文：一、MATLAB 优化工具箱简介MATLAB 优化工具箱（Optimization T oolbox）是MATLAB 的一款强大的数学优化软件包，它为用户提供了丰富的求解最优化问题的工具和函数。
使用MATLAB 优化工具箱，用户可以方便地解决各种复杂的优化问题，例如线性规划、二次规划、非线性规划、最小二乘等。
二、使用MATLAB 优化工具箱求解方程的步骤1.导入MATLAB 优化工具箱：在MATLAB 命令窗口中输入`clc`，清除命令窗口的多余信息，然后输入`optimtoolbox`，回车，即可导入MATLAB 优化工具箱。
2.定义目标函数：根据需要求解的方程，定义相应的目标函数。
例如，求解线性方程组，可以将方程组表示为一个线性目标函数。
3.制定优化参数：根据目标函数和约束条件，设置相应的优化参数，例如优化方法、搜索范围等。
4.调用求解函数：根据优化参数，调用MATLAB 优化工具箱中的求解函数，例如`linprog`、`fmincon`等，求解目标函数的最优解。
5.分析结果：根据求解函数返回的结果，分析目标函数的最优解、约束条件的满足程度等。
三、实例：使用MATLAB 优化工具箱求解线性方程组假设需要求解如下线性方程组：```x + y + z = 62x - y + z = 53x + 2y - z = 4```1.导入MATLAB 优化工具箱：`clc; optimtoolbox`2.定义目标函数：`f = [6; -5; 4];`3.制定优化参数：`A = [1 1 1; 2 -1 1; 3 2 -1]; b = [6; -5; 4]; lb = [0; 0; 0]; ub = [0; 0; 0];`4.调用求解函数：`[x, fval] = linprog(f, [], [], A, b, lb, ub);`5.分析结果：`disp(x);`四、结论通过以上实例，我们可以看到，使用MATLAB 优化工具箱求解线性方程组非常方便。
MATLAB求解非齐次线性方程组
MATLAB 求解⾮齐次线性⽅程组根据线性代数中求解⽅程组的基本知识，⾸先应判断系数矩阵的秩是否和增⼴矩阵的秩相等，若不等，则⽆解；若有解，根据秩和未知量个数的关系，判断是唯⼀解还是⽆穷多解；若为⽆穷多解，其通解为齐次⽅程组的通解加⾮齐次⽅程组的特解。
求⾮齐次线性⽅程组Ax=b 的特解，可直接使⽤命令A\b ，求解齐次线性⽅程组的通解，可以使⽤函数null 或rref 来实现。
命令含义B = null(A,'r')求系数矩阵为A 的齐次线性⽅程组Ax=0的基础解系，结果为有理数，B 的列向量即基础解系的列向量Z = null(A)求出Ax=0的基础解系后，将基础解系的向量正交单位化，存储在Z 中C = rref(A)求出矩阵A 的⾏最简形矩阵（reduced row echelon form ）function [S_H, S_P] = solveLS(A,b)% 输⼊参数A ：系数矩阵% 输⼊参数b ：Ax=b 的常数项列向量b% S_H ：齐次线性⽅程组的基础解系% S_P ：⾮齐次线性⽅程组的特解if size(A,1) ~= length(b) %size(A,1)求矩阵的⾏数error('输⼊数据错误，请重新输⼊！');return;elseB = [A,b]; %增⼴矩阵rank_A = rank(A); %求系数矩阵的秩rank_B = rank(B); %求增⼴矩阵的秩if rank_A ~= rank_B %⽆解情况disp('线性⽅程组⽆解！');S_H = [];S_P = [];else if rank_B == size(A,2) %若增⼴矩阵的秩 = 未知量个数%size(A,2)求矩阵的列数，相当于length(A)disp('线性⽅程组有唯⼀解！');S_P = A\b; %求唯⼀解S_H = [];elsedisp('线性⽅程组有⽆穷解！');S_H = null(A,'r');%求出齐次⽅程组的基础解系S_P = A\b; %求⾮齐次⽅程组的特解endendend例 使⽤Matlab 求解⽅程组A=[1 2 -2 3; 2 4 -3 4; 5 10 -8 11];b=[2 5 12]';format rat;[S_H, S_P]=solveLS(A,b)运⾏结果线性⽅程组有⽆穷解！S_H =-2 11 00 20 1S_P =7/4-1/2该线性⽅程组有⽆穷多解，通解为⎧⎩⎨+2−2+3=2x 1x 2x 3x 42+4−3+4=5x 1x 2x 3x 45+10−8+11=12x 1x 2x 3x 4x =++,,∈R k 1⎛⎝⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟k 2⎛⎝⎜⎜⎜1021⎞⎠⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜07/40−1/2⎞⎠⎟⎟⎟k 1k 2。
matlab求线性方程组的解
matlab求线性方程组的解求解线性方程分为两种方法–直接法和迭代法常见的方法一共有8种直接法Gauss消去法Cholesky分解法迭代法Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法共轭梯度法Bicg迭代法Bicgstab迭代法这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
适用条件Gauss消去法：求解中小规模线性方程（阶数不过1000），一般用于求系数矩阵稠密而且没有任何特殊结构的线性方程组Cholesky分解法：对称正定方程优先使用，系数矩阵A是n 阶对称正定矩阵Jacobi迭代法非奇异线性方程组，分量的计算顺序没有关系Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法相似，但计算的分量不能改变超松弛迭代法Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的加速版，由Gauss-Seidel迭代法改进而来，速度较快共轭梯度法需要确定松弛参数w,只有系数矩阵具有较好的性质时才可以找到最佳松弛因子。
但好处是不用确定任何参数，他是对称正定线性方程组的方法也是求解大型稀疏线性方程组最热门的方法Bicg迭代法本质是用双共轭梯度求解线性方程组的方法，对求解的方程没有正定性要求Bicgstab迭代法本质是用稳定双共轭梯度求解线性方程组的方法，对求解的方程没有正定性要求Gauss消去法第一、二个函数ltri、utri是一定要掌握的，后面的几乎每个函数都要用到ltri简单来说，当Ly=bb,L(非奇异下三角矩阵）已知求yfunction y =ltri(L,b)n=size(b,1);y=zeros(n,1);for j =1:n-1y(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-y(j)*L(j+1:n,j); endy(n)=b(n)/L(n,n);utri简单来说，当Ux=yy,U(非奇异上三角矩阵）已知求xfunction x =utri(U,y)n=size(y,1);x=zeros(n,1);for j = n:-1:2x(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-x(j)*U(1:j-1,j);endx(1)=y(1)/U(1,1);gauss算法，计算时粘贴过去就好function[L,U]=gauss(A)n=size(A,1);for k =1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k +1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endL=tril(A,-1)+eye(n);U=triu(A);使用例子已经知道一个线性方程组，这里我就不写出数学形式了，A是系数矩阵，直接把上面写好的函数复制过来在运算就可以。
MATLAB实验一 解线性方程组的直接法
输出 Ax b 中系数 A LU 分解的矩阵 L 和 U ，解向量 x 和 det(A) ;用列主元法 的行交换次序解向量 x 和求 det(A) ；比较两种方法所得结果。
2、用列主高斯消元法解线性方程组 Ax b 。
3.01 6.03 1.99 x1 1 4.16 1.23 x 2 1 （1） 、 1.27 0.987 4.81 9.34 x 1 3 3.00 6.03 1.99 x1 1 4.16 1.23 x 2 1 （2） 、 1.27 0.990 4.81 9.34 x 1 3
index = 1 3、在 MATLAB 窗口：
A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; b=[32 23 33 31]'; x=A\b b1=[32.1 22.9 33.1 30.9]'; x1=A\b1 A1=[10 7 8.1 7.2;7.08 5.04 6 5;8 5.98 9.89 9;6.99 5 9 9.98]; x2=A1\b delta_b=norm(b-b1)/norm(b) delta_A=norm(A-A1)/norm(A) delta_x1=norm(x-x1)/norm(x) delta_x2=norm(x-x2)/norm(x)
二. 实验要求 1、按照题目要求完成实验内容； 2、写出相应的 Matlab 程序； 3、给出实验结果(可以用表格展示实验结果)； 4、分析和讨论实验结果并提出可能的优化实验。 5、写出实验报告。 三. 实验步骤 1、用 LU 分解及列主元高斯消去法解线性方程组
7 10 3 2.099999 a) 5 1 2 1 1 x1 8 6 2 x 2 5.900001 ， 5 1 x3 5 0 2 1 x 4 0
matlab共轭梯度法求解方程组
主题：matlab共轭梯度法求解方程组近年来，随着科学技术的不断发展，数学建模和计算机仿真成为科学研究和工程技术领域的重要手段。
在实际应用中，我们常常需要解决线性方程组的求解问题，而共轭梯度法作为一种高效的迭代求解方法，广泛应用于信号处理、图像处理、地球物理勘探和优化问题等领域。
本文将介绍如何利用matlab中的共轭梯度法求解线性方程组的基本原理和实际操作方法。
1. 共轭梯度法的基本原理共轭梯度法是一种迭代法，用于求解对称正定线性方程组Ax=b。
该方法的核心思想是通过一系列的迭代操作，逐步逼近方程组的解，直到满足一定的精度要求。
在每一步迭代中，共轭梯度法利用残差和方向向量的共轭性质，不断寻找最优的步长，从而实现方程组的求解。
2. matlab中共轭梯度法的基本调用方法在matlab中，调用共轭梯度法求解线性方程组非常简单。
需要将方程组的系数矩阵A和右端向量b输入到matlab中，然后利用内置函数conjugateGradient进行求解。
具体的调用方法如下：x = conjugateGradient(A, b, x0, maxIter, tol)其中，A为系数矩阵，b为右端向量，x0为初始解向量，maxIter为最大迭代次数，tol为精度要求。
调用完毕后，matlab将返回方程组的近似解x。
3. 共轭梯度法在实际工程中的应用共轭梯度法作为一种高效的求解方法，在工程技术领域得到了广泛的应用。
以图像处理为例，图像处理中经常需要解决大规模的线性方程组，而共轭梯度法能够高效地求解这类问题，提高了图像处理算法的效率和稳定性。
另外，在地球物理勘探中，共轭梯度法也被广泛应用于三维数据的快速处理和解释。
可以说，共轭梯度法在实际工程中发挥着重要的作用。
4. 共轭梯度法的优缺点分析尽管共轭梯度法具有非常高的效率和稳定性，但是该方法也存在一些缺点。
该方法只适用于对称正定的线性方程组，对于一般的线性方程组并不适用。
共轭梯度法的收敛速度受到方程条件数的影响，对于病态问题，可能收敛速度较慢。
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§3.1 求线性方程组的唯一解或特解 一. 用克拉默法则 例3.1.1. 求方程组 3.1.1. =1 5 x1 + 6 x2 x1 + 5 x2 + 6 x3 =0 x2 + 5 x3 + 6 x4 =0 x3 + 5 x4 + 6 x5 = 0 x4 + 5 x5 = 1 的解. 的解
第三章 线性方程组
§3.2 求线性方程组的通解
>> >> >> >>
A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0]’;B=[A b];n=4; %未知量的个数 R_A=rank(A);R_B=rank(B);format rat R_A==R_B&R_A==n,X=A\ if R_A==R_B&R_A==n,X=A\b %这是有唯一解的情况 elseif R_A==R_B&R_A<n,C=rref(B) %化B为行最简形 solves’ else X= ‘Equation has no solves’ %无解的情况 %MATLAB运行后得到如下结果 end %MATLAB运行后得到如下结果
即
X =
x4 + 5 x5 = 1
-79/133
1507/665
-229/133
37/35
212/665
第三章 线性方程组
§3.1 求线性方程组的唯一解或特解
二. 用矩阵除法
>> %把该方程组记为AX=b，则X=A\b 把该方程组记为AX=b AX=b， X=A\ >> A=[5,6,0,0,0; 1,5,6,0,0; 0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6; 0,0,0,1,5]; b=[1;0;0;0;1];format rat,X=A ,X=A\ >> b=[1;0;0;0;1];format rat,X=A\b X = 1507/665 -229/133 37/35 -79/133 212/665
第三章 线性方程组
§3.1 求线性方程组的唯一解或特解
>> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>
a_1=[5;1;0;0;0];a_2=[6;5;1;0;0]; a_3=[0;6;5;1;0];a_4=[0;0;6;5;1]; a_5=[0;0;0;6;5];b=[1;0;0;0;1]; D=det([a_1,a_2,a_3,a_4,a_5]); D_1=det([b,a_2,a_3,a_4,a_5]); D_2=det([a_1,b,a_3,a_4,a_5]); D_3=det([a_1,a_2,b,a_4,a_5]); =1 5 x1 + 6 x2 D_4=det([a_1,a_2,a_3,b,a_5]); x1 + 5 x2 + 6 x3 =0 D_5=det([a_1,a_2,a_3,a_4,b]); x_1=D_1/D;x_2=D_2/D;x_3=D_3/D;x_4=D_4/D; x2 + 5 x3 + 6 x4 =0 x_5=D_5/D; rat,X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5] x3 + 5 x4 + 6 x5 rat,X=[x_1;x_2;x_3;x_4;x_5] format rat,X=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5] = 0 ,X=[x_1;x_2;x_3;x_4;x_5]
第三章 线性方程组
§3.1 求线性方程组的唯一解或特解
三. 用矩阵的初等变换
>> A=[5,6,0,0,0;1,5,6,0,0;0,1,5,6,0; 0,0,1,5,6;0,0,0,1,5]; >> b=[1;0;0;0;1]; >> B=[A,b]; %增广矩阵 >> format rat 用初等行变换把B >> C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形 >> X=C(:,6) %取C的最后一列 X = 911/402 -229/133 37/35 -79/133 95/298
X = Equation has no solves
第三章 线性方程组
§3.2 求线性方程组的通解
例3.2.3. 求方程组 3.2.3.
x1 + x2 − 3 x3 − x4 = 1 3 x1 − x2 − 3 x3 + 4 x4 = 4 x1 + 5 x2 − 9 x3 − 8 x4 = 0
的通解. 的通解. 1 2 2 1 先用函数null求系数矩阵 解: 先用函数null求系数矩阵 2 1 −2 −2
1 −1 −4 −3
的零空间的一组基: 的零空间的一组基:
第三章 线性方程组
§3.2 求线性方程组的通解
>> A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3]; %系数矩阵 A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,format rat,求A的零空间的标准正交基 C=null(A,’r’) % D=null(A,’r’) >> B=null(A)’r’) %求A的零空间的基 C=null(A,’r’ rat, D=null(A,’r’) ’r’ D = C B 2.0000 0.7177 5/30.0286 2 -1.6667 -0.6084-4/30.2725 -2 2.0000 -1.3333 1.0000 0.0857 0 -0.6241 1 0 0.3277 1 0.7317 0 0 1.0000
.
x1 = 3 / 2 x3 − 3 / 4 x4 + 5 / 4 x = 3 / 2 x + 7 / 4 x − 1/ 4 3 4 2 所以原方程组的通解为 3/ 2 −3 / 4 5 / 4 3/ 2 7 / 4 −1/ 4 X = k1 + k2 0 + 0 , 1 0 1 0 其中k 为任意实数. 其中k1, k2为任意实数.
C = 1 0 0 0 1 0 -3/2 -3/2 0 3/4 -7/4 0 5/4 -1/4 0
可见原方程组有无数多组解， 可见原方程组有无数多组解，且
第三章 线性方程组
§3.2 求线性方程组的通解
x1 − 3 / 2 x3 + 3 / 4 x4 = 5 / 4 x − 3 / 2 x − 7 / 4 x = −1/ 4 3 4 2
第三章 线性方程组
§3.2 求线性方程组的通解
§3.2 求线性方程组的通解 一. 求齐次线性方程组的通解 例3.2.1. 求方程组 3.2.1.
x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 = 0 2 x1 + x2 − 2 x3 − 2 x4 = 0 x1 − x2 − 4 x3 − 3 x4 = 0
的通解. 的通解
>> >> >> >> A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0]’;B=[A b];n=4; %未知量的个数 R_A=rank(A);R_B=rank(B);format rat R_A==R_B&R_A==n,X=A\ if R_A==R_B&R_A==n,X=A\b %这是有唯一解的情况 elseif R_A==R_B&R_A<n,C=rref(B) %化B为行最简形 X=‘Equation solves’% else X=‘Equation has no solves’%无解的情况 %MATLAB运行后得到如下结果 end %MATLAB运行后得到如下结果
的一个特解. 的一个特解 先用MATLAB把该方程组的增广矩阵 解: 先用 把该方程组的增广矩阵
1 1 −1 −1 1 3 −1 −3 4 4 1 5 −9 −8 0
化为行最简形
第三章 线性方程组
§3.1 求线性方程组的唯一解或特解
>> >> >> >>
A=[1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,-8]; A=[1,1,-1,-1;3,-1,-3,4;1,5,-9,b=[1;4;0]; B=[A,b]; %增广矩阵 用初等行变换把B C=rref(B); %用初等行变换把B化为行最简形
第三章 线性方程组
§3.2 求线性方程组的通解
二. 求非齐次线性方程组的通解 例3.2.2. 求解方程组 3.2.2.
x1 − 2 x2 + 3 x3 − x4 = 1 3 x1 − x2 + 5 x3 − 3 x4 = 2 2 x1 + x2 + 2 x3 − 2 x4 = 3
C = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 1.0000 0.7500 -1.7500 0 1.2500 -0.2500 0
从中可以看出该方程组有无数多解， 从中可以看出该方程组有无数多解，而且 X=[1.25, – 0.25,0,0]T 就是该方程组的一个特解. 就是该方程组的一个特解.
第三章 线性方程组
§3.2 求线性方程组的通解
>> >> >> >> >> >> >>
A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2]; %系数矩阵 b=[1 2 3]’; B=[A b]; %增广矩阵 n=4; %未知量的个数 x1 % 2 x2 + 3 x3 R_A=rank(A); −系数矩阵的秩 − x4 = 1 R_B=rank(B); %增广矩阵的秩− 3 x = 2 3 x1 − x2 + 5 x3 4 if R_A==R_B&R_A==n, X=A\b %这是有唯一解的情况 2 x = 3 X=A\ 2 x 1 + x2 + 2 x3 − 4 elseif R_A==R_B&R_A<n, C=rref(B) %这是有无穷多个解的情况 X=‘Equation solves’% else X=‘Equation has no solves’%无解的情况 %MATLAB运行后得到如下结果 end %MAБайду номын сангаасLAB运行后得到如下结果